Скопируйте отрезок ав рис 1.18 от точки. Построение отрезка заданной длины

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

16. Заполните пропуски.

1) Точка и отрезок являются примерами геометрических фигур.
2) Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единых отрезков в нем помещается.
3) Если на отрезке АВ ометить точку С, то длинна отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС +СВ
4) Два отрезка называют равными, если они совпадают при наложении .
5) Равные отрезки имеют равные длины.
6) Расстоянием между точками А и В называют длину отрезка АВ.

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

17. Обозначьте отрезки, изображенные на рисунке, и измерьте их длины.

18. Проведите все возможные отрезки с концами в точках A, B, C и D. Запишите обозначения всех проведенных отрезков.

AB, ВC, СD, АD, АС, ВD

19. Запишите все отрезки, изображенные на рисунке.

20. Начертите отрезки СК и АD так, чтобы СК=4 см 6 мм, АD=2 см 5 мм.

21. Начертите отрезок ВЕ, длина которого равна 5 см 3 мм. Отметьте на нем точку А так, чтобы ВА = 3 см 8 мм. Какова длина отрезка АЕ?

АЕ=ВЕ-ВА= 5 см 3 мм - 3см 8мм = 1 см 5мм

22. Выразите данную величину в указанных единицах измерения.

23. Запишите звенья ломаной и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

24. Отметьте точку В, расположенную на 6 клеток левее и на 1 клетку ниже точки А; точку С, расположенную на 3 клетки правее и на 3 клетки ниже точки В; точку D, расположенную на 7 клеток правее и на 2 клетки выше точки С. Соедините последовательно отрезками точки А, В, С и D.

Образовалась ломаная АВСD, состоящая из 3 звеньев.

25. Вычислите длину ломаной, изображенной на рисунке.

а) 5*36 = 180 мм
б) 3*28 = 84 мм
в) 10*10+15*4 = 160 мм

26. Постройте ломаную DСЕК так, чтобы DС=18 мм, СЕ=37 мм, ЕК=26 мм. Вычислите длину ломаной.

27. Известно, что АС=17 см, ВD=9см, ВС=3 см. Вычислите длину отрезка АD.

28. Известно, что МК=KN=NP=PR=RT=3 см. Какие еще равные отрезки есть на этом рисунке? Найдите их длины.

29. На прямой отметили точки так, что расстояние между двумя любыми соседними точками равно 4 см, а между крайними точками - 36 см. Сколько точек отмечено?

30. Начертите, не отрывая карандаша от бумаги, фигуры, изображенные на рисунке. По каждой линии можно проводить карандашом только один раз.

Вариант 1
6. Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках 1, 2, 3, 4 и 5, расположенных на стержнях SA, SB и SC, которые не принадлежат одной плоскости (рис. 50). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых отрезки нити соприкасаются.
7. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата ABCD, ZABM = 30°. Найдите тангенс угла АСМ.

Вариант 2
6. Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках 1, 2, 3, 4, 5 и 6, расположенных на стержнях SA, SB и SC, котоые не принадлежат одной плоскости (рис. 51). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых отрезки нити соприкасаются.
7. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояния от этой точки до вершин квадрата.

Вариант 3
6. В кубе ABCDA"B"C"D" из вершины D" проведены диагонали граней D"A, D"B" и D"C. Сделайте рисунок. Как называется многогранник с вершинами D", А, В", С? Имеет ли этот многогранник равные ребра? равные грани?
7. Треугольник ABC - - прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.
Вариант 4
6. В кубе ABCDA"B"C"D" отмечены следующие точки: К-центр грани ВСС"В", L - центр грани DCC"D" и М - центр грани ABCD. Сделайте рисунок. Как называется многогранник CKLM? Имеет ли этот многогранник равные ребра? равные грани?
7. Радиус основания цилиндра равен 4 см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найдите объем цилиндра.
Вариант 5
6. Точки пересечения высот всех граней правильной треугольной пирамиды являются вершинами некоторого многогранника. Как называется этот многогранник? Имеет ли он равные ребра? равные грани?
7. Отрезок АВ имеет с плоскостью а единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 2: 1, считая от точки Л. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а соответственно в точках Cj и В1. Длина отрезка АС1 равна 12 см. Найдите длину
отрезка АВ.

Вариант 6
6. Вершинами некоторого многогранника являются центр верхней грани куба и середины всех сторон нижней его грани. Как называется этот многогранник? Сделайте рисунок и обозначьте равные ребра многогранника; укажите, какие грани этого многогранника равны между собой.
7. Треугольник ABC - прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника; расстояние от точки М до прямой АВ равно 5 см. Найдите длину отрезка СМ.
Вариант 7
6. Плоскости а и Р, изображенные на.рисунке 52, пересекаются по прямой MN. Точка А лежит в плоскости а, а точка В - в плоскости р. Определите, каково взаимное расположение прямых AM и BN.
7. Основание прямой призмы - равнобочная трапеция, одно из оснований которой в два раза больше другого. Непараллельные боковые грани призмы - квадраты. Высота призмы равна б см. Площадь боковой поверхности призмы равна 144 см. Вычислите объем призмы.
Вариант 8
6. На какие многогранники разбивает призму АВСА"В"С" плоскость, проходящая через вершины А, В и С"? Сделайте рисунок.
7. Отрезок АВ имеет с плоскостью а единственную общую точку А. Через его середину С и точку В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а соответственно в точках С1 и Вг Длина отрезка АС^ равна 8 см. Найдите дли- .
ну отрезка ABj.
Вариант 9
6. Изображенные на рисунке 53 прямые а и Ъ пересекают параллельные плоскости аир соответственно в точках А, В н А", В". Определите, каково взаимное расположение прямых а и Ь.
7. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см и прилежащим углом 30° вокруг меньшего катета.
Вариант 10
6. Сечение параллелепипеда ABCDA"B"C"D" проведено через точки А, В и середину ребра СС". Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.
7. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12см, а высота боковой грани - 15см. Найдите боковое ребро.
Вариант 11
6. Сечение параллелепипеда ABCDA"В"С"D" проведено через середины ребер АВ, AD и А"В". Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

Вариант 12
6. Куб ABCDA"B"C"D" рассечен на два многогранника плоскостью, проходящей через середину ребра ЕЕ" перпендикулярно диагонали А"С. Каким многоугольником является сечение? Какие особенности имеет этот многоугольник?
7. Середина С отрезка АВ принадлежит плоскости а. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А1 и ЕГ Длина отрезка А^С
равна 8 см. Найдите длину отрезка А^В^.
Вариант 13
6. Изображенные на рисунке 54 пр"ямые а и & пересекают параллельные плоскости аир соответственно в точках А, В и А", В". Скопируйте рисунок и определите, каково взаимное расположение прямых а и 6.
7. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета.
Вариант 14
6. Куб рассечен плоскостью, проходящей через середины двух смежных сторон нижнего основания и центр верхнего основания. Как называется многоугольник, полученный в сечении? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Треугольник ABC - прямоугольный и равнобедренный с прямым утлом С и гипотенузой 8 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.
Вариант 15
6. В кубе ABCDA"B"C"D" проведено сечение через середины ребер АА" и СС" и вершину 5. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.
7. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите боковые ребра пирамиды.
Вариант 16
6. Изображенные на рисунке 55 плоскости а и Р параллельны. Отрезок АВ лежит в плоскости а, а отрезок CD - в плоскости р. Определите, каково взаимное расположение прямых АС и BD.
7. Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей и развернуть на плоскости, то получится круговой сектор с радиусом 4 см и центральным углом 120°. Найдите объем этого конуса.

Вариант 17
6. Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках 1,2, 3, 4, 5 и 6, расположенных на четырех попарно параллельных стержнях а, Ъ, с и d, никакие три из которых не принадлежат одной и той же плоскости (рис. 56). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых отрезки нити соприкасаются.
7. Плоскость проходит на расстоянии 8 см от центра шара. Радиус сечения равен 15 см. Найдите площадь поверхности шара.
Вариант 18
6. Точки М и N расположены на ребрах треугольной пирамиды (рис. 57). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра пирамиды.
7. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8 */2 см. Найдите объем цилиндра.
Вариант 19
6. Точки М к N расположены на ребрах треугольной пирамиды (рис. 58). Скопируйте рисунок, отметьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра пирамиды.
7. Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см и противолежащим углом 30° вокруг большего катета.

Вариант 20
6. Продолжение отрезка ВС, изображенного на рисунке 59, пересекает плоскость а в точке Е. Отрезок AD лежит в плоскости а. Скопируйте рисунок и изобразите отрезки АС и BD. Определите, пересекаются ли эти отрезки.
7. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы
з равен 108 см. Найдите площадь полной поверхности
призмы.
Вариант 21
6. Отрезки АВ и CD, изображенные на рисунке 60, лежат в двух пересекающихся плоскостях аир. Скопируйте рисунок и определите, каково взаимное расположение прямых AD и ВС.
7. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов - 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.
Вариант 22
6. На какие многогранники разбивается параллелепипед ABCDA"B"C"D" плоскостью, проходящей через вершины А, В" и D? Какие особенности имеют эти многогранники? Сделайте рисунок.
7. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, не принадлежащая плоскости квадрата, удалена от каждой из его вершин на расстояние 6 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости квадрата.

Вариант 23
6. Изображенные на рисунке 61 плоскости а и (3 параллельны. Отрезок АВ лежит в плоскости а, а отрезок CD в плоскости р. Определите, каково взаимное расположение прямых AD иВС.
7. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8см. Все боковые ребра равны 13см. Найдите объем пирамиды.
Вариант 24
6. Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках 1, 2, 3, 4, 5 и 6, расположенных на параллельных стержнях a, b и с, не принадлежащих одной и той же плоскости (рис. 62). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых отрезки нити соприкасаются.
*
7. Основание пирамиды - ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Высота пирамиды опущена в точку пересечения его диагоналей. Меньшие боковые ребра пирамиды равны 5 см. Найдите объем пирамиды.
Вариант 25
6. В кубе проведено сечение через середины двух смежных сторон верхнего основания и центр нижнего. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Объем шара равен Збя см. Найдите площадь поверхности
шара.

Вариант 26
6. Сечение правильной треугольной призмы проходит через центры оснований и одну из вершин. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Три смежных ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны 6 см, 6 см и 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Вариант 27
6. Точки К, L, М и N лежат на ребрах изображенной на рисунке 63 пирамиды. Скопируйте рисунок и определите, имеют ли отрезки KN и LM общую точку.
7. Сумма площадей поверхностей двух шаров радиуса 4 см равна площади поверхности некоторого большего шара. Каков объем этого большего шара?
Вариант 28
6. Точки К, L, М к N лежат на ребрах изображенной на рисунке 64 прямой призмы. Скопируйте рисунок и определите, каково взаимное расположение прямых КМ и LN.
7. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг его оси симметрии, параллельной большей стороне.

Вариант 29
6. Точки М и N расположены на ребрах четырехугольной пирамиды (рис. 65). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра пирамиды.
7. Образующая конуса равна 12 см и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем конуса.
Вариант 30
6. Точки М п N расположены на ребрах четырехугольной пирамиды (рис. 66). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра пирамиды.
7. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 8 см вокруг его оси симметрии.
Вариант 31
6. Вершинами многогранника являются середины сторон основания и середина высоты правильной четырехугольной пирамиды. Как называется этот многогранник? Сделайте рисунок и отметьте равные ребра этого многогранника.
7. Площадь боковой поверхности конуса равна 20тг см, а площадь его основания на 4л см меньше. Найдите объем конуса.

Вариант 32
6. Точки М и N расположены на ребрах четырехугольной пирамиды (рис. 67). Скопируйте рисунок, отметьте и постройте точку, в которой прямая MN пересекает плоскость основания пирамиды.
g
7. Объем конуса с радиусом основания 6см равен 96л см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Вариант 33
6. Точки М и N расположены на ребрах четырехугольной пирамиды (рис. 68). Скопируйте рисунок, отметьте и постройте точки, в которой прямая MN пересекает прямые, содержащие ребра пирамиды.
7. Отрезок АВ пересекает плоскость а в точке С, которая делит
его в отношении 3:1, считая от точки А. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А^ и В^. Длина отрезка А^С равна
15 см. Найдите длину отрезка А^В^.
Вариант 34
6. Точки К, L и М принадлежат ребрам изображенной на рисунке 69 пирамиды SABCD. Скопируйте рисунок и отметьте точку N на ребре CD так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку.
7. Высота конуса равна 12 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Вариант 35
6. Точки М и N расположены на ребрах куба (рис. 70). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая МЛ"" пересекает прямые, содержащие другие ребра куба.
7. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см в первый раз вращается вокруг большего катета, а во второй - вокруг меньшего. Сравните площади боковых поверхностей получающихся при этом конусов.
Вариант 36
6. Точки М к N расположены на ребрах куба (рис. 71). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра куба.
7. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро - 13 см. Найдите высоту пирамиды.
Вариант 37
6. Куб ABCDA"B"C"D" рассечен на два многогранника плоскостью, проходящей через середину ребра ВВ" перпендикулярно диагонали BD"". Каким многоугольником является сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Радиус основания цилиндра равен 8 см, площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания. Найдите объем цилиндра.

Вариант 38
6. Точки К, L, М и N принадлежат ребрам изображенной на рисунке 72 пирамиды, причем К и L - середины ребер. Скопируйте рисунок и определите, пересекаются ли прямые KL и MN, отрезки KN и LM.
7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см, а его образующая в три раза меньше диаметра основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Вариант 39
6. Точки М я N расположены на ребрах куба (рис. 73). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра куба.
7. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета.
Вариант 40
6. Точки М и N расположены на ребрах треугольной пирамиды (рис. 74). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра пирамиды.
7. Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота в два раза меньше длины окружности основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Вариант 41
6. Точки К и L - вершины куба, изображенного на рисунке 75, точки М и N .- середины его ребер. Определите, пересекаются ли отрезки KN и LM.
7. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг прямой; проходящей через середины его больших сторон.
Вариант 42
6. Точки К, L, М и N принадлежат ребрам изображенной на рисунке 76 пирамиды. Скопируйте рисунок и определите, пересекаются ли прямые KL и MN, отрезки KN и LM.
7. Сторона квадрата ABCD равна 2 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, ZABM = 60°. Найдите расстояние от точки М до прямой BD.
Вариант 43
6. Точки пересечения диагоналей всех граней правильной четырехугольной призмы являются вершинами некоторого многогранника. Сделайте рисунок и отметьте равные ребра этого многогранника.
7. Отрезок АВ имеет с плоскостью а единственную общую точку А. Точка С делит отрезок AS в отношении 3: 2, считая от точки А. Через точки С и Б проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а соответственно в точках С, и В.. Длина отрезка АВ1 равна 15 см. Найдите длину отрезка АСГ

Вариант 44
6. На рисунке 77 изображены пересекающиеся плоскости а и р. Точки А и Б принадлежат плоскости а, а точка С лежит в плоскости р. Скопируйте рисунок и изобразите на нем точку D, принадлежащую плоскости р, так, чтобы прямые АС и BD оказались параллельными.
7. Треугольник ABC - прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника, Z МСА = 60°. Найдите длину отрезка МБ.
Вариант 45
6. На рисунке 78 изображены пересекающиеся плоскости а и р. Точки А и В принадлежат плоскости а, а точка С лежит в плоскости р. Скопируйте рисунок и изобразите на нем точку D, принадлежащую плоскости р, так, чтобы прямые АС и BD оказались параллельными.
7. Через концы отрезка AJB, не пересекающего плоскость а, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А1 и Бр АА^ = 5 см, В^В = 8 см. Найдите длину
отрезка, соединяющего середины отрезков АВ иА1В1.

Вариант 46
6. На рисунке 79 изображены пересекающиеся плоскости а и р. Точки А и В принадлежат плоскости а, а точка С лежит в плоскости р. Скопируйте рисунок и изобразите на нем точку D, принадлежащую плоскости р, так, чтобы отрезки AD и ВС оказались пересекающимися.
7. Из точки О пересечения диагоналей квадрата ABCD к его плоскости восставлен перпендикуляр ОМ так, что Z ОВМ = 60°. Найдите косинус угла АВМ.
Вариант 47
6. На рисунке 80 изображены пересекающиеся плоскости а и Р. Точки А и В принадлежат плоскости а, а точка С лежит в плоскости р. Скопируйте рисунок и изобразите на нем точку D, принадлежащую плоскости р, так, чтобы отрезки АС и BD оказались пересекающимися.
7. Диагональ квадрата равна 6 см. Точка, равноудаленная от всех сторон квадрата, находится на расстоянии 5 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до стороны квадрата.

Вариант 48
6. Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках 1, 2, 3, 4 и 5, расположенных на параллельных стержнях а, Ъ и с, не принадлежащих одной и той же плоскости (рис. 81). Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых нити соприкасаются.
7. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг большей стороны.
Вариант 49
6. На рисунке 82 изображены параллельные плоскости аир. Точка А принадлежит плоскости а, точки С и D лежат в плоскости р, а точка М принадлежит прямой АС. Скопируйте рисунок и изобразите на нем точку В, принадлежащую плоскости а, так, чтобы прямые-АС и BD пересекались в точке М.
7. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды, равная 12 см, делит гипотенузу этого треугольника пополам. Найдите боковые ребра пирамиды.

Вариант 50
6. На рисунке 83 изображены параллельные плоскости а и Р. Точки А к В принадлежат плоскости а, а точка С лежит в плоскости р. Скопируйте рисунок и изобразите на нем точку.D, принадлежащую плоскости р, так, чтобы прямые АС и BD оказались параллельными.
7. Через концы отрезка AS, имеющего с плоскостью а общую точку, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках Ах и В^\ АА1 - 5 см. Длина отрезка,
соединяющего середины отрезков АВ и А1Б1, равна 8 см. Найдите длину отрезка В^.
Вариант 51
6. На рисунке 84 изображены параллельные плоскости аир. Точки А и Б принадлежат плоскости а, точка С лежит в плоскости р, а точка М принадлежит прямой ВС. Скопируйте рисунок и изобразите на нем точку D, принадлежащую плоскости р, так, чтобы прямые AD и ВС пересекались в точке М.
7. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см и острым утлом 30° вокруг меньшего катета.

Вариант 52
6. Точки Аи В лежат соответственно на нижнем и верхнем основаниях цилиндра, изображенного на рисунке (рис. 85). Скопируйте рисунок и проведите отрезок АВ. Определите, все ли точки отрезка АВ лежат на поверхности цилиндра.
7. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Вариант 53
6. Точки А и В расположены на видимой части боковой поверхности цилиндра (рис. 86). Скопируйте рисунок и проведите отрезок АВ. Все ли точки отрезка АВ принадлежат боковой поверхности цилиндра?
7. Основание пирамиды - ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Вершины пирамиды удалены от сторон основания на 13 см. Найдите высоту пирамиды.
Вариант 54
6. Точки А и В принадлежат боковой поверхности конуса (рис. 87). Скопируйте рисунок и проведите отрезок АВ. Определите, все ли точки отрезка АВ лежат на поверхности конуса.
7. В прямоугольнике ABCD АВ = 2 см, AD = 5 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости прямоугольника, Z АВМ = 30°. Найдите объем многогранника MAB.D.

Вариант 55
6. На рисунке 88 изображены отрезки АВ и CD, лежащие соответственно в плоскостях а и р. Прямые AD и ВС пересекаются. Определите, каково взаимное расположение плоскостей аир.
2
7. Площадь полной поверхности куба равна 24 см. Найдите его диагональ.
Вариант 56
6. На рисунке 89 изображены отрезки AS и CD, лежащие соответственно в плоскостях аир. Прямые AD и ВС пересекаются. Определите, каково взаимное расположение плоскостей а и р.
7. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136 см, стороны основания 4 см и 6см. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда.
Вариант 57
6. На рисунке 90 изображены отрезки AS и CD, лежащие соответственно в плоскостях аир. Прямые АС и BD параллельны. Скопируйте рисунок и определите, каково взаимное расположение плоскостей аи р.
7. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 5 см, большая из диагоналей его боковых граней образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Вариант 58
6. Точки К, L, М и N принадлежат соответствующим ребрам куба, изображенного на рисунке 91. Определите, пересекаются ли прямые KL и МN, отрезки KN и LM.
7. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ
которого равна 6 л/2 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
» Вариант 59
6. Сечение правильной треугольной призмы АВСА"В"С" проходит через ребро АБ и точку пересечения медиан основания А"В"С". Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Отрезок, соединяющий конец диаметра нижнего основания цилиндра с центром его верхнего основания, равен 2 см и наклонен к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Вариант 60
6. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через середины двух смежных сторон основания и середину несмежного с ними бокового ребра. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.
7. Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая конуса равна 13 см. Найдите объем конуса.

Вариант 61
6. Точки К и L - вершины куба, изображенного на рисунке 92, точки М и N - середины его ребер. Определите, пересекаются ли прямые KL и MN, отрезки KN и LM.
7. Отрезок АВ пересекает плоскость а в точке С, которая делит его в отношении 3:5, считая от точки А. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А1 и Вг Длина отрезка АХС равна
12 см. Найдите длину отрезка А1ВГ
Вариант 62
6. Точки К, L, М к N принадлежат ребрам изображенной на рисунке 93 пирамиды. Скопируйте рисунок и определите, пересекаются ли отрезки KN и LM*.
7. Образующая конуса равна 5 см, площадь его боковой поверхности равна 15я см. Найдите объем конуса.
Вариант 63
6. В KyQeABCDA"B"C"D" проведено сечение через середины ребер АВ, AD и ВВ". Каким многоугольником является сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Высота цилиндра равна 6 см, а площадь его боковой поверхности вдвое меньше площади его полной поверхности. Найдите объем цилиндра.

Вариант 64
6. Через середины двух сторон АВ и АС основания правильной треугольной пирамиды SABC и точку пересечения медиан грани SBC проведено сечение. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Сторона квадрата ABCD равна 1 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, ZABM = 30°. Найдите расстоя.-ние от точки М до прямой BD.
Вариант 65
6. Точки К, L, М и N принадлежат ребрам изображенной на рисунке 94 пирамиды. Определите, пересекаются ли прямые KL и MN, отрезки KN и LM.
7. Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см плоскостью, проведенной на расстоянии 29 см от центра шара.
Вариант 66
6. Точка М - середина ребра AD куба, изображенного на рисунке 95. Скопируйте рисунок и изобразите точку N, принадлежащую ребру CD, так, чтобы отрезки A"N и С"М имели общую точку.
7. Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей диагонали. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Вариант 67
6. Вершинами многогранника являются середины боковых ребер и центр основания правильной пирамиды. Как называется этот многогранник? Сделайте рисунок и отметьте равные ребра этого многогранника.
7. Круговой сектор с радиусом 10 см свернут в виде боковой поверхности конуса. Высота конуса равна 8 см. Найдите центральный угол кругового сектора.
Вариант 68
6. Точки К, L и М расположены на ребрах куба ABCDA"B"C"D", изображенного на рисунке 96. Скопируйте рисунок и изобразите точку N, принадлежащую ребру CD, так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку.
7. Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей диагонали. Найдите объем тела вращения.
Вариант 69
6. Точки К, L и М принадлежат ребрам изображенной на рисунке 97 пирамиды SABCD. Скопируйте рисунок и отметьте точку N на ребре CD так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку.
7. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см вокруг прямой, которая проходит через середины его меньших сторон.

Вариант 70
6. Точки К, L и N принадлежат ребрам изображенной на рисунке 98 пирамиды SASC. Скопируйте рисунок и отметьте точку М на ребре SC так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку.
7. Найдите объем тела, которое получено при вращении*квад-рата со стороной 7 см вокруг прямой, соединяющей середины противоположных сторон.
Вариант 71
6. Точки К, L и М лежат на ребрах куба ABCDA"B"C"D", изображенного на рисунке 99. Скопируйте рисунок и отметьте точку N на ребре C"D" так, чтобы отрезки KN и LM пересеклись.
7. Высота конуса равна 8 см, объем 24я см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Вариант 72
6. Вершины некоторого многогранника являются центрами пяти граней куба. Как называется этот многогранник? Сделайте рисунок и отметьте равные ребра этого многогранника.
7. Три одинаковых металлических куба с ребрами по 4 см сплавлены в один куб. Определите площадь поверхности этого куба.

Вариант 73
6. Точки К, L и М принадлежат ребрам изображенной на ри- I сунке 100 пирамиды SABCD. Скопируйте рисунок и отметь- I те точку N на ребре SC так, чтобы отрезки KN и LM пересеклись.
7. Образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол в 30°, а радиус основания конуса равен 6 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Вариант 74
6. Точки К, L, М и N лежат на ребрах куба (рис. 101). Скопируйте рисунок и определите, существует ли точка пересечения отрезков KN и ML.
7. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов равен 8 см, вращается вокруг своего большего катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Вариант 75
6. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через диагональ основания параллельно непересекающемуся с ней боковому ребру. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Высота конуса равна 12 см, а его образующая равна 13 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Вариант 76
6. Точки К и N лежат на ребрах изображенной на рисунке 102 пирамиды, а точки L и М принадлежат соответственно ее граням CSD и A5D. Скопируйте рисунок, изобразите отрезки KL и MN и определите, имеют ли они общую точку.
7. Два металлических куба с ребрами 1 см и 2 см соответственно сплавлены в один куб. Определите ребро этого куба.
Вариант 77
6. Точки К, L, М и N лежат на ребрах изображенной на рисунке 103 пирамиды. Скопируйте рисунок и определите, каково взаимное расположение прямых KL и MN.
7. Два металлических куба с ребрами 1 см и 2 см сплавлены в один куб. Определите полную поверхность этого куба.
Вариант 78
6. Правильная треугольная пирамида рассечена на два многогранника плоскостью, проходящей через сторону основания и середину высоты пирамиды. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Высота конуса равна Ь см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите объем конуса.

Вариант 79
6. Точки К, L, М и N лежат на ребрах изображенной на рисунке 104 призмы. Скопируйте рисунок и определите, имеют ли отрезки KN и ML общую точку.
7. К плоскости равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС = 6 см и углом 120° при вершине проведен перпендикуляр AM. Расстояние от точки М до ВС равно 12 см. Найдите косинус линейного угла двугранного угла, образованного плоскостями треугольников ABC и МВС. ,
Вариант 80
6. Точки К, L и М лежат на ребрах изображенной на рисунке 105 призмы. Скопируйте рисунок и отметьте на ребре АС точку N так, чтобы отрезки KN и LM имели общую точку.
7. Найдите объем тела, получение^ при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 6 см вокруг его оси симметрии.
Вариант 81
6. Точка А принадлежит основанию конуса, изображенного на рисунке 106, а точка В - оси SO этого конуса. Скопируйте рисунок и отметьте точку С, в которой прямая АВ пересекает боковую поверхность конуса.
7. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24 см, площадь основания 12 см. Одна сторона основания в три раза больше другой. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Вариант 82
6. Правильная четырехугольная пирамида рассечена на два многогранника плоскостью, проходящей через сторону основания и медиану боковой грани. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 64 см, а его образующая равна диаметру основания. Найдите объем цилиндра.
Вариант 83
6. Точка А принадлежит основанию конуса, изображенного на рисунке 107, а точка В - оси SO этого конуса. Скопируйте рисунок и определите, где, внутри или снаружи конуса, расположена точка С прямой АВ.
7. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136см, стороны основания 4см и 6см. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Вариант 84
6. На какие многогранники разбивает прямую призму АВСА"В"С" плоскость, проходящая через вершины А, В и С"? Сделайте рисунок.
7. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объем шара, если АВ = 21 см, ВО = 29 см.

Вариант 85
6. Точка А принадлежит основанию цилиндра, изображенного на рисунке 108, а точка В - оси ОО" этого цилиндра. Скопируйте рисунок и отметьте точку С, в которой прямая AS пересекает боковую поверхность цилиндра.
7. Полукруг свернут в виде боковой поверхности конуса. Радиус основания конуса равен 5 см. Найдите объем конуса.
Вариант 86
6. Точка А принадлежит основанию цилиндра, изображенного на рисунке 109, а точка В - оси ОО" этого цилиндра. Скопируйте рисунок и определите, где, внутри или снаружи цилиндра, расположена точка С прямой АВ.
7. Диагональ квадрата ABCD равна 10 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, Z ASM = 60°. Найдите расстояние от точки М до прямой BD.
Вариант 87
6. В кубе ABCDA"B"C"D" проведено сечение через середины ребер AS и AD и вершину С". Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 7 см, вокруг большего катета.

Вариант 88
6. Точки А, В, С и D лежат на ребрах изображенного на рисунке 110 куба. Скопируйте рисунок и определите, пересекаются ли отрезки АС и BD.
7. Ромб со стороной 5 см и углом 60° вращается вокруг своей меньшей диагонали. Определите объем тела вращения.
Вариант 89
6. В основании пирамиды SABCD, изображенной на рисунке 111, лежит прямоугольник. Точка М принадлежит ребру SB. Скопируйте рисунок и отметьте на ребре SC точку N так, чтобы отрезки AN и DM пересекались.
7. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 4я см. Найдите объем шара.
Вариант 90
6. Сечение правильной треугольной призмы АВСА"В"С" проходит через ребро АВ и точку пересечения диагоналей грани АСС"А". Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Вариант 91
6. В основании пирамиды SABCD, изображенной на рисунке 112, лежит прямоугольник. Точка L принадлежит ребру SB, а"точка К - ребру SC. Скопируйте рисунок и отметьте на ребре CD точку М так, чтобы отрезки АК и LM пересекались.
7. Образующая конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите объем конуса.
Вариант 92
6. Точка А принадлежит основанию цилиндра, изображенного на рисунке 113, а точка В - оси ОО" этого цилиндра. Скопируйте рисунок и определите, где, внутри или снаружи цилиндра, расположена точка С прямой AS.
7. Катеты СА и СВ прямоугольного треугольника ABC равны 6 см и 8 см. Через вершину прямого угла С проходит плоскость, параллельная AS. Меньший катет треугольника образует с этой плоскостью угол в 45°. Найдите синус угла, который образует с ней другой его катет.
Вариант 93
6. Точки К, L и М - центры трех видимых граней куба, изображенного на рисунке 114. Скопируйте рисунок и определите, пересекаются ли отрезки DL и КМ.
7. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 9 см и 6 см, равна 408 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

Вариант 94
6. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через середины двух смежных сторон основания и середину высоты пирамиды. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.
7. Радиус основания цилиндра равен 8 см, площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Вариант 95
6. Точки А, В и С лежат на видимой части боковой поверхности конуса, изображенного на рисунке 115. Один из отрезков с концами в этих точках полностью принадлежит поверхности конуса. Сделайте рисунок и проведите этот отрезок.
7. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
Вариант 96
6. В правильной треугольной пирамиде SABC проведено сечение через середины ребер АВ и ВС параллельно ребру SC. Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны многоугольника.
7. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота в два раза больше длины окружности основания. Найдите объем цилиндра.

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

1. В этом параграфе вы познакомитесь с некоторыми понятиями геометрии. Геометрия - наука об "измерении земли". Это слово происходит от латинских слов: geo - земля и metr - мера, мерить. В геометрии изучаются различные геометрические объекты , их свойства, их связи с окружающим миром. Простейшие геометрические объекты - это точка, линия, поверхность. Более сложные геометрические объекты, например, геометрические фигуры и тела, образованы из простейших.

Если приложить к двум точкам А и В линейку и вдоль нее провести линию, соединяющую эти точки, то мы получим отрезок, который называют АВ или ВА (читаем: «а - бэ», «бэ- а»). Точки А и В называются концами отрезка (рисунок 1). Расстояние между концами отрезка, измеренное в единицах длины, называется длиной отрез ка .

Единицы длины: м - метр, см - сантиметр, дм - дециметр, мм - миллиметр, км - километр и др. (1 км = 1000 м; 1м =10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм). Для измерения длины отрезков используют линейку, рулетку. Измерить длину отрезка, значит, выяснить, сколько раз в нем укладывается та или иная мера длины.

Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка. Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль.

Если мысленно продлить отрезок АВ в обе стороны до бесконечности, то мы получим представление о прямой АВ (рисунок 3). Любая точка, лежащая на прямой, разбивает ее на два луча (рисунок 4). Точка С разбивает прямую АВ на два луча СА и СВ. Тоска С называется началом луча .

2. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM - треугольник, отрезки FN, NM, FM - стороны треугольника, точки F, N, M - вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Если мысленно продлить во все стороны, например, поверхность крышки стола, то получим представление о плоскости . Точки, отрезки, прямые, лучи располагаются на плоскости (рисунок 6).

Блок 1. Дополнительный

Мир, в котором мы живем, все, что нас окружает, древние называли природой или космосом. Пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, т.е. имеет три измерения. Их часто называют: длина, ширина и высота (например, длина комнаты 4 м, ширина комнаты 2 м и высота 3 м).

Представление о геометрической (математической) точке дает нам звезда на ночном небе, точка в конце этого предложения, след от иглы и т.д. Однако все перечисленные объекты имеют размеры, в отличие от них размеры геометрической точки считаются равными нулю (её измерения равны нулю). Поэтому реальную математическую точку можно лишь мысленно представить. Можно также сказать, в каком месте она находится. Поставив авторучкой в тетради точку, мы не изобразим геометрическую точку, но будем считать, что построенный объект есть геометрическая точка (рисунок 6). Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A , B , C , D , (читают «точка а, точка бэ, точка цэ, точка дэ» ) (рисунок 7).

Провода, висящие на столбах, видимая линия горизонта (граница между небом и землей или водой), русло реки, изображенное на карте, гимнастический обруч, струя воды, бьющая из фонтана дают нам представление о линиях.

Различают замкнутые и незамкнутые линии, гладкие и негладкие линии, линии с самопересечением и без самопересечения (рисунки 8 и 9).

Лист бумаги, лазерный диск, оболочка футбольного мяча, картон упаковочной коробки, новогодняя пластиковая маска и т.д. дают нам представление о поверхностях (рисунок 10). Когда красят пол комнаты или автомобиль, то покрывают краской именно поверхность пола или автомобиля.

Тело человека, камень, кирпич, головка сыра, мяч, ледяная сосулька и т.д. дают нам представление о геометрических телах (рисунок 11).

Наиболее простая из всех линий - это прямая . Приложим к листу бумаги линейку и проведем карандашом вдоль неё прямую линию. Мысленно продолжив эту линию до бесконечности в обе стороны, мы получим представление о прямой. Считают, что прямая имеет одно измерение - длину, а два других ее измерения равны нулю (рисунок 12).

При решении задач прямую изображают в виде линии, которую проводят вдоль линейки карандашом или мелом. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, n, m (рисунок 13). Можно обозначать прямую также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую n на рисунке 13 можно обозначить: АВ или ВА, А D или D А, D В или В D .

Точки могут лежать на прямой (принадлежать прямой) и не лежать на прямой (не принадлежать прямой). На рисунке 13 изображены точки A, D, B, лежащие на прямой AB (принадлежащие прямой AB). При этом пишут. Читают: точка A принадлежит прямой AB, точка В принадлежит AB, точка D принадлежит АВ. Точка D принадлежит также и прямой m, ее называют общей точкой. В точке D прямые AB и m пересекаются. Точки P и R не принадлежат прямым AB и m:

Через любые две точки всегда можно провести прямую и причем только одну .

Из всех видов линий, соединяющих любые две точки, наименьшую длину имеет отрезок, концами которого служат данные точки (рисунок 14).

Фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков называется ломаной (рисунок 15). Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями ломаной, а их концы - вершинами ломаной. Называют (обозначают) ломаную, перечисляя по порядку все ее вершины, например, ломаная ABCDEFG. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Значит, длина ломаной ABCDEFG равна сумме: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Замкнутая ломаная называется многоугольником , ее вершины называются вершинами многоугольника , а ее звенья сторонами многоугольника (рисунок 16). Называют (обозначают) многоугольник, перечисляя по порядку все его вершины, начиная с любой, например, многоугольник (семиугольник) ABCDEFG , многоугольник (пятиугольник) RTPKL:

Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника и обозначается латинской буквой p (читаем: пэ ). Периметры многоугольников на рисунке 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Мысленно продлив поверхность крышки стола или оконного стекла до бесконечности во все стороны, получим представление о поверхности, которая называется плоскостью (рисунок 17). Обозначают плоскости малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ, … (читаем: плоскость альфа, бетта, гамма, дельта, и т.д. ).

Блок 2. Словарь.

Составьте словарь новых терминов и определений из §2. Для этого в пустые строки таблицы впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице 2 укажите номера терминов в соответствии с номерами строк. Рекомендуется перед заполнением словаря еще раз внимательно просмотреть §2 и блок 2.1.

Блок 3. Установите соответствие (УС).

Геометрические фигуры.

Блок 4. Самопроверка.

Измерение отрезка с помощью линейки.

Напомним, что измерить отрезок АВ в сантиметрах, значит, сравнить его с отрезком длиной 1см и узнать, сколько таких отрезков по 1см помещается в отрезке АВ. Чтобы измерить отрезок в других единицах длины, поступают подобным же образом.

Для выполнения заданий работайте по плану, приведенному в левой колонке таблицы. При этом правую колонку рекомендуем закрыть листом бумаги. Затем вы сможете сопоставить свои выводы с решениями, приведенными в таблице справа.

Блок 5. Установление последовательности действий (УП).

Построение отрезка заданной длины.

Вариант 1 . В таблице записан перепутанный алгоритм (перепутанный порядок действий) построения отрезка заданной длины (например, построим отрезок ВС = 7см). В левом столбце указание к действию в правом результат выполнения этого действия. Переставьте строки таблицы так, чтобы получился верный алгоритм построения отрезка заданной длины. Запишите верную последовательность действий.

Вариант 2. В следующей таблице приведен алгоритм построения отрезка КМ = n см, где вместо n можно подставить любое число. В этом варианте нет соответствия между действием и результатом. Поэтому необходимо установить последовательность действий, затем для каждого действия выбрать его результат. Ответ запишите в виде: 2а, 1в, 4б и т.д.

Вариант 3. Используя алгоритм варианта 2, постройте в тетради отрезки при n = 3 см, n = 10 см, n = 12 см.

Блок 6. Фасетный тест.

Отрезок, луч, прямая, плоскость.

В задачах фасетного теста используются рисунки и записи под номерами 1 - 12, приведённые в таблице 1. Из них формируются данные задач. Затем к ним добавляются требования задач, которые в тесте помещены после соединительного слова «ТО». Ответы к задачам помещены после слова «РАВНО». Набор задач приведён в таблице 2. Например, задача 6.15.19 составляется следующим образом: «ЕСЛИ в задаче используется рисунок 6, з атем к нему добавляется условие под номером 15, требование задачи стоит под номером 19.»

13) построить четыре точки так, чтобы каждые три из них не лежали на одной прямой;

14) провести через каждые две точки прямую;

15) каждую из поверхностей коробки продлить мысленно во все стороны до бесконечности;

16) количество различных отрезков на рисунке;

17) количество различных лучей на рисунке;

18) количество различных прямых на рисунке;

19) количество получившихся различных плоскостей;

20) длина отрезка АС в сантиметрах;

21) длина отрезка АВ в километрах;

22) длина отрезка DC в метрах;

23) периметр треугольника PRQ;

24) длина ломаной QPRMN;

25) частное периметров треугольников RMN и PRQ;

26) длина отрезка ED;

27) длина отрезка BE;

28) количество получившихся точек пересечения прямых;

29) количество получившихся треугольников;

30) количество частей, на которые оказалась разделена плоскость;

31) периметр многоугольника, выраженный в метрах;

32) периметр многоугольника, выраженный в дециметрах;

33) периметр многоугольника, выраженный в сантиметрах;

34) периметр многоугольника, выраженный в миллиметрах;

35) периметр многоугольника, выраженный в километрах;

РАВНО (равна, имеет вид):

а) 70; б) 4; в) 217; г) 8; д) 20; е) 10; ж) 8∙b; з) 800∙b; и) 8000∙b; к) 80∙b; л) 63000; м) 63; н) 63000000; о) 3; п) 6; р) 630000; с) 6300000; т) 7; у) 5; ф) 22; х) 28

Блок 7. Давай поиграем.

7.1. Математический лабиринт.

Лабиринт состоит из десяти комнат с тремя дверьми каждая. В каждой из комнат находится по одному геометрическому объекту (он нарисован на стене комнаты). Сведения об этом объекте находятся в «путеводителе» по лабиринту. Читая его, надо переходить в ту комнату, о которой написано в путеводителе. Проходя по комнатам лабиринта, рисуйте свой маршрут. В двух последних комнатах имеются выходы.

Путеводитель по лабиринту

1. Войти в лабиринт надо через комнату, где находится геометрический объект, у которого нет начала, но есть два конца.
2. Геометрический объект этой комнаты не имеет размеров, он подобен далёкой звезде на ночном небе.
3. Геометрический объект этой комнаты составлен из четырёх отрезков, имеющих три общие точки.
4. Этот геометрический объект состоит из четырёх отрезков с четырьмя общими точками.
5. В этой комнате находятся геометрические объекты, каждый из которых имеет начало, но не имеет конца.
6. Здесь два геометрических объекта, не имеющих ни начала, ни конца, но с одной общей точкой.

1. Представление об этом геометрическом объекте даёт полет артиллерийских снарядов

(траектория движения).

1. В этой комнате находится геометрический объект с тремя вершинами, но это не горные

1. Об этом геометрическом объекте даёт представление полёт бумеранга (охотничье

оружие коренных жителей Австралии). В физике эту линию называют траекторией

движения тела.

1. Представление об этом геометрическом объекте даёт поверхность озера в

безветренную погоду.

Теперь можете выходить из лабиринта.

В лабиринте находятся геометрические объекты: плоскость, незамкнутая линия, прямая, треугольник, точка, замкнутая линия, ломаная, отрезок, луч, четырёхугольник.

7.2. Периметр геометрических фигур.

В рисунках выделите геометрические фигуры: треугольники, четырёхугольники, пяти - и шестиугольники. С помощью линейки (в миллиметрах) определите периметры некоторых из них.

7.3. Эстафета геометрических объектов.

В заданиях эстафеты есть пустые рамки. В них запишите пропущенное слово. Затем перенесите это слово в другую рамку, куда показывает стрелка. При этом можно изменять падеж этого слова. Проходя по этапам эстафеты, выполняйте требуемые построения. Если эстафету пройдёте правильно, то в конце получите слово: периметр .

7.4. Крепость геометрических объектов.

Прочитайте § 2, выпишите из его текста названия геометрических объектов. Затем впишите эти слова в пустые клетки «крепости».

1.1. Методические рекомендации к формированию
трехмерной твердотельной модели в среде AutoCAD

Вашему вниманию предлагается методика создания трехмерной твердотельной модели на примере типовой проекционной задачи. Эта методика может быть использована при создании любых чертежей и служить основой для серьезной и регулярной работы в среде AutoCAD .

Разберем процесс построения на примере детали «Крышка» (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Шаг 1. Основание крышки

Создадим слой 3 D тело – сплошная основная линия толщиной 0,4 мм – и сделаем его текущим. Построение основания крышки начнем с окружности, имеющей центр в точке (0,0,0) и диаметр 70 мм. Затем построим две одинаковые окружности диаметром 20 с центрами (40,0) и (–40,0) (рис. 1.2).

Рис. 1.2	Рис. 1.3	Рис. 1.4	Рис.1.5

С помощью команды отрезок ( LINE ) и объектной привязки касательная ( Tangent ) проведем четыре отрезка (AB , С D , EF , LK ) касательных к двум окружностям (рис. 1.3). Для того чтобы удалить ненужные части окружностей, используем команду TRIM / ОБРЕЗАТЬ . В ответ на запрос В ыберите объекты или <выбрать все>: укажите отрезки AB , С D , EF и LK , Enter . (рис. 1.4). На запрос В ыберите объекты : Выберите обрезаемый (+ Shift – удлиняемый) объект или [Линия выбора/пеРечеркивание /Проекция/Кромка/уДа­лить /О тменить] : укажите внутренние части окружностей, т.е. точки 4 , 5 , 6 и 7 , Enter . (рис. 1.3, 1.4). Для преобразования объектов в одну область воспользуемся командой ОБЛАСТЬ ( REGION ) или соответствующей кнопкой панели Рисование .

Построенная область – это основание будущей крышки (рис. 1.4).

Создадим два круглых отверстия – окружности диаметром 10 мм с центрами в точках (40,0) и (–40,0) (рис. 1.5).

С помощью меню Вид ( View ) или одноименной панели инструментов установим СВ изометрию. Система построит основание крышки (рис. 1.6).

Выдавим полученную область вверх на 15 мм. Для этого воспользуемся кнопкой панели Моделирование. Этой кнопке соответствуеткоманда ВЫДАВИТЬ ( EXTRUDE ). На запрос В ыберите объекты для выдавливания выделим рамкой все объекты и подтвердим выбор правой кнопкой мыши. На запрос Высота выдавливания или [Направление/Траектория/Угол сужения ]: введем 15, Enter (рис. 1.7).

Рис. 1.6	Рис. 1.7	Рис. 1.8

С помощью команды Вычитание ( SUBTRAST ) выполним отверстия в основании крышки. Сначала команда запрашивает уменьшаемые объекты. Выберите тела и области, из которых будет выполняться вычитание…

Укажем большую область и подтвердим выбор щелчком правой кнопкой мыши или Enter . Выберите тела и области для вычитания… укажем оба отверстия и щелкнем правой кнопкой мыши. После выполнения этой операции зрительно вид объектов не изменится, однако, если сейчас из меню Вид вызвать команду Скрыть линии, будет видно, что в твердотельном объекте образовались отверстия (рис. 1.8).

Шаг 2. Вертикальные цилиндры

Построим цилиндр, который стоит на верхней поверхности основания, имеет диаметр 40 мм и высоту 65 мм. Для этого воспользуемся командой ЦИЛИНДР ( CYLINDER ) илипиктограммой . н а запрос Центр основания или : введем координаты 0,0,15, Enter .

На запрос Радиус основания или [Диаметр]: выберем опцию Диаметр.

На запрос Диаметр: введем 40, Enter .

На следующий запрос Высота или : введем 65, Enter (рис. 1.9).

Построим сквозное цилиндрическое отверстие.

Для этого построим цилиндр с центром в точке (0,0,0), диаметром 30 мм и высотой 80 (рис. 1.10). Объединим цилиндр (Ø 40) и основание крышки в одно тело с помощью команды ОБЪЕДИНЕНИЕ ( UNION ) или кнопки в панели инструментов Моделирование. Затем выполним вычитание цилиндра (Ø 30) из объединенного объекта (рис. 1.11). Ответить на запрос В ыберите объекты можно выделением каждого объекта или рамкой.

Рис. 1.9	Рис. 1.10	Рис. 1.11

Шаг 3. Ребра жесткости

Построим вспомогательный отрезок АВ с помощью команды (Отрезок ) и объектной привязки (Середина) (рис. 1.12).

Рис. 1.12	Рис. 1.13

В панели инструментов И зменить выберем (Подобие ). Эта команда предназначена для рисования параллельных линий к линейным объектам. На запрос У кажите расстояние смещения или [Через / Удалить / Слой] <Через>: введем 3, Enter .

На запрос В < Выход >: укажем отрезок АВ.

На запрос У кажите точку, определяющую сторону смещения, или [Выход / Несколько / Отменить] < Выход >: укажем направление ниже отрезка АВ.

На запрос В ыберите объект для смещения или [Выход / Отменить] < Выход >: укажем отрезок АВ.

На запрос У кажите точку, определяющую сторону смещения, или [Выход / Несколько / Отменить] < Выход >: укажем направление выше отрезка АВ.

На запрос В ыберите объект для смещения или [Выход / Отменить] < Выход >: Enter (рис. 1.13). С помощью команды (Точка) и объектной привязки (Ближайшая) обозначим точки 1, 2, 3 и 4 так, как показано на рис. 1.13. В панели инструментов Моделирование выберем (Клин). н а запрос П ервый угол или [Центр]: щелчком левой кнопки мыши укажем любую точку на экране.

На следующий запрос Д ругой угол или [Куб / Длина]: выберем опцию Длина, Enter .

На запрос Длина: введем 10, Enter .

На запрос Ширина: введем 6, Enter .

На запрос Высота или : введем 50, Enter (рис. 1.14).

С помощью команды и объектной привязки (Конточка ) обозначим точки K и L так, как показано на рис. 1.14. Скопируем только что построенный Клин с другой стороны объекта, выбрав в панели инструментов Редактирование (Копировать) .

Рис. 1.1 4	Рис. 1. 15	Рис. 1. 16	Рис. 1.17

Выберем в меню И зменить / 3 D операции / Выровнять.

н а запрос В ыберите объекты: укажем объект (Клин) и щелкнем правой кнопкой мыши.

На запрос П ервая исходная точка: укажем точку K .

На запрос П ервая целевая точка: укажем точку 1.

На запрос В торая исходная точка: укажем точку L .

На запрос В торая целевая точка: укажем точку 2.

На запрос Третья точка или [Продолжить] <П >: Enter .

На запрос М асштабировать объекты по точкам выравнивания? [Да/Н ет]<Нет>: Enter (рис. 1.15).

Аналогично поступим со вторым ребром жесткости, только точка K совпадает с точкой 4 , а точка L совпадает с точкой 3 .

В панели инструментов Моделирование выберем (Объединение).

После вывода запроса В ыберите объекты: захватим секущей рамкой оба созданных объекта, Enter . Выбор можно произвести и посредством указания на каждый объект (рис. 1.16).

Удалим лишние линии и точки!!!

Вызовем на экран панель инструментов Визуальные стили.

Выберем Визуальный стиль «Концептуальный». Объект примет вид, указанный нарис. 1.17. Для сравнения выберем Визуальный стиль «Реалистичный».

Щелкнув правой кнопкой мыши на любой панели инструментов, из появившегося контекстного меню выберем Орбита , чтобы вывести эту панель инструментов на поле рабочего окна программы. Выберемна панели инструментов Орбита /Свободная орбита и будем вращать модель, буксируя ее курсором при нажатой левой кнопке мыши (рис. 1.18). При нажатой правой кнопке мыши выберем из контекстного меню Другие режимы навигации , а затем Зависимая орбита . Поворачивайте модель в различных направлениях.

Рис. 1 .18	Рис. 1.19

Обратите внимание, что теперь круги режима орбиты исчезли, а модель поворачивается вокруг одной точки в середине видового экрана (рис. 1.19).

Восстановим изометрический вид командой Вид / 3 D виды / СВ Изометрия . Перейдем к отображению модели в виде двумерного каркаса, щелкнув на кнопке 2 D каркас панели инструментов Визуальные стили. Сохраним полученную модель, присвоив имя файлу, Крышка. dwg ., а затем создадим его копию под именем Крышка 1. dwg .