Закон бернулли в авиации. Уравнение бернулли. К какому виду механических сил относится сила, ускоряющая движение жидкости в узких местах трубы

Как мы упоминали, в трубах не очень длинных и достаточно широких трение настолько невелико, что им можно пренебречь. При этих условиях падение давления так мало, что в трубе постоянного сечения жидкость в манометрических трубках находится практически на одной высоте. Однако, если труба имеет в разных местах неодинаковое сечение, то даже в тех случаях, когда трением можно пренебречь, опыт обнаруживает, что статическое давление в разных местах различно.

Возьмем трубу неодинакового сечения (рис. 311) и будем пропускать через нее постоянный поток воды. По уровням в манометрических трубках мы увидим, что в суженных местах трубы статическое давление меньше, чем в широких. Значит, при переходе из широкой части трубы в более узкую степень сжатия жидкости уменьшается (давление уменьшается), а при переходе из более узкой части в широкую - увеличивается (давление увеличивается).

Рис. 311. В узких частях трубы статическое давление текущей жидкости меньше, чем в широких

Это объясняется тем, что в широких частях трубы жидкость должна течь медленнее, чем в узких, так как количество жидкости, протекающей за одинаковые промежутки времени, одинаково для всех сечений трубы. Поэтому при переходе из узкой части трубы в широкую скорость жидкости уменьшается: жидкость тормозится, как бы натекая на препятствие, и степень сжатия ее (а также ее давление) растет. Наоборот, при переходе из широкой части трубы в узкую скорость жидкости увеличивается и сжатие ее уменьшается: жидкость, ускоряясь, ведет себя подобно распрямляющейся пружине.

Итак, мы видим, что давление жидкости, текущей по трубе, больше там, где скорость движения жидкости меньше, и обратно: давление меньше там, где скорость движения жидкости больше. Эту зависимость между скоростью жидкости и ее давлением называют законом Бернулли по имени швейцарского физика и математика Даниила Бернулли (1700-1782).

Закон Бернулли имеет место и для жидкостей и для газов. Он остается в силе и для движения жидкости, не ограниченного стенками трубы, - в свободном потоке жидкости. В этом случае закон Бернулли нужно применять следующим образом.

Допустим, что движение жидкости или газа не изменяется с течением времени (установившееся течение). Тогда мы можем представить себе внутри потока линии, вдоль которых происходит движение жидкости. Эти линии называются линиями тока; они разбивают жидкость на отдельные струи, которые текут рядом, не смешиваясь. Линии тока можно сделать видимыми, вводя в поток воды жидкую краску через тонкие трубочки. Струйки краски располагаются вдоль линий тока. В воздухе для получения видимых линий тока можно воспользоваться струйками дыма. Можно показать, что закон Бернулли применим для каждой струи в отдельности: давление больше в тех местах струи, где скорость в ней меньше и, следовательно, где сечение струи больше, и обратно. Из рис. 311 видно, что сечение струи велико в тех местах, где линии тока расходятся; там же, где сечение струи меньше, линии тока сближаются. Поэтому закон Бернулли можно сформулировать еще так: в тех местах потока, где линии тока гуще, давление меньше, а в тех местах, где линии тока реже, давление больше.

Возьмем трубу, имеющую сужение, и будем пропускать по ней с большой скоростью воду. Согласно закону Бернулли, в суженной части давление будет понижено. Можно так подобрать форму трубы и скорость потока, что в суженной части давление воды будет меньше атмосферного. Если теперь присоединить к узкой части трубы отводную трубку (рис. 312), то наружный воздух будет засасываться в место с меньшим давлением: попадая в струю, воздух будет уноситься водой. Используя это явление, можно построить разрежающий насос - так называемый водоструйный насос. В изображенной на рис. 313 модели водоструйного насоса засасывание воздуха производится через кольцевую щель 1, вблизи которой вода движется с большой скоростью. Отросток 2 присоединяется к откачиваемому сосуду. Водоструйные насосы не имеют движущихся твердых частей (как, например, поршень в обычных насосах), что составляет одно из их преимуществ.

Рис. 312. Воздух засасывается в узкую часть трубы, где давление меньше атмосферного

Рис. 313. Схема водоструйного насоса

Будем продувать воздух по трубке с сужением (рис. 314). При достаточной скорости воздуха давление в суженной части трубки будет ниже атмосферного. Жидкость из сосуда будет засасываться в боковую трубку. Выходя из трубки, жидкость будет распыляться струей воздуха. Этот прибор называется пульверизатором - распылителем.

Рис. 314. Пульверизатор

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 - 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.

Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

- плотность жидкости, - скорость потока, - высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, - давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, - ускорение свободного падения.

Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли (не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли .

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли . В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины - гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.

Как мы упоминали, в трубах не очень длинных и достаточно широких трение настолько невелико, что им можно пренебречь. При этих условиях падение давления так мало, что в трубе постоянного сечения жидкость в манометрических трубках находится практически на одной высоте. Однако, если труба имеет в разных местах неодинаковое сечение, то даже в тех случаях, когда трением можно пренебречь, опыт обнаруживает, что статическое давление в разных местах различно.

Возьмем трубу неодинакового сечения (рис. 311) и будем пропускать через нее постоянный поток воды. По уровням в манометрических трубках мы увидим, что в суженных местах трубы статическое давление меньше, чем в широких. Значит, при переходе из широкой части трубы в более узкую степень сжатия жидкости уменьшается (давление уменьшается), а при переходе из более узкой части в широкую - увеличивается (давление увеличивается).

Рис. 311. В узких частях трубы статическое давление текущей жидкости меньше, чем в широких

Это объясняется тем, что в широких частях трубы жидкость должна течь медленнее, чем в узких, так как количество жидкости, протекающей за одинаковые промежутки времени, одинаково для всех сечений трубы. Поэтому при переходе из узкой части трубы в широкую скорость жидкости уменьшается: жидкость тормозится, как бы натекая на препятствие, и степень сжатия ее (а также ее давление) растет. Наоборот, при переходе из широкой части трубы в узкую скорость жидкости увеличивается и сжатие ее уменьшается: жидкость, ускоряясь, ведет себя подобно распрямляющейся пружине.

Итак, мы видим, что давление жидкости, текущей по трубе, больше там, где скорость движения жидкости меньше, и обратно: давление меньше там, где скорость движения жидкости больше. Эту зависимость между скоростью жидкости и ее давлением называют законом Бернулли по имени швейцарского физика и математика Даниила Бернулли (1700-1782).

Закон Бернулли имеет место и для жидкостей и для газов. Он остается в силе и для движения жидкости, не ограниченного стенками трубы, - в свободном потоке жидкости. В этом случае закон Бернулли нужно применять следующим образом.

Допустим, что движение жидкости или газа не изменяется с течением времени (установившееся течение). Тогда мы можем представить себе внутри потока линии, вдоль которых происходит движение жидкости. Эти линии называются линиями тока; они разбивают жидкость на отдельные струи, которые текут рядом, не смешиваясь. Линии тока можно сделать видимыми, вводя в поток воды жидкую краску через тонкие трубочки. Струйки краски располагаются вдоль линий тока. В воздухе для получения видимых линий тока можно воспользоваться струйками дыма. Можно показать, что закон Бернулли применим для каждой струи в отдельности : давление больше в тех местах струи, где скорость в ней меньше и, следовательно, где сечение струи больше, и обратно. Из рис. 311 видно, что сечение струи велико в тех местах, где линии тока расходятся; там же, где сечение струи меньше, линии тока сближаются. Поэтому закон Бернулли можно сформулировать еще так: в тех местах потока, где линии тока гуще, давление меньше, а в тех местах, где линии тока реже, давление больше.

Возьмем трубу, имеющую сужение, и будем пропускать по ней с большой скоростью воду. Согласно закону Бернулли, в суженной части давление будет понижено. Можно так подобрать форму трубы и скорость потока, что в суженной части давление воды будет меньше атмосферного. Если теперь присоединить к узкой части трубы отводную трубку (рис. 312), то наружный воздух будет засасываться в место с меньшим давлением: попадая в струю, воздух будет уноситься водой. Используя это явление, можно построить разрежающий насос - так называемый водоструйный насос. В изображенной на рис. 313 модели водоструйного насоса засасывание воздуха производится через кольцевую щель 1, вблизи которой вода движется с большой скоростью. Отросток 2 присоединяется к откачиваемому сосуду. Водоструйные насосы не имеют движущихся твердых частей (как, например, поршень в обычных насосах), что составляет одно из их преимуществ.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, его физический смысл.

Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь — плотность жидкости, — скорость потока, — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, — ускорение свободного падения.

В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Распределение скоростей:

Что такое трубка Пито и для чего она служит?

Трубка Пито - прибор для измерения скорости в точках потока. для измерения динамического напора текущей жидкости или газа. Представляет собой Г-образную трубку. Установившееся в трубке избыточное давление приближённо равно: , где p — плотность движущейся (набегающей) среды; V?- скорость набегающего потока; ξ — коэффициент.

Напорная трубка Пито подключается к специальным приборам и устройствам. Применяется при определении относительной скорости и объёмного расхода в газоходах и вентиляционных системах в комплекте с дифференциальными манометрами.

Применяется как составная часть трубки Прандтля в авиационных приёмниках воздушного давления для возможности одновременного определения скорости и высоты полёта.

Как перевести уравнение Бернулли из размерности длин в размерность давлений?

Уравнение Бернулли в форме напоров, м

Уравнение Бернулли в форме давлений, Па

Потери давления от первого сечения до второго.

Какие существуют режимы течения и как определяются границы существования этих режимов?

1. Ламинарный режим движения. Особенности - слоистый характер течения жидкости, отсутствие перемешивания, неизменность давления и скорости по времени.

2. Переходный режим.

3. Турбулентный режим течения. Заметны: вихреобразование, вращательное движение жидкости, непрерывные пульсации давления и скорости в потоке воды.

1. Ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости и давления. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения частиц жидкости.

2. Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости. 3. Переход от ламинарного режима к турбулентному наблюдается при определенной скорости движения жидкости. Эта скорость называется критической (Vкр=kv/d) .

Значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости жидкости v и обратно пропорционально диаметру трубы d .

4. Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент k одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Этот коэффициент называется критическим числом Рейнольдса Reкр и определяется следующим образом:

Reкр = Vкрd/v = pVкрd/μ ≈ 2300-2320

Как вычисляется число Рейнольдса?

Критерий подобия Рейнольдса (число Рейнольдса) позволяет судить о режиме течения жидкости в трубе. Число (критерий) Рейнольдса Re - мера отношения силы инерции к силе трения

Re = Vd/v = pVd/μ, где μ-динамич.коэф.вязкости, v = μ/p,

При Re < Reкр = 2320 течение является ламинарным;

Re > 3800-4200 течение турбулентное.

Зависимости справедливы только для круглых труб.

При увеличении скорости растут силы инерции . Силы трения при этом больше сил инерции и до некоторых пор выпрямляют траектории струек

При некоторой скорости vкр:

Сила инерции Fи > силы трения Fтр, поток становится турбулентным

Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости, его физический смысл.

Приведем уравнения Эйлера к виду, удобному для интегрирования, умножив соответственно на dx, dy,

dz и сложив:

Получаем

С учетом, что

Полный дифференциал давления

Окончательное выражение:

Если жидкость находится только под действием силы тяжести и ее плотность неизменна, то

Окончательно

уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой жидкости.

Распределение скоростей:

1 - элементарная струйка; идеальная жидкость;

2 - реальная (вязкая) жидкость

При движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения и вихри, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию.

В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии

V 1,2 - средняя скорость потока в сечениях 1,2;

hW1,2 = hпот 1-2 - потерянный напор потери напора между сечениями 1-2;

α1,2 - безразмерный коэффициент Кориолиса - отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии потока в том же сечении при равномерном распределении скоростей.

Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2
Скорость течения вязкой жидкости в длинной трубке : v = (ΔP / η) · R 2 / (8 · l) , где ΔP — разность давлений на концах трубки, η — вязкость жидкости или газа (сильно зависит от температуры), R — внутренний радиус трубки, l — её длина, l >> R .

Коэффициенты Кориолиса . Величина коэффициентов для ламинарного и турбулентного режимов течения.

Коэффициент Кориолиса - отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии потока в том же сечении при равномерном распределении скоростей.

Мощность элементарной струйки:

Для потока

Разделив полученное выражение на и учитывая, что (удельная мощность на 1 Н

веса жидкости = средний напор в сечении Нср ) получаем:

Здесь ? - коэффициент Кориолиса.

При равномерном распределении скоростей α =1 (элементарная струйка/идеальная жидкость),

при неравномерном α>1. V - средняя скорость в живом сечении .

Коэффициент Кориолиса для ламинарного режима.

Коэффициент Кориолиса для турбулентного режима (стремится к 1,0 при увеличении Re)

Рациональный выбор сечений для решения уравнения Бернулли.

Сечения выбираются всегда перпендикулярно направлению движения жидкости и должны располагаться на прямолинейных участках потока

Одно из расчетных сечений необходимо брать там, где нужно определить давление р , высоту z или скорость V , второе, где величины р , z , и V известны

Нумеровать расчетные сечения следует так, чтобы жидкость двигалась от сечения 1-1 к сечению 2-2

Плоскость сравнения 0-0 - любая горизонтальная плоскость. Для удобства её проводят через центр тяжести одного из сечений

Практическое применение уравнения Бернулли: трубка Пито.

Трубка Пито - прибор для измерения скорости в точках потока.

Составив уравнение Бернулли для сечений a-a и b-b , получим

Практическое применение уравнения Бернулли: расходомер Вентури.

а) Пренебрегая потерями напора и считая z1 = z2 , напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:

б) Из уравнения неразрывности

в) Из уравнения пьезометра

Решая совместно, получаем:

Энергетическое толкование уравнения Бернулли.

Энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор.

С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости .

Здесь с энергетической точки зрения (в единицах энергии, Дж/кг) gz — удель-ная потенциальная энергия положения; rР/ — удельная потенциальная энергия давления; gz + rР/ — удельная потенциальная энергия; u 2 /2 — удельная кинети-ческая энергия; и — скорость элементарной струйки идеальной жидкости.

Умножив все члены уравнения на удельный вес жидкости g , получим:

gz - весовое давление, Па; P — гидродинамическое давление, Па; иr 2 /2 — динамическое давление Па; Hg — полное давление, Па

Геометрическое толкование уравнения Бернулли.

Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z . Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.

Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.

Значения - нивелирную, пьезометрическую и скоростную высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых равны , называется пьезометрической линией . Если к этим высотам добавить скоростные высоты, равные , то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией .

Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.

Линия полного напора и ее построение.

Физический смысл уравнения Бернулли.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях).

закон Бернулли объясняет эффект притяжения между телами, находящимися на границе потока движущейся жидкости (газа). Иногда это притяжение может создавать угрозу безопасности. Например, при движении скоростного поезда «Сапсан» (скорость движения более 200 км/час) для людей на платформах возникает опасность сброса под поезд.Аналогично «затягивающая сила» возникает при движении судов параллельным курсом: например, подобные инциденты происходили с лайнером «Олимпик».

Влияние эпюры скоростей в канале на удельную кинетическую энергию потока. Ее учет в уравнении Бернулли.

Кавитация, причины, условия возникновения, меры борьбы с кавитацией. Определение возможности кавитации с помощью уравнения Бернулли.

Кавитация - явление, возникающее в жидкости при высоких скоростях движения жидкости, т.е. при малых давлениях. Кавитация - нарушение сплошности жидкости с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), вызванное падением статического давления жидкости ниже давления насыщенных паров этой жидкости при данной температуре.

p2 = pнп = f(t) - условие возникновения кавитации

Меры борьбы с кавитацией:

Снижение скорости жидкости в трубопроводе;

Уменьшение перепадов диаметров трубопровода;

Повышение рабочего давления в гидросистемах (наддув баков сжатым газом);

Установка всасывающего отверстия насоса не выше допускаемой высоты всасывания (из паспорта насоса);

Применение кавитационно-стойких материалов.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 потока реальной жидкости:

Отсюда

Правила применения уравнения Бернулли.

Выбираем два сечения потока: 1-1 и 2-2, а также горизонтальную плоскость отсчета 0-0 и записываем в общем виде уравнение Бернулли.

Плоскость сравнения 0-0 - любая горизонтальная плоскость. Для удобства её проводят через центр тяжести одного из сечений

Принцип Бернулли описывает поток жидкости. Он стал одним из самых ранних примеров сохранения энергии, известных людям. В нем говорится, что в установившемся потоке энергия в любой точке трубы представляет собой сумму величины динамического давления (V), весового (высотного; гидростатического) давления (Z) и статического давления (P). Она принимает форму уравнения сохранения, в которой сумма трех переменных всегда будет оставаться постоянной при отсутствии потерь или добавления энергии.

Энергия = V + Z + P = константа

Сумма трех слагаемых равна полному давлению. Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию, второе слагаемое потенциальную энергию сил тяжести, а третье потенциальную энергию сил давления. Полное давление будет оставаться постоянным, пока в систему не добавляется или из системы не отнимается дополнительная энергия.

1/2ρv 2 (динамическое давление) + ρgz (весовое давление) + P (статическое давление) = P общ = константа

где:
ρ = плотность
v = скорость потока
g = ускорение свободного падения
z = высота

P = давление

С помощью уравнения Бернулли также могут сравниваться давления в любых двух точках трубы с потоком жидкости. Еще раз, если не добавляется (не отнимается) энергия, сумма трех слагаемых в левой части будет равна сумме слагаемых в правой части.

(1/2ρv a 2 + ρgz a + P a) = (1/2ρv b 2 + ρgz b + P b)

где:
a и b – точки в разных местах трубы

Теория Бернулли в действии

На рисунке 1 показан принцип Бернулли в действии. Поток течет в горизонтальной трубе слева направо без потерь энергии на трение. Диаметр левой и правой части равен, а часть в центре составляет две трети от этого диаметра. Вертикальные трубки (пьезометрические трубки) слева и в центре выводятся в атмосферу, и уровень воды в них пропорционален статическому давлению (P) в этих зонах. Они измеряют статическое давление так же как и манометр. Обратите внимание, что измеренное давление в части с большим диаметром больше измеренного давления в суженной части. Этого можно ожидать, так как скорость в центральной части, очевидно, выше. В соответствии с уравнением Бернулли, давление уменьшается с увеличением скорости.

Рисунок 1. Горизонтальная труба с постоянным потоком слева направо без потерь энергии на трение

Тем не менее, нечто необычное происходит со статическим давлением (P), которое показано уровнем воды в вертикальной трубке справа. Можно было бы ожидать, что давление вернется к уровню как в левой пьезометрической трубке при отсутствии потерь на трение на суженном участке. Но уровень справа указывает на большее давление, и никакой дополнительной энергии в систему не добавляется. Оказывается, столбик справа – это трубка Пито. Это устройство измеряет давление иным способом – кроме статического давления, она также измеряет дополнительное давление, создаваемое скоростью потока.

Если бы клапан со стороны выхода потока был закрыт, и поток прекратился, все три вертикальные трубки показывали бы одинаковое статическое давление, независимо от формы и положения. После возобновления потока, статическое давление, измеряемое пьезометрическими трубками, будет соответствовать статическому давлению на определенном участке. Однако, в отличие от пьезометрической трубки, впускное отверстие трубки Пито направлено в сторону потока, при этом поток вталкивает в трубку большее количество воды. Когда вода перестает течь в трубку (застой), вертикальный уровень в ней максимальный и равен сумме статического и динамического давления. Давление, измеряемое трубкой Пито – это полное давление в трубе с потоком.

На рисунке 2 графически представлено Уравнение Бернулли. Оно часто используется при проектировании трубопроводов и систем с открытым каналом. Уравнение показывает влияние на гидравлическую систему при изменениях размера трубы, высоты, давления и при потерях на соединительных элементах и клапанах. Этот пример иллюстрирует давление в трех точках трубы с равномерным непрерывным потоком без изменения высоты.

Рисунок 2. Графическое представление уравнения Бернулли. Гидравлический градиент отражает изменение статического давления P из-за потерь на трения. Градиент энергии отражает изменение полного давления (V+P). Весовое давление (Z) в данном примере не влияет на полное давление, поскольку нет перепада высот.

Уровень воды в вертикальных трубках соответствует статическому давлению (P) в этих точках. Наклонная линия, соединяющая трубки, называется гидравлическим градиентом или пьезометрической линией. Наклонная линия выше гидравлического градиента, параллельная ему – это градиент энергии, который соответствует полному давлению в трубопроводе. Его можно измерить с помощью трубки Пито, либо рассчитать, используя скорость потока и уравнение для скоростного давления (1/2ρv 2).

Градиент энергии или напорная линия – это сумма скоростного напора и статического давления в любой точке. В этом примере скоростной напор остается постоянным в каждой точке, а гидростатический набор уменьшается в зависимости от полного трения в каждой точке. В более сложных примерах эти два градиента не параллельны друг другу, а будут перемещаться в обоих направлениях в зависимости от размера трубы, высоты и других факторов.

Принцип Бернулли работает, когда летит самолет или искривляется траектория полета вращающегося мяча. Этот принцип также справедлив для кораблей в море – корабли не должны проходить слишком близко друг от друга, так как повышенная скорость потока воды между ними создает зону с низким давлением, которая может привести к бортовому столкновению. По этой причине в больших доках стремятся устанавливать сваи, а не сплошные стенки. Наконец, существует эффект «занавески для ванной» (когда занавеска для ванной притягивается водой, текущей из душа).

В следующей статье мы изучим некую аналогичную работу, выполненную Джованни Вентури и Эванджелиста Торричелли, и увидим, как она расширила наше понимание гидравлики. Мы проиллюстрируем важность учета скоростного напора при испытаниях насосов в месте установки.

Материал подготовил Алексей Циммер