Annak érdekében, hogy három bármely helynyire van, egyetlen sík végezhető el, szükség van arra, hogy ezek a pontok ne legyenek egy egyenes vonalon.

Tekintsük az M 1 (x 1, Y1, Z1), M 2 (x 2, Y 2, Z 2), M 3 (x 3, Y 3, Z 3) pontokat a teljes dekovaruláris koordináta rendszerben.

Annak érdekében, hogy egy síkban M (X, Y, Z) egy síkban m 1, m 2, m 3 ponttal van szükség, hogy a vektorok rekesz.

(
) = 0

Ilyen módon

A gép egyenlete három ponton áthalad:

A sík egyenletét két ponton és a vektoron, a Collinear síkon.

Hagyja, hogy az m 1 (x 1, y 1, z), m 2 (x 2, y2, z 2) és vektor
.

Készítsük el a sík egyenletét az M 1 és M 2 pontok adatain keresztül, és az M (X, Y, Z) a vektorral párhuzamosan .

Vektorok
és vektor
kell rekeszt, vagyis

(
) = 0

Síkegyenlet:

A sík egyenletét egy ponton és két vektorban,

collinear sík.

Hagyja, hogy két változatot adják meg
és
, Collinear síkok. Ezután egy tetszőleges pont M (X, Y, Z) a síkhoz tartozó, vektorok
kell rekesznek.

Síkegyenlet:

A sík egyenlete a ponton és a normál vektor .

Tétel. Ha a helyet m ponti pont 0 (H. 0 , U. 0 , z. 0 ), akkor a sík egyenlete az M ponton áthalad 0 Merőleges a normál vektorra (A., B., C.) Úgy néz ki:

A.(x. – x. 0 ) + B.(y. – y. 0 ) + C.(z. – z. 0 ) = 0.

Bizonyíték. A síkhoz tartozó M (X, Y, Z) tetszőleges ponthoz tartozik egy vektorhoz. Mivel vektor - Vektor Normál, akkor merőleges a gépre, következésképpen merőleges és a vektor
. Ezután a skaláris darab

= 0

Így kapjuk meg a sík egyenletét

A tétel bizonyítható.

A sík egyenlete szegmensekben.

Ha az általános egyenletben ah + v / CZ + D \u003d 0 megoszthatja mindkét részét (-D)

,

helyettesít
, A sík egyenletét kapjuk szegmensekben:

Az A, B, C számok a sík metszéspontja, illetve az X, Y, Z tengelyekkel.

A sík egyenlete vektoros formában.

hol

- RADIUS - A jelenlegi M (X, Y, Z),

Egyetlen vektor, amelynek iránya merőleges, a koordináták kezdetétől csökkenti a síkot.

,  és  - a vektor által képzett szögek x, y, z tengelyekkel.

p a merőleges hossza.

A koordinátáknál ez az egyenlet úgy néz ki:

xCOS + YCOS + ZCOS - P \u003d 0.

Távolság a ponttól a síkig.

A távolság egy tetszőleges pont m 0 (x 0, y 0, z 0) a síkhoz AH + W + CZ + D \u003d 0:

Példa. Keresse meg a sík egyenletét, tudván, hogy a P (4, -3, 12) pont a merőleges alapja, csökkentve a koordináták eredetétől ezen a síkon.

Így a \u003d 4/13; B \u003d -3/13; C \u003d 12/13, használjuk a képletet:

A (X - X 0 ) + B (y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0.

Példa. Keresse meg a két ponton áthaladó sík egyenletét (2; 0; -1) és

Q (1; -1; 3) merőleges a 3x + 2au - z + 5 \u003d 0 síkra merőleges.

Vektor normál a sík 3x + 2y - z + 5 \u003d 0
a kívánt síkot.

Kapunk:

Példa. Keresse meg az A (2, -1, 4) pontokon áthaladó sík egyenletét

A (3, 2, -1) merőleges a síkra merőleges h. + w. + 2z. – 3 = 0.

A sík kívánt egyenlete: a x. + B. y. + C. z. + D \u003d 0, vektor normál erre a síkra (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) a síkhoz tartozik. A vágynak merőleges sík, amely a vágyra merőleges, normál vektorral rendelkezik (1, 1, 2). Mivel Az A és B pontok mindkét síkhoz tartoznak, és a sík kölcsönösen merőleges, akkor

Így a normál vektor (11, -7, -2). Mivel Az A pont a kívánt síkhoz tartozik, koordinátái meg kell felelniük a sík egyenletét, azaz 112 + 71 - 24 + d \u003d 0; D \u003d -21.

Összesen megkapjuk a sík egyenletét: 11 x. - 7y. – 2z. – 21 = 0.

Példa. Keresse meg a sík egyenletét, tudva, hogy a P (4, -3, 12) pont a merőleges alapja, csökkentve a koordináták eredetétől ezen a síkon.

Megtaláljuk a normál vektor koordinátáit
\u003d (4, -3, 12). A sík kívánt egyenlete: 4 x. – 3y. + 12z. + D \u003d 0. A D koefficiens megkereséséhez helyettesítjük a P-os koordináta-egyenletet:

16 + 9 + 144 + d \u003d 0

Összesen megkapjuk a kívánt egyenletet: 4 x. – 3y. + 12z. – 169 = 0

Példa. A piramis csúcsainak koordinátái A 1 (1; 0; 3), a 2 (2; -1; 3), a 3 (2; 1; 1),

Keresse meg a borda hosszát és 1 A 2-et.

Keresse meg az A1 A 2 és a 1 A 4 bordák közötti szöget.

Keresse meg az 1 A 4-es éle és az 1 A 2 A 3-as arc közötti szöget.

Először megtaláljuk a normál arcot az arcra 1 A 2 A 3 mint a vektoros művészeti vektorok
és
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Keresse meg a normál vektor és a vektor közötti szöget
.

-4 – 4 = -8.

A kívánt szög  a vektor és a sík között egyenlő  \u003d 90 0 - .

Keresse meg az arc területét 1 A 2 A 3-at.

Keresse meg a piramis hangerejét.

Keresse meg a sík egyenletét egy 1 A 2 A 3-at.

Három ponton áthaladó sík egyenletének képletét használjuk.

2x + 2Y + 2Z - 8 \u003d 0

x + y + z - 4 \u003d 0;

Számítógépes verzió használata esetén A magasabb matematika folyamata"Olyan programot futtathat, amely megoldja a fenti példát a piramis csúcsok bármilyen koordinátáira.

A program elindításához kattintson duplán az ikonra:

A megnyíló programablakban adja meg a piramis csúcsainak koordinátáit, és nyomja meg. Így minden elem megoldás váltakozhat.

Megjegyzés: A program elindításához telepítenie kell a Maple ( Waterloo Maple Inc.) bármely verzióját, kezdve a MAPLEV kiadás 4 a számítógépen.

Ez a cikk azt a gondolat, hogy hogyan kell felhívni a sík egyenletét, amely a megadott egyenes vonalra merőleges háromdimenziós téren áthaladó háromdimenziós téren halad át. A fenti algoritmust elemezzük a tipikus feladatok megoldásának példáján.

Megtalálni a sík egyenletét, amely a megadott közvetlen térre merőleges helyen halad át

Hagyja, hogy egy háromdimenziós tér és egy téglalap alakú koordinátarendszer o x y z benne. Az m 1 (x 1, y 1, z 1) pont is megadható, egyenes A és sík α, átmenve az M 1 ponton merőleges a közvetlen a. Meg kell írni az α sík egyenletét.

Mielőtt elkezdené megoldani ezt a problémát, emlékezzünk vissza a Geometria-tételről a program 10-1 11 osztályából, amely olvasható:

Meghatározás 1.

Egy meghatározott háromdimenziós téren keresztül az egyetlen sík merőleges a megadott közvetlen.

Most fontolja meg, hogyan lehet megtalálni az egységes sík egyenletét, amely áthalad a kiindulási ponton és merőleges erre a vonalra.

Lehetőség van a sík általános egyenletét írni, ha az e síkhoz tartozó pont koordinátái ismertek, valamint a normál vektoros síkvektor koordinátái.

A probléma állapotát az x 1, y 1, Z 1 pont m 1 koordináták adják, amelyeken keresztül az α sík. Ha meghatározzuk az α sík normál vektorának koordinátáit, akkor lehetőséget kapunk arra, hogy rögzítsük a kívánt egyenletet.

A normál vektor a sík α, mivel nemzero és egy egyenes egy, merőleges síkon fekszik, lesz bármilyen útmutató a közvetlen a. Így az α sík normál vektorának koordinátáinak megtalálásának feladata a vezetővektor közvetlen koordinátáinak meghatározásának problémájává alakul.

A vezetővektor közvetlen koordinátáinak meghatározása A Direct A különböző módszerekkel végezhető el: a közvetlen A feladat elvégzésétől függ. Például, ha a probléma állapotában egyenes A állapotát a faj kanonikus egyenletei állítják be

x - X 1 A X \u003d Y - Y 1 A Y \u003d Z - Z 1 A Z

vagy az űrlap paraméteres egyenletei:

x \u003d X 1 + A X · λ Y \u003d Y 1 + A Y · λ Z \u003d Z 1 + A Z · λ

a közvetlen vonal az X, és Y és Z koordinátái lesz. Abban az esetben, ha az egyenes A-t két M 2 (X 2, Y 2, Z 2) és M 3 (X 3, Y 3, Z 3) jelöli, a vezetővektor koordinátái (x3 - X2, Y3 - Y2, Z3 - Z2).

2. meghatározás.

Az algoritmus a sík egyenletének megkereséséhez, amely a megadott pontra merőleges ponton áthalad:

Határozza meg a vezetővektor közvetlen koordinátáit: a → \u003d (és x, és y, és z) ;

Meghatározzuk a sík normál vektorának koordinátáit, mint a vezetővektor közvetlen koordinátáit:

n → \u003d (A, B, C), ahol A \u003d A X, B \u003d A Y, C \u003d A Z;

Rögzítse az M 1 (x 1, y 1, z 1) ponton áthaladó sík egyenletét, és normál vektorral rendelkezik n → \u003d (A, B, C) aS AS (X - X 1) + B (Y - Y1) + C (Z - Z1) \u003d 0. Ez lesz a sík szükséges egyenlete, amely egy meghatározott helyen halad át, és merőleges erre a közvetlenre.

A sík által okozott általános egyenlet: A (X - X 1) + B (Y - Y1) + C (Z - Z1) \u003d 0 lehetővé teszi a sík egyenletét a szegmensekben vagy a sík normál egyenletében.

Néhány példát eldöntünk a fent kapott algoritmus alkalmazásával.

1. példa.

Az M 1 (3, - 4, 5) pont adódik, amelyen keresztül a sík áthalad, és ez a sík merőleges a koordináta közvetlen z.

Döntés

a koordináta közvetlen o z koordináta vektora a K ⇀ \u003d (0, 0, 1) koordináta vektor lesz. Következésképpen a normál síkvektor koordinátái (0, 0, 1). A sík egyenletét írjuk át az M 1 (3,-4, 5) ponton áthaladó sík egyenletét, amelynek normál vektora koordináták (0, 0, 1):

A (X - X 1) + B (Y - Y1) + C (Z - Z 1) \u003d 0 ⇔ ⇔ 0 · (X - 3) + 0 · (Y - (- 4)) + 1 · (z - 5) \u003d 0 ⇔ z - 5 \u003d 0

Válasz: Z - 5 \u003d 0.

Fontolja meg a feladat megoldásának másik módját:

2. példa.

A Direct O Z-re merőleges síkot az űrlap síkjának hiányos átfogó egyenlete adja meg Z + D \u003d 0, C ≠ 0. Meghatározzuk a C és D értékeket: azok, amelyek alatt a gép egy meghatározott ponton keresztül halad át. A pont koordinátáit helyettesítjük a z + d \u003d 0 egyenlethez, kapunk: · 5 + d \u003d 0. Azok. A számok, a C és a D kapcsolódnak a relációhoz - D \u003d 5. C \u003d 1 szedése, kapunk d \u003d - 5.

Ezeket az értékeket a Z + D \u003d 0 egyenlethez helyettesítjük, és a sík kívánt egyenletét a közvetlen o z-ra merőleges, és az M 1 (3, 4, 5) ponton áthaladunk.

Meg fogja nézni: z - 5 \u003d 0.

Válasz: Z - 5 \u003d 0.

3. példa.

Készítsük el a sík egyenletét a koordináták eredetén, és merőleges az egyenes vonalra X - 3 \u003d Y + 1 - 7 \u003d Z + 5 2

Döntés

A feladat feltételeire támaszkodva azzal érvelhető, hogy a Normál Vector N → Egy adott sík számára a megadott közvetlen irányítás vezetővektorát veheti igénybe. Ily módon: n → \u003d (- 3, - 7, 2). Megírjuk az O (0, 0, 0) ponton áthaladó sík egyenletét, és normál N → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 · (X - 0) - 7 · (Y - 0) + 2 · (z - 0) \u003d 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z \u003d 0

Megszereltük a sík szükséges egyenletét, amely a meghatározott közvetlen közvetlen koordináták eredetén keresztül halad át.

Válasz: - 3 x - 7 y + 2 z \u003d 0

4. példa.

A négyszögletes koordináta-rendszert háromdimenziós térben adjuk meg, két pont A (2, - 1,-2) és B (3, - 2, 4). Az α sík egy ponton áthalad az A vonalra merőleges ponton. Meg kell tenni a sík egyenletét a szegmensekben.

Döntés

Az α sík merőleges az egyenes B-re, majd a vektor és a → normál sík normál vektora. A vektor koordinátáit a (3, - 2, 4) és A (2, - 1, - 2) pontok megfelelő koordinátái közötti különbségként határozzák meg:

A B → \u003d (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ a b → \u003d (1, - 1, 6)

A sík általános egyenletét a következőképpen rögzítjük:

1 · X - 2 - 1 · Y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) \u003d 0 ⇔ X - Y + 6 Z + 9 \u003d 0

Most készítsen egy kívánt síkegyenletet a szegmensekben:

x - Y + 6 Z + 9 \u003d 0 ⇔ X - Y + 6 Z \u003d - 9 ⇔ X - 9 + Y 9 + Z - 3 2 \u003d 1

Válasz: X - 9 + Y 9 + Z - 3 2 \u003d 1

Azt is meg kell jegyezni, hogy a feladatok megtalálhatók, amelynek követelménye, hogy írja meg a sík egyenletét egy meghatározott ponton áthaladó és merőleges a két előre meghatározott síkra. Általánosságban elmondható, hogy a probléma megoldása a sík egyenletének összeállítása, amely a megadott egyenes vonalra merőleges ponton áthalad, mert Két metsző repülőgép egyenes vonalat állít be.

5. példa.

Egy téglalap alakú koordinátarendszer O X Y Z-t adunk, az M 1 (2, 0, -5) pontban. A két sík egyenletei szintén 3 x + 2 y + 1 \u003d 0 és x + 2 z - 1 \u003d 0, amely egy egyenes vonalban metszi. Szükséges, hogy a sík egyenletét átmegy az M 1 ponton merőleges ponton áthaladó ponton keresztül.

Döntés

Meghatározzuk a vezetővektor közvetlen koordinátáit. A n → (1, 0, 2) és a normál 3 x + 2 y + 1 \u003d 0 sík x + 2 z - 1 \u003d 0 síkja merőleges 0.

Ezután a vezetővektor α → Direct A Vektoros vektor terméke N 1 → és N 2 →:

a → \u003d N 1 → × N 2 → \u003d I → J → K → 3 2 0 1 0 2 \u003d 4 · I → 6 · J → 2 · K → ⇒ A → \u003d (4, - 6, - 2 )

Így a N → \u003d (4, - 6, - 2) vektor lesz normál síkvektor, amely merőleges a közvetlen a. A sík kívánt egyenletét írjuk:

4 · (X - 2) - 6 · (Y - 0) - 2 · (z - (- 5)) \u003d 0 ⇔ 4 X - 6 Y - 2 Z - 18 \u003d 0 ⇔ ⇔ 2 X - 3 Y - Z - 9 \u003d 0

Válasz: 2 X - 3 Y - Z - 9 \u003d 0

Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter gombot

Az általános síkegyenlet beszerzéséhez elemezzük a megadott ponton áthaladó síkot.

Tegyük fel, hogy az űrben három koordináta tengely van már ismert ÖKÖR., Oy. és Oz.. Szuper egy papírlapot, hogy maradjon lapos. A gép maga lesz a levél és annak folytatását minden irányban.

Legyen P. Önkényes sík az űrben. Minden olyan személy, akit merőlegesnek hívnak normál vektor Erre a síkra. Természetesen egy nonzero vektorról beszélünk.

Ha valamilyen pontos sík ismert P. És néhány vektor normális, akkor ez a két feltétel a térben lévő sík meglehetősen meghatározható (Egy meghatározott ponton keresztül egy síkra merőleges a vektorra merőleges). A gép általános egyenlete megnézi:

Tehát a sík egyenletét meghatározó feltételek. Hogy magam legyen egyenlet síkegy adott megjelenés, vegye be a síkot P. Tetszőleges pont M. Változó koordinátákkal x., y., z.. Ez a pont csak akkor tartozik, ha a géphez tartozik vektor merőleges a vektorra (1. ábra). Ehhez a vektorok feltétlenségének feltételei szerint szükség van és elegendő, hogy ezeknek a vektoroknak a skaláris terméke nulla, vagyis

A vektort állapot szerint adják meg. A vektor koordinátái megtalálhatók a képlet :

.

Most, a vektorok skaláris termékének képletével , Fejezze ki a Skalar terméket a koordináta formában:

Óta M (x; y; z) Választották a síkra önkényesen, akkor az utóbbi egyenlet megfelel a síkon fekvő pont koordinátáinak P.. Egy pontra N.Nem fekszik egy adott síkon, vagyis Az egyenlőség (1) megsértése.

1. példa. Készítsük el a sík egyenletét a ponton és a merőleges vektoron keresztül.

Döntés. Használjuk a képletet (1), nézzük meg újra:

Ebben a képletszámban A. , B. és C. A vektor koordinátái és számok x.0 , y.0 és z.0 - Point koordináták.

A számítások nagyon egyszerűek: ezeket a számokat helyettesítjük a képletben és kapjuk

Szorozzuk meg mindent, amit meg kell szüntetned, és csak számokat kell hozzáadni (amelyek betűk nélkül). Eredmény:

.

A sík szükséges egyenletét ebben a példában az első fokozat általános egyenlete a koordináta-változókhoz képest x, y, z tetszőleges pontsík.

Tehát a típus egyenlete

hívott a gép közös egyenlete .

2. példa.Építsen egy síkot az egyenlet által egy téglalap alakú karteziai koordinátarendszerben .

Döntés. Egy sík építéséhez szükséges, és elég ahhoz, hogy mindhárom pontot ismerjenek, amelyek nem fekszenek egy egyenes vonalon, például a sík metszéspontja a koordináta tengelyekkel.

Hogyan találjuk meg ezeket a pontokat? Hogy megtalálja a tengely metszéspontját Oz. Szükséges a nullák helyett a probléma állapotában adott egyenletben, x helyett x és játék helyettesítő nullák: x. = y. \u003d 0. Ezért kapunk z. \u003d 6. Így a megadott sík keresztezi a tengelyt Oz. Pontosan A.(0; 0; 6) .

Hasonlóképpen megtaláljuk a sík metszéspontját a tengelyrel Oy. . -Ért x. = z. \u003d 0 fogadás y. \u003d -3, azaz a pont B.(0; −3; 0) .

És végül megtaláljuk a síkunk metszéspontját a tengelyrel ÖKÖR. . -Ért y. = z. \u003d 0 Get x. \u003d 2, azaz a pont C.(2; 0; 0). A mi megoldásunkban kapott három pont szerint A.(0; 0; 6) , B.(0; -3; 0) és C.(2; 0; 0) Egy meghatározott síkot építünk.

Fontolja meg most a sík általános egyenletének saját esetei. Ezeket az eseteket, ha az egyenlet (2) egyenletes koefficienseket nullára alkalmazzák.

1. réteg D \u003d0 egyenlet Meghatározza a koordináták eredetén áthaladó síkot, mint a pont koordinátáit 0 (0; 0; 0) megfelel az egyenletnek.

2. réteg A \u003d.0 egyenlet Meghatározza a tengelyhöz párhuzamos síkot ÖKÖR.Mivel a normál sík vektora merőleges a tengelyre ÖKÖR. (A tengelyen lévő vetület ÖKÖR. nulla). Hasonlóképpen, mert B \u003d.0 sík Párhuzamos tengely Oy., és mikor C \u003d.0 sík párhuzamosan a tengely Oz..

3. réteg A \u003d D \u003d 0 Az egyenlet meghatározza a tengelyen áthaladó síkot ÖKÖR.Mert ez párhuzamos a tengelyével ÖKÖR. (A \u003d.D \u003d 0). Hasonlóképpen, a sík áthalad a tengelyen Oy.és sík a tengelyen keresztül Oz..

4. réteg A \u003d B \u003d0 Az egyenlet határozza meg a koordináta síkjával párhuzamos síkot xoy.mert ez párhuzamos a tengelyekkel ÖKÖR. (A. \u003d 0) és Oy. (B. \u003d 0). Hasonlóképpen, a sík párhuzamos a síkkal yoz.és sík sík xoz..

5. réteg A \u003d b \u003d d \u003d0 egyenlet (vagy z \u003d.0) meghatározza a koordináta síkot xoy.Mivel ez párhuzamos a síkhoz xoy. (A \u003d B \u003d 0) és átmegy a koordináták eredetén keresztül ( D \u003d0). Hasonlóképpen, egyenlet y \u003d.0 az űrben határozza meg a koordináta síkot xoz.és egyenlet x \u003d.0 - koordináta sík yoz..

3. példa. Készítsen síkegyenletet P. áthalad a tengelyen Oy. és pont.

Döntés. Tehát a gép áthalad a tengelyen Oy. . Ezért az egyenletében y. \u003d 0 és ezt az egyenletet megtekintik. Az együtthatók meghatározása A. és C. Használja ki azt a tényt, hogy a pont a síkhoz tartozik P. .

Ezért a koordinátái között vannak azok, amelyek helyettesíthetők a sík egyenletében, amelyet már hoztunk (). Újra nézzük a pont koordinátáiban:

M.0 (2; −4; 3) .

Közöttük x. = 2 , z. \u003d 3. Az általános formanyomtatvány egyenletét helyettesítjük, és megkapjuk az adott esetünk egyenletét:

2A. + 3C. = 0 .

Hagyja 2. A. Az egyenlet bal oldalán, átviteli 3 C. a jobb oldalon és kap

A. = −1,5C. .

A talált érték helyettesítése A. Az egyenletben kapunk

vagy.

Ez a példa állapotában szükséges egyenlet.

Megoldja a problémát a síkegyenleteken, majd nézze meg a döntést

4. példa. Határozza meg a síkot (vagy síkot, ha több mint egy) a koordináta tengelyekhez vagy koordinátákhoz képest, ha a síkot (sík) az egyenlet határozza meg.

A Tipikus feladatok döntései, amelyek tesztmunkában vannak - a kézikönyvben szereplő feladatok a síkon: Párhuzamosság, merevlemez, három repülőgép metszéspontja egy ponton. "

A gép egyenlete három ponton áthalad

Mint már említettük, a sík építésének szükségessége és elegendő feltétele, kivéve az egy pontot és a normál vektort, ugyancsak három pont van, amelyek nem fekszenek egy egyenes vonalon.

Hagyja három különböző pontot adni, és nem fekszik egy egyenes vonalon. Mivel ezek a három pont nem egy egyenes vonalon fekszenek, a vektorok, és nem kollekor, ezért a sík bármely pontja ugyanabban a síkban van, és csak akkor, ha a vektorok, és csak akkor, ha a vektorok Kielégítő, vagyis akkor és csak akkor, ha ezeknek a vektoroknak vegyes terméke Egyenlően nulla.

A vegyes termék koordinátáiban történő kifejeződését, a síkegyenletet kapjuk

(3)

A meghatározó meghatározása után ez az egyenlet az űrlap (2) egyenleté válik, azaz azaz A gép közös egyenlete.

5. példa. Tegye meg a sík egyenletét, amely három ponton áthalad egy egyenes vonalon:

És határozza meg az általános egyenlet különleges esetét, ha ilyen történik.

Döntés. (3) képlet szerint:

Normál síkegyenlet. Távolság a ponttól a síkig

A sík normál egyenletét az egyenletnek nevezzük

Síkegyenlet. Hogyan készítsünk egy síkegyenletet?
A síkok kölcsönös helye. Feladatok

A térbeli geometriát nem sokkal bonyolultabb a "lapos" geometria, és az űrben lévő járataink ebben a cikkben kezdődnek. Ahhoz, hogy a témát összpontosítsuk, jól kell megérteni vektorokEzenkívül kívánatos, hogy ismerje meg a sík geometriáját - sok hasonló, sok analógiát lesz, így az információ jelentősen jobban megemeli. A leckék sorozatában a 2D világ egy cikket nyit meg Közvetlen egyenlet a gépen. De most Batman lapos TV-képernyővel ment, és elindul a Baikonur Cosmodrome-ból.

Kezdjük a rajzokkal és a kijelölésekkel. Vázlatosan a síkot egy parallelogramm formájában lehet levonni, amely a hely benyomását kelti:

A sík végtelen, de lehetőségünk van arra, hogy csak a darabját ábrázoljuk. A gyakorlatban a parallelogramon kívül ovális vagy akár egy felhőt is rajzolok. Technikai okok miatt technikai okokból a gépet csak ebben a helyzetben ábrázolja. Valódi síkok, amelyeket gyakorlati példákban tartunk, úgy lehet elhelyezni, hogy tetszik - mentálisan vegye be a rajzot a kezedben, és fordítsa el az űrbe, és adja meg a síkot, bármilyen szöget.

Megnevezések: A síkok a kis görög betűk kijelölésére szolgálnak, nyilvánvalóan nem zavarják őket egyenesen a síkon vagy az űrben. Régebben használtam a levelet. A rajzban a "Sigma" betű, és egyáltalán nem egy lyuk. Bár a légzés sík, ez határozottan nagyon vicces.

Bizonyos esetekben a síkok megnevezéséhez kényelmes, ha például az alsó szubsztrátindexekkel rendelkező görög betűk használata.

Nyilvánvaló, hogy a síkot egyedülállóan határozzák meg három különböző ponttal, amelyek nem egy egyenes vonalon fekszenek. Ezért a repülőgépek hárombetűs megnevezései meglehetősen népszerűek - például azokhoz tartozó pontok szerint, például stb. Gyakran a betűk zárójelben vannak: hogy ne zavarja a gépet egy másik geometriai alakral.

A tapasztalt olvasók adnak gyors hozzáférés menü:

• Hogyan készítsünk egy síkegyenletet egy ponton és két vektoron?
• Hogyan lehet a sík egyenletét a ponton és a normál vektorban?

És nem fogunk hosszú elvárásokat bántani:

A sík általános egyenlete

A sík általános egyenletét tekintjük, ahol az együtthatók egyidejűleg nulla.

Számos elméleti számítás és gyakorlati feladatok tisztességesek mind a szokásos orthonormális alapon, mind az affin téren (ha olajolaj, menj vissza a leckéhez Lineáris (nem) vektoros függőség. Alapvektorok). Az egyszerűségért feltételezzük, hogy minden esemény orthonormális alapon és decartuláris téglalap alakú koordináta rendszerben fordul elő.

És most egy kis térbeli képzelet van. Semmi szörnyű, ha rossz, most már egy kicsit. Még az idegekre is szükség van az edzésre.

A leginkább általános esetekben, ha a számok nem nulla, a sík mindhárom koordináta tengelyt keresztez. Például:

Ismét ismételtem, hogy a gép minden irányban végtelenül folytatódik, és lehetőségünk van arra, hogy csak a részét ábrázoljuk.

Tekintsük a repülőgépek legegyszerűbb egyenleteit:

Hogyan lehet megérteni ezt az egyenletet? Gondolkodj: "Zet" mindig, az "X" és az "Igarek" értéke nulla. Ez az "natív" koordináta sík egyenlete. Valójában hivatalosan az egyenlet újraírható: Ahol egyértelműen látható, hogy a dobon vagyunk, milyen értékek "IX" és "igrek", fontos, hogy a "ZET" nulla.

Hasonlóképpen:
- a koordináta sík egyenlete;
- A koordináta sík egyenlete.

Egy kicsit bonyolult feladat, tekintse meg a síkot (itt, majd a bekezdésben azt feltételezzük, hogy a numerikus együtthatók nem egyenlőek nulla). Átírjuk az egyenletet az űrlapon :. Hogyan értem őt? Az "X" mindig, az "Igarek" és a "Zeta" értéke megegyezik néhány számmal. Ez a sík párhuzamos a koordináta síkjával. Például a sík párhuzamos a síkkal, és áthalad a ponton.

Hasonlóképpen:
- a sík egyenlete, amely párhuzamos a koordináta síkkal;
- A sík egyenlete, amely párhuzamos a koordináta síkkal.

Tagok hozzáadása :. Az egyenlet a következőképpen írható át: azaz a "zy" lehet. Mit jelent? "X" és "igrek" kapcsolódik a kapcsolat, amely egy bizonyos vonal a síkban (megtudja közvetlen egyenlet a gépen?). Mivel a "ZET" lehet, akkor ez a közvetlen "replikált" bármilyen magasságban. Így az egyenlet határozza meg a koordináta tengelyével párhuzamos síkot

Hasonlóképpen:
- a sík egyenlete, amely párhuzamos a koordináta tengelyével;
- A sík egyenlete, amely párhuzamos a koordináta tengelyével.

Ha a szabad tagok nulla, a síkok közvetlenül áthaladnak a megfelelő tengelyeken. Például a klasszikus "közvetlen arányosság" :. A síkban, a síkban, a közvetlen és szellemileg szaporodott fel és le (a "Zet" óta). Következtetés: Az egyenlet által meghatározott sík áthalad a koordináta tengelyen keresztül.

Teljes áttekintés: síkegyenlet átmegy a koordináták eredetén keresztül. Nos, ez nyilvánvaló itt, hogy a pont kielégíti ezt az egyenletet.

És végül a rajzban ábrázolt eset: - A sík barátságos az összes koordináta tengelyével, míg mindig "kivágja" egy olyan háromszöget, amely a nyolc oktánk bármelyikében található.

Lineáris egyenlőtlenségek az űrben

Ahhoz, hogy megértsük az információkat, amelyekre jól kell felfedeznie lineáris egyenlőtlenségek a gépenMivel sok dolog hasonló lesz. A bekezdés rövid áttekintést kap több példáról, mivel az anyag a gyakorlatban elég ritka.

Ha az egyenlet meghatározza a síkot, akkor az egyenlőtlenségek
Meghatároz félsziget. Ha az egyenlőtlenség hihetetlen (az utolsó két felsorolt), akkor a sík magában foglalja az egyenlőtlenség megoldását.

5. példa.

Keressen egy normál síkvektort .

Döntés: Az egységvektor egy vektor, amelynek hossza egyenlő. Jelzi ezt a vektort. Elég világos, hogy a vektorok Collinear:

Először a síkegyenletből a normál vektor eltávolításra kerül :.

Hogyan találhat egy vektorot? Annak érdekében, hogy egyetlen vektorot találjon, szüksége van mINDEN Vektor koordináta osztva vektor hossza.

Átírjuk a normál vektorot az űrlapon, és megtaláljuk a hosszát:

A fentiek szerint:

Válasz:

Ellenőrizze: Mit kellett ellenőrizni.

Azok az olvasók, akik alaposan tanulmányozták a lecke utolsó bekezdését, valószínűleg észrevették egyetlen vektor koordinátái - pontosan a vektoros koszinus útmutatója:

A szétszerelt feladatról: ha tetszőleges nonzero vektort kapsz, és az állapot alatt meg kell találni az útmutató koszinót (lásd a legújabb lecke feladatokat) Skalar termékvektorok), Akkor, tényleg, találsz egyetlen vektort, collinear adva. Valójában két feladat egy üvegben.

A matematikai elemzés egyes célkitűzéseiben egy normál vektoros vektor meg kell találnia.

A normál vektor túlélésével rájöttek, most válaszolnak az ellenkező kérdésre:

Hogyan lehet a sík egyenletét a ponton és a normál vektorban?

A normál és a pont vektorának merev kialakítása ismeri a darts játék célját. Kérjük, húzza meg a kezét előre és mentálisan válasszon tetszőleges helyet, például egy kis cica egy szolga. Nyilvánvaló, hogy ezen a ponton keresztül egyetlen síkot is meg lehet vezetni a kezedre merőleges.

A vektorra merőleges ponton áthaladó sík egyenletét a képlet jellemzi: