Come trovare le derivate parziali di una funzione di due variabili. Risolvere le derivate per manichini: definizione, come trovarle, esempi di soluzioni. – Sostituendo effettivamente la variabile

Il principio generale per trovare le derivate parziali di secondo ordine di una funzione di tre variabili è simile al principio di trovare le derivate parziali di secondo ordine di una funzione di due variabili.

Per trovare le derivate parziali del secondo ordine, devi prima trovare le derivate parziali del primo ordine o, in un'altra notazione:

Ci sono nove derivate parziali del secondo ordine.

Il primo gruppo è la derivata seconda rispetto alle stesse variabili:

Oppure – la derivata seconda rispetto a “x”;

Oppure – la derivata seconda rispetto a “Y”;

Oppure – la derivata seconda rispetto a “zet”.

Il secondo gruppo è misto Derivate parziali del 2° ordine, ce ne sono sei:

O - misto derivato “da x igrek”;

O - misto derivato “per gioco x”;

O - misto derivata “rispetto a x z”;

O - misto derivato “per zt x”;

O - misto derivato “rispetto a igrek z”;

O - misto derivato "da zt igrek".

Come nel caso di una funzione di due variabili, quando si risolvono i problemi, è possibile concentrarsi sulle seguenti uguaglianze delle derivate miste del secondo ordine:

Nota: in senso stretto, non è sempre così. Affinché i derivati ​​misti siano uguali, deve essere soddisfatto il requisito della loro continuità.

Per ogni evenienza, ecco alcuni esempi di come leggere correttamente questa disgrazia ad alta voce:

- “due colpi valgono due volte una partita”;

– “de due y per de z quadrato”;

– “ci sono due tratti in X e Z”;

- “de two y po de zet po de igrek.”

Esempio 10

Trova tutte le derivate parziali del primo e del secondo ordine per una funzione di tre variabili:

.

Soluzione: Per prima cosa troviamo le derivate parziali del primo ordine:

Prendiamo la derivata trovata

e differenziarlo con “Y”:

Prendiamo la derivata trovata

e differenziarlo per “x”:

L'uguaglianza è soddisfatta. Bene.

Trattiamo la seconda coppia di derivate miste.

Prendiamo la derivata trovata

e differenziarlo con “z”:

Prendiamo la derivata trovata

e differenziarlo per “x”:

L'uguaglianza è soddisfatta. Bene.

Trattiamo la terza coppia di derivate miste in modo simile:

L'uguaglianza è soddisfatta. Bene.

Dopo il lavoro svolto, possiamo garantire che, in primo luogo, abbiamo trovato correttamente tutte le derivate parziali del 1° ordine e, in secondo luogo, abbiamo trovato correttamente anche le derivate parziali miste del 2° ordine.

Resta da trovare altre tre derivate parziali del secondo ordine; qui, per evitare errori, conviene concentrare il più possibile la propria attenzione:

Pronto. Ripeto, il compito non è tanto difficile quanto voluminoso. La soluzione può essere abbreviata e riferita a uguaglianze di derivate parziali miste, ma in questo caso non vi sarà alcuna verifica. Pertanto, è meglio dedicare tempo e trovare Tutto derivati ​​(inoltre, l'insegnante può richiederlo) o, come ultima risorsa, controllare la bozza.

Esempio 11

Trovare tutte le derivate parziali del primo e del secondo ordine di una funzione di tre variabili

.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Soluzioni e risposte:

Esempio 2:Soluzione:

Esempio 4:Soluzione: Troviamo le derivate parziali del primo ordine.

Creiamo un differenziale completo del primo ordine:

Esempio 6:Soluzione: M(1, -1, 0):

Esempio 7:Soluzione: Calcoliamo le derivate parziali del primo ordine in questo puntoM(1, 1, 1):

Esempio 9:Soluzione:

Esempio 11:Soluzione: Troviamo le derivate parziali del primo ordine:

Troviamo le derivate parziali del secondo ordine:

.

Integrali

8.1. Integrale indefinito. Soluzioni campione dettagliate

Iniziamo a studiare l'argomento " Integrale indefinito", e analizzeremo in dettaglio anche esempi di soluzioni degli integrali più semplici (e meno semplici). Come al solito, ci limiteremo al minimo di teoria, che si trova in numerosi libri di testo; il nostro compito è imparare a risolvere gli integrali.

Cosa devi sapere per padroneggiare con successo il materiale? Per affrontare il calcolo integrale è necessario essere in grado di trovare le derivate almeno a un livello intermedio. Non sarà uno spreco di esperienza se hai diverse dozzine, o meglio ancora, centinaia di derivati ​​trovati in modo indipendente al tuo attivo. Per lo meno, non dovresti lasciarti confondere dai compiti per differenziare le funzioni più semplici e comuni.

Sembrerebbe, cosa c'entrano le derivate se l'articolo riguarda gli integrali?! Ecco il punto. Il fatto è che trovare le derivate e trovare gli integrali indefiniti (differenziazione e integrazione) sono due azioni reciprocamente inverse, come addizione/sottrazione o moltiplicazione/divisione. Pertanto, senza abilità ed esperienza nella ricerca di derivati, sfortunatamente non è possibile andare avanti.

A questo proposito avremo bisogno del seguente materiale didattico: Tabella dei derivati E Tabella degli integrali.

Qual è la difficoltà nell'apprendimento degli integrali indefiniti? Se nelle derivate ci sono rigorosamente 5 regole di differenziazione, una tabella delle derivate e un algoritmo di azioni abbastanza chiaro, allora negli integrali tutto è diverso. Esistono dozzine di metodi e tecniche di integrazione. E, se inizialmente il metodo di integrazione viene scelto in modo errato (cioè non sai come risolverlo), allora puoi “pungere” letteralmente l'integrale per giorni, come un vero puzzle, cercando di individuare varie tecniche e trucchi. Ad alcune persone piace addirittura.

A proposito, molto spesso abbiamo sentito da studenti (non laureandi in materie umanistiche) un'opinione del tipo: “Non ho mai avuto alcun interesse a risolvere un limite o una derivata, ma gli integrali sono tutta un'altra cosa, è affascinante, c'è sempre un desiderio di “hackerare” un integrale complesso”. Fermare. Basta con l'umorismo nero, passiamo a questi integrali molto indefiniti.

Dato che ci sono molti modi per risolverlo, allora da dove dovrebbe iniziare a studiare gli integrali indefiniti? Nel calcolo integrale, a nostro avviso, ci sono tre pilastri o una sorta di “asse” attorno al quale ruota tutto il resto. Prima di tutto, dovresti avere una buona conoscenza degli integrali più semplici (questo articolo).

Quindi è necessario elaborare la lezione in dettaglio. QUESTA È LA TECNICA PIÙ IMPORTANTE! Forse anche l'articolo più importante di tutti gli articoli sugli integrali. E in terzo luogo, dovresti assolutamente leggere metodo dell'integrazione per parti, poiché integra un'ampia classe di funzioni. Se padroneggi almeno queste tre lezioni, non ne avrai più due. Potresti essere perdonato per non averlo saputo integrali di funzioni trigonometriche, integrali delle frazioni, integrali di funzioni razionali frazionarie, integrali di funzioni irrazionali (radici), ma se ti “metti nei guai” con il metodo di sostituzione o con il metodo di integrazione per parti, allora sarà molto, molto brutto.

Quindi, iniziamo in modo semplice. Diamo un'occhiata alla tabella degli integrali. Come per le derivate, notiamo diverse regole di integrazione e una tabella degli integrali di alcune funzioni elementari. Qualsiasi integrale di tabella (e in effetti qualsiasi integrale indefinito) ha la forma:

Comprendiamo subito le notazioni e i termini:

– icona integrale.

– funzione integranda (scritta con la lettera “s”).

– icona differenziale. Vedremo di cosa si tratta molto presto. La cosa principale è che quando si scrive l'integrale e durante la soluzione è importante non perdere questa icona. Ci sarà un difetto evidente.

– espressione integranda o “riempimento” dell'integrale.

– antiderivativo funzione.

– . Non è necessario caricarsi di termini; la cosa più importante qui è che in ogni integrale indefinito viene aggiunta una costante alla risposta.

Risolvere un integrale indefinito significa trovaremolte funzioni primitive dal dato integrando

Consideriamo nuovamente la voce:

Diamo un'occhiata alla tabella degli integrali.

Cosa sta succedendo? Abbiamo le parti sinistre trasformarsi in ad altre funzioni: .

Semplifichiamo la nostra definizione:

Risolvere l'integrale indefinito - questo significa TRASFORMARLO in una funzione indefinita (fino a una costante). , utilizzando alcune regole, tecniche e una tabella.

Prendiamo ad esempio l'integrale della tabella . Quello che è successo? La notazione simbolica si è evoluta in molte funzioni primitive.

Come nel caso delle derivate, per imparare a trovare gli integrali non è necessario sapere cosa sia dal punto di vista teorico una funzione integrale o antiderivativa. È sufficiente effettuare semplicemente delle trasformazioni secondo alcune regole formali. Quindi, nel caso Non è affatto necessario capire perché l'integrale si trasforma in . Puoi dare per scontate questa e altre formule. Tutti usano l'elettricità, ma poche persone pensano a come gli elettroni viaggiano attraverso i fili.

Poiché la differenziazione e l'integrazione sono operazioni opposte, per qualsiasi antiderivativa trovata correttamente, vale quanto segue:

In altre parole, se differenziate la risposta corretta, dovete ottenere la funzione integranda originale.

Torniamo alla stessa tabella integrale .

Verifichiamo la validità di questa formula. Prendiamo la derivata del secondo membro:

è la funzione integranda originale.

A proposito, è diventato più chiaro il motivo per cui una costante è sempre assegnata a una funzione. Quando differenziata, la costante torna sempre a zero.

Risolvere l'integrale indefinito- significa trovare un mucchio di tutti antiderivativi e non solo una funzione. Nell'esempio di tabella in esame, , , , ecc. – tutte queste funzioni sono soluzioni dell'integrale. Le soluzioni sono infinite, quindi le scriviamo brevemente:

Pertanto, qualsiasi integrale indefinito è abbastanza facile da verificare. Questa è una sorta di compensazione per un gran numero di integrali di diverso tipo.

Passiamo a considerare esempi specifici. Cominciamo, come nello studio della derivata, con due regole di integrazione:

- costante C può (e dovrebbe) essere tolto dal segno integrale.

– l'integrale della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) di due integrali. Questa regola è valida per qualsiasi numero di termini.

Come puoi vedere, le regole sono sostanzialmente le stesse dei derivati. A volte vengono chiamati proprietà di linearità integrante.

Esempio 1

Trova l'integrale indefinito.

Eseguire il controllo.

Soluzione:È più conveniente convertirlo come.

(1) Applicare la regola . Ci dimentichiamo di annotare l'icona differenziale dx sotto ciascun integrale. Perché sotto ciascuno? dx– questo è un moltiplicatore a tutti gli effetti. Se lo descriviamo nel dettaglio, il primo passo dovrebbe essere scritto così:

.

(2) Secondo la regola spostiamo tutte le costanti oltre i segni degli integrali. Si prega di notare che nell'ultimo trimestre tg 5 è una costante, lo togliamo anche noi.

Inoltre, in questa fase prepariamo le radici e le forze per l’integrazione. Allo stesso modo della differenziazione, le radici devono essere rappresentate nella forma . Sposta verso l'alto le radici e le potenze che si trovano nel denominatore.

Nota: A differenza delle derivate, le radici negli integrali non dovrebbero sempre essere ridotte alla forma e sposta i gradi verso l'alto.

Per esempio, - questo è un integrale della tabella già pronto, che è già stato calcolato prima di te, e tutti i tipi di trucchi cinesi simili completamente inutile. Allo stesso modo: – anche questo è un integrale di tabella; non ha senso rappresentare la frazione nella forma . Studia attentamente la tabella!

(3) Tutti i nostri integrali sono tabulari. Eseguiamo la trasformazione utilizzando una tabella utilizzando le formule: , E

per una funzione di potenza - .

Va notato che l'integrale della tabella è un caso speciale della formula per una funzione di potenza: .

Costante C è sufficiente aggiungere una volta alla fine dell'espressione

(invece di metterli dopo ogni integrale).

(4) Scriviamo il risultato ottenuto in forma più compatta, quando tutte le potenze sono della forma

ancora una volta li rappresentiamo sotto forma di radici e reimpostiamo le potenze con esponente negativo nel denominatore.

Visita medica. Per poter effettuare la verifica è necessario differenziare la risposta ricevuta:

Ha ricevuto l'originale integrando, cioè l'integrale è stato trovato correttamente. Ciò da cui hanno ballato è ciò a cui sono tornati. È bello quando la storia con l'integrale finisce in questo modo.

Di tanto in tanto, c'è un approccio leggermente diverso per verificare un integrale indefinito, quando non la derivata, ma il differenziale viene preso dalla risposta:

.

Di conseguenza, non otteniamo una funzione integranda, ma un'espressione integranda.

Non abbiate paura del concetto di differenziale.

Il differenziale è la derivata moltiplicata per dx.

Tuttavia, ciò che è importante per noi non sono le sottigliezze teoriche, ma cosa fare dopo con questo differenziale. Il differenziale si presenta come segue: icona D lo rimuoviamo, mettiamo un numero primo a destra sopra la parentesi, aggiungiamo un fattore alla fine dell'espressione dx :

Ricevuto originale integrando, cioè l'integrale è stato trovato correttamente.

Come puoi vedere, il differenziale si riduce alla ricerca della derivata. Mi piace il secondo metodo per controllare di meno, poiché devo anche disegnare parentesi grandi e trascinare l'icona del differenziale dx fino alla fine del controllo. Anche se è più corretto, o “più rispettabile” o qualcosa del genere.

In effetti, sul secondo metodo di verifica si poteva tacere. Il punto non è nel metodo, ma nel fatto che abbiamo imparato ad aprire il differenziale. Ancora.

Il differenziale si rivela come segue:

1) icona D rimuovere;

2) a destra sopra la parentesi mettiamo un tratto (denotazione della derivata);

3) alla fine dell'espressione assegniamo un fattore dx .

Per esempio:

Ricorda questo. Avremo bisogno di questa tecnica molto presto.

Esempio 2

.

Quando troviamo un integrale indefinito, proviamo SEMPRE a verificare Inoltre, c'è una grande opportunità per questo. Non tutti i tipi di problemi di matematica superiore sono un dono da questo punto di vista. Non importa che il controllo spesso non sia richiesto nelle attività di controllo; nessuno e niente ti impedisce di farlo sul progetto. Si può fare un'eccezione solo quando non c'è abbastanza tempo (ad esempio durante una prova o un esame). Personalmente controllo sempre gli integrali e considero la mancanza di controllo un lavoro da hacker e un compito mal completato.

Esempio 3

Trova l'integrale indefinito:

. Eseguire il controllo.

Soluzione: Analizzando l'integrale, vediamo che sotto l'integrale abbiamo il prodotto di due funzioni, e anche l'elevamento a potenza di un'intera espressione. Purtroppo nel campo della battaglia integrale NO buono e confortevole formule per l'integrazione del prodotto e del quoziente COME: O .

Pertanto, quando è dato un prodotto o un quoziente, ha sempre senso vedere se è possibile trasformare l'integrando in una somma? L'esempio in esame è il caso in cui è possibile.

Per prima cosa presenteremo la soluzione completa, i commenti saranno di seguito.

(1) Usiamo la buona vecchia formula del quadrato della somma per qualsiasi numero reale, eliminando il grado sopra la parentesi comune. fuori dalle parentesi e applicando la formula di moltiplicazione abbreviata in senso inverso: .

Esempio 4

Trova l'integrale indefinito

Eseguire il controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La risposta e la soluzione completa si trovano alla fine della lezione.

Esempio 5

Trova l'integrale indefinito

. Eseguire il controllo.

In questo esempio, l'integrando è una frazione. Quando vediamo una frazione nell'integrando, il primo pensiero dovrebbe essere la domanda: "È possibile in qualche modo eliminare questa frazione, o almeno semplificarla?"

Notiamo che il denominatore contiene una singola radice di “X”. Uno in campo non è un guerriero, il che significa che possiamo dividere il numeratore per il denominatore termine per termine:

Non commentiamo le azioni con potenze frazionarie, poiché sono state discusse più volte negli articoli sulla derivata di una funzione.

Se sei ancora perplesso da un esempio come

e in nessun caso viene fuori la risposta corretta,

Si noti inoltre che alla soluzione manca un passaggio, vale a dire l’applicazione delle regole , . Di solito, con una certa esperienza nella risoluzione degli integrali, queste regole sono considerate un fatto ovvio e non vengono descritte in dettaglio.

Esempio 6

Trova l'integrale indefinito. Eseguire il controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La risposta e la soluzione completa si trovano alla fine della lezione.

Nel caso generale, con le frazioni negli integrali, non tutto è così semplice; materiale aggiuntivo sull'integrazione di frazioni di alcuni tipi può essere trovato nell'articolo: Integrazione di alcune frazioni. Ma, prima di passare all'articolo sopra, devi familiarizzare con la lezione: Metodo di sostituzione negli integrali indefiniti. Il punto è che sussumere una funzione in un metodo di sostituzione differenziale o variabile lo è punto chiave nello studio dell’argomento, poiché si trova non solo “nei compiti puri sul metodo di sostituzione”, ma anche in molti altri tipi di integrali.

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione:

Esempio 4: Soluzione:

In questo esempio abbiamo utilizzato la formula di moltiplicazione abbreviata

Esempio 6: Soluzione:

Metodo per trasformare una variabile in un integrale indefinito. Esempi di soluzioni

In questa lezione conosceremo una delle tecniche più importanti e più comuni utilizzata per risolvere gli integrali indefiniti: il metodo del cambiamento di variabile. La padronanza efficace del materiale richiede conoscenze iniziali e capacità di integrazione. Se hai la sensazione di un bollitore vuoto e pieno nel calcolo integrale, dovresti prima familiarizzare con il materiale Integrale indefinito. Esempi di soluzioni, dove viene spiegato in una forma accessibile cos'è un integrale e vengono analizzati in dettaglio esempi di base per principianti.

Tecnicamente il metodo di trasformazione di una variabile in un integrale indefinito si realizza in due modi:

– Sussumere la funzione sotto il segno differenziale.

– Cambiando effettivamente la variabile.

Essenzialmente, sono la stessa cosa, ma il design della soluzione sembra diverso. Cominciamo con un caso più semplice.

Funzioni di due variabili, derivate parziali, differenziali e gradiente

Argomento 5.Funzioni di due variabili.

derivate parziali

Definizione di una funzione di due variabili, metodi di impostazione.

Derivate parziali.

Gradiente di una funzione di una variabile

Trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in un dominio limitato

1. Definizione di una funzione di più variabili, metodi di impostazione

Per funzioni di due variabili
dominio di definizione è alcuni insieme di punti su un piano
e l'intervallo di valori è l'intervallo sull'asse
.

Per la rappresentazione visiva funzioni di due cambiamenti nyh vengono applicati linee di livello.

Esempio . Per funzione
costruire un grafico e linee di livello. Scrivi l'equazione della retta passante per il punto
.

Grafico di una funzione lineareÈ aereo nello spazio.

Per una funzione, il grafico è un piano passante per i punti
,
,
.

Linee del livello di funzione sono rette parallele la cui equazione è
.

Per funzione lineare di due variabili
le linee di livello sono date dall'equazione
e rappresentare una famiglia di rette parallele su un piano.

4

Grafico di una funzione 0 1 2X

Linee del livello di funzione

Progetti privatifunzioni derivate di due variabili

Considera la funzione
. Diamo la variabile al punto
incremento arbitrario
, in partenza valore variabile invariato. Incremento della funzione corrispondente

chiamato incremento privato di una funzione per variabile al punto
.

Definito in modo simile incremento parziale della funzioneper variabile: .

Designazionederivata parziale rispetto a: , ,
,
.

Derivata parziale di una funzione rispetto ad una variabile chiamato limite finale :

Designazioni: , ,
,
.

Trovare la derivata parziale
per variabile, vengono utilizzate le regole per differenziare una funzione di una variabile, supponendo che la variabile sia costante..

Allo stesso modo, per trovare la derivata parziale rispetto ad una variabile una variabile è considerata costante .

Esempio . Per funzione
trovare le derivate parziali
,
e calcolare i loro valori al punto
.

Derivata parziale di una funzione
per variabile presuppone che sia costante:

Troviamo la derivata parziale della funzione rispetto a , assumendo costante:

Calcoliamo i valori delle derivate parziali a
,
:

;
.

Derivate parziali del secondo ordine le funzioni di più variabili sono chiamate derivate parziali delle derivate parziali del primo ordine.

Scriviamo le derivate parziali del 2° ordine per la funzione:

;
;

;
.

;
eccetera.

Se le derivate parziali miste di funzioni di più variabili sono continue in un punto
, Allora loro uguali tra loro a questo punto. Ciò significa che per una funzione di due variabili, i valori delle derivate parziali miste non dipendono dall'ordine di differenziazione:

.

Esempio. Per la funzione, trovare le derivate parziali del secondo ordine
E
.

Soluzione

La derivata parziale mista si trova differenziando successivamente prima la funzione (assumendo costante), quindi differenziando la derivata
da (considerando costante).

La derivata si trova differenziando prima la funzione rispetto a , poi la derivata rispetto a .

Le derivate parziali miste sono uguali tra loro:
.

3. Gradiente di una funzione di due variabili

Proprietà del gradiente

Esempio . Data una funzione
. Trova il gradiente
al punto
e costruirlo.

Soluzione

Troviamo le coordinate del gradiente - derivate parziali.

Al punto
pendenza uguale a . Inizio del vettore
al punto e la fine al punto .

5

4. Trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in un'area limitata chiusa

Formulazione del problema. Sia presente una regione chiusa e delimitata sul piano
è data da un sistema di disuguaglianze della forma
. È necessario trovare i punti nella regione in cui la funzione assume i valori più grandi e più piccoli.

Importante è problema di trovare un estremo, il cui modello matematico contiene lineare restrizioni (equazioni, disuguaglianze) e lineare funzione
.

Formulazione del problema. Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione
(2.1)

sotto restrizioni

(2.2)

. (2.3)

Poiché non esistono punti critici per una funzione lineare di molte variabili dentro regione
, allora si ottiene solo la soluzione ottima, che fornisce un estremo alla funzione obiettivo al confine della regione. Per una regione definita da vincoli lineari, i punti di possibile estremo sono punti d'angolo. Ciò ci consente di considerare la soluzione del problema metodo grafico.

Soluzione grafica di un sistema di disequazioni lineari

Per risolvere graficamente questo problema, devi essere in grado di risolvere graficamente sistemi di disequazioni lineari con due variabili.

Procedura:

Si noti la disuguaglianza
definisce semipiano della coordinata destra(dall'asse
) e la disuguaglianza
- semipiano delle coordinate superiori(dall'asse
).

Esempio. Risolvi graficamente la disuguaglianza
.

Scriviamo l'equazione della linea di confine
e costruirlo in base a due punti, ad esempio,
E
. Una retta divide un piano in due semipiani.

Coordinate del punto
soddisfare la disuguaglianza (
– vero), il che significa che le coordinate di tutti i punti del semipiano contenente il punto soddisfano la disuguaglianza. La soluzione alla disuguaglianza saranno le coordinate dei punti del semipiano situati a destra della linea di confine, compresi i punti sul confine. Il semipiano desiderato è evidenziato in figura.

Soluzione
si chiama sistema di disuguaglianze accettabile, se le sue coordinate sono non negative, . L'insieme delle soluzioni ammissibili al sistema di diseguaglianze forma una regione che si trova nel primo quarto del piano delle coordinate.

Esempio. Costruire il dominio della soluzione del sistema di diseguaglianze

Le soluzioni alle disuguaglianze sono:

1)
- semipiano situato a sinistra ed in basso rispetto alla retta ( )
;

2)
– semipiano situato nel semipiano inferiore destro rispetto alla retta ( )
;

3)
- semipiano situato a destra della retta ( )
;

4) - semipiano sopra l'asse x, cioè linea retta ( )
.

0

Gamma di soluzioni realizzabili di un dato sistema di disequazioni lineari è un insieme di punti situati all'interno e sul confine del quadrilatero
, che è intersezione quattro semipiani.

Rappresentazione geometrica di una funzione lineare

(linee di livello e gradiente)

Fissiamo il valore
, otteniamo l'equazione
, che definisce geometricamente una linea retta. In ogni punto della linea la funzione assume il valore ed è linea di livello. Dando significati diversi, ad es

, ... , otteniamo molte linee di livello - insieme di parallelo diretto.

Costruiamo pendenza- vettore
, le cui coordinate sono uguali ai valori dei coefficienti delle variabili nella funzione
. Questo vettore: 1) è perpendicolare a ciascuna linea retta (linea di livello)
; 2) mostra la direzione di aumento della funzione obiettivo.

Esempio . Tracciare linee di livello e funzioni gradiente
.

Le linee di livello in , , sono diritte

,
,

, paralleli tra loro. Il gradiente è un vettore perpendicolare a ciascuna linea di livello.

Trovare graficamente i valori più grandi e più piccoli di una funzione lineare in un'area

Formulazione geometrica del problema. Trovare nel dominio della soluzione del sistema di disequazioni lineari il punto attraverso il quale passa la linea di livello, corrispondente al valore più grande (più piccolo) di una funzione lineare a due variabili.

Sequenziamento:

4. Trova le coordinate del punto A risolvendo il sistema di equazioni delle linee che si intersecano nel punto A e calcola il valore più piccolo della funzione
. Allo stesso modo - per il punto B e il valore più grande della funzione
. costruito su points.variables Privatoderivatifunzioni parecchi variabili e tecnica di differenziazione. Estremo funzioniduevariabili ed è necessario...

In questa lezione conosceremo il concetto di funzione di due variabili e considereremo anche in dettaglio il compito più comune: trovare derivate parziali primo e secondo ordine, differenziale completo di una funzione.

Per studiare in modo efficace il materiale seguente, tu necessario essere in grado di trovare con maggiore o minore sicurezza le derivate “ordinarie” di funzioni di una variabile. Puoi imparare come gestire correttamente i derivati ​​nelle lezioni Come trovare la derivata? e Derivata di una funzione complessa. Avremo anche bisogno di una tabella delle derivate delle funzioni elementari e delle regole di differenziazione; è più conveniente se è a portata di mano in forma stampata.

Cominciamo con il concetto stesso di funzione di due variabili, cercheremo di limitarci al minimo teorico, poiché il sito ha un orientamento pratico. Una funzione di due variabili viene solitamente scritta come , con le variabili chiamate variabili indipendenti O argomenti.

Esempio: - funzione di due variabili.

A volte viene utilizzata la notazione. Ci sono anche attività in cui viene utilizzata la lettera invece di una lettera.

È utile conoscere il significato geometrico delle funzioni. Una funzione di una variabile corrisponde a una certa linea su un piano, ad esempio la parabola scolastica familiare. Qualsiasi funzione di due variabili dal punto di vista geometrico rappresenta una superficie nello spazio tridimensionale (piani, cilindri, sfere, paraboloidi, ecc.). Ma, in realtà, questa è già geometria analitica e l'analisi matematica è nella nostra agenda.

Passiamo alla questione della ricerca delle derivate parziali del primo e del secondo ordine. Ho alcune buone notizie per coloro che hanno bevuto qualche tazza di caffè e si stanno sintonizzando su materiale incredibilmente difficile: le derivate parziali sono quasi identiche alle derivate “ordinarie” di una funzione di una variabile.

Per le derivate parziali valgono tutte le regole di derivazione e la tabella delle derivate delle funzioni elementari. Ci sono solo un paio di piccole differenze, di cui parleremo tra poco.

Esempio 1

Trovare le derivate parziali del primo e del secondo ordine della funzione

Per prima cosa troviamo le derivate parziali del primo ordine. Ce ne sono due.

Designazioni:

Oppure – derivata parziale rispetto a “x”

Oppure – derivata parziale rispetto a “y”

Iniziamo con .

Importante! Quando troviamo la derivata parziale rispetto a “x”, allora la variabile è considerata una costante (numero costante).

Decidiamo. In questa lezione forniremo immediatamente la soluzione completa e forniremo i commenti di seguito.

Commenti sulle azioni eseguite:

(1) La prima cosa che facciamo quando troviamo la derivata parziale è concludere Tutto funzione tra parentesi sotto il primo con pedice.

Attenzione, importante! NON PERDIAMO pedici durante il processo di soluzione. In questo caso, se disegni un "tratto" da qualche parte senza , l'insegnante, come minimo, può metterlo accanto al compito (mordere immediatamente parte del punto per disattenzione).

(2) Usiamo le regole di differenziazione ; . Per un semplice esempio come questo, entrambe le regole possono essere facilmente applicate in un unico passaggio. Attenzione al primo termine: da allora è considerata una costante e qualsiasi costante può essere eliminata dal segno della derivata, quindi lo mettiamo tra parentesi. Cioè, in questa situazione non è migliore di un numero normale. Consideriamo ora il terzo termine: qui invece non c'è niente da togliere. Poiché è una costante, è anche una costante e in questo senso non è migliore dell'ultimo termine: "sette".

(2) Utilizziamo la tabella delle derivate delle funzioni elementari. Cambiamo mentalmente tutte le “X” della tabella in “I”. Cioè, questa tabella è ugualmente valida per (e per qualsiasi lettera in generale). In questo caso le formule che utilizziamo sono: e .

Si ottengono quindi le derivate parziali del primo ordine

Le derivate parziali vengono utilizzate nei problemi che coinvolgono funzioni di più variabili. Le regole per la ricerca sono esattamente le stesse delle funzioni di una variabile, con l'unica differenza che una delle variabili deve essere considerata una costante (numero costante) al momento della differenziazione.

Formula

Le derivate parziali di una funzione di due variabili $ z(x,y) $ sono scritte nella seguente forma $ z"_x, z"_y $ e si trovano utilizzando le formule:

Derivate parziali del primo ordine

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Derivate parziali del secondo ordine

$$ z""_(xx) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale x \parziale x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Derivato misto

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale y \parziale x) $$

Derivata parziale di una funzione complessa

a) Sia $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, quindi la derivata di una funzione complessa è determinata dalla formula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Sia $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, quindi le derivate parziali della funzione si trovano con la formula:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Derivate parziali di una funzione implicita

a) Sia $ F(x,y(x)) = 0 $, allora $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Sia $ F(x,y,z)=0 $, allora $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Esempi di soluzioni

Esempio 1

Trova le derivate parziali del primo ordine $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Soluzione

Per trovare la derivata parziale rispetto a $ x $, considereremo $ y $ un valore (numero) costante: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Per trovare la derivata parziale di una funzione rispetto a $y$, definiamo $y$ con una costante: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai visualizzare lo stato di avanzamento del calcolo e ottenere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere il voto dal tuo insegnante in modo tempestivo!

Risposta

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Esempio 2

Trova le derivate parziali della funzione del secondo ordine $ z = e^(xy) $

Soluzione

Per prima cosa devi trovare le derivate prime, poi conoscendole puoi trovare le derivate del secondo ordine. Sia $y$ una costante: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Impostiamo ora $ x $ come valore costante: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Conoscendo le derivate prime troviamo analogamente la seconda. Imposta $y$ su una costante: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Impostiamo $ x $ su una costante: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy)$$ Ora non resta che trovare la derivata mista. Puoi differenziare $ z"_x $ per $ y $, e puoi differenziare $ z"_y $ per $ x $, poiché per il teorema $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Risposta

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Esempio 4

Sia $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definisca la funzione implicita $ F(x,y,z) = 0 $. Trova le derivate parziali del primo ordine.

Soluzione

Scriviamo la funzione nel formato: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ e troviamo le derivate: $$ z"_x (y,z - cost) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - cost) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Risposta

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Continuiamo con l’argomento preferito da tutti dell’analisi matematica: i derivati. In questo articolo impareremo come trovarlo Derivate parziali di una funzione di tre variabili: derivate prime e derivate seconde. Cosa devi sapere ed essere in grado di fare per padroneggiare il materiale? Che tu ci creda o no, in primo luogo, devi essere in grado di trovare i derivati ​​\u200b\u200b"ordinari" di una funzione di una variabile - a un livello elevato o almeno medio. Se è davvero difficile con loro, inizia con una lezione Come trovare la derivata? In secondo luogo, è molto importante leggere l'articolo e comprendere e risolvere, se non tutti, la maggior parte degli esempi. Se questo è già stato fatto, allora cammina con me con andatura sicura, sarà interessante, ti divertirai anche!

Metodi e principi di ricerca Derivate parziali di una funzione di tre variabili sono in realtà molto simili alle derivate parziali di funzioni di due variabili. Una funzione di due variabili, lascia che te lo ricordi, ha la forma, dove “x” e “y” sono variabili indipendenti. Dal punto di vista geometrico, una funzione di due variabili rappresenta una certa superficie nel nostro spazio tridimensionale.

Una funzione di tre variabili ha la forma e le variabili vengono chiamate indipendentevariabili O argomenti, la variabile viene chiamata variabile dipendente O funzione. Ad esempio: – funzione di tre variabili

E ora un po' di film di fantascienza e alieni. Spesso puoi sentire parlare di quattro dimensioni, cinque dimensioni, dieci dimensioni, ecc. spazi. Sciocchezze o no?
Dopotutto, la funzione di tre variabili implica il fatto che tutte le cose si svolgono nello spazio quadridimensionale (in effetti, ci sono quattro variabili). Il grafico di una funzione di tre variabili è il cosiddetto ipersuperficie. È impossibile immaginarlo, poiché viviamo in uno spazio tridimensionale (lunghezza/larghezza/altezza). Per non annoiarti con me, ti offro un quiz. Faccio alcune domande e chiunque sia interessato può provare a rispondere:

– Esiste una quarta, una quinta, ecc. nel mondo? misurazioni nel senso della concezione filistea dello spazio (lunghezza/larghezza/altezza)?

– È possibile costruire un’immagine quadridimensionale, pentadimensionale, ecc. spazio nel senso lato del termine? Cioè, fai un esempio di tale spazio nella nostra vita.

– È possibile viaggiare nel passato?

– È possibile viaggiare nel futuro?

– Esistono gli alieni?

Per qualsiasi domanda puoi scegliere una delle quattro risposte:
Sì / No (la scienza lo vieta) / La scienza non lo vieta / Non lo so

Chi risponde correttamente a tutte le domande molto probabilmente avrà qualche oggetto ;-)

Darò gradualmente le risposte alle domande man mano che la lezione procede, non perdere gli esempi!

In realtà hanno volato. E subito la buona notizia: per una funzione di tre variabili valgono le regole della derivazione e la tavola delle derivate. Ecco perché devi essere bravo a gestire l'"ordinario" derivate di funzioni una variabile. Ci sono pochissime differenze!

Esempio 1

Soluzione: Non è difficile da indovinare: per una funzione ci sono tre variabili tre derivate parziali del primo ordine, che sono indicate come segue:

Oppure – derivata parziale rispetto a “x”;
ovvero – derivata parziale rispetto a “y”;
oppure – derivata parziale rispetto a “zet”.

La notazione più comune è con un tratto, ma ai compilatori di raccolte e manuali di formazione piace molto usare notazioni scomode nel contesto dei problemi, quindi non perderti! Forse non tutti sanno leggere correttamente ad alta voce queste “temute frazioni”. Esempio: va letto così: “de u po de x”.

Cominciamo dalla derivata rispetto a “x”: . Quando troviamo la derivata parziale rispetto a , quindi le variabili E sono considerate costanti (numeri costanti). E la derivata di qualsiasi costante, oh, grazia, è uguale a zero:

Presta subito attenzione al pedice: nessuno ti proibisce di sottolineare che sono costanti. È ancora più comodo, consiglio ai principianti di usare solo questo disco, c’è meno rischio di confondersi.

(1) Usiamo le proprietà di linearità della derivata, in particolare prendiamo tutte le costanti fuori segno della derivata. Si noti che nel secondo termine non è necessario rimuovere la costante: poiché “Y” è una costante, allora è anche una costante. Nel termine, dal segno della derivata si tolgono la costante “ordinaria” 8 e la costante “zet”.

(2) Troviamo le derivate più semplici, senza dimenticare che sono costanti. Successivamente esaminiamo la risposta.

Derivata parziale. Quando troviamo la derivata parziale rispetto a “y”, allora le variabili E sono considerate costanti:

(1) Usiamo le proprietà della linearità. E ancora, si noti che i termini , sono costanti, il che significa che non è necessario togliere nulla dal segno della derivata.

(2) Trovare le derivate, senza dimenticare che sono costanti. Successivamente semplifichiamo la risposta.

E infine la derivata parziale. Quando troviamo la derivata parziale rispetto a “zet”, allora le variabili E sono considerate costanti:

Regola generale ovvio e senza pretese: Quando troviamo la derivata parzialeper qualsiasi ragione variabile indipendente, quindialtri due le variabili indipendenti sono considerate costanti.

Quando completi queste attività, dovresti prestare la massima attenzione, in particolare, Non puoi perdere gli abbonati(che indicano quale variabile viene utilizzata per differenziare). Perdere l'indice sarebbe una GRAVE MISCONDIZIONE. Hmm…. È divertente se dopo tali intimidazioni li lascio passare da qualche parte)

Esempio 2

Trovare le derivate parziali del primo ordine di una funzione di tre variabili

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

I due esempi considerati sono abbastanza semplici e, dopo aver risolto diversi problemi simili, anche una teiera si abituerà ad affrontarli oralmente.

Per alleviare lo stress, torniamo alla prima domanda del quiz: esiste un quarto, un quinto, ecc. nel mondo? misurazioni nel senso della concezione filistea dello spazio (lunghezza/larghezza/altezza)?

Risposta corretta: La scienza non lo vieta. Tutta l'assiomatica matematica fondamentale, i teoremi, gli apparati matematici sono belli e coerente lavorare nello spazio di qualsiasi dimensione. È possibile che da qualche parte nell'Universo esistano ipersuperfici oltre il controllo della nostra mente, ad esempio un'ipersuperficie quadridimensionale, definita da una funzione di tre variabili. O forse le ipersuperfici sono accanto a noi o addirittura siamo proprio in esse, è solo che la nostra vista, gli altri sensi e la coscienza sono in grado di percepire e comprendere solo tre dimensioni.

Torniamo agli esempi. Sì, se qualcuno è molto carico del quiz, è meglio leggere le risposte alle seguenti domande dopo aver imparato come trovare le derivate parziali di una funzione di tre variabili, altrimenti ti lascerò a bocca aperta nel corso dell'articolo =)

Oltre ai più semplici esempi 1 e 2, in pratica ci sono compiti che possono essere definiti un piccolo puzzle. Tali esempi, con mio grande dispiacere, sono scomparsi dalla vista quando ho creato la lezione Derivate parziali di una funzione di due variabili. Recuperiamoci:

Esempio 3

Soluzione: Sembra che qui "tutto sia semplice", ma la prima impressione è ingannevole. Quando si trovano i derivati ​​parziali, molti indovineranno le foglie di tè e commetteranno errori.

Diamo un'occhiata all'esempio in modo coerente, chiaro e comprensibile.

Cominciamo con la derivata parziale rispetto a "x". Quando troviamo la derivata parziale rispetto a “x”, le variabili sono considerate costanti. Pertanto anche l’esponente della nostra funzione è una costante. Per i manichini, consiglio la seguente soluzione: nella bozza, modificare la costante in un numero intero positivo specifico, ad esempio "cinque". Il risultato è una funzione di una variabile:
oppure puoi anche scriverlo così:

Questo energia funzione con una base complessa (seno). Di :

Ora lo ricordiamo, quindi:

Nella fase finale, ovviamente, la soluzione dovrebbe essere scritta in questo modo:

Troviamo la derivata parziale rispetto alla “y”, sono considerate costanti. Se “x” è una costante, allora è anche una costante. Sulla bozza facciamo lo stesso trucco: sostituiamo, ad esempio, con 3, “Z” - sostituiamo con lo stesso “cinque”. Il risultato è ancora una funzione di una variabile:

Questo indicativo funzione con esponente complesso. Di regola di differenziazione delle funzioni complesse:

Ora ricordiamo la nostra sostituzione:

Così:

Nella pagina finale, ovviamente, il design dovrebbe apparire gradevole:

E il caso speculare con la derivata parziale rispetto a “zet” (– costanti):

Con una certa esperienza, l'analisi può essere eseguita mentalmente.

Completiamo la seconda parte dell'attività: componiamo un differenziale del primo ordine. È molto semplice, per analogia con una funzione di due variabili, un differenziale del primo ordine viene scritto utilizzando la formula:

In questo caso:

E questi sono affari. Noto che nei problemi pratici, un differenziale completo del 1° ordine per una funzione di tre variabili deve essere costruito molto meno frequentemente che per una funzione di due variabili.

Un esempio divertente per risolverlo da solo:

Esempio 4

Trovare le derivate parziali del primo ordine di una funzione di tre variabili e costruire un differenziale completo del primo ordine

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. Se incontri qualche difficoltà, usa il discusso algoritmo “Chaynikovsky”, ti aiuterà sicuramente. E un altro consiglio utile: non affrettarti. Neppure io riesco a risolvere rapidamente tali esempi.

Facciamo una digressione e guardiamo la seconda domanda: è possibile costruire un sistema quadridimensionale, pentadimensionale, ecc. spazio nel senso lato del termine? Cioè, fai un esempio di tale spazio nella nostra vita.

Risposta corretta: SÌ. Inoltre, è molto semplice. Ad esempio, aggiungiamo una quarta dimensione a lunghezza/larghezza/altezza - tempo. Il popolare spazio-tempo quadridimensionale e la celebre teoria della relatività, rubati da Einstein a Lobachevskij, Poincaré, Lorentz e Minkowski. Non tutti lo sanno neanche. Perché Einstein vinse il Premio Nobel? Ci fu un terribile scandalo nel mondo scientifico e il Comitato per il Nobel formulò il merito del plagio approssimativamente come segue: "Per il suo contributo complessivo allo sviluppo della fisica". Quindi è tutto. Il marchio dello studente C Einstein è pura promozione e PR.

Allo spazio quadridimensionale considerato è facile aggiungere una quinta dimensione, ad esempio: la pressione atmosferica. E così via, così via, così via, tutte le dimensioni specificate nel modello: ecco quante ce ne saranno. Nel senso più ampio del termine, viviamo in uno spazio multidimensionale.

Diamo un'occhiata ad un paio di attività tipiche:

Esempio 5

Trovare le derivate parziali del primo ordine in un punto

Soluzione: Un compito in questa formulazione si trova spesso nella pratica e prevede le due azioni seguenti:
– devi trovare le derivate parziali del primo ordine;
– bisogna calcolare i valori delle derivate parziali del 1° ordine nel punto.

Noi decidiamo:

(1) Davanti a noi c'è una funzione complessa e nel primo passo dovremmo prendere la derivata dell'arcotangente. In questo caso, infatti, utilizziamo con calma la formula tabulare per la derivata dell'arcotangente. Di regola di differenziazione delle funzioni complesse il risultato deve essere moltiplicato per la derivata della funzione interna (embedding): .

(2) Utilizziamo le proprietà della linearità.

(3) E prendiamo le restanti derivate, senza dimenticare che sono costanti.

Secondo le condizioni di assegnazione, è necessario trovare il valore della derivata parziale trovata nel punto. Sostituiamo le coordinate del punto nella derivata trovata:

Il vantaggio di questo compito è il fatto che altre derivate parziali si trovano secondo uno schema molto simile:

Come puoi vedere, il modello di soluzione è quasi lo stesso.

Calcoliamo il valore della derivata parziale trovata nel punto:

E infine la derivata rispetto a “zet”:

Pronto. La soluzione avrebbe potuto essere formulata in un altro modo: trovare prima tutte e tre le derivate parziali, e poi calcolarne i valori nel punto. Ma, mi sembra, il metodo sopra descritto è più conveniente: basta trovare la derivata parziale e immediatamente, senza lasciare il registratore di cassa, calcolarne il valore in quel punto.

È interessante notare che, geometricamente, un punto è un punto molto reale nel nostro spazio tridimensionale. I valori della funzione e delle derivate sono già la quarta dimensione e nessuno sa dove si trovi geometricamente. Come si suol dire, nessuno ha strisciato per l'Universo con un metro a nastro o controllato.

Poiché il tema filosofico è di nuovo in aumento, consideriamo la terza domanda: è possibile viaggiare nel passato?

Risposta corretta: NO. Viaggiare nel passato contraddice la seconda legge della termodinamica sull'irreversibilità dei processi fisici (entropia). Quindi per favore non tuffatevi in ​​una piscina senza acqua, l'evento può essere riprodotto solo in un video =) Non per niente la saggezza popolare ha inventato la legge quotidiana opposta: "Misura due volte, taglia una volta". Anche se, in effetti, la cosa triste è che il tempo è unidirezionale e irreversibile, nessuno di noi sarà più giovane domani. E vari film di fantascienza come "Terminator" sono una totale assurdità da un punto di vista scientifico. È assurdo anche dal punto di vista filosofico che l'Effetto, ritornando al passato, possa distruggere la propria Causa. .

È più interessante con il derivato “zet”, sebbene sia sempre quasi lo stesso:

(1) Togliamo le costanti dal segno della derivata.

(2) Anche in questo caso abbiamo il prodotto di due funzioni, ognuno dei quali dipende dalla variabile “live” “zet”. In linea di principio, puoi utilizzare la formula per la derivata di un quoziente, ma è più semplice andare dall'altra parte: trovare la derivata del prodotto.

(3) La derivata è una derivata tabellare. Il secondo termine contiene la derivata già familiare di una funzione complessa.

Esempio 9

Trovare le derivate parziali del primo ordine di una funzione di tre variabili

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Pensa a come trovare più razionalmente questa o quella derivata parziale. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Prima di passare agli esempi finali della lezione e guardare Derivate parziali del secondo ordine funzioni di tre variabili, rincuoro tutti con la quarta domanda:

È possibile viaggiare nel futuro?

Risposta corretta: La scienza non lo vieta. Paradossalmente, non esiste alcuna legge matematica, fisica, chimica o di altre scienze naturali che vieti i viaggi nel futuro! Sembra una sciocchezza? Ma quasi tutti nella vita hanno avuto una premonizione (e non supportata da alcun argomento logico) che questo o quell'evento accadrà. Ed è successo! Da dove provengono le informazioni? Dal futuro? Pertanto, i film di fantascienza sui viaggi nel futuro e, a proposito, le previsioni di tutti i tipi di indovini e sensitivi non possono essere definiti tali senza senso. Almeno la scienza non lo ha smentito. Tutto è possibile! Quindi, quando ero a scuola, i CD e i monitor a schermo piatto dei film mi sembravano incredibili.

La famosa commedia "Ivan Vasilyevich cambia professione" è per metà finzione (al massimo). Nessuna legge scientifica vietava a Ivan il Terribile di vivere nel futuro, ma è impossibile che due peperoni finiscano nel passato e svolgano le funzioni di un re.