A negatív számok egyenlőtlenségeinek mennyisége. Megoldjuk az egyenlőtlenségek rendszerét - a számítási tulajdonságok és módszerek. A magánéletnek a vállalati szinten való megfelelés

Az érvényes számok mezője rendelési tulajdonsággal rendelkezik (6. pont, 35. o.): Az A, B számok esetében az egyik és csak az egyik a három arány: Vagy. Ebben az esetben az A\u003e B rekord azt jelenti, hogy a különbség pozitív, és a felvételi különbség negatív. Az érvényes számok mezőjével ellentétben a komplex számok mezője nincs megrendelve: A komplex számok esetében a "több" és "kevesebb" fogalmakat nem határozzák meg; Ezért ez a fejezet csak érvényes számokat tárgyal.

Az egyenlőtlenségekhez kapcsolódó kapcsolatok, az egyenlőtlenség, az egyenlőtlenség, a jelek\u003e (több) tagjai (vagy részei), a jelek\u003e (több) és az egyenlőtlenségek a\u003e B és C\u003e D-ek ugyanolyan (vagy egy és ugyanaz) az egyenlőtlenségeknek nevezik; Az egyenlőtlenségek A\u003e B és az egyenlőtlenség meghatározásából azonnal következik

1) Minden pozitív szám nagyobb, mint nulla;

2) A negatív szám kisebb, mint nulla;

3) Minden pozitív szám nagyobb, mint bármilyen negatív szám;

4) két negatív szám több mint, amelynek abszolút értéke kisebb.

Mindezek a kijelentések egyszerűen geometriai értelmezést tesznek lehetővé. Hagyja, hogy a számászati \u200b\u200btengely pozitív iránya a kiindulási pont jobb oldalára lépjen; Ezután mi lenne a számok jelei, több közülük egy olyan pontot ábrázolnak, amely egy kisebb számot ábrázol.

Az egyenlőtlenség rendelkezik a következő alapvető tulajdonságokkal.

1. Aszimmetria (visszafordíthatatlanság): Ha, akkor, és hátul.

Valóban, ha a különbség pozitív, akkor a különbség negatív. Azt mondják, hogy az egyenlőtlenség tagjainak újraszámításakor meg kell változtatni az egyenlőtlenség jelentését az ellenkezőjére.

2. Transitivitás: Ha ezután. Valóban, a különbségek és pozitivitás pozitivitásából

Az egyenlőtlenség jelei mellett az egyenlőtlenség jeleit a következőképpen is alkalmazzák: a rekord azt jelenti, hogy vagy ezért is írhatsz. Általában a jelek használatával rögzített egyenlőtlenségek szigorú egyenlőtlenségeknek neveznek, és a jelek használatával rögzített bizonytalan egyenlőtlenségek. Ennek megfelelően a jelek maguk a szigorú vagy nem szigorú egyenlőtlenségek jeleit hívják. A fent megfontolt 1. és 2. tulajdonságok igazak a hihetetlen egyenlőtlenségekre.

Fontolja meg most olyan műveleteket, amelyek egy vagy több egyenlőtlenségre tehetnek.

3. Az azonos szám egyenlőtlenségének tagjaihoz az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Bizonyíték. Engedje meg az egyenlőtlenséget és tetszőleges számot. A definíció szerint a különbség pozitív. Ehhez a számhoz két ellentétes számot adunk hozzá, ahonnan nem változik, vagyis

Ez az egyenlőség átírható:

Ebből következik, hogy a különbség pozitív, vagyis mi

És ezt bizonyítani kellett.

Ez azon a lehetőségen alapul, hogy az ellenkező jele egy részétől az egyenlőtlenség bármely tagjává váljon. Például az egyenlőtlenségtől

ezt követi

4. Amikor az egyenlőtlenség tagjait egy és ugyanazon pozitív számra szorozza, az egyenlőtlenség jelentése nem változik; Ha ugyanolyan negatív számmal szorozzák meg az egyenlőtlenség tagjait, az egyenlőtlenség jelentése az ellenkezőjére változik.

Bizonyíték. Hagyja, ha a pozitív számok terméke pozitív. A konzol megnyitása az utolsó egyenlőtlenség bal oldalán, megszerezzük, én .. Hasonlóképpen az ügyet figyelembe veszik.

Pontosan ugyanez a következtetés vonható le illetően részlege részei egyenlőtlenség bármely más szám nulla, mivel a szétválás száma megegyezik szorzás száma és a számok azonos jeleket.

5. Hagyja, hogy az egyenlőtlenség tagjai pozitívak legyenek. Ezután, amikor a tagjait ugyanabban a pozitív fokon végzi, az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Bizonyíték. Hagyja ezt az ügyet, a tranzitivitás tulajdonát és. Ezután az energiafunkció monoton növekedése miatt leszünk

Különösen, ha - ahol -naturális szám, akkor kapunk

azaz a gyökér eltávolítása mindkét egyenlőtlenség pozitív taggal történő eltávolításakor az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Hagyja, hogy az egyenlőtlenségek tagjai negatívak legyenek. Aztán nem nehéz bizonyítani, hogy tagjai építése furcsa természetes mértékű egyenlőtlenségben nem fog változni, és amikor egy még természetes mértékű is feláll, az ellenkezőjére változik. Az egyenlőtlenségek negatív tagjai, akkor is kivonhatja a furcsa fokozat.

Engedje meg tovább, hogy az egyenlőtlenség tagjai különböző jelekkel rendelkeznek. Aztán, amikor azt állították egy páratlan fokú, a jelentése az egyenlőtlenség nem fog változni, és amikor azt emelték még fokú értelmében a fogadó egyenlőtlenség, semmi meghatározott általános lehetetlen megmondani. Valójában, amikor a szám páratlan mértékben áll, a szám száma megmarad, ezért az egyenlőtlenség jelentése nem változik. Ha az egyenlőtlenséget egyenletes mértékben állítják fel, a pozitív taggal való egyenlőtlenség alakul ki, és annak jelentése a kezdeti egyenlőtlenség tagjainak abszolút értékétől függ, az egyenlőtlenség egyenlőtlensége az egyenlőtlenség, mint a kezdeti, egyenlőtlenség Az ellenkező jelentés és az egyenlőség is!

A fent leírt egyenlőtlenség mindegyike hasznos a következő példának ellenőrzésére.

1. példa az alábbi egyenlőtlenségek a meghatározott mértékben, megváltoztatva az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére vagy az egyenlőség jelére.

a) 3\u003e 2 a 4. fokozatba; b) a 3-as mértékben;

c) a 3. fokig; d) a 2. fokig;

e) az 5-ös mértékben; e) a 4-es fokig;

g) 2\u003e -3 a 2. fokig; h) a 2-es fokig

6. Az egyenlőtlenségtől az egyenlőtlenséghez való áttérés lehetséges, ha az egyenlőtlenség tagjai pozitívak, vagy mindkettő negatívak, akkor az ellenkező jelentés egyenlőtlensége a fordított értékeik között:

Bizonyíték. Ha A és B egy jel, akkor a munkájuk pozitív. Az egyenlőtlenségre osztunk

vagyis mi volt, amire szükség volt.

Ha az egyenlőtlenségű tagok ellentétes jelekkel rendelkeznek, az inverz értékek közötti egyenlőtlenségnek ugyanaz a jelentése, hiszen a fordított értékek jelei megegyeznek az értékek jelei.

2. példa Ellenőrizze az utolsó tulajdonságot 6 a következő egyenlőtlenségeken:

7. A logariting egyenlőtlenségek csak akkor végezhetők el, ha az egyenlőtlenségek tagjai pozitívak (negatív számok és nulla logaritmusok nem rendelkeznek).

Legyen . Akkor mikor lesz

És lesz

Ezeknek a kijelentéseknek a helyessége a logaritmikus funkció monotonán alapul, amely növeli, ha az alap és a csökkenés

Tehát, a logaritmizálása egyenlőtlenség álló pozitív tagjainak, alapján alapján, egy nagyobb egység, egyenlőtlen ugyanaz a jelentése van kialakítva, mivel ez, és közben annak logaritmizálása egy pozitív alapon, egy kisebb egység - az egyenlőtlenség az ellenkező jelentése.

8. Ha, ha, de akkor.

Ez azonnal következik az indikatív funkció monotónia tulajdonságairól (42. pont), amely csökken, ha csökkenő, ha

Ha az egyenlőtlenség egyenlőtlensége az egyenlőtlenség korai hozzáadásában, ugyanolyan értelemben, mint az adatok.

Bizonyíték. Ezt a nyilatkozatot két egyenlőtlenségre igazoljuk, bár ez igaz minden összecsukott egyenlőtlenségre. Hagyja adni az egyenlőtlenséget

Definíció szerint a szám pozitív lesz; Akkor az összegük is pozitív, vagyis

Csoportosítása egyébként komponensek, kapunk

És ezért,

És ezt bizonyítani kellett.

Nem lehet mondani semmit, amelyet az általános esetben definiáltak a két vagy több eltérő egyenlőtlenség hozzáadásával kapott egyenlőtlenség értelmében.

10. Ha az egyik egyenlőtlenségből kivonja az ellenkező értelem más egyenlőtlenségeit, akkor az egyenlőtlenség ugyanolyan jelentőségű, mint az első.

Bizonyíték. Hagyja, hogy két egyenlőtlenség eltérő jelentése. A visszafordíthatatlanság aránya az alábbiak szerint átírható: d\u003e s. Most már az azonos értelem és az egyenlőtlenség egyenlőtlensége

ugyanazon jelentés. Az utóbbiból

És ezt bizonyítani kellett.

Lehetetlen mondani semmit, amelyet az általános esetben definiáltak a kapott egyenlőtlenség jelentőségéről, amelyet az ugyanazon jelentés más egyenlőtlenségének kivonásával levonnak.

Egyenlőtlenség - ez egy rekord, amelyben a jelek, változók vagy kifejezések kapcsolódnak a jel<, >, vagy. Ez az, hogy az egyenlőtlenség a számok, változók vagy kifejezések összehasonlításának nevezhető. Jelek < , > , ⩽ és ⩾ hívott az egyenlőtlenség jelei.

Az egyenlőtlenségek típusai és azok olvasása:

Amint azt példák is láthatjuk, minden egyenlőtlenség két részből áll: a bal és jobb, az egyenlőtlenség egyik jele által összekapcsolt. Az egyenlőtlenségek összekötő részétől függően szigorú és nem stratégiai.

Szigorú egyenlőtlenségek - a jel által összekapcsolt egyenlőtlenségek< или >. Nem szigorú egyenlőtlenségek - a jel által összekapcsolt egyenlőtlenségek vagy.

Tekintsük az Algebra összehasonlításának alapvető szabályait:

• Bármely pozitív szám nagyobb, mint nulla.
• Bármilyen negatív szám kisebb, mint nulla.
• A két negatív szám közül többet, ami az abszolút érték kevesebb. Például -1\u003e -7.
• a. és b. pozitív:

  a. - b. > 0,

  Hogy a. több b. (a. > b.).

• Ha a különbség két egyenlőtlen szám között a. és b. Negatív:

  a. - b. < 0,

  Hogy a. Kevésbé b. (a. < b.).

• Ha a szám nagyobb, mint nulla, akkor pozitív:

  a. \u003e 0, akkor a. - Pozitív szám.

• Ha a szám kisebb, mint nulla, akkor negatív:

  a. < 0, значит a. - negatív szám.

Egyenértékű egyenlőtlenségek - az egyéb egyenlőtlenségek következménye. Például, ha a. Kevésbé b.T. b. több a.:

a. < b. és b. > a. - egyenértékű egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenségek tulajdonságai

1. Ha ugyanazt a számot adja, vagy kivonja mindkét részből az egyenlőtlenség mindkét részéhez, akkor az egyenértékű egyenlőtlenség lesz, azaz

   ha egy a. > b. T. a. + c. > b. + c. és a. - c. > b. - c.

   Ebből következik, hogy az ellenkező jele az egyenlőtlenség tagjait átruházhatja. Például az egyenlőtlenség mindkét részéhez a. - b. > c. - d. által d.Kapunk:

   a. - b. > c. - d.

   a. - b. + d. > c. - d. + d.

   a. - b. + d. > c.

2. Ha az egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzák, vagy egy és ugyanazon pozitív számra osztják, akkor ez egyenértékű lesz az azzal egyenértékű egyenlőtlenséggel,
3. Ha az egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzák, vagy egy olyan negatív számra osztják, hanem az ebből ellentétes egyenlőtlenség lesz, vagyis az egyenlőtlenség mindkét részének negatív számmal történő megszorzására vagy osztására, meg kell változtatni a jelet az ellenkezőjével szembeni egyenlőtlenség.

   Ez a tulajdonság használható az egyenlőtlenségek minden tagjának jelei megváltoztatására, amely mindkét részét -1-ben szorozza meg, és megváltoztatja az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére:

   -a. + b. > -c.

   (-a. + b.) · - -on< (-c.) · - -on

   a. - b. < c.

   Egyenlőtlenség -a. + b. > -c. az egyenlőtlenségnek felel meg a. - b. < c.

1 . Ha egy a\u003e B.T. b.< a ; Éppen ellenkezőleg, ha de< b T. b\u003e A..

Példa. Ha egy 5x - 1\u003e 2x + 1T. 2x +1.< 5x — 1 .

2 . Ha egy a\u003e B. és b\u003e S.T. a\u003e S.. Hasonló, de< b és b.< с T. a.< с .

Példa. Az egyenlőtlenségektől x\u003e 2U., 2Y\u003e 10. ezt követi x\u003e 10..

3 . Ha egy a\u003e b, hogy a + C\u003e B + és a - C\u003e B - C. Ha de< b T. a + S. és a - C. , azok. Az egyenlőtlenség mindkét részéhez ugyanazt az összeget (vagy kivonhatjuk)

1. példa.. Egyenlőtlenség x + 8\u003e 3. Sikeres 8 szám az egyenlőtlenség mindkét részéről, megtaláljuk x\u003e - 5.

2. példa.. Egyenlőtlenség x - 6.< — 2 . Mindkét rész hozzáadása 6, megtaláljuk h.< 4 .

4 . Ha egy a\u003e B. és C\u003e d, hogy a + C\u003e B + D; csak ha de< b és tól től< d T. a + C.< b + d , vagyis az azonos jelentésű egyenlőtlenség) összeszerelhető. Ez igaz minden olyan egyenlőtlenségre, például ha a1\u003e B1, A2\u003e B2, A3\u003e B3T. a1 + A2 + A3\u003e B1 + B2 + B3.

1. példa.. Egyenlőtlenségek — 8 > — 10 és 5 > 2 igaz. Eddig összecsukva hűséges egyenlőtlenséget talál — 3 > — 8 .

2. példa.. Dana egyenlőtlenségek rendszere ( 1/2) x + (1/2)< 18 ; (1/2) X - (1/2)< 4 . Eddig összecsukhatóak x.< 22 .

Megjegyzés. Az azonos értelem két egyenlőtlensége nem lehet felszámolni, hogy levonja egymást, mivel az eredmény helyes lehet, de talán helytelen. Például, ha az egyenlőtlenségtől 10 > 8 2 > 1 Aztán hűséges egyenlőtlenséget kapunk 8 > 7 De ha ugyanolyan egyenlőtlenségből származik 10 > 8 Az enyém kivonja az egyenlőtlenséget 6 > 1 , Abszurditást kapok. Hasonlítsa össze a következő elemet.

5 . Ha egy a\u003e B. és c.< d T. a - C\u003e B - D; Ha egy de< b és c - D.T. a - S.< b — d , azaz az egyik egyenlőtlenségből az ellenkező értelem másik egyenlőtlensége érhető el), így az egyenlőtlenség jele, amelyből egy másik levonásra került.

1. példa.. Egyenlőtlenségek 12 < 20 és 15 > 7 igaz. Responed visszaállítja az első második részét, és hagyja az első jelet, hűséges egyenlőtlenséget kapunk — 3 < 13 . Szulfátot az első a második, és hagyja a második jelet, megtaláljuk a hűséges egyenlőtlenséget 3 > — 13 .

2. példa.. Dana egyenlőtlenségi rendszer (1/2) x + (1/2)< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Kivonják az első egyenlőtlenséget, megtaláljuk y.< 10 .

6 . Ha egy a\u003e B. és m. - pozitív szám, akkor mA\u003e MB. és a / N\u003e B / N, azaz az egyenlőtlenség mindkét részét meg lehet osztani vagy megszorozni ugyanazon pozitív számmal (az egyenlőtlenség jele ugyanaz marad). Ha ugyanaz a\u003e B. és n. - negatív szám, akkor na.< nb és a / N.< b/n , azaz az egyenlőtlenség mindkét részét megszorozni vagy egy azonos negatív számra oszthatjuk, de ugyanakkor az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére kell cserélni.

1. példa.. A hűséges egyenlőtlenségek mindkét részének megosztása 25 > 20 a 5 , hűséges egyenlőtlenség 5 > 4 . Ha megosztjuk az egyenlőtlenség mindkét részét 25 > 20 a — 5 akkor meg kell változtatnod a jelet > a < , aztán hűséges egyenlőtlenséget kapunk — 5 < — 4 .

2. példa.. Az egyenlőtlenségtől 2x< 12 ezt követi h.< 6 .

3. példa.. Az egyenlőtlenségtől - (1/3) X - (1/3) x\u003e 4 ezt követi x.< — 12 .

4. példa.. Egyenlőtlenség x / k\u003e y / l; Ebből következik, hogy lX\u003e KY.Ha a számok jelei l. és k. és ez lX.< ky Ha a számok jelei l. és k. Ellentétes.

A matematika egyenlőtlenségei kiemelkedő szerepet játszanak. Az iskolában alapvetően foglalkozunk számszerű egyenlőtlenségekAmelynek meghatározásával megkezdjük ezt a cikket. Majd lista és indokolja a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságaiAhol az egyenlőtlenségekkel való munkavégzés minden elve alapul.

Azonnal vegye figyelembe, hogy a numerikus egyenlőtlenségek számos tulajdonsága hasonló. Ezért fogja megállapítani az anyag szerint ugyanazt a rendszert: megfogalmazzuk a tulajdonság, hogy ez egy indoklás és példák, ami után viszont a következő tulajdonsággal.

Navigációs oldal.

Numerikus egyenlőtlenségek: definíció, példák

Amikor bemutattuk az egyenlőtlenség fogalmát, észrevették, hogy az egyenlőtlenségek gyakran meghatározzák a megjelenésüket. Olyan egyenlőtlenségek, amelyeket az algebrai kifejezések jelentése, amelyek jeleket tartalmaznak, nem egyenlő ≠, kevesebb<, больше >, kisebb vagy egyenlő ≤ vagy több vagy egyenlő ≥. A meghatározás alapján kényelmes egy numerikus egyenlőtlenséget meghatározni:

A numerikus egyenlőtlenségekkel való találkozás az első osztályban az első osztályú matematikai leckékben történik, közvetlenül az első természetes számmal, 1-től 9-ig terjedő, és az összehasonlító művelet ismerete. Igaz, ott vannak-e egyszerűtlen egyenlőtlenségek, csökkentve a "numerikus" meghatározását. Az egyértelműség érdekében nem fogja megakadályozni néhány példát a legegyszerűbb numerikus egyenlőtlenségekről a tanulmányukból: 1<2 , 5+2>3 .

És akkor a természetes számokból a tudás más típusú számokra (egész, racionális, tényleges számok) vonatkozik, az összehasonlításuk szabályait tanulmányozzák, és ez jelentősen kiterjeszti a numerikus egyenlőtlenségek sokszínűségét: -5\u003e -72, 3\u003e -0.275 · (7-5, 6) ,.

A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai

A gyakorlatban az egyenlőtlenségekkel való együttműködés lehetővé teszi a számot a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai. Az általunk bevezetett egyenlőtlenség fogalmából erednek. A számok vonatkozásában ezt a koncepciót a következő állítás adja meg, amely a számsorozat "kevesebb" aránya és "több" meghatározásának tekinthető (gyakran az egyenlőtlenség különbségének meghatározásának):

Meghatározás.

• szám nagyobb, mint a B szám, és csak akkor, ha az A-B különbség pozitív szám;
• az A szám kisebb, mint a B szám, ha és csak akkor, ha az A-B különbség negatív szám;
• az A szám megegyezik a B számmal, ha és csak akkor, ha az A-B különbség nulla.

Ez a meghatározás eltávolítható a "kevesebb vagy egyenlő" és "nagyobb vagy egyenlő" kapcsolat meghatározására. Itt van a szöveg:

Meghatározás.

• szám nagyobb vagy egyenlő a B számmal, és csak akkor, ha az A-B nem negatív szám;
• az A szám kisebb vagy egyenlő a B számmal, ha és csak akkor, ha az A-B képtelen.

Ezeket a definíciókat a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságainak igazolásával fogjuk felhasználni, amelyhez a felméréshez megyünk.

Alapvető tulajdonságok

Értékelés Kezdjük az egyenlőtlenségek három fő tulajdonságaival. Miért vannak alapok? Mivel az általános értelemben szenvedő egyenlőtlenségek tulajdonságainak tükrözik, és nemcsak a numerikus egyenlőtlenségekkel kapcsolatban.

A jelek használatával rögzített szám-egyenlőtlenségek< и >Jellegzetes:

Ami a nem szigorú egyenlőtlenségek jeleit használva a nem szigorú egyenlőtlenségek jeleit használva ≤ és ≥, akkor a reflexivitás (és nem antireflexivitás) tulajdonságai vannak, mivel az A≤a és a≥a egyenlőtlenségek közé tartozik az a \u003d a. Szintén jellemzőek az antiszimmetriára és a tranzitivitásra is.

Tehát a ≤ és ≥ jelekkel rögzített numerikus egyenlőtlenségek a tulajdonságokkal rendelkeznek:

• reflexiveness A≥A és A≤a - hűséges egyenlőtlenségek;
• antiszimmetria, ha A≤B, majd b≥a, és ha a≥B, akkor B \u003ca.
• tranzitivitás, ha A≤b és B≤c, majd A≤C, valamint, ha a≥B és a B≥C, majd a≥c.

Bizonyítékuk nagyon hasonlít a már idézettekhez, így nem fogunk abbahagyni őket, de a numerikus egyenlőtlenségek más fontos tulajdonságaihoz fordulunk.

A numerikus egyenlőtlenségek egyéb fontos tulajdonságai

Kiegészíti a nagyszerű gyakorlati eredmények számszerű egyenlőtlenségeinek fő tulajdonságait, amelyek nagy gyakorlati jelentőségűek. Ezek a kifejezések értékelésének módszerein alapulnak, az alapelveken alapulnak az egyenlőtlenségek megoldásai stb. Ezért tanácsos jól kezelni őket.

Ebben az elemben az egyenlőtlenségek tulajdonságait csak a szigorú egyenlőtlenség egyik jelére kell megfogalmazni, de érdemes megemlíteni, hogy hasonló tulajdonságok tisztességesek lesznek, és az ellenkező jelzésre, valamint a nem stratégiai egyenlőtlenségek jeleire . Magyarázd el ezt a példában. Az alábbiakban megfogalmazzuk és bizonyítjuk az ilyen egyenlőtlenségi tulajdonságot: ha a

• ha A\u003e B, majd A + C\u003e B + C;
• ha A≤b, akkor A + C≤b + C;
• ha A≥B, majd A + C≥B + C.

A kényelem érdekében képzelje el a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságait egy lista formájában, ezzel megadjuk a megfelelő nyilatkozatot, írja be formálisan betűket, ólombiztosítót, amely után lehetséges példák megjelenítése. A cikk végén csökkentjük az asztalon lévő numerikus egyenlőtlenségek összes tulajdonát. Megy!

A hűséges numerikus egyenlőtlenség mindkét részének kiegészítése (vagy kivonása) a helyes numerikus egyenlőtlenséget biztosítja. Más szóval, ha az A és B számok olyanok, hogy a

Bizonyíték érdekében az utolsó numerikus egyenlőtlenség bal és jobb részei közötti különbséget fogjuk tenni, és meg fogjuk mutatni, hogy negatív, feltéve, hogy a (A + C) - (B + C) \u003d A + C-B - C \u003d A-B. A

A numerikus egyenlőtlenségek ezen tulajdonának bizonyítéka, hogy kivonja a C számot, ne hagyja abba, mivel a kivonás helyettesíthető -C-val több érvényes számmal.

Például, ha hozzáadja a 15. számot a megfelelő numerikus egyenlőtlenség mindkét részéhez 7\u003e 3, akkor a hű numerikus egyenlőtlenség 7 + 15\u003e 3 + 15, amely ugyanaz, 22\u003e 18.

Ha a helyes numerikus egyenlőtlenség mindkét része megszorul (vagy osztva), és ugyanazt a pozitív C számot, majd a helyes numerikus egyenlőtlenség lesz. Ha az egyenlőtlenség mindkét része megszűnik (vagy osztva) a C negatív számra, és megváltoztatja az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére, akkor a helyes egyenlőtlenség lesz. Lettereproof: Ha az A és B számoknál az A-t az A és B számok végzik időszámításunk előtt.

Bizonyíték. Kezdjük az esetet, ha c\u003e 0. Tegyük a különbséget a numerikus egyenlőtlenség bal és jobb részei között: A · C-B · C \u003d (A-B) · c. A 0, akkor a termék (A-B) · C jelentése negatív szám, mint az A-B negatív számú, pozitív C számon (ami következik). Következésképpen a · C-B · C<0 , откуда a·c

A figyelembe vett tulajdonságok igazolására a helyes numerikus egyenlőtlenség mindkét részének azonos számú részét nem áll meg, mivel az osztás mindig 1 / c-vel történő szorzással helyettesíthető.

Nézzünk meg egy példát a szétszerelt tulajdonság alkalmazására meghatározott számokon. Például a hűséges numerikus egyenlőtlenség mindkét részét 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Az újonnan szétszerelt tulajdonságból a numerikus egyenlőség mindkét részének szorzása után két gyakorlatilag értékes eredményt követnek. Így megfogalmazzák őket következmények formájában.

Az ebben a bekezdésben szétszerelt összes tulajdonság ötvözi azt a tényt, hogy először a hű numerikus egyenlőtlenség, és belőle, néhány manipulációval az egyenlőtlenség részei, a másik hűséges numerikus egyenlőtlenség. Most bemutatunk olyan tulajdonságok blokkját, amelyekben eredetileg nem egy, de számos hű numerikus egyenlőtlenség, és az új eredmény a megosztásból származik, miután hozzáadjuk vagy megszorozzuk alkatrészeiket.

Ha az A, B, C és D számok tisztességes egyenlőtlenségek a

Bizonyítjuk, hogy (A + C) - (B + D) - negatív szám, ez bizonyítható, hogy az A + C

Indukcióval ez a tulajdonság három, négy, négy, és általában bármilyen véges számú numerikus egyenlőtlenségre vonatkozik. Tehát, ha az 1, a 2, ..., egy n és b 1, b 2, ..., b n egyenlőtlenségek egy 1 1 + A 2 + ... + A N .

Például három hűséges numerikus egyenlőtlenséget kapunk egy jel -5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Az egyik jel numerikus egyenlőtlenségeit szaporodhat, amelyek mindkét részét pozitív számok képviselik. Különösen két egyenlőtlenség a

Bizonyítani, hogy megnövelheti mindkét részét egyenlőtlen

A megadott tulajdonság érvényes a pozitív részekkel rendelkező hűséges numerikus egyenlőtlenségek véges számának megszorítására. Vagyis, ha egy 1, a 2, ..., egy n és b 1, b 2, ..., b n pozitív szám, és egy 1 a 1 · A 2 · ... · A N .

Különzel, érdemes megjegyezni, hogy ha a numerikus egyenlőtlenségek rögzítésében nincs alapértelmezett szám, mélységszaporodásuk helytelen numerikus egyenlőtlenségekhez vezethet. Például, numerikus egyenlőtlenségek 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• Corollary. Talajszélesség az azonos hűséges egyenlőtlenségeknek az a

Összefoglalva, ahogy ígértük, összegyűjtjük az összes vizsgált tulajdonságot a numerikus egyenlőtlenségek táblázat tulajdonságai:

Bibliográfia.

• MORO M. I.. Matematika. Tanulmányok. 1 cl. nach SHK. 2 ts-ban 1. (az év első felében) / M. I. Moro, S. I. Volkov, S. V. Stepanova. - 6. ed. - M.: Megvilágosodás, 2006. - 112 p.: Il. + Adj. (2 Ki. L. Il.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematika: Tanulmányok. 5 cl. Általános oktatás. Intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Schwartzburg. - 21. Ed., Ched. - M.: Mnemozina, 2007. - 280 p.: Il. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: tanulmányok. 8 cl. Általános oktatás. Intézmények / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Megvilágosodás, 2008. - 271 p. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 2 TSP. 1. Az általános oktatási intézmények hallgatóinak bemutatója / A. Mordkovich. - 11. Ed., Ched. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: Il. ISBN 978-5-346-01155-2.

A magánéletnek való megfelelés fontos számunkra. Emiatt kifejlesztettünk egy adatvédelmi irányelvet, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi irányelveinket, és tájékoztassa minket, ha bármilyen kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és használata

A személyes adatok alapján olyan adatok vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy bizonyos személy azonosítására vagy kommunikációra.

Ön kérhető, hogy bármikor megadja személyes adatait, amikor kapcsolatba lép velünk.

Az alábbiakban néhány példa a személyes adatok típusára, amelyet összegyűjthetünk, és hogyan használhatjuk ezeket az információkat.

Milyen személyes adatok gyűjtünk:

• Amikor elhagyja az alkalmazást az oldalon, gyűjthetünk különböző információkat, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Ahogy használjuk személyes adatait:

• A személyes adatokat összegyűjtöttük, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és jelentse az egyedi javaslatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és a legközelebbi eseményekről.
• Időről időre használhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldéséhez.
• Személyre szabott információkat is használhatunk belső célokra, például könyvvizsgálatra, adatelemzésre és különböző tanulmányokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásaink szolgáltatásainkat, és javaslatokat nyújtsanak szolgáltatásaink számára.
• Ha részt vesz a díjakban, versenyben vagy hasonló ösztönző eseményen, használhatjuk az ilyen programok kezelésére szolgáló információkat.

A harmadik felek számára nyilvánosságra hozatal

Nem fedjük fel a harmadik felektől kapott információkat.

Kivételek:

• Ha szükséges - a tárgyaláson, a bírósági eljárásnak megfelelően, a tárgyaláson és / vagy az állami testületek nyilvános lekérdezéseinek vagy az Orosz Föderáció területén - a személyes adatok felfedezéséhez. Információkat is nyilvánosságra hozhatunk rólad, ha meghatároztuk, hogy az ilyen közzététel szükséges vagy megfelelő a biztonság, a törvény és a rendelés fenntartása, vagy más társadalmi szempontból fontos esetek.
• Az átszervezés, az egyesülések vagy az értékesítés esetében átadhatjuk a személyes adatokat, amelyek összegyűjtik a harmadik félnek - utódot.

A személyes adatok védelme

Tesszük óvintézkedések - beleértve az adminisztratív, műszaki és fizikai -, hogy megvédje a személyes adatokat az elvesztése, ellopása, és gátlástalan felhasználása, valamint a jogosulatlan hozzáférés, nyilvánosságra hozatal, változások és a pusztítás.

A magánéletnek a vállalati szinten való megfelelés

Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy személyes adatainak biztonságosak, a titoktartás és a biztonság normáját alkalmazzuk alkalmazottainknak, és szigorúan követjük a titoktartási intézkedések végrehajtását.