Функции на отрезке. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке - на концах отрезка.
Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .
Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .
Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .
Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .
Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .
Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.
Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .
Решение. Находим производную данной функции как производную частного:
.
Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .
Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.
Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :
Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции:
Приравниваем производную нулю:
Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .
В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.
Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?
Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :
Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём
.
Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться
Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.
СодержаниеСм. также: Непрерывность функции в точке - свойства и теоремы
Определения и теоремы
Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a
и b
,
соответственно.
Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.Доказательство
Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
для всех .
Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
.
Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
,
то .
Если ,
то .
Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция .
На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и ,
принадлежащие ,
значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: ,
а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.
Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани.
Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.Доказательство
Эта теорема означает, что существуют такие точки и ,
принадлежащие отрезку :
,
значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням:
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку ,
то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .
Вторая теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой.
непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума
функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x) Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума
функции `f`. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 5.1 (Ферма)
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^"(a)=0`. Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна. Замечание. Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими
.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие. Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой. Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`. 1) Функция `y=f(x)` возрастает
2) Функция `y=f(x)` убывает
на `I`, если для любых `x,yinI`, `x Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна
на промежутке `I`. Условия монотонности
. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. Условия экстремума
. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`. Пример 5.1 Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения. Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^"=3(x^2-1)`. Так как `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и ``. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^"=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет. Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной - задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Пример 5.2 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) ``. а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. б) Так как на луче ``, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Замечание Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение. Пример 5.3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`. Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице: `y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
Определение
. Если функция f
(x
) определена на отрезке [a, b
], непрерывна в каждой точке интервала (a, b
), в точке a
непрерывна справа, в точке b
непрерывна слева, то говорят, что функция f
(x
) непрерывна на отрезке
[a, b
]. Другими словами, функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], если выполнены три условия: 1) "x
0 Î(a, b
): f
(x
) = f
(x
0); 2) f
(x
) = f
(a
); 3) f
(x
) = f
(b
). Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств. Теорема 1
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения. Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b
] найдется такая точка x
1 , что f
(x
1) £ f
(x
) для любых x
из [a, b
] и что найдется точка x
2 (x
2 Î[a, b
]) такая, что "x
Î[a, b
] (f
(x
2) ³ f
(x
)). Значение f
(x
1) является наибольшим для данной функции на [a, b
], а f
(x
2) – наименьшим. Обозначим: f
(x
1) = M
, f
(x
2) = m
. Так как для f
(x
) выполняется неравенство: "x
Î[a, b
] m
£ f
(x
) £ M
, то получаем следующее следствие из теоремы 1. Следствие
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 2
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a,b
] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x
0 отрезка [a, b
], в которой функция обращается в 0, т.е. $x
0 Î (a, b
) (f
(x
0) = 0). Эта теорема утверждает, что график функции y = f
(x
), непрерывной на отрезке [a, b
], пересекает ось Ox
хотя бы один раз, если значения f
(a
) и f
(b
) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f
(a
) > 0, f
(b
) < 0 и функция f
(x
) обращается в 0 в точках x
1 , x
2 , x
3 . Теорема 3
. Пусть функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], f
(a
) = A
, f
(b
) = B
и A
¹ B
. (рис. 1.17). Тогда для любого числа C
, заключенного между числами A
и B
, найдется такая внутренняя точка x
0 отрезка [a, b
], что f
(x
0) = C
. Следствие
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], m
– наименьшее значение f
(x
), M
– наибольшее значение функции f
(x
) на отрезке [a, b
], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m
, заключенное между m
и M
, а потому отрезок [m, M
] является множеством всех значений функции f
(x
) на отрезке [a, b
]. Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b
) или имеет на отрезке [a, b
] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными. В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции. Теорема 4
. Пусть f
(x
) непрерывна на промежутке X
, возрастает (или убывает) на X
и имеет множеством значений промежуток Y
. Тогда для функции y = f
(x
) существует обратная функция x
= j
(y
), определенная на промежутке Y
, непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y
с множеством значений X
. Замечание
. Пусть функция x
= j
(y
) является обратной для функции f
(x
). Так как обычно аргумент обозначают через x
, а функцию через y
, то запишем обратную функцию в виде y =
j
(x
). Пример 1
. Функция y = x
2 (рис. 1.8, а) на множестве X
= }
Напомним, что под промежутком понимается отрезок либо интервал, либо полуинтервал конечный или бесконечный.
Похожие статьи
-
Карта сознания дэвида хокинса Результаты исследований Хокинса
Дэвид Хокинс Путь просветления: 365 ежедневных размышлений Какое суждение лучше всего выражает жизнь, целиком посвященную духовному совершенствованию?Gloria in Excelsis Deo! «Слава в Вышних Богу!» КАЖДЫЙ ШАГ НА ПУТИ К ПРОСВЕТЛЕНИЮ не...
-
Грядет зачистка нелояльных блогеров
В среду утром популярный сервис интернет-дневников "Живой журнал" вновь . Представители управляющей компании ресурса SUP отказались комментировать ситуацию, сказав только, что речь, возможно, идет о последствиях кибератак. В данный момент...
-
Американский проект по созданию атомной бомбы назывался
75 лет назад немецкие ученые О. Ган и Ф. Штрассман сделали сенсационное открытие - расщепили ядро урана-235 с помощью нейтрона. Знаменитый Эрнест Резерфорд, названный «отцом» ядерной физики, не верил в возможность получения атомной...
-
Какие русские народные сказки бытовые
1 - Про малютку-автобус, который боялся темноты Дональд Биссет Сказка о том, как мама-автобус научила своего малютку-автобуса не бояться темноты… Про малютку-автобус, который боялся темноты читать Жил-был на свете малютка-автобус. Он был...
-
Освобождение вены Рассекреченные списки бойцов 2 украинского фронта
Образован на юго-западном направлении советско-германского фронта 20 октября 1943 г. на основании приказа Ставки ВГК № 30227 от 16.10.1943 г. путем переименования Степного фронта . В его состав были включены 4-я , 5-я и 7-я гвардейские,...
-
Черноморский флот российской федерации
Posted By сайт on 15.08.2012 Черноморский флот – корабли черноморского флота Севастополя фотографии И не осмотреть с воды Черноморский флот России и Украины было бы не правильно. Хотя бы его небольшую часть. Да и плюс к этому — если вы...