Рівняння гармонійних коливань періоду. Рівняння гармонійних коливань. Якою літерою позначають період коливань

Коливанняминазиваються рухи або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процеси широко поширені в природі і техніці, наприклад хитання маятника годинника, змінний електричний струм і т. д. При коливальному русі маятника змінюється координата його центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга і струм в ланцюзі. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють коливання механічні, електро-магнітні та ін. Проте різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходудо вивчення коливань різної фізичної природи.

Коливання називаються вільними, якщо вони здійснюються тільки під впливом внутрішніх сил, що діють між елементами системи, після того, як система виведена із положення рівноваги зовнішніми силами та надана сама собі. Вільні коливання завжди загасаючі коливання , Бо реальних системах неминучі втрати енергії. В ідеалізованому випадку системи без втрат енергії вільні коливання (тривалі як завгодно довго) називаються власними.

Найпростішим типом вільних незагасних коливань є гармонічні коливання -коливання, у яких коливающаяся величина змінюється з часом за законом синуса (косинусу). Коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто мають характер, близький до гармонійного.

Гармонічні коливання описуються рівнянням, яке називається рівнянням гармонійних коливань:

де А- амплітуда коливань, максимальне значення коливається величини х; - Кругова (циклічна) частота власних коливань; - Початкова фаза коливання в момент часу t= 0; - фаза коливання у момент часу t.Фаза коливання визначає значення коливається величини в даний момент часу. Оскільки косинус змінюється не більше від +1 до -1, то хможе набувати значень від + Aдо - А.

Час T, за яке система здійснює одне повне коливання, називається періодом коливань. За час Тфаза коливання отримує приріст 2 π , тобто.

Звідки. (14.2)

Величина , обернена до періоду коливань

т. е. число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу, називається частотою коливань. Порівнюючи (14.2) та (14.3) отримаємо

Одиниця частоти - герц (Гц): 1 Гц - частота, при якій за 1с відбувається одне повне коливання.

Системи, у яких можуть відбуватися вільні коливання, називаються осциляторами . Якими ж властивостями повинна мати система, щоб у ній могли виникнути вільні коливання? Механічна система повинна мати становище стійкої рівновагипри виході з якого з'являється повертаюча сила, спрямована до положення рівноваги. Цьому положенню відповідають, як відомо, мінімум потенційної енергії системи. Розглянемо кілька коливальних систем, що задовольняють перерахованим властивостям.

Змінюється у часі за синусоїдальним законом:

де х- Значення коливається в момент часу t, А- Амплітуда, ω - Кругова частота, φ - Початкова фаза коливань, ( φt + φ ) - повна фаза коливань. При цьому величини А, ω і φ - Постійні.

Для механічних коливань величиною, що коливається. хє, зокрема, зсув і швидкість, для електричних коливань - напруга та сила струму.

Гармонічні коливання займають особливе місце серед усіх видів коливань, тому що це єдиний тип коливань, форма яких не спотворюється при проходженні через будь-яке однорідне середовище, тобто хвилі, що розповсюджуються від джерела гармонійних коливань, також будуть гармонійними. Будь-яке негармонійне коливання може бути представлене у вигляді сум (інтеграла) різних гармонійних коливань (у вигляді спектра гармонійних коливань).

Перетворення енергії за гармонійних коливань.

У процесі коливань відбувається перехід потенційної енергії W pу кінетичну W kі навпаки. У положенні максимального відхилення положення рівноваги потенційна енергія максимальна, кінетична дорівнює нулю. У міру повернення до положення рівноваги швидкість тіла, що коливається, зростає, а разом з нею зростає і кінетична енергія, досягаючи максимуму в положенні рівноваги. Потенційна енергія у своїй падає до нуля. Подальший рух відбувається зі зменшенням швидкості, що падає до нуля, коли відхилення досягає свого другого максимуму. Потенційна енергія тут збільшується до свого початкового (максимального) значення (за відсутності тертя). Таким чином, коливання кінетичної та потенційної енергій відбуваються з подвоєною (порівняно з коливаннями самого маятника) частотою і знаходяться у протифазі (тобто між ними існує зсув фаз, рівний π ). Повна енергія коливань Wзалишається незмінною. Для тіла, що коливається під дією сили пружності, вона дорівнює:

де v m- максимальна швидкість тіла (у положенні рівноваги), х m = А- Амплітуда.

Через наявність тертя та опору середовища вільні коливання згасають: їхня енергія та амплітуда з часом зменшуються. Тому на практиці найчастіше використовують не вільні, а вимушені коливання.

Ми розглянули кілька фізично абсолютно різних систем, і переконалися, що рівняння руху наводяться до однієї форми.

Відмінності між фізичними системами виявляються лише у різному визначенні величини і в різному фізичному сенсі змінної x: це може бути координата, кут, заряд, струм і т. д. Зазначимо, що при цьому, як випливає із самої структури рівняння (1.18), величина завжди має розмірність зворотного часу.

Рівняння (1.18) описує так звані гармонійні коливання.

Рівняння гармонічних коливань (1.18) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку (оскільки воно містить другу похідну від змінної) x). Лінійність рівняння означає, що

якщо якась функція x(t)є рішенням цього рівняння, то функція Cx(t)також буде його вирішенням ( C- Довільна постійна);

якщо функції x 1 (t)і x 2 (t)є рішеннями цього рівняння, їх сума x 1 (t) + x 2 (t)також буде вирішенням того ж рівняння.

Доведено також математичну теорему, згідно з якою рівняння другого порядку має два незалежні рішення. Всі інші рішення, згідно з властивостями лінійності, можуть бути отримані як їх лінійні комбінації. Безпосереднім диференціюванням легко перевірити, що незалежні функції задовольняють рівнянню (1.18). Отже, загальне рішення цього рівняння має вигляд:

де C 1 ,C 2- Довільні постійні. Це рішення може бути подане і в іншому вигляді. Введемо величину

і визначимо кут співвідношеннями:

Тоді загальне рішення (1.19) записується як

Згідно з формулами тригонометрії, вираз у дужках дорівнює

Остаточно приходимо до загальному рішенню рівняння гармонічних коливаньу вигляді:

Невід'ємна величина Aназивається амплітудою коливання, - початковою фазою коливання. Весь аргумент косинуса – комбінація – називається фазою коливання.

Вирази (1.19) і (1.23) абсолютно еквівалентні, так що ми можемо користуватися будь-яким з них, виходячи з міркувань простоти. Обидва рішення є періодичними функціями часу. Справді, синус та косинус періодичні з періодом . Тому різні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу t*, за який фаза коливання отримує приріст, кратне :

Звідси слідує що

Найменша з цих часів

називається періодом коливань (Рис. 1.8), а - його круговий (циклічний) частотою.

Рис. 1.8.

Використовують також частоту вагань

Відповідно, кругова частота дорівнює числу коливань за секунд.

Отже, якщо система в момент часу tхарактеризується значенням змінної x(t),те, те саме значення, змінна матиме через проміжок часу (рис.1.9), тобто

Це значення, природно, повториться через час 2T, ЗTі т.д.

Рис. 1.9. Період коливань

До загального рішення входять дві довільні постійні ( C 1 , C 2або A, a), значення яких повинні визначатися двома початковими умовами. Зазвичай (хоч і не обов'язково) їхню роль відіграють початкові значення змінної x(0)та її похідної.

Наведемо приклад. Нехай розв'язання (1.19) рівняння гармонійних коливань визначає рух пружинного маятника. Значення довільних постійних залежить від способу, яким ми вивели маятник зі стану рівноваги. Наприклад, ми відтягли пружину на відстань і відпустили кульку без початкової швидкості. В цьому випадку

Підставляючи t = 0в (1.19), знаходимо значення постійної З 2

Рішення, таким чином, має вигляд:

Швидкість вантажу знаходимо диференціюванням за часом

Підставляючи сюди t = 0, знаходимо постійну З 1:

Остаточно

Порівнюючи з (1.23), знаходимо, що - це амплітуда коливань, яке початкова фаза дорівнює нулю: .

Виведемо тепер маятник із рівноваги іншим способом. Вдаримо по вантажу, так що він набуде початкової швидкості, але практично не зміститься за час удару. Маємо тоді інші початкові умови:

наше рішення має вигляд

Швидкість вантажу змінюватиметься за законом:

Підставимо сюди:

Найпростішим видом коливань є гармонійні коливання- коливання, у яких зміщення коливається точки від положення рівноваги змінюється із часом за законом синуса чи косинуса.

Так, при рівномірному обертанні кульки по колу його проекція (тінь у паралельних променях світла) здійснює на вертикальному екрані (рис. 1) гармонійний коливальний рух.

Усунення положення рівноваги при гармонійних коливаннях описується рівнянням (його називають кінематичним законом гармонійного руху) виду:

де х - змішання - величина, що характеризує положення коливається точки в момент часу t щодо положення рівноваги та вимірюється відстанню від положення рівноваги до положення точки в заданий момент часу; А - амплітуда коливань - максимальне усунення тіла з положення рівноваги; Т – період коливань – час скоєння одного повного коливання; тобто. найменший проміжок часу, після якого повторюються значення фізичних величин, що характеризують коливання; - Початкова фаза;

Фаза коливання на момент часу t. Фаза коливань - це аргумент періодичної функції, який за заданої амплітуді коливань визначає стан коливальної системи (зміщення, швидкість, прискорення) тіла у час.

Якщо в початковий момент часу точка, що коливається, максимально зміщена від положення рівноваги, то , а зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Якщо точка, що коливається при перебуває в положенні стійкої рівноваги, то зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Величину V, зворотну періоду та рівну числу повних коливань, що здійснюються за 1 с, називають частотою коливань:

Якщо за час t тіло здійснює N повних коливань, то

Величину , що показує, скільки коливань здійснює тіло за с, циклічною (круговою) частотою.

Кінематичний закон гармонійного руху можна записати у вигляді:

Графічно залежність зміщення точки, що коливається, від часу зображується косінусоїдою (або синусоїдою).

На малюнку 2, а представлений графік залежності від часу зміщення точки, що коливається від положення рівноваги для випадку .

З'ясуємо, як змінюється швидкість точки, що коливається, з часом. Для цього знайдемо похідну часу від цього виразу:

де - Амплітуда проекції швидкості на вісь х.

Ця формула показує, що при гармонійних коливаннях проекція швидкості тіла на вісь х змінюється теж за гармонічним законом з тією ж частотою, з іншою амплітудою і випереджає по фазі змішування (рис. 2, б).

Для з'ясування залежності прискорення знайдемо похідну часу від проекції швидкості:

де - Амплітуда проекції прискорення на вісь х.

При гармонійних коливаннях проекція прискорення випереджає зміщення по фазі на (рис. 2, в).

Гармонійне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

де х - значення величини, що змінюється, t - час, інші параметри - постійні: А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

(Будь-яке нетривіальне розв'язання цього диференціального рівняння – є гармонійне коливання з циклічною частотою)

Види коливань

Вільні коливання відбуваються під впливом внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги. Щоб вільні коливання були гармонійними, необхідно, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), і в ній була відсутня диссипація енергії (остання викликала б згасання).

Вимушені коливання відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Щоб вони були гармонійними, достатньо, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), а зовнішня сила сама змінювалася згодом як гармонійне коливання (тобто щоб залежність від часу цієї сили була синусоїдальною).

Рівняння гармонійних коливань

Рівняння (1)

дає залежність коливається величини S від часу t; це і є рівняння вільних гармонійних коливань у явному вигляді. Проте зазвичай під рівнянням коливань розуміють інший запис цього рівняння, у диференціальній формі. Візьмемо для певності рівняння (1) як

двічі продиференціюємо його за часом:

Видно, що виконується таке співвідношення:

яке і називається рівнянням вільних гармонійних коливань (у диференціальній формі). Рівняння (1) є розв'язком диференціального рівняння (2). Оскільки рівняння (2) - диференціальне рівняння другого порядку, необхідні дві початкові умови для отримання повного рішення (тобто визначення констант A і  , що входять до рівняння (1)); наприклад, положення та швидкість коливальної системи при t = 0.

Математичний маятник - осцилятор, що є механічною системою, що складається з матеріальної точки, що знаходиться на невагомій нерозтяжній нитці або на невагомому стрижні в однорідному полі сил тяжіння. Період малих власних коливань математичного маятника довжини l нерухомо підвішеного в однорідному полі тяжкості із прискоренням вільного падіння g дорівнює

і не залежить від амплітуди та маси маятника.

Фізичний маятник - осцилятор, що є твердим тілом, що здійснює коливання в полі будь-яких сил щодо точки, що не є центром мас цього тіла, або нерухомої осі, перпендикулярної напрямку дії сил і не проходить через центр мас цього тіла.