Геометрическая регрессия. Геометрическая прогрессия и ее формула. Задачи на вычисление сложных процентов

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии, т. е. каждый член отличается от предыдущего в q раз. (Будем считать, что q ≠ 1, иначе все уж слишком тривиально). Нетрудно видеть, что общая формула n -го члена геометрической прогрессии b n = b 1 q n – 1 ; члены с номерами b n и b m отличаются в q n – m раз.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Рис. 1. Древнеегипетская задача о геометрической прогресии

Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Эту формулу можно доказать, например, так: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .

Добавим к S n число b 1 q n и получим:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Отсюда S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) , и мы получаем необходимую формулу.

Уже на одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Правда, как и в ряде других случаев мы не знаем, откуда этот факт был известен вавилонянам.

Быстрое возрастание геометрической прогрессии в ряде культур, – в частности, в индийской, – неоднократно используется как наглядный символ необозримости мироздания. В известной легенде о появлении шахмат властелин предоставляет их изобретателю возможность самому выбрать награду, и тот просит такое количество пшеничных зерен, которое получится, если одно положить на первую клетку шахматной доски, два – на вторую, четыре – на третью, восемь – на четвертую и т. д., всякий раз число увеличивается вдвое. Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. Нетрудно видеть, что за все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (2 64 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен. Эту легенду иногда интерпретируют как указание на практически неограниченные возможности, скрытые в шахматной игре.

То, что это число действительно 20-значное, увидеть нетрудно:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (более точный расчет дает 1,84∙10 19). А вот интересно, сможете ли вы узнать, какой цифрой оканчивается данное число?

Геометрическая прогрессия бывает возрастающей, если знаменатель по модулю больше 1, или убывающей, если он меньше единицы. В последнем случае число q n при достаточно больших n может стать сколь угодно малым. В то время как возрастающая геометрическая прогрессия возрастает неожиданно быстро, убывающая столь же быстро убывает.

Чем больше n , тем слабее число q n отличается от нуля, и тем ближе сумма n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (1 – q n ) / (1 – q ) к числу S = b 1 / (1 – q ) . (Так рассуждал, например, Ф. Виет). Число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тем не менее, долгие века вопрос о том, какой смысл имеет суммирование ВСЕЙ геометрической прогрессии, с ее бесконечным числом членов, не был достаточно ясен математикам.

Убывающую геометрическую прогрессию можно видеть, например, в апориях Зенона «Деление пополам» и «Ахиллес и черепаха». В первом случае наглядно показывается, что вся дорога (предположим, длины 1) является суммой бесконечного числа отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. Так оно, конечно, и есть с точки зрения представлений о конечной сумме бесконечной геометрической прогрессии. И все же – как такое может быть?

Рис. 2. Прогрессия с коэффициентом 1/2

В апории про Ахиллеса ситуация чуть более сложная, т. к. здесь знаменатель прогрессии равен не 1/2, а какому-то другому числу. Пусть, например, Ахиллес бежит со скоростью v , черепаха движется со скоростью u , а первоначальное расстояние между ними равно l . Это расстояние Ахиллес пробежит за время l /v , черепаха за это время сдвинется на расстояние lu /v . Когда Ахиллес пробежит и этот отрезок, дистанция между ним и черепахой станет равной l (u /v ) 2 , и т. д. Получается, что догнать черепаху – значит найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом l и знаменателем u /v . Эта сумма – отрезок, который в итоге пробежит Ахиллес до места встречи с черепахой – равен l / (1 – u /v ) = lv / (v – u ) . Но, опять-таки, как надо интерпретировать этот результат и почему он вообще имеет какой-то смысл, долгое время было не очень ясно.

Рис. 3. Геометрическая прогрессия с коэффициентом 2/3

Сумму геометрической прогрессии использовал Архимед при определении площади сегмента параболы. Пусть данный сегмент параболы отграничен хордой AB и пусть в точке D параболы касательная параллельна AB . Пусть C – середина AB , E – середина AC , F – середина CB . Проведем прямые, параллельные DC , через точки A , E , F , B ; пусть касательную, проведенную в точке D , эти прямые пересекают в точках K , L , M , N . Проведем также отрезки AD и DB . Пусть прямая EL пересекает прямую AD в точке G , а параболу в точке H ; прямая FM пересекает прямую DB в точке Q , а параболу в точке R . Согласно общей теории конических сечений, DC – диаметр параболы (то есть отрезок, параллельный ее оси); он и касательная в точке D могут служить осями координат x и y , в которых уравнение параболы записывается как y 2 = 2px (x – расстояние от D до какой-либо точки данного диаметра, y – длина параллельного данной касательной отрезка от этой точки диаметра до некоторой точки на самой параболе).

В силу уравнения параболы, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а поскольку DK = 2DL , то KA = 4LH . Т. к. KA = 2LG , LH = HG . Площадь сегмента ADB параболы равна площади треугольника ΔADB и площадям сегментов AHD и DRB , вместе взятых. В свою очередь, площадь сегмента AHD аналогичным образом равна площади треугольника AHD и оставшихся сегментов AH и HD , с каждым из которых можно провести ту же операцию – разбить на треугольник (Δ) и два оставшихся сегмента (), и т. д.:

Площадь треугольника ΔAHD равна половине площади треугольника ΔALD (у них общее основание AD , а высоты отличаются в 2 раза), которая, в свою очередь, равна половине площади треугольника ΔAKD , а значит, и половине площади треугольника ΔACD . Таким образом, площадь треугольника ΔAHD равна четверти площади треугольника ΔACD . Аналогично, площадь треугольника ΔDRB равна четверти площади треугольника ΔDFB . Итак, площади треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятые, равны четверти площади треугольника ΔADB . Повторение этой операции в применении к сегментам AH , HD , DR и RB выделит и из них треугольники, площадь которых, вместе взятых, будет в 4 раза меньше, чем площадь треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятых, а значит, в 16 раз меньше, чем площади треугольника ΔADB . И так далее:

Таким образом, Архимед доказал, что «всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту».

Геометрическая прогрессия – это новый вид числовой последовательности, с которым нам предстоит познакомиться. Для успешного знакомства не помешает хотя бы знать и понимать, . Тогда и с геометрической прогрессией проблем не будет.)

Что такое геометрическая прогрессия? Понятие геометрической прогрессии.

Начинаем экскурсию, как обычно, с элементарщины. Пишу незаконченную последовательность чисел:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Сможете уловить закономерность и сказать, какие числа пойдут дальше? Ясен перец, дальше пойдут числа 100000, 1000000 и так далее. Даже без особого умственного напряжения всё ясно, правда ведь?)

Ладно. Ещё пример. Пишу вот такую последовательность:

1, 2, 4, 8, 16, …

Сможете сказать, какие числа пойдут дальше, вслед за числом 16 и назвать восьмой член последовательности? Если вы сообразили, что это будет число 128, то очень хорошо. Значит, полдела в понимании смысла и ключевых моментов геометрической прогрессии уже сделано. Можно расти дальше.)

А теперь снова переходим от ощущений к строгой математике.

Ключевые моменты геометрической прогрессии.

Ключевой момент №1

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел. Как и прогрессия. Ничего хитрого. Только устроена эта последовательность по-другому. Отсюда, естественно, и другое название носит, да…

Ключевой момент №2

Со вторым ключевым моментом вопрос похитрее будет. Давайте вернёмся чуть назад и вспомним ключевое свойство арифметической прогрессии. Вот оно: каждый член отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

А можно ли похожее ключевое свойство сформулировать для геометрической прогрессии? Подумайте немного… Присмотритесь к приведённым примерам. Догадались? Да! В геометрической прогрессии (любой!) каждый её член отличается от предыдущего в одно и то же число раз. Всегда!

В первом примере это число – десятка. Какой член последовательности ни возьми, он больше предыдущего в десять раз.

Во втором примере это – двойка: каждый член больше предыдущего в два раза.

Именно этим ключевым моментом геометрическая прогрессия и отличается от арифметической. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одной и той же величины к предыдущему члену. А здесь – умножением предыдущего члена на одну и ту же величину. Вот и вся разница.)

Ключевой момент №3

Этот ключевой момент полностью идентичен таковому для арифметической прогрессии. А именно: каждый член геометрической прогрессии стоит на своём месте. Всё точь-в-точь как и в арифметической прогрессии и комментарии, я думаю, излишни. Есть первый член, есть сто первый и т.д. Переставим местами хотя бы два члена – закономерность (а вместе с ней и геометрическая прогрессия) исчезнут. Останется просто последовательность чисел безо всякой логики.

Вот и всё. Вот и весь смысл геометрической прогрессии.

Термины и обозначения.

А вот теперь, разобравшись со смыслом и ключевыми моментами геометрической прогрессии, можно и к теории переходить. А иначе какая же теория без понимания смысла, правда?

Как обозначать геометрическую прогрессию?

Как записывается геометрическая прогрессия в общем виде? Никаких проблем! Каждый член прогрессии также записывается в виде буквы. Только для арифметической прогрессии, обычно, используется буква "а" , для геометрической – буковка "b". Номер члена , как обычно, указывается индексом справа внизу . Сами члены прогрессии просто перечисляем через запятую или точку с запятой.

Вот так:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Коротко такую прогрессию записывают вот так: (b n ) .

Или вот так, для конечных прогрессий:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , …, b 29 , b 30 .

Или, в краткой записи:

(b n ), n =30 .

Вот, собственно, и все обозначения. Всё то же самое, только буква другая, да.) А теперь переходим непосредственно к определению.

Определение геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число.

Вот и всё определение. Большинство слов и фраз вам понятны и хорошо знакомы. Если, конечно, понимаете смысл геометрической прогрессии "на пальцах" и вообще. Но есть и несколько новых фраз, на которые я хотел бы обратить особое внимание.

Во-первых, слова: "первый член которой отличен от нуля ".

Это ограничение на первый член введено не случайно. Как вы думаете, что произойдёт, если первый член b 1 окажется равным нулю? Чему будет равен второй член, если каждый член больше предыдущего в одно и то же число раз? Допустим, в три раза? Посмотрим… Умножаем первый член (т.е. 0) на 3 и получаем… ноль! А третий член? Тоже ноль! И четвёртый член – тоже ноль! И так далее…

Получаем просто мешок баранок последовательность нулей:

0, 0, 0, 0, …

Конечно, такая последовательность имеет право на жизнь, но никакого практического интереса она не представляет. Всё и так понятно. Любой её член – ноль. Сумма любого количества членов – тоже ноль… Что с ней интересного можно делать? Ничего…

Следующие ключевые слова: "умноженному на одно и то же ненулевое число".

Это самое число тоже носит своё специальное название – знаменатель геометрической прогрессии . Начинаем знакомство.)

Знаменатель геометрической прогрессии.

Всё проще простого.

Знаменатель геометрической прогрессии – это ненулевое число (или величина), показывающее, во сколько раз каждый член прогрессии больше предыдущего.

Опять же, по аналогии с арифметической прогрессией, ключевым словом, на которое следует обратить внимание в этом определении, является слово "больше" . Оно означает, что каждый член геометрической прогрессии получается умножением на этот самый знаменатель предыдущего члена.

Поясняю.

Для расчёта, скажем, второго члена, надо взять первый член и умножить его на знаменатель. Для расчёта десятого члена, надо взять девятый член и умножить его на знаменатель.

Сам знаменатель геометрической прогрессии может при этом быть каким угодно. Совершенно любым! Целым, дробным, положительным, отрицательным, иррациональным – всяким. Кроме нуля. Об этом и говорит нам слово "ненулевое" в определении. Зачем это слово тут нужно – об этом далее.

Знаменатель геометрической прогрессии обозначается, чаще всего, буковкой q .

Как найти это самое q ? Не вопрос! Надо взять любой член прогрессии и поделить на предыдущий член . Деление – это дробь . Отсюда и название - "знаменатель прогрессии". Знаменатель, он обычно в дроби сидит, да…) Хотя, по логике, величину q следовало бы называть частным геометрической прогрессии, по аналогии с разностью для прогрессии арифметической. Но договорились называть знаменателем . И мы тоже не будем изобретать велосипед.)

Определим, например, величину q для такой геометрической прогрессии:

2, 6, 18, 54, …

Всё элементарно. Берём любое число последовательности. Какое хотим, такое и берём. Кроме самого первого. Например, 18. И делим на предыдущее число . То есть, на 6.

Получаем:

q = 18/6 = 3

Вот и всё. Это верный ответ. Для данной геометрической прогрессии знаменатель равен трём.

Найдём теперь знаменатель q для другой геометрической прогрессии. Например, вот такой:

1, -2, 4, -8, 16, …

Всё то же самое. Какие бы знаки ни были у самих членов, всё равно берём любое число последовательности (например, 16) и делим на предыдущее число (т.е. -8).

Получим:

d = 16/(-8) = -2

И все дела.) В этот раз знаменатель прогрессии оказался отрицательным. Минус два. Бывает.)

Возьмём теперь вот такую прогрессию:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

И снова, вне зависимости от вида чисел, стоящих в последовательности (хоть целые, хоть дробные, хоть отрицательные, хоть иррациональные), берём любое число (например, 1/9) и делим на предыдущее число (1/3). По правилам действий с дробями, естественно.

Получим:

И всё.) Здесь знаменатель оказался дробным: q = 1/3.

А вот такая "прогрессия" как вам?

3, 3, 3, 3, 3, …

Очевидно, здесь q = 1 . Формально это тоже геометрическая прогрессия, только с одинаковыми членами .) Но такие прогрессии для изучения и практического применения не интересны. Так же, как и прогрессии со сплошными нулями. Поэтому мы их рассматривать и не будем.

Как вы видите, знаменатель прогрессии может быть каким угодно – целым, дробным, положительным, отрицательным – всяким! Не может быть только нулём. Не догадались, почему?

Ну, давайте на каком-нибудь конкретном примере посмотрим, что будет, если взять в качестве знаменателя q нолик.) Пусть у нас, допустим, будет b 1 = 2 , а q = 0 . Чему тогда будет равен второй член?

Считаем:

b 2 = b 1 · q = 2·0 = 0

А третий член?

b 3 = b 2 · q = 0·0 = 0

Виды и поведение геометрических прогрессий.

С всё было более-менее ясно: если разность прогрессии d положительна, то прогрессия возрастает. Если же разность отрицательна, то прогрессия убывает. Всего два варианта. Третьего не дано.)

А вот с поведением геометрической прогрессии всё будет уже гораздо интереснее и разнообразнее!)

Как только себя тут члены ни ведут: и возрастают, и убывают, и неограниченно приближаются к нулю, и даже меняют знаки, попеременно бросаясь то в "плюс", то в "минус"! И во всём этом многообразии надо уметь хорошо разбираться, да…

Разбираемся?) Начинаем с самого простого случая.

Знаменатель положительный ( q >0)

При положительном знаменателе, во-первых, члены геометрической прогрессии могут уходить в плюс бесконечность (т.е. неограниченно возрастать) и могут уходить в минус бесконечность (т.е. неограниченно убывать). К такому поведению прогрессий мы уже попривыкли.

Например:

(b n ): 1, 2, 4, 8, 16, …

Здесь всё просто. Каждый член прогрессии получается больше предыдущего . Причём каждый член получается умножением предыдущего члена на положительное число +2 (т.е. q = 2 ). Поведение такой прогрессии очевидно: все члены прогрессии неограниченно растут, уходя в космос. В плюс бесконечность…

А теперь вот такая прогрессия:

(b n ): -1, -2, -4, -8, -16, …

Здесь тоже каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на положительное число +2. А вот поведение такой прогрессии уже прямо противоположное: каждый член прогрессии получается меньше предыдущего , и все её члены неограниченно убывают, уходя в минус бесконечность.

А теперь давайте подумаем: что общего у этих двух прогрессий? Правильно, знаменатель! И там и там q = +2 . Положительное число. Двойка. А вот поведение этих двух прогрессий – принципиально разное! Не догадались, почему? Да! Всё дело в первом члене! Именно он, как говорится, и заказывает музыку.) Смотрите сами.

В первом случае первый член прогрессии положительный (+1) и, стало быть, все последующие члены, получаемые умножением на положительный знаменатель q = +2 , также будут положительными.

А вот во втором случае первый член отрицательный (-1). Поэтому и все последующие члены прогрессии, получаемые умножением на положительное q = +2 , также будут получаться отрицательными. Ибо "минус" на "плюс" всегда даёт "минус", да.)

Как вы видите, в отличие от арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия может вести себя совершенно по-разному не только в зависимости от знаменателя q , но ещё и в зависимости от первого члена , да.)

Запоминаем: поведение геометрической прогрессии однозначно определяется её первым членом b 1 и знаменателем q .

А теперь начинаем разбор менее привычных, но зато гораздо более интересных случаев!

Возьмём, например, вот такую последовательность:

(b n ): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Эта последовательность – тоже геометрическая прогрессия! Каждый член этой прогрессии тоже получается умножением предыдущего члена, на одно и то же число. Только число это – дробное: q = +1/2 . Или +0,5 . Причём (важно!) число, меньшее единички: q = 1/2<1.

Чем интересна эта геометрическая прогрессия? Куда стремятся её члены? Давайте посмотрим:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Что интересного здесь можно заметить? Во-первых, сразу бросается в глаза убывание членов прогрессии: каждый её член меньше предыдущего ровно в 2 раза. Или, в соответствии с определением геометрической прогрессии, каждый член больше предыдущего в 1/2 раза , т.к. знаменатель прогрессии q = 1/2 . А от умножения на положительное число, меньшее единички, результат обычно уменьшается, да…

Что ещё можно заметить в поведении этой прогрессии? Убывают ли её члены неограниченно , уходя в минус бесконечность? Нет! Они убывают по-особенному. Сначала довольно быстро убывают, а потом всё медленнее и медленнее. Причём всё время оставаясь положительными . Пускай и очень-очень маленькими. А к чему же они сами при этом стремятся? Не догадались? Да! К нулю они стремятся!) Причём, обратите внимание, самого нуля члены нашей прогрессии никогда не достигают! Только лишь бесконечно близко к нему приближаются . Это очень важно.)

Похожая ситуация будет и в такой прогрессии:

(b n ): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Здесь b 1 = -1 , а q = 1/2 . Всё то же самое, только к нулю теперь члены будут приближаться уже с другой стороны, снизу. Всё время оставаясь отрицательными .)

Такая геометрическая прогрессия, члены которой неограниченно приближаются к нулю (неважно, с положительной или с отрицательной стороны), в математике носит особое название – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Прогрессия эта настолько интересная и необычная, что о ней даже будет отдельный урок .)

Итак, мы рассмотрели все возможные положительные знаменатели – и большие единички и меньшие единички. Саму единичку в качестве знаменателя мы не рассматриваем по причинам, изложенным выше (вспомните пример с последовательностью троек…)

Подытожим:

положителен и больше единицы (q >1), то члены прогрессии:

a ) неограниченно возрастают (если b 1 >0);

б) неограниченно убывают (если b 1 <0).

Если знаменатель геометрической прогрессии положителен и меньше единицы (0< q <1), то члены прогрессии:

а) бесконечно близко приближаются к нулю сверху (если b 1 >0);

б) бесконечно близко приближаются к нулю снизу (если b 1 <0).

Осталось теперь рассмотреть случай отрицательного знаменателя.

Знаменатель отрицательный ( q <0)

За примером далеко ходить не будем. Чего, собственно, лохматить бабушку?!) Пусть, например, первый член прогрессии будет b 1 = 1 , а знаменатель возьмём q = -2 .

Получим вот такую последовательность:

(b n ): 1, -2, 4, -8, 16, …

И так далее.) Каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на отрицательное число -2. При этом все члены, стоящие на нечётных местах (первый, третий, пятый и т.д.) будут положительными , а на чётных местах (второй, четвёртый и т.д.) – отрицательными. Знаки строго чередуются. Плюс-минус-плюс-минус… Такая геометрическая прогрессия так и называется – возрастающей знакочередующейся.

Куда же стремятся её члены? А никуда.) Да, по абсолютной величине (т.е. по модулю) члены нашей прогрессии неограниченно возрастают (отсюда и название "возрастающая"). Но при этом каждый член прогрессии поочерёдно бросает то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "минус". Колеблется наша прогрессия… Причём размах колебаний с каждым шагом стремительно растёт, да.) Стало быть, стремления членов прогрессии куда-то конкретно здесь нет. Ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности, ни к нулю – никуда.

Рассмотрим теперь какой-нибудь дробный знаменатель между нулём и минус единичкой.

Например, пусть будет b 1 = 1 , а q = -1/2 .

Тогда получим прогрессию:

(b n ): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

И снова имеем чередование знаков! Но, в отличие от предыдущего примера, здесь уже прослеживается чёткая тенденция приближения членов к нулю.) Только в этот раз наши члены приближаются к нулю не строго сверху или снизу, а снова колеблясь . Попеременно принимая то положительные, то отрицательные значения. Но при этом их модули становятся всё ближе и ближе к заветному нолику.)

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей знакочередующейся.

Чем интересны эти два примера? А тем, что в обоих случаях имеет место чередование знаков! Такая фишка характерна только для прогрессий с отрицательным знаменателем, да.) Стало быть, если в каком-то задании вы увидите геометрическую прогрессию со знакочередующимися членами, то уже твёрдо будете знать, что её знаменатель на 100% отрицательный и не ошибётесь в знаке.)

Кстати, в случае отрицательного знаменателя знак первого члена совершенно не влияет на поведение самой прогрессии. С каким бы знаком первый член прогрессии ни был, в любом случае будет наблюдаться знакочередование членов. Весь вопрос лишь в том, на каких местах (чётные или нечётные) будут стоять члены с конкретными знаками.

Запоминаем:

Если знаменатель геометрической прогрессии отрицательный , то знаки членов прогрессии всегда чередуются.

При этом сами члены:

а) неограниченно возрастают по модулю , если q <-1;

б) бесконечно приближаются к нулю, если -1< q <0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Вот и всё. Все типовые случаи разобраны.)

В процессе разбора самых разных примеров геометрических прогрессий, я периодически употреблял слова: "стремится к нулю" , "стремится к плюс бесконечности" , "стремится к минус бесконечности" … Ничего страшного.) Эти речевые обороты (и конкретные примеры) – всего лишь начальное знакомство с поведением самых разных числовых последовательностей. На примере геометрической прогрессии.

Зачем нам вообще нужно знать поведение прогрессии? Какая разница, куда она там стремится? К нулю ли, к плюс бесконечности, к минус бесконечности… Нам-то что от этого?

Дело всё в том, что уже в ВУЗе, в курсе высшей математики, вам понадобится умение работать с самыми разными числовыми последовательностями (с любыми, а не только прогрессиями!) и умение представлять, как именно себя ведёт та или иная последовательность – возрастает ли она неограниченно, убывает ли, стремится ли к конкретному числу (причём не обязательно к нулю) или даже вообще ни к чему не стремится… Этой теме в курсе матанализа посвящён целый раздел – теория пределов. А чуть конкретнее – понятие предела числовой последовательности. Очень интересная тема! Имеет смысл поступить в институт и разобраться.)

Некоторые примеры из этого раздела (последовательности, имеющие предел) и в частности, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия начинают осваиваться ещё в школе. Привыкаем.)

Более того, умение хорошо исследовать поведение последовательностей в дальнейшем здорово сыграет на руку и очень пригодится в исследовании функций. Самых разнообразных. А вот умение грамотно работать с функциями (вычислять производные, исследовать их по полной программе, строить их графики) уже резко повышает ваш математический уровень! Сомневаетесь? Не надо. Ещё вспомните мои слова.)

Посмотрим на геометрическую прогрессию в жизни?

В окружающей нас жизни с геометрической прогрессией мы сталкиваемся очень и очень часто. Даже сами того не подозревая.)

Например, различные микроорганизмы, которые окружают нас повсюду в огромных количествах и которых мы даже не видим без микроскопа, размножаются именно в геометрической прогрессии.

Скажем, одна бактерия размножается делением пополам, давая потомство в 2 бактерии. В свою очередь, каждая из них, размножаясь, тоже делится пополам, давая общее потомство в 4 бактерии. Следующее поколение даст уже 8 бактерий, потом 16 бактерий, 32, 64 и так далее. С каждым следующим поколением число бактерий удваивается. Типичный пример геометрической прогрессии.)

Также в геометрической прогрессии размножаются и некоторые насекомые – тля, мухи. И кролики иногда, кстати, тоже.)

Другой пример геометрической прогрессии, уже ближе к обыденной жизни, - это так называемые сложные проценты. Такое интересное явление часто встречается в банковских вкладах и называется капитализацией процентов. Что это такое?

Сами вы пока что ещё, конечно, юные. В школе учитесь, в банки не обращаетесь. А вот родители ваши – люди уже взрослые и самостоятельные. На работу ходят, денежки на хлеб насущный зарабатывают, а часть денег кладут в банк, делая сбережения.)

Скажем, ваш папа хочет поднакопить определённую денежную сумму на семейный отдых в Турции и положил в банк 50000 рублей под 10% годовых сроком на три года с ежегодной капитализацией процентов. Причём в течение всего этого срока делать со вкладом ничего нельзя. Нельзя ни пополнять вклад, ни снимать деньги со счёта. Какую прибыль он получит через эти три года?

Ну, во-первых, надо разобраться, что же такое 10% годовых. Это значит, что через год к первоначальной сумме вклада банком будут начислены 10%. От чего? Конечно же, от первоначальной суммы вклада.

Считаем размер счёта через год. Если первоначальная сумма вклада составляла 50000 рублей (т.е. 100%), то через год на счету будет сколько процентов? Правильно, 110%! От 50000 рублей.

Вот и считаем 110% от 50000 рублей:

50000·1,1 = 55000 рублей.

Надеюсь, вы понимаете, что найти 110% от величины означает помножить эту величину на число 1,1? Если не понимаете, почему это именно так, вспоминайте пятый и шестой классы. А именно – связь процентов с дробями и частями.)

Таким образом, прибавка за первый год составит 5000 рублей.

А сколько денег будет на счету через два года? 60000 рублей? К сожалению (а вернее, к счастью), всё не так просто. Весь фокус капитализации процентов состоит в том, что при каждом новом начислении процентов, эти самые проценты будут считаться уже от новой суммы! От той, которая уже лежит на счету в данный момент. А начисленные за предыдущий срок проценты прибавляются к изначальной сумме вклада и, таким образом, сами участвуют в начислении новых процентов! То есть, они становятся полноправной частью общего счёта. Или общего капитала. Отсюда и название – капитализация процентов.

Это в экономике. А в математике такие проценты называются сложными процентами. Или процентами от процентов. ) Их фишка заключается в том, что при последовательном вычислении проценты каждый раз считаются от новой величины. А не от первоначальной…

Стало быть, для подсчёта суммы через два года , нам надо посчитать 110% от той суммы, которая будет на счету через год. То есть, уже от 55000 рублей.

Считаем 110% от 55000 рублей:

55000·1,1 = 60500 рублей.

Значит, процентная прибавка за второй год составит уже 5500 рублей, а за два года – 10500 рублей.

Теперь уже можно догадаться, что через три года сумма на счету будет составлять 110% от 60500 рублей. То есть снова 110% от предыдущей (прошлогодней) суммы.

Вот и считаем:

60500·1,1 = 66550 рублей.

А теперь выстраиваем наши денежные суммы по годам в последовательность:

50000;

55000 = 50000·1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500·1,1 = ((50000·1,1)·1,1)·1,1

Ну и как? Чем не геометрическая прогрессия? Первый член b 1 = 50000 , а знаменатель q = 1,1 . Каждый член больше предыдущего строго в 1,1 раза. Всё в строгом соответствии с определением.)

И сколько же дополнительных процентных бонусов "накапает" вашему папе, пока его 50000 рублей три года лежали на банковском счету?

Считаем:

66550 – 50000 = 16550 рублей

Негусто, конечно. Но это если изначальная сумма вклада – маленькая. А если побольше? Скажем, не 50, а 200 тысяч рублей? Тогда прибавка за три года составит уже 66200 рублей (если посчитать). Что уже очень неплохо.) А если вклад ещё больше? Вот то-то и оно…

Вывод: чем выше изначальный вклад, тем выгоднее становится капитализация процентов. Именно поэтому вклады с капитализацией процентов предоставляются банками на длительные сроки. Скажем, на пять лет.

Также в геометрической прогрессии любят распространяться всякие нехорошие болезни типа гриппа, кори и даже более страшных заболеваний (той же атипичной пневмонии в начале 2000-х или чумы в Средневековье). Отсюда и такие масштабы эпидемий, да…) А всё из-за того, что геометрическая прогрессия с целым положительным знаменателем (q >1) – штука, возрастающая очень быстро! Вспомните размножение бактерий: из одной бактерии получаются две, из двух – четыре, из четырёх – восемь и так далее… С распространением всякой заразы всё то же самое.)

Простейшие задачи по геометрической прогрессии.

Начнём, как всегда, с несложной задачки. Чисто на понимание смысла.

1. Известно, что второй член геометрической прогрессии равен 6, а знаменатель равен -0,5. Найдите первый, третий и четвёртый её члены.

Итак, нам дана бесконечная геометрическая прогрессия, а известен второй член этой прогрессии:

b 2 = 6

Кроме того, нам ещё известен знаменатель прогрессии :

q = -0,5

А найти нужно первый, третий и четвёртый члены этой прогрессии.

Вот и действуем. Записываем последовательность по условию задачки. Прямо в общем виде, где второй член – шестёрка:

b 1 , 6, b 3 , b 4 , …

А теперь приступаем к поискам. Начинаем, как всегда, с самого простого. Можно посчитать, например, третий член b 3 ? Можно! Мы же с вами уже знаем (прямо по смыслу геометрической прогрессии), что третий член (b 3) больше второго (b 2 ) в "q" раз!

Так и пишем:

b 3 = b 2 · q

Подставляем в это выражение шестёрку вместо b 2 и -0,5 вместо q и считаем. И минус тоже не игнорируем, разумеется…

b 3 = 6·(-0,5) = -3

Вот так. Третий член оказался с минусом. Неудивительно: наш знаменатель q – отрицательный. А плюс помножить на минус, будет, знамо дело, минус.)

Считаем теперь следующий, четвёртый член прогрессии:

b 4 = b 3 · q

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

Четвёртый член – снова с плюсом. Пятый член будет опять с минусом, шестой – с плюсом и так далее. Знаки – чередуются!

Так, третий и четвёртый члены нашли. Получилась вот такая последовательность:

b 1 ; 6; -3; 1,5; …

Осталось теперь найти первый член b 1 по известному второму. Для этого шагаем уже в другую сторону, влево. Это значит, что в данном случае второй член прогрессии нам надо не помножить на знаменатель, а поделить.

Делим и получаем:

Вот и всё.) Ответ к задачке будет такой:

-12; 6; -3; 1,5; …

Как вы видите, принцип решения тот же самый, что и в . Знаем любой член и знаменатель геометрической прогрессии – можем найти и любой другой её член. Какой хотим, такой и отыщем.) С той лишь разницей, что сложение/вычитание заменяется на умножение/деление.

Запоминаем: если нам известен хотя бы один член и знаменатель геометрической прогрессии, то мы всегда можем найти любой другой член этой прогрессии.

Следующая задачка, по традиции, из реального варианта ОГЭ:

2.

…; 150; х; 6; 1,2; …

Ну и как? В этот раз ни первого члена нет, ни знаменателя q , задана просто последовательность чисел... Что-то знакомое уже, правда? Да! Похожая задачка уже разбиралась в по арифметической прогрессии!

Вот и не пугаемся. Всё то же самое. Включаем голову и вспоминаем элементарный смысл геометрической прогрессии. Смотрим внимательно на нашу последовательность и соображаем, какие параметры геометрической прогрессии из трёх главных (первый член, знаменатель, номер члена) в ней спрятаны.

Номера членов? Номеров членов нету, да… Но зато есть четыре последовательных числа. Что означает это слово, объяснять на данном этапе смысла не вижу.) Есть ли в этой последовательности два соседних известных числа? Есть! Это 6 и 1,2. Значит, мы можем найти знаменатель прогрессии. Вот и берём число 1,2 и делим на предыдущее число. На шестёрку.

Получаем:

Получим:

x = 150·0,2 = 30

Ответ: x = 30 .

Как вы видите, всё довольно просто. Основная трудность состоит лишь в вычислениях. Особенно тяжко бывает в случае отрицательных и дробных знаменателей. Так что те, у кого проблемы, повторите арифметику! Как работать с дробями, как работать с отрицательными числами и так далее… Иначе здесь будете тормозить нещадно.

А теперь немного видоизменим задачку. Сейчас интересно станет! Уберём в ней последнее число 1,2. Вот такую задачку теперь решим:

3. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

…; 150; х; 6; …

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Всё то же самое, только двух соседних известных членов прогрессии у нас теперь не стало. В этом и состоит основная проблема. Потому, что величину q через два соседних члена мы так просто определить уже не сможем. Есть у нас шанс справиться с задачей? Конечно!

Распишем неизвестный член " x " прямо по смыслу геометрической прогрессии! В общем виде.

Да-да! Прямо с неизвестным знаменателем!

С одной стороны, для икса мы можем записать вот такое соотношение:

x = 150· q

С другой стороны, этот же самый икс мы имеем полное право расписать и через следующий член, через шестёрку! Поделив шестёрку на знаменатель.

Вот так:

x = 6/ q

Очевидно, теперь можно приравнять оба этих соотношения. Раз уж мы выражаем одну и ту же величину (икс), но двумя разными способами.

Получим уравнение:

Умножая всё на q , упрощая, сокращая, получим уравнение:

q 2 = 1/25

Решаем и получаем:

q = ±1/5 = ±0,2

Опаньки! Знаменатель-то двойной получился! +0,2 и -0,2. И какой из них выбрать? Тупик?

Спокойствие! Да, задачка действительно имеет два решения! Ничего страшного в этом нет. Бывает.) Вы же не удивляетесь, когда, например, получаете два корня, решая обычное ? Вот и здесь та же история.)

Для q = +0,2 мы получим:

X = 150·0,2 = 30

А для q = -0,2 будет:

X = 150·(-0,2) = -30

Получаем двойной ответ: x = 30; x = -30.

Что означает этот интересный факт? А то, что существует две прогрессии , удовлетворяющие условию задачи!

Вот такие:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Обе – подходят.) Как вы думаете, из-за чего у нас произошло раздвоение ответов? Как раз из-за ликвидации конкретного члена прогрессии (1,2), идущего после шестёрки. А зная только предыдущий (n-1)-й и последующий (n+1)-й члены геометрической прогрессии, мы уже ничего не можем однозначно сказать про n-й член, стоящий между ними. Возможны два варианта – с плюсом и с минусом.

Но не беда. Как правило, в заданиях на геометрическую прогрессию имеется дополнительная информация, дающая однозначный ответ. Скажем, слова: "знакочередующаяся прогрессия" или "прогрессия с положительным знаменателем" и так далее… Именно эти слова и должны служить зацепкой, какой знак, плюс или минус, следует выбрать при оформлении окончательного ответа. Если же такой информации нет, то тогда – да, задача будет иметь два решения. )

А теперь решаем самостоятельно.

4. Определите, будет ли число 20 членом геометрической прогрессии:

4 ; 6; 9; …

5. Задана знакочередующаяся геометрическая прогрессия:

…; 5; x ; 45; …

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

6. Найдите четвёртый положительный член геометрической прогрессии:

625; -250; 100; …

7. Второй член геометрической прогрессии равен -360, а пятый её член равен 23,04. Найдите первый член этой прогрессии.

Ответы (в беспорядке): -15; 900; нет; 2,56.

Поздравляю, если всё получилось!

Что-то не стыкуется? Где-то ответ двойной получился? Читаем внимательно условие задания!

Последняя задачка не выходит? Там ничего сложного.) Работаем прямо по смыслу геометрической прогрессии. Ну и картинку можно нарисовать. Это помогает.)

Как вы видите, всё элементарно. Если прогрессия – коротенькая. А если длинная? Или номер нужного члена очень большой? Хотелось бы, по аналогии с арифметической прогрессией, как-то получить удобную формулу, позволяющую легко находить любой член любой геометрической прогрессии по его номеру. Не помножая много-много раз на q . И такая формула есть!) Подробности – в следующем уроке.

Урок и презентация на тему: "Числовые последовательности. Геометрическая прогрессия"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Степени и корни Функции и графики

Ребята, сегодня мы познакомимся с еще одним видом прогрессии.
Тема сегодняшнего занятия - геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия

Определение. Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется геометрической прогрессией.
Зададим нашу последовательность рекуррентно: $b_{1}=b$, $b_{n}=b_{n-1}*q$,
где b и q – определенные заданные числа. Число q называется знаменателем прогрессии.

Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице, а $q=2$.

Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми,
а $q=1$.

Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем,
а $q=-1$.

Геометрическая прогрессия обладает свойствами монотонности.
Если $b_{1}>0$, $q>1$,
то последовательность возрастающая.
Если $b_{1}>0$, $0 Последовательность принято обозначать в виде: $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{n}, ...$.

Также как и в арифметической прогрессии, если в геометрической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной геометрической прогрессией .

$b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{n-2}, b_{n-1}, b_{n}$.
Отметим, если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов членов, также является геометрической прогрессией. У второй последовательность первый член равен $b_{1}^2$, а знаменатель равен $q^2$.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

Геометрическую прогрессию можно задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:
$b_{1}=b_{1}$.
$b_{2}=b_{1}*q$.
$b_{3}=b_{2}*q=b_{1}*q*q=b_{1}*q^2$.
$b_{4}=b_{3}*q=b_{1}*q^3$.
$b_{5}=b_{4}*q=b_{1}*q^4$.
Мы легко замечаем закономерность: $b_{n}=b_{1}*q^{n-1}$.
Наша формула называется "формулой n-ого члена геометрической прогрессии".

Вернемся к нашим примерам.

Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице,
а $q=2$.
$b_{n}=1*2^{n}=2^{n-1}$.

Пример. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен шестнадцати, а $q=\frac{1}{2}$.
$b_{n}=16*(\frac{1}{2})^{n-1}$.

Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми, а $q=1$.
$b_{n}=8*1^{n-1}=8$.

Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем, а $q=-1$.
$b_{n}=3*(-1)^{n-1}$.

Пример. Дана геометрическая прогрессия $b_{1}, b_{2}, …, b_{n}, … $.
а) Известно,что $b_{1}=6, q=3$. Найти $b_{5}$.
б) Известно,что $b_{1}=6, q=2, b_{n}=768$. Найти n.
в) Известно,что $q=-2, b_{6}=96$. Найти $b_{1}$.
г) Известно,что $b_{1}=-2, b_{12}=4096$. Найти q.

Решение.
а) $b_{5}=b_{1}*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^{n-1}=6*2^{n-1}=768$.
$2^{n-1}=\frac{768}{6}=128$,так как $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_{6}=b_{1}*q^5=b_{1}*(-2)^5=-32*b_{1}=96 => b_{1}=-3$.
г) $b_{12}=b_{1}*q^{11}=-2*q^{11}=4096 => q^{11}=-2048 => q=-2$.

Пример. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равны 192, сумма пятого и шестого члена прогрессии равна 192. Найти десятый член этой прогрессии.

Решение.
Нам известно, что: $b_{7}-b_{5}=192$ и $b_{5}+b_{6}=192$.
Мы так же знаем: $b_{5}=b_{1}*q^4$; $b_{6}=b_{1}*q^5$; $b_{7}=b_{1}*q^6$.
Тогда:
$b_{1}*q^6-b_{1}*q^4=192$.
$b_{1}*q^4+b_{1}*q^5=192$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases}b_{1}*q^4(q^2-1)=192\\b_{1}*q^4(1+q)=192\end{cases}$.
Приравняв, наши уравнения получим:
$b_{1}*q^4(q^2-1)=b_{1}*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Получили два решения q: $q_{1}=2, q_{2}=-1$.
Последовательно подставим во второе уравнение:
$b_{1}*2^4*3=192 => b_{1}=4$.
$b_{1}*(-1)^4*0=192 =>$ нет решений.
Получили что: $b_{1}=4, q=2$.
Найдем десятый член: $b_{10}=b_{1}*q^9=4*2^9=2048$.

Сумма конечной геометрической прогрессии

Пусть у нас есть конечная геометрическая прогрессия. Давайте, также как и для арифметической прогрессии, посчитаем сумму ее членов.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия: $b_{1},b_{2},…,b_{n-1},b_{n}$.
Введем обозначение суммы ее членов: $S_{n}=b_{1}+b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n}$.
В случае, когда $q=1$. Все члены геометрической прогрессии равны первому члену, тогда очевидно, что $S_{n}=n*b_{1}$.
Рассмотрим теперь случай $q≠1$.
Умножим указанную выше сумму на q.
$S_{n}*q=(b_{1}+b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})*q=b_{1}*q+b_{2}*q+⋯+b_{n-1}*q+b_{n}*q=b_{2}+b_{3}+⋯+b_{n}+b_{n}*q$.
Заметим:
$S_{n}=b_{1}+(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})$.
$S_{n}*q=(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})+b_{n}*q$.

$S_{n}*q-S_{n}=(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})+b_{n}*q-b_{1}-(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})=b_{n}*q-b_{1}$.

$S_{n}(q-1)=b_{n}*q-b_{1}$.

$S_{n}=\frac{b_{n}*q-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}*q^{n-1}*q-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.

$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.

Мы получили формулу суммы конечной геометрической прогрессии.

Пример.
Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 4, а знаменатель 3.

Решение.
$S_{7}=\frac{4*(3^{7}-1)}{3-1}=2*(3^{7}-1)=4372$.

Пример.
Найти пятый член геометрической прогрессии, о которой известно: $b_{1}=-3$; $b_{n}=-3072$; $S_{n}=-4095$.

Решение.
$b_{n}=(-3)*q^{n-1}=-3072$.
$q^{n-1}=1024$.
$q^{n}=1024q$.

$S_{n}=\frac{-3*(q^{n}-1)}{q-1}=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^{n}-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Ребята, дана геометрическая прогрессия. Давайте рассмотрим три последовательных её члена: $b_{n-1},b_{n},b_{n+1}$.
Мы знаем что:
$\frac{b_{n}}{q}=b_{n-1}$.
$b_{n}*q=b_{n+1}$.
Тогда:
$\frac{b_{n}}{q}*b_{n}*q=b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
$b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов, кроме первого и последнего.
Если заранее неизвестно, какой вид у последовательности, но известно что: $b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
Тогда можно смело говорить, что это геометрическая прогрессия.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией, только когда квадрат каждого её члена равен произведению двух соседних с ним членов прогрессии. Не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена.

Давайте посмотрим вот на это тождество: $\sqrt{b_{n}^{2}}=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$.
$|b_{n}|=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$.
$\sqrt{a*b}$ называется средним геометрическим чисел a и b.

Модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

Пример.
Найти такие х, что бы $х+2; 2x+2; 3x+3$ являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение.
Воспользуемся характеристическим свойством:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_{1}=2$ и $x_{2}=-1$.
Подставим последовательно в исходные выражение, наши решения:
При $x=2$, получили последовательность: 4;6;9 – геометрическая прогрессия, у которой $q=1,5$.
При $х=-1$, получили последовательность: 1;0;0.
Ответ: $х=2.$

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите восьмой первый член геометрической прогрессии 16;-8;4;-2… .
2. Найдите десятый член геометрической прогрессии 11,22,44… .
3. Известно, что $b_{1}=5, q=3$. Найти $b_{7}$.
4. Известно, что $b_{1}=8, q=-2, b_{n}=512$. Найти n.
5. Найдите сумму первых 11 членов геометрической прогрессии 3;12;48… .
6. Найти такие х, что $3х+4; 2x+4; x+5$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Пример геометрической прогрессии : 2, 6, 18, 54, 162.

Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:

2 · 3 = 6

6 · 3 = 18

18 · 3 = 54

54 · 3 = 162 .

В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.

Пример :

Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем чевертый член и возведем его в квадрат:
54 2 = 2916.

Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:

18 · 162 = 2916.

Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.

Пример 1 : Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.

Дано:
b 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
b 4 - ?

Решение .

Применяем формулу b n = b 1 · q n - 1 , вставляя в нее соответствующие значения:
b 4 = 2 · 1,5 4 - 1 = 2 · 1,5 3 = 2 · 3,375 = 6,75.

Ответ : Четвертый член заданной геометрической прогрессии - число 6,75.

Пример 2 : Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.

Дано:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Решение .

1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b 3:

b 3 = b 1 · q 3 - 1 = b 1 · q 2

Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q = √16 = 4 или -4.

2) Осталось найти значение b 5 .
Если q = 4, то

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 · 4 4 = 12 · 256 = 3072.

При q = -4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.

Ответ : Пятый член заданной геометрической прогрессии - это число 3072.

Пример : Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (b n ), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.

Дано:

b 1 = 2

q = 3

n = 5
————
S 5 - ?

Решение .

Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 · (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Ответ : Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое - только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.

Число с номером называетмя -ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

В нашем случае:

Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде – геометрической прогрессии .

Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на. Ещё через год уже эта сумма увеличится на, т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на и так далее. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов – процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил человек, те в свою очередь заразили еще по человека, и таким образом вторая волна заражения – человек, а те в свою очередь, заразили еще … и так далее…

Кстати, финансовая пирамида, та же МММ – это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.

Геометрическая прогрессия.

Допустим, у нас есть числовая последовательность:

Ты сразу же ответишь, что это легко и имя такой последовательности - с разностью ее членов. А как на счет такого:

Если ты будешь вычитать из последующего числа предыдущее, то ты увидишь, что каждый раз получается новая разница (и т.д.), но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в раз больше предыдущего!

Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается.

Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число . Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Ограничения, что первый член { } не равен и не случайны. Допустим, что их нет, и первый член все же равен, а q равно, хм.. пусть, тогда получается:

Согласись, что это уже никакая не прогрессия.

Как ты понимаешь, те же самые результаты мы получим, если будет каким-либо числом, отличным от нуля, а. В этих случаях прогрессии просто не будет, так как весь числовой ряд будут либо все нули, либо одно число, а все остальные нули.

Теперь поговорим поподробнее о знаменателе геометрической прогрессии, то есть о.

Повторим: – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.

Как ты думаешь, каким может быть? Правильно, положительным и отрицательным, но не нулем (мы говорили об этом чуть выше).

Допустим, что у нас положительное. Пусть в нашем случае, а. Чему равен второй член и? Ты без труда ответишь, что:

Все верно. Соответственно, если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны .

А что если отрицательное? Например, а. Чему равен второй член и?

Это уже совсем другая история

Попробуй посчитать член данной прогрессии. Сколько у тебя получилось? У меня. Таким образом, если, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются. То есть, если ты увидишь прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на отрицательный. Это знание может помочь тебе проверять себя при решении задач на эту тему.

Теперь немного потренируемся: попробуй определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:

Разобрался? Сравним наши ответы:

• Геометрическая прогрессия – 3, 6.
• Арифметическая прогрессия – 2, 4.
• Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями - 1, 5, 7.

Вернемся к нашей последней прогрессии, а и попробуем так же как и в арифметической найти ее член. Как ты уже догадываешься, есть два способа его нахождения.

Последовательно умножаем каждый член на.

Итак, -ой член описанной геометрической прогрессии равен.

Как ты уже догадываешься, сейчас ты сам выведешь формулу, которая поможет найти тебе любой член геометрической прогрессии. Или ты ее уже вывел для себя, расписывая, как поэтапно находить -ой член? Если так, то проверь правильность твоих рассуждений.

Проиллюстрируем это на примере нахождения -го члена данной прогрессии:

Иными словами:

Найди самостоятельно значение члена заданной геометрической прогрессии.

Получилось? Сравним наши ответы:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно умножали на каждый предыдущий член геометрической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

Выведенная формула верна для всех значений - как положительных, так и отрицательных. Проверь это самостоятельно, рассчитав и члены геометрической прогрессии со следующими условиями: , а.

Посчитал? Сравним полученные результаты:

Согласись, что находить член прогрессии можно было бы так же как и член, однако, есть вероятность неправильно посчитать. А если мы нашли уже -ый член геометрической прогрессии, а, то что может быть проще, чем воспользоваться «обрезанной» частью формулы.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Совсем недавно мы говорили о том, что может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей .

Как ты думаешь, почему такое название?
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из членов.
Допустим, а, тогда:

Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в раза, но будет ли какое-либо число? Ты сразу же ответишь – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, убывает, а нулем никогда не становится.

Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула приобретает следующий вид:

На графиках нам привычно строить зависимость от, поэтому:

Суть выражения не изменилась: в первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера, а во второй записи – мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за, а порядковый номер обозначили не как, а как. Все, что осталось сделать – построить график.
Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:

Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата и:

Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при, если первый ее член также равен. Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?

Справился? Вот какой график получился у меня:

Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее член, а также знаешь, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, перейдем к ее основному свойству.

Свойство геометрической прогрессии.

Помнишь свойство членов арифметической прогрессии? Да, да, как найти значение определенного числа прогрессии, когда есть предыдущее и последующее значения членов данной прогрессии. Вспомнил? Вот это:

Теперь перед нами стоит точно такой же вопрос для членов геометрической прогрессии. Чтобы вывести подобную формулу, давай начнем рисовать и рассуждать. Вот увидишь, это очень легко, и если ты забудешь, то сможешь вывести ее самостоятельно.

Возьмем еще одну простую геометрическую прогрессию, в которой нам известны и. Как найти? При арифметической прогрессии это легко и просто, а как здесь? На самом деле в геометрической тоже нет ничего сложного - необходимо просто расписать по формуле каждое данное нам значение.

Ты спросишь, и что теперь нам с этим делать? Да очень просто. Для начала изобразим данные формулы на рисунке, и попытаемся сделать с ними различные манипуляции, чтобы прийти к значению.

Абстрагируемся от чисел, которые у нас даны, сосредоточимся только на их выражении через формулу. Нам необходимо найти значение, выделенное оранжевым цветом, зная соседствующие с ним члены. Попробуем произвести с ними различные действия, в результате которых мы сможем получить.

Сложение.
Попробуем сложить два выражения и, мы получим:

Из данного выражения, как ты видишь, мы никак не сможем выразить, следовательно, будем пробовать другой вариант – вычитание.

Вычитание.

Как ты видишь, из этого мы тоже не можем выразить, следовательно, попробуем умножить данные выражения друг на друга.

Умножение.

А теперь посмотри внимательно, что мы имеем, перемножая данные нам члены геометрической прогрессии в сравнении с тем, что необходимо найти:

Догадался о чем я говорю? Правильно, чтобы найти нам необходимо взять квадратный корень от перемноженных друг на друга соседствующих с искомым чисел геометрической прогрессии:

Ну вот. Ты сам вывел свойство геометрической прогрессии. Попробуй записать эту формулу в общем виде. Получилось?

Забыл условие при? Подумай, почему оно важно, например, попробуй самостоятельно просчитать, при. Что получится в этом случае? Правильно, полная глупость так как формула выглядит так:

Соответственно, не забывай это ограничение.

Теперь посчитаем, чему же равно

Правильный ответ – ! Если ты при расчете не забыл второе возможное значение, то ты большой молодец и сразу можешь переходить к тренировке, а если забыл – прочитай то, что разобрано далее и обрати внимание, почему в ответе необходимо записывать оба корня.

Нарисуем обе наши геометрические прогрессии – одну со значением, а другую со значением и проверим, имеют ли обе из них право на существование:

Для того, чтобы проверить, существует ли такая геометрическая прогрессия или нет, необходимо посмотреть, одинаковое ли между всеми ее заданными членами? Рассчитай q для первого и второго случая.

Видишь, почему мы должны писать два ответа? Потому что знак у искомого члена зависит от того, какой – положительный или отрицательный! А так как мы не знаем, какой он, нам необходимо писать оба ответа и с плюсом, и с минусом.

Теперь, когда ты усвоил основные моменты и вывел формулу на свойство геометрической прогрессии, найди, зная и

Сравни полученные ответы с правильными:

Как ты думаешь, а если нам были бы даны не соседние с искомым числом значения членов геометрической прогрессии, а равноудаленные от него. Например, нам необходимо найти, а даны и. Можем ли мы в этом случае использовать выведенную нами формулу? Попробуй точно так же подтвердить или опровергнуть эту возможность, расписывая из чего состоит каждое значение, как ты делал, выводя изначально формулу, при.
Что у тебя получилось?

Теперь опять посмотри внимательно.
и, соответственно:

Из этого мы можем сделать вывод, что формула работает не только при соседствующих с искомым членах геометрической прогрессии, но и с равноудаленными от искомого членами.

Таким образом, наша первоначальная формула приобретает вид:

То есть, если в первом случае мы говорили, что, то сейчас мы говорим, что может быть равен любому натуральному числу, которое меньше. Главное, чтобы был одинаков для обоих заданных чисел.

Потренируйся на конкретных примерах, только будь предельно внимателен!

1. , . Найти.
2. , . Найти.
3. , . Найти.

Решил? Надеюсь, ты был предельно внимателен и заметил небольшой подвох.

Сравниваем результаты.

В первых двух случаях мы спокойно применяем вышеописанную формулу и получаем следующие значения:

В третьем случае при внимательном рассмотрении порядковых номеров данных нам чисел, мы понимаем, что они не равноудалены от искомого нами числа: является предыдущим числом, а удалена на позиции, таким образом применить формулу не предоставляется возможным.

Как же ее решать? На самом деле это не так сложно, как кажется! Давай с тобой распишем, из чего состоит каждое данное нам и искомое числа.

Итак, у нас есть и. Посмотрим, что с ними можно сделать? Предлагаю разделить на. Получаем:

Подставляем в формулу наши данные:

Следующим шагом мы можем найти – для этого нам необходимо взять кубический корень из полученного числа.

А теперь смотрим еще раз что у нас есть. У нас есть, а найти нам необходимо, а он, в свою очередь равен:

Все необходимые данные для подсчета мы нашли. Подставляем в формулу:

Наш ответ: .

Попробуй решить еще одну такую же задачу самостоятельно:
Дано: ,
Найти:

Сколько у тебя получилось? У меня - .

Как ты видишь, по сути, тебе необходимо запомнить лишь одну формулу - . Все остальные ты без какого-либо труда можешь вывести самостоятельно в любой момент. Для этого просто напиши на листочке самую простую геометрическую прогрессию и распиши, чему согласно вышеописанной формуле равно каждое ее число.

Сумма членов геометрической прогрессии.

Теперь рассмотрим формулы, которые позволяют нам быстро посчитать сумму членов геометрической прогрессии в заданном промежутке:

Чтобы вывести формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии, умножим все части вышестоящего уравнения на. Получим:

Посмотри внимательно: что общего в последних двух формулах? Правильно, общие члены, например и так далее, кроме первого и последнего члена. Давай попробуем вычесть из 2-го уравнения 1-ое. Что у тебя получилось?

Теперь вырази через формулу члена геометрической прогрессии и подставь полученное выражение в нашу последнюю формулу:

Сгруппируй выражение. У тебя должно получиться:

Все, что осталось сделать – выразить:

Соответственно, в этом случае.

А что если? Какая формула работает тогда? Представь себе геометрическую прогрессию при. Что она из себя представляет? Правильно ряд одинаковых чисел, соответственно формула будет выглядеть следующим образом:

Как и по арифметической, так и по геометрической прогрессии существует множество легенд. Одна из них – легенда о Сете, создателе шахмат.

Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски пшеничное зерно, за вторую пшеничных зерна, за третью, за четвертую и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать. Так как по условию за первую клетку шахматной доски Сета попросил пшеничное зерно, за вторую, за третью, за четвертую и т.д., то мы видим, что в задаче речь идет о геометрической прогрессии. Чему равно в этом случае?
Правильно.

Всего клеток шахматной доски. Соответственно, . Все данные у нас есть, осталось только подставить в формулу и посчитать.

Чтобы представить хотя бы приблизительно «масштабы» данного числа, преобразуем, используя свойства степени:

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет.
То есть:

квинтильонов квадрильонов триллиона миллиарда миллионов тысяч.

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.
При высоте амбара м и ширине м длина его должна была бы простираться на км, - т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.
Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе человек. Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?

Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть человек. -ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода. Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А. Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:

Подставим наши данные в формулу суммы членов геометрической прогрессии:

Весь класс заболеет за дней. Не веришь формулам и числам? Попробуй изобразить «заражение» учеников самостоятельно. Получилось? Смотри, как это выглядит у меня:

Посчитай самостоятельно, за сколько дней ученики заболели бы гриппом, если каждый заражал бы по человека, а в классе училось человек.

Какое значение у тебя получилось? У меня получилось, что все начали болеть спустя дня.

Как ты видишь, подобная задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако, рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь. В нашем случае, если представить, что класс изолирован, человек из замыкают цепочку (). Таким образом, если бы человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если ты приведешь двух других участников, то человек (или в общем случае) не привели бы никого, соответственно, потеряли бы все, что вложили в эту финансовую аферу.

Все, что было сказано выше, относится к убывающей или возрастающей геометрической прогрессии, но, как ты помнишь, у нас есть особый вид – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Как же считать сумму ее членов? И почему у данного вида прогрессии есть определенные особенности? Давай разбираться вместе.

Итак, для начала посмотрим еще раз на вот этот рисунок бесконечно убывающей геометрической прогрессии из нашего примера:

А теперь посмотрим на формулу суммы геометрической прогрессии, выведенную чуть ранее:
или

К чему у нас стремится? Правильно, на графике видно, что оно стремится к нулю. То есть при, будет почти равно, соответственно, при вычислении выражения мы получим почти. В связи с этим, мы считаем, что при подсчете суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной скобкой можно пренебречь, так как она будет равна.

- формула сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.

Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой суммы n членов, даже если или.

А теперь потренируемся.

1. Найди сумму первых членов геометрической прогрессии с и.
2. Найди сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с и.

Надеюсь, ты был предельно внимателен. Сравним наши ответы:

Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все, и настала пора переходить от теории к практике. Самые распространенные задачи на геометрическую прогрессию, встречающиеся на экзамене – это задачи на вычисление сложных процентов. Именно о них и пойдет речь.

Задачи на вычисление сложных процентов.

Ты наверняка слышал о так называемой формуле сложных процентов. Понимаешь ли ты, что она значит? Если нет, давай разбираться, так как осознав сам процесс, ты сразу поймешь, причем здесь геометрическая прогрессия.

Все мы ходим в банк и знаем, что существуют разные условия по вкладам: это и срок, и дополнительное обслуживание, и процент с двумя различными способами его начисления – простым и сложным.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада. То есть, если мы говорим о том, что мы кладем 100 рублей на год под, то зачислятся только в конце года. Соответственно, к окончанию вклада мы получим рублей.

Сложные проценты - это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

Допустим, что мы кладем все те же рублей по годовых, но с ежемесячной капитализацией вклада. Что у нас получается?

Все ли тебе здесь понятно? Если нет, давай разбираться поэтапно.

Мы принесли в банк рублей. К концу месяца у нас на счете должна появиться сумма, состоящая из наших рублей плюс процентов по ним, то есть:

Согласен?

Мы можем вынести за скобку и тогда мы получим:

Согласись, эта формула уже больше похожа на написанную нами в начале. Осталось разобраться с процентами

В условии задачи нам сказано про годовых. Как ты знаешь, мы не умножаем на – мы переводим проценты в десятичные дроби, то есть:

Верно? Сейчас ты спросишь, а откуда взялось число? Очень просто!
Повторюсь: в условии задачи сказано про ГОДОВЫЕ проценты, начисление которых происходит ЕЖЕМЕСЯЧНО . Как ты знаешь, в году месяцев, соответственно, банк будет начислять нам в месяц часть от годовых процентов:

Осознал? А теперь попробуй написать, как будет выглядеть эта часть формулы, если я скажу, что проценты начисляются ежедневно.
Справился? Давай сравним результаты:

Молодец! Вернемся к нашей задаче: напиши, сколько будет начислено на наш счет на второй месяц, с учетом, что проценты начисляются на накопленную сумму вклада.
Вот что получилось у меня:

Или, иными словами:

Я думаю, что ты уже заметил закономерность и увидел во всем этом геометрическую прогрессию. Напиши, чему будет равен ее член, или, иными словами, какую сумму денежных средств мы получим в конце месяца.
Сделал? Проверяем!

Как ты видишь, если ты кладешь деньги в банк на год под простой процент, то ты получишь рублей, а если под сложный – рублей. Выгода небольшая, но так происходит только в течение -го года, а вот на более длительный период капитализация намного выгодней:

Рассмотрим еще один тип задач на сложные проценты. После того, в чем ты разобрался, это будет для тебя элементарно. Итак, задача:

Компания «Звезда» начала инвестировать в отрасль в 2000 году, имея капитал долларов. Каждый год, начиная с 2001 года, она получает прибыль, которая составляет от капитала предыдущего года. Сколько прибыли получит компания «Звезда» по окончанию 2003 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Капитал компании «Звезда» в 2000 году.
- капитал компании «Звезда» в 2001 году.
- капитал компании «Звезда» в 2002 году.
- капитал компании «Звезда» в 2003 году.

Либо мы можем написать кратко:

Для нашего случая:

2000 год, 2001 год, 2002 год и 2003 год.

Соответственно:
рублей
Заметь, в данной задаче у нас нет деления ни на, ни на, так как процент дан ЕЖЕГОДНЫЙ и начисляется он ЕЖЕГОДНО. То есть, читая задачу на сложные проценты, обрати внимание, какой процент дан, и в какой период он начисляется, и только потом приступай к вычислениям.
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все.

Тренировка.

1. Найдите член геометрической прогрессии, если известно, что, а
2. Найдите сумму первых членов геометрической прогрессии, если известно, что, а
3. Компания «МДМ Капитал» начала инвестировать в отрасль в 2003 году, имея капитал долларов. Каждый год, начиная с 2004 года, она получает прибыль, которая составляет от капитала предыдущего года. Компания «МСК Денежные потоки» стала инвестировать в отрасль в 2005 году в размере 10000 долларов, начиная получать прибыль с 2006 года в размере. На сколько долларов капитал одной компании больше другой по окончанию 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответы:

1. Так как в условии задачи не сказано, что прогрессия бесконечная и требуется найти сумму конкретного числа ее членов, то расчет идет по формуле:
2. 
   Компания «МДМ Капитал»:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 года.
   - увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.
   Соответственно:
   рублей
   Компания «МСК Денежные потоки»:

   2005, 2006, 2007 года.
   - увеличивается на, то есть в раза.
   Соответственно:
   рублей
   рублей

Подведем итоги.

1) Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

2) Уравнение членов геометрической прогрессии - .

3) может принимать любые значения, кроме и.

• если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны ;
• если, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
• при – прогрессия называется бесконечно убывающей.

4) , при – свойство геометрической прогрессии (соседствующие члены)

либо
, при (равноудаленные члены)

При нахождении не стоит забывать о том, что ответа должно быть два .

Например,

5) Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
или

или

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.

6) Задачи на сложные проценты также вычисляются по формуле -го члена геометрической прогрессии, при условии, что денежные средства из оборота не изымались:

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме и.

• Если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны ;
• если, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
• при – прогрессия называется бесконечно убывающей.

Уравнение членов геометрической прогрессии - .

Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
или

Если прогрессия является бесконечно убывающей, то:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.