A Stewart professzor hihetetlen számai. Modern High-Tech Technologies Minden Pythagora háromszög

Blossomy i.m. egy

1 oao "angstromm"

A munka célja olyan módszerek és algoritmusok kidolgozása, amelyek az A2 + B2 \u003d C2 formanyomtatványok Pythagora-trokjainak kiszámításához szolgálnak. Az elemzési folyamatot a szisztematikus megközelítés elveivel összhangban végeztük. Matematikai modellekkel együtt grafikus modelleket használnak, amelyek tükrözik a pythagorenoy három tagját kompozit négyzetek formájában, amelyek mindegyike egy négyzetből áll. Megállapították, hogy a Pythagora Trok végtelen készlete végtelen számú alcsoportot tartalmaz, amelyek különböznek a B-C különbségi értékeinek jelében. Javasoljuk a pythagorovy trokok képződésének algoritmusát a különbség meghatározott értékének befecskendezésével. Megmutatjuk, hogy Pythagoras Trojka létezik bármilyen értékhez 3≤a

Pitagora trojka

rendszer elemzése

matematikai modell

grafikai modell

1. Alosov D.N. Nézd meg a matematikát és valamit. - M.: MCNMO, 2003. - 24 p.: Il.

2. Ayereland K., Rosegen M. Klasszikus bevezetés a számok modern elmélete. - M.: Mir, 1987.

3. Bloomless i.m. Szisztémás elemzés és információs technológiák a szervezetekben: egy bemutató. - M.: Rudn, 2012. - 392 p.

4. Simon Singh. Nagy mezőgazdasági gazdaság.

5. Farm P. Tanulmányok a számok és a diofanty analízis elméletéről. - M.: Science, 1992.

6. Yaptro. UCOZ, elérhető: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

A Pythagora Trojka egy három egész szám, amely kielégíti a Pytagora X2 + Y2 \u003d Z2 arányát. Általánosságban elmondható, hogy ez a diabhith egyenletek különleges esete, nevezetesen az egyenletek rendszere, amelyekben az ismeretlenek száma több, mint az egyenletek száma. Régóta ismertek, mivel a babiloni idő, azaz a Pythagora előtt. És megszerezték a nevet, miután Pythagoras alapú, bizonyította híres tételét. A számos forrás elemzéséből az alábbiak szerint azonban a Pythagorovy Trojka kérdése bizonyos mértékben befolyásolja a meglévő osztályok kérdését, és a lehetséges kialakulás lehetséges módjait teljes mértékben közzéteszik.

Tehát Simon Singha könyvében azt mondja: - "Pythagora tanulók és követői ... azt mondtuk, hogy az úgynevezett Pythagorovy három K. A következőre azonban olvasom ezt: - "Pythagoreans álmodott más pythagorean trojka, más négyzetek, amelyek közül a harmadik négyzet nagyméretű. ... Ahogy a számok növelése, a trojka Pitagorasz valaha ritkábban, és megállapította, egyre nehezebb és nehezebb. A Pythagoreans feltalálta az ilyen hármasok megtalálásának módját, és felhasználva azt bizonyította, hogy végtelenül sok pythagorovy trunk.

Az adott idézetben a zavarodást okozó szavak kiemelik. Miért álmodott a Pythagoreans arról, hogy megtalálják ... ", ha" feltalálták az ilyen háromszorosok megtalálásának módját ... ", és miért nehezebb és nehezebbé válik őket."

A híres matematika D.V. Anosov a kívánt válasznak tűnik. - "Vannak ilyen jellegű témák (azaz az egész pozitív) számok x, y, z, hogy

x2 + Y2 \u003d Z2. (egy)

... Lehet-e megtalálni az X2 + Y2 \u003d Z2 egyenlet összes megoldását a természetes számokban? …Igen. A válasz: minden ilyen megoldás képviselhető

x \u003d L (M2-N2), Y \u003d 2LMN, Z \u003d L (M2 + N2), (2),

ahol L, M, N jelentése természetes szám, m\u003e n, vagy hasonló formában, amelyben az x és y helyeken változik. Az X, Y, Z (2) az X, Y, Z (2) mindenféle természetes L és M\u003e n értéke az összes lehetséges megoldás (1) lényege az X és Y átrendeződés pontosságával. Például a trojka (3, 4, 5) L \u003d 1, M \u003d 2, N \u003d 1-en kapható. ... Úgy látszik, a babiloniak tudták ezt a választ, de ahogy jöttek hozzá - ismeretlen. "

Általában a matematikusok ismeretesek a megfogalmazás szigorításához. De ebben az idézetben egy ilyen szigorú nem figyelhető meg. Tehát pontosan: megtalálni vagy jelen? Nyilvánvaló, hogy ezek teljesen más dolgok. Ez a "frissen sült" utazások emelése (az alábbiakban ismertetett módszerrel):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Nem kétséges, hogy mindegyik háromszor ábrázolható, mint egy kapcsolat (2), és kiszámítja ezt az értéket L, M, n. De ez már az összes utazás után történt. És hogyan kell korábban?

Lehetetlen kizárni azt a tényt, hogy a kérdésekre adott válaszok régóta ismertek. De valamilyen oknál fogva nem lehetett megtalálni őket. Így ennek a munkának a célja a Pythagora Trok ismert példáinak szisztémás elemzése, a különböző hármasok különböző csoportjaiban történő rendszerképző kapcsolatok keresése és a csoportokra jellemző szisztémás jelek azonosítására Triples előre definiált konfigurációval. A konfiguráció alatt meg fogjuk érteni a hármas részét képező nagyságrendek közötti kapcsolatot.

Eszközkészletként egy matematikai berendezést olyan szinten használnak, amely nem hagyja el a középiskolában tanított matematika körét, és a rendszeres elemzést a.

Építési modell

A rendszerelemzés szempontjából bármely Pytagorova trojka egy olyan rendszer, amelyet a három szám és azok tulajdonságai vannak. A készletük, amelyben az objektumok bizonyos kapcsolatokat szállítanak, és olyan rendszert alkotnak, amely olyan új tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek nem terjednek ki az egyes tárgyakban vagy bármely más égésben, ahol az objektumok más kapcsolatokba kerülnek.

Az (1) egyenletben a rendszer tárgyai az egyszerű algebrai arányokhoz kapcsolódó természetes számok: az egyenlőség jelének bal oldalán megéri a két 2 számú számot, a jobb oldalon - a harmadik számot, Szintén felállt. 2. Az esélyegyenlőség bal oldalán kívüli számok, a 2-es fokozatra épülnek, nem írnak elő korlátozást az összegzésük működéséről - az így kapott összeg lehet. De az esélyegyenlőség jele, amelyet az összegzés művelete után szállítottak, a rendszer korlátozását adják az összeg értékére: az összegnek olyan számnak kell lennie, hogy a négyzetgyökerelés működésének eredménye természetes szám volt. És ez a feltétel nem az egyenlőség bal oldali részébe helyettesített számok esetében történik. Így az egyenlőség megjelölése, amelyet az egyenlet két tagja és a harmadik tag között szállítottak, az első három tagot fordítják. Ennek a rendszernek az új tulajdonsága az, hogy korlátozza a kezdeti számok értékeit.

A felvétel formája alapján a Pytagorova trojka egy olyan geometriai modellnek tekinthető, amely három négyzetből áll, amelyek három négyzetből állnak az összegzés és az egyenlőség viszonyával, amint az az 1. ábrán látható. 1. ÁBRA. Az 1. ábra a vizsgált rendszer grafikus modellje, és a verbális modell egy nyilatkozat:

A C hosszúságú négyzet alakú területet két négyzet nélkül oszthatjuk meg, az A és B felek hosszával, úgyhogy a területük összege megegyezik a forrás tér területével, azaz mindhárom Az A, B és C értékei a kapcsolathoz kapcsolódnak

Grafikus modell bomlása a téren

A rendszerelemzés kanonok részeként ismert, hogy ha a matematikai modell megfelelő módon jeleníti meg egy bizonyos geometriai rendszer tulajdonságait, akkor maga a rendszer tulajdonságainak elemzése lehetővé teszi a matematikai modell tulajdonságainak tisztázását, mélyebb, hogy ismerje meg őket, tisztázza, és ha szükséges, javítsa. Tehát ragaszkodunk hozzá.

Tisztázzuk, hogy a rendszerelemzés elvei szerint az adagolás és a kivonás műveletei csak az összetett tárgyakon, azaz az elemi objektumok készletéből állnak. Ezért bármilyen négyzetet fogunk észlelni, mint az elemi vagy egy négyzetek összességét. Ezután a természetes számban lévő megoldás megszerzésének feltétele megegyezik azzal a feltétellel, hogy egyetlen négyzet oszthatatlan.

Az egy négyzetet négyzetnek nevezik, amelyben az egyes oldalak hossza egyenlő. Vagyis egy négyzet alakú terület meghatározza a következő kifejezést.

A tér mennyiségi paramétere a terület, amelyet az egyes négyzetek száma határoz meg, amelyek ezen a területen helyezhetők el. Az X2 tetszőleges értékű négyzet esetében az X2 expresszió meghatározza a négyzet alakú négyzet négyzet méretét az egység szegmensében. Az X2 egyetlen négyzetét a négyzet négyzetére lehet elhelyezni.

Ezek a definíciók triviálisnak és nyilvánvalónak tekinthetők, de ez nem. D.n. Az Anosov meghatározza a terület fogalmát másképp: - "... az ábra területe megegyezik az alkatrészek területének összegével. Miért bízunk benne, hogy ez az? ... Elképzeljük el, hogy egy homogén anyagból készült alak, akkor területe arányos a benne foglalt anyagok mennyiségével - tömege. Az alábbiak azt jelentik, hogy amikor a testet több részre osztjuk, a tömegük összege megegyezik a forrás test tömegével. Ez érthető, mert minden atomokból és molekulákból áll, mivel a számuk nem változott, akkor a teljes tömegük nem változott ... Végül is, egy homogén anyag tömege arányos a térfogatával; Tehát meg kell tudni tudni, hogy a "lap" térfogata, amelynek formája ez a szám, arányos a területével. Egy szóban ... hogy az ábra alakja megegyezik a részei négyzetének összegével, a geometriában, meg kell bizonyítani. ... A Kiselev tankönyvben egy olyan terület létezése, amely ugyanolyan tulajdonsággal rendelkezik, amelyet jelenleg már megvitattunk, őszintén feltételezhető, mint egyfajta feltételezés, és azt mondták, hogy ez valójában igaz, de nem fogjuk bizonyítani. Tehát a Pythagoreo tétel, ha bizonyították a négyzetek, akkor továbbra is bizonyítottan tisztán logikusan. "

Úgy tűnik számunkra, hogy az egyetlen négyzet fenti definíciója eltávolítja a megadott D.N. Anosovo bizonytalanság. Végül is, ha a négyzet és a téglalap nagysága az egyes négyzetek kitöltésének összegét határozza meg, majd az önkényes téglalap felosztásakor természetesen a téglalap területének egymás melletti részeihez tartozik egyenlő az összes részének összegével.

Ráadásul a bevezetett meghatározások eltávolítják a "megosztott" és "hajtás" fogalmát az absztrakt geometriai darabok tekintetében. Valójában mit jelent, hogy megosztja a téglalapot vagy bármely más lapos alakot a részéről? Ha ez egy papírlap, akkor ollóval vágható le. Ha a földterület kerítést kell tennie. A szoba a partíció elhelyezése. És ha ez a térköz? Vezessen egy osztóvonalat, és állítsa be, hogy a négyzet megosztott? De, mert mondtam D.I. Mendeleev: "... mindent mondhatsz, és te - nézek, bizonyítom!"

És amikor a javasolt definíciókat használjuk, "az ábra megosztása" azt jelenti, hogy megosztjuk az egyes négyzetek számát, töltse ki ezt az ábrát két (vagy több) részre. Az egyes részek száma mindegyik részben meghatározza annak területét. Ezeknek az alkatrészeknek a konfigurációja tetszőleges, de ugyanakkor a területük összege mindig megegyezik a forrásszám területével. Talán a matematikai szakemberek ezeket az érveket helytelenek fogják találni, akkor a feltételezésre fogjuk venni őket. Ha az ilyen feltételezések elfogadhatók a Kiselev tankönyvben, akkor nem fogunk hasonló vételt használni.

A rendszerelemzés első szakasza a probléma helyzetének azonosítása. E szakasz elején több száz pitagora háromszorosát találtak különböző forrásokban. Ugyanakkor a figyelem vonzotta azt a tényt, hogy a pulzusokban említett Pythagora troks teljes készlete több olyan csoportra osztható, amely a konfigurációban különbözik. Egy adott konfiguráció jele az eredeti és kivonható négyzetek oldalának hosszainak különbségének tekinthető, azaz a C-b értéke. Például publikációkban háromszor mutatják példaként, kielégítve a C-B \u003d 1 állapot kielégítését. Feltételezzük, hogy az ilyen Pythagora hármasok teljes kombinációja sokat jelent, hogy "C-1 osztály" -nak nevezzük, és elemezze az osztály tulajdonságait.

Tekintsük az ábrán bemutatott három négyzetet, ahol C a csökkent négyzet oldalának hossza, B a négyzet oldalának hossza és a - a különbségükből kialakított rész hossza. Ábrán. 1 Látható, hogy amikor kivonják a redukálható tér négyzetének csökkentett négyzetének területét a maradékban, két csíkot tartalmaz egyetlen négyzet:

Annak érdekében, hogy a maradék, hogy képes legyen négyzetet alkotni, meg kell felelnie az állapotnak

Ezek a kapcsolatok lehetővé teszik, hogy meghatározzák a trojka valamennyi tagjának értékeit egyetlen meghatározott C számmal. A legkisebb C szám, amely megfelel a kapcsolatot (6) a C \u003d 5 szám. Tehát a kapcsolatot (1) kielégítő négyzetek mindhárom oldalának hossza definiáltuk. Emlékezzünk vissza, hogy a középső négyzet oldal értéke

Úgy döntöttünk, amikor úgy döntöttünk, hogy átlagos négyzetet alkotunk, az egységenkénti kezdeti négyzet oldalának csökkentésével. Ezután a kapcsolatok (5), (6). (7) A következő arányt kapjuk:

amelyből következik, hogy a kiválasztott érték C \u003d 5 egyedileg beállítja a B \u003d 4, A \u003d 3 értékeket.

Ennek eredményeképpen a kapcsolatok a Pythagorov három "C - 1" osztály képviseletére kerültek ebben a formában, ahol az összes három tag értékeit egy meghatározott paraméterrel határozzák meg - a C értéket:

Hozzáadjuk, hogy a fenti példában szereplő 5-ös szám minimálisnak tűnt az összes C értéknek, amelyben a (6) egyenletnek van megoldása természetes számokban. A következő szám ugyanazon tulajdonsággal 13, majd 25, majd 41, 61, 85 stb. Mint látható, ebben a számban a szomszédos számok közötti időközök intenzíven növekednek. Tehát például a megengedett érték után a következő megengedett érték, és utána a következő megengedett érték, azaz a megengedett érték az előző több mint ötvenmillióból származik!

Most világos, hogy ez a kifejezés a könyvben jelent meg: - "Ahogy a számok növekednek, a trojka pitagorák valaha is kevésbé vannak, és nehezebbé és nehezebbé válnak ...". Ez az állítás azonban nem igaz. Érdemes megnézni a felső peborárokat, amelyek megfelelnek a szomszédos C-értékek fent említett pároknak, mivel az egyik funkció azonnal feltűnő - mindkét párban, amelyben a C értékek elválaszthatók ilyen nagy intervallumok, értékek A szomszédos páratlan számok. Valóban, az első párban van

És a második pár számára

Tehát "minden kevésbé gyakori" nem a csapatok maguk, és a C szomszédos értékek közötti időközönként növekszik. A trojka pitagorák maguk is, mint az alábbiakban, létezik bármilyen természetes számra.

Most tekintse meg az első három - "C-2 osztály". Amint az az 1. ábrán látható. 1, ha egy négyzet alakú négyzetből levonva (C-2), egy maradékot képeznek a két egységsáv összege formájában. Az összeg értékét az egyenlet határozza meg:

Az egyenletből (10) olyan kapcsolatot kapunk, amely meghatározza a "C-2" Trok osztály végtelen csoportjának bármelyikét:

A természetes számokban (11) egyenletes oldatának létezésének feltétele, amely olyan C érték, amelyben az A természetes szám. A Minimális C érték, amelyben a megoldás létezik, a C \u003d 5. Ezután a háromszorosok ezen osztályának "start" hármasát az A \u003d 4, B \u003d 3, C \u003d 5. beállított határozza meg. Ez ismét egy klasszikus Három képződik 3, 4, 5, csak most a kivonott tér területe kisebb, mint a maradék terület.

Végül elemzi a C-8 osztályú háromágyat. A háromszorosok ezen osztályához, amikor kivonja a tér négyzetét az eredeti tér S2 négyzetétől, megkapjuk:

Ezután az egyenletből (12) következik:

A minimális C érték, amelyben a megoldás létezik: Ez a C \u003d 13. pytagorova trojka. Ugyanakkor az érték 12, 5, 13 formanyomtatványt vesz igénybe. Ebben az esetben ismét a kivonható tér területe kevesebb mint a maradék terület. És a kijelölést helyek szerint, három 5, 12, 13, amely konfigurációjában a "C - 1" osztályra utal. Úgy tűnik, hogy a többi lehetséges konfiguráció további elemzése nem működik alapvetően.

Az elszámolási kapcsolatok származéka

Az előző szakaszban az elemzési logika a rendszerelemzés követelményeinek megfelelően alakult ki az öt fő szakaszban: a probléma helyzetének elemzése, a célok kialakulása, a funkciók kialakulása és a szerkezet kialakítása. Most itt az ideje, hogy költözzön a végső, ötödik szakasz - Ellenőrizze a megvalósíthatóságot, vagyis annak ellenőrzése, hogy a célok milyen mértékben érhetők el. .

Az alábbiakban az asztal. 1, amelyben a C - 1 osztályhoz tartozó Pythagora trokok értékei. A legtöbb hármas a különböző kiadványokban található, de a 999-es, 1001 értékű, jól ismert kiadványokban található csapatok nem teljesültek.

Asztal 1

Pytagora Trojka osztály "C-1"

Ellenőrizhető, hogy mindhárom kielégíti a kapcsolatot (3). Így az egyik célállomást el kell érni. A (9), (11), (13) előző részében kapott kapcsolatok lehetővé teszik, hogy végtelen hármas készletet képezzen, a csökkenő négyzet egyetlen paraméterének beállítása. Ez természetesen konstruktívabb lehetőség, mint az arány (2), amelynek alkalmazása az L, M, N háromszámú, bármilyen jelentése, majd keresse meg az oldatot, tudva, hogy csak a végén, Természetesen a pytagorova trojate, és milyen előzetesen ismeretlen. A mi esetünkben a hármas formable kialakítása előre ismert, és csak egy paramétert kell megadni. De sajnos, nem a paraméter minden egyes értékére, a megoldás létezik. És előzetesen meg kell ismerni az érvényes értékeit. Tehát a kapott eredmény jó, de messze az ideális. Javasoljuk, hogy olyan megoldást kapjunk, hogy a Pythagora trojka kiszámítható önkényesen meghatározott természetes számra. Ebből a célból visszatérünk a negyedik szakaszba - az így kapott matematikai kapcsolatok szerkezetének kialakulása.

Mivel a C érték kiválasztása alapvető paraméterként, hogy meghatározza a trojka többi tagját, kényelmetlennek bizonyult, egy másik lehetőséget kell végrehajtani. Amint az a táblázatból látható. 1, az A paraméter kiválasztása előnyösebb, mivel ennek a paraméternek az értékei sorban számos furcsa természetes számban vannak. Egyszerű átalakítások után a kapcsolatot (9) konstruktív formába adjuk:

Kapcsolatok (14) Engedje meg, hogy megtalálja a csúcsminőségű Topagorovot a megadott páratlan érték gátlására. Ezzel az egyszerű expresszióval a B számára lehetővé teszi, hogy számológép nélkül számoljon. Valójában, például a 13-as számot választjuk:

És a 99-es számért kapjuk:

Kapcsolatok (15) Engedje meg, hogy a Pythagorelovoy mindhárom tagjának értékeit bármely adott n értéket kapja, az N \u003d 1-el.

Most fontolja meg Pythagora Trojka osztály "C - 2". A lapon. A 2. példát tíz ilyen utat adunk. Ráadásul csak három pár hármas volt a jól ismert kiadványokban - 8, 15, 23; 12, 35, 36; és 16, 63, 65. Ez elég volt ahhoz, hogy meghatározza azokat a mintákat, amelyekre keletkeznek. A fennmaradó hét a korábban származtatott arányokból (11). A kényelem érdekében ezeknek a kapcsolatoknak a kiszámítását úgy alakították át, hogy az összes paraméter az A értékben fejeződött be. A (11) -tól nyilvánvalóan következik, hogy mindhárom a C-2 osztály számára megfelel a következő kapcsolatoknak:

2. táblázat

Pythagora trojka osztály "C-2"

Amint az a táblázatból látható. 2, A "C-2" osztály végtelen csoportja két alosztályra osztható. A hármas esetében, amelyben az A érték 4-es maradék nélkül oszlik meg, a B és C értékek páratlanok. Ilyen három, amelyben a csomópont \u003d 1-et primitívnek nevezik. Triple esetében, amelyben az A értékeket nem osztják 4 egész számra, mindhárom három tagja a hármas A, B, C - egyenletes.

Most forduljunk a kiválasztott osztályok harmadik részének elemzésének eredményeihez - "C - 8" osztály. Az ilyen osztályba tartozó számítási arányok (13), az űrlap:

A kapcsolatok (20), (21) lényegében azonosak. A különbség csak a cselekvések sorozata van. Vagy a (20) szerint a kívánt A érték van kiválasztva (ebben az esetben ez az érték 4) van elosztva, majd meghatározzák a B és C értékeket. Vagy tetszőleges számot választanak ki, majd a kapcsolatokból (21) a PythyGore hármas három tagja határozza meg. A lapon. A 3. ábra a megadott módszerrel számított Pythagora háromszorosát mutatja. Azonban még könnyebb kiszámítani a Pythagora trok értékeit. Ha legalább egy értéket ismerünk, akkor az összes későbbi értéket egyszerűen a következő arányok határozzák meg:

3. táblázat.

Az igazságszolgáltatás (22) mindenki számára ellenőrizhető, mint az első három. 2 és más források. Például a táblázatban. 4 dőlt betű, három a Pythagora Troks (10000 háromszoros) kiterjedt táblájából, a számítógépes program (2) és a merész - háromra számított, az összefüggéssel (20) számítása alapján számítva. Ezek a megadott táblázatban lévő értékek hiányoztak.

4. táblázat.

Pythagora trojka osztály "C-8"

Ennek megfelelően az arányok felhasználhatók a fajok háromszorosára:

És hármas típusra<\u003e, van az arány:

Hangsúlyozni kell, hogy a Trob "C - 1", "C - 2", "C - 8", az első ezer hármas között több mint 90% -ot tesz ki, az alábbi táblázatból. Ez olyan okokat ad arra, hogy a megadott osztályokat alapként érzékeljék. Hozzáteszi, hogy ha a származtatott kapcsolatok (22), (23), (24), a számok elméletében vizsgált számok (egyszerű, kölcsönösen egyszerű stb.) Nem használtak. A Pythagora háromlövezeti képződésének azonosított mintái csak a három geometriai figura által leírt rendszer tulajdonságaiból következnek, amelyek egy négyzetből álló négyzetből állnak.

Következtetés

Most, ahogy Andrew Wales 1993-ban mondta: "Azt hiszem, abbahagynom ezt." A cél teljes mértékben megvalósul. Az eredmények azt mutatják, hogy az elemzés a tulajdonságok a matematikai modellek, melynek szerkezete van társítva geometriai formák jelentősen egyszerűsíthető, ha, a folyamat az elemzés, valamint tisztán matematikai számítások, geometriai tulajdonságai a modellek vizsgált figyelembe veszik . Az egyszerűsítés megvalósul, különösen annak a ténynek köszönhetően, hogy a kutató "látja" a kívánt eredményeket matematikai átalakítások elvégzése nélkül.

Például az egyenlőség

nyilvánvalóvá válik, anélkül, hogy a bal oldali átalakulások lenne, érdemes csak az 1. ábrára nézni. 1, ahol az egyenlőség grafikai modellje adódik.

Ennek eredményeként az elvégzett elemzés alapján kimutatták, hogy az oldal bármely négyzetére, a B és C oldalsó négyzetek megtalálhatók, úgy találhatók, hogy az egyenlőséget elvégezzük, és arányokat kapunk, amelyek biztosítják az eredmények eredményeit minimális számítási volumen:

a páratlan értékekhez,

És - érdemes értékekre.

Bibliográfiai referencia

Blossomy i.m. A Pythagorovy Trok // modern csúcstechnológiák tulajdonságainak szisztémás elemzése. - 2013. - № 11. - P. 135-142;
URL: http: // webhely / ru / cikk / nézet? ID \u003d 33537 (a kezelés dátuma: 2010.03.03.). Figyelembe vesszük a "Természettudományi Akadémia" kiadói házban kiadott magazinokat Tanítás: Vizsgálja meg a Pythagora Trok-ot, fejlesztse az algoritmusokat különböző helyzetekben, készítsen egy emlékeztetőt, hogy használja őket.

Nevelési: A tudatos hozzáállás kialakulása a tanuláshoz, a kognitív aktivitás fejlesztése, az oktatási munka kultúrája.

Fejlesztés: Geometriai, algebrai és numerikus intuíció, intelligencia, megfigyelés, memória fejlesztése.

Az osztályok során

I. Szervezeti pillanat

II. Az új anyag magyarázata

Tanár: A Pythagorovy Trinok vonzó erejének rejtélye hosszú aggódott az emberiséggel. A Pythagora Trok egyedülálló tulajdonságai megmagyarázzák a természet, a zene, a matematika különleges szerepét. Pythagorovo varázslat, Pythagora tétel, a milliók agyában marad, ha nem milliárd ember, emberek. Ez egy alapvető tétel, hogy kihívást jelent, amely mindenkit kényszerítette. Annak ellenére, hogy a Pythagora tétel egy évtizedes megértéssel áll rendelkezésre, ez a probléma inspiráló elve, amelynek határozatában a Fiasco volt a legnagyobb elme a matematika történetében, a farm tételében. Pythagoras a Samos-szigeteken (lásd 1. melléklet , slide 4.) Ez volt a matematika egyik legbefolyásosabb és mindazonáltal titokzatos alakja. Mivel az életének és munkájának megbízható jelentései nem voltak megőrizve, az életét a mítoszokban és a legendákban borították, és a történészeket nehéz elválasztani a fikcióból származó tényeket. Nem kétséges azonban, hogy Pythagoras kifejlesztette a számok logikáját, és hogy ez volt neki, hogy tartozunk a matematika első aranykorának. A zseniálisnak köszönhetően a számok megszűntek csak számlákra és számításokra, és először értékelik. A Pyfagor tanulmányozta a számok egyes osztályai, a köztük lévő kapcsolat tulajdonságait és a számokat alkotó formákat. Pythagorák rájöttek, hogy a számok függetlenül vannak az anyagi világtól, ezért érzékeink pontatlanságai nem befolyásolják a számok tanulmányozását. Ez azt jelentette, hogy Pythagorák lehetőséget kaptak arra, hogy valakitől vagy előítéletektől függetlenül nyitják meg az igazságokat. Az igazság abszolútabb, mint bármely korábbi tudás. A Pythagora Trokra vonatkozó tanulmányozott szakirodalom alapján érdeklődünk a Pythagora Troks használatának lehetősége, amikor a trigonometriai problémák megoldása során. Ezért célul tűztük cél: tanulni számos Pythagora Trok, fejlesztése algoritmusok azok használatáról készít egy feljegyzést a használatukra, tanulmányt alkalmazásával azokat a különböző helyzetekben.

Háromszög ( slide 14.), amelynek aságai egyenlőek Pythagorákkal, téglalap alakúak. Ezenkívül minden ilyen háromszög Heonov, vagyis Amelyben minden fél és a terület egész szám. A legegyszerűbbek egy egyiptomi háromszög a felekkel (3, 4, 5).

Számos Pythagora trokot készítünk a számok (3, 4, 5) és 2 közötti szorzásával, 3-ig. Számos Pythagora Troks-t kapunk, rendezze őket a maximális szám növekedéséhez, válassza ki a primitív lehetőséget.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Az osztályok során

1. Csavarja meg a feladatokat:

1) az azonos érv trigonometrikus funkciói közötti kapcsolat felhasználásával keresse meg, ha

ismert tény .

2) Keresse meg a szög trigonometrikus funkcióinak értékét, ha ismert, hogy:

3) A képzési feladatok rendszere a témához "hozzáadása" képlete "

tudva, hogy a sin \u003d 8/17, cos \u003d 4/5, és - az első negyed szöge, keresse meg a kifejezés értékét:

tudván, hogy mind a második negyedév szöge, sin \u003d 4/5, cos \u003d - 15/17, megtalálja :.

4) A "kettős szögű képlet" képzési feladatok rendszere

a) Legyen SIN \u003d 5/13, - a második negyed szöge. Keresse meg a sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Ismeretes, hogy Tg? \u003d 3/4, - a harmadik negyedév szöge. Keresse meg a sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Ismeretes, hogy 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Ismeretes, hogy , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Keresse meg a TG (+), ha ismert, hogy cos \u003d 3/5, cos \u003d 7/25, ahol az első negyedév sarkai.

f) keresse meg - a harmadik negyedév szöge.

Megoldjuk a problémát egy hagyományos módszerrel az alapvető trigonometrikus identitások alkalmazásával, majd ugyanazokat a feladatokat oldja meg, mint a racionálisabb módon. Ehhez használja az algoritmust a Pythagora Trok használatával kapcsolatos problémák megoldására. A Pythagora Trok használatával kapcsolatos problémák megoldását teszünk. Ehhez emlékezzünk a sinus, a koszinusz, a tangens és a katangén definíciójára, a téglalap alakú háromszög akut szöge, attól függően, hogy milyen feltétele a probléma körülményei a téglalap alakú háromszög helyesen kifejezi a trojka pythagorákat ( Ábra. egy). Rögzítse az arányt és a jeleket. Az algoritmust fejlesztették ki.

1. kép

Algoritmus megoldása feladatok

Ismételje meg (feltárja) elméleti anyagot.

A primitív pythagora trojka alapján, és szükség esetén újak lehetnek.

Alkalmazza a Pythagore tételeket a racionális koordinátákkal rendelkező pontokért.

Megismerkedni a sinus, cosinus, tangens és catangens a hegyesszög egy téglalap alakú háromszög, tudja, hogy bemutassanak egy derékszögű háromszög, és állapotától függően a feladat, hogy megfelelően gondoskodjon a peboros oldalán a háromszög.

Ismeri a jelei sinus, cosinus, tangens és catangent, elhelyezkedéstől függően a koordinátarendszerben.

Szükséges követelmények:

1. tudja, hogy a sinus, a cosine, a tangens, a kotangenesek melyik jelei vannak a negyedik koordináta síkban;
2. ismerje meg a szinusz, a koszinusz, a tangens és katangens definícióját a téglalap alakú háromszög akut szögének;
3. tudják és képesek alkalmazni Pythagore tételét;
4. a fő trigonometriai identitások ismerete, a hozzáadás képlete, a kettős szög képlete, a félszög képlete;
5. ismerje meg a hozzátartozás képletét.

Figyelembe véve a fentieket, töltse ki a táblázatot ( asztal 1). A sinus, a koszinusz, a tangens és a katangens definícióját követően kitöltenie kell, vagy a Pythagorean Tételek használata racionális koordinátákkal. Ugyanakkor folyamatosan meg kell emlékezni a sinus, a koszinusz, a tangens és a kategens jeleire, attól függően, hogy a koordináta síkjában lévő helyüketől függően.

Asztal 1

		Három szám		bűn.	kötözősaláta.	tg.	cTG.
		(3, 4, 5)	én
		(6, 8, 10)	II h			-	-
		(5, 12, 13)	Iii h	-	-
		(8, 15, 17)	Iv h	-		-	-
		(9, 40, 41)	én

A sikeres munkához használhatja a Pythagora Trok használatának emlékeztetőjét.

2. táblázat

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Együtt döntünk.

1) Feladat: Keresse meg a COS, TG és CTG-t, ha a SIN \u003d 5/13, ha a második negyedév szöge.

Pythagoras három szám

Kreativ munka

tanuló 8. "A" osztály

Maou "gimnázium №1"

Oktyabrsky kerület Saratov

Panfilova Vladimir

Fej - matematikai tanár a legmagasabb kategória

Grishin irina vladimirovna

Tartalom

Bevezetés ................................................. ............................................... 3.

A munka elméleti része

A fő Pythagorean háromszög megtalálása

(Ősi hinduk formulái) ............................................ ............................ 4

A munka gyakorlati része

Pepagorovy Trins rajzolása különböző módon ........................ ........ 6

A Pythagora háromszögek fontos tulajdonsága .......................................... .. . 8

Következtetés ................................................. ......................................... .... 9

Irodalom ... .............................................. ......................................... ... 10

Bevezetés

Ebben a tanévben a matematika óráiban tanulmányoztuk az egyik legnépszerűbb geometriai tétel - Pythagore tételét. A Pythagora tételét a geometriában minden lépésben használják, a gyakorlatban széles körben használják a gyakorlatban és a mindennapi életben. De maga a tétel maga is tanulmányoztuk a tételeket a Pythagora tételhez. A tétel tanulmányozásával kapcsolatban ismerősünk volt a számok Pythagorovy varrats-jával, azaz. 3 természetes számú készletekkela. , b. ésc. amelyre az arány igaz: = + . Ezek a készletek közé tartoznak például a következő három legjobb:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Azonnal bármilyen kérdése van: hány pythagora trunk jön fel? És hogyan kell őket tenni?

A geometria tankönyvünkben a tétel bemutatása után a fordított tétel, a Pythagora fontos megjegyzést tett: lehet bizonyítani, hogy a kartetde ésb. és hypotenusetól től Négyszögletes háromszögek, amelyek hosszait természetes számokkal fejezik ki, a képletek alapján találhatók:

de \u003d 2kmn b \u003d k ( - ) C \u003d k ( + , (1)

holk. , m. , n. - bármilyen természetes szám, ésm. > n. .

Természetesen a kérdés merül fel - hogyan lehet bizonyítani ezeket a képleteket? És lehetséges, hogy trojka pytagoras ezeken a képleteken?

Munkámban kísérletet tettem a kérdésekre.

A munka elméleti része

A fő Pythagorean háromszög megtalálása (ősi hinduk formulája)

Először is, bizonyítjuk a képletet (1):

A katéterek hosszát jelölih. ésw. , és a hypotenusok hosszaz. . Pythagore tételével egyenlőségünk van:+ = .(2)

Ezt az egyenletet pitagoreális egyenletnek nevezik. A pythagora háromszögek vizsgálata csökkenti az egyenlet (2) természetes számának megoldását.

Ha néhány Pepagorov háromszög mindegyik oldala ugyanabba a számú alkalommal nő, akkor új téglalap alakú háromszöget kapunk, hasonlóan a felekkel, amelyet természetes számok kifejeznek, azaz. Ismét a Pythagora háromszög.

Ezek közül a háromszögek közül a legkisebb, könnyű kitalálni, hogy ez lesz egy háromszög, akinek aságaih. ésw. kölcsönösen egyszerű számokat fejeznek ki

(Csomópont (x, U. )=1).

Ilyen Pythagora háromszög Hívjonalapvető .

Bevezetése a fő Pythagora háromszögek.

Hagyja a háromszöget (x. , y. , z. ) - A fő Pythagora háromszög. Számokh. ésw. - kölcsönösen egyszerű, és ezért nem is lehet. Bizonyítjuk, hogy nem lehetnek furcsaak. Ehhez ezt megjegyezzüka páratlan szám négyzete, amikor a 8-as elosztásra kerül, az 1. maradékot adja. Valójában minden furcsa természetes szám képviselhető2 k. -1 holk. tartozikN. .

Innen: = -4 k. +1 = 4 k. ( k. -1)+1.

Számok( k. -1) ésk. - következetes, egyikük is szükségszerűen is. Ezután kifejezésk. ( k. -1) osztva2 , 4 k. ( k. -1) osztva 8, és ezért a szám a 8-as osztáskor megadja a maradékot 1.

A két páratlan szám négyzeteinek összege akkor adja meg, ha a 2. maradékban 8-val osztja meg, ezért a két páratlan szám négyzeteinek összege a szám, de nem több 4, ezért ez a számnem lehet egy természetes szám négyzete.

Tehát az egyenlőség (2) nem lehet hely, hax. ésw. Mindkettő furcsa.

Így, ha a Pythagora háromszög (x, y, z. ) - A legfontosabb számok közötth. ésw. Az egyiknek is, és a másik páratlan. Hagyja, hogy a szám is legyen. Számokh. ész. furcsa (furcsaságz. az egyenlőségből következik (2).

Az egyenletből+ = Ezt kapjuk= ( z. + x. )( z. - x. ) (3).

Számokz. + x. ész. - x. Mivel az összeg és a különbség két páratlan szám - számok is, és ezért (4):

z. + x. = 2 a. , z. - x. = 2 b. holde ésb. tulajdonosN. .

z. + x. =2 a. , z. - x. = 2 b. ,

z. = a + B. , x. = a. - b. (5)

Ezen egyenletekből következik, hogya. ésb. - kölcsönösen egyszerű számok.

Bizonyítjuk, hogy ellentétesek.

Legyen bólintuk (a. , b. )= d. hold. >1 .

Azutánd. z. ésx. , és ezért számokz. + x. ész. - x. . Ezután az egyenlőség alapján (3) A szám osztója lenne . Ebben az esetbend. a számok közös osztója lennew. ésh. , de a számokw. ésh. Kölcsönösen egyszerűnek kell lennie.

Számw. , ahogy tudod, még így isy \u003d 2s holtól től - természetes szám. Az egyenlőség (3) az egyenlőség alapján (4) a következő űrlapot veszi: \u003d 2a * 2 b. vagy \u003d Ab.

Az aritmetikáról ismert, hogyha a két kölcsönösen egyszerű szám terméke egy természetes szám négyzet, mindegyik szám egy természetes szám négyzete is.

Azt jelentia \u003d. ésb. = holm. ésn. - kölcsönösen egyszerű számok, mert Ezek kölcsönösen egyszerű számok osztóiakde ésb. .

Az egyenlőség alapján (5) van:

z. = + , x. = - , = abszolút = * = ; C \u003d. mn.

Azutány \u003d 2. mn. .

Számokm. ésn. mivel Ezek kölcsönösen egyszerűek, nem lehetnek ugyanabban az időben. De és páratlan egyszerre nem lehet, mert ebben az esetbenx \u003d - Ez lehet, hogy lehetetlen. Szóval, az egyik számm. vagyn. Még egy másik páratlan. Nyilvánvalóany \u003d 2. mn. A 4. Következésképpen oszlik meg 4. Következésképpen minden fő Pythagora háromszögben, legalább az egyik katéter osztva 4. Itt következik, hogy nincsenek Pythagora háromszögek, minden olyan fél, amely egyszerű számok lennének.

A kapott eredményeket a következő tétel formájában fejezzük ki:

Minden nagyobb háromszög, amelybenw. Ez egyenletes szám, amely a képletből származik

x \u003d - , y. =2 mn. , z. = + ( m. > n. ), Holm. ésn. - Minden pár kölcsönösen egyszerű szám, amelyből még egy páratlan (közömbös, mi). Minden nagyobb pythorla trojka (x, y, z. ), holw. - Még - is meghatározható egyedülállóan.

Számokm. ésn. Lehet, hogy akár mindkettő is furcsa, mert Ezekben az esetekben

x \u003d lehetetlen lenne, hogy lehetetlen. Tehát az egyik számm. vagyn. még egy másik páratlan (y. = 2 mn. osztva 4).

A munka gyakorlati része

A Pythagora háromszorosítása különböző módon

A hindu képleteibenm. ésn. - kölcsönösen egyszerű, de lehet az önkényes paritás száma, és a trojka pythagoras elég kemény. Ezért próbáljuk meg találni egy másik megközelítést a Pythagora Trok előkészítéséhez.

= - = ( z. - y. )( z. + y. ), Holh. - páratlan,y. - mégz. - páratlan

v. = z. - y. , u. = z. + y.

= uV holu. - páratlan,v. - páratlan (kölcsönösen egyszerű)

Mivel A két páratlan kölcsönösen egyszerű szám munkája egy természetes szám négyzete, akkoru. = , v. = , Holk. ésl. - kölcsönösen egyszerű, páratlan számok.

z. - y. = z. + y. = k. 2 , ott, hová, összecsukható egyenlőség és levonás egy másik, kapunk:

2 z. = + 2 y. = - azaz

z \u003d. y \u003d. x \u003d kl

k.

l.

x.

y.

z.

37

9

1

9

40

41 (S.zerula)*(100…0 (S.zerula) +1)+1 =200…0 (S-1zerula) 200…0 (S-1zerula) 1

Pythagora háromszögek fontos tulajdonsága

Temető

A fő Pythagora háromszögben az egyik katétkészlet szükségszerűen 4-re oszlik, az egyik katéter szükségszerűen 3, és a Pytazhov háromszög területe határozottan többszörös 6.

Bizonyíték

Mint tudjuk, minden Pythagora háromszögben legalább az egyik katétet 4-el osztja.

Bizonyítjuk, hogy az egyik katéter 3-ra oszlik.

Tegyük fel, hogy a Pythagora háromszögben (x. , y. , z. x. vagyy. Boltos 3.

Most bizonyítjuk, hogy a Pytagorova tér háromszöge 6-mal van osztva.

Bármely Pythagora háromszögnek van egy olyan terület, amelyet természetes szám, többszörös, több 6. Ez következik, hogy a katettek legalább egyike 3-ra oszlik, és legalább az egyik katéter osztva 4. A meghatározott háromszög területe A katéterek összeomlását a 6. számmal kell kifejezni.

Következtetés

Munkában

- az ókori iparágak képlete

- tanulmány a Pythagora hármas számáról (végtelenül sok)

- Pythagorovy Trok megtalálására szolgáló módszerek

- A Pythagora háromszögek bizonyos tulajdonságai

Számomra nagyon érdekes téma volt, és a kérdésekre adott válaszokat nagyon érdekes foglalkozássá vált. A jövőben azt tervezem, hogy Pythagorovy Troks kapcsolata a Fibonacci szekvenciával és a farm tételével, és megtanulja a Pythagora háromszögek több tulajdonságait.

Irodalom

L.S. AtanaSyan "geometria.7-9 osztályok" M.: Megvilágosodás, 2012.

V. Serpinsky "Pythagora Triangles" M.: StockedGIZ, 1959.

Saratov

2014

Ezután vegye figyelembe a hatékony Pythagora trok létrehozását. Pitagoraszi diákok voltak az elsőként feltaláló egy egyszerű módszert generálására pepagorovy tripletek képlet segítségével, amelynek a részei jelentik a Pythagorov trojka:

m. 2 + ((m. 2 − 1)/2) 2 = ((m. 2 + 1)/2) 2 ,

Hol m. - párosítatlan, m.\u003e 2. Igazán,

4m. 2 + m. 4 − 2m. 2 + 1
m. 2 + ((m. 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m. 2 + 1)/2) 2 .
4

Hasonló képlet Javasolt ősi görög filozófus Plato:

(2m.) 2 + (m. 2 − 1) 2 = (m. 2 + 1) 2 ,

Hol m. - Bármilyen szám. -Ért m. \u003d 2,3,4,5 A következő három közülük keletkeznek:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Ahogy láthatod, ezek a képletek nem adhatnak minden lehetséges primitív csapatot.

Látni fogjuk a következő polinomot, amelyet a polinomok sumán rétegezünk:

(2m. 2 + 2m. + 1) 2 = 4m. 4 + 8m. 3 + 8m. 2 + 4m. + 1 =
=4m. 4 + 8m. 3 + 4m. 2 + 4m. 2 + 4m. + 1 = (2m.(m.+1)) 2 + (2m. +1) 2 .

Ezért a következő formulák a primitív háromszorosok megszerzéséhez:

a. = 2m. +1 , b. = 2m.(m.+1) = 2m. 2 + 2m. , c. = 2m. 2 + 2m. + 1.

Ezek a képletek három, ahol az átlagos különbség eltér a legnagyobb zökkenőmentesektől, azaz nem minden lehetséges három is keletkezik. Itt az első három: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11.60,61).

Az összes primitív hármas előállításának módjának meghatározásához a tulajdonukat meg kell vizsgálni. Először is, ha ( a, B, C) - primitív trojka, akkor a. és b., b. és c., de és c. - kölcsönösen egyszerűnek kell lennie. Legyen a. és b. fel vannak osztva d.. Azután a. 2 + b. 2 - osztva is osztva d.. Illetőleg, c. 2 I. c. meg kell osztania d.. Ez nem egy primitív trojka.

Másodszor, számok között a., b. Az egyiknek párnak kell lennie, a másik pedig párosítható. Valóban, ha a. és b. - Pár, akkor tól től Pár lesz, és a számok legalább 2-et oszthatnak meg. Ha mindketten párhuzamosak, akkor 2 k.+1 I 2. l.+1, hol k.,l. - Néhány szám. Azután a. 2 + b. 2 = 4k. 2 +4k.+1+4l. 2 +4l.+1, vagyis, tól től 2, mint a a. 2 + b. 2, ha a 4-es osztásnál van egy maradék 2.

Legyen tól től - bármilyen szám, azaz tól től = 4k.+ÉN. (ÉN.\u003d 0, ..., 3). Azután tól től 2 = (4k.+ÉN.) 2 van egy 0 vagy 1 maradék, és nem lehet maradék 2 a. és b. nem lehet párosítani, azaz a. 2 + b. 2 = 4k. 2 +4k.+4l. 2 +4l.+1 és a divízió egyenlege tól től A 4-es 4-et 1-nek kell lennie, ami azt jelenti, hogy tól től Páratlannak kell lennie.

A Pythagorar trojka elemeire vonatkozó követelmények megfelelnek a következő számoknak:

a. = 2mn., b. = m. 2 − n. 2 , c. = m. 2 + n. 2 , m. > n., (2)

Hol m. és n. - kölcsönösen egyszerű különböző párosított. Első alkalommal ezek a függések ismertté vált az euklid munkáiból, amely 2300 p. Vissza.

Biztosítjuk a függőségek érvényességét (2). Legyen de - Pár, akkor b. és c. - Párosítatlan. Azután c. + b. ÉN. c. − b. - párosított. Ezek képviseltethetők c. + b. = 2u. és c. − b. = 2v.hol u.,v. - Néhány egész szám. ebből kifolyólag

a. 2 = tól től 2 − b. 2 = (c. + b.)(c. − b.) = 2u.· 2. v. = 4uV

És ezért ( a./2) 2 = uV.

Bizonyíthatja a csúnya u. és v. - kölcsönösen egyszerű. Legyen u. és v. - fel vannak osztva d.. Azután ( c. + b.) és ( c. − b.) be vannak osztva d.. És ezért c. és b. meg kell osztania d.És ez ellentmond a pythagoras trojka állapotának.

Mint uV = (a./ 2) 2 és u. és v. - kölcsönösen egyszerű, könnyű bizonyítani u. és v. Néhány szám négyzetnek kell lennie.

Így vannak pozitív egész számok m. és n. , oly módon, hogy u. = m. 2 I. v. = n. 2. Azután

de 2 = 4uV = 4m. 2 n. 2
de = 2mn.; b. = u. − v. = m. 2 − n. 2 ; c. = u. + v. = m. 2 + n. 2 .

Mint b. \u003e 0, akkor m. > n..

Továbbra is megmutatja ezt m. és n. Van egy másik páros. Ha egy m. és n. - Pár, akkor u. és v. Párnak kell lennie, és lehetetlen, mivel kölcsönösen egyszerűek. Ha egy m. és n. - Páratlan, majd b. = m. 2 − n. 2 I. c. = m. 2 + n. 2 lenne pár, ami lehetetlen, mert c. és b. - kölcsönösen egyszerű.

Így minden primitív pytagorova trojka meg kell felelnie a feltételeknek (2). Ugyanakkor a számok m. és n. hívott számok létrehozása Primitív hármas. Például hagyja, hogy van egy primitív pytagorov trojka (120, 119.169). Ebben az esetben

de \u003d 120 \u003d 2 · 12 · 5, b. \u003d 119 \u003d 144 - 25, és c. = 144+25=169,

Hol m. = 12, n. \u003d 5 - Számok létrehozása, 12\u003e 5; A 12. és 5. pedig kölcsönösen egyszerű és különböző párosul.

Az ellenkezőjét bizonyíthatja, hogy a számok m., n. A képletek (2) szerint primitív pepagorov troját (A, B, C) adnak. Igazán,

de 2 + b. 2 = (2mn.) 2 + (m. 2 − n. 2) 2 = 4m. 2 n. 2 + (m. 4 − 2m. 2 n. 2 + n. 4) =
= (m. 4 + 2m. 2 n. 2 + n. 4) = (m. 2 + n. 2) 2 = c. 2 ,

I.e ( a.,b.,c.) - Pytagorova trojka. Bizonyítjuk, hogy egyszerre a.,b.,c. - kölcsönösen egyszerű számok a csúnya. Hagyja, hogy ezek a számok oszlottak legyenek p. \u003e 1. Mivel m. és n. más párosítottak, akkor b. és c. - párhuzamolt, vagyis p. ≠ 2. Azóta r Delit b. és c.T. r Meg kell osztania 2. m. 2 és 2. n. 2, és lehetetlen, mert p. ≠ 2. Ezért m., n. - kölcsönösen egyszerű és a.,b.,c. - kölcsönösen egyszerű.

Az 1. táblázatban az összes primitív pythagoras három, a Formulas (2) által generált m.≤10.

1. táblázat: Primitív Pythagora Troika for m.≤10

m.	n.	a.	b.	c.	m.	n.	a.	b.	c.
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

A táblázat elemzése a következő minták jelenlétét mutatja:

• vagy a.vagy b. osztva 3;
• az egyik szám a.,b.,c. osztva 5;
• szám de osztva 4;
• fogalmazás a.· b. osztva 12.

1971-ben az amerikai matematikusok Taygan és Hedwin hármas generációjára felajánlották a téglalap alakú háromszög kevésbé ismert paramétereit, mint magassága (magasság) h. = c. - B és többlet (siker) e. = a. + b. − c.. Az 1. ábrán. Ezek az értékek néhány téglalap alakú háromszögen jelennek meg.

1. ábra, négyszögletes háromszög és magassága és feleslege

A "felesleges" név abból fakad, hogy ez egy további távolság, hogy át kell mennie a háromszög ügyfelein keresztül egy csúcsról az ellenkezőjére, ha nem követi átlósan.

A pitagoriai háromszög feleslegének és növekedésének révén kifejezhető:

e. 2 e. 2
a. = h. + e., b. = e. + ——, c. = h. + e. + ——, (3)
2h. 2h.

Nem minden kombináció h. és e. Válaszolhat a Pythagora háromszögekre. Egy meghatározott h. Lehetséges értékek e. - Ezek néhány számra szolgálnak d.. Ez a szám d. a növekedés neve és utal h. A következőképpen: d. - Ez a legkisebb pozitív egész szám, amelynek négyzetét 2-re osztják h.. Mint e. többszörös d.Aztán meg van írva e. = kd.hol k. - Pozitív egész szám.

Gőzzel ( k.,h.) Hozhat létre minden Pythagora háromszögek, beleértve intimitive és generalizált, az alábbiak szerint:

(dk) 2 (dk) 2
a. = h. + dk, b. = dk + ——, c. = h. + dk + ——, (4)
2h. 2h.

És az első három primitív, ha k. és h. - kölcsönösen egyszerű és ha h. =± q. 2-re q. - Nem része.
Ezenkívül a pythorla trojka lesz, ha k. \u003e √2 · h./d. és h. > 0.

Megtalálni k. és h. Tól től ( a.,b.,c.) Végezze el a következő műveleteket:

• h. = c. − b.;
• rekord h. mint h. = pq. 2, hol p. \u003e 0 és így nem négyzet;
• d. = 2pq. Ha egy p. - Energiatár I. d. = pq. Ha p pár;
• k. = (a. − h.)/d..

Például a hármas (8,15,17) h. \u003d 17-15 \u003d 2 · 1, így p. \u003d 2 I. q. = 1, d. \u003d 2, és k. \u003d (8 - 2) / 2 \u003d 3. Tehát ez a hármas ( k.,h.) = (3,2).

Az első három (459,1260,1341) h. \u003d 1341 - 1260 \u003d 81, így p. = 1, q. \u003d 9 I. d. \u003d 18, innen k. \u003d (459 - 81) / 18 \u003d 21, így a tripla kódja egyenlő ( k.,h.) = (21, 81).

Trok feladat h. és k. Számos érdekes tulajdonsággal rendelkezik. Paraméter k. egyenlő

k. = 4S./(dP.), (5)

Hol S. = abszolút/ 2 - A háromszög területe, és P. = a. + b. + c. - a kerülete. Az egyenlőségből következik eP. = 4S.ami a Pythagora tételből származik.

Egy téglalap alakú háromszög számára e. Megegyezik a kör háromszögében írt átmérőjű. Ez az a tény, hogy hypotenuse tól től = (de − r.)+(b. − r.) = a. + b. − 2r.hol r. - A kör sugara. Innen h. = c. − b. = de − 2r. és e. = a. − h. = 2r..

-Ért h. \u003e 0 I. k. > 0, k. a hármas sorszáma a.-b.-c. A Pythagora háromszögek növekedésével h.. A 2. táblázatból, ahol a párok által generált utazások több változata képviselteti magát h., k., világos, hogy növekszik k. A háromszög oldalainak mérete növekszik. Így, ellentétben a klasszikus számozással, számozási párokkal h., k. Nagyobb rendben van a hármas szekvenciáiban.

2. táblázat: Pythagora trojka, melyeket h, k.

h.	k.	a.	b.	c.	h.	k.	a.	b.	c.
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

-Ért h. > 0, d. Kielégíti az egyenlőtlenséget 2√ h. ≤ d. ≤ 2h.amelyben az alsó határ elérése p. \u003d 1, és a felső - mikor q. \u003d 1. Ezért az érték d. 2√ h. - Ez egy mértéke, hogy mennyit h. néhány szám négyzetétől távoli.

A természetes számok tulajdonságainak tanulmányozása a Pythagoreans-t az elméleti aritmetikai (számelmélet) egy másik "örök" problémájára vezette - a probléma, amelynek kelbimbója az ókori Egyiptomban és az ősi Babilonban, és az általános megoldás nem volt találtak és megértették. Kezdjük azzal a feladattal, hogy a modern kifejezésekben megfogalmazható, mint ez: a természetes számok megoldása határozatlan egyenlet

Ma ezt a feladatot említik feladat Pythagoraés megoldásai - az (1.2.1) egyenletnek kielégítő természetes számok közül háromnak nevezik pitagora trojka. A Pythagore tételének nyilvánvaló csatolásának köszönhetően Pythagora feladatával az utóbbi geometriai megfogalmazást kaphat: az összes téglalap alakú háromszöget az egész szokásokkal találja meg x., y. és egész hypotenuses z..

A Pythagora feladata, hogy az ősi időkben ismertek voltak. Papyrusban, a fáraó Amenhet I times (kb. 2000 bc), a berlini egyiptomi múzeumban tárolt téglalap alakú háromszöget a felek hozzáállása mellett (). A legnagyobb német történész Matematika M. Kantor (1829-1920) szerint különleges szakma volt az ókori Egyiptomban harphedonaptov - "kötélzorok", amelyek az ülő templomok és a piramisok ünnepélyes ünnepségén egyenes szöget kötöttek egy 12 (\u003d 3 + 4 + 5) egyenértékű csomóponttal rendelkező kötél segítségével. A Harphedonaps egyenes szögének kialakításának módja nyilvánvaló a 36. ábrából.

Azt kell mondani, hogy az ókori matematika különböző ismerete kategorikusan nem ért egyet a kántorral - Van der Warden-val, bár az ókori egyiptomi építészet aránya a kántor javára bizonyságot tesz. Legyen, mint amilyennek lehet, ma a felek hozzáállásakor a téglalap alakú háromszög hívják egyiptomi.

Amint azt a. 76, az agyaglemez megmarad, amely az ősi nem televíziós korszakra vonatkozik, és 15 sor Pythagora háromszorosát tartalmazza. Az egyiptomi (3, 4, 5) 15 (4, 4, 55) szorzás mellett 15 (45, 60, 75), nagyon összetett Pythagoras három, mint például (3367, 3456, 4825) és akár (12709, 13.500, 18541)! Nem kétséges, hogy ezeket a számokat nem az egyszerű jólét, hanem bizonyos szabályok alapján találták meg.

Mindazonáltal a természetes számokban (1.2.1) általános megoldási megoldás kérdése a Pythagoreans is felvetette. A matematikai feladat általános megfogalmazása idegen volt mind az ősi egyiptomiak, mind az ősi babiloniak számára. Csak a Pythagora-ból kezdődik a matematika kialakulását, mint a deduktív tudomány, és az egyik első lépés ezen az úton volt a Pythagora trojka feladatának megoldása. Az egyenlet első megoldásai (1.2.1) egy antik hagyományi munkatársak a Pythagora és a Plato nevével. Próbáljuk meg rekonstruálni ezeket a megoldásokat.

Nyilvánvaló, hogy az (1.2.1) egyenlet (1.2.1) Pythagoras nem analitikus formában gondolkodott, hanem négyzetszám, belül, amelyre szükség volt négyzetszám és. Természetesen az volt, hogy el kell képzelni egy négyzet formájában y. az egyik oldalon z. Forrás tér, azaz .. Ezután könnyű látni a 37. ábrából (csak látni!), Az egyenlőséget a fennmaradó négyzetszám érdekében kell elvégezni. Így megérkezünk a lineáris egyenletek rendszeréhez

Összecsukható és lecsökkenti ezeket az egyenleteket, megtaláljuk az egyenlet megoldását (1.2.1):

Könnyű megbizonyosodni arról, hogy a kapott oldat csak páratlan. Így végre van

Mindkettő. Ez a döntés a hagyományok a Pythagora nevével való kapcsolatát.

Vegye figyelembe, hogy a rendszer (1.2.2) beszerezhető és formálisan az egyenletből (1.2.1.). Valóban,

hinni, eljövetel (1.2.2).

Nyilvánvaló, hogy a Pythagora megoldást meglehetősen kemény restrikcióval () találtuk, és messze a Pythagorov trojától távol tartották. A következő lépés akkor lehet elhelyezni, mivel csak ebben az esetben négyzetszám lesz. Tehát a rendszer előfordul, hogy Pythagorenoy trojka lesz. Most be lehet bizonyítani a főbb

Tétel. Ha egy p. és q. Kölcsönösen egyszerű számú különböző paritás, majd az összes primitív pythagora trojka a képletekben van