Yazılı bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur? Çevre ve gezi. Örneklerle görsel rehber (2019)

Çember, sınırlarda yazılı olarak kabul edilir. düzgün çokgen, içinde olması durumunda, her taraftan geçen düz çizgilere dokunarak. Bir dairenin merkezini ve yarıçapını nasıl bulacağımızı görelim. Dairenin merkezi, çokgenin köşelerinin açıortaylarının kesiştiği nokta olacaktır. Yarıçap hesaplanır: R = S / P; S, çokgenin alanıdır, P, dairenin yarı çevresidir.

bir üçgende

Düzenli bir üçgende, merkezine intcenter olarak adlandırılan yalnızca bir daire yazılır; her yönden aynı uzaklıkta ve açıortayların kesişme noktasıdır.

dörtgen içinde

Bu geometrik şekilde yazılı dairenin yarıçapının nasıl bulunacağına genellikle karar vermek gerekir. Dışbükey olmalıdır (eğer kendi kendine kesişme yoksa). Bir daire ancak karşılıklı kenarların toplamı eşitse çizilebilir: AB + CD = BC + AD.

Bu durumda, yazılı dairenin merkezi, köşegenlerin orta noktaları bir düz çizgi üzerinde bulunur (Newton teoremine göre). Düzgün dörtgenin karşılıklı kenarlarının kesiştiği yerde uçları bulunan doğru parçası, Gauss doğrusu adı verilen aynı doğru üzerinde yer alır. Dairenin merkezi, üçgenin yüksekliklerinin köşelerle, köşegenlerle kesiştiği nokta olacaktır (Brocard teoremine göre).

eşkenar dörtgende

Aynı kenar uzunluğuna sahip bir paralelkenar olarak kabul edilir. İçinde yazılı bir dairenin yarıçapı çeşitli şekillerde hesaplanabilir.

1. Bunu doğru yapmak için, eşkenar dörtgenin alanını, kenarının uzunluğunu biliyorsanız, eşkenar dörtgenin yazılı dairesinin yarıçapını bulun. Formül r = S / (2Xa)'dır. Örneğin, eşkenar dörtgen alanı 200 metrekare Mm ise, yan uzunluk 20 mm, o zaman R = 200 / (2X20), yani 5 mm.
2. Zirvelerden birinin dar açısı bilinmektedir. Daha sonra r = v (S * sin (α)/4) formülünü kullanmak gerekir. Örneğin, alanı 150 mm ve bilinen açısı 25 derece olan R = v (150 * sin (25 °)/4) ≈ v (150 * 0.423/4) ≈ v15.8625 ≈ 3.983 mm.
3. Bir eşkenar dörtgendeki tüm açılar eşittir. Bu durumda, eşkenar dörtgende yazılı dairenin yarıçapı, bu şeklin bir kenarının uzunluğunun yarısına eşit olacaktır. Herhangi bir dörtgenin açılarının toplamının 360 derece olduğunu iddia eden Öklid'e göre tartışırsak, o zaman bir açı 90 dereceye eşittir; şunlar. bir kare alın.

Yarıçap, bir daire üzerindeki herhangi bir noktayı merkezine bağlayan bir doğru parçası. Bu, diğer tüm parametreler ondan hesaplanabileceğinden, bu rakamın en önemli özelliklerinden biridir. Bir dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı biliyorsanız, çapını, uzunluğunu ve alanını hesaplayabilirsiniz. Belirli bir şeklin bir başkasının etrafına yazılması veya tasvir edilmesi durumunda, bir dizi başka sorun çözülebilir. Bugün, uygulamalarının temel formüllerini ve özelliklerini analiz edeceğiz.

bilinen miktarlar

Genellikle R harfi ile gösterilen bir dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı biliyorsanız, o zaman bir özellikten hesaplanabilir. Bu değerler şunları içerir:

• çevre (C);
• çap (D) - merkez noktasından geçen bir segment (veya daha doğrusu bir akor);
• alan (S) - bu rakamla sınırlanan alan.

çevre boyunca

Problemde C değeri biliniyorsa, R = C / (2 * P). Bu formül bir türevdir. Bir dairenin çevresinin ne olduğunu biliyorsak, artık ezberlenmesine gerek yoktur. Diyelim ki problemde C = 20 m Bu durumda dairenin yarıçapı nasıl bulunur? Bilinen değeri yukarıdaki formüle eklemeniz yeterlidir. Bu tür problemlerde sayı bilgisinin her zaman ima edildiğini unutmayın.Hesaplamaların kolaylığı için değerini 3.14 olarak alacağız. Bu durumda çözüm şu şekildedir: Hangi değerlerin verildiğini yazıyoruz, formülü türetiyor ve hesaplamaları yapıyoruz. Cevapta yarıçapın 20 / (2 * 3.14) = 3.19 m olduğunu yazıyoruz, ne düşündüğümüzü unutmamak ve ölçü birimlerinin adını belirtmek önemlidir.

Çapına göre

Bir dairenin yarıçapının nasıl bulunacağının sorulduğu en basit problem tipinin bu olduğunu hemen vurguluyoruz. Testte böyle bir örnekle karşılaşırsanız, sakin olabilirsiniz. Hesap makinesine bile ihtiyacınız yok! Dediğimiz gibi, çap bir doğru parçası veya daha doğrusu merkezden geçen bir kiriştir. Bu durumda çemberin tüm noktaları eşit uzaklıktadır. Bu nedenle, bu akor iki yarıdan oluşur. Her biri, bir daire üzerindeki bir noktayı ve merkezini birleştiren bir çizgi parçası olarak tanımından çıkan bir yarıçaptır. Problemde çap biliniyorsa, yarıçapı bulmak için bu değeri ikiye bölmeniz yeterlidir. Formül şöyle görünür: R = D / 2. Örneğin, problemdeki çap 10 m ise yarıçap 5 metredir.

Bir dairenin alanına göre

Bu tür bir sorun genellikle en zor olarak adlandırılır. Bu öncelikle formülün cehaletinden kaynaklanmaktadır. Bu durumda dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı biliyorsanız, gerisi bir teknoloji meselesidir. Hesap makinesinde, karekök hesaplama simgesini önceden bulmanız yeterlidir. Bir dairenin alanı, P sayısının ve yarıçapın kendisiyle çarpımının ürünüdür. Formül şöyle görünür: S = P * R 2. Yarıçapı denklemin bir tarafında izole ederek sorunu kolayca çözebilirsiniz. Alanı P sayısına bölme bölümünün kareköküne eşit olacaktır. S = 10 m ise, R = 1.78 metredir. Önceki görevlerde olduğu gibi, kullanılan birimleri unutmamak önemlidir.

Sınırlı bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur

a, b, c'nin bir üçgenin kenarları olduğunu varsayalım. Değerlerini biliyorsanız, çevresinde açıklanan dairenin yarıçapını bulabilirsiniz. Bunu yapmak için önce üçgenin yarım çevresini bulmanız gerekir. Anlamayı kolaylaştırmak için küçük bir p harfi ile gösterelim. Kenarların toplamının yarısına eşit olacaktır. Formülü: p = (a + b + c) / 2.

Kenar uzunluklarının çarpımını da hesaplıyoruz. Kolaylık olması için S harfi ile gösterelim. Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı formülü şöyle görünecektir: R = S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) *) p - c)).

Bir görev örneğini ele alalım. Bir üçgenin etrafında bir çemberimiz var. Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm'dir.Önce yarım çevreyi hesaplıyoruz. Bizim sorunumuzda 9 santimetreye eşit olacak. Şimdi kenar uzunluklarının çarpımını hesaplayalım - 210. Ara hesaplamaların sonuçlarını formülde yerine koyun ve sonucu bulun. Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı 3.57 santimetredir. Ölçü birimlerini unutmadan cevabı yazıyoruz.

Yazılı bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur

a, b, c üçgenin kenar uzunlukları olsun. Değerlerini biliyorsanız, yazılı dairenin yarıçapını bulabilirsiniz. İlk önce yarı çevresini bulmanız gerekir. Anlama kolaylığı için küçük bir p harfi ile gösterelim. Bunu hesaplama formülü şu şekildedir: p = (a + b + c) / 2. Bu tür bir problem öncekinden biraz daha basittir, dolayısıyla ara hesaplamalara gerek yoktur.

Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: R = √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Bunu göz önünde bulundurun özel örnek... Sorunun 5, 7 ve 10 cm kenarları olan bir üçgen tanımladığını varsayalım, içine yarıçapı bulunması gereken bir daire yazılmıştır. İlk olarak, yarım çevreyi buluyoruz. Bizim problemimizde 11 cm'ye eşit olacak, şimdi onu ana formülde yerine koyuyoruz. Yarıçap 1.65 santimetreye eşit olacaktır. Cevabı yazıyoruz ve unutma doğru birimlerölçümler.

Çevre ve özellikleri

Her geometrik şeklin kendine has özellikleri vardır. Problem çözmenin doğruluğu, onların anlayışına bağlıdır. Çemberde de var. Böyle bir durum hakkında net bir fikir verdikleri için, genellikle açıklanan veya yazılı şekillerle örnekleri çözerken kullanılırlar. Onların arasında:

• Düz bir çizginin bir daire ile sıfır, bir veya iki kesişme noktası olabilir. İlk durumda, onunla kesişmez, ikincisinde teğettir, üçüncüde - bir sekanttır.
• Bir düz çizgi üzerinde yer almayan üç nokta alırsak, içlerinden sadece bir daire getirilebilir.
• Düz bir çizgi aynı anda iki rakama teğet olabilir. Bu durumda çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçası üzerinde bulunan bir noktadan geçecektir. Uzunluğu, bu rakamların yarıçaplarının toplamına eşittir.
• Bir veya iki noktadan sonsuz sayıda daire çizilebilir.

Bu makale, bir kareye yazılan bir dairenin yarıçapının nasıl bulunacağını popüler bir şekilde açıklar. Teorik materyal, konuyla ilgili tüm nüansları anlamanıza yardımcı olacaktır. Bu metni okuduktan sonra, gelecekte benzer sorunları kolayca çözebilirsiniz.

temel teori

Doğrudan bir kareye yazılmış bir dairenin yarıçapını bulmaya geçmeden önce, bazı temel kavramlara aşina olmanızda fayda var. Belki çok basit ve açık görünebilirler, ancak konuyu anlamak için gereklidirler.

Kare, tüm kenarları birbirine eşit ve tüm açıların derece ölçüsü 90 derece olan bir dörtgendir.

Daire, bir noktadan belirli bir uzaklıkta bulunan iki boyutlu kapalı bir eğridir. Bir ucu dairenin merkezinde, diğeri - herhangi bir yüzeyinde bulunan bir segmente yarıçap denir.

Terimleri tanıdık, sadece ana soru kaldı. Karede yazılı dairenin yarıçapını bulmamız gerekiyor. Ama son cümle ne anlama geliyor? Burada da karmaşık bir şey yok. Bir çokgenin tüm kenarları eğri bir çizgiye dokunuyorsa, bu çokgenin içinde yazılı kabul edilir.

Bir kareye yazılan dairenin yarıçapı

İLE teorik malzeme bitti. Şimdi pratikte nasıl uygulanacağını bulmanız gerekiyor. Bunun için bir resim kullanalım.

Yarıçap açıkça AB'ye diktir. Bu, aynı zamanda AD ve BC'ye paralel olduğu anlamına gelir. Kabaca söylemek gerekirse, uzunluğu daha fazla belirlemek için onu karenin kenarına "üst üste koyabilirsiniz". Gördüğünüz gibi, BK segmenti buna karşılık gelecek.

Uçlarından biri r, köşegenlerin kesişme noktası olan dairenin merkezinde yer alır. İkincisi, özelliklerinden birine göre birbirlerini ikiye böler. Pisagor teoremini kullanarak, şeklin kenarlarını da iki özdeş parçaya böldüklerini kanıtlayabiliriz.

Bu argümanları alarak, bir sonuç çıkarıyoruz.

Bir eşkenar dörtgen, tüm kenarların eşit olduğu bir paralelkenardır. Bu nedenle, paralelkenarın tüm özelliklerini devralır. Yani:

• Eşkenar dörtgenin köşegenleri karşılıklı olarak diktir.
• Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, iç açılarının açıortaylarıdır.

Bir dörtgende bir daire ancak ve ancak karşı tarafların toplamları eşitse yazılabilir.
Bu nedenle, herhangi bir eşkenar dörtgende bir daire yazılabilir. Yazılı dairenin merkezi, eşkenar dörtgenin köşegenlerinin kesişme merkezi ile çakışmaktadır.
Bir eşkenar dörtgendeki yazılı bir dairenin yarıçapı çeşitli şekillerde ifade edilebilir.

1 yol. Yükseklik boyunca eşkenar dörtgende yazılı daire yarıçapı

Eşkenar dörtgen yüksekliği, yazılı dairenin çapına eşittir. Bu, yazılı dairenin çapı ve eşkenar dörtgenin yüksekliği tarafından oluşturulan dikdörtgenin özelliğinden kaynaklanır - dikdörtgenin zıt kenarları eşittir.

Bu nedenle, bir eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin yarıçapı için yükseklik boyunca formül:

Yöntem 2. Köşegenler boyunca bir eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin yarıçapı

Bir eşkenar dörtgen alanı, yazılı dairenin yarıçapı cinsinden ifade edilebilir.
, nerede r Eşkenar dörtgenin çevresidir. Çevrenin dörtgenin tüm kenarlarının toplamı olduğunu bilerek, P = 4× bir. O zamanlar
Ancak eşkenar dörtgenin alanı da köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir.
Alan formüllerinin sağ taraflarını eşitleyerek aşağıdaki eşitlik elde edilir.
Sonuç olarak, köşegenler boyunca bir eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin yarıçapını hesaplamanıza izin veren bir formül elde ederiz.

Köşegenler biliniyorsa, bir eşkenar dörtgende yazılı bir dairenin yarıçapını hesaplama örneği
Köşegenlerin uzunluğunun 30 cm ve 40 cm olduğu biliniyorsa, bir eşkenar dörtgende yazılı bir dairenin yarıçapını bulun.
İzin vermek ABCD-rombus o zaman AC ve BD köşegenleri. AC = 30 cm , BD= 40 cm
nokta olsun Ö Eşkenar dörtgende yazılı olanın merkezi ABCD daire, o zaman aynı zamanda köşegenlerinin kesişme noktası olacak ve onları ikiye bölecektir.


eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açılarda kesiştiği için üçgen AOB dikdörtgen. Daha sonra Pisagor teoremi ile
, daha önce elde edilen değerleri formüle değiştiriyoruz

AB= 25 cm
Bir eşkenar dörtgendeki çevrelenmiş dairenin yarıçapı için önceden türetilen formülü uygulayarak, elde ederiz.

Yöntem 3. m ve n segmentleri boyunca bir eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin yarıçapı

Nokta F- dairenin, onu parçalara ayıran eşkenar dörtgen tarafı ile teğet noktası AF ve erkek arkadaş... İzin vermek AF =m, BF = n.
Nokta Ö- eşkenar dörtgen köşegenlerinin kesişme merkezi ve yazılı dairenin merkezi.
Üçgen AOB- dikdörtgen, çünkü eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açılarda kesişir.
dan beri çemberin teğet noktasına çizilen yarıçaptır. Buradan NIN-NİN- üçgenin yüksekliği AOB hipotenüs için. O zamanlar AF ve en iyi - bacakların hipotenüse yansıması.
Içinde yükseklik sağ üçgen, hipotenüse indirilmiş, bacakların hipotenüse olan projeksiyonları arasındaki orantılı ortalamadır.

Parçalardan geçen bir eşkenar dörtgendeki yazılı bir dairenin yarıçapı formülü, dairenin teğet noktasının eşkenar dörtgenin kenarını böldüğü bu bölümlerin çarpımının kareköküne eşittir.