Постійна фізика больцмана. Постійна больцмана

Для постійної, пов'язаної з енергією випромінювання чорного тіла, дивись Постійна Стефана-Больцмана

Значення постійної k	Розмірність
1,380 6504(24) 10 −23
8,617 343(15) 10 −5
1,3807 10 −16
Дивись також значення в різних одиницях нижче.

Постійна Больцмана (kабо k B) - фізична постійна, що визначає зв'язок між температурою речовини та енергією теплового руху частинок цієї речовини. Названа на честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, який зробив великий внесок у статистичну фізику, в якій ця постійна грає ключову роль. Її експериментальне значення в системі СІ дорівнює

У таблиці останні цифри у круглих дужках вказують стандартну похибку постійного значення. У принципі, постійна Больцмана можна отримати з визначення абсолютної температури та інших фізичних постійних. Однак точне обчислення постійної Больцмана за допомогою основних принципів надто складне і нездійсненне за сучасного рівня знань.

Експериментально постійну Больцмана можна визначити за допомогою закону теплового випромінювання Планка, що описує розподіл енергії у спектрі рівноважного випромінювання за певної температури випромінюючого тіла, а також іншими методами.

Існує зв'язок між універсальною газовою постійною та числом Авогадро, з якої випливає значення постійної Больцмана:

Розмірність постійної Больцмана така сама, як і в ентропії.

1 Історія 2 Рівняння стану ідеального газу 3 Зв'язок між температурою та енергією 3.1 Співвідношення газової термодинаміки 4 Множник Больцмана 5 Роль у статистичному визначенні ентропії 6 Роль у фізиці напівпровідників: теплова напруга 7 Застосування в інших областях 8 Постійна Больцмана у планківських одиницях 9 Постійна Больцмана теоретично нескінченної вкладеності матерії 10 Значення у різних одиницях 11 Посилання 12 Див.

Історія

У 1877 р. Больцман вперше пов'язав між собою ентропію та ймовірність, проте досить точне значення постійної kяк коефіцієнта зв'язку у формулі для ентропії виникло лише у працях М. Планка. При виведенні закону випромінювання чорного тіла Планк у 1900-1901 рр. для постійної Больцмана знайшов значення 1,346 10 −23 Дж/K, майже 2,5% менше прийнятого нині.

До 1900 співвідношення, які зараз записуються з постійною Больцмана, писалися за допомогою газової постійної R, а замість середньої енергії однією молекулу використовувалася загальна енергія речовини. Лаконічна формула виду S = k log Wна бюсті Больцмана стала такою завдяки Планку. У своїй нобелівській лекції 1920 р. Планк писав:

Ця константа часто називається постійною Больцмана, хоча, наскільки знаю, сам Больцман будь-коли вводив її - дивний стан справ, у тому, що у висловлюваннях Больцмана був про точному вимірі цієї константи.

Така ситуація може бути пояснена проведенням на той час наукових дебатів щодо з'ясування сутності атомної будови речовини. У другій половині 19 століття існували значні розбіжності щодо того, чи є атоми та молекули реальними, чи вони лише зручний спосіб опису явищ. Не було єдності і в тому, чи є "хімічні молекули", що розрізняються за їхньою атомною масою, тими самими молекулами, що і в кінетичній теорії. Далі в нобелівській лекції Планка можна знайти таке:

"Ніщо не може краще продемонструвати позитивну і прискорювану швидкість прогресу, ніж мистецтво експерименту за останні двадцять років, коли було відкрито відразу безліч методів вимірювання маси молекул практично з тією ж точністю, що і вимірювання маси якоїсь планети".

Рівняння стану ідеального газу

Для ідеального газу справедливий об'єднаний газовий закон, який зв'язує тиск P, Об `єм V, кількість речовини nв молях, газову постійну Rта абсолютну температуру T:

У цій рівності можна зробити заміну. Тоді газовий закон виражатиметься через постійну Больцмана та кількість молекул Nв обсязі газу V:

Зв'язок між температурою та енергією

В однорідному ідеальному газі, що знаходиться за абсолютної температури T, енергія, що припадає на кожну поступальну міру свободи, дорівнює, як випливає з розподілу Максвелла, kT/ 2 . За кімнатної температури (≈ 300 K) ця енергія становить Дж, або 0,013 еВ.

Співвідношення газової термодинаміки

В одноатомному ідеальному газі кожен атом має три ступені свободи, що відповідають трьом просторовим осям, що означає, що на кожен атом припадає енергія 3 kT/ 2 . Це добре узгоджується з експериментальними даними. Знаючи теплову енергію, можна обчислити середньоквадратичну швидкість атомів, яка обернено пропорційна квадратному кореню з атомної маси. Середньоквадратична швидкість за кімнатної температури змінюється від 1370 м/с для гелію до 240 м/с для ксенону.

Кінетична теорія дає формулу для середнього тиску Pідеального газу:

Враховуючи, що середня кінетична енергія прямолінійного руху дорівнює:

знаходимо рівняння стану ідеального газу:

Це співвідношення добре виконується і для молекулярних газів; однак залежність теплоємності змінюється, оскільки молекули можуть мати додаткові внутрішні ступеня свободи по відношенню до тих ступенів свободи, які пов'язані з рухом молекул у просторі. Наприклад, двоатомний газ має вже приблизно п'ять ступенів волі.

Множник Больцмана

У випадку система в рівновазі з тепловим резервуаром при температурі Tмає ймовірність pзайняти стан з енергією E, що може бути записано за допомогою відповідного експоненційного множника Больцмана:

У цьому виразі фігурує величина kTіз розмірністю енергії.

Обчислення ймовірності використовується як для розрахунків у кінетичної теорії ідеальних газів, а й у інших областях, наприклад у хімічної кінетиці у рівнянні Аррениуса.

Роль у статистичному визначенні ентропії

Основна стаття: Термодинамічна ентропія

Ентропія Sізольованої термодинамічної системи в термодинамічній рівновазі визначається через натуральний логарифм від кількості різних мікростанів W, що відповідають даному макроскопічному стану (наприклад, стану із заданою повною енергією E):

Коефіцієнт пропорційності kє постійним Больцманом. Це вираз, що визначає зв'язок між мікроскопічними та макроскопічними станами (через Wта ентропію Sвідповідно), висловлює центральну ідею статистичної механіки та є головним відкриттям Больцмана.

У класичній термодинаміці використовується вираз Клаузіуса для ентропії:

Таким чином, поява постійної Больцмана kможна розглядати як наслідок зв'язку між термодинамічним та статистичним визначенням ентропії.

Ентропію можна виразити в одиницях k, що дає таке:

У таких одиницях ентропія відповідає інформаційної ентропії.

Характерна енергія kTдорівнює кількості теплоти, необхідному для збільшення ентропії Sна один нат.

Роль у фізиці напівпровідників: теплова напруга

На відміну від інших речовин, у напівпровідниках існує сильна залежність електропровідності від температури:

де множник σ 0 досить слабо залежить від температури порівняно з експонентою, E A- Енергія активації провідності. Щільність електронів провідності також експонентно залежить від температури. Для струму через напівпровідниковий p-n-перехід замість енергії активації розглядають характерну енергію даного p-n переходу за температури Tяк характерну енергію електрона в електричному полі:

де q– , а V Tє теплова напруга, що залежить від температури.

Дане співвідношення є основою для вираження постійної Больцмана в одиницях еВК-1. При кімнатній температурі (≈ 300 K) значення теплової напруги близько 25,85 мл ≈ 26 мВ.

У класичній теорії часто використовують формулу, за якою ефективна швидкість носіїв заряду в речовині дорівнює добутку рухливості носіїв на напруженість електричного поля. В іншій формулі щільність потоку носіїв пов'язується з коефіцієнтом дифузії Dта з градієнтом концентрації носіїв n :

Відповідно до співвідношення Ейнштейна-Смолуховського, коефіцієнт дифузії пов'язаний із рухливістю:

Постійна Больцмана kвходить також до закону Видемана-Франца, яким ставлення коефіцієнта теплопровідності до коефіцієнта електропровідності в металах пропорційно температурі і квадрату ставлення постійної Больцмана до електричного заряду.

Застосування в інших областях

Для розмежування температурних областей, у яких поведінка речовини описується квантовими або класичними методами, служить температура Дебая:

де - , є гранична частота пружних коливань кристалічних ґрат, u- Швидкість звуку в твердому тілі, n- Концентрація атомів.

Постійна Больцмана, що є коефіцієнт, рівний k = 1 , 38 · 10 - 23 Д ж К, є частиною значної кількості формул у фізиці. Вона отримала свою назву на ім'я австрійського фізика – одного з основоположників молекулярно-кінетичної теорії. Сформулюємо визначення постійної Больцмана:

Визначення 1

Постійної Больцмананазивається фізична постійна, за допомогою якої визначається зв'язок між енергією та температурою.

Не слід плутати її з постійною Стефаном-Больцманом, пов'язаною з випромінюванням енергії абсолютно твердого тіла.

Існують різні способи обчислення даного коефіцієнта. У рамках цієї статті ми розглянемо два з них.

Знаходження постійної Больцмана через рівняння ідеального газу

Ця постійна може бути знайдена за допомогою рівняння, що описує стан ідеального газу. Досвідченим шляхом можна визначити, що нагрівання будь-якого газу від T 0 = 273 До T 1 = 373 До призводить до зміни його тиску від p 0 = 1 , 013 · 10 5 Па до p 0 = 1 , 38 · 10 5 П а . Це досить простий експеримент, який можна провести навіть просто з повітрям. Для вимірювання температури потрібно використовувати термометр, а тиску – манометр. При цьому важливо пам'ятати, що кількість молекул в молі будь-якого газу приблизно дорівнює 6 · 10 23 а обсяг при тиску в 1 а т м дорівнює V = 22 , 4 л. З урахуванням всіх названих параметрів можна перейти до обчислення постійного Больцмана:

Для цього запишемо рівняння двічі, підставивши параметри станів.

Знаючи результат, можемо знайти значення параметра k:

Знаходження постійної Больцмана через формулу броунівського руху

Для другого способу обчислення також потрібно провести експеримент. Для нього потрібно взяти невелике дзеркало та підвісити у повітрі за допомогою пружної нитки. Припустимо, що система дзеркало-повітря перебуває у стабільному стані (статичному рівновазі). Молекули повітря вдаряють у дзеркало, яке по суті веде себе як броунівська частка. Однак з урахуванням його підвішеного стану ми можемо спостерігати обертальні коливання навколо певної осі, що збігається з підвісом (вертикально спрямованою ниткою). Тепер направимо на поверхню дзеркала промінь світла. Навіть при незначних рухах і поворотах дзеркала промінь, що відображається в ньому, буде помітно зміщуватися. Це дає можливість виміряти обертальні коливання об'єкта.

Позначивши модуль кручення як L , момент інерції дзеркала по відношенню до осі обертання як J , а кут повороту дзеркала як φ можемо записати рівняння коливань наступного виду:

Мінус у рівнянні пов'язаний із напрямком моменту сил пружності, який прагне повернути дзеркало у рівноважне становище. Тепер зробимо множення обох частин на φ, проінтегруємо результат і отримаємо:

Наступне рівняння є законом збереження енергії, який виконуватиметься для даних коливань (тобто потенційна енергія переходитиме в кінетичну та назад). Ми можемо вважати ці коливання гармонійними, отже:

При виведенні однієї з формул раніше ми використали закон рівномірного розподілу енергії за ступенями свободи. Отже, можемо записати так:

Як уже говорили, кут повороту можна виміряти. Так, якщо температура дорівнюватиме приблизно 290 К, а модуль кручення L ≈ 10 - 15 Н · м; φ ≈ 4 · 10 - 6 то розрахувати значення потрібного нам коефіцієнта можна так:

Отже, знаючи основи броунівського руху, ми можемо знайти постійну Больцман за допомогою вимірювання макропараметрів.

Значення постійної Больцмана

Значення досліджуваного коефіцієнта полягає в тому, що за його допомогою можна пов'язати параметри мікросвіту з тими параметрами, що описують макросвіт, наприклад термодинамическую температуру з енергією поступального руху молекул:

Цей коефіцієнт входить до рівнянь середньої енергії молекули, стану ідеального газу, кінетичної теорії газу, розподілу Больцмана-Максвелла та багато інших. Також стала Больцмана необхідна для того, щоб визначити ентропію. Вона відіграє важливу роль щодо напівпровідників, наприклад, у рівнянні, що описує залежність електропровідності від температури.

Приклад 1

Умова:обчисліть середню енергію молекули газу, що складається з N-атомних молекул при температурі T, знаючи, що у молекул збуджені всі ступені свободи - обертальні, поступальні, коливальні. Усі молекули вважатимуть об'ємними.

Рішення

Енергія рівномірно розподіляється за ступенями волі на кожний її ступінь, отже, на ці ступеня припадатиме однакова кінетична енергія. Вона дорівнюватиме ε i = 1 2 k T . Тоді для обчислення середньої енергії ми можемо використати формулу:

ε = i 2 k T , де i = m p o s t + m r + 2 m k o l являє собою суму поступальних обертальних ступенів свободи. Буквою k позначена постійна Больцмана.

Переходимо до визначення кількості ступенів свободи молекули:

m p o s t = 3 , m r = 3 , значить, m k o l = 3 N - 6 .

i = 6 + 6 N - 12 = 6 N - 6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Відповідь:за цих умов середня енергія молекули дорівнюватиме ε = 3 N - 3 k T .

Приклад 2

Умова:є суміш двох ідеальних газів, щільність яких у нормальних умовах дорівнює p. Визначте, якою буде концентрація одного газу в суміші за умови, що ми знаємо молярні маси обох газів μ 1 , μ 2 .

Рішення

Спочатку обчислимо загальну масу суміші.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02 .

Параметр m 01 означає масу молекули одного газу, m 02 – масу молекули іншого, n 2 – концентрацію молекул одного газу, n 2 – концентрацію другого. Щільність суміші дорівнює ρ.

Тепер із цього рівняння висловимо концентрацію першого газу:

n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02 .

p = n k T → n = p k T .

Підставимо отримане рівні значення:

n 1 (m 01 – m 02) = ρ – p k T m 02 → n 1 = ρ – p k T m 02 (m 01 – m 02) .

Оскільки молярні маси газів нам відомі, ми можемо знайти маси молекул першого та другого газу:

m 01 = μ 1 N A , m 02 = μ 2 N A .

Також ми знаємо, що суміш газів перебуває у нормальних умовах, тобто. тиск дорівнює 1 а т м, а температура 290 К. Отже, ми можемо вважати задачу розв'язаною.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Народився 1844 року у Відні. Больцман є першопрохідником і першовідкривачем у науці. Його роботи та дослідження часто були незрозумілі та відкинуті суспільством. Проте з подальшим розвитком фізики його праці було визнано й згодом опубліковано.

Наукові інтереси вченого охоплювали такі фундаментальні галузі, як фізика та математика. З 1867 року він працював викладачем у низці вищих навчальних закладів. У своїх дослідженнях він встановив, що обумовлено хаотичними ударами молекул об стінки судини, в якій вони знаходяться, у той час як температура безпосередньо залежить від швидкості руху частинок (молекул), інакше кажучи, від їхнього значення, чим з більшою швидкістю рухаються ці частинки, тим вищою є і температура. Постійну Больцмана названо на честь знаменитого австрійського вченого. Саме він зробив неоціненний внесок у розвиток статичної фізики.

Фізичний сенс цієї постійної величини

Постійна Больцмана визначає зв'язок між такими як температура та енергія. У статичній механіці вона грає головну ключову роль. Постійна Больцмана дорівнює k = 1,3806505 (24) * 10-23 Дж/К. Числа, що знаходяться у круглих дужках, вказують на допустиму похибку значення величини щодо останніх цифр. Варто зазначити, що постійна Больцмана може бути отримана з інших фізичних постійних. Однак ці обчислення досить складні та важкоздійсненні. Вони вимагають глибоких знань у сфері фізики, а й

Названа на честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, який зробив великий внесок у статистичну фізику, в якій ця постійна грає ключову роль. Її експериментальне значення в системі СІ дорівнює

Дж/.

Числа у круглих дужках вказують стандартну похибку в останніх цифрах значення величини. У принципі, постійна Больцмана можна отримати з визначення абсолютної температури та інших фізичних постійних. Однак, обчислення постійної Больцмана за допомогою основних принципів надто складне та нездійсненне за сучасного рівня знань. У природній системі одиниць Планка природна одиниця температури визначається так, що постійна Больцмана дорівнює одиниці.

Зв'язок між температурою та енергією

В однорідному ідеальному газі, що знаходиться за абсолютної температури T, енергія, що припадає на кожен поступальний ступінь свободи, дорівнює, як випливає з розподілу Максвелла kT/ 2 . При кімнатній температурі (300 ) ця енергія становить Дж, або 0,013 еВ. В одноатомному ідеальному газі кожен атом має три ступені свободи, що відповідають трьом просторовим осям, що означає, що на кожен атом припадає енергія в 3/2( kT) .

Знаючи теплову енергію, можна обчислити середньоквадратичну швидкість атомів, яка обернено пропорційна квадратному кореню атомної маси. Середньоквадратична швидкість за кімнатної температури змінюється від 1370 м/с для гелію до 240 м/с для ксенону. У разі молекулярного газу ситуація ускладнюється, наприклад, двоатомний газ вже має приблизно п'ять ступенів свободи.

Визначення ентропії

Ентропія термодинамічної системи визначається як натуральний логарифм від кількості різних мікростанів Z, відповідних даному макроскопічного стану (наприклад, стану із заданою повною енергією).

S = k ln Z.

Коефіцієнт пропорційності kі є постійна Больцмана. Це вираз, що визначає зв'язок між мікроскопічними ( Z) та макроскопічними станами ( S), висловлює центральну ідею статистичної механіки.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Больцмана постійна" в інших словниках:

Фізична постійна k, що дорівнює відношенню універсальної газової постійної R до Авогадро NA: k = R/NA = 1,3807.10 23 Дж/К. Названа на ім'я Л. Больцмана... Великий Енциклопедичний словник

Одна із фундаментальних фізичних констант; дорівнює відношенню газової постійної R до постійної Авогадро NA, позначається k; названо на честь австр. фізика Л. Больцмана (L. Boltzmann). Б. п. входить до ряду найважливіших співвідношень фізики: в ур ніє. Фізична енциклопедія

БОЛЬЦМАНА ПОСТОЯНА- (k) універсальна фіз. постійна, рівна відношенню універсальної газової (див.) до постійної Авогадро NA: k = R/Na = (1,380658 ± 000012)∙10 23 Дж/К … Велика політехнічна енциклопедія

Фізична постійна k, рівна відношенню універсальної газової постійної R до Авогадро NA: k = R/NA = 1,3807 · 10 23 Дж/К. Названа на ім'я Л. Больцмана. * * * БОЛЬЦМАНА ПОСТОЯНА БОЛЬЦМАНА ПОСТОЯНА, фізична постійна k, рівна… Енциклопедичний словник

Фіз. постійна k, що дорівнює відношенню універс. газової постійної R до Авогадро NA: k = R/NА = 1,3807 х 10 23 Дж/К. Названа на ім'я Л. Больцмана... Природознавство. Енциклопедичний словник

Одна з основних фізичних постійних (Див. Фізичні постійні), рівна відношенню універсальної газової постійної R до Авогадро NA. (числу молекул за 1 моль або 1 кмоль речовини): k = R/NA. Названа на ім'я Л. Больцмана. Б. п.… … Велика Радянська Енциклопедія

Метелики, звичайно, нічого не знають про зміїв. Зате про них знають птахи, що полюють на метеликів. Птахи, які погано розпізнають змій, частіше стають...

• Якщо octo латиною «вісім», то чому октава містить сім нот?

  Октава називається інтервал між двома найближчими однойменними звуками: до і до, ре і ре і т. д. З точки зору фізики «спорідненість» цих...

• Чому важливих осіб називають найяснішими?

  У 27 році до н. е. римський імператор Октавіан отримав титул Август, що латиною означає «священний» (на честь цього ж діяча, до речі,...

• Чим пишуть у космосі

  Відомий жарт говорить: «NASA витратило кілька мільйонів доларів, щоб розробити спеціальну ручку, здатну писати в космосі.

• Чому основа життя – вуглець?

  Відомо близько 10 мільйонів органічних (тобто заснованих на вуглеці) та лише близько 100 тисяч неорганічних молекул. На додачу...

• Чому кварцові лампи сині?

  На відміну від звичайного скла, кварцове пропускає ультрафіолет. У кварцових лампах джерелом ультрафіолету є газовий розряд у парах ртуті. Він...

• Чому дощ іноді ллє, а іноді мрячить?

  При великому перепаді температур усередині хмари виникають потужні висхідні потоки. Завдяки їм краплі можуть довго триматися у повітрі та...