Уравнение x 2 1. Решения уравнения x2 = a. Неполные квадратные уравнения
{ (3 * x – 1) = 0;
-(3 * x – 1) = 0;
Отсюда получаем, что имеется одно уравнение 3 * x – 1 = 0.
Получили линейное уравнение в виде 3 * x – 1 = 0
Для того, чтобы решить уравнение, определим какие свойства имеет уравнение:
- Уравнение является линейным, и записывается в виде a * x + b = 0, где a и b - любые числа;
- При a = b = 0, уравнение имеет бесконечное множество решений;
- Если a = 0, b ≠ 0, уравнение не имеет решения;
- Если a ≠ 0, b = 0, уравнение имеет решение: x = 0;
- Если, а и b - любые числа, кроме 0, то корень находится по следующей формуле x = - b/a.
Отсюда получаем, что a = 3, b = - 1, значит, уравнение имеет один корень.
Проверка решения уравнения
Подставим найденное значение х = 1/3 в изначальное выражение |3 * x - 1| = 0, тогда получим:
|3 * 1/3 - 1| = 0;
Для того, чтобы найти значение выражения, сначала в порядке очереди вычисляем умножение или деление, потом проводятся действия сложения или вычитания. То есть получаем:
Значит, х = 1/3 является корнем уравнения |3 * x - 1| = 0.
|3 * x - 1| = 0;
Модуль раскрывается со знаком плюс и минус. Получим 2 уравнения:
1) 3 * x - 1 = 0;
Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;
2) - (3 * x - 1) = 0;
Раскрываем скобки. Так как, перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. То есть получаем:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Ответ: х = 1/3.
Рассмотрим уравнение x^2=a, где в качестве а, может выступать произвольное число. Существует три случая решения этого уравнения, в зависимости от значения, которое принимает число а (а0).
Рассмотрим каждый из случаев в отдельности.
Примеры различных случаев уравнения x^2=a
x^2=a, при a<0
Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом, уравнение x^2=a, при a
x^2=a, при a=0
В данном случае уравнение имеет один корень. Этим корнем является число 0. Так как уравнение можно переписать в виде х*х=0, то еще иногда говорят, что данное уравнение имеет два корня, которые равны между собой и равны 0.
x^2=a, при a>0
В этом случае уравнение x^2=a, при aРешается оно следующим образом. Сначала переносим а в левую часть.
Из определения квадратного корня следует, что a можно записать в следующем виде: a=(√a)^2. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
x^2 - (√a)^2 = 0.
В левой части видим формулу разности квадратов, разложим её.
(x+√a)*(x-√a)=0;
Произведение двух скобок равно нулю, если хотя бы одна из них равна нулю. Следовательно,
Отсюда, x1=√a x2=-√a.
Данное решение можно проверить и построив график.
Для примера сделаем это для уравнения x^2 = 4.
Для этого необходимо построить два графика y=x^2 и y=4. И посмотреть координаты х их точек пересечения. Корни должны получиться 2 и -2. На рисунке все наглядно видно.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.
Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?
Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.
Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.
Уравнение с двумя неизвестными может:
а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);
б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;
г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.
Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.
Разложение на множители
Пример 1.
Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.
Решение.
Группируем слагаемые с целью разложения на множители:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:
y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.
Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.
Равенство нулю неотрицательных чисел
Пример 2.
Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Решение.
Группируем:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.
А значит, x = 2/3 и y = 3/2.
Ответ: (2/3; 3/2).
Оценочный метод
Пример 3.
Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Решение.
В каждой скобке выделим полный квадрат:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:
(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.
Ответ: (-1; 2).
Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .
Пример 4.
Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Решение.
Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.
Ответ: (3; 4).
Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .
Пример 5.
Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Решение.
Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.
Ответ: нет корней.
Пример 6.
Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Решение.
Выделим полные квадраты в каждой скобке:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.
Ответ: (2; -3) и (-2; -3).
Пример 7.
Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.
Решение.
Выделим полные квадраты:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:
(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.
Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Ответ: -17.
Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений.
Вы сможете быстро получить и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн
, вначале приведите уравнение к общему виду:
ax 2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:
Как решить квадратное уравнение
Как решить квадратное уравнение: | Виды корней: |
1.
Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx 2 +Bx+C=0 Пример: 3х - 2х 2 +1=-1 Приводим к -2х 2 +3х+2=0 2.
Находим дискриминант D. 3.
Находим корни уравнения. |
1.
Действительные корни. Причем. x1 не равно x2 Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2.
Действительные корни совпадают. x1 равно x2 3.
Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1) 1/2 5.
Уравнение имеет бесчисленное множество решений. 6.
Уравнение решений не имеет. |
Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений .
Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x 2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число 1/2 !
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х 2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х 2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.
X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1
Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор
окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете
Похожие статьи
-
Царь Фёдор Алексеевич - неизвестный реформатор
Два царствования первых государей Романова дома были периодом господства приказного люда, расширения письмоводства, бессилия закона, пустосвятства, повсеместного обдирательства работящего народа, всеобщего обмана, побегов, разбоев и...
-
Понятие технологизации Объективные причины технологизации социальной работы
Мировой опыт показывает, что в условиях динамичных экономических и социальных изменений в практике управления все в большей степени утверждается инновационный метод освоения социального пространства - его технологизация. В ходе...
-
Отметьте какая энергия зашифрована в данном ребусе
Как известно, личностью не рождаются, ею становятся, и основы этого закладываются еще в детском возрасте. Немалую роль в становлении человека как интеллектуальной индивидуальности играют его умственные способности и смекалка, развивать...
-
Нестыковки в истории человечества
Американским кинозрителям фильм известен под названием «Иван Васильевич: Назад в будущее» (en Ivan Vasilievich: Back to the Future) - см. Назад в будущее .Шведский посол говорит не на шведском языке, а на ломаном немецком (немецкий язык...
-
Самая большая волна в мире: все еще впереди
В декабре 2004 года фото самой большой волны в мире облетело все издания мира. 26 декабря произошло землетрясение в Азии, результатом которого стала волна-цунами, уничтожившая более 235 тысяч человек.СМИ публиковали фото разрушений, уверяя...
-
Император Пётр Первый Последние секунды жизни петра 1
Петр и Екатерина выехали из Астрахани в Москву в конце ноября 1722 года. Еще до их отъезда начал выпадать снег. Волгу ниже Царицына сковало льдом, и Петр не смог пуститься в путь на галерах. Отыскать подходящие для царского кортежа сани...