Hogyan lehet megtalálni az elmozdulási modulust a fizikában? (talán van valami univerzális képlet?). Vektorok és műveletek vektorokon Mi a vektorvektor

Egységvektor- azt vektor, amelynek abszolút értéke (modulusa) egyenlő eggyel. Egy egységvektor jelölésére az e alsó indexet használjuk, tehát ha adott egy vektor a, akkor egységvektora lesz a vektor a e) Ez az egységvektor ugyanabba az irányba mutat, mint maga a vektor a, és a modulusa egyenlő eggyel, azaz a e \u003d 1.

Nyilvánvalóan, a= a a e (a - vektor modulus a). Ez abból a szabályból következik, amely szerint a skalárt vektorral megszorozzuk.

Egységvektorok gyakran a koordinátarendszer koordinátatengelyeihez kapcsolódnak (különösen a derékszögű koordinátarendszer tengelyeihez). Ezek irányai vektorok egybeesnek a megfelelő tengelyek irányaival, és origójukat gyakran kombinálják a koordinátarendszer origójával.

Hadd emlékeztesselek erre Derékszögű koordinátarendszer térben hagyományosan az origónak nevezett pontban metsző, egymásra merőleges tengelyek hármasának nevezik. A koordinátatengelyeket általában X, Y, Z betűkkel jelöljük, és abszcissza tengelynek, ordináta tengelynek, illetve alkalmazási tengelynek nevezzük. Maga Descartes csak egy tengelyt használt, amelyen az abszcisszákat ábrázolták. használat érdeme rendszerek tengelye a tanítványaié. Ezért a kifejezés Derékszögű koordinátarendszer történelmileg rossz. Inkább beszélj négyszögletes koordináta-rendszer vagy ortogonális koordinátarendszer. Ennek ellenére nem változtatunk a hagyományokon, és a jövőben feltételezzük, hogy a derékszögű és a derékszögű (ortogonális) koordinátarendszer egy és ugyanaz.

Egységvektor, amely az X tengely mentén van irányítva, jelöli én, egységvektor, amely az Y tengely mentén van irányítva, jelöli j, a egységvektor, amely a Z tengely mentén van irányítva, jelöli k. Vektorok én, j, k hívott orts(12. ábra balra) egyetlen modullal rendelkeznek, azaz
i = 1, j = 1, k = 1.

tengelyek és orts derékszögű koordinátarendszer bizonyos esetekben más nevük és elnevezésük is van. Tehát az X abszcissza tengelyt érintő tengelynek nevezhetjük, és egységvektorát jelöljük τ (görög kisbetű tau), az y tengely a normáltengely, egységvektorát jelöljük n, az alkalmazási tengely a binormális tengelye, egységvektorát jelöljük b. Miért változtatjuk meg a neveket, ha a lényeg ugyanaz marad?

A helyzet az, hogy például a mechanikában a testek mozgásának tanulmányozásakor nagyon gyakran használnak téglalap alakú koordináta-rendszert. Tehát, ha maga a koordinátarendszer mozdulatlan, és egy mozgó objektum koordinátáinak változását követjük ebben a mozdulatlan rendszerben, akkor általában a tengelyek X, Y, Z, és orts illetőleg én, j, k.

De gyakran, amikor egy objektum valamilyen görbe vonalú pálya mentén mozog (például egy kör mentén), kényelmesebb figyelembe venni a mechanikai folyamatokat egy koordinátarendszerben, amely ezzel az objektummal együtt mozog. Egy ilyen mozgó koordináta-rendszerhez a tengelyek más nevei és mértékegységvektoraik is használatosak. Egyszerűen elfogadott. Ebben az esetben az X-tengely érintőlegesen a pályára irányul azon a ponton, ahol ez az objektum éppen található. És akkor ezt a tengelyt már nem X tengelynek hívják, hanem érintő tengelynek, és az egységvektorát már nem jelölik én, a τ . Az Y tengely a pálya görbületi sugara mentén irányul (körben történő mozgás esetén a kör közepére). És mivel a sugár merőleges az érintőre, a tengelyt a normál tengelyének nevezik (a merőleges és a normál ugyanaz). Ennek a tengelynek az ort-ja már nincs jelölve j, a n. A harmadik tengely (az előbbi Z) merőleges az előző két tengelyre. Ez egy binormális vektorral b(12. ábra, jobbra). Egyébként ebben az esetben derékszögű koordinátarendszer gyakran "természetesnek" vagy természetesnek nevezik.

A vektor a geometriában egy irányított szakasz vagy egy rendezett pontpár az euklideszi térben. Ortom vektor egy normált vektortér egységvektora vagy egy olyan vektor, amelynek normája (hossza) egyenlő eggyel.

Szükséged lesz

• Geometriai ismeretek.

Utasítás

Először ki kell számítania a hosszát vektor. Mint tudod, a hossz (modulus) vektor egyenlő a koordináták négyzetösszegének négyzetgyökével. Legyen adott egy vektor koordinátákkal: a(3, 4). Ekkor a hossza |a| = (9 + 16)^1/2 vagy |a|=5.

Ort megtalálni vektor a, mindegyiket el kell osztani a hosszával. Az eredmény egy vektor lesz, amelyet ort-nak vagy egységvektornak nevezünk. Mert vektor a(3, 4) ort az a(3/5, 4/5) vektor lesz. Vektor a` egyetlen lesz vektor a.

Az ort helyes megtalálásának ellenőrzéséhez a következőket teheti: keresse meg a fogadott ort hosszát, ha egyenlő eggyel, akkor mindent helyesen talál, ha nem, akkor hiba csúszott a számításokba. Ellenőrizzük, hogy az ort a` helyesen található-e. Hossz vektor a` egyenlő: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Tehát a hossz vektor a` egyenlő eggyel, így az egységvektor helyesen található.

Végül a kezembe került egy kiterjedt és régóta várt téma analitikus geometria. Először is, egy kicsit a felsőbb matematika e szakaszáról… Bizonyára most eszébe jutott az iskolai geometriatanfolyam számos tétellel, azok bizonyításával, rajzával stb. Mit kell titkolni, a hallgatók jelentős része számára nem szeretett és gyakran homályos tárgy. Az analitikus geometria, furcsa módon, érdekesebbnek és hozzáférhetőbbnek tűnhet. Mit jelent az "analitikus" jelző? Rögtön két bélyeges matematikai fordulat jut eszembe: a „megoldás grafikus módszere” és az „analitikus megoldási módszer”. Grafikus módszer, természetesen grafikonok, rajzok készítéséhez kapcsolódik. Elemző azonos módszer problémamegoldással jár túlnyomórészt algebrai műveletekkel. Ebben a tekintetben az analitikai geometria szinte minden problémájának megoldására szolgáló algoritmus egyszerű és átlátható, gyakran elegendő a szükséges képletek pontos alkalmazása - és a válasz kész! Nem, természetesen rajzok nélkül egyáltalán nem megy, ráadásul az anyag jobb megértése érdekében igyekszem a szükségesnél nagyobb mértékben hozni azokat.

A geometria órák nyílt kurzusa nem igényli az elméleti teljességet, a gyakorlati feladatok megoldására koncentrál. Előadásaimban csak azt veszem fel, ami az én szemszögemből gyakorlati szempontból fontos. Ha bármely alfejezetben teljesebb hivatkozásra van szüksége, ajánlom a következő, könnyen hozzáférhető irodalmat:

1) Egy dolog, ami nem vicc, több generáció számára ismerős: Iskolai tankönyv a geometriáról, szerzők - L.S. Atanasyan and Company. Ez az iskolai öltözői fogas már 20 (!) újrakiadást kibírt, ami persze nem a határ.

2) Geometria 2 kötetben. Szerzői L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ez felsőoktatási irodalom, szüksége lesz rá első kötet. A ritkán előforduló feladatok kieshetnek a látómezőmből, és az oktatóanyag felbecsülhetetlen segítséget jelent.

Mindkét könyv ingyenesen letölthető online. Ezen kívül kész megoldásokkal használhatod az archívumomat, mely az oldalon található Töltsön le felsőbb matematikai példákat .

Az eszközök közül ismét saját fejlesztést ajánlok - Szoftver csomag az analitikus geometrián, ami nagyban leegyszerűsíti az életet és sok időt takarít meg.

Feltételezhető, hogy az olvasó ismeri az alapvető geometriai fogalmakat és ábrákat: pont, egyenes, sík, háromszög, paralelogramma, paralelcső, kocka stb. Célszerű megjegyezni néhány tételt, legalább a Pitagorasz-tételt, hello ismétlők)

És most szekvenciálisan megvizsgáljuk: a vektor fogalmát, a vektorokkal végzett műveleteket, a vektorkoordinátákat. Tovább olvasásra javaslom a legfontosabb cikk Vektorok pontszorzata , valamint Vektor és vektorok vegyes szorzata . Egy helyi feladat nem lesz felesleges - A szegmens felosztása ebből a szempontból. A fenti információk alapján megteheti síkban lévő egyenes egyenlete Val vel a megoldások legegyszerűbb példái , ami lehetővé teszi megtanulják a geometriai feladatok megoldását . A következő cikkek is hasznosak: Egyenlet egy sík térben , Egyenes egyenletei a térben , Alapfeladatok egyenesen és síkon, az analitikus geometria egyéb ágai. Természetesen a szokásos feladatokat is figyelembe veszik az út során.

A vektor fogalma. ingyenes vektor

Először is ismételjük meg a vektor iskolai definícióját. Vektor hívott irányította egy szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje a pont, a szakasz vége a pont. Magát a vektort jelöli. Irány elengedhetetlen, ha átrendezed a nyilat a szegmens másik végére, akkor kapsz egy vektort, és ez már teljesen más vektor. Kényelmes a vektor fogalmát a fizikai test mozgásával azonosítani: el kell ismerni, hogy egy intézet ajtaján belépni vagy egy intézet ajtaján elhagyni teljesen más dolog.

Célszerű egy sík, tér egyes pontjait ún nulla vektor. Egy ilyen vektornak ugyanaz a vége és a kezdete.

!!! Jegyzet: Itt és lent feltételezhetjük, hogy a vektorok egy síkban fekszenek, vagy feltételezhetjük, hogy térben helyezkednek el - a bemutatott anyag lényege síkra és térre egyaránt érvényes.

Megnevezések: Sokan azonnal felhívták a figyelmet egy botra, ahol nincs nyíl a megjelölésben, és azt mondták, hogy a tetejére is tettek nyilat! Így van, nyíllal írható: , de megengedhető és rekordot, amelyet később felhasználok. Miért? Nyilván gyakorlati megfontolásokból alakult ki egy ilyen szokás, az iskolai és egyetemi lövöldözőim túl sokrétűnek és bozontosnak bizonyultak. Az ismeretterjesztő irodalomban néha egyáltalán nem foglalkoznak az ékírással, hanem félkövér betűkkel emelik ki: , ezzel is utalva arra, hogy ez egy vektor.

Ez volt a stílus, és most a vektorok írásának módjairól:

1) A vektorok két nagy latin betűvel írhatók:
stb. Míg az első betű szükségszerűen a vektor kezdőpontját, a második betű pedig a vektor végpontját jelöli.

2) A vektorokat kis latin betűkkel is írják:
A vektorunkat a rövidség kedvéért egy kis latin betűvel át lehet jelölni.

Hossz vagy modult a nullától eltérő vektort a szakasz hosszának nevezzük. A nullvektor hossza nulla. Logikusan.

Egy vektor hosszát a modulo jellel jelöljük: ,

Hogy hogyan találjuk meg egy vektor hosszát, azt egy kicsit később megtudjuk (vagy megismételjük, kinek hogyan).

Ez alapvető információ volt a vektorról, minden iskolás számára ismerős. Az analitikus geometriában az ún ingyenes vektor.

Ha nagyon egyszerű... vektor bármely pontból rajzolható:

Korábban az ilyen vektorokat egyenlőnek neveztük (az egyenlő vektorok definícióját az alábbiakban közöljük), de pusztán matematikai szempontból ez UGYANAZ a VEKTOR ill. ingyenes vektor. Miért ingyenes? Mert a feladatmegoldás során a sík vagy tér BÁRMELY pontjához „rákapcsolhatja” egyik vagy másik „iskola” vektort. Ez egy nagyon klassz ingatlan! Képzeljünk el egy tetszőleges hosszúságú és irányú irányított szegmenst - végtelen sokszor és a tér bármely pontján "klónozható", sőt, MINDENHOL létezik. Van egy ilyen hallgatói közmondás: Minden előadó f ** u-ban a vektorban. Végül is ez nem csak egy szellemes rím, szinte minden rendben van - oda is csatolható egy irányított szegmens. De ne rohanjon örülni, maguk a diákok gyakrabban szenvednek =)

Így, ingyenes vektor- azt Egy csomó azonos irányú szegmensek. A vektor iskolai definíciója, amely a bekezdés elején található: „Az irányított szegmenst vektornak nevezzük…” különleges adott halmazból vett irányított szakasz, amely a sík vagy tér egy bizonyos pontjához kapcsolódik.

Meg kell jegyezni, hogy a fizika szempontjából a szabad vektor fogalma általában téves, és az alkalmazás szempontja számít. Valóban, egy ugyanolyan erejű közvetlen ütés az orron vagy a homlokon elég ahhoz, hogy hülye példámat fejlessze, más-más következményekkel jár. Azonban, nem ingyenes vektorok találkozikés a vyshmat során (ne menj oda :)).

Műveletek vektorokkal. A vektorok kollinearitása

Az iskolai geometria tanfolyamon számos vektoros műveletet és szabályt figyelembe vesznek: összeadás a háromszög szabály szerint, összeadás a paralelogramma szabály szerint, a vektorok különbségének szabálya, a vektor szorzása egy számmal, a vektorok skaláris szorzata stb. Magunkként megismételünk két olyan szabályt, amelyek különösen fontosak az analitikus geometria problémáinak megoldására.

Vektorok összeadásának szabálya a háromszögek szabálya szerint

Tekintsünk két tetszőleges nem nulla vektort és:

Meg kell találni ezeknek a vektoroknak az összegét. Tekintettel arra, hogy minden vektort szabadnak tekintünk, a vektort elhalasztjuk vége vektor:

A vektorok összege a vektor. A szabály jobb megértése érdekében célszerű fizikai jelentést adni bele: hagyjon valamilyen testet a vektoron, majd a vektoron végigmenni. Ekkor a vektorok összege a kapott útvonal vektora, amely a kiindulási pontnál kezdődik és az érkezési pontnál végződik. Hasonló szabályt fogalmaznak meg tetszőleges számú vektor összegére. Ahogy mondani szokták, a test erősen cikcakkosan, esetleg autopilótán is haladhat – a kapott összegvektor mentén.

By the way, ha a vektor elhalasztják Rajt vektor, akkor megkapjuk az ekvivalenst paralelogramma szabály vektorok összeadása.

Először is a vektorok kollinearitásáról. A két vektort ún kollineáris ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek. Nagyjából véve párhuzamos vektorokról beszélünk. De velük kapcsolatban mindig a "kollineáris" jelzőt használják.

Képzeljünk el két kollineáris vektort. Ha ezeknek a vektoroknak a nyilai ugyanabba az irányba mutatnak, akkor az ilyen vektorokat hívjuk társirányú. Ha a nyilak különböző irányokba néznek, akkor a vektorok ilyenek lesznek ellentétes irányú.

Megnevezések: A vektorok kollinearitása a szokásos párhuzamossági ikonnal írható: , míg a részletezés lehetséges: (a vektorok együtt irányítottak) vagy (a vektorok ellentétes irányúak).

munka egy számmal nem nulla vektor egy olyan vektor, amelynek hossza egyenlő , és a és a vektorok együtt irányulnak és ellentétes irányúak.

A vektor számmal való szorzásának szabálya könnyebben érthető képpel:

Részletesebben megértjük:

1 irány. Ha a szorzó negatív, akkor a vektor irányt változtat az ellenkezőjére.

2) Hossz. Ha a tényezőt vagy belül tartalmazza, akkor a vektor hossza csökken. Tehát a vektor hossza kétszer kisebb, mint a vektor hossza. Ha a modulo szorzó nagyobb, mint egy, akkor a vektor hossza növeli időben.

3) Kérjük, vegye figyelembe minden vektor kollineáris, míg az egyik vektor egy másikon keresztül fejeződik ki, például . Ennek a fordítottja is igaz: ha egy vektor kifejezhető egy másikkal, akkor az ilyen vektorok szükségszerűen kollineárisak. Ilyen módon: ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor kollineárist kapunk(az eredetihez képest) vektor.

4) A vektorok egyirányúak. A és vektorok szintén koirányúak. Az első csoport bármely vektora ellentétes a második csoport bármely vektorával.

Mely vektorok egyenlők?

Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és azonos hosszúságúak. Megjegyzendő, hogy az együttirányú irányítás azt jelenti, hogy a vektorok kollineárisak. A definíció pontatlan (redundáns) lesz, ha azt mondja: "Két vektor egyenlő, ha kollineárisak, együtt irányítottak és azonos hosszúságúak."

A szabad vektor fogalma szempontjából az egyenlő vektorok ugyanazok a vektorok, amiről az előző bekezdésben már volt szó.

Vektor koordináták a síkon és a térben

Az első pont az, hogy vegyük figyelembe a vektorokat egy síkon. Rajzolj fel egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert, és tedd félre az origótól egyetlen vektorok és:

Vektorok és ortogonális. Ortogonális = merőleges. Azt javaslom, hogy lassan szokja meg a kifejezéseket: a párhuzamosság és a merőlegesség helyett használjuk a szavakat, ill kollinearitásés ortogonalitás.

Kijelölés: vektorok merőlegességét a szokásos merőleges előjellel írjuk, például: .

A figyelembe vett vektorokat ún koordináta vektorok vagy orts. Ezek a vektorok kialakulnak alapon a felszínen. Hogy mi az alap, az szerintem sokak számára intuitív módon világos, részletesebb információk a cikkben találhatók A vektorok lineáris (nem) függése. Vektoros alapon .Egyszerű szavakkal, a koordináták alapja és origója meghatározza az egész rendszert - ez egyfajta alap, amelyen a teljes és gazdag geometriai élet forr.

Néha a konstruált bázist ún ortonormális sík alapja: "orto" - mivel a koordinátavektorok merőlegesek, a "normalizált" jelző egységet, azaz egységet jelent. a bázisvektorok hossza eggyel egyenlő.

Kijelölés: zárójelbe szokták írni az alapot, amelyen belül szigorú sorrendben bázisvektorok vannak felsorolva, például: . Koordinátavektorok ez tiltott helyet cserélni.

Bármi sík vektor az egyetlen módja kifejezve:
, ahol - számok, amelyek az úgynevezett vektor koordináták ezen az alapon. De maga a kifejezés hívott vektorbontásalapon .

Felszolgált vacsora:

Kezdjük az ábécé első betűjével: . A rajzon jól látható, hogy a vektor bázis szerinti felbontásakor az imént figyelembe vetteket használjuk:
1) egy vektor számmal való szorzásának szabálya: és ;
2) vektorok összeadása a háromszögszabály szerint: .

Most mentálisan tedd félre a vektort a sík bármely más pontjáról. Teljesen nyilvánvaló, hogy korrupciója "kérlelhetetlenül követni fogja őt". Itt van, a vektor szabadsága – a vektor „mindent magával visz”. Ez a tulajdonság természetesen minden vektorra igaz. Vicces, hogy magukat az alap (szabad) vektorokat nem kell félretenni az origóból, az egyiket pl balra lent, a másikat jobbra fent lehet rajzolni, és ettől nem fog változni semmi! Igaz, ezt nem kell megtenned, mert a tanár eredetiséget is mutat, és váratlan helyen „bérletet” húz neked.

A vektorok pontosan szemléltetik a vektor számmal való szorzásának szabályát, a vektor a bázisvektorral együtt van irányítva, a vektor a bázisvektorral ellentétes irányban irányul. Ezeknél a vektoroknál az egyik koordináta egyenlő nullával, ez a következőképpen írható fel aprólékosan:


A bázisvektorok pedig egyébként ilyenek: (sőt, önmagukon keresztül fejeződnek ki).

És végül: , . Egyébként mi az a vektoros kivonás, és miért nem szóltam a kivonási szabályról? Valahol a lineáris algebrában, nem emlékszem hol, megjegyeztem, hogy a kivonás az összeadás speciális esete. Tehát a "de" és az "e" vektorok kiterjesztését nyugodtan összegként írjuk fel: . Kövesse a rajzot, hogy megtudja, mennyire működik ezekben a helyzetekben a háromszögszabály szerinti vektorok jó öreg összeadása.

A forma figyelembe vett dekompozíciója néha vektorbontásnak is nevezik a rendszerben ort(vagyis az egységvektorok rendszerében). De nem ez az egyetlen módja a vektor írásának, a következő lehetőség gyakori:

Vagy egyenlőségjellel:

Magukat a bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel: és

Azaz a vektor koordinátái zárójelben vannak feltüntetve. A gyakorlati feladatokban mindhárom rögzítési lehetőséget használjuk.

Kételkedtem, hogy szóljak-e, de mégis azt mondom: a vektorkoordináták nem rendezhetők át. Szigorúan az első helyenírja fel az egységvektornak megfelelő koordinátát, szigorúan a második helyenírja le az egységvektornak megfelelő koordinátát. Valóban, és két különböző vektor.

Kitaláltuk a koordinátákat a gépen. Most vegyük figyelembe a vektorokat a háromdimenziós térben, itt minden majdnem ugyanaz! Csak egy további koordináta kerül hozzáadásra. Nehéz háromdimenziós rajzokat készíteni, ezért egy vektorra korlátozom magam, amelyet az egyszerűség kedvéért elhalasztok az eredettől:

Bármi 3d tér vektor az egyetlen módja ortonormális alapon bővíteni:
, ahol a vektor (szám) koordinátái az adott bázisban.

Példa a képről: . Nézzük meg, hogyan működnek itt a vektorművelet-szabályok. Először megszorozzuk a vektort egy számmal: (piros nyíl), (zöld nyíl) és (bíbor nyíl). Másodszor, itt van egy példa több, jelen esetben három vektor összeadására: . Az összegvektor a kiindulási pontnál kezdődik (a vektor eleje) és a végső érkezési pontban (a vektor végén) ér véget.

A háromdimenziós tér minden vektora természetesen szintén szabad, próbálja meg mentálisan elhalasztani a vektort bármely más ponttól, és meg fogja érteni, hogy a tágulása "vele marad".

Hasonlóan a repülő esethez, írás mellett széles körben használatosak a zárójeles változatok: akár .

Ha egy (vagy két) koordinátavektor hiányzik a bővítésből, akkor helyette nullákat teszünk. Példák:
vektor (precízen ) - írd le ;
vektor (alaposan) - írja le;
vektor (precízen ) - írd le .

Az alapvektorokat a következőképpen írjuk fel:

Talán itt van minden minimális elméleti tudás, amely az analitikus geometria problémáinak megoldásához szükséges. Talán túl sok a kifejezés és a meghatározás, ezért azt javaslom, hogy a bábuk olvassák el újra és értsék meg ezt az információt. És minden olvasó számára hasznos lesz, ha időnként hivatkozik az alapleckére az anyag jobb asszimilációja érdekében. Kollinearitás, ortogonalitás, ortonormális alap, vektorbontás – ezeket és más fogalmakat gyakran használjuk a következőkben. Megjegyzem, az oldal anyagai nem elegendőek egy elméleti teszt, geometriai kollokvium letételéhez, mivel minden tételt gondosan titkosítok (a bizonyítások nélkül) - a tudományos előadásmód rovására, de plusz a megértésért. a tárgyról. A részletes elméleti információkért arra kérem, hogy hajoljon meg Atanasyan professzor előtt.

Most pedig térjünk át a gyakorlati részre:

Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatai.
Műveletek koordinátákban lévő vektorokkal

A figyelembe veendő feladatokat nagyon kívánatos megtanulni teljesen automatikusan megoldani, és a képleteket memorizálni, ne is emlékezz rá szándékosan, ők maguk is emlékezni fognak rá =) Ez nagyon fontos, hiszen az analitikus geometria egyéb problémái a legegyszerűbb elemi példákon alapulnak, és bosszantó lesz több időt tölteni a gyalogevéssel. Az ing felső gombjait nem kell rögzíteni, sok minden ismerős az iskolából.

Az anyag bemutatása párhuzamos menetet fog követni - sík és tér szempontjából egyaránt. Azért, mert az összes képletet... meglátod magad.

Hogyan találhatunk egy vektort két ponton?

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

Ha a térben két pont és és adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

vagyis a vektor végének koordinátáiból ki kell vonni a megfelelő koordinátákat vektor indítás.

Gyakorlat: Ugyanezekre a pontokra írjuk fel a vektor koordinátáinak megkeresésére szolgáló képleteket! Képletek az óra végén.

1. példa

Adott két pont a síkban és . Keresse meg a vektor koordinátáit

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Alternatív megoldásként a következő jelölés használható:

Az esztéták így döntenek:

Én személy szerint hozzászoktam a lemez első verziójához.

Válasz:

A feltétel szerint nem kellett rajzot készíteni (ami jellemző az analitikus geometriai problémákra), de azért, hogy néhány pontot elmagyarázzak a figuráknak, nem leszek lusta:

Meg kell érteni pontkoordináták és vektorkoordináták közötti különbség:

Pont koordinátái a téglalap alakú koordinátarendszer szokásos koordinátái. Szerintem 5-6. osztálytól mindenki tudja, hogyan kell pontokat ábrázolni a koordinátasíkon. Minden pontnak szigorú helye van a síkon, és nem mozgathatók sehova.

Ugyanannak a vektornak a koordinátái a kiterjesztése a bázishoz képest, ebben az esetben. Bármely vektor szabad, ezért ha akarjuk vagy szükséges, könnyen elhalaszthatjuk a sík egy másik pontjáról. Érdekes módon vektorokhoz egyáltalán nem lehet tengelyt építeni, derékszögű koordinátarendszert, csak egy bázisra van szükség, jelen esetben a sík ortonormális bázisára.

A pontkoordináták és vektorkoordináták rekordjai hasonlónak tűnnek: , és koordináták érzékelése teljesen különböző, és tisztában kell lennie ezzel a különbséggel. Ez a különbség természetesen a térre is igaz.

Hölgyeim és uraim, megtöltjük a kezünket:

2. példa

a) Adott pontok és . Keresse meg a vektorokat és .
b) Pontokat adunk és . Keresse meg a vektorokat és .
c) Adott pontok és . Keresse meg a vektorokat és .
d) Pontokat adnak. Keressen vektorokat .

Talán elég. Ezek példák egy önálló döntésre, próbáld meg ne hanyagold el, kifizetődik ;-). Rajzok nem szükségesek. Megoldások és válaszok az óra végén.

Mi a fontos az analitikus geometria problémáinak megoldásában? Fontos, hogy RENDKÍVÜL ÓVATOSAN legyünk, hogy elkerüljük a mesteri „kettő plusz kettő egyenlő nulla” hibát. Előre is elnézést kérek, ha hibáztam =)

Hogyan lehet megtudni egy szakasz hosszát?

A hosszt, mint már említettük, a modulusjel jelzi.

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki

Ha a térben két pont és és adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki

Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat felcseréljük: és , de az első lehetőség szabványosabb

3. példa

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot

szakasz - ez nem vektor, és persze nem tudod sehova mozgatni. Ezenkívül, ha a rajzot méretarányosan tölti ki: 1 egység. \u003d 1 cm (két tetrad cella), akkor a válasz egy szabályos vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.

Igen, a megoldás rövid, de van benne pár fontos pont, amit szeretnék tisztázni:

Először a válaszban beállítjuk a dimenziót: „egységek”. A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért az általános megfogalmazás matematikailag kompetens megoldás lesz: „egységek” - rövidítve „egységek”.

Másodszor, ismételjük meg az iskolai anyagot, amely nem csak a vizsgált probléma esetén hasznos:

figyelni fontos technikai trükk – a szorzót kivéve a gyökér alól. A számítások eredményeként megkaptuk az eredményt, és a jó matematikai stílushoz hozzátartozik, hogy a szorzót kivesszük a gyökér alól (ha lehetséges). A folyamat részletesebben így néz ki: . Természetesen nem hiba az űrlapon hagyni a választ – de ez mindenképpen hiba és nyomós érv a tanári trükközés mellett.

Íme más gyakori esetek:

Gyakran elég nagy számot kapunk például a gyökér alatt. Hogyan lehet ilyen esetekben? A számológépen ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e 4-gyel:. Igen, teljesen felosztva, így: . Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? . Ilyen módon: . A szám utolsó számjegye páratlan, így a 4-gyel való osztás harmadszorra nyilvánvalóan nem lehetséges. Kilenccel próbálva osztani: . Ennek eredményeként:
Kész.

Következtetés: ha a gyökér alatt teljesen ki nem vonható számot kapunk, akkor a gyökér alól próbáljuk kivenni a tényezőt - a számológépen megnézzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49, stb.

A különböző problémák megoldása során gyakran találnak gyökereket, mindig próbálja meg a gyökér alól kiszedni a tényezőket, hogy elkerülje az alacsonyabb pontszámot és a felesleges problémákat a megoldások véglegesítésével a tanár megjegyzése szerint.

Ismételjük meg a gyökök és más hatványok négyzetre emelését egyszerre:

A fokozatos cselekvések szabályai általános formában megtalálhatóak egy iskolai algebrai tankönyvben, de azt gondolom, hogy a megadott példákból már minden vagy majdnem minden kiderül.

Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:

4. példa

Adott pontok és . Keresse meg a szakasz hosszát.

Megoldás és válasz a lecke végén.

Hogyan találjuk meg a vektor hosszát?

Ha adott egy síkvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki.

Ha adott egy térvektor, akkor annak hosszát a képlet számítja ki .

Vagy az ort (normált vektortér egységvektora) olyan vektor, amelynek normája (hossza) egyenlő eggyel. Mértékegységvektor ... Wikipédia

- (vagy) egy vektor, amelynek hossza megegyezik a kiválasztott skála egységével ... Nagy enciklopédikus szótár

- (ort), egy vektor, amelynek hossza megegyezik a kiválasztott skála egységével. * * * UNIT VECTOR UNIT VECTOR (orth), egy vektor, amelynek hossza megegyezik a kiválasztott skála egységével ... enciklopédikus szótár

Orth, egy vektor, amelynek hossza megegyezik a kiválasztott skála egységével. Bármely a vektor megszerezhető a vele kollineáris E.v-ből. e egy λ számmal (skalárral) megszorozva, azaz a = λe. Lásd még: Vektorszámítás… Nagy szovjet enciklopédia

- (ort), vektor, amelynek hossza megegyezik a kiválasztott skála mértékegységével ... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Orth: A Wikiszótárban az "orth" szócikk szerepel: Orf, vagy Orth, a kétfejű kutya, Typhon és Echidna, Cerberus testvére leszármazottja. Orth ... Wikipédia

A; m [it. Ort] 1. Kürt. Vízszintes földalatti bánya, amely a felszínhez való közvetlen hozzáférés nélkül működik. 2. Matek. Egy vektor, amelynek hossza egy. * * * ort I (a görög orthós direct szóból), ugyanaz, mint az egységvektor. II (német ...... enciklopédikus szótár