Уміння обчислювати обсяг просторових фігур є важливим при вирішенні низки практичних завдань з геометрії. Однією з найпоширеніших фігур є піраміда. У статті розглянемо піраміди як повної, і усіченої.

Піраміда як об'ємна фігура

Кожен знає про єгипетські піраміди, тому добре уявляє, про яку фігуру йтиметься. Проте єгипетські кам'яні споруди є лише окремим випадком величезного класу пірамід.

Розглянутий геометричний об'єкт у загальному випадку є багатокутною основою, кожна вершина якої з'єднана з деякою точкою в просторі, що не належить площині основи. Дане визначення призводить до фігури, що складається з одного n-кутника та n трикутників.

Будь-яка піраміда складається з n+1 граней, 2*n ребер та n+1 вершини. Оскільки розглянута постать є досконалим поліедром, то числа зазначених елементів підпорядковуються рівності Ейлера:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Багатокутник, що знаходиться в основі, дає назву піраміди, наприклад, трикутна, п'ятикутна і так далі. Набір пірамід з різними підставами наведено нижче.

Крапка, у якій n трикутників фігури з'єднуються, називається вершиною піраміди. Якщо з неї опустити на основу перпендикуляр і він перетне його в геометричному центрі, тоді така фігура називатиметься прямою. Якщо ця умова не виконується, має місце похила піраміда.

Пряма фігура, основа якої утворена рівностороннім (рівнокутним) n-кутником, називається правильною.

Формула об'єму піраміди

Для обчислення обсягу піраміди скористаємося інтегральним обчисленням. Для цього розіб'ємо фігуру паралельними основи січними площинами на нескінченну кількість тонких шарів. Рисунок нижче показує чотирикутну піраміду висотою h і довжиною сторони L, у якій чотирикутником відзначений тонкий шар перерізу.

Площу кожного такого шару можна обчислити за такою формулою:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Тут A 0 – площа основи, z – значення вертикальної координати. Видно, якщо z = 0, то формула дає значення A 0 .

Щоб отримати формулу обсягу піраміди, слід обчислити інтеграл по всій висоті фігури, тобто:

V = ∫ h 0 (A(z) * dz).

Підставляючи залежність A(z) і обчислюючи первісну, приходимо до виразу:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Ми одержали формулу обсягу піраміди. Щоб знайти величину V, достатньо помножити висоту фігури на площу основи, а потім поділити результат на три.

Зауважимо, що отриманий вираз справедливо обчислення обсягу піраміди довільного типу. Тобто вона може бути похилою, а її підстава є довільним n-кутником.

та її обсяг

Отриману в пункті вище загальну формулу обсягу можна уточнити у разі піраміди з правильною основою. Площа такої підстави обчислюється за такою формулою:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Тут L є довжиною сторони правильного багатокутника із n вершинами. Символ pi – це число пі.

Підставляючи вираз для A 0 загальну формулу, отримуємо об'єм правильної піраміди:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Наприклад, для трикутної піраміди ця формула призводить до наступного виразу:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Для правильної чотирикутної піраміди формула об'єму набуває вигляду:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Визначення обсягів правильних пірамід вимагає знання сторони їхньої основи та висоти фігури.

Піраміда зрізана

Припустимо, що ми взяли довільну піраміду і відтнули у неї частину бічної поверхні, що містить вершину. Постать, що залишилася, називається усіченою пірамідою. Вона складається вже з двох n-вугільних основ та n трапецій, які їх з'єднують. Якщо січна площина була паралельна основи фігури, тоді утворюється зрізана піраміда з паралельними подібними основами. Тобто довжини сторін однієї з них можна отримати, помножуючи довжини іншого деякий коефіцієнт k.

Малюнок вище демонструє правильну усічену Видно, що верхня основа її так само, як і нижня, утворена правильним шестикутником.

Формула яку можна вивести, використовуючи подібне наведене інтегральне числення, має вигляд:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Де A 0 і A 1 - площі нижньої (великої) і верхньої (маленької) підстав відповідно. Змінною h позначається висота усіченої піраміди.

Об'єм піраміди Хеопса

Цікаво вирішити завдання визначення обсягу, який укладає у собі найбільша єгипетська піраміда.

У 1984 році британські єгиптологи Марк Легнер (Mark Lehner) та Джон Гудман (Jon Goodman) встановили точні розміри піраміди Хеопса. Її первісна висота дорівнювала 146,50 метра (нині близько 137 метрів). Середня довжина кожної із чотирьох сторін споруди становила 230,363 метра. Основа піраміди з високою точністю є квадратною.

Скористаємося наведеними цифрами визначення обсягу цього кам'яного гіганта. Оскільки піраміда є правильною чотирикутною, тоді для неї справедлива формула:

Підставляємо цифри, отримуємо:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 м 3 .

Обсяг піраміди Хеопса дорівнює майже 2,6 млн м3. Для порівняння зазначимо, що олімпійський басейн має об'єм 2,5 тис. м3. Тобто, для заповнення всієї піраміди Хеопса знадобиться більше 1000 таких басейнів!

– це багатогранник, який утворюється основою піраміди та паралельним йому перетином. Можна сказати, що усічена піраміда – це піраміду зі зрізаною верхівкою. Ця фігура має безліч унікальних властивостей:

• Бічні грані піраміди є трапеціями;
• Бічні ребра правильної усіченої піраміди однакової довжини та нахилені до основи під однаковим кутом;
• Підстави є схожими багатокутниками;
• У правильній усіченій піраміді, грані є однаковими рівнобедреними трапеціями, площа яких дорівнює. Також вони нахилені до основи під одним кутом.

Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди є сумою площ її сторін:

Так як сторони усіченої піраміди є трапецією, то для розрахунку параметрів доведеться скористатися формулою площі трапеції. Для правильної зрізаної піраміди можна застосувати іншу формулу розрахунку площі. Оскільки всі її сторони, грані і кути при підставі рівні, то можна застосувати периметри основи та апофему, а також вивести площу через кут при підставі.

Якщо за умовами в правильній усіченій піраміді дано апофему (висота бічної сторони) і довжину сторін основи, то можна розрахувати площу через напівтвор суми периметрів основ і апофеми:

Давайте розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди.
Дано правильну п'ятикутну піраміду. Апофема l= 5 см, довжина грані у великій підставі дорівнює a= 6 см, а грань у меншій підставі b= 4 см. Розрахуйте площу усіченої піраміди.

Для початку знайдемо периметри основ. Оскільки нам дана п'ятикутна піраміда, ми розуміємо, що підстави є п'ятикутниками. Значить, в основі лежить фігура з п'ятьма однаковими сторонами. Знайдемо периметр більшої основи:

Таким же чином знаходимо периметр меншої основи:

Тепер можемо розраховувати площу правильної усіченої піраміди. Підставляємо дані у формулу:

Таким чином, ми розрахували площу правильної усіченої піраміди через периметри та апофему.

Ще один спосіб розрахунку площі бічної поверхні правильної піраміди, це формула через кути біля основи та площу цих самих підстав.

Розгляньмо приклад розрахунку. Пам'ятаємо, що ця формула застосовується лише для правильної усіченої піраміди.

Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Грань нижньої основи a = 6 см, а грань верхньої b = 4 см. Двогранний кут на підставі β = 60°. Знайдіть площу бічної поверхні правильної усіченої піраміди.

Для початку розрахуємо площу основ. Оскільки піраміда правильна, всі межі підстав рівні між собою. Враховуючи, що в основі лежить чотирикутник, розуміємо, що потрібно буде розрахувати площа квадрата. Вона є твір ширини на довжину, але у квадраті ці значення збігаються. Знайдемо площу більшої основи:


Тепер використовуємо знайдені значення розрахунку площі бічної поверхні.

Знаючи кілька нескладних формул, ми легко розрахували площу бічної трапеції усіченої піраміди через різні значення.

піраміда. Усічена піраміда

Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( основа ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .

Боковим рубомпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофема . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані.

Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ всіх бічних граней та підстави.

Теореми

1. Якщо в піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:

де V- Об `єм;

S осн– площа основи;

H- Висота піраміди.

Для правильної піраміди вірні формули:

де p– периметр основи;

h а– апофема;

H- Висота;

S повний

S бік

S осн– площа основи;

V- Об'єм правильної піраміди.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.

Підставиусіченої піраміди – подібні до багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю Усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Для усіченої піраміди справедливі формули:

(4)

де S 1 , S 2 – площі верхньої та нижньої основ;

S повний- Площа повної поверхні;

S бік- Площа бічної поверхні;

H- Висота;

V- Об'єм усіченої піраміди.

Для правильної усіченої піраміди вірна формула:

де p 1 , p 2 – периметри основ;

h а- Апофема правильної усіченої піраміди.

приклад 1.У правильній трикутній піраміді двогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).

Піраміда правильна, отже на підставі рівносторонній трикутник і всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі - це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: З знаходимо:

Відповідь:

приклад 2.Знайти об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.

Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:

Відповідь: 112 см 3 .

Приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).

Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 див, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, на якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та ОМ- Радіус вписаної в колі:

MK = DE.

За теоремою Піфагора з

Площа бічної грані:

Відповідь:

Приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основи якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.

Скористаємося твердженням, якщо всі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується в центр вписаної в основу кола. Крапка Про- Проекція вершини Sна підставу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. По теоремі про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:

Аналогічно і значить Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.

Так як в трапецію можна вписати коло, то або з теореми Піфагора маємо