Який із висловлювань є аксіомою паралельності лобачевського. У якій геометрії паралельні прямі перетинаються? Виникнення геометрії Лобачевського

Евклідова аксіома про паралельні (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень, за наявності інших аксіом) може бути сформульована таким чином:

Аксіома Лобачевського є точним запереченням аксіоми Евкліда (при виконанні всіх інших аксіом), тому що випадок, коли через точку, що не лежить на даній прямій, не проходять жодної прямої, що лежить з даної прямої в одній площині і не перетинає її, виключається в силу інших аксіом (аксіоми абсолютної геометрії). Так, наприклад, сферична геометрія і геометрія Римана, в яких будь-які дві прямі перетинаються, і отже, не виконана ні аксіома про паралельних Евкліда, ні аксіома Лобачевського, не сумісні з абсолютною геометрією.

Геометрія Лобачевського має широкі застосування як у математиці, і у фізиці. Історичне та філософське її значення полягає в тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової, що знаменувало нову епоху у розвитку геометрії, математики та науки взагалі.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ #177. ГЕОМЕТРІЯ ЛОБАЧЕВСЬКОГО (радянський діафільм)

✪ Неевклідова геометрія. Частина 1. Історія математики

✪ Неевклідові геометрії. Трохи про Науку #Наука

✪ Загальна теорія відносності | гіперболічна геометрія 1 | вона ж геометрія Лобачевського

✪ Неевклідова геометрія. Частина 2. Історія математики

Субтитри

Історія

Спроби доказу п'ятого постулату

Відправним пунктом геометрії Лобачевського послужив V постулат Евкліда - аксіома, еквівалентна аксіомі про паралельні. Він входив до списку постулатів у «Початках» Евкліда. Відносна складність і неінтуїтивність його формулювання викликала відчуття його вторинності та породжувала спроби вивести його як теорему з решти постулатів Евкліда.

Серед багатьох, хто намагався довести п'ятий постулат, були, зокрема, такі великі вчені.

• Давньогрецькі математики Птолемей (II ст.) і Прокл (V ст.) (ґрунтувався на припущенні про кінцівку відстані між двома паралельними).
• Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець - початок ст.) (ґрунтувався на припущенні, що кінець перпендикуляра, що рухається, до прямої описує пряму лінію).
• Іранські математики Омар-Хайям (2-я половина - початок XII ст.) і Насір-ад-Дін-ат-Тусі (XIII ст.) (Грунтувалися на припущенні, що дві прямі не можуть при продовженні стати розбіжними без перетину).
• Першу в Європі відому нам спробу доказу аксіоми паралельності Евкліда запропонував Герсонід, який жив у Провансі (Франція) (він же Леві бен Гершом, XIV-вік). Його доказ спирався на твердження про існування прямокутника.
• Німецький математик Клавіус ().
• Італійські математики
  • Катальді (вперше в 1603-году надрукував роботу, цілком присвячену питанню про паралельні).
  • Бореллі (), Дж. Віталі ().
• Англійський математик Валліс ( , опубліковано в ) (ґрунтувався на припущенні, що для будь-якої фігури існує їй подібна, але не рівна фігура).
• Французький математик Лежандр () (ґрунтувався на припущенні, що через кожну точку всередині гострого кута можна провести пряму, що перетинає обидві сторони кута; він також мав інші спроби доказу).

За цих спроб доказу п'ятого постулату математики вводили (явно чи неявно) деяке нове твердження, що здавалося їм очевиднішим.

Були спроби використати доказ протилежного:

• італійський математик Саккері () (сформулювавши твердження, що суперечить постулату, він вивів ряд наслідків і, помилково визнавши частину з них суперечливими, він вважав постулат доведеним),
• німецький математик Ламберт (близько , опубліковано в ) (провівши дослідження , він визнав, що не зміг виявити в побудованій ним системі протиріччя).

Нарешті, стало виникати розуміння того, що можливе побудова теорії, заснованої на протилежному постулаті:

• німецькі математики Швейкарт () і Таурінус () (проте вони не усвідомили, що така теорія буде логічно такою ж стрункою).

Створення неевклідової геометрії

Лобачевський у роботі «Про засади геометрії» (), першої його друкованої роботи з неевклідової геометрії, ясно заявив, що п'ятий постулат не може бути доведений на основі інших посилок евклідової геометрії, і що припущення постулату, протилежного постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію так само змістовну та вільну від протиріч, як і евклідова.

Одночасно і незалежно до аналогічних висновків дійшов Янош Бойяї, а Карл Фрідріх Гаусс дійшов таких висновків ще раніше. Однак праці Бойяї не привернули уваги, і він незабаром залишив цю тему, а Гаус взагалі утримувався від публікацій, і про його погляди можна судити лише з кількох листів і щоденникових записів. Наприклад, у листі 1846-го року астроному Г. Х. Шумахеру Гаус так відгукнувся про роботу Лобачевського:

Цей твір містить у собі підстави тієї геометрії, яка мала б мати місце і до того ж становила б суворо послідовне ціле, якби евклідова геометрія була б істинною… Лобачевський називає її «уявною геометрією»; Ви знаєте, що вже 54 роки (з року) я поділяю ті ж погляди з деяким розвитком їх, про який не хочу тут згадувати; таким чином, я не знайшов собі у творі Лобачевського нічого фактично нового. Але в розвитку предмета автор слідував не тим шляхом, яким йшов я сам; воно виконане Лобачевським майстерно в істинно геометричному дусі. Я вважаю себе зобов'язаним звернути Вашу увагу на цей твір, який, напевно, принесе Вам виняткову насолоду.

У результаті Лобачевський виступив як перший найяскравіший і найпослідовніший пропагандист нової геометрії. Хоча геометрія Лобачевського розвивалася як умоглядна теорія, і сам Лобачевський називав її «уявною геометрією», проте саме він вперше відкрито запропонував її не як гру розуму, бо як можливу і корисну теорію просторових відносин. Проте підтвердження її несуперечності було дано пізніше, коли було вказано її інтерпретації (моделі).

Твердження геометрії Лобачевського

У цих роботах Бельтрамі дав прозорий геометричний доказ несуперечності нової геометрії, точніше, що геометрія Лобачевського суперечлива тоді й тільки тоді, коли суперечлива геометрія Евкліда. Лобачевський також мав такий доказ, але воно було складніше, в один бік модель Евклідової площини в геометрії Лобачевського, воно будувалося за допомогою моделі як і в Бельтрамі, в інший бік йшло аналітично.

ln ⁡ (A N A M B M B N) (\displaystyle \ln \left((\frac (AN)(AM))(\frac (BM)(BN))\right))

У зовнішній абсолюті, реалізується геометрія простору анти-де Сіттера.

Конформно-евклідова модель

Інша модель поверхні Лобачевського, запропонована Бельтрамі.

За площину Лобачевського приймається начинка кола, прямими вважаються дуги кіл, перпендикулярних колу даного кола, та його діаметри, рухами - перетворення, одержувані комбінаціями інверсій щодо кіл, дуги яких служать прямими.

Модель Пуанкаре чудова тим, що у ній кути зображуються звичайними кутами.

Поверхня постійної негативної кривизни

Інше аналітичне визначення геометрії Лобачевського полягає в тому, що геометрія Лобачевського визначається як геометрія, риманова, простору постійної негативної кривизни. Це визначення було фактично дано ще 1854-го року Ріманом і включало модель геометрії Лобачевського як геометрії на поверхнях постійної кривизни. Однак Ріман не пов'язав прямо своїх побудов з геометрією Лобачевського, а його доповідь, в якій він про них повідомив, не була зрозуміла і була опублікована лише після його смерті (у 1868-году).

Зміст геометрії Лобачевського

Лобачевський будував свою геометрію, вирушаючи від основних геометричних понять та своєї аксіоми, і доводив теореми геометричним методом, подібно до того, як це робиться в геометрії Евкліда. Основою була теорія паралельних ліній, оскільки саме тут починається відмінність геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда. Всі теореми, що не залежать від аксіоми про паралельні, є загальними для обох геометрій; вони утворюють так звану абсолютну геометрію, до якої відносяться, наприклад, ознаки рівності трикутників. Слідом за теорією паралельних будувалися інші розділи, включаючи тригонометрію та початку аналітичної та диференціальної геометрії.

Наведемо (у сучасних позначеннях) кілька фактів геометрії Лобачевського, що відрізняють її від геометрії Евкліда та встановлених самим Лобачевським.

Через точку P, що не лежить на даній прямій R(див. малюнок), проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають Rі тих, що перебувають з нею в одній площині; серед них є дві крайні x, y, які і називаються асимптотично паралельними(іноді просто паралельними) прямий Rа решта - ультрапаралельними.

Кут θ (\displaystyle \theta )між перпендикуляром PBз Pна Rі кожної з асимптотично паралельних (званий кутом паралельності) у міру видалення точки Pвід прямої зменшується від 90° до 0° (у моделі Пуанкаре кути у звичному сенсі збігаються з кутами у сенсі Лобачевського, і тому у ньому цей факт можна побачити безпосередньо). Паралель xз одного боку (а yз протилежною) асимптотично наближається до а, а з іншого - нескінченно від неї віддаляється (у моделях відстані визначаються складно, і тому цей факт безпосередньо не видно).

Для точки, що знаходиться від заданої прямої на відстані PB = a(див. малюнок), Лобачевський дав формулу для кута паралельності П(a) :

θ = Π (a) = 2 arctg ⁡ e − a q

Тут q- Деяка постійна, пов'язана з кривизною простору Лобачевського. Вона може бути абсолютною одиницею довжини аналогічно до того, як у сферичній геометрії особливе положення займає радіус сфери.

Якщо прямі мають загальний перпендикуляр, то вони ультрапаралельні, тобто нескінченно розходяться в обидва боки від нього. До будь-якої з них можна відновити перпендикуляри, які не досягають іншої прямої.

У геометрії Лобачевського немає подібних, але нерівних трикутників; трикутники рівні, якщо їх кути дорівнюють.

Сума кутів будь-якого трикутника менша π (\displaystyle \pi )і може бути як завгодно близька до нуля (різниця між 180 ° і сумою кутів трикутника ABC в геометрії Лобачевського позитивна - її називають дефектом цього трикутника). Це безпосередньо помітно на моделі Пуанкаре. Різниця δ = π − (α + β + γ) (\displaystyle \delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma)), де α (\displaystyle \alpha ), β (\displaystyle \beta ), γ (\displaystyle \gamma )- кути трикутника, пропорційна його площі:

S = q 2 ⋅ δ (\displaystyle S=q^(2)\cdot \delta )

З формули видно, що існує максимальна площа трикутника, і це кінцеве число: π q 2 (\displaystyle \pi q^(2)).

Лінія рівних відстаней від прямої не є пряма, а особлива крива, звана еквідистантою, або гіперциклом.

Межа кіл нескінченно збільшується радіуса не є пряма, а особлива крива, звана граничним колом, або орициклом.

Межа сфер радіуса, що нескінченно збільшується, не є площиною, а особлива поверхня - гранична сфера, або орисфера; Чудово, що у ній має місце евклідова геометрія. Це служило Лобачевському основою висновку формул тригонометрії.

Довжина кола не пропорційна радіусу, а зростає швидше. Зокрема, у геометрії Лобачевського число π (\displaystyle \pi )може бути визначено як ставлення довжини кола до її діаметру.

Чим менша область у просторі або на площині Лобачевського, тим менші геометричні співвідношення в цій галузі відрізняються від співвідношень евклідової геометрії. Можна сміливо сказати, що у нескінченно малої області має місце евклідова геометрія. Наприклад, що менше трикутник, то менше сума його кутів відрізняється від π (\displaystyle \pi ); чим менше коло, тим менше відношення її довжини до радіусу відрізняється від 2 π (\displaystyle 2\pi ), і т. п. Зменшення області формально рівносильне збільшенню одиниці довжини, тому при безмежному збільшенні одиниці довжини формули геометрії Лобачевського переходять до формул евклідової геометрії. Євклідова геометрія є в цьому сенсі "граничний" випадок геометрії Лобачевського.

Заповнення площини та простору правильними політопами

Площина Лобачевського може бути замощена не тільки правильними трикутниками, квадратами та шестикутниками, але й будь-якими іншими правильними багатокутниками. При цьому в одній вершині паркету має сходитися не менше 7 трикутників, 5 квадратів, 4 п'яти- або шестикутників, або 3 багатокутників з кількістю сторін більше 6. Тобто число різних заміщень нескінченне і за допомогою символу Шлефлі (в одній вершині сходиться Mштук N-кутників) всі замощення площини Лобачевського можна записати так:

• (3, 7), (3, 8), …, тобто (3, M), де M≥7;
• (4, 5), (4, 6), …, тобто (4, M), де M≥5;
• (5, 4), (5, 5), …, тобто (5, M), де M≥4;
• (6, 4), (6, 5), …, тобто (6, M), де M≥4;
• (N, M), де N≥7, M≥3.

Кожне замощення ( N , M ) (\displaystyle \left\(N,M\right\))вимагає строго певного розміру одиничного N-кутника, зокрема, його площа повинна дорівнювати:

S ( N ; M ) = q 2 π (N − 2 − 2 NM) (\displaystyle S_(\left\(N;M\right\))=q^(2)\pi \left(N-2- 2(\frac (N)(M))\right))

На відміну від звичайного простору (трьохмірного евклідового простору), який можна заповнити правильними багатогранниками лише одним способом (по 8 кубів у вершині, або по чотири в ребрі (4,3,4)), тривимірний простір Лобачевського можно замості на площині, нескінченною кількістю способів. За допомогою символу Шлефлі (N, M, P) (\displaystyle \left\(N,M,P\right\))(в одній вершині сходиться Mштук N-кутників, а в кожному ребрі сходиться по Pбагатогранників) всі замощення можна записати так: [ ]

• (3,3,6), (3,3,7), …, тобто (3,3, P), де P≥6;
• (4,3,5), (4,3,6), …, тобто (4,3, P), де P≥5;
• (3,4,4), (3,4,5), …, тобто (3,4, P), де P≥4;
• (5,3,4), (5,3,5), …. Тобто (5,3, P), де P≥4;
• (3,5,3), (3,5,4), …, тобто (3,5, P), де P≥3.

Багатогранники таких розбиття можуть мати нескінченний об'єм, за винятком кінцевого числа розбиття простору на правильні багатогранники з кінцевим об'ємом:

• (3,5,3) (по три ікосаедр в ребрі)
• (4,3,5) (по п'ять кубів у ребрі)
• (5,3,4) (по чотири додекаедра в ребрі)
• (5,3,5) (по п'ять додекаедрів у ребрі)

Крім цього, існує 11 способів заповнити простір Лобачевського правильними мозаїчними орисферами ((3,4,4), (3,3,6), (4,3,6), (5,3,6), (4,4, 3), (6,3,3), (6,3,4), (6,3,5), (6,3,6), (4,4,4), (3,6,3) ). [ ]

Програми

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (\displaystyle x^(2)+y^(2)+z^(2)=c^(2)t^(2))при розподілі на t 2 (\displaystyle t^(2)), тобто для швидкості світла, дає v x 2 + v y 2 + v z 2 = c 2 (\displaystyle v_(x)^(2)+v_(y)^(2)+v_(z)^(2)=c^(2))- рівняння сфери у просторі з координатами v x (\displaystyle v_(x)), v y (\displaystyle v_(y)), v z (\displaystyle v_(z))- складовими швидкості по осях х, у, z(У «просторі швидкостей»).

Геометрія Лобачевського

(1) евклідова геометрія; (2) геометрія Рімана; (3) геометрія Лобачевського

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) - одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельні, яка замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Евклідова аксіома про паралельні (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень) свідчить:

Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить не більше однієї прямої, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.

У геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:

Через точку, що не лежить на даній прямій, проходять принаймні дві прямі, що лежать із даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Широко поширена помилка, що у геометрії Лобачевського паралельні прямі перетинаються . Геометрія Лобачевського має широкі застосування як у математиці, і у фізиці. Історичне та філософське її значення полягає в тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової, що знаменувало нову епоху у розвитку геометрії, математики та науки взагалі.

Історія

Спроби доказу п'ятого постулату

Відправним пунктом геометрії Лобачевського послужив V постулат Евкліда - аксіома, еквівалентна аксіомі про паралельні. Він входив до списку постулатів у «Початках» Евкліда. Відносна складність і неінтуїтивність його формулювання викликала відчуття його вторинності та породжувала спроби вивести його як теорему з решти постулатів Евкліда.

Серед багатьох, хто намагався довести п'ятий постулат, були, зокрема, такі великі вчені.

За цих спроб доказу п'ятого постулату математики вводили (явно чи неявно) деяке нове твердження, що здавалося їм очевиднішим.

Були спроби використати доказ протилежного:

• італійський математик Саккері () (сформулювавши твердження, що суперечить постулату, він вивів ряд наслідків і, помилково визнавши частину з них суперечливими, він вважав постулат доведеним),
• німецький математик Ламберт (близько , опубліковане в ) (провівши дослідження, він визнав, що не зміг виявити в побудованій їм системі протиріччя).

Нарешті, виникало розуміння, що можливе побудова теорії, заснованої на протилежному постулаті:

• німецькі математики Швейкарт () і Таурінус () (проте вони не усвідомили, що така теорія буде логічно такою ж стрункою).

Створення неевклідової геометрії

Лобачевський у роботі «Про засади геометрії» (), першої його друкованої роботи з неевклідової геометрії, ясно заявив, що V постулат не може бути доведений на основі інших посилок евклідової геометрії, і що припущення постулату, протилежного постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію так само змістовну, як і евклідову, і вільну від протиріч.

Одночасно і незалежно до аналогічних висновків дійшов Янош Бойяї, а Карл Фрідріх Гаус прийшов до таких висновків ще раніше. Однак праці Бойяї не привернули уваги, і він незабаром залишив цю тему, а Гаус взагалі утримувався від публікацій, і про його погляди можна судити лише з кількох листів і щоденникових записів. Наприклад, у листі 1846 року астроному Г. Х. Шумахеру Гаус так відгукнувся про роботу Лобачевського:

Цей твір містить у собі підстави тієї геометрії, яка мала б мати місце і до того ж становила б суворо послідовне ціле, якби евклідова геометрія була б істинною… Лобачевський називає її «уявною геометрією»; Ви знаєте, що вже 54 роки (з 1792) я поділяю ті ж погляди з деяким розвитком їх, про який не хочу тут згадувати; таким чином, я не знайшов собі у творі Лобачевського нічого фактично нового. Але в розвитку предмета автор слідував не тим шляхом, яким йшов я сам; воно виконане Лобачевським майстерно в істинно геометричному дусі. Я вважаю себе зобов'язаним звернути Вашу увагу на цей твір, який, напевно, принесе Вам виняткову насолоду.

У результаті Лобачевський виступив як перший найяскравіший і найпослідовніший пропагандист нової геометрії. Хоча геометрія Лобачевського розвивалася як умоглядна теорія, і сам Лобачевський називав її «уявною геометрією», проте саме він вперше відкрито запропонував її не як гру розуму, бо як можливу і корисну теорію просторових відносин. Проте підтвердження її несуперечності було дано пізніше, коли було вказано її інтерпретації (моделі).

Твердження геометрії Лобачевського

Модель Пуанкаре

Зміст геометрії Лобачевського

Лобачевський будував свою геометрію, вирушаючи від основних геометричних понять та своєї аксіоми, і доводив теореми геометричним методом, подібно до того, як це робиться в геометрії Евкліда. Основою була теорія паралельних ліній, оскільки саме тут починається відмінність геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда. Всі теореми, що не залежать від аксіоми про паралельні, є загальними для обох геометрій; вони утворюють так звану абсолютну геометрію, до якої належать, наприклад, теореми про рівність трикутників. Слідом за теорією паралельних будувалися інші розділи, включаючи тригонометрію та початку аналітичної та диференціальної геометрії.

Наведемо (у сучасних позначеннях) кілька фактів геометрії Лобачевського, що відрізняють її від геометрії Евкліда та встановлених самим Лобачевським.

Через точку P, що не лежить на даній прямій R(див. малюнок), проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають Rі тих, що перебувають з нею в одній площині; серед них є дві крайні x, y, які і називаються паралельними прямою Rу сенсі Лобачевського. У моделях Клейна (Пуанкаре) вони зображаються хордами (дугами кіл), що мають з хордою (дугою) Rзагальний кінець (який за визначенням моделі виключається, тому ці прямі не мають спільних точок).

Кут між перпендикуляром PBз Pна Rі кожної з паралельних (званий кутом паралельності) у міру видалення точки Pвід прямої зменшується від 90° до 0° (у моделі Пуанкаре кути у звичному сенсі збігаються з кутами у сенсі Лобачевського, і тому у ньому цей факт можна побачити безпосередньо). Паралель xз одного боку (а yз протилежною) асимптотично наближається до а, а з іншого - нескінченно від неї віддаляється (у моделях відстані визначаються складно, і тому цей факт безпосередньо не видно).

Для точки, що знаходиться від заданої прямої на відстані PB = a(див. малюнок), Лобачевський дав формулу для кута паралельності П(a) :

Тут q- Деяка постійна, пов'язана з кривизною простору Лобачевського. Вона може бути абсолютною одиницею довжини аналогічно до того, як у сферичній геометрії особливе положення займає радіус сфери.

Якщо прямі мають загальний перпендикуляр, то вони нескінченно розходяться в обидва боки від нього. До будь-якої з них можна відновити перпендикуляри, які не досягають іншої прямої.

У геометрії Лобачевського немає подібних, але нерівних трикутників; трикутники рівні, якщо їх кути дорівнюють.

Сума кутів будь-якого трикутника менша і може бути як завгодно близька до нуля. Це безпосередньо помітно на моделі Пуанкаре. Різниця , де , , - Кути трикутника, пропорційна його площі:

З формули видно, що є максимальна площа трикутника, і це кінцеве число: .

Лінія рівних відстаней від прямої не є пряма, а особлива крива, звана еквідистантою, або гіперциклом.

Межа кіл нескінченно збільшується радіуса не є пряма, а особлива крива, звана граничним колом, або орициклом.

Межа сфер радіуса, що нескінченно збільшується, не є площиною, а особлива поверхня - гранична сфера, або орисфера; Чудово, що у ній має місце евклідова геометрія. Це служило Лобачевському основою висновку формул тригонометрії.

Довжина кола не пропорційна радіусу, а зростає швидше. Зокрема, у геометрії Лобачевського число може бути визначено як ставлення довжини кола до її діаметру.

Чим менша область у просторі або на площині Лобачевського, тим менші геометричні співвідношення в цій галузі відрізняються від співвідношень евклідової геометрії. Можна сміливо сказати, що у нескінченно малої області має місце евклідова геометрія. Наприклад, що менше трикутник, то менше сума його кутів відрізняється від ; що менше коло, тим менше відношення її довжини до радіусу відрізняється від , і т. п. Зменшення області формально рівносильне збільшенню одиниці довжини, тому при безмежному збільшенні одиниці довжини формули геометрії Лобачевського переходять у формули евклідової геометрії. Євклідова геометрія є в цьому сенсі "граничний" випадок геометрії Лобачевського.

Заповнення площини та простору правильними політопами

Замощення площини Лобачевського правильними трикутниками ((3; 7))

Площина Лобачевського може бути замощена не лише правильними трикутниками, квадратами та шестикутниками, але й будь-якими іншими правильними багатокутниками. При цьому в одній вершині паркету має сходитися не менше 7 трикутників, 5 квадратів, 4 п'яти- і шестикутників і 3 багатокутників з кількістю сторін більше 6. Кожне замощення (в одній вершині сходить M N-кутників) вимагає строго певного розміру одиничного N-кутника , зокрема, його площа повинна дорівнювати:

Заповнення простору Лобачевського правильними додекаедрами ((5,3,4))

На відміну від звичайного простору, який можна заповнити правильними багатогранниками лише одним способом (по 8 кубів у вершині), тривимірний простір Лобачевського можна заповнити правильними багатогранниками чотирма способами:

• (3,5,3) (по 12 ікосаедрів у вершині)
• (4,3,5) (по 20 кубів у вершині)
• (5,3,4) (по 8 додекаедрів у вершині)
• (3,5,3) (по 20 додекаедрів у вершині)

Крім цього існує 11 способів заповнити простір Лобачевського правильними мозаїчними орисферами.

Програми

• Сам Лобачевський застосував свою геометрію до обчислення певних інтегралів.
• Теоретично функцій комплексного змінного геометрія Лобачевського допомогла побудувати теорію автоморфних функцій. Зв'язок із геометрією Лобачевського був тут відправним пунктом досліджень Пуанкаре, який писав, що «неевклідова геометрія є ключем до вирішення всього завдання».
• Геометрія Лобачевського знаходить застосування також у теорії чисел, у її геометричних методах, об'єднаних під назвою «геометрія чисел».
• Було встановлено тісний зв'язок геометрії Лобачевського з кінематикою спеціальної (приватної) теорії відносності. Цей зв'язок полягає в тому, що рівність, що виражає закон поширення світла

при розподілі на , тобто для швидкості світла, дає - рівняння сфери в просторі з координатами , , - складовими швидкості по осях х, у, z(У «просторі швидкостей»). Перетворення Лоренца зберігають цю сферу і оскільки вони лінійні, переводять прямі простору швидкостей в прямі. Отже, згідно моделі Клейна, у просторі швидкостей усередині сфери радіусу з, тобто для швидкостей, менших за швидкість світла, має місце геометрія Лобачевського.

• Чудовий додаток геометрія Лобачевського знайшла у загальній теорії відносності. Якщо вважати розподіл мас матерії у Всесвіті рівномірним (це наближення у космічних масштабах припустимо), то виявляється можливим, що за певних умов простір має геометрію Лобачевського. Таким чином, припущення Лобачевського про його геометрію як можливу теорію реального простору виправдалося.
• За допомогою моделі Клейна, дається дуже простий і короткий доказ теореми про метелика в геометрії евкліди.

Див. також

Примітки

Праці основоположників

• Н. І. Лобачевський«Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній». – 1941.
• Про основи геометрії. Збірник класичних робіт з геометрії Лобачевського та розвитку її ідей. М: Гостехиздат, 1956.

Література

• Александров А. Д., Нецвєтаєв Н. Ю.Геометрія, - наука, Москва, 1990.
• Александров П. З.Що таке неевклідова геометрія - УРСС, Москва, 2007.
• Делоне Б. Н.Елементарне підтвердження несуперечності планіметрії Лобачевського, - Гостехиздат, Москва, 1956.
• Іовлєв Н. Н.«Введення в елементарну геометрію та тригонометрію Лобачевського». – М.-Л.: Гіз., 1930. – С. 67.
• Клейн Ф.«Неевклідова геометрія». - М.-Л.: ОНТІ, 1936. - С. 356.
• Попов А. Г.

Ще глибше вивчення питання приведе нас до такого поняття, як кривизна простору. Не вдаючись у подробиці, звернемо увагу лише на те, що поверхня може бути викривлена ​​у кожній точці двома якісно у різний спосіб. В одному випадку поверхня нагадує частину еліпсоїда, і кривизна вважається позитивною. В іншому випадку поверхня схожа на сідло і її кривизна негативна. Псевдосфера, як видно на її зображенні (отже, і площина Лобачевського), має негативну кривизну, причому виявляється, що ця кривизна постійна (не залежить від точки поверхні). Це, до речі, прояснює походження назви "псевдосфера": звичайна сфера є поверхнею із постійною позитивною кривизною.

Геометрія Лобачевського, створена у ХІХ столітті, була найважливішим щаблем створення області математики, що нині називається диференціальної геометрією . Вона займається вивченням довільних викривлених просторів, та її математичний апарат є фундаментом таку важливу область сучасної фізики, як загальна теорія відносності (ОТО). Справа в тому, що, згідно з ВТО, простір-час, в якому ми живемо, має кривизну, причому кривизна простору відповідає наявності в цій точці простору гравітаційного поля.

ОТО зазнала численних експериментальних перевірок (див.: Століття ОТО, або Ювілей Першої листопадової революції, «Елементи», 25.11.2015), а поправки, пов'язані з нею, доводиться враховувати для точної супутникової навігації. Крім того, їй описується фізика масивних об'єктів, таких як звичайні та нейтронні зірки, наднові та чорні дірки (список можна продовжувати). Нарешті, ВТО лежить в основі сучасної науки про Всесвіт - космологію.

Згідно з здоровим глуздом, а також усім наявним наглядовим даними, Всесвіт на великих масштабах однорідний і ізотропний. Це у будь-якому разі означає, що вона є простором постійної просторової кривизни. У зв'язку з цим з перших років космології розглядалися три можливості: плоский Всесвіт, Всесвіт позитивної кривизни («сферичний Всесвіт») і Всесвіт негативної кривизни («Всесвіт Лобачевського»). На даний момент, щоправда, вважається, що кривизна Всесвіту нульова (у межах сучасної точності вимірів). Це знаходить пояснення у сучасній теорії інфляції. Згідно з останньою, Всесвіт у початковій стадії своєї еволюції відчувала дуже швидке розширення і в результаті збільшилася у багато разів (це називається інфляцією). Цілком можливо, що до інфляції Всесвіт був сферичний, «Всесвіт Лобачевського» або мав якусь іншу складну геометрію. Однак розширення призвело до того, що зараз спостереженням доступна лише дуже мала частина всього Всесвіту, і її геометрія має бути невідмінною від плоскої.

У жодній. За визначенням, паралельні прямі немає точок перетину.

Тепер давайте за геометріями та помилками. Усюди розглядатимуться "площини", аби це не означало.

Геометрія Евкліда. Те, що вчили в школі, те, що звичніше і майже точно виконується у повсякденному житті. Виділю ті два факти, що будуть суттєві потім. Перше: у цій геометрії є відстань, між будь-якими двома точками існує найкоротша, і до того ж лише одна (відрізок прямої). Друге: через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній і при цьому лише одну.

Це відповідає якійсь парі аксіом із підручника Погорєлова, тому мені зручніше на це спиратися.

Геометрія Лобачевського. З відстанню в ній все чудово, але нам його складно уявити через постійну негативну кривизну (не зрозуміли - не страшно). З паралельністю складніше. Через точку поза прямою завжди можна провести не просто одну, а нескінченно багато паралельних прямих.

Сферична геометрія. По-перше, що ми вважаємо "прямими". Прямі на сфері - великі кола = кола, що висікає на сфері площиною, що проходить через центр = кола радіуса рівного радіусу сфери. Це прямі у тому сенсі, що це найкоротший шлях між не дуже далекими (трохи пізніше стане зрозуміло, якими) точками. Деякі могли помітити, що якщо міста знаходяться на одній паралелі, то літак летить не по цій паралелі, а траєкторією опуклою на північ у північній півкулі. Якщо помалюєте, то помітите, що велике коло, що з'єднує дві точки, проходить північніше паралелі.

Чим погана відстань на сфері? Візьмемо діаметрально протилежні точки на сфері, для них існує безліч найкоротших. Наочніше: подивлюся на північний та південний полюси. Всі меріліани проходять через них, всі вони мають однакові довжини, будь-який інший шлях буде довшим.

Паралельних прямих при цьому немає зовсім, будь-які дві прямі перетинаються в діаметрально протилежних точках.

Проектна площина. Найголовніша і перша відмінність: ніякої відстані немає і не може бути. У принципі, його не можна запровадити, щоб воно задовольняло якимось природним умовам (зберігалося при "рухах" площини). Таким чином, ні про які "нескінченно віддалені прямі" сама геометрія не знає, все це придумано людьми, щоби якось зрозуміти проектну площину. Найпростіший спосіб: уявити звичну нам площину (так звану "афінну карту") і додати до неї пряму, яка "нескінченно видалена", причому всі прямі, які були паралельні даній у площині, яку представили, перетнуться в якійсь одній точці на цій "нескінченно віддаленій" прямій. Такий опис досить простий: ось я щось написав у дві пропозиції, і хтось щось уже представив. Але воно вводить в оману, ніякої виділеної прямої в проектній геометрії немає. Але вже цей опис показує, що паралельні прямі