Egy sorozat határa és egy függvény határa Cauchy-ban. Sorozat véghatárának meghatározása Hogyan számítsuk ki a számsorozat határát példák

Megadjuk a határértékekkel rendelkező numerikus sorozatok fő tételeit és tulajdonságait. Tartalmazza a sorozat definícióját és határértékét. Figyelembe veszik a sorozatokkal végzett aritmetikai műveleteket, az egyenlőtlenségekkel kapcsolatos tulajdonságokat, a konvergenciakritériumokat, a végtelenül kicsi és végtelenül nagy sorozatok tulajdonságait.

Tartalom

Sorozatok véges határainak tulajdonságai

Alaptulajdonságok

Egy a pont akkor és csak akkor a sorozat határa, ha a pont bármely szomszédságán kívül esik véges számú elem sorozatok vagy az üres halmaz.

Ha az a szám nem a sorozat határa, akkor az a pontnak van egy olyan környéke, amelyen kívül van végtelen számú sorozatelem.

Egyediségi tétel egy számsorozat határértékére. Ha egy sorozatnak van határa, akkor az egyedi.

Ha egy sorozatnak véges határa van, akkor az korlátozott.

Ha a sorozat minden eleme azonos számmal C : , akkor ennek a sorozatnak a határértéke megegyezik a C számmal.

Ha a sorrend az első m elem hozzáadása, eldobása vagy módosítása, akkor ez nem befolyásolja a konvergenciáját.

Az alapvető tulajdonságok bizonyítása oldalon megadva
Sorozatok véges határainak alapvető tulajdonságai >>> .

Aritmetika korlátokkal

Legyenek véges határértékek és sorozatok és . És legyen C állandó, azaz adott szám. Azután
;
;
;
, ha .
A hányados esetén feltételezzük, hogy minden n esetén.

Ha akkor .

Aritmetikai tulajdonságbizonyítások oldalon megadva
Sorozatok véges határainak aritmetikai tulajdonságai >>> .

Egyenlőtlenségekkel kapcsolatos tulajdonságok

Ha a sorozat elemei valamilyen számból kiindulva kielégítik az egyenlőtlenséget, akkor ennek a sorozatnak a határértéke kielégíti az egyenlőtlenséget is.

Ha a sorozat elemei egy bizonyos számtól kezdve egy zárt intervallumhoz (szegmenshez) tartoznak, akkor ehhez az intervallumhoz tartozik az a határ is: .

Ha és és sorozatok elemei valamilyen számból kiindulva kielégítik az egyenlőtlenséget, akkor .

Ha és valamilyen számból kiindulva, akkor .
Különösen, ha valamilyen számból kiindulva, , akkor
ha akkor ;
ha akkor .

Ha és , akkor .

Hagyjuk és . Ha egy < b , akkor van olyan N természetes szám, amelyre minden n > N az egyenlőtlenség teljesül.

Egyenlőtlenségekkel kapcsolatos tulajdonságok bizonyítása oldalon megadva
>>> egyenlőtlenségekkel kapcsolatos sorozathatárok tulajdonságai.

Infinitezimális és infinitezimális sorozatok

Infinitezimális sorozat

Az infinitezimális sorozat olyan sorozat, amelynek határértéke nulla:
.

Összeg és különbség véges számú infinitezimális sorozat egy infinitezimális sorozat.

Korlátozott sorozat szorzata infinitezimálishoz egy infinitezimális sorozat.

Egy véges szám szorzata Az infinitezimális sorozatok egy infinitezimális sorozat.

Ahhoz, hogy egy sorozatnak legyen a határértéke, szükséges és elegendő, hogy , ahol egy végtelenül kicsi sorozat.

Infinitezimális sorozatok tulajdonságainak bizonyítása oldalon megadva
Végtelenül kicsi sorozatok - definíció és tulajdonságok >>> .

Végtelenül nagy sorozat

A végtelenül nagy sorozat olyan sorozat, amelynek végtelenül nagy határa van. Vagyis ha bármely pozitív számhoz létezik olyan N természetes szám, attól függően, hogy minden természetes számra az egyenlőtlenség
.
Ebben az esetben írj
.
Vagy at .
Azt mondják, a végtelenségig hajlamos.

Ha valamelyik N számból kiindulva, akkor
.
Ha akkor
.

Ha a sorozatok végtelenül nagyok, akkor valamilyen N számból kiindulva végtelenül kicsi sorozatot határozunk meg. Ha egy végtelenül kicsi sorozat nem nulla elemekkel, akkor a sorozat végtelenül nagy.

Ha a sorozat végtelenül nagy és a sorozat korlátos, akkor
.

Ha a sorozat elemeinek abszolút értékeit alulról egy pozitív szám határolja (), és végtelenül kicsi nullától eltérő elemekkel, akkor
.

A részletekben végtelenül nagy sorozat meghatározása példákkal oldalon megadva
Egy végtelenül nagy sorozat definíciója >>> .
Végtelenül nagy sorozatok tulajdonságainak bizonyítása oldalon megadva
Végtelen nagy sorozatok tulajdonságai >>> .

Sorozatkonvergencia-kritériumok

Monoton sorozatok

A szigorúan növekvő sorozat egy olyan sorozat, amelynek minden elemére a következő egyenlőtlenségek állnak fenn:
.

Hasonló egyenlőtlenségek határoznak meg más monoton sorozatokat is.

Szigorúan csökkenő sorrend:
.
Nem csökkenő sorrend:
.
Nem növekvő sorrend:
.

Ebből következik, hogy a szigorúan növekvő sorozat egyben nem csökkenő. A szigorúan csökkenő sorrend szintén nem növekvő.

A monoton sorozat egy nem csökkenő vagy nem növekvő sorozat.

A monoton sorozatot legalább az egyik oldalon határolja. Egy nem csökkenő sorozatot alulról határolunk: . Egy nem növekvő sorozatot felülről határolunk: .

Weierstrass-tétel. Ahhoz, hogy egy nem csökkenő (nem növekvő) sorozatnak véges határa legyen, szükséges és elegendő, hogy felülről (alulról) korlátos legyen. Itt M egy szám.

Mivel minden nem csökkenő (nem növekvő) sorozat alulról (felülről) korlátos, a Weierstrass-tételt a következőképpen lehet átfogalmazni:

Ahhoz, hogy egy monoton sorozatnak véges határa legyen, szükséges és elégséges, hogy korlátos legyen: .

Monoton, korlátlan sorozat végtelen határértéke van, amely egyenlő a nem csökkenő és nem növekvő sorozatoknál.

A Weierstrass-tétel bizonyítása oldalon megadva
Weierstrass tétele egy monoton sorozat határértékéről >>> .

Cauchy-kritérium a szekvenciakonvergenciához

Zavaros állapot
A következetesség kielégít Zavaros állapot, ha bármelyikre létezik olyan természetes szám, hogy minden n és m természetes számra, amely kielégíti a feltételt, az egyenlőtlenség
.

Az alapvető sorozat olyan sorozat, amely kielégíti a Cauchy állapot.

Cauchy-kritérium a szekvenciakonvergenciához. Ahhoz, hogy egy sorozatnak véges határa legyen, szükséges és elégséges, hogy kielégítse a Cauchy-feltételt.

A Cauchy konvergenciakritérium bizonyítása oldalon megadva
Cauchy-féle konvergenciakritérium egy sorozathoz >>> .

Utóbbiak

Bolzano-Weierstrass tétel. Bármely korlátos sorozatból megkülönböztethető egy konvergens részsorozat. És bármilyen korlátlan sorozatból - egy végtelenül nagy részsorozat, amely a -hoz vagy -hez konvergál.

A Bolzano-Weierstrass-tétel bizonyítása oldalon megadva
Bolzano–Weierstrass tétel >>> .

A részsorozatok és részleges határértékek definíciói, tételei és tulajdonságai a oldalon találhatók.
A sorozatok részsorozatai és részhatárai >>>.

Referenciák:
CM. Nikolszkij. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 1983.
L.D. Kudrjavcev. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 2003.
V.A. Zorich. Matematikai elemzés. 1. rész Moszkva, 1997.
V.A. Iljin, E.G. Pozniak. A matematikai elemzés alapjai. 1. rész Moszkva, 2005.

Lásd még:

A matematika a világot építő tudomány. Mind a tudós, mind az egyszerű ember – senki sem nélkülözheti. Először a kisgyermekeket tanítják számolni, majd összeadni, kivonni, szorozni és osztani, a középiskolában a betűjelölések jönnek szóba, a nagyobbiknál ​​pedig már nem lehet eltekinteni tőlük.

De ma arról fogunk beszélni, hogy min alapul az összes ismert matematika. A „sorrendhatároknak” nevezett számközösségről.

Mik azok a sorozatok és hol van a határuk?

A "szekvencia" szó jelentését nem nehéz értelmezni. Ez a dolgok olyan felépítése, ahol valaki vagy valami egy bizonyos sorrendben vagy sorban helyezkedik el. Például az állatkerti jegyek sora egy sorozat. És csak egy lehet! Ha például megnézi a boltba vezető sort, ez egy sorozat. És ha valaki hirtelen kilép ebből a sorból, akkor ez egy másik sor, más sorrend.

A "korlát" szó is könnyen értelmezhető – ez valaminek a vége. A matematikában azonban a sorozatok határai a számegyenesen azok az értékek, amelyekre egy számsorozat hajlamos. Miért törekszik és miért nem ér véget? Egyszerű, a számsornak nincs vége, és a legtöbb sorozatnak, akárcsak a sugaraknak, csak eleje van, és így néz ki:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Ezért a sorozat meghatározása a természetes argumentum függvénye. Egyszerűbben fogalmazva: valamilyen halmaz tagjainak sorozata.

Hogyan épül fel egy számsorozat?

A számsorozat legegyszerűbb példája így nézhet ki: 1, 2, 3, 4, …n…

A legtöbb esetben gyakorlati okokból sorozatokat építenek fel számokból, és a sorozat minden következő tagjának, jelöljük X-el, saját neve van. Például:

x 1 - a sorozat első tagja;

x 2 - a sorozat második tagja;

x 3 - a harmadik tag;

x n az n-edik tag.

A gyakorlati módszerekben a sorozatot egy általános képlet adja meg, amelyben van valamilyen változó. Például:

X n \u003d 3n, akkor maga a számsor így fog kinézni:

Érdemes megjegyezni, hogy a sorozatok általános jelölésében bármilyen latin betűt használhat, nem csak X-et. Például: y, z, k stb.

Aritmetikai progresszió a sorozatok részeként

Mielőtt a sorozatok határait keresnénk, érdemes mélyebben elmélyedni egy ilyen számsor fogalmában, amellyel mindenki találkozott, amikor középosztálybeli volt. Az aritmetikai progresszió olyan számsorozat, amelyben a szomszédos tagok közötti különbség állandó.

Feladat: „Legyen egy 1 \u003d 15, és a d \u003d 4 számsor progressziójának lépése. Építsd meg ennek a sornak az első 4 tagját"

Megoldás: a 1 = 15 (feltétel szerint) a progresszió (számsor) első tagja.

és 2 = 15+4=19 a progresszió második tagja.

és a 3 = 19 + 4 = 23 a harmadik kifejezés.

és a 4 = 23 + 4 = 27 a negyedik tag.

Ezzel a módszerrel azonban nehéz nagy értékeket elérni, például 125-ig. Különösen az ilyen esetekre származtatták a gyakorlat számára megfelelő képletet: a n \u003d a 1 + d (n-1). Ebben az esetben a 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Sorozattípusok

A legtöbb képsor végtelen, érdemes egy életen át emlékezni rá. A számsoroknak két érdekes típusa van. Az elsőt az a n =(-1) n képlet adja meg. A matematikusok gyakran hivatkoznak erre a villogó szekvenciára. Miért? Ellenőrizzük a számait.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 stb. Ebből a példából világossá válik, hogy a sorozatokban lévő számok könnyen megismételhetők.

faktoriális sorrend. Könnyen kitalálható, hogy van egy faktoriális a képletben, amely meghatározza a sorozatot. Például: és n = (n+1)!

Ezután a sorrend így fog kinézni:

és 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

és 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 stb.

Egy aritmetikai progresszióval adott sorozatot végtelenül csökkenőnek nevezünk, ha a -1 egyenlőtlenség minden tagjára érvényes.

és 3 \u003d - 1/8 stb.

Még egy sorozat is létezik, amely ugyanabból a számból áll. Tehát n \u003d 6 végtelen számú hatosból áll.

Egy sorozat határának meghatározása

A szekvenciahatárok régóta léteznek a matematikában. Természetesen megérdemlik a saját hozzáértő tervezést. Ideje tehát megtanulni a sorozatkorlátok meghatározását. Először is vizsgálja meg részletesen a lineáris függvény határértékét:

1. Minden határérték rövidítése lim.
2. A határérték bejegyzés a lim rövidítésből, egy bizonyos számra, nullára vagy végtelenre hajló változóból, valamint magából a függvényből áll.

Könnyen érthető, hogy egy sorozat határának meghatározása így is megfogalmazható: ez egy bizonyos szám, amelyhez a sorozat minden tagja végtelenül közelít. Egyszerű példa: és x = 4x+1. Ekkor maga a sorozat így fog kinézni.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Így ez a sorozat korlátlanul fog növekedni, ami azt jelenti, hogy a határértéke egyenlő a végtelennel, mint x→∞, és ezt a következőképpen kell felírni:

Ha hasonló sorozatot veszünk, de x 1-re hajlamos, a következőt kapjuk:

A számsor pedig a következő lesz: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 stb. Minden alkalommal, amikor a számot egyre közelebb kell cserélni egyhez (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Ebből a sorozatból látható, hogy a függvény határa öt.

Ebből a részből érdemes megjegyezni, hogy mi a numerikus sorozat határa, az egyszerű feladatok definíciója, megoldási módja.

A sorozatok határának általános jelölése

A numerikus sorozat határértékének, definíciójának és példáinak elemzése után egy összetettebb témához térhetünk át. A sorozatok abszolút összes határa egy képlettel megfogalmazható, amelyet általában az első félévben elemeznek.

Tehát mit jelent ez a betűkészlet, modul és egyenlőtlenség?

∀ egy univerzális kvantor, amely helyettesíti a „mindenkiért”, „mindenért” stb.

A ∃ egy létezési kvantor, ebben az esetben azt jelenti, hogy van valamilyen N érték, amely a természetes számok halmazához tartozik.

Az N-t követő hosszú függőleges pálca azt jelenti, hogy az adott N halmaz „olyan, hogy”. A gyakorlatban jelenthet „ilyent”, „ilyet” stb.

Az anyag összevonásához olvassa el hangosan a képletet.

A határ bizonytalansága és bizonyossága

A szekvenciák határának meghatározásának fentebb tárgyalt módszere, bár könnyen használható, a gyakorlatban nem olyan racionális. Próbálja meg megtalálni ennek a függvénynek a korlátját:

Ha különböző x értékeket helyettesítünk (minden alkalommal növelve: 10, 100, 1000 stb.), akkor a számlálóban ∞-t kapunk, de a nevezőben is ∞-t kapunk. Kiderül egy meglehetősen furcsa töredék:

De tényleg így van? A numerikus sorozat határának kiszámítása ebben az esetben elég egyszerűnek tűnik. Lehetne mindent úgy hagyni, mert kész a válasz, és ésszerű feltételekkel meg is érkezett, de van más mód is kifejezetten ilyen esetekre.

Először keressük meg a tört számlálójában a legmagasabb fokot - ez 1, mivel x ábrázolható x 1-ként.

Most keressük meg a nevező legmagasabb fokát. Szintén 1.

A számlálót és a nevezőt is osszuk el a változóval a legnagyobb mértékben. Ebben az esetben a törtet elosztjuk x 1-gyel.

Ezután nézzük meg, hogy a változót tartalmazó egyes tagok milyen értékre hajlanak. Ebben az esetben a törteket veszik figyelembe. Ha x→∞, akkor minden tört értéke nullára hajlik. Írásbeli dolgozat készítésekor érdemes a következő lábjegyzeteket tenni:

A következő kifejezést kapjuk:

Természetesen az x-et tartalmazó törtek nem lettek nullák! De értékük olyan kicsi, hogy teljesen megengedhető, hogy ne vegyék figyelembe a számításokban. Valójában x ebben az esetben soha nem lesz egyenlő 0-val, mert nem lehet nullával osztani.

Mi az a környék?

Tételezzük fel, hogy a professzornak egy összetett sorozat áll rendelkezésére, amelyet nyilvánvalóan nem kevésbé összetett képlet ad meg. A professzor megtalálta a választ, de belefér? Végül is minden ember követ el hibákat.

Auguste Cauchy remek módszert talált ki a sorozatok határainak bizonyítására. Módszerét szomszédsági műveletnek nevezték.

Tegyük fel, hogy van egy pont a, amelynek szomszédsága a valós egyenesen mindkét irányban egyenlő ε-vel ("epszilon"). Mivel az utolsó változó a távolság, értéke mindig pozitív.

Most állítsunk be egy x n sorozatot, és tegyük fel, hogy a sorozat tizedik tagja (x 10) benne van a szomszédságában. Hogyan írjuk le ezt a tényt matematikai nyelven?

Tegyük fel, hogy x 10 az a ponttól jobbra van, akkor az x 10 -a távolság<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Itt az ideje, hogy a gyakorlatban is elmagyarázzuk a fent említett képletet. Igazságos, hogy egy bizonyos számot a sorozat végpontjának nevezünk, ha az ε>0 egyenlőtlenség bármelyik határértékére teljesül, és az egész környéknek megvan a saját N természetes száma, így a sorozat minden nagyobb számú tagja az |xn - a| sorozaton belül legyen< ε.

Ilyen ismeretekkel könnyen megoldható egy sorozat határa, egy kész válasz bizonyítása vagy cáfolata.

Tételek

A sorozatok határaira vonatkozó tételek az elmélet fontos elemei, amelyek nélkül a gyakorlat lehetetlen. Csak négy fő tétel van, amelyekre emlékezve jelentősen megkönnyítheti a megoldási vagy bizonyítási folyamatot:

1. Egy sorozat határának egyedisége. Bármely sorozatnak csak egy korlátja lehet, vagy egyáltalán nem. Ugyanez a példa egy sorral, amelynek csak egy vége lehet.
2. Ha egy számsorozatnak van határértéke, akkor ezeknek a számoknak a sorozata korlátozott.
3. A sorozatok összegének (különbség, szorzat) határa megegyezik határértékeik összegével (különbség, szorzat).
4. Két sorozat hányadoshatára akkor és csak akkor egyenlő a határértékek hányadosával, ha a nevező nem tűnik el.

Sorozat bizonyítása

Néha szükség van egy inverz probléma megoldására, egy numerikus sorozat adott határértékének bizonyítására. Nézzünk egy példát.

Bizonyítsuk be, hogy a képlet által megadott sorozat határértéke nulla.

A fenti szabály szerint bármely sorozatra az |x n - a| egyenlőtlenség<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Fejezzük ki n-t "epszilon"-ban, hogy megmutassuk egy bizonyos szám létezését, és bizonyítsuk egy sorozatkorlát létezését.

Ebben a szakaszban fontos emlékeztetni arra, hogy az "epsilon" és az "en" pozitív számok, és nem egyenlők nullával. Most már folytathatja a további átalakításokat, felhasználva a középiskolában szerzett egyenlőtlenségekről szerzett ismereteit.

Innen kiderül, hogy n > -3 + 1/ε. Mivel érdemes megjegyezni, hogy természetes számokról beszélünk, így az eredményt szögletes zárójelbe téve kerekíthetjük. Így bebizonyosodott, hogy az a = 0 pont „epszilon” környezetének bármely értékére olyan értéket találtunk, amelyre a kezdeti egyenlőtlenség teljesül. Ebből nyugodtan állíthatjuk, hogy az a szám az adott sorozat határa. Q.E.D.

Egy ilyen kényelmes módszerrel bebizonyíthatja egy numerikus sorozat határát, bármennyire is bonyolultnak tűnik első pillantásra. A lényeg, hogy ne ess pánikba a feladat láttán.

Vagy talán nem is létezik?

Sorozatkorlát megléte a gyakorlatban nem szükséges. Könnyű találni olyan számsorokat, amelyeknek tényleg nincs vége. Például ugyanaz a villogó x n = (-1) n . Nyilvánvaló, hogy a csak két, ciklikusan ismétlődő számjegyből álló sorozatnak nem lehet határa.

Ugyanez a történet megismétlődik egyetlen számból, törtből álló sorozatokkal, amelyek a számítások során tetszőleges sorrendű bizonytalansággal rendelkeznek (0/0, ∞/∞, ∞/0 stb.). Nem szabad azonban elfelejteni, hogy helytelen számítás is előfordul. Néha saját megoldásának újraellenőrzése segít megtalálni az utódlás határát.

monoton sorozat

Fentebb több példát is megvizsgáltunk a sorozatokra, megoldási módszerekre, most pedig próbáljunk meg egy konkrétabb esetet, és nevezzük „monoton sorozatnak”.

Definíció: tisztességes bármely monoton növekvő sorozatot nevezni, ha kielégíti az x n szigorú egyenlőtlenséget< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

E két feltétel mellett hasonló, nem szigorú egyenlőtlenségek is léteznek. Ennek megfelelően x n ≤ x n +1 (nem csökkenő sorozat) és x n ≥ x n +1 (nem növekvő sorozat).

De ezt példákkal könnyebb megérteni.

Az x n \u003d 2 + n képlettel megadott sorozat a következő számsorokat alkotja: 4, 5, 6 stb. Ez egy monoton növekvő sorozat.

És ha x n \u003d 1 / n-t vesszük, akkor egy sorozatot kapunk: 1/3, ¼, 1/5 stb. Ez egy monoton csökkenő sorozat.

A konvergens és korlátos sorozat határértéke

A korlátos sorozat olyan sorozat, amelynek van határa. A konvergens sorozat olyan számsorozat, amelynek végtelenül kicsi a határa.

Így a korlátos sorozat határa bármely valós vagy komplex szám. Ne feledje, hogy csak egy határ lehet.

Egy konvergens sorozat határa egy végtelenül kicsi mennyiség (valós vagy komplex). Ha rajzol egy szekvenciadiagramot, akkor az egy bizonyos ponton mintegy konvergál, és hajlamos egy bizonyos értékké alakulni. Innen a név - konvergens sorozat.

Monoton sorozathatár

Egy ilyen sorozatnak lehet határa, de lehet, hogy nem. Először is hasznos megérteni, hogy mikor van, innen indulhat a korlát hiányának bizonyítása.

A monoton sorozatok között megkülönböztetünk konvergens és divergens szekvenciákat. Konvergens - ez egy sorozat, amelyet az x halmaz alkot, és ebben a halmazban valós vagy komplex határértéke van. Divergens - sorozat, amelynek halmazában nincs határ (sem valós, sem komplex).

Ezenkívül a sorozat konvergál, ha felső és alsó határa egy geometriai ábrázolásban konvergál.

Egy konvergens sorozat határértéke sok esetben nulla lehet, mivel minden infinitezimális sorozatnak van ismert határértéke (nulla).

Bármelyik konvergens sorozatot is választja, mindegyik korlátos, de messze nem minden korlátos sorozat konvergál.

Két konvergens sorozat összege, különbsége, szorzata is konvergens sorozat. A hányados azonban konvergálhat is, ha definiálva van!

Különféle akciók korlátokkal

A sorozathatárok ugyanolyan jelentősek (a legtöbb esetben), mint a számok és számok: 1, 2, 15, 24, 362 stb. Kiderült, hogy bizonyos műveletek végrehajthatók korlátokkal.

Először is, csakúgy, mint a számjegyek és számok, bármely sorozat határértékei összeadhatók és kivonhatók. A sorozatok határaira vonatkozó harmadik tétel alapján a következő egyenlőség igaz: a sorozatok összegének határa egyenlő a határértékeik összegével.

Másodszor, a sorozatok határaira vonatkozó negyedik tétel alapján a következő egyenlőség igaz: az n-edik sorozatok szorzatának határa egyenlő a határértékeik szorzatával. Ugyanez igaz az osztásra is: két sorozat hányadosának határa egyenlő a határértékeik hányadosával, feltéve, hogy a határérték nem egyenlő nullával. Végül is, ha a sorozatok határa nulla, akkor a nullával való osztás kiderül, ami lehetetlen.

Sorozatérték tulajdonságai

Úgy tűnik, hogy a numerikus sorozat határát már meglehetősen részletesen elemezték, de az olyan kifejezéseket, mint a „végtelenül kicsi” és a „végtelenül nagy” számok többször említik. Nyilvánvalóan, ha van egy 1/x sorozat, ahol x→∞, akkor egy ilyen tört végtelenül kicsi, és ha ugyanaz a sorozat, de a határ nullára hajlik (x→0), akkor a tört végtelenül nagy értékké válik. . És az ilyen értékeknek megvannak a saját jellemzőik. Egy tetszőleges kis vagy nagy értékkel rendelkező sorozat határértékének tulajdonságai a következők:

1. Tetszőleges számú tetszőlegesen kis mennyiség összege is kis mennyiség lesz.
2. Tetszőleges számú nagy érték összege végtelenül nagy érték lesz.
3. Tetszőlegesen kis mennyiségek szorzata végtelenül kicsi.
4. Tetszőlegesen nagy számok szorzata végtelenül nagy mennyiség.
5. Ha az eredeti sorozat egy végtelen számra hajlik, akkor annak reciproka végtelenül kicsi lesz, és nullára hajlik.

Valójában egy sorozat határának kiszámítása nem is olyan nehéz feladat, ha ismerünk egy egyszerű algoritmust. De a sorozatok határai olyan téma, amely maximális odafigyelést és kitartást igényel. Természetesen elég egyszerűen felfogni az ilyen kifejezések megoldásának lényegét. Kicsiből indulva idővel nagy magasságokat is elérhetsz.

Sorozat- és függvényhatárok meghatározása, határértékek tulajdonságai, első és második figyelemre méltó határértékek, példák.

állandó szám a hívott határ sorozatok(x n) ha bármely tetszőlegesen kis ε > 0 pozitív számhoz létezik olyan N szám, hogy minden érték x n, amelyre n>N, elégítsük ki az egyenlőtlenséget

Írja fel a következőképpen: vagy x n → a.

A (6.1) egyenlőtlenség ekvivalens a kettős egyenlőtlenséggel

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, valamilyen n>N számból kiindulva, az (a-ε , a+ε) intervallumon belül helyezkednek el, azaz. esnek a pont bármely kis ε-szomszédságába a.

Egy határértékkel rendelkező sorozatot nevezünk összetartó, másképp - divergens.

A függvény határának fogalma a sorozat határértéke fogalmának általánosítása, mivel a sorozat határértéke egy egész argumentum x n = f(n) függvényének határértékének tekinthető. n.

Legyen adott egy f(x) függvény, és legyen a - határpont ennek a függvénynek a definíciós tartománya D(f), azaz. olyan pont, amelynek bármely szomszédságában a D(f) halmaz különböző pontjai vannak a. Pont a tartozhat vagy nem a D(f) halmazba.

1. definíció. Az A konstans számot hívják határ funkciókat f(x) nál nél x→ a if bármely (x n ) argumentumérték sorozathoz, amely arra hajlik a, a megfelelő sorozatok (f(x n)) azonos A határértékkel rendelkeznek.

Ezt a meghatározást hívják függvény határának meghatározása Heine szerint, vagy " a szekvenciák nyelvén”.

2. definíció. Az A konstans számot hívják határ funkciókat f(x) nál nél x→a, ha egy tetszőleges, tetszőlegesen kis ε pozitív szám megadásával δ >0 (ε-től függően) úgy találjuk, hogy mindenre x, a szám ε-szomszédságában fekszik a, azaz számára x az egyenlőtlenség kielégítése
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ezt a meghatározást hívják egy függvény határának meghatározása Cauchy szerint, vagy „az ε - δ nyelven"

Az 1. és 2. definíció egyenértékű. Ha az f(x) mint x → a függvény rendelkezik határ egyenlő A-val, ezt így írjuk

Abban az esetben, ha az (f(x n)) sorozat korlátlanul nő (vagy csökken) bármely közelítési módszernél x a határodig a, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény rendelkezik végtelen határ,és így írd le:

Olyan változót (azaz sorozatot vagy függvényt), amelynek határértéke nulla, hívunk végtelenül kicsi.

Olyan változót hívunk, amelynek határértéke egyenlő a végtelennel végtelenül nagy.

A határ gyakorlati meghatározásához használja a következő tételeket.

1. tétel . Ha minden határ létezik

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Megjegyzés. A 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ formájú kifejezések határozatlanok, például két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiség aránya, és az ilyen határérték megtalálását „bizonytalansági feltárásnak” nevezzük.

2. tétel.

azok. konstans kitevővel át lehet lépni a fok alapján lévő határértékre, különösen,

3. tétel.

(6.11)

ahol e» 2,7 a természetes logaritmus alapja. A (6.10) és (6.11) képleteket az első figyelemre méltó határnak és a második figyelemre méltó határnak nevezzük.

A (6.11) képlet következményeit a gyakorlatban is használják:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

különösen a határ

Ha x → a és egyben x > a, akkor x →a + 0-t írjon. Ha konkrétan a = 0, akkor a 0+0 szimbólum helyett +0-t írjon. Hasonlóképpen, ha x→a és egyben x és ennek megfelelően nevezik el. jobb határés bal határ funkciókat f(x) azon a ponton a. Ahhoz, hogy az f(x) függvény határértéke x→ a formában létezzen, szükséges és elegendő, hogy . Meghívjuk az f(x) függvényt folyamatos azon a ponton x 0 ha limit

(6.15)

A (6.15) feltétel a következőképpen írható át:

vagyis a függvény előjele alatti határértékre való áthaladás akkor lehetséges, ha az adott pontban folytonos.

Ha a (6.15) egyenlőség sérül, akkor ezt mondjuk nál nél x = xo funkció f(x) Megvan rés. Tekintsük az y = 1/x függvényt. Ennek a függvénynek a tartománya a halmaz R, kivéve x = 0. Az x = 0 pont a D(f) halmaz határpontja, mivel bármelyik szomszédságában, azaz minden 0 pontot tartalmazó nyitott intervallum tartalmaz D(f) pontokat, de maga nem tartozik ebbe a halmazba. Az f(x o)= f(0) érték nincs definiálva, ezért a függvénynek megszakadása van az x o = 0 pontban.

Az f(x) függvényt meghívjuk folyamatos a jobb oldalon egy ponton x o ha limit

és folyamatos a bal oldalon egy ponton x o ha limit

Egy függvény folytonossága egy pontban x o egyenlő a folytonosságával ezen a ponton a jobb és a bal oldalon egyaránt.

Ahhoz, hogy egy függvény folytonos legyen egy pontban x o, például a jobb oldalon először is szükség van arra, hogy legyen véges határérték , másodszor, hogy ez a határ egyenlő legyen f(x o)-val. Ezért, ha e két feltétel közül legalább az egyik nem teljesül, akkor a függvényben rés lesz.

1. Ha a határ létezik, és nem egyenlő f(x o-val), akkor ezt mondják funkció f(x) azon a ponton xo-nak van első fajta törés, vagy ugrás.

2. Ha a határ +∞ vagy -∞ vagy nem létezik, akkor azt mondják, hogy in pont x o a funkciónak szünet van második fajta.

Például az y = ctg x mint x → +0 függvény határértéke +∞ , ami azt jelenti, hogy az x=0 pontban másodlagos folytonossági hiánya van. Függvény y = E(x) (egész része x) az egész abszcisszákkal rendelkező pontokban az első típusú megszakadások vagy ugrások vannak.

Olyan függvényt hívunk, amely az intervallum minden pontjában folytonos folyamatos v. A folytonos függvényt tömör görbe ábrázolja.

Egyes mennyiségek folyamatos növekedésével kapcsolatos számos probléma a második figyelemre méltó határhoz vezet. Ilyen feladatok például: a kamatos kamat törvénye szerinti járulék növekedése, az ország népességének növekedése, radioaktív anyag bomlása, baktériumok szaporítása stb.

Fontolgat példa Ya. I. Perelman, amely megadja a szám értelmezését e a kamatos kamat problémájában. Szám e van egy határ . A takarékpénztárakban évente kamatpénzt adnak az állótőkéhez. Ha gyakrabban jön létre a kapcsolat, akkor a tőke gyorsabban növekszik, mivel nagy összeg vesz részt a kamatképzésben. Vegyünk egy tisztán elméleti, erősen leegyszerűsített példát. Tegyen a bank 100 den-t. egységek évi 100%-os arányban. Ha a kamatozó pénzt csak egy év múlva adják az alaptőkéhez, akkor addigra 100 den. egységek 200 den lesz. Most lássuk, mivé lesz 100 den. egységek, ha félévente kamatpénzt adnak az alaptőkéhez. Fél év után 100 den. egységek nő 100 × 1,5 = 150, és további hat hónap múlva - 150 × 1,5 = 225 (pénzegység). Ha az év 1/3-án történik a csatlakozás, akkor egy év múlva 100 den. egységek 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. egység) lesz. A kamatpénz hozzáadásának időkeretét megnöveljük 0,1 évre, 0,01 évre, 0,001 évre stb. Aztán 100 denből. egységek egy évvel később:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. egység),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. egység),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. egység).

A csatlakozási kamat feltételeinek korlátlan csökkentésével a felhalmozott tőke nem növekszik a végtelenségig, hanem közelít egy körülbelül 271-nek megfelelő határt. Az évi 100%-ra helyezett tőke akkor sem nőhet 2,71-szeresnél többet, ha a felhalmozott kamat minden másodpercben hozzáadódik a fővároshoz, mert a határ

Példa 3.1. Egy számsorozat határértékének definíciójával bizonyítsuk be, hogy az x n =(n-1)/n sorozatnak 1-gyel egyenlő határa van.

Megoldás. Be kell bizonyítanunk, hogy bármilyen ε > 0 értéket veszünk is fel, létezik egy N természetes szám, úgy, hogy minden n > N esetén az |x n -1|< ε

Tetszőleges ε > 0. Mivel x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, akkor N megtalálásához elegendő az 1/n egyenlőtlenséget megoldani.<ε. Отсюда n>1/ε és ezért N az 1/ε egész részeként N = E(1/ε). Ezzel bebizonyítottuk, hogy a határ .

Példa 3.2. Keresse meg egy közös tag által adott sorozat határát .

Megoldás. Alkalmazza a határösszeg tételt, és keresse meg az egyes tagok határértékét. Mivel n → ∞, az egyes tagok számlálója és nevezője a végtelen felé tart, és a hányadoshatártételt nem tudjuk közvetlenül alkalmazni. Ezért először átalakulunk x n, az első tag számlálóját és nevezőjét osztva ezzel n 2, és a második n. Ezután a hányadoshatár-tételt és az összeghatár-tételt alkalmazva azt kapjuk, hogy:

Példa 3.3. . Megtalálja .

Megoldás.

Itt a fokhatártételt használtuk: egy fok határa egyenlő az alap határának fokával.

Példa 3.4. Megtalálja ( ).

Megoldás. A differenciahatártételt lehetetlen alkalmazni, mivel ∞-∞ alakú bizonytalanságunk van. Alakítsuk át az általános kifejezés képletét:

Példa 3.5. Adott egy f(x)=2 1/x függvény. Bizonyítsuk be, hogy a határ nem létezik.

Megoldás. Egy függvény határértékének 1-es definícióját használjuk sorozatként. Vegyünk egy sorozatot ( x n ), amely 0-hoz konvergál, azaz. Mutassuk meg, hogy az f(x n)= érték eltérően viselkedik a különböző sorozatoknál. Legyen x n = 1/n. Nyilván akkor a határ Válasszunk most mint x n egy közös tagú sorozat x n = -1/n, amely szintén nullára hajlik. Ezért nincs korlát.

Példa 3.6. Bizonyítsuk be, hogy a határ nem létezik.

Megoldás. Legyen x 1 , x 2 ,..., x n ,... sorozat, amelyre
. Hogyan viselkedik az (f(x n)) = (sin x n ) sorozat különböző x n → ∞ esetén

Ha x n \u003d p n, akkor sin x n \u003d sin (p n) = 0 mindenre nés korlátozza az If
xn=2 p n+ p /2, akkor sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 mindenre nés innen a határ. Így nem létezik.

Xn elemek vagy sorozattagok, n pedig sorozattagok. Ha az f(n) függvényt analitikusan, azaz képlettel adjuk meg, akkor xn=f(n)-et a sorozat egy tagjának képletének nevezzük.

Az a számot az (xn) sorozat határértékének nevezzük, ha bármely ε>0 esetén létezik olyan n=n(ε) szám, amelyből kiindulva az |xn-a |

2. példa Bizonyítsuk be, hogy az 1. példa feltételei mellett az a=1 szám nem a határa az előző példa sorozatának. Megoldás. Egyszerűsítse újra a sorozat közös tagját. Vegyük ε=1-et (ez bármilyen szám>

A sorozat határértékének közvetlen kiszámításának problémái meglehetősen monotonok. Mindegyik tartalmaz polinomok arányát n-hez, vagy irracionális kifejezéseket ezekhez a polinomokhoz. A megoldás megkezdésekor vegye ki a legmagasabb fokon lévő komponens zárójelét (gyökjelét). Tegyük fel, hogy az eredeti kifejezés számlálója esetén ez az a^p faktor megjelenéséhez vezet, a nevezőhöz pedig a b^q. Nyilvánvaló, hogy az összes többi tag C / (n-k) alakú, és nullára hajlamos, ha n>

A sorozat határértékének kiszámításának első módja a definíción alapul. Igaz, nem szabad elfelejteni, hogy nem ad módot a határ közvetlen keresésére, hanem csak annak bizonyítását teszi lehetővé, hogy bizonyos a szám határérték (vagy nem) 1. példa Bizonyítsuk be, hogy az (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) határértéke a=3. Megoldás. Bizonyítsuk be a definíció fordított sorrendben történő alkalmazásával! Vagyis jobbról balra. Először ellenőrizze, hogy lehetséges-e egyszerűsíteni az xn képletét.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2) Tekintsük a |(3n+1)/(n+2)-3|0 egyenlőtlenséget, bármelyik nε nagyobb természetes számot megtalálhatjuk mint -2+ 5/ε.

2. példa Bizonyítsuk be, hogy az 1. példa feltételei mellett az a=1 szám nem a határa az előző példa sorozatának. Megoldás. Egyszerűsítse újra a sorozat közös tagját. Legyen ε=1 (ez bármilyen szám >0) Írja fel az általános definíció végső egyenlőtlenségét |(3n+1)/(n+2)-1|

A sorozat határértékének közvetlen kiszámításának problémái meglehetősen monotonok. Mindegyik tartalmaz polinomok arányát n-hez, vagy irracionális kifejezéseket ezekhez a polinomokhoz. A megoldás megkezdésekor vegye ki a legmagasabb fokon lévő komponens zárójelét (gyökjelét). Tegyük fel, hogy az eredeti kifejezés számlálója esetén ez az a^p faktor megjelenéséhez vezet, a nevezőhöz pedig a b^q. Nyilvánvaló, hogy az összes többi tag С/(n-k) alakú, és n>k esetén nullára hajlik (n a végtelenbe hajlik). Ezután írja le a választ: 0, ha pq.

Jelöljünk meg egy nem hagyományos módszert a sorozat és a végtelen összegek határának meghatározására. Funkcionális sorozatokat fogunk használni (függvénytagjaik valamilyen (a,b) intervallumon definiálva) 3. példa Keresse meg az 1+1/2 alak összegét! +1/3! +…+1/n! +…=s .Megoldás. Bármely szám a^0=1. Tegye fel az 1=exp(0) értéket, és vegye figyelembe a függvénysorozatot (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}