Метод гармонической линеаризации: Методические указания к лабораторной работе. Метод гармонической линеаризации: Методические указания к лабораторной работе Метод гармонической линеаризации для систем управления

При подаче на вход линейной системы гармонического сигнала

на выходе системы также устанавливается гармонический сигнал, но с другой амплитудой и смещенный по фазе по отношению к входному. Если же синусоидальный сигнал подать на вход нелинейного элемента, то на его выходе формируются периодические колебания, но по форме существенно отличающиеся от синусоидальных. В качестве при­мера на рис. 8.17 показан характер изменения выходной переменной нелинейного элемента с релейной ха­рактеристикой (8.14) при поступлении на его вход синусоидальных колебаний (8.18).

Разлагая периодический сигнал на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье, представляем в виде суммы постоянной составляющей и бесконечного множества гармонических составляющих:

, (8.19)

где – постоянные коэффи­циенты ряда Фурье; – частота колебаний пер­вой гармоники (основная частота), равная частоте вход­ных синусоидальных колебаний;Т – период колебания первой гармоники, равный периоду входных синусоидальных колебаний.

Выходной сигнал нелинейного элемента поступает на вход линейной части САУ (см. рис. 8.1), которая, как правило, обладает существенной инерционностью. При этом высокочастотные составляющие сигнала (8.19) практически не проходят на выход системы, т.е. линейная часть является фильтром по отношению к высокочастотным гармоническим состав­ляющим. В связи с этим, а также учитывая, что ампли­туды гармонических составляющих в уменьшаются с ростом часто­ты гармоники, для приближенной оценки выходной величины нелинейного элемента, в большом числе случаев достаточно учитывать только первую гармониче­скую составляющую в .

Следовательно, при отсутствии постоянной составляю­щей в выходных колебаниях выражение (8.19) прибли­женно можно записать в виде:

Выражая из формулы (8.20) функцию , а из производной – функцию , преобразуем выражение (8.20) следующим образом:

. (8.21)

Таким образом, нелинейная зависимость выходной величины от входной в нелинейном элементе приближен­но заменяется линейной зависимостью, описываемой вы­ражением (8.21).

Выполнив в вы­ражении (8.21) преобразование Лапласа, получим:

Как и для непрерывных звеньев введем в рассмотрение переда­точную функцию нелинейного гармонически линеаризо­ванного элемента , как отношение изображения выходной ве­личины к изображению входной величины:

. (8.22)

Таблица 8.1

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей

Статическая характеристика нелинейного элемента
Линейная характеристика с зоной нечувствительности
Линейная характеристика с ограничением
Линейная характеристика с зоной нечувствительности и ограничением
Характеристика «люфт»
Идеальная релейная характеристика
Однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности
Неоднозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности
Кубическая парабола:
Характеристика «петля гистерезиса»

Передаточная функция нелинейного эле­мента имеет существенное отличие от передаточной функ­ции линейной системы , заключающееся в том, что зависит от амплитуды и частоты входного сигнала.

Выражение (8.22) запишем в виде:

q (A ) + q 1 (A ), (8.23)

где q(A) ,q 1 (A) – коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые как отношения коэффициентов ряда Фурье для пер­вой гармоники выходных колебаний к амплитуде вход­ных колебаний:

q (A ) = q 1 (A ) = . (8.24)

Заменяя в выражении (8.23) р на , получим выражение длякомплексного коэффициента передачи нелинейного элемента :

q (A ) +j q 1 (A ), (8.25)

являющегося аналогом АФХ для линейного звена.

В качестве примера определим выражение для комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента с релейной статической характеристикой (8.14). Коэффициенты ряда Фурье A 1 и B 1 для указанной нелинейности равны:

B 1 .

Очевидно, что коэффициент B 1 будет равен нулю для любого нелинейного элемента с нечетно-симметричной статической нелинейностью.

где - передаточная функция линейной части си­стемы; - передаточная функция нелинейного элемента после его линеаризации.

Если , то выражение (8.26) можно записать в виде:

Заменяя в выражении (8.27) р на , по­лучим комплексное выражение, в котором необходимо выделить вещественную и мнимую части:

[ q (A ) +j q 1 (A ) ] . (8.28)

При этом условие возникновения периодических колебаний в системе с частотой и амплитудой запишем:

(8.29)

Если решения системы (8.29) комплексные или отрицательные, режим автоколебаний в системе невозможен. Наличие положительных вещественных решений для и свидетельствует о наличии в системе автоколебаний, которые необходимо проверить на устойчивость.

В качестве примера найдем условия возникновения автоколеба­ний в САУ, если передаточная функция ее линейной части равна:

(8.30)

и нелинейным элементом типа «петля гистерезиса».

Передаточная функция гармонически линеаризованного нелинейного элемента (см. табл. 8.1) имеет вид:

. (8.31)

Подставляя выражения (8.30) и (8.31) в выражение (8.26) и заменяя р на , найдем выражение для :

Отсюда в соответствии с выражением (8.29) получаем следующие условия возникновения автоколебаний в системе:

Решение системы уравнений (8.29) обычно затруднительно, так как ко­эффициенты гармонической линеаризации имеют слож­ную зависимость от амплитуды входного сигнала. Кроме того, помимо определения амплитуды и частоты , необходимо оценить устойчивость автоколебаний в системе.

Условия возникновения автоколебаний в нелинейной системе и параметры предельных циклов можно исследо­вать, используя частотные критерии устойчивости, например, критерий устойчи­вости Найквиста. Согласно этому критерию при наличии ав токолебанийамплитудно-фазовая характеристика разомкнутой гармонически линеаризованной системы, равная

проходит через точку (-1, j0). Следовательно, для и справедливо равенство:

. (8.32)

Решение уравнения (8.32) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически. Для этого на комплексной плоскости необходимо, изменяя частоту от 0 до , построить годограф АФХ линейной части системы и, изменяя амплитудуА от 0 до , построить годограф обратной ха­рактеристики нелинейной части , взятый с знаком «минус». Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует (рис. 8.18, б).

При пересечении годографов (рис. 8.18, а) в системе возникают автоколебания, частота и амплитуда которых опреде­ляются значениями и в точке пересечения..

Если и - пересекаются в нескольких точках (рис. 8.18, а), то это свидетельствует о наличии в системе нескольких предельных циклов. При этом колебания в системе могут быть устойчивы­ми и неустойчивыми.

Устойчивость автоколебательного режима оценивается следующим образом. Режим автоколебаний устойчив, если точка на годографе нелинейной части , соответствующая амплитуде большей по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывается годографом частотной характеристики линейной части системы. В противном случае автоколебательный режим неустойчив.

На рис. 8.18, а годографы пересекаются в точках 1 и 2. Точка 1 определяет неустойчивый режим автоколебаний, так как точка годографа , соответствующая увеличенной амплитуде, охватывается годографом частотной характеристики линейной части системы. Точке 2 соответствует устойчивый режим автоколебаний, амплитуда которых определяется по годографу а частота – по годографу .

В качестве примера оценим устойчивость автоколебаний в двух нелинейных системах. Будем полагать, что передаточные функции линейных частей этих систем совпадают и равны:

,

но входящие в них их нелинейные элементы различны. Пусть в первую систему включен нелинейный элемент «идеальное реле», описываемый системой (8.14), а во вторую – нелинейный элемент со статической характеристикой «кубическая парабола». Воспользовавшись данными таблицы 8.1, получим:

На рис. 8.19 изображены годографы этих систем совместно с годографом АФХ линейной части системы . На основании изложенного можно утверждать, что в первой системе возникают устойчивые автоколебания с частотой и амплитудой , а во второй системе автоколебания неустойчивые.

Проиллюстрируем вычисление коэффициентов гармонической линеаризации на нескольких примерах: сначала для симметричных колебаний, а затем для несимметричных. Предварительно заметим, что если нечетно-симметричная нелинейность F(x) однозначна, то, согласно (4.11) и (4.10), получаем

причем при вычислении q (4.11) можно ограничиться интегрированием на четверти периода, учетверив результат, а именно

Для петлевой нелинейности F(x) (нечетно-симметричной) будет иметь место полное выражение (4.10)

причем можно пользоваться формулами

т. е. удвоением результата интегрирования на полупериоде.

Пример 1. Исследуем кубическую нелинейность (рис. 4.4, я):

Зависимость q(a) показана на рис. 4.4, б. Из рис. 4.4, а видно, что при заданной амплитуде я прямая q(a)x осредняет криволинейную зависимость F(x) на данном

участке -а£ х £. а. Естественно, что крутизна q(a) на­клона этой осредняющей прямой q{a}x увеличивается с увеличением амплитуды а (для кубической характе­ристики это увеличение происходит по квадратичному закону).

Пример 2. Исследуем петлевую релейную характе­ристику (рис. 4.5, а). На рис. 4.5,6 представлена подын­тегральная функция F(a sin y) для формул (4.21). Переключение реле имеет место при ½х ½= b, Поэтому в момент переключения величина y1 определяется выражением sin y1= b/а. По формулам (4.21) получаем (для a ³b)

На рис. 4.5, б изображены графики q(а) и q"(a). Первый из них показывает изменение крутизны наклона осредняющей прямой q(а )x с изменением а (см. рис. 4.5, а). Естественно, что q(a )à0 при аॠпри, так как сигнал на выходе остается постоянным (F(x )=c)при любом неограниченном увеличении входного сигна­ла х. Из физических соображений ясно также, почему q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сиг­нала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q" < 0. Абсолют­ное значение q" уменьшается с увеличением амплиту­ды a, так как ясно, что петля будет занимать тем мень­шую часть «рабочего участка» характеристики F(x ), чем больше амплитуда колебаний переменной х.

Амплитудно-фазовая характеристика такой нелиней­ности (рис. 4.5, а), согласно (4.13). представляется в виде

причем амплитуда и фаза первой гармоники на выхода нелинейности имеют соответственно вид

где q и q" определены выше (рис. 4.5, б). Следовательно, гармоническая линеаризация переводит нелинейное ко­ординатное запаздывание (гистерезисную петлю) в экви­валентное запаздывание по фазе, характерное для ли­нейных систем, по с существенным отличием-зависи­мостью фазового сдвига от амплитуды входных колеба­ний, чего нет в линейных системах.

Пример 3. Исследуем однозначные релейные ха­рактеристики (рис. 4.6, а, в). Аналогично предыдущему получаем соответственно

что изображено на рис. 4.6, б, а.

Пример 4. Исследуем характеристику с зоной нечувствительности, линейным участком и насыщением (рис. 4.7, а). Здесь q" = 0, а коэффициент q (a ) имеет два варианта значений в соответствии срис. 4.7, б, где для них построена F (a sin y):

1) при b1 £ а £ b2, согласно (4.19), имеем

что сучетом соотношения a sin y1 = b 1 дает

2) при а ³ b2

что с учетом соотношения a sin y2 = b2 даёт

Графически результат представлен на рис. 4.7, а.

Пример 5. Как частные случаи, соответствующие коэффициенты q(a) для двух характеристик (рис. 4,8, а, б) равны

что изображено графически на рис. 4.8, б, г. При этом для характеристики с насыщением (рис. 4.8, а) имеем q= k при 0 £ a £ b.

Покажем теперь примеры вычисления коэффициен­тов гармонической линеаризации для несимметричных колебаний при тех же нелинейностях.

Пример 6. Для случая кубической нелинейности F(x ) = kx 3 по формуле (4.16) имеем

а по формулам (4.17)

Пример 7. Для петлевой релейной характеристики (рис. 4.5, а) по тем же формулам имеем

Пример 8. Для характеристики с зоной нечувстви­тельности (рис. 4.1:1) будут иметь место те же выраже­ния F° и q. Графики их представлены на рис. 4.9, а, б. При этом q" == 0. Для идеальной же релейной характе­ристики (рис. 4.10) получаем

что изображено на рис. 4.10, а и б.

Пример 9. Для характеристики с линейным участ­ком ц насыщением (рис.4.11,а) при а ³ b+½x 0 ½ имеем

Эти зависимости представлены в виде графиков на рис. 4.11, б, в.

Пример 10. Для несимметричной характеристики

(рис. 4. 12, а) по формуле (4.l6) находим

а по формулам (4.17)

Результаты изображены графически на рис. 4.12, б и в.

Полученные в этих примерах выражения и графики коэффициентов гармонической линеаризации будут ис­пользованы ниже при решении задач по исследованию

автоколебаний, вынужденных колебаний и процессов управления.

Базируясь на свойстве фильтра линейной части системы (лекция 12), ищем периодическое решение нелинейной системы (рис. 4.21) на входе нелинейного элемента приближенно в виде

х = a sin wt (4.50)

с неизвестными а и w. Задана форма нелинейности у= F(x ) и передаточная функция линейной части

Производится гармоническая линеаризация нелинейности

что приводит к передаточной функции

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи системы получает вид

Периодическое решение линеаризованной системы (4.50) получается при наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары чисто мнимых корней.

А это по критерию Найквиста соответствует прохождению W (j w) через точку -1. Следо­вательно, периодическое реше­ние (4.50) определяется равен­ством

Уравнение (4.51) определяет искомые амплитуду а и частоту w периодического решения. Это уравнение ре­шается графически следующим образом. На комплексной плоскости (U, V) вычерчивается амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части Wл(j w)(рис. 4.22), а также обратная амплитудно-фазовая ха­рактеристика нелинейности с обратным знаком -1/ Wн(a ). Точка В их пересечения (рис. 4.22) и определяет величи­ны а и w, причем значение а отсчитывается по кривой -1/ Wн (a), а значение w - по кривой Wл (jw).

Вместо этого можно пользоваться двумя скалярными уравнениями, вытекающими из (4.51) и (4.52):

которые также определяют две искомые величины а и w.

Последними двумя уравнениями удобнее пользоваться в логарифмическом масштабе, привлекая логарифмические­

частотные характери­стики линейной части. Тогда вместо (4.53) и (4.54) будем иметь следующие два урав­нения:

На рис. 4.23 слева изображены графики левых частей уравнений (4.55) и (4.56), а справа-правых частей этих уравнений. При этом по оси абсцисс слева часто­та w откладывается, как обычно, в логарифмическом масштабе, а справа-амплитуда а в натуральном масш­табе. Решением этих уравнений будут такие значения а и w, чтобы при них одновременно соблюдались оба ра­венства: (4.55) и (4.56). Такое решение показано на рис. 4.23 тонкими линиями в виде прямоугольника.

Очевидно, что сразу угадать это решение не удастся. Поэтому делаются попытки, показанные штриховыми линиями. Последние точки этих пробных прямоугольников М1 и М2 не попадают на фазовую характеристику нели­нейности. По если они расположены по обе стороны ха­рактеристики, как на рис. 4.23, то решение находится интерполяцией - путем проведения прямой ММ1.

Нахождение периодического решения.упрощается а случае однозначной нелинейности F(х ). Тогда q" = 0 и уравнения (4.55) и (4.56) принимают вид

Решение показано на рис. 4.24.

Рис. 4.24.

После определения периодического решения надо ис­следовать его устойчивость. Как уже говорилось, перио­дическое решение имеет место в случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи

проходит через точку -1. Дадим амплитуде отклонение Dа . Система будет возвращаться к периодическому ре­шению, если при Dа > 0 колебания затухают, а при Dа < 0 - расходятся. Следовательно, при Dа > 0 харак­теристика W(jw, а ) дол­жна деформироваться (рис. 4.25) так, чтобы при Dа > 0 критерий устойчивости Найквиста соблюдался, а при Dа < 0 - нарушался.

Итак требуется, что­бы на данной часто­те w было

Отсюда следует, что на рис. 4.22 положительный отсчет амплитуды а вдоль кривой -1/Wн (а ) должен быть на­правлен изнутри вовне через кривую Wл (jw), как там и показано стрелкой. В противном случае периодическое решение неустойчиво.

Рассмотрим примеры.

Пусть в следящей системе (рис. 4.13, а) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 4.17, а). Па рис. 4.17, б для нее показан график коэффициента гар­монической линеаризации q(а ), причем q’(а ) =0. Для определения периодического решения частотным спосо­бом, согласно рис. 4.22, надо исследовать выражение

Из формулы (4.24) получаем для данной нелинейности

График этой функции изображен па рис. 4.26.

Передаточная функция линейной части имеет вид

Амплитудно-фазовая характеристика для нее приведена на рис. 4.27. Функция же -1/ Wн (а ), являясь в данном слу­чае вещественной (рис. 4.26), укладывается вся на отрица­тельной части вещественной оси (рис. 4.27). При этом на участке изменения амплитуды b £ a £ b амплитуда отсчи­тывается слева извне внутрь кривой Wл(jw), а на участке а > b - в обратную сторону. Следовательно, первая точка пересечения (а 1) дает неустой­чивое периодическое решение, а вторая (а 2) - устойчивое (ав­токолебания). Это согласуется с прежним решением (пример 2 лекция 15, 16).

Рассмотрим также случай петлевой характеристики реле (рис. 4.28, а) в той же следящей системе (рис. 4.13, а). Амплитудно-фазовая частотная характе­ристика линейной части та же (рис. 4.28, б). Выражение же для кривой –1/Wн(а ), согласно (4.52) и (4.23), при­нимает вид

Это-прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 4.28, б ), с отсчетом амплитуды а справа налево. Пересечение даст устойчивое периодическое решение (автоколебания). Чтобы получить графики зависимости амплитуды и частоты

от k л, представленные на рис. 4.20, нужно на рис. 4.28 построить серию кривых Wл(jw) для каждой величины k л и найти в их точках пересечения с прямой –1/Wн(а ) соответствующие значения а и w.

Как уже отмечалось, в нелинейных и в особенности релейных АСР часто наблюдаются устойчивые периодические колебания постоянной амплитуды и частоты, так называемые автоколебания . Причем автоколебания могут сохраняться даже при значительных изменениях параметров системы. Практика показала, что во многих случаях колебания регулируемой величины (рис. 3) близки к гармоническим.

Близость автоколебаний к гармоническим позволяет использовать для определения их параметров – амплитуды A и частоты w 0 – метод гармонической линеаризации. В основе метода лежит предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот (гипотеза фильтра). Определим условия, при которых автоколебания в системе могут быть близки к гармоническим. Ограничимся системами, которые как на рис. 3 могут быть приведены к последовательному соединению нелинейного элемента и линейной части. Предположим, что сигнал задания величина постоянная, для простоты примем его равным нулю. А сигнал ошибки (рис 3) является гармоническим:

Выходной сигнал нелинейного элемента как всякий периодический сигнал – на рисунке 3 это прямоугольные колебания – может быть представлен в виде суммы гармоник ряда Фурье.

Допустим, что линейная часть системы является фильтром низких частот (рис. 4) и пропускает только первую гармонику с частотой w 0 . Вторая с частотой 2w 0 и более высокие гармоники отфильтровываются линейной частью. В этом случае на выходе линейной части будет существовать практически только первая гармоника , а влиянием высших гармоник можно пренебречь

Таким образом, если линейная часть системы является фильтром низких частот, а частота автоколебаний w 0 удовлетворяет условиям

, (4)

Предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот, называется гипотезой фильтра . Гипотеза фильтра выполняется всегда, если разность степеней полиномов знаменателя и числителя передаточной функции линейной части

не меньше двух

Условие (6) выполняется для многих реальных систем. Примером могут служить апериодическое звено второго порядка и реальное интегрирующее

При исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, в расчет принимается только первая гармоника периодических колебаний на выходе нелинейного элемента, поскольку высшие гармоники все равно практически отфильтровываются линейной частью. В режиме автоколебаний осуществляется гармоническая линеаризация нелинейного элемента. Нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным с комплексным коэффициентом усиления (описывающей функцией) , зависящим от амплитуды входного гармонического сигнала:

где и – действительная и мнимая части ,

– аргумент ,

– модуль .

В общем случае зависит как от амплитуды так и частоты автоколебаний и постоянной составляющей . Физически комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента , чаще называемый коэффициентом гармонической линеаризации , есть комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента по первой гармонике . Модуль коэффициента гармонической линеаризации

численно равен отношению амплитуды первой гармоники на выходе нелинейного элемента к амплитуде входного гармонического сигнала.

Аргумент

характеризует сдвиг по фазе между первой гармоникой выходных колебаний и входным гармоническим сигналом. Для однозначных нелинейностей, таких как, например, на рис. 2,а и 2,б, действительное выражение и

Для неоднозначных нелинейностей, рис. 2,в, 2,г, определяется по формуле

где S – площадь петли гистерезиса. Площадь S берется со знаком плюс, если петля гистерезиса обходится в положительном направлении (рис. 2,в) и со знаком минус в противном случае (рис. 2,г).

В общем случае и вычисляются по формулам

где , – нелинейная функция (характеристика нелинейного элемента).

С учетом вышеизложенного, при исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, нелинейная АСР (рис. 3) заменяется эквивалентной с коэффициентом гармонической линеаризации вместо нелинейного элемента (рис. 5). Выходной сигнал нелинейного элемента на рис. 5 обозначен как , это

Подчеркивает, что нелинейный элемент генерирует только

первую гармонику колебаний. Формулы для коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в литературе, например, в . В таблице приложения В приведены характеристики исследуемых релейных элементов, формулы для и их годографы. Там же приведены формулы и годографы для обратного коэффициента гармонической линеаризации , определяемого выражением

где и действительная и мнимая часть . Годографы и строятся в координатах , и , соответственно.

Запишем теперь условия существования автоколебаний. Система на рис. 5 эквивалентна линейной. В линейной системе существуют незатухающие колебания, если она находится на границе устойчивости. Воспользуемся условием границы устойчивости по критерию Найквиста: . На рис. 6,а – две точки пересечения, что указывает на наличие двух предельных циклов.

Введение

Релейные системы получили широкое распространение в практике автоматического регулирования. Достоинством релейных систем является простота конструкции, надежность, простота обслуживания и настройки. Релейные системы представляют собой особый класс нелинейных АСР.

В отличие от непрерывных в релейных системах регулирующее воздействие изменяется скачкообразно всякий раз, когда управляющий сигнал реле (чаще всего это ошибка регулирования) проходит через некоторые фиксированные (пороговые) значения, например, через нуль.

Релейные системы, как правило, обладают высоким быстродействием вследствие того, что управляющее воздействие в них изменяется практически мгновенно, а на исполнительное устройство действует кусочно-постоянный сигнал максимальной амплитуды. В то же время в релейных системах часто возникают автоколебания, что во многих случаях является недостатком. В настоящей работе исследуется релейная система с четырьмя различными законами управления.

Структура исследуемой системы

Исследуемая система (рис.) 1, включает в себя элемент сравнения ЭС, релейный элемент РЭ, исполнительный двигатель (идеальный интегратор с коэффициентом усиления =1), объект регулирования (апериодическое звено с тремя постоянными времени , , и коэффициентом усиления ). Значения параметров системы приведены в табл. 1 приложения А.

Статические характеристики (характеристики вход-выход) исследуемых релейных элементов приведены на рис. 2.

На рис. 2,а приведена характеристика идеального двухпозиционного реле, на рис. 2,б характеристика трехпозиционного реле с зоной нечувствительности. На рис. 2,в и 2,г приведены характеристики двухпозиционного реле с положительным и отрицательным гистерезисом соответственно.

Исследуемая АСР может быть смоделирована с помощью известных пакетов моделирования, например, SIAM или VisSim.

Замечание. В некоторых пакетах моделирования значение выходного

сигнала реле может принимать лишь значения ±1 вместо ±В, где В произвольное число. В таких случаях необходимо коэффициент усиления интегратора принять равным .

Порядок выполнения работы

Для выполнения работы каждый студент получает от преподавателя вариант исходных данных (см. раздел 2).

Работа выполняется в два этапа.

Первый этап – расчетно-исследовательский (может быть выполнен вне лаборатории).

Второй этап – экспериментальный (проводится в лаборатории). На этом этапе с помощью одного из пакетов производится моделирование переходных процессов в исследуемой системе для режимов, рассчитанных на первом этапе, и осуществляется проверка точности теоретических методов.

Необходимый теоретический материал изложен в разделе 4; в разделе 5 приведены контрольные вопросы.

3.1. Расчетно – исследовательская часть

1. Получить выражения для амплитудно-частотной и фазо-частотной, вещественной и мнимой характеристик линейной части системы.

2. Рассчитать и построить амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы. Для расчета использовать программы из пакета ТАУ. Обязательно распечатать значения вещественной и мнимой частотной характеристик (10 – 15 точек, соответствующих третьему и второму квадрантам).

4. Используя графоаналитический метод Гольдфарба, определить амплитуду и частоту автоколебаний и их устойчивость для всех четырех реле. Расчет параметров автоколебаний можно осуществить и аналитически. Качественно изобразить фазовый портрет системы для каждого из случаев.

5. Для трехпозиционного реле определить одно значение коэффициента усиления линейной части, при котором автоколебания отсутствуют, и граничное значение, при котором происходит срыв автоколебаний.

Экспериментальная часть

1. Используя один из доступных пакетов моделирования, собрать схему моделирования исследуемой АСР. По разрешению преподавателя можно воспользоваться готовой схемой. Настроить параметры схемы в соответствии с заданием.

2. Исследовать переходный процесс в системе с идеальным реле (вывести на печать), подавая на вход скачкообразное воздействие x(t)=40*1(t). Измерить амплитуду и частоту автоколебаний, сравнив их с расчетными значениями. Повторить эксперимент, установив не нулевые начальные условия (например, у(0)=10, у (1) (0)=-5).

3. Исследовать переходный процесс в системе с трехпозиционным реле для двух различных значений амплитуды входного сигнала x(t)= 40*1(t) и x(t)=15*1(t). Вывести на печать переходные процессы, измерить амплитуду и частоту автоколебаний (если они существуют), сравнить их с расчетными значениями, сделать выводы.

4. Исследовать переходные процессы в системе с трехпозиционным реле для других значений коэффициента усиления линейной части (см. п.5, раздел 3.1).

5. Исследовать переходные процессы в системе с двухпозиционными реле с гистерезисом при нулевых и не нулевых начальных условиях и x(t)=40*1(t). Вывести на печать переходные процессы, измерить амплитуду и частоту автоколебаний (если они существуют), сравнить их с расчетными значениями, сделать выводы.

Теоретическая часть

Широко распространенным методом расчета нелинейных систем является метод гармонической линеаризации (описывающих функций) .

Метод позволяет определять параметры автоколебаний (амплитуду и частоту), устойчивость автоколебаний, устойчивость положения равновесия нелинейной АСР. На базе метода гармонической линеаризации разработаны методы построения переходных процессов, анализа и синтеза нелинейных АСР .

Метод гармонической линеаризации

Как уже отмечалось, в нелинейных и в особенности релейных АСР часто наблюдаются устойчивые периодические колебания постоянной амплитуды и частоты, так называемые автоколебания . Причем автоколебания могут сохраняться даже при значительных изменениях параметров системы. Практика показала, что во многих случаях колебания регулируемой величины (рис. 3) близки к гармоническим.

Близость автоколебаний к гармоническим позволяет использовать для определения их параметров – амплитуды A и частоты w 0 – метод гармонической линеаризации. В основе метода лежит предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот (гипотеза фильтра). Определим условия, при которых автоколебания в системе могут быть близки к гармоническим. Ограничимся системами, которые как на рис. 3 могут быть приведены к последовательному соединению нелинейного элемента и линейной части. Предположим, что сигнал задания величина постоянная, для простоты примем его равным нулю. А сигнал ошибки (рис 3) является гармоническим:

(1)

Выходной сигнал нелинейного элемента как всякий периодический сигнал – на рисунке 3 это прямоугольные колебания – может быть представлен в виде суммы гармоник ряда Фурье.

Допустим, что линейная часть системы является фильтром низких частот (рис. 4) и пропускает только первую гармонику с частотой w 0 . Вторая с частотой 2w 0 и более высокие гармоники отфильтровываются линейной частью. В этом случае на выходе линейной части будет существовать практически только первая гармоника , а влиянием высших гармоник можно пренебречь

Таким образом, если линейная часть системы является фильтром низких частот, а частота автоколебаний w 0 удовлетворяет условиям

, (4)

Предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот, называется гипотезой фильтра . Гипотеза фильтра выполняется всегда, если разность степеней полиномов знаменателя и числителя передаточной функции линейной части

(5)

не меньше двух

Условие (6) выполняется для многих реальных систем. Примером могут служить апериодическое звено второго порядка и реальное интегрирующее

,

. (7)

При исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, в расчет принимается только первая гармоника периодических колебаний на выходе нелинейного элемента, поскольку высшие гармоники все равно практически отфильтровываются линейной частью. В режиме автоколебаний осуществляется гармоническая линеаризация нелинейного элемента. Нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным с комплексным коэффициентом усиления (описывающей функцией) , зависящим от амплитуды входного гармонического сигнала:

где и – действительная и мнимая части ,

– аргумент ,

– модуль .

В общем случае зависит как от амплитуды так и частоты автоколебаний и постоянной составляющей . Физически комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента , чаще называемый коэффициентом гармонической линеаризации , есть комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента по первой гармонике . Модуль коэффициента гармонической линеаризации

(9)

численно равен отношению амплитуды первой гармоники на выходе нелинейного элемента к амплитуде входного гармонического сигнала.

Аргумент

(10)

характеризует сдвиг по фазе между первой гармоникой выходных колебаний и входным гармоническим сигналом. Для однозначных нелинейностей, таких как, например, на рис. 2,а и 2,б, действительное выражение и

Для неоднозначных нелинейностей, рис. 2,в, 2,г, определяется по формуле

где S – площадь петли гистерезиса. Площадь S берется со знаком плюс, если петля гистерезиса обходится в положительном направлении (рис. 2,в) и со знаком минус в противном случае (рис. 2,г).

В общем случае и вычисляются по формулам

,

, (12)

где , – нелинейная функция (характеристика нелинейного элемента).

С учетом вышеизложенного, при исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, нелинейная АСР (рис. 3) заменяется эквивалентной с коэффициентом гармонической линеаризации вместо нелинейного элемента (рис. 5). Выходной сигнал нелинейного элемента на рис. 5 обозначен как , это

подчеркивает, что нелинейный элемент генерирует только

первую гармонику колебаний. Формулы для коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в литературе, например, в . В таблице приложения В приведены характеристики исследуемых релейных элементов, формулы для и их годографы. Там же приведены формулы и годографы для обратного коэффициента гармонической линеаризации , определяемого выражением

, (13)

где и действительная и мнимая часть . Годографы и строятся в координатах , и , соответственно.

Запишем теперь условия существования автоколебаний. Система на рис. 5 эквивалентна линейной. В линейной системе существуют незатухающие колебания, если она находится на границе устойчивости. Воспользуемся условием границы устойчивости по критерию Найквиста:

. (14)

Уравнение (14) естьусловие существования автоколебаний, близких к гармоническим. Если существуют действительные положительные решения А и w 0 уравнения (14), то в нелинейной АСР существуют автоколебания близкие к гармоническим. В противном случае автоколебания отсутствуют или не являются гармоническими. Уравнение (14) распадается на два – относительно действительной и мнимой части:

;

;

Поделив обе части уравнения (14) на и принимая во внимание формулу (13), получим условие существования автоколебаний в форме Гольдфарба Л.С.:

. (17)

Уравнение (17) также распадается на два:

,

(18)

и в некоторых случаях ими удобнее пользоваться для определения параметров автоколебаний.

Гольдфарб предложил графоаналитический метод решения системы (17) и определения устойчивости автоколебаний.

В координатах , и , строятся годографы и (рис. 6,а). Если годографы пересекаются, то автоколебания существуют. Параметры автоколебаний – А и w 0 определяются в точках пересечения – частота w 0 по годографу , амплитуда по годографу . На рис. 6,а – две точки пересечения, что указывает на наличие двух предельных циклов.

	б)

Для определения устойчивости автоколебаний согласно Гольдфарбу штрихуется левая сторона АФХ линейной части при движении вдоль АФХ в направлении возрастания частоты (рис. 6).

Автоколебания устойчивы, если в точке пересечения годограф нелинейного элемента переходит из незаштрихованной области в заштрихованную при движении в сторону возрастания амплитуды А.

Если переход происходит из заштрихованной области в не- заштрихованную, то автоколебания не устойчивы.

На рис. 6,б качественно изображен фазовый портрет соответствующий двум предельным циклам на рис. 6,а. Точке пересечения с параметрами и на рис. 6,а соответствует не устойчивый предельный цикл на рис. 6,б, точке с параметрами и и добиться срыва автоколебаний , в этом случае годографы и не пересекаются. Этого же эффекта можно добиться, увеличив зону нечувствительности d или уменьшив амплитуду выходного сигнала реле В. Существует некоторое предельное значение К л, при котором АФХ линейной части касается Ошибка! Ошибка связи. при этом , а значение амплитуды равно . Естественно, это приводит к качественному изменению фазового портрета системы.

Назначение метода гармонической линеаризации .

Идея метода гармонической линеаризации была предложена в 1934г. Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Применительно к системам автоматического управления этот метод разработан Л. С. Гольдфарбом и Е. П. Поповым. Другие названия этого ме­тода и его модификаций - метод гармонического баланса, метод описывающих функций, метод эквивалентной линеаризации.

Метод гармонической линеаризации - это метод исследова­ния автоколебаний. Он позволяет определять условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных си­стемах.

Знание параметров автоколебаний позволяет представить картину возможных процессов в системе и, в частности, определить условия устойчивости. Предположим, например, что в результате исследования автоколебаний в некоторой нелинейной системе мы получили зависимость амплитуды этих автоколебаний А от коэффициента передачи k линейной части системы, показанную на рис.12.1, и знаем, что автоколебания устойчивы.

Из графика следует, что при большом значении коэффициента передачи k, когда k > k кр, в системе существуют автоколебания. Их амплитуда уменьшается до нуля при уменьшении коэффициента передачи k до k кр. На рис.12.1 стрелками условно показан характер переходных процессов при разных значениях k : при k > k кр переходный процесс, вызванный начальным отклонением, стягивается к автоколебаниям. Из рисунка видно, что при k < k кр, система оказывается устойчивой. Таким образом, k кр – это критическое по условию устойчивости значение коэффициента передачи. Его превышение приводит к тому, что исходный режим системы становится неустойчивым и в ней возникают автоколебания. Следовательно, знание условий существования автоколебаний в системе позволяет определить и условия устойчивости.

Идея гармонической линеаризации.

Рассмотрим нелинейную систему, схема которой представлена на рис.12.2, а. Система состоит из линейной части с передаточной функцией W л (s ) и нелинейного звена НЛ с конкретно заданной характеристикой . Звено с коэффициентом - 1 показывает, что обратная связь в системе отрицательна. Полагаем, что в системе существуют автоколебания, амплитуду и частоту которых мы хотим найти. В рассматриваемом режиме входная величина Х нелинейного звена и выходная Y являются периодическими функциями времени.

Метод гармонической линеаризации основан на nредnоложении, что колебания на входе нелинейного звена являются синусоидальны.ми ,т. е. что

, (12.1)

где А – амплитуда и - частота этих автоколебаний, а - возможная в общем случае постоянная составляющая, когда автоколебания несимметричны.

В действительности автоколебания в нелинейных системах всегда несинусоидальны вследствие искажения их формы нели­нейным звеном. Поэтому указанное исходное предположение озна­чает, что метод гармонической линеаризации является принципиально приближенным и область его применения ограничена случаями, когда автоколебания на входе нели­нейного звена достаточно близки к синусоидальным. Для того чтобы это имело место, линейная часть системы должна не пропу­скать высших гармоник автоколебаний, т. е. являться фильтром нижних частот . Последнее иллюстрируется рис. 12.2, б. Если, например, частота автоколебаний равна , то линейная часть с показанной на рис. 12.2, б АЧХ будет играть роль фильтра нижних частот для этих колебаний, так как уже вторая гармоника, частота которой равна 2 , практически не пройдет на вход нелинейного звена. Следовательно, в этом случае метод гармонической линеаризации применим.

Если частота автоколебаний равна , линейная часть будет свободно пропускать вторую, третью и другие гармоники автоколебаний. В этом случае нельзя утверждать, что колебания на входе нелинейного звена будут достаточно близки к синусоидальным, т.е. необходимая для применения метода гармонической линеаризации предпосылка не выполняется.

Для того чтобы установить, является ли линейная часть си­стемы фильтром нижних частот и тем самым определить примени­мость метода гармонической линеаризации, необходимо знать частоту автоколебаний. Однако ее можно узнать только в резуль­тате использования этого метода. Таким образом, пpимeнимocть метода гармонической лuнеарuзацuu прuходuтся определять уже в конце uсследованuя в порядке проверки.

Заметим при этом, что если в результате этой проверки гипо­теза о том, что линейная часть системы играет роль фильтра ниж­них частот, не подтверждается, это не означает еще неверности полученных результатов, хотя, разумеется, ставит их под сом­нение и требует дополнительной проверки каким-либо другим методом.

Итак, предположив, что линейная часть системы есть фильтр нижних частот, считаем, что автоколебания на входе нелинейного звена синусоидальны, т.е имеют вид (12.1). Колебания на выходе этого звена будут при этом уже несинусоидальными вследствие их искажения нелинейностью. В качестве примера на рис. 12.3 построена кривая на выходе нелинейного звена для определенной амплитуды входного чисто синусоидального сигнала по характеристике звена, приведенной там же.

Рис.12.3. Прохождение гармонического колебания через нелинейное звено.

Однако, поскольку мы считаем, что линейная часть системы пропускает только основную гармонику автоколебаний, имеет смысл интересоваться только этой гармоникой на выходе нелинейного звена. Поэтому разложим выходные колебания в ряд Фурье и отбросим высшие гармоники. В результате получим:

;

; (12.3)

;

.

Перепишем выражение (12.2) в более удобном для последующего использования виде, подставив в него получающиеся из (12.1) следующие выражения для и :

Подставив эти выражения в (12.2), будем иметь:

(12.4)

. (12.5)

Здесь введены обозначения:

. (12.6)

Дифференциальное уравнение (12.5) справедливо для синусоидального входного сигнала (12.1) и определяет выходной сигнал нелинейного звена без учета высших гармоник.

Коэффициенты в соответствии с выражениями (12.3) для коэффициентов Фурье являются функциями постоянной составляющей , амплитуды А и частоты автоколебаний на входе нелинейного звена. При фиксированных А , и уравнение (12.5) является линейным. Таким образом, если отбросить высшие гармоники, то для фиксированного гармонического сигнала исходное нелинейное звено может быть заменено эквивалентным линейным, описываемым уравнением (12.5). Эта замена и называется гармонической линеаризацией .

На рис. 12.4 условно изображена схема этого звена, состоящая из двух параллельных звеньев.

Рис. 12.4. Эквивалентное линейное звено, полученное в результате гармонической линеаризации.

Одно звено () пропускает постоянную составляющую, а другое – только синусоидальную составляющую автоколебаний.

Коэффициенты называются коэффициентами гармонической линеаризации или гармоническими коэффициентами передачи : - коэффициент передачи постоянной составляющей, а - два коэффициента передачи синусоидальной составляющей автоколебаний. Эти коэффициенты определяются нелинейностью и значениями и по формулам (12.3). Существуют определенные по этим формулам готовые выра­жения для для ряда типовых нелинейных звеньев. Для этих и вообще всех безынерционных нелинейных звеньев вели­чины не зависят от и являются функциями только амплитуды А и .