Площа паралелограма, побудованого на векторах, дорівнює добутку довжин цих векторів на кут кута, що лежить між ними.

Добре, коли за умовами дані довжини цих векторів. Однак буває і так, що застосувати формулу площі паралелограма, побудованого на векторах, можна тільки після розрахунків за координатами.
Якщо пощастило, і за умовами дано довжини векторів, потрібно просто застосувати формулу, яку ми вже детально розбирали в статті . Площа дорівнюватиме добутку модулів на синус кута між ними:

Розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма, побудованого на векторах.

Завдання:паралелограм побудований на векторах та . Знайдіть площу, якщо , а кут між ними 30°.
Виразимо вектора через їх значення:

Можливо, у вас виникло питання – звідки взялися нулі? Варто згадати, що ми працюємо з векторами, а для них . також зверніть увагу, що якщо в результаті ми отримуємо вираз, то воно буде перетворено на. Тепер проводимо підсумкові обчислення:

Повернемося до проблеми, коли довжина векторів не вказана в умовах. Якщо ваш паралелограм лежить у декартовій системі координат, то потрібно зробити таке.

Розрахунок довжин сторін фігури, заданої координатами

Для початку знаходимо координати векторів та віднімаємо від координат кінця відповідні координати початку. Допустимо координати вектора a (x1; y1; z1), а вектора b (x3; y3; z3).
Тепер знаходимо довжину кожного вектора. Для цього кожну координату необхідно звести в квадрат, потім скласти отримані результати та з кінцевого числа витягти корінь. За нашими векторами будуть наступні розрахунки:


Тепер потрібно знайти скалярний твір наших векторів. Для цього їх відповідні координати множаться та складаються.

Маючи довжини векторів та їх скалярний твір, ми можемо знайти косинус кута, що лежить між ними .
Тепер можемо знайти синус цього ж кута:
Тепер у нас є всі необхідні величини, і ми можемо запросто знайти площу паралелограма, побудованого на векторах за вже відомою формулою.

Площа паралелограма, побудованого на векторахобчислюється як добуток довжин цих векторів на синус кута між ними. Якщо відомі лише координати векторів, для обчислення потрібно застосовувати координатні методи, зокрема і визначення кута між векторами.

Вам знадобиться

• - Поняття вектора;
• - властивості векторів;
• - Декартові координати;
• - Тригонометричні функції.

Інструкція

• У тому випадку, якщо відомі довжини векторів та кут між ними, то для того, щоб знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, знайдіть добуток їх модулів (довжин векторів), на синус кута між ними S=│a│ │ b│ sin(α).
• Якщо вектори задані в декартовій системі координат, то для того, щоб знайти площу паралелограма, побудованого на них, виконайте такі дії:
• Знайдіть координати векторів, якщо вони не дано відразу, відібравши від відповідних координат кінців векторів, координати з початку. Наприклад, якщо координати початкової точки вектора (1;-3;2), а кінцевої (2;-4;-5), то координати вектора будуть (2-1;-4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). Нехай координати вектора а(x1; y1; z1), вектора b (x2; y2; z2).
• Знайдіть довжини кожного вектора. Зведіть кожну з координат векторів у квадрат, знайдіть їхню суму x1²+y1²+z1². З результату вийміть корінь квадратний. Для другого вектора виконайте ту саму процедуру. Таким чином, вийде │a│і│b│.
• Знайдіть скалярний добуток векторів. Для цього перемножте їх відповідні координати та складіть твори │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
• Визначте косинус кута між ними для чого скалярний добуток векторів, що вийшов у п.3 поділіть на добуток довжин векторів, які були розраховані в п. 2 (Cos(α)= │a b│/(│a│ │ b│)).
• Синус отриманого кута дорівнює кореню квадратному з різниці числа 1, і квадрата косинуса того ж кута, розрахованого в п. 4 (1-Cos²(α)).
• Розрахуйте площу паралелограма, побудованого на векторахзнайшовши добуток їх довжин, обчислений у п. 2, а результат помножте на число, що вийшло після розрахунків у п.5.
• Якщо координати векторів задані на площині, при розрахунках координата z просто відкидається. Цей розрахунок є числовим виразом векторного добутку двох векторів.

На цьому уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві змішаний твір векторів (відразу посилання, кому потрібне саме воно). Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твору векторів , Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. У цьому розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий – навряд чи складніше, ніж те саме скалярний твір , навіть типових завдань буде менше. Головне в аналітичній геометрії, як багато хто переконається чи вже переконався, НЕ ПОМИЛИТИСЯ У ВИЧИСЛЕННЯХ. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя.

Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників , щоб відновити або знов придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть ознайомлюватися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються у практичних роботах

Чим вас одразу порадувати? Коли я був маленьким, то умів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати не доведеться взагалі, оскільки ми розглядатимемо тільки просторові вектори, а плоскі вектори із двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії – векторне та змішане твір векторів визначено та працюють у тривимірному просторі. Вже простіше!

У цій операції, так само, як і в скалярному творі, беруть участь два вектори. Нехай це будуть нетлінні літери.

Сама дія позначаєтьсянаступним чином: . Існують і інші варіанти, але я звик позначати векторний твір векторів саме так, у квадратних дужках із хрестиком.

І відразу питання: якщо в скалярному творі векторів беруть участь два вектори, і тут теж множаться два вектори, тоді у чому різниця? Явна різниця, перш за все, в РЕЗУЛЬТАТІ:

Результатом скалярного твору векторів є:

Результатом векторного твору векторів є ВЕКТОР: , тобто множимо вектори і знову отримуємо вектор. Закритий клуб. Власне, звідси й назва операції. У різній навчальній літературі позначення теж можуть змінюватись, я використовуватиму букву .

Визначення векторного твору

Спочатку буде визначення з картинкою, потім коментарі.

Визначення: Векторним твором неколлінеарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається ВЕКТОР , довжинаякого чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на даних векторах; вектор ортогональний векторам, і спрямований так, що базис має праву орієнтацію:

Розбираємо визначення по кісточках, тут багато цікавого!

Отже, можна назвати такі істотні моменти:

1) Вихідні вектори, позначені червоними стрілками, за визначенням не колінеарні. Випадок колінеарних векторів доречно буде розглянути трохи пізніше.

2) Вектори взяті у строго визначеному порядку: – "а" множиться на "бе", а чи не «бе» на «а». Результатом множення векторівє Вектор, який позначений синім кольором. Якщо вектори помножити у зворотному порядку, то отримаємо рівний за довжиною та протилежний у напрямку вектор (малиновий колір). Тобто справедливо рівність .

3) Тепер познайомимося із геометричним змістом векторного твору. Це надзвичайно важливий пункт! ДОВжина синього вектора (а, отже, і малинового вектора) чисельно дорівнює ПЛОЩІ паралелограма, побудованого на векторах. На малюнку цей паралелограм заштрихований чорним кольором.

Примітка : креслення є схематичним, і, природно, номінальна довжина векторного твору не дорівнює площі паралелограма.

Згадуємо одну з геометричних формул: площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними. Тому, виходячи з вищесказаного, справедлива формула обчислення ДОВЖИНИ Векторного твору:

Підкреслюю, що у формулі йдеться про ДОВЖИНУ вектора, а не про сам вектор. Який практичний зміст? А сенс такий, що у завданнях аналітичної геометрії площу паралелограма часто знаходять через поняття векторного твору:

Отримаємо другу важливу формулу. Діагональ паралелограма (червоний пунктир) ділить його на два рівні трикутники. Отже, площа трикутника, побудованого на векторах (червоне штрихування), можна знайти за формулою:

4) Не менш важливий факт полягає в тому, що вектор ортогональний векторам, тобто . Зрозуміло, протилежно спрямований вектор (малинова стрілка) теж ортогональний вихідним векторам.

5) Вектор спрямований так, що базис має правуорієнтацію. На уроці про переході до нового базису я досить докладно розповів про орієнтації площиниі зараз ми розберемося, що таке орієнтація простору. Пояснювати буду на ваших пальцях правої руки. Подумки поєднайте вказівний палецьз вектором і середній палецьз вектором. Безіменний палець та мізинецьпритисніть до долоні. В результаті великий палець- Векторний твір дивитися вгору. Це і є правоорієнтований базис (на малюнку саме він). Тепер поміняйте вектори ( вказівний та середній пальці) місцями, в результаті великий палець розгорнеться, і векторний твір уже дивитиметься вниз. Це також правоорієнтований базис. Можливо, у вас виникло питання: а який базис має ліву орієнтацію? "Привласніть" тим же пальцям лівої рукивектори , і отримайте лівий базис і ліву орієнтацію простору (у цьому випадку великий палець розташується у напрямку нижнього вектора). Образно кажучи, ці базиси «закручують» або орієнтують простір у різні боки. І це поняття не слід вважати чимось надуманим чи абстрактним – так, наприклад, орієнтацію простору змінює звичайнісіньке дзеркало, і якщо «витягнути відбитий об'єкт із дзеркалля», то його в загальному випадку не вдасться поєднати з «оригіналом». До речі, піднесіть до дзеркала три пальці та проаналізуйте відображення;-)

…як все-таки добре, що ви тепер знаєте про право- та лівоорієнтованихбазисах, бо страшні висловлювання деяких лекторів про зміну орієнтації =)

Векторний твір колінеарних векторів

Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли колінеарні вектори. Якщо вектори колінеарні, то їх можна розташувати на одній прямій і наш паралелограм теж складається в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженогоПаралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180 градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова

Таким чином, якщо , то . Строго кажучи, саме векторний добуток дорівнює нульовому вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що він просто дорівнює нулю.

Окремий випадок – векторний твір вектора на самого себе:

За допомогою векторного твору можна перевіряти колінеарність тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.

Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрична таблиця , щоб шукати значення синусів.

Ну що ж, розпалюємо вогонь:

Приклад 1

а) Знайти довжину векторного твору векторів, якщо

б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо

Рішення: Ні, це не друкарська помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень відрізнятиметься!

а) За умовою потрібно знайти довжинувекторні (векторного твору). За відповідною формулою:

Відповідь:

Якщо питалося про довжину, то відповіді показуємо розмірність – одиниці.

б) За умовою потрібно знайти площапаралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного твору:

Відповідь:

Зверніть увагу, що у відповіді про векторний витвір не йдеться взагалі, нас запитували про площі фігуривідповідно розмірність - квадратні одиниці.

Завжди дивимося, що потрібно знайти за умовою, і, виходячи з цього, формулюємо чіткийвідповідь. Може здатися буквоїдством, але літероїдів серед викладачів вистачає, і завдання з добрими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча це не особливо натягнута причіпка - якщо відповідь некоректна, то складається враження, що людина не розуміється на простих речах і/або не вникла в суть завдання. Цей момент завжди потрібно тримати на контролі, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики та й з інших предметів теж.

Куди поділася велика літера «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити до рішення, але з метою скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і це позначення одного і того ж.

Популярний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах , якщо

Формула знаходження площі трикутника через векторний добуток дана в коментарях до визначення. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Насправді завдання справді дуже поширена, трикутниками взагалі можуть закатувати.

Для вирішення інших завдань нам знадобляться:

Властивості векторного твору векторів

Деякі властивості векторного твору ми вже розглянули, проте я їх включу до цього списку.

Для довільних векторів та довільного числа справедливі такі властивості:

1) В інших джерелах інформації цей пункт зазвичай не виділяють у властивостях, але він дуже важливий у практичному плані. Тож нехай буде.

2) - Властивість теж розібрано вище, іноді його називають антикомутативністю. Інакше кажучи, порядок векторів має значення.

3) - сполучні або асоціативнізакони векторної праці. Константи безпроблемно виносяться за межі векторного твору. Справді, чого їм робити?

4) - розподільні або дистрибутивнізакони векторної праці. З розкриттям дужок також немає проблем.

Як демонстрацію розглянемо коротенький приклад:

Приклад 3

Знайти , якщо

Рішення:За умовою знову потрібно знайти довжину векторного твору. Розпишемо нашу мініатюру:

(1) Згідно з асоціативними законами, виносимо константи за межі векторного твору.

(2) Виносимо константу межі модуля, у своїй модуль «з'їдає» знак «мінус». Довжина ж може бути негативною.

(3) Подальше зрозуміло.

Відповідь:

Настав час підкинути дров у вогонь:

Приклад 4

Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах , якщо

Рішення: Площа трикутника знайдемо за формулою . Загвоздка у тому, що вектори «це» і «де» самі представлені як сум векторів. Алгоритм тут стандартний і чимось нагадує приклади №3 та 4 уроку Скалярне твір векторів . Рішення для ясності розіб'ємо на три етапи:

1) На першому кроці висловимо векторний твір через векторний твір, по суті, виразимо вектор через вектор. Про довжини поки що ні слова!

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Використовуючи дистрибутивні закони, розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів.

(3) Використовуючи асоціативні закони, виносимо всі константи за межі векторних творів. При малому досвіді дії 2 і 3 можна виконувати одночасно.

(4) Перше та останнє доданок дорівнює нулю (нульовому вектору) завдяки приємній властивості. У другому доданку використовуємо властивість антикомутативності векторного твору:

(5) Наводимо подібні доданки.

В результаті вектор виявився через вектор, чого і потрібно досягти:

2) На другому етапі знайдемо довжину необхідного нам векторного твору. Ця дія нагадує Приклад 3:

3) Знайдемо площу шуканого трикутника:

Етапи 2-3 рішення можна було оформити і одним рядком.

Відповідь:

Розглянуте завдання досить поширене у контрольних роботах, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти , якщо

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку. Подивимося, наскільки ви були уважні щодо попередніх прикладів;-)

Векторний твір векторів у координатах

, заданих в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Формула і справді простецька: у верхній рядок визначника записуємо координатні вектори, у другий і третій рядки «укладаємо» координати векторів, причому укладаємо у строгому порядку- Спершу координати вектора "ве", потім координати вектора "дубль-ве". Якщо вектори потрібно помножити в іншому порядку, то рядки слід поміняти місцями:

Приклад 10

Перевірити, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:
а)
б)

Рішення: Перевірка заснована на одному із тверджень даного уроку: якщо вектори колінеарні, то їхній векторний добуток дорівнює нулю (нульовому вектору): .

а) Знайдемо векторний твір:

Таким чином, вектори не колінеарні.

б) Знайдемо векторний твір:

Відповідь: а) не колінеарні; б)

Ось, мабуть, і всі основні відомості про векторні твори векторів.

Цей розділ буде невеликим, оскільки завдань, де використовується змішане твір векторів, небагато. Практично все буде впиратися у визначення, геометричний зміст і кілька робочих формул.

Змішаний твір векторів – це твір трьох векторів:

Ось так вони вишикувалися паровозиком і чекають, не дочекаються, коли їх обчислять.

Спочатку знову визначення та картинка:

Визначення: Змішаним твором некомпланарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається обсяг паралелепіпеда, побудованого на даних векторах, з знаком «+», якщо базис правий, і знаком «–», якщо базис лівий.

Виконаємо малюнок. Невидимі нам лінії прокреслені пунктиром:

Занурюємося у визначення:

2) Вектори взяті у певному порядку, тобто перестановка векторів у творі, як ви здогадуєтеся, не минає без наслідків.

3) Перед тим, як прокоментувати геометричний зміст, зазначу очевидний факт: змішаний твір векторів є ЧИСЛОМ: . У навчальній літературі оформлення може бути дещо іншим, я звик позначати змішане твір через , а результат обчислень літерою «пе».

За визначенням змішаний твір – це обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах (фігура прокреслена червоними векторами та лініями чорного кольору). Тобто число дорівнює обсягу даного паралелепіпеда.

Примітка : креслення є схематичним.

4) Не заново паритися з поняттям орієнтації базису та простору. Сенс заключної частини у тому, що до обсягу може додаватися знак мінус. Простими словами, змішане твір може бути негативним: .

Безпосередньо з визначення слідує формула обчислення об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах.