Площа рівнобедреного трикутника зі стороною а. Як знаходити площа трикутника (формули)

Залежно від виду трикутника виділяють відразу кілька варіантів знаходження його площі. Наприклад, для обчислення площі прямокутного трикутника використовується формула S = a * b / 2, де а і b - це його катети. Якщо ж потрібно дізнатися площа рівнобедреного трикутника, то необхідно ділити на два твір його заснування і висоти. Тобто, S = b * h / 2, де b - це підстава трикутника, а h - його висота.

Далі, може знадобитися розрахунок площі рівнобедреного прямокутного трикутника. Тут приходить на допомогу наступна формула: S = a * а / 2, де катети «а» і «а» - обов'язково повинні бути з однаковими значеннями.

Також, нам часто доводиться обчислювати площу рівностороннього трикутника. Вона знаходиться за формулою: S = a * h / 2, де a - сторона трикутника, і h - його висота. Або за цією формулою: S = √3 / 4 * a ^ 2, де a - сторона.

Як знаходити площа прямокутного трикутника

Вам потрібно знайти площу прямокутного трикутника, але при цьому в умові завдання не вказані розміри відразу двох його катетів? Тоді цією формулою (S = a * b / 2) ми не зможемо скористатися безпосередньо.

Розглянемо кілька можливих варіантів вирішення:

• Якщо Вам невідома довжина одного катета, але дані розміри гіпотенузи і другого катета, то звертаємося до великого Піфагора і по його теоремі (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2) вираховуємо довжину невідомого катета, потім використовуємо її для розрахунку площі трикутника.
• Якщо дана довжина одного катета і градусний нахил кута протилежного йому: знаходимо довжину другого катета за формулою - a = b * ctg (C).
• Дано: довжина одного катета і градусний нахил кута прилеглого до нього: для знаходження довжини другого катета застосовуємо формулу - a = b * tg (C).
• І останнє, дано: кут і довжина гіпотенузи: обчислюємо довжину обох його катетів, за такими формулами - b = c * sin (C) і a = c * cos (C).

Як знаходити площа рівнобедреного трикутника

Площа рівнобедреного трикутника можна дуже легко і швидко знайти за формулою S = b * h / 2, але, при відсутності одного з показників, завдання значно ускладнюється. Адже необхідно виконувати додаткові дії.

Можливі варіанти завдань:

• Дано: довжина однієї з бічних сторін і довжина підстави. Знаходимо через теорему Піфагора висоту, тобто довжину другого катети. За умови, що довжина підстави, розділена на два, є катетом, а спочатку відома бічна сторона - гіпотенузою.
• Дано: підстава і кут між бічною стороною і підставою. Обчислюємо за формулою h = c * ctg (B) / 2 висоту (не забуваємо сторону «c» розділити на два).
• Дано: висота і кут, який був утворений підставою і бічною стороною: застосовуємо формулу c = h * tg (B) * 2 для знаходження висоти, і отриманий результат множимо на два. Далі обчислюємо площу.
• Відома: довжина бокової сторони і кут, який утворився між ним і висотою. Рішення: використовуємо формули - c = a * sin (C) * 2 і h = a * cos (C) для знаходження підстави і висоти, після чого вважаємо площа.

Як знайти площу рівнобедреного прямокутного трикутника

Якщо всі дані відомі, то за стандартною формулою S = a * a / 2 обчислюємо площу рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо ж в задачі не вказані деякі показники, то виконуються додаткові дії.

Наприклад: нам не відомі довжини обох сторін (ми пам'ятаємо, що в равнобедренном прямокутному трикутнику вони рівні), але дана довжина гіпотенузи. Застосуємо теорему Піфагора для знаходження однакових сторін «a» і «a». Формула Піфагора: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. У випадку з рівнобедреним прямокутним трикутником вона перетворюється в таку: 2a ^ 2 = c ^ 2. Виходить, щоб знайти катет «а», потрібно довжину гіпотенузи поділити на корінь з 2. Результат рішення і буде довгою обох катетів рівнобедреного прямокутного трикутника. Далі знаходимо площа.

Як знайти площу рівностороннього трикутника

За допомогою формули S = ​​√3 / 4 * a ^ 2 можна легко вирахувати площу рівностороннього трикутника. Якщо відомий радіус описаного кола трикутника, то площа можна знайти за формулою: S = 3√3 / 4 * R ^ 2, де R - радіус кола.

Математика - це дивовижна наука. Однак така думка приходить тільки тоді, коли її розумієш. Щоб цього досягти, потрібно вирішувати завдання і приклади, креслити схеми і малюнки, доводити теореми.

Шлях до розуміння геометрії лежить через вирішення завдань. Чудовим прикладом можуть служити завдання, в яких потрібно знайти площу рівнобедреного трикутника.

Що таке трикутник, і в чому його відмінність від інших?

Щоб не лякатися термінів «висота», «площа», «підстави», «рівнобедреного трикутника» та інших, потрібно почати з теоретичних основ.

Спочатку про трикутнику. Це плоска фігура, яка утворена з трьох точок - вершин, в свою чергу, з'єднаних відрізками. Якщо два з них виявляються рівні один одному, то трикутник стає рівнобедреним. Ці сторони отримали назву бічних, а решта стала підставою.

Існує окремий випадок рівнобедреного трикутника - рівносторонній, коли і третя сторона дорівнює двом боковим.

властивості фігури

Вони виявляються вірними помічниками у вирішенні завдань, які вимагають знайти площу рівнобедреного трикутника. Тому знати і пам'ятати про них необхідно.

• Перше з них: кути рівнобедреного трикутника, одна сторона яких - підставу, завжди дорівнюють один одному.
• Важливим є і властивість про додаткові побудовах. Проведені до непарній стороні висота, медіана і бісектриса збігаються.
• Ці ж відрізки, проведені з кутів при основі трикутника, попарно рівні. Це теж часто полегшує пошук рішення.
• Два рівних кута в ньому завжди мають значення менше ніж 90º.
• І останнє: вписана і описана окружності будуються так, що їх центри лежать на висоті до основи трикутника, а значить медіані і бісектрисі.

Як в завданні розпізнати трикутник?

Якщо при вирішенні завдання постає питання про те, як знайти площу рівнобедреного трикутника, то спочатку потрібно зрозуміти, що він відноситься до цієї групи. А в цьому допоможуть певні ознаки.

• Рівні два кута або дві сторони трикутника.
• Бісектриса є ще і медіаною.
• Висота трикутника виявляється медианой або биссектрисой.
• Рівні дві висоти, медіани або бісектриси фігури.

Позначення величин, прийняті в розглянутих формулах

Для спрощення того, як знаходити площа рівнобедреного трикутника за формулами, введена заміна його елементів на літери.

Увага! Важливо не плутати «а» з «А» і «в» з «В». Це різні величини.

Формули, якими можна скористатися в різних завданнях

Відомі довжини сторін, і потрібно знайти площу рівнобедреного трикутника.

В цьому випадку потрібно звести в квадрат обидва значення. Те число, яке вийшло від зміни збоку, помножити на 4 і відняти від нього друге. З отриманої різниці витягти квадратний корінь. Довжину підстави розділити на 4. Два числа перемножити. Якщо записати ці дії буквами, то вийде така формула:

Нехай вона буде записана під №1.

Знайти за значеннями сторін площу рівнобедреного трикутника. Формула, яка комусь може здатися простіше, ніж перша.

Першою дією потрібно знайти половину підстави. Потім знайти суму і різницю цього числа з бічною стороною. Два останніх значення перемножити і витягти квадратний корінь. Останньою дією помножити все на половину підстави. Літерне рівність буде виглядати так:

Це формула №2.

Спосіб знайти площу рівнобедреного трикутника, якщо відомі підставу і висота до нього.

Одна з найкоротших формул. У ній потрібно перемножити обидві дані величини і розділити їх на 2. Ось як вона буде записана:

Номер цієї формули - 3.

У завданні відомі сторони трикутника і значення кута, що лежить між підставою і бічною стороною.

Тут, для того щоб дізнатися, чому дорівнює площа рівнобедреного трикутника, формула буде складатися з декількох множників. Перший з них - це значення синуса кута. Другий дорівнює добутку збоку на підставу. Третій - дріб ½. Загальна математична запис:

Порядковий номер формули - 4.

У задачі дано: бічна сторона рівнобедреного трикутника і кут, що лежить між його боковими сторонами.

Як і в попередньому випадку, площа знаходиться за трьома множників. Перший дорівнює значенню синуса кута, зазначеного в умови. Другий - це квадрат сторони. І останній також дорівнює половині одиниці. В результаті формула запишеться так:

Її номер - 5.

Формула, яка дозволяє знайти площу рівнобедреного трикутника, якщо відомі його підставу і кут, що лежить навпроти нього.

Спочатку потрібно обчислити тангенс половини відомого кута. Отримане число помножити на 4. Звести в квадрат довжину бічної сторони, яке потім розділити на попереднє значення. Таким чином, вийде така формула:

Номер останньої формули - 6.

приклади завдань

Перше завдання: відомо, що підстава рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а його висота - 5 см. Потрібно визначити його площу.

Для її вирішення логічно вибрати формулу під номером 3. У ній все відомо. Підставити числа і порахувати. Вийде, що площа дорівнює 10 * 5 / 2. Тобто 25 см 2.

Друге завдання: в трикутник дані бічна сторона і підстава, які дорівнюють відповідно 5 і 8 см. Знайти його площу.

Перший спосіб. За формулою №1. При зведенні в квадрат підстави виходить число 64, а учетверенное квадрат збоку - 100. Після вирахування з другого першого вийде 36. З нього прекрасно витягується корінь, який дорівнює 6. Підстава, поділене на 4, дорівнює 2. Підсумкове значення визначиться як добуток 2 і 6, тобто 12. Це відповідь: шукана площа дорівнює 12 см 2.

Другий спосіб. За формулою №2. Половина підстави дорівнює 4. Сума збоку і знайденого числа дає 9, їх же різниця - 1. Після множення виходить 9. Витяг квадратного кореня дає 3. І останнє дію, множення 3 на 4, що дає ті ж 12 см 2.

Вирішуючи завдання з геометрії і визначаючи, як знайти площу рівнобедреного трикутника, можна отримати неоціненний досвід. Чим більше різних варіантів завдань виконано, тим простіше знайти відповідь в новій ситуації. Тому регулярне і самостійне виконання всіх завдань - це шлях до успішного засвоєння матеріалу.

Встає не тільки перед школярами або студентами, а й у реальному, практичному житті. Наприклад, під час будівництва виникла потреба обробки фасадної частини, що знаходиться під дахом. Як обчислити кількість потрібного матеріалу?

Часто з подібними завданнями стикаються майстра, які працюють з тканиною або шкірою. Адже багато деталей, які належить викроїти майстру, мають якраз форму рівнобедреного трикутника.

Отже, існує кілька способів, які допомагають знайти площу рівнобедреного трикутника. Перший - обчислення її по підставі і висоті.

Для вирішення нам необхідно побудувати для наочності трикутник MNP з підставою MN і висотою PO. Тепер дещо добудуємо в кресленні: з точки P провести лінію, паралельну основи, а з точки M - лінію, паралельну висоті. Точку перетину назвемо Q. Щоб дізнатися, як знайти площу рівнобедреного трикутника, потрібно розглянути отриманий чотирикутник MOPQ, в якому бічна сторона даного нам трикутника MP є вже його діагоналлю.

Доведемо спочатку, що це прямокутник. Так як ми будували його самі, то знаємо, що сторони MO і OQ паралельні. І сторони QM і OP теж паралельні. Кут POM прямий, значить і кут OPQ теж прямий. Отже, отриманий чётирёхугольнік є прямокутником. Знайти його площу не складе труднощів, вона дорівнює добутку PO на OM. OM - це половина підстави даного трикутника MPN. Звідси випливає, що площа побудованого нами прямокутника дорівнює полупроізведенію висоти прямокутного трикутника на його підставу.

Другим етапом поставленої перед нами завдання, як визначити площу трикутника, є доказ того факту, що отриманий нами прямокутник по площі відповідає даним рівнобедреного трикутника, тобто, що площа трикутника також дорівнює полупроізведенію підстави і висоти.

Порівняємо для початку трикутник PON і PMQ. Вони обидва прямокутні, так як прямий кут в одному з них утворений висотою, а прямий кут в іншому є кутом прямокутника. Гіпотенузи в них є сторонами рівнобедреного трикутника, отже, є рівними. Катети PO і QM є рівними як паралельні сторони прямокутника. Значить, і площа трикутника PON, і трикутника PMQ рівні між собою.

Площа прямокутника QPOM дорівнює площам трикутників PQM і MOP в сумі. Замінивши надбудований трикутник QPM трикутником PON, отримуємо в сумі даний нам для виведення теореми трикутник. Тепер ми знаємо, як знайти площу рівнобедреного трикутника по підставі і висоті - обчислити їх полупроізведеніе.

Але можна дізнатися, як знайти площу рівнобедреного трикутника по підставі і бічній стороні. Тут також існує два варіанти: теорема Герона і Піфагора. Розглянемо рішення із застосуванням теореми Піфагора. Для прикладу візьмемо той же PMN з висотою PO.

У прямокутному трикутнику POM MP - гіпотенуза. Її квадрат дорівнює сумі квадратів PO і OM. А так як OM - половина підстави, яке нам відомо, то ми легко може знайти OM і звести число в квадрат. Провівши віднімання з квадрата гіпотенузи отримане число, дізнаємося, чому дорівнює квадрат іншого катета, який в трикутник є висотою. Знайшовши з різниці і дізнавшись висоту прямокутного трикутника, можна дати відповідь на поставлене перед нами завдання.

Потрібно просто перемножити висоту на підставу і отриманий результат розділити навпіл. Чому саме так слід чинити, ми пояснили в першому варіанті докази.

Буває, що потрібно зробити обчислення по бічній стороні і розі. Тоді знаходимо висоту і підстава, використовуючи формулу з синусами і косинусами, і, знову ж таки, перемножуємо їх і ділимо результат навпіл.

Буквені позначення сторін і кутів на наведеному малюнку відповідають позначенням, які вказані в формулах. Таким чином, це допоможе Вам зіставити їх з елементами рівнобедреного трикутника. З умови задачі визначте, які елементи відомі, знайдіть на кресленні їх позначення і підберіть відповідну формулу.

Формула площі рівнобедреного трикутника

далі наведені формули знаходження площі рівнобедреного трикутника: Через сторони, бічну сторону і кут між ними, через бічну сторону, підстава та кут при вершині, через сторону підстави і кут при підставі і т.д. Просто знайдіть найбільш підходящу на малюнку зліва. Для самих цікавих в тексті справа пояснюється, чому формула явяляется правильної і як саме з її допомогою знаходиться площа.

1. можна знайти, знаючи його сторону і підстава. Цей вираз було отримано шляхом спрощення більш загальної, універсальної формули. Якщо за основу взяти формулу Герона, а потім прийняти до уваги, що дві сторони трикутника рівні поміж собою, то вираз спрощується до формули, представленої на зображенні.
   Приклад використання такої формули наведено на прикладі рішення задачі нижче.
2. Друга формула дозволяє знайти його площа через бічні сторони і кут між ними- це половина квадрата збоку, помножена на синус кута між бічними сторонами
   Якщо подумки опустити висоту на бічну сторону рівнобедреного трикутника, зауважимо, що її довжина буде дорівнює a * sin β. Оскільки довжина бокової сторони нам відома, висота, опущена на неї тепер відома, половина їх твори і буде дорівнює площі даного рівнобедреного трикутника (Пояснення: повне твір дає площа прямокутника, що очевидно. Висота ділить цей прямокутник на два малих прямокутника, при цьому сторони трикутника є їх діагоналями, які ділять їх рівно навпіл. Таким чином, площа рівнобедреного трикутника і буде дорівнює половині твори збоку на висоту). Див. Також Формулу 5
3. Третя формула показує знаходження площі через бічну сторону, підстава та кут при вершині.
   Строго кажучи, знаючи один з кутів рівнобедреного трикутника, можна знайти і інші, тому застосування даної або попередньої формули - питання смаку (до речі, тому можна запам'ятати тільки одну з них).
   У третій формули також є ще одна цікава особливість - твір a sin αдасть нам довжину висоти, опущеної на підставу. В результаті ми отримаємо просту і очевидну формулу 5.
4. Площа рівнобедреного трикутникаможна також знайти через сторону підстави і кут при підставі(Кути при основі рівні) як квадрат підстави, поділений на чотири тангенса половини кута, утвореного його бічними сторонами. Якщо придивитися уважніше, то стане очевидно, що половина підстави (b / 2) помножена на tg (β / 2) дасть нам висоту трикутника. Оскільки висота в трикутник є, одночасно, биссектрисой і медіаною, то tg (β / 2) - це відношення половини підстави (b / 2) до висоти - tg (β / 2) = (b / 2) / h. Звідки h = b / (2 tg (β / 2)). В результаті формула знову буде зведена до більш простої Формулі 5, яка цілком очевидна.
5. зрозуміло, площа рівнобедреного трикутникаможна знайти, опустивши висоту з вершини на підставу, в результаті чого вийде два прямокутних трикутника. Далі - все очевидно. Половина твори висоти на підставуі є шукана площа. Приклад використання цієї формули см. В завданні нижче (2-й спосіб вирішення)
6. Ця формула виходить, якщо спробувати знайти площу рівнобедреного трикутника за допомогою теореми Піфагора. Для цього висловимо висоту з попередньої формули, яка одночасно, є катетом прямокутного трикутника, утвореного бічною стороною, половиною його заснування і висотою, через теорему Піфагора. Бічна сторона є гіпотенузою, тому з квадрата збоку (а) віднімемо квадрат другого катета. Оскільки він дорівнює половині підстави (b / 2) то його квадрат дорівнюватиме b 2/4. Витяг кореня з даного вираження і дасть нам висоту. Що і видно в Формулі 6. Якщо чисельник і знаменник помножити на два, а потім двійку чисельника внести під знак кореня, отримаємо другий варіант тієї ж самої формули, який написаний через знак "дорівнює".
   До речі, найкмітливіші можуть побачити, що якщо в Формулі 1 розкрити дужки, то вона перетворитися в Формулу 6. Чи навпаки, різниця квадратів двох чисел, розкладена на множники, дасть нам вихідну, першу.

позначення, Які були застосовані в формулах на малюнку:

a- довжина однієї з двох рівних сторін трикутника

b- довжина підстави

α - величина одного з двох рівних кутів при підставі

β - величина кута між рівними сторонами трикутника і протилежного його основи

h- довжина висоти, опущена з вершини рівнобедреного трикутника на підставу

важливо. Зверніть увагу на позначення змінних! Не переплутайте α і β, а також aі b!

Примітка. Це частина уроку з завданнями по геометрії (розділ площа рівнобедреного трикутника). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі при вирішенні. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. Для позначення дії добування квадратного кореня в рішеннях задач використовується символ √ або sqrt (), при чому в дужках вказано подкоренное вираз.

завдання

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 13 см, а основа дорівнює 10 см. Знайдіть площурівнобедреного трикутника.

Рішення.

1-й спосіб. Застосуємо формулу Герона. Оскільки трикутник рівнобедрений, то вона прийме більш простий вигляд (див. Формулу 1 в списку формул вище):

де а - довжина бічних сторін, а b - довжина підстави.
Підставивши значення довжин сторін трикутника з умови задачі, отримаємо:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5) (13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 см 2

2-й спосіб. Застосуємо теорему Піфагора
Припустимо, що ми не пам'ятаємо формулу, використану в першому способі рішення. Тому опустимо з вершини B на підставу AC висоту BK.
Оскільки висота рівнобедреного трикутника ділить його підставу навпіл, то довжина половини підстави буде дорівнює
AK = AC / 2 = 10/2 = 5 см.

Висота з половиною підстави і стороною рівнобедреного трикутника утворює прямокутний трикутник ABK. У цьому трикутнику нам відома гіпотенуза AB і катет AK. Висловимо довжину другого катета через теорему Піфагора.