Egy egyenes normálvektora (normálvektor). Egyenes vonal a gépen. A közvetlen egyenlet és a fordított állítás linearitása. Vezető- és normálvektorok Normálvektor-egyenlet

Számos olyan feladat van, amelynek megoldásához a síkon egy normálvektor kell, mint maga a sík. Ezért ebben a cikkben választ kapunk a normálvektor meghatározásának kérdésére példákkal és vizuális rajzokkal. Határozzuk meg a háromdimenziós tér és sík vektorait egyenletekkel.

Ahhoz, hogy az anyag könnyen asszimilálható legyen, először tanulmányozni kell a térbeli egyenes elméletét, valamint síkon és vektorokon való ábrázolását.

1. definíció

A sík normálvektora minden olyan nem nulla vektor, amely az adott síkra merőleges egyenesen fekszik.

Ez azt jelenti, hogy az adott síkban nagyszámú normálvektor van. Tekintsük az alábbi ábrát.

A normálvektorok párhuzamos egyeneseken vannak, tehát mindegyik kollineáris. Vagyis a γ síkban elhelyezkedő n → normálvektorral a t · n → vektor, amelynek a t paramétere nullától eltérő értéke van, egyben a γ sík normálvektora is. Bármely vektort egy olyan egyenes irányító vektorának tekinthetjük, amely merőleges erre a síkra.

Vannak esetek, amikor a síkok normálvektorai egybeesnek az egyik párhuzamos sík merőlegessége miatt, mivel az egyenes a második síkra is merőleges. Ebből következik, hogy a merőleges síkok normálvektorainak merőlegesnek kell lenniük.

Tekintsük egy síkon lévő normálvektor példáját.

Háromdimenziós térben adott egy O x y z derékszögű koordináta-rendszer. Az i → , j → , k → koordinátavektorokat az O y z , O x z és O x y síkok normálvektorainak tekintjük. Ez az ítélet helyes, mivel i → , j → , k → nem nulla, és az O x , O y és O z koordinátaegyeneseken helyezkednek el. Ezek az egyenesek merőlegesek az O y z , O x z és O x y koordinátasíkra.

Sík normál vektorkoordinátái – Sík normál vektorkoordinátáinak keresése a síkegyenletből

A cikk célja, hogy megtanítsa, hogyan lehet megtalálni a sík normálvektorának koordinátáit az O x y z derékszögű koordinátarendszer síkjának ismert egyenletével. Az n → = (A , B , C) normálvektor meghatározásához a síkban szükség van a sík általános egyenletére, amelynek alakja A x + B y + C z + D = 0 . Vagyis elég a sík egyenlete, akkor meg lehet találni a normálvektor koordinátáit.

1. példa

Határozzuk meg a 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 síkhoz tartozó normálvektor koordinátáit!

Megoldás

Feltétel szerint megvan a sík egyenlete. Figyelni kell az együtthatókra, hiszen ezek az adott sík normálvektorának koordinátái. Innen azt kapjuk, hogy n → = (2, - 3, 7) a sík normálvektora. Minden síkvektort a t · n → = 2 · t, - 3 · t, 7 · t képlettel adunk meg, t bármely nullától eltérő valós szám.

Válasz: n → = (2 , - 3 , 7) .

2. példa

Határozzuk meg az adott sík irányvektorainak koordinátáit x + 2 z - 7 = 0 !

Megoldás

Feltétel szerint a sík egy nem teljes egyenlete adott. A koordináták megtekintéséhez az x + 2 z - 7 = 0 egyenletet át kell alakítani 1 · x + 0 · y + 2 z - 7 = 0 alakra. Innen azt kapjuk, hogy ennek a síknak a normálvektorának koordinátái egyenlőek (1 , 0 , 2) . Ekkor a vektorhalmaz jelölése a következő (t, 0, 2 t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Válasz: (t , 0 , 2 t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Az xa + yb + zc \u003d 1 formájú síkegyenlet és a sík általános egyenlete segítségével felírható ennek a síknak a normálvektora, ahol a koordináták 1 a , 1 b , 1 c.

A normálvektor ismerete megkönnyíti a problémák megoldását. A gyakran előforduló feladatok a síkok párhuzamosságának vagy merőlegességének bizonyításával járó feladatok. Egy adott sík egyenleteinek összeállításához szükséges feladatok megoldása érezhetően leegyszerűsödik. Ha kérdés merül fel a síkok vagy az egyenes és a sík közötti szög megkeresésével kapcsolatban, akkor a normálvektor képletei és a koordinátáinak megtalálása segítenek ebben.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Síkdefiníciós módszerek.

A síkok kölcsönös elrendezése.

A térben két sík egybeeshet. Ebben az esetben legalább három közös pontjuk van.

A térben két sík keresztezheti egymást. Két sík metszéspontja egy egyenes, amelyet az axióma állapít meg: ha két síknak van közös pontja, akkor van egy közös egyenesük, amelyen ezen síkok összes közös pontja fekszik.

Ebben az esetben felmerül a metsző síkok közötti szög fogalma. Különösen érdekes az az eset, amikor a síkok közötti szög kilencven fok. Az ilyen síkokat merőlegesnek nevezzük.

Végül a térben két sík lehet párhuzamos, vagyis nincs közös pontja.

Érdekesek azok az esetek is, amikor egy egyenes mentén több sík metszi egymást, és egy pontban több sík metszi egymást.

Soroljuk fel egy adott térbeli sík megadásának főbb módjait.

Először is, egy síkot úgy határozhatunk meg, hogy három olyan pontot rögzítünk a térben, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ez a módszer az axiómán alapul: bármely három ponton keresztül, amelyek nem ugyanazon az egyenesen vannak, csak egy sík van.

Ha egy téglalap alakú koordinátarendszer háromdimenziós térben van rögzítve, és egy síkot úgy adunk meg, hogy megadjuk három különböző pontjának koordinátáit, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el, akkor egyenletet írhatunk fel egy három adott ponton átmenő síkra.

A sík megadásának következő két módja az előző következménye. A három ponton áthaladó síkra vonatkozó axióma következményein alapulnak:

egy egyenesen és egy azon nem fekvő ponton halad át egy síkon, ráadásul csak egy;

Egy sík két egymást metsző egyenesen halad át.

A térbeli sík meghatározásának negyedik módja a párhuzamos egyenesek meghatározásán alapul. Emlékezzünk vissza, hogy a térben lévő két egyenest párhuzamosnak nevezzük, ha ugyanabban a síkban fekszenek, és nem metszik egymást. Így a térben két párhuzamos egyenes megadásával meghatározzuk az egyetlen síkot, amelyben ezek az egyenesek fekszenek.

Ha háromdimenziós térben egy téglalap alakú koordinátarendszerhez képest így adunk meg egy síkot, akkor egyenletet alkothatunk egy két párhuzamos egyenesen átmenő síkra.

A két sík párhuzamosságának jele egy másik módot ad a sík meghatározására. Emlékezzünk vissza ennek a jelnek a megfogalmazására: ha egy sík két metsző egyenese párhuzamos egy másik sík két egyenesével, akkor ezek a síkok párhuzamosak. Ezért akkor határozhatunk meg egy adott síkot, ha megadjuk azt a pontot, amelyen áthalad, és azt a síkot, amellyel párhuzamos.

Egy középiskolai kurzusban geometria órán a következő tétel bizonyításra kerül: egyetlen sík halad át a tér fix pontján, merőlegesen egy adott egyenesre. Tehát akkor tudunk síkot definiálni, ha megadunk egy pontot, amelyen áthalad, és egy rá merőleges egyenest.

Ha egy téglalap alakú koordinátarendszert háromdimenziós térben rögzítünk, és így adunk meg egy síkot, akkor egy adott egyenesre merőleges ponton átmenő síkra egyenletet lehet alkotni.

Egy síkra merőleges egyenes helyett ennek a síknak az egyik normálvektora adható meg. Ebben az esetben fel lehet írni a sík általános egyenletét.

Az egyenes vonal jó ötlete attól a pillanattól kezdődik, amikor a képével együtt egyszerre jelennek meg az irányító és a normál vektorok képei. Hasonlóképpen, amikor egy térbeli síkra hivatkozunk, azt a normálvektorával együtt kell ábrázolni. Miert van az? Igen, mert sok esetben kényelmesebb a sík normálvektorát használni, mint magát a síkot.

Először megadjuk a sík normálvektorának definícióját, példákat adunk normálvektorokra és a szükséges grafikus illusztrációkat. Ezután helyezzük el a síkot egy téglalap alakú koordinátarendszerben háromdimenziós térben, és megtanuljuk, hogyan határozzuk meg a sík normálvektorának koordinátáit az egyenlete szerint.

2.1. Normál sík vektor - meghatározás, példák, illusztrációk.

Meghatározás. Normál sík vektor bármely, az adott síkra merőleges egyenesen elhelyezkedő nullától eltérő vektor.

A definícióból következik, hogy egy adott síknak végtelen számú normálvektora van.

Mivel egy adott sík minden normálvektora párhuzamos egyeneseken fekszik, ezért a sík összes normálvektora kollineáris. Más szóval, ha a sík normálvektora, akkor a vektor t valamilyen nem nulla valós értékére a sík normálvektora is.

Azt is meg kell jegyezni, hogy egy sík bármely normálvektora egy erre a síkra merőleges egyenes irányvektorának tekinthető.

A párhuzamos síkok normálvektorainak halmazai egybeesnek, mivel az egyik párhuzamos síkra merőleges egyenes a második síkra is merőleges.

A merőleges síkok definíciójából és a sík normálvektorának definíciójából következik, hogy a merőleges síkok normálvektorai merőlegesek.

Példa normál síkvektorra. Legyen egy Oxyz téglalap alakú koordináta-rendszer rögzítve a háromdimenziós térben. A koordináta vektorok az Oyz, Oxz és Oxy síkok normálvektorai. Ez igaz, mert a vektorok nem nullák, és az Ox, Oy és Oz koordinátaegyeneseken fekszenek, amelyek merőlegesek az Oyz, Oxz és Oxy koordinátasíkra.

2.2. A sík normálvektorának koordinátái - a sík normálvektorának koordinátáinak megtalálása a sík egyenlete szerint.

Keressük meg a sík normálvektorának koordinátáit, ha ismert a sík egyenlete az Oxyz derékszögű koordinátarendszerben.

A nézetsík általános egyenlete meghatároz egy síkot az Oxyz derékszögű koordinátarendszerben, amelynek normálvektora a vektor. Így ahhoz, hogy megtaláljuk a sík normálvektorának koordinátáit, elég, ha a szemünk előtt van ennek a síknak az általános egyenlete.

Példa. Keresse meg valamilyen normál sík vektor koordinátáit.

Megoldás. Megadjuk a sík általános egyenletét, az x, y és z változók előtti együtthatók e sík normálvektorának megfelelő koordinátái. Ezért az adott sík egyik normálvektora. Ennek a síknak az összes normálvektorának halmaza megadható, ahol t egy tetszőleges nem nulla valós szám.

Példa. A síkot az egyenlet adja meg. Határozza meg irányvektorainak koordinátáit!

Megoldás. Megadjuk a sík egy nem teljes egyenletét. Ahhoz, hogy az irányvektor koordinátái láthatóak legyenek, átírjuk az egyenletet a formába. Így ennek a síknak a normálvektorának koordinátái vannak, és az összes normálvektor halmaza így lesz felírva.

A sík egyenlete a forma szegmenseiben, valamint a sík általános egyenlete lehetővé teszi, hogy azonnal felírja ennek a síknak az egyik normálvektorát - koordinátái vannak.

Befejezésül elmondjuk, hogy a sík normálvektorának segítségével különféle problémákat lehet megoldani. A legelterjedtebbek a síkok párhuzamosságának vagy merőlegességének bizonyítására szolgáló feladatok, a síkra vonatkozó egyenlet összeállítási feladatok, valamint a síkok közötti szög megállapítására és az egyenes és sík szögének megállapítására szolgáló feladatok.

Egy sík normálvektora egy olyan vektor, amely merőleges az adott síkra. Nyilvánvaló, hogy bármely síknak végtelen sok normálvektora van. De a problémák megoldásához nekünk egy is elég lesz.

Ha a síkot az általános egyenlet adja meg , majd a vektor az adott sík normálvektora. Csak szégyenre. Csak annyit kell tenni, hogy "eltávolítjuk" az együtthatókat a sík egyenletéből.

Három képernyő várja a megígértet, térjünk vissza az 1. példához és ellenőrizzük. Emlékeztetlek arra, hogy ott meg kellett alkotni a sík egyenletét egy pont és két vektor felhasználásával. A megoldás eredményeként az egyenletet kaptuk. Ellenőrizzük:

Először behelyettesítjük a pont koordinátáit a kapott egyenletbe:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy a pont valóban az adott síkban van.

Másodszor eltávolítjuk a normálvektort a sík egyenletéből: . Mivel a vektorok párhuzamosak a síkkal, a vektor pedig merőleges a síkra, a következő tényeknek kell teljesülniük: . A vektorok merőlegessége könnyen ellenőrizhető a segítségével pont termék:

Következtetés: a sík egyenlete helyesen található.

A tesztelés során tulajdonképpen az elmélet következő megállapítását idéztem: vektor párhuzamos a síkkal ha, és csak akkor ha .

Oldjunk meg egy fontos problémát, amely a leckéhez kapcsolódik:

5. példa

Keresse meg a sík egységnyi normálvektorát! .

Megoldás: Az egységvektor egy olyan vektor, amelynek hossza egy. Jelöljük ezt a vektort -vel. A táj alapvetően így néz ki:

Teljesen világos, hogy a vektorok kollineárisak.

Először eltávolítjuk a normálvektort a sík egyenletéből: .

Hogyan találjuk meg az egységvektort? Az egységvektor megtalálásához , kell minden vektor koordináta osztjuk a vektor hosszával .

Írjuk át a normálvektort a formába, és keressük meg a hosszát:

A fentiek szerint:

Válasz:

Ellenőrzés: , amely ellenőrzéséhez szükséges volt.

Azok az olvasók, akik gondosan tanulmányozták a lecke utolsó bekezdését Vektorok pontszorzata valószínűleg észrevette egységvektor koordináták pontosan a vektor iránykoszinuszai :

Térjünk ki a szétszedett problémától: amikor egy tetszőleges nullától eltérő vektort kapsz, és feltétel szerint meg kell találni az iránykoszinuszait (az óra utolsó feladatai Vektorok pontszorzata), akkor valójában az adotthoz képest kollineáris egységvektort is talál.

Valójában két feladat egy üvegben.

A matematikai elemzés egyes problémáinál felmerül az egységnyi normálvektor megtalálásának szükségessége.

Kitaláltuk a normál vektor horgászatát, most az ellenkező kérdésre válaszolunk.

Az egyenes egyenleteinek tanulmányozásakor a síkban és a háromdimenziós térben a vektorok algebrájára támaszkodunk. Ebben az esetben különösen fontos az egyenes irányítóvektora és az egyenes normálvektora. Ebben a cikkben közelebbről megvizsgáljuk az egyenes normálvektorát. Kezdjük az egyenes normálvektorának meghatározásával, adjunk példákat és grafikus illusztrációkat. Ezután áttérünk az egyenes normálvektorának koordinátáinak megtalálására az ismert egyenes egyenletek segítségével, miközben részletes megoldásokat mutatunk be a feladatokra.

Oldalnavigáció.

Normál vonal vektor - meghatározás, példák, illusztrációk.

Az anyag megértéséhez világosan meg kell értenie az egyenest, egy síkot, és ismernie kell a vektorokhoz kapcsolódó alapvető definíciókat is. Ezért azt javasoljuk, hogy először frissítse a cikkek anyagát egyenesen a síkon, egyenesen a térben, a sík ötletét és.

Határozzuk meg egy egyenes normálvektorát.

Meghatározás.

normál vektorvonal bármely nem nulla vektor, amely az adott vektorra merőleges bármely egyenesen fekszik.

Egy egyenes normálvektorának definíciójából világosan látszik, hogy egy adott egyenesnek végtelen számú normálvektora van.

Az egyenes normálvektorának és az egyenes irányvektorának definíciója arra enged következtetni, hogy egy adott egyenes bármely normálvektora merőleges ennek az egyenesnek bármely irányvektorára.

Adjunk példát egy egyenes normálvektorára.

Legyen Oxy beadva a gépen. Az Ox koordinátaegyenes normálvektorainak egyik halmaza a koordinátavektor. Valójában a vektor nem nulla, és az Oy koordináta egyenesen fekszik, amely merőleges az Ox tengelyre. Az Ox koordinátaegyenes összes normálvektorának halmaza az Oxy derékszögű koordinátarendszerben a következőképpen adható meg: .

Az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben háromdimenziós térben az Oz egyenes normálvektora a vektor. A koordinátavektor egyben az Oz egyenes normálvektora is. Nyilvánvaló, hogy bármely, az Oz tengelyre merőleges síkban elhelyezkedő nem nulla vektor az Oz egyenes normálvektora lesz.

Egy egyenes normálvektorának koordinátái - egy egyenes normálvektorának koordinátáinak megtalálása ennek az egyenesnek az ismert egyenletei segítségével.

Ha egy Oxy téglalap alakú koordinátarendszerben egy egyenest tekintünk, akkor egy síkon egy egyenes egyenlete megfelel ennek, és az egyenes normálvektorait a koordinátáik határozzák meg (lásd a cikket) . Ez felveti a kérdést: „hogyan találjuk meg egy egyenes normálvektorának koordinátáit, ha ismerjük ennek az egyenesnek az egyenletét”?

Keressük meg a választ a síkon adott egyenesekre feltett kérdésre különféle típusú egyenletek segítségével.

Ha egy síkon lévő egyenes az alak egyenesének általános egyenletét határozza meg , akkor az A és B együtthatók ennek az egyenesnek a normálvektorának megfelelő koordinátái.

Példa.

Keresse meg valamilyen normál egyenes vektor koordinátáit .

Megoldás.

Mivel az egyenest az általános egyenlet adja, azonnal felírhatjuk normálvektorának koordinátáit - ezek a megfelelő együtthatók az x és y változók előtt. Azaz az egyenes normálvektorának koordinátái vannak.

Válasz:

Az egyenes általános egyenletében az A vagy B számok egyike egyenlő lehet nullával. Ennek nem szabad zavarnia. Nézzünk egy példát.

Példa.

Adjon meg bármilyen normál vonalvektort.

Megoldás.

Adunk egy hiányos általános egyenes egyenletet. Formába átírható , ahonnan azonnal láthatóak ennek az egyenesnek a normálvektorának koordinátái: .

Válasz:

Az egyenes egyenlete alakszakaszokban vagy a meredekségű egyenes egyenlete könnyen redukálható az egyenes általános egyenletére, amelyből ennek az egyenesnek a normálvektorának koordinátáit megtaláljuk.

Példa.

Keresse meg az egyenes normálvektorának koordinátáit!

Megoldás.

A szakaszos egyenes egyenletéből nagyon könnyű áttérni az egyenes általános egyenletére: . Ezért ennek az egyenesnek a normálvektorának koordinátái vannak.

Válasz:

Ha az egyenes definiálja az egyenes kanonikus egyenletét az alak síkján, vagy az egyenes parametrikus egyenleteit az alak síkján , akkor a normálvektor koordinátáit kicsit nehezebb megszerezni. Ezekből az egyenletekből azonnal láthatóak az egyenes irányítóvektorának koordinátái -. Ennek az egyenesnek a normálvektorának koordinátáinak megtalálása lehetővé teszi és .

Az egyenes normálvektorának koordinátáit úgy is megkaphatjuk, hogy az egyenes kanonikus egyenletét vagy az egyenes parametrikus egyenleteit az általános egyenletre redukáljuk. Ehhez hajtsa végre a következő átalakításokat:

Hogy melyik utat választja, az rajtad múlik.

Mutassunk példákat.

Példa.

Keress valami normál vonalvektort .

Megoldás.

Irányvektor egyenes egy vektor. normál vektorvonal merőleges a vektorra, akkor és egyenlő nullával: . Ebből az egyenlőségből, ha n x-nek tetszőleges nullától eltérő valós értéket adunk, azt kapjuk, hogy n y. Legyen n x =1 , akkor , ezért az eredeti egyenes normálvektorának koordinátái vannak.

A második megoldás.

Az egyenes kanonikus egyenletétől térjünk át az általános egyenlethez: . Most láthatóvá váltak ennek az egyenesnek a normálvektorának koordinátái.

Válasz:

Egyenes vonal a gépen.

Az egyenes általános egyenlete.

Mielőtt bevezetnénk egy síkban lévő egyenes általános egyenletét, bemutatjuk az egyenes általános definícióját.

Meghatározás. Típusegyenlet

F(x ,y )=0 (1)

vonalegyenletnek nevezzük L adott koordinátarendszerben, ha ezt a koordináták kielégítik xés nál nél a vonal bármely pontján L, és nem felel meg olyan pont koordinátáinak, amely nem ezen az egyenesen fekszik.

Az (1) egyenlet mértéke határozza meg sorrend. Azt mondjuk, hogy az (1) egyenlet határozza meg (beállítja) az egyenest L.

Meghatározás. Típusegyenlet

Ah+Wu+C=0 (2)

tetszőleges együtthatókkal A, V, VAL VEL (Aés V egyidejűleg nem egyenlő nullával) határozzon meg egy bizonyos egyenest egy derékszögű koordináta-rendszerben. Ezt az egyenletet ún az egyenes általános egyenlete.

A (2) egyenlet egy elsőfokú egyenlet, tehát minden egyenes elsőrendű egyenes, és fordítva, minden elsőrendű egyenes egyenes.

Tekintsünk három speciális esetet, amikor a (2) egyenlet nem teljes, azaz. az egyik együttható nulla.

1) Ha C=0, akkor az egyenletnek megvan a formája Ah+Wu=0és meghatározza a koordináták origóján átmenő egyenest, mivel koordináták (0,0) kielégíti ezt az egyenletet.

2) Ha B=0 (A≠0), akkor az egyenlet alakja Ax+C=0és az y tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg. Ennek az egyenletnek a megoldása a változóra vonatkozóan x forma egyenletét kapjuk x=a, ahol a \u003d -C / A, a- annak a szakasznak az értéke, amely levágja az egyenest az x tengelyen. Ha a=0 (C=0 OU(1a. ábra). Így a közvetlen x=0 meghatározza az y tengelyt.

3) Ha A=0 (B≠0), akkor az egyenlet alakja Wu+C=0és az x tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg. Ennek az egyenletnek a megoldása a változóra vonatkozóan nál nél forma egyenletét kapjuk y=b, ahol b \u003d -C / B, b- az y tengelyen az egyenest levágó szakasz értéke. Ha b=0 (C=0), akkor az egyenes egybeesik a tengellyel Ó(1b. ábra). Így a közvetlen y=0 meghatározza az x tengelyt.

a) b)

Egyenes egyenlete szakaszokban.

Legyen az egyenlet Ah+Wu+C=0 feltéve, hogy egyik együttható sem egyenlő nullával. Mozgassuk az együtthatót VAL VEL jobb oldalra, és ossza el vele -VAL VEL mindkét része.

Az első bekezdésben bevezetett jelöléssel megkapjuk az egyenes egyenletét " szegmensekben»:

Azért van ilyen neve, mert a számok aés b azoknak a szakaszoknak az értékei, amelyeket az egyenes a koordinátatengelyeken levág.

Példa 2x-3y+6=0. Írjon egyenletet erre az egyenesre "szegmensekben", és állítsa össze ezt az egyenest.

Megoldás

Ennek az egyenesnek a felépítéséhez helyezze a tengelyre Ó szakasz a=-3, és a tengelyen OU szakasz b=2. A kapott pontokon keresztül húzz egy egyenest (2. ábra).

Egyenlet meredekséggel.

Legyen az egyenlet Ah+Wu+C=0 feltéve, hogy az együttható V nem egyenlő nullával. Végezzük el a következő átalakításokat

(4) egyenlet, ahol k=-A /B, a meredekségű egyenes egyenletének nevezzük k.

Meghatározás. Hajlásszög adott egyenes a tengelyhez Ó nevezzük a szöget α amellyel a tengelyt el kell forgatni Ó hogy pozitív iránya egybeessen az egyenes valamelyik irányával.

Egy egyenes tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintője Ó egyenlő a meredekséggel, azaz. k =tga. Bizonyítsuk be –A/B igazán egyenlő k. Derékszögű háromszögből ΔOAB(3. ábra) fejezzük ki tga , hajtsa végre a szükséges átalakításokat és kap:

Q.E.D.

Ha k=0, akkor az egyenes párhuzamos a tengellyel Ó, és ennek egyenlete y=b.

Példa. Az egyenest az általános egyenlet adja meg 4x+2y-2=0. Írjon egyenletet erre a meredekségű egyenesre!

Megoldás. A fent leírtakhoz hasonló átalakításokat hajtunk végre, így kapjuk:

ahol k=-2, b=1.

Adott meredekségű ponton átmenő egyenes egyenlete.

Adjunk pontot M 0 (x 0, y 0) egyenes vonal és lejtése k. Az egyenes egyenletét a (4) alakba írjuk, ahol b- egyelőre ismeretlen szám. A lényeg óta M 0 egy adott egyeneshez tartozik, akkor annak koordinátái kielégítik a (4) egyenletet: . A kifejezést helyettesítve b a (4)-ben megkapjuk az egyenes kívánt egyenletét:

Példa.Írja fel az M ponton (1,2) átmenő és a tengellyel szöget bezáró egyenes egyenletét Ó 45 0 -os szögben.

Megoldás. k =tga =tg 45 0 =1. Innen: .

Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete.

Legyen két pont megadva M 1 (x 1, y 1)és M 2 (x 2, y 2). Egy egyenes egyenletét az (5) alakba írjuk, ahol k még ismeretlen együttható:

A lényeg óta M 2 adott egyeneshez tartozik, akkor annak koordinátái kielégítik az (5) egyenletet: . Innen kifejezve és behelyettesítve az (5) egyenletbe, megkapjuk a kívánt egyenletet:

Ha ez az egyenlet átírható egy könnyebben megjegyezhető formában:

Példa.Írja fel az M 1 (1.2) és M 2 (-2.3) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás. . Az arányosság tulajdonságát felhasználva és a szükséges transzformációkat végrehajtva megkapjuk az egyenes általános egyenletét:

Szög két vonal között

Tekintsünk két sort l 1és l 2:

l 1: , , és

l 2: , ,

φ a köztük lévő szög (). A 4. ábrán látható: .

Innen, ill

l 2 tehát párhuzamos φ=0 és tgφ =0. a (7) képletből következik, hogy , honnan k 2 =k 1. Így annak feltétele, hogy két egyenes párhuzamos legyen, a meredekségük egyenlő.

Ha egyenes l 1és l 2 akkor merőlegesen φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Így két egyenes merőlegességének feltétele, hogy meredeksége kölcsönös nagyságrendű és ellentétes előjelű legyen.

A közvetlen egyenlet és a fordított állítás linearitása.


Irány- és normálvektorok.

normál vektorvonalbármely nem nulla vektor, amely az adott vektorra merőleges bármely egyenesen fekszik.

Irányvektor egyenesbármely nem nulla vektor, amely egy adott egyenesen vagy egy vele párhuzamos egyenesen fekszik.