Десяткові дроби. Переклад десяткового дробу у звичайний і навпаки: правило, приклади Переклад нескінченних періодичних десяткових дробів у звичайні дроби

Алгебра та математика – складні науки, які легко не даються навіть тим, хто приділяє їм чимало часу. Проблеми можуть виникнути із будь-якими завданнями. Наприклад, не кожен знає, як десятковий дріб перевести у звичайний дріб.

Особливості дробу

Щоб легко переводити один вид дробу в інший, краще розуміти, що це таке. Їх можна назвати нецілим числом. Воно складається з однієї або кількох частин одиниці.

Насамперед виділяють прості або так звані прості дроби. Щодо будь-якого виду діє правило, що знаменник не може дорівнювати нулю. Якщо це так, то це означає, що значення ціле, тобто воно не може бути дробом.

Існує кілька видів написання такого числа. Використовується горизонтальна лінія або похила риса, причому другий варіант може виглядати у друкованому вигляді трьома різними способами. У шкільних зошитах, як правило, звичайні дроби записують з класичною горизонтальною лінією.

Крім простих, виділяють змішані та складові дроби. Перші відрізняються тим, що мають ще ціле число, що записується на початку. У складових чисельник і знаменник начебто також є ще одним дробом.

Як десятковий дріб перевести у звичайний дріб?

Десятковий дріб перевести в звичайний дріб не так важко, оскільки, незважаючи на зовнішні зміни, суть числа залишиться однаковою. Ключова різниця в тому, що десяткові записуються з використанням ком., а не рисок. Звичайно, це не означає, що дріб ½ дорівнюватиме 1,2.

Десятковий дріб формується з двох складових. Перша розташовується до знаку та позначає ціле число. Друга, та, що перебуває після нього, це десяті, соті та інші числа. Їхня назва залежить від того, наскільки вони віддалені від коми.

Іноді перетворити один дріб на інший дуже просто, особливо якщо неціла частина – це десяті, а не соті або тисячні. Класичний приклад -0,5. Насамперед, його варто правильно прочитати, тоді вийде нуль цілих, п'ять десятих. Нуль цілих ніяк записати не вийде, а ось п'ять десятих легко перетворюються на 5/10. Все, що залишається – провести скорочення шляхом розподілу на п'ять. Результат – 1/2.

Дроби з цілим числом

Необхідно розглянути й інші приклади з підвищеною складністю. Варто взяти 2,25. Як і раніше, для початку, найкраще правильно позначити назву дробу. На цей раз є дві цілих, двадцять п'ять сотих. У зв'язку з тим, що після знака є дві цифри, то вони є сотими.

Як десятковий дріб перевести в звичайний дріб:

• Неціла частина записується у вигляді 25/100.
• Залишилося дописати дві цілі. Вони ставляться на початок, і таким чином виходить змішаний дріб.
• 25/100 можна скоротити. Для простоти, реально починати з поділу на 5, але непогано одразу скористатися числом 25. Внаслідок скорочення виходить ¼.
• Залишається лише підписати дві цілі до ¼. Результат – 2?

Нарешті, варто розглянути процес роботи з тисячними. Для аналізу візьмемо 4,112. Знову роботу треба розпочати з правильного прочитання. Вийде чотири цілих, сто дванадцять тисячних. Без зусиль вдасться виділити першу цифру, 4, а потім підставити до неї сто дванадцять тисячних. Вони виглядають так – 112/100.

Залишається лише скоротити, щоб надати кращого вигляду. У цьому конкретному прикладі спільним дільником є ​​шість. Результат – простий дріб 4 14/125.

Переведення дробів у відсотки

Практично будь-який дріб реально без особливих труднощів перевести у відсотки. Щоб це зробити, слід розуміти, що відсоток – це одна сота. Іншими словами, 1% відразу можна легко записати в дробовому вигляді - 1/100 або 0,01.

У випадку з іншими варіантами, доведеться звернутися до десяткових дробів, тобто тим, що пишуться через кому. З ними завдання вирішується дуже просто. Досить помножити десятковий дріб на 100, і вийде відсоток.

• 0,27 * 100% = 27%

Якщо ж необхідно здійснити переклад звичайного дробу, то спочатку його доведеться перетворити на десятковий.

• Наприклад, 2/5 дорівнюють 0,4.
• 0,4 * 100% = 40%.

Якщо процес переведення у відсотки все одно викликає труднощі, то за бажання можна скористатися різними автоматичними сервісами, яких досить багато в інтернеті. Вписавши у відповідні поля чисельник та знаменник, вдасться легко дізнатися, який із цього вийде відсоток.

У цілому ж, переведення дробів у відсотки завжди зав'язане на множенні на 100. Для того, щоб легко з цим справлятися, необхідно розуміти, як перевести звичайний дріб у десятковий, але для початку варто розібратися і в зворотному процесі.

Відео інструкція

Ми вже говорили, що дроби бувають звичайніі десяткові. На даний момент ми трохи вивчили прості дроби. Ми дізналися, що звичайні дроби бувають правильні та неправильні. Також ми дізналися, що прості дроби можна скорочувати, складати, віднімати множити і ділити. І ще ми дізналися, що бувають так звані змішані числа, які складаються з цілої та дробової частини.

Ми ще не до кінця вивчили прості дроби. Є чимало тонкощів та деталей, про які слід поговорити, але вже сьогодні ми почнемо вивчати десятковідроби, оскільки звичайні та десяткові дроби досить часто доводиться поєднувати. Тобто при вирішенні завдань доводиться працювати з обома видами дробів.

Цей урок, можливо, здасться складним і незрозумілим. Це цілком нормально. Такі уроки вимагають, щоб їх саме вивчали, а не переглядали поверхово.

Зміст уроку

Вираз величин у дробовому вигляді

Іноді зручно буває показати щось у дрібному вигляді. Наприклад, одна десята частина дециметра записується так:

Це вираз означає, що один дециметр був поділений на десять рівних частин, і від цих частин була взята одна частина. А одна частина з десяти в даному випадку дорівнює одному сантиметру:

Розглянемо наступний приклад. Нехай потрібно показати 6 см та ще 3 мм у сантиметрах у дробовому вигляді.

Отже, 6 цілих сантиметрів у нас уже є:

Але залишилося ще 3 міліметри. Як показати ці 3 міліметри, причому у сантиметрах? На допомогу приходять дроби. Один сантиметр це десять міліметрів. Три міліметри це три частини із десяти. А три частини із десяти записуються як см

Вираз см означає, що один сантиметр був розділений на десять рівних частин, і від цих десяти частин взяли три частини.

В результаті маємо шість цілих сантиметрів і три десяті сантиметри:

Цифра 6 вказує число цілих сантиметрів, а дріб — число дробових. Цей дріб читається як «шість цілих і три десяті сантиметри» .

Дроби, у знаменнику яких є числа 10, 100, 1000 можна записувати без знаменника. Спочатку пишуть цілу частину, а потім чисельник дробової частини. Ціла частина відокремлюється від чисельника дробової частини коми.

Наприклад, запишемо без знаменника. Спочатку записуємо цілу частину. Ціла частина це 6

Ціла частина записана. Відразу ж після написання цілої частини ставимо кому:

І тепер записуємо чисельник дробової частини. У змішаному числі чисельник дробової частини це число 3. Записуємо після коми трійку:

Будь-яке число, яке представляється в такому вигляді, називається десятковим дробом.

Тому показати 6 см і ще 3 мм у сантиметрах можна за допомогою десяткового дробу:

6,3 см

Виглядатиме це таким чином:

Насправді десяткові дроби це самі звичайні дроби і змішані числа. Особливість таких дробів у тому, що у знаменнику їх дробової частини містяться числа 10, 100, 1000 чи 10000.

Як і змішане число, десятковий дріб має цілу частину і дробовий. Наприклад, у змішаному числі ціла частина це 6, а дрібна частина це .

У десятковому дробі 6,3 ціла частина це число 6, а дробова частина це чисельник дробу, тобто число 3.

Буває й те, що прості дроби в знаменнику яких числа 10, 100, 1000 дані без цілої частини. Наприклад, дріб дано без цілої частини. Щоб записати такий дріб як десятковий, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини. Дроб без знаменника буде записаний таким чином:

Читається як "нуль цілих п'ять десятих".

Переклад змішаних чисел у десяткові дроби

Коли ми записуємо змішані числа без знаменника, ми тим самим переведемо їх у десяткові дроби. При переведенні звичайних дробів у десяткові дроби необхідно знати кілька моментів, про які ми зараз поговоримо.

Після того як записана ціла частина, обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини, оскільки кількість нулів дробової частини та кількість цифр після коми в десятковому дробі має бути однаковим. Що це означає? Розглянемо наступний приклад:

Спочатку записуємо цілу частину і ставимо кому:

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і десятковий дріт готовий, але обов'язково потрібно порахувати скільки нулів міститься в знаменнику дробової частини.

Отже, порахуємо кількість нулів у дрібній частині змішаного числа . Бачимо, що у знаменнику дробової частини один нуль. Значить у десятковому дробі після коми буде одна цифра і ця цифра буде чисельником дробової частини змішаного числа, тобто число 2

Таким чином, змішане число при переведенні в десятковий дріб звертається до 3,2. Цей десятковий дріб читається так:

«Три цілі, дві десяті»

«Десятих»тому що в дрібній частині змішаного числа міститься число 10.

приклад 2.Перевести змішане число в десятковий дріб.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і отримати десятковий дріб 5,3 але правило каже, що після коми має бути стільки цифр скільки нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа . А ми бачимо, що у знаменнику дробової частини два нулі. Значить у нашому десятковому дробі після коми має бути дві цифри, а не одна.

У таких випадках чисельник дробової частини потрібно трохи видозмінити: додати нуль перед чисельником, тобто перед числом 3

Тепер можна довести справу до кінця. Записуємо після коми чисельник дробової частини:

5,03

Десятковий дріб 5,03 читається так:

«П'ять цілих, три соті»

«Сотих»тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа міститься число 100.

Приклад 3.Перевести змішане число в десятковий дріб.

З попередніх прикладів ми дізналися, що для успішного переведення змішаного числа в десятковий дріб, кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини має бути однаковим.

Перед переведенням змішаного числа в десятковий дріб, його дробову частину потрібно трохи видозмінити, а саме зробити так, щоб кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини було однаковим.

Насамперед дивимося на кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там три нулі:

Наше завдання організувати в чисельнику дробової частини три цифри. Одна цифра в нас уже є — цифра 2. Залишилося додати ще дві цифри. Ними будуть два нулі. Додамо їх перед цифрою 2. В результаті кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику стане однаковим:

Тепер можна зайнятися переведенням цього змішаного числа в десятковий дріб. Записуємо спочатку цілу частину і ставимо кому:

і відразу записуємо чисельник дробової частини

3,002

Бачимо, що кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа однакова.

Десятковий дріб 3,002 читається так:

«Три цілі, дві тисячні»

«Тисячних»тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа міститься число 1000.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Прості дроби, у яких у знаменнику числа 10, 100, 1000 або 10000, теж можна перевести в десяткові дроби. Оскільки у звичайного дробу ціла частина відсутня, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини.

Тут також кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику має бути однаковим. Тому слід бути уважним.

приклад 1.

Ціла частина відсутня, значить спочатку записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику одна цифра. Значить, можна спокійно продовжити десятковий дріб, записавши після коми цифру 5

В отриманому десятковому дробі 0,5 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,5 читається так:

"Нуль цілих п'ять десятих"

приклад 2.Перекласти звичайний дріб у десятковий дріб.

Ціла частина відсутня. Записуємо спочатку 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там два нулі. А в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість цифр і кількість нулів однаковим, додамо в чисельник перед цифрою 2 один нуль. Тоді дріб набуде вигляду. Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб:

0,02

В отриманому десятковому дробі 0,02 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,02 читається так:

«Нуль цілих, дві соті».

Приклад 3.Перекласти звичайний дріб у десятковий дріб.

Записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер порахуємо кількість нулів у знаменнику дробу. Бачимо, що там п'ять нулів, а в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однаковим, потрібно в чисельнику перед цифрою 5 дописати чотири нулі:

Тепер можна продовжити десятковий дріб. Записуємо після коми чисельник дробу

0,00005

В отриманому десятковому дробі 0,00005 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,00005 читається так:

"Нуль цілих, п'ять стотисячних".

Переклад неправильних дробів у десятковий дріб

Неправильний дріб це дріб, у якого чисельник більший за знаменник.

Бувають неправильні дроби, які у знаменнику містяться числа 10, 100, 1000 чи 10000. Такі дроби можна переводити на десяткові. Але перед переведенням у десятковий дріб, у таких дробів необхідно виділяти цілу частину.

приклад 1.Перевести неправильний дріб у десятковий.

Дріб є неправильним. Щоб перевести такий дріб у десятковий, потрібно в першу чергу виділити в нього цілу частину. Згадуємо, як виділяти цілу частину неправильних дробів. Якщо забули, радимо повернутися і добре вивчити її.

Отже, виділимо цілу частину в неправильному дробі. Нагадаємо, що дріб означає розподіл — у цьому випадку розподіл числа 112 на число 10. Поділ потрібно виконати із залишком:

Поглянемо на цей малюнок і зберемо нове змішане число, подібно до дитячого конструктора. Приватне 11 буде цілою частиною, залишок 2 - чисельником дробової частини, дільник 10 - знаменником дробової частини:

Ми отримали змішане число. Його і переведемо в десятковий дріб. А як переводити такі числа до десяткових дробів ми вже знаємо. Спочатку записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер порахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику дробової частини одна цифра. Значить кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини однакова. Це дає нам можливість відразу записати після коми чисельник дробової частини:

Значить, неправильний дріб при переведенні до десяткового звертається до 11,2

Десятковий дріб 11,2 читається так:

«Одинадцять цілих, дві десяті».

приклад 2.Перевести неправильний дріб у десятковий дріб.

Це неправильний дріб, оскільки чисельник більший за знаменник. Але його можна перевести в десятковий дріб, оскільки в знаменнику міститься число 100.

Насамперед виділимо цілу частину цього дробу. Для цього розділимо куточком 450 на 100:

Зберемо нове змішане число - отримаємо. Тепер переведемо його в десятковий дріб. Записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер порахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини. Бачимо, що кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

4,50

Значить неправильний дріб при переведенні в десятковий звертається до 4,50

При розв'язуванні задач, якщо в кінці десяткового дробу виявляються нулі, їх можна відкинути. Давайте і ми відкинемо нуль у нашій відповіді. Тоді ми отримаємо 4,5

Це одна з найцікавіших особливостей десяткових дробів. Вона полягає в тому, що нулі, які стоять в кінці дробу, не надають цьому дробу ніякої ваги. Іншими словами, десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні і між ними можна поставити знак рівності:

4,50 = 4,5

Виникає питання « а чому так відбувається?» Адже на вигляд 4,50 та 4,5 різні дроби. Весь секрет криється в основному властивості дробу, який ми вивчали раніше. Ми спробуємо довести, чому дорівнюють десяткові дроби 4,50 і 4,5, але після вивчення наступної теми, яка називається «переведення десяткового дробу в змішане число».

Переведення десяткового дробу в змішане число

Будь-який десятковий дріб може бути переведений назад в змішане число. Для цього достатньо вміти читати десяткові дроби.

Наприклад, переведемо 6,3 у змішане число. 6,3 це шість цілих і три десятих. Записуємо спочатку шість цілих:

і поруч три десятих:

приклад 2.Перевести десятковий дріб 3,002 у змішане число

3,002 це три цілих та дві тисячні. Записуємо спочатку три цілих

Десяткові числа, такі як 0,2; 1,05; 3,017 і т.п. як чуються, так і пишуться. Нуль цілих дві десятих, отримуємо дріб. Одна ціла п'ять сотих, отримуємо дріб. Три цілих сімнадцять тисячних, отримуємо дріб. Цифри до коми в десятковому числі це ціла частина дробу. Цифра після коми - чисельник майбутнього дробу. Якщо після коми однозначне число – у знаменнику буде 10, якщо двозначне – 100, тризначне – 1000 тощо. Деякі отримані дроби можна скоротити. У наших прикладах

Перетворення дробу на десяткове число

Це зворотне попереднього перетворення. Десятковий дріб чим характерний? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і таке інше. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, або

Якщо дріб, наприклад . В цьому випадку необхідно скористатися основною властивістю дробу і перетворити знаменник до 10 або 100, або 1000 ... У нашому прикладі, якщо примножити чисельник і знаменник на 4, отримаємо дріб, який можна записати у вигляді десяткового числа 0,12.

Деякі дроби простіше поділити, ніж перетворити знаменник. Наприклад,

Деякі дроби неможливо перетворити на десяткові числа!
Наприклад,

Перетворення змішаного дробу на неправильний

Змішаний дріб, наприклад, легко перетворити на неправильний. Для цього необхідно цілу частину помножити на знаменник (низ) та скласти з чисельником (верх), знаменник (низ) залишити без зміни. Тобто

При перетворенні змішаного дробу на неправильний, можна згадати, що можна використовувати додавання дробів

Перетворення неправильного дробу на змішану (виділення цілої частини)

Неправильний дріб можна перевести в змішану, виділивши цілу частину. Розглянемо приклад, . Визначаємо, скільки цілих разів "3" вміщується у "23". Або 23 ділимо на 3 на калькуляторі, ціле число до коми - шукане. Це "7". Далі визначаємо чисельник вже майбутнього дробу: отриманий "7" множимо на знаменник "3" і з чисельника "23" віднімаємо отримане. Як би знаходимо зайве, що залишається від чисельника "23", якщо вилучити максимальну кількість "3". Знаменник залишаємо без зміни. Все зроблено, записуємо результат

Велика кількість учнів, і не тільки, запитують, як перевести дріб у число. Щоб це зробити, є кілька досить простих та зрозумілих способів. Вибір конкретного способу залежить від переваг вирішального.

Насамперед потрібно знати, як дроби записуються. А записуються вони так:

1. Звичайна. Пишеться з чисельником та знаменником через похилий або стовпчиком (1/2).
2. Десяткова. Пишеться через кому (1,0, 2,5 тощо).

Перед тим як приступити до вирішення, потрібно знати, що таке неправильний дріб, адже він зустрічається досить часто. Вона має чисельник більше за знаменник, наприклад, 15/6. Неправильний дріб також можна вирішувати такими способами, без будь-яких зусиль та витрат часу.

Змішане число - це коли в результаті виходить ціле число і дрібна частина, наприклад 52/3.

Будь-яке натуральне число можна записати дробом з різними натуральними знаменниками, например:1= 2/2=3/3 = тощо.

Перекласти можна ще й за допомогою калькулятора, але не всі вони мають таку функцію. Існує спеціальний інженерний калькулятор, де є така функція, але не завжди є можливість використовувати його, особливо в школі. Тому краще розібратися у цій темі.

Насамперед варто звернути увагу на те, який дріб. Якщо її можна легко множити до 10 на однакові з чисельником значення, то можна скористатися першим способом. Наприклад: звичайна ½ множите в чисельнику і знаменнику на 5 і отримуєте 5/10, яке можна записати як 0,5

Це правило полягає в тому, що десяткова завжди має у знаменнику кругле значення, таке як 10,100,1000 і таке інше.

З цього виходить, що якщо множити чисельник і знаменник, потрібно домагатися отримання в знаменнику саме такого значення в результаті множення, незалежно від того, що виходить в чисельнику.

Варто пам'ятати, деякі дроби не можна перекласти, для цього необхідно перед початком рішення перевірити її.

Наприклад: 1,3333 де цифра 3 повторюється до нескінченності, причому калькулятор теж не позбавить від неї. Вирішенням такої проблеми може бути тільки округлення таким чином, щоб вийшло ціле число, якщо це можливо. Якщо такої можливості немає, слід повернутися на початок прикладу і перевірити правильність вирішення завдання, можливо, була допущена помилка.

Малюнок 1-3. Переведення дробів шляхом множення.

Розглянемо для закріплення описаної інформації наступний приклад перекладу:

1. Наприклад, необхідно перевести 6/20 у десяткову. Насамперед її слід перевірити, як показано на малюнку 1.
2. Тільки після того, як переконалися, що можна розкласти, як у даному випадку на 2 і 5, потрібно приступати до самого перекладу.
3. Найбільш простим варіантом буде помножити знаменник, отримавши результат 100 є 5, так як 20х5 = 100.
4. Наслідуючи приклад на малюнку 2, у результаті вийде 0,3.

Можна закріпити результат і ще раз все переглянути на малюнку 3. Для того щоб повністю розібратися в темі і більше не вдаватися до вивчення цього матеріалу. Ці знання допоможуть не лише дитині, а й дорослій людині.

Переклад шляхом розподілу

Другий варіант перекладу дробів є трохи складнішим, але популярнішим. Таким методом переважно користуються в школах вчителі для пояснення. Загалом він набагато простіше пояснюється і швидше розуміється.

Варто пам'ятати, що для правильного перетворення простого дробу необхідно його чисельник поділити на знаменник. Адже якщо замислитися, то це рішення і є процес розподілу.

Щоб зрозуміти це просте правило, потрібно розглянути наступний приклад рішення:

1. Візьмемо 78/200, яку треба перевести до десяткової. І тому слід 78 розділити на 200, тобто чисельник на знаменник.
2. Але перед тим, як почати, варто провести перевірку, як показано на малюнку 4.
3. Після того, як переконалися, що її можна вирішити, слід розпочинати процес. Для цього варто розділити чисельник на знаменник у стовпчик або куточком, як показано на малюнку 5. У початкових класах шкіл вчать такому поділу, і труднощів із цим не повинно виникнути.

На малюнку 6 показані приклади найбільш поширених прикладів, їх можна запам'ятати, щоб за необхідності не витрачати час на вирішення. Адже у школі на кожну контрольну чи самостійну роботи дається мало часу для вирішення, тому не варто витрачати його на те, що можна вивчити та просто пам'ятати.

Переклад відсотків

Перекладати відсотки до десяткового числа теж досить легко. Цьому починають навчати у 5 класі, а в деяких школах ще раніше. Але якщо ваша дитина на уроці математики не зрозуміла цієї теми, можна наочно їй ще раз пояснити. Спочатку слід вивчити визначення поняття, що таке відсоток.

Відсоток - це одна сота частина від будь-якого числа, тобто абсолютна довільна. Наприклад, від 100 це буде 1 і таке інше.

На малюнку 7 показаний наочний приклад переказу відсотків.

Щоб перекласти відсоток, треба лише прибрати значок %, а потім розділити його на 100.

Ще 1 приклад показаний малюнку 8.

Якщо треба провести зворотну «конвертацію», необхідно зробити все з точністю до навпаки. Іншими словами, число необхідно помножити на сто і після того, як приписати значок відсотків.

А для того, щоб звичайну перевести у відсотки, також можна використати цей приклад. Тільки спочатку слід перевести дріб у число і потім у відсотки.

З описаного вище, можна легко зрозуміти принцип перекладу. За допомогою цих способів можна дитині пояснювати тему, якщо вона її не зрозуміла або не була присутня на уроці в момент її проходження.

І ніколи не буде необхідності наймати репетитора, щоб він пояснив дитині, як перевести дріб у число чи відсоток.

Буває, що для зручності розрахунків потрібно перевести звичайний дріб у десятковий і навпаки. Про те, як це робити, ми поговоримо у цій статті. Розберемо правила переведення звичайних дробів у десяткові і назад, і навіть наведемо приклади.

Ми будемо розглядати переведення звичайних дробів у десяткові, дотримуючись певної послідовності. По-перше, розглянемо, як у десяткові переводяться прості дроби зі знаменником, кратним 10: 10, 100, 1000 і т.д.Дроби з такими знаменниками, по суті, є, більш громіздким записом десяткових дробів.

Далі ми розглянемо, як переводити в десяткові дроби звичайні дроби з будь-яким, не лише кратним 10 знаменником. Зазначимо, що з обігу звичайних дробів у десяткові виходять як кінцеві десяткові, а й нескінченні періодичні десяткові дроби.

Почнемо!

Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, 1000 і т.д. у десяткові дроби

Насамперед, скажімо, що деякі дроби потребують певної підготовки перед зверненням до десяткового вигляду. У чому вона полягає? Перед цифрою, що стоїть у чисельнику, необхідно дописати стільки нулів, щоб кількість цифр чисельника дорівнювала числу нулів у знаменнику. Наприклад, для дробу 3100 число 0 необхідно один раз дописати ліворуч від 3 у чисельнику. Дроб 610, згідно з викладеним вище правилом, не потребує доопрацювання.

Розглянемо ще один приклад, після чого сформулюємо правило, яким особливо зручно користуватися спочатку, поки досвіду в обігу дробів не так багато. Так, дріб 1610000 після дописування нулів у чисельнику матиме вигляд 001510000.

Як перекласти звичайний дріб зі знаменником 10, 100, 1000 і т.д. у десяткову?

Правило переведення звичайних правильних дробів у десяткові

1. Записуємо 0 і ставимо після нього кому.
2. Записуємо число з чисельника, яке вийшло після дописування нулів.

Тепер перейдемо до прикладів.

Приклад 1. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо звичайний дріб 39 100 до десяткового.

Спочатку дивимося на дріб і бачимо, що жодних підготовчих дій проводити не потрібно – кількість цифр у чисельнику збігається з кількістю нулів у знаменнику.

Дотримуючись правила, записуємо 0 , ставимо після нього десяткову кому і записуємо число з чисельника. Отримуємо десятковий дріб 0,39.

Розберемо рішення ще одного прикладу на цю тему.

Приклад 2. Переведення звичайних дробів у десяткові

Запишемо дріб 105 10000000 у вигляді десяткового дробу.

Кількість нулів у знаменнику дорівнює 7 , а чисельнику лише три цифри. Допишемо перед числом у чисельнику ще 4 нуля:

0000105 10000000

Тепер записуємо 0 , ставимо після нього десяткову кому і записуємо число з чисельника. Отримуємо десятковий дріб 0,0000105.

Розглянуті у всіх прикладах дробу - прості правильні дроби. Але як перевести неправильний звичайний дріб у десятковий? Відразу скажемо, що необхідність підготовки з дописуванням нулів для таких дробів відпадає. Сформулюємо правило.

Правило переведення звичайних неправильних дробів у десяткові

1. Записуємо число, яке знаходиться у чисельнику.
2. Десятковою комою відокремлюємо стільки цифр праворуч, скільки нулів є у знаменнику вихідного звичайного дробу.

Нижче наведемо приклад використання цього правила.

Приклад 3. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо дріб 56888038009 100000 із звичайної неправильної до десяткової.

Спочатку запишемо число з чисельника:

Тепер праворуч відокремимо десятковою комою п'ять цифр (кількість нулів у знаменнику – п'ять). Отримаємо:

Наступне питання, яке закономірно виникає: як перевести в десятковий дріб змішане число, якщо знаменником його дробової частини є число 10, 100, 1000 і т.д. Для звернення до десяткового дробу такого числа можна скористатися таким правилом.

Правило переведення змішаних чисел у десяткові дроби

1. Виконуємо підготовку дробової частини числа, якщо це потрібно.
2. Записуємо цілу частину вихідного числа і ставимо після нього кому.
3. Записуємо число з чисельника дробової частини разом із дописаними нулями.

Звернемося, наприклад.

Приклад 4. Переведення змішаних чисел у десяткові дроби

Перекладемо змішане число 23 17 10000 у десятковий дріб.

У дробовій частині маємо вираз 17 10 000 . Виконаємо його підготовку і допишемо ліворуч від чисельника ще два нулі. Отримаємо: 0017 10000 .

Тепер записуємо цілу частину числа і ставимо після нього кому: 23 . .

Після коми записуємо число з чисельника разом із нулями. Отримуємо результат:

23 17 10000 = 23 , 0017

Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні дроби

Звичайно, можна переводити в десяткові дроби і прості дроби зі знаменником, не рівним 10, 100, 1000 і т.д.

Часто дріб можна легко привести до нового знаменника, а потім скористатися правилом, викладеним у першому пункті цієї статті. Наприклад, достатньо помножити чисельник і знаменник дробу 25 на 2, і ми отримаємо дріб 410, який легко наводиться до десяткового виду 0,4.

Однак такий спосіб переведення звичайного дробу до десяткового вдається використовувати не завжди. Нижче розглянемо, як чинити, якщо застосувати розглянутий спосіб неможливо.

Принципово новий метод обігу звичайного дробу в десяткову зводиться до поділу чисельника на знаменник стовпчиком. Ця операція дуже схожа на розподіл натуральних чисел стовпчиком, але має особливості.

Чисельник при розподілі представляється у вигляді десяткового дробу - праворуч від останньої цифри чисельника ставиться кома і дописуються нулі. У приватному десяткова кома ставиться тоді, коли закінчується розподіл цілої частини чисельника. Як саме цей спосіб працює, стане зрозуміло після розгляду прикладів.

Приклад 5. Переведення звичайних дробів у десяткові

Перекладемо звичайний дріб 621 4 у десятковий вигляд.

Подаємо число 621 з чисельника у вигляді десяткового дробу, додавши після коми кілька нулів. 621 = 621, 00

Тепер розділимо стовпчиком 621 00 на 4 . Перші три кроки розподілу будуть такими ж, як при розподілі натуральних чисел, і ми отримаємо.

Коли ми дісталися десяткової коми в ділимому, а залишок відмінний від нуля, ставимо в приватному десяткову кому, і продовжуємо ділити, не звертаючи більше уваги на кому в ділимому.

У результаті ми отримуємо десятковий дріб 155 , 25 , який і є результатом обігу звичайного дробу 621 4

621 4 = 155 , 25

Розглянемо рішення ще одного прикладу, щоб закріпити матеріал.

Приклад 6. Переведення звичайних дробів у десяткові

Обернемо звичайний дріб 21 800 .

Для цього в стовпчик розділимо дріб 21 000 на 800 . Поділ цілої частини закінчиться на першому ж кроці, тому відразу після нього ставимо в приватному десяткову кому і продовжуємо поділ, не звертаючи уваги на кому в поділеному до того моменту, поки не отримаємо залишок, що дорівнює нулю.

В результаті ми отримали: 21800 = 0,02625.

Але як бути, якщо при розподілі ми так і не отримаємо в залишку 0. У таких випадках розподіл можна продовжувати довго. Проте, починаючи з певного кроку, залишки періодично повторюватимуться. Відповідно, повторюватимуться і цифри у приватному. Це означає, що звичайний дріб переводиться в десятковий нескінченний періодичний дріб. Проілюструємо сказане з прикладу.

Приклад 7. Переведення звичайних дробів у десяткові

Обернемо звичайний дріб 19 44 в десятковий. Для цього виконаємо поділ стовпчиком.

Ми, що при розподілі повторюються залишки 8 і 36 . При цьому приватно повторюються цифри 1 і 8 . Це і є період десяткового дробу. Під час запису ці цифри беруться у дужки.

Таким чином, вихідний звичайний дріб переведений у нескінченний періодичний десятковий дріб.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Нехай перед нами незрівнянний звичайний дріб. Якого вигляду вона приведеться? Які звичайні дроби переводяться в кінцеві десяткові, а які - в нескінченні періодичні?

По-перше, скажімо, що якщо дріб вдається привести до одного із знаменників 10, 100, 1000.., то він матиме вигляд кінцевого десяткового дробу. Щоб дріб приводився до одного з таких знаменників, його знаменник має бути дільником хоча б одного з чисел 10, 100, 1000 тощо. З правил розкладання чисел на прості множники випливає, що дільник чисел 10, 100, 1000 тощо. повинен, при розкладанні на прості множники, містити лише числа 2 та 5.

Підсумуємо сказане:

1. Звичайний дріб можна привести до вигляду кінцевого десяткового дробу, якщо його знаменник можна розкласти на прості множники 2 та 5.
2. Якщо крім чисел 2 і 5 у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, дріб наводиться до вигляду нескінченного періодичного десяткового дробу.

Наведемо приклад.

Приклад 8. Переведення звичайних дробів у десяткові

Який з цих дробів 47 20 , 7 12 , 21 56 , 31 17 переводиться в кінцевий десятковий дріб, а який - тільки в періодичний. Дамо відповідь на це питання, не виконуючи безпосередньо переведення звичайного дробу до десяткового.

Дроб 47 20 , як легко помітити, множенням чисельника та знаменника на 5 наводиться до нового знаменника 100 .

47 20 = 235 100 . Звідси робимо висновок, що цей дріб переводиться в кінцевий десятковий дріб.

Розкладання знаменника дробу 7 12 на множники дає 12 = 2 · 2 · 3 . Так як простий множник 3 відмінний від 2 і від 5 , цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, а матиме вигляд нескінченного періодичного дробу.

Дроб 21 56 , по-перше, потрібно скоротити. Після скорочення на 7 отримаємо нескоротний дріб 3 8 розкладання знаменника якого на множники дає 8 = 2 · 2 · 2 . Отже, це кінцевий десятковий дріб.

У випадку з дробом 31 17 розкладання знаменника на множники є найпростішим числом 17 . Відповідно, цей дріб можна звернути в нескінченний періодичний десятковий дріб.

Звичайний дріб не можна перевести в нескінченний і неперіодичний десятковий дріб

Вище ми говорили тільки про кінцеві та нескінченні періодичні дроби. Але чи може якийсь звичайний дріб бути звернений у вигляд нескінченного неперіодичного дробу?

Відповідаємо: ні!

Важливо!

При переведенні нескінченного дробу в десятковий виходить або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб.

Залишок від розподілу завжди менший за дільник. Іншими словами, відповідно до теореми про ділимості, якщо ми ділимо якесь натуральне число на число q, то залишок поділу в жодному разі не може бути більшим, ніж q-1. Після закінчення розподілу можлива одна з таких ситуацій:

1. Ми отримуємо в залишку 0, і на цьому поділ закінчується.
2. Ми отримуємо залишок, який при подальшому розподілі повторюється, в результаті ми маємо нескінченний періодичний дріб.

Інших варіантів при обігу звичайного дробу в десяткову не може бути. Скажімо також, що довжина періоду (кількість цифр) у нескінченному періодичному дробі завжди менша, ніж число цифр у знаменнику відповідного звичайного дробу.

Переведення десяткових дробів у звичайні дроби

Тепер настав час розглянути зворотний процес переведення десяткового дробу до звичайного. Сформулюємо правило перекладу, що включає три етапи. Як перевести десятковий дріб у звичайний?

Правило переведення десяткових дробів у звичайні дроби

1. У чисельник записуємо число з вихідного десяткового дробу, відкинувши кому і всі нулі зліва, якщо вони є.
2. У знаменник записуємо одиницю і за нею стільки нулів, скільки цифр є у вихідному десятковому дробі після коми.
3. При необхідності скорочуємо отриманий звичайний дріб.

Розглянемо застосування цього правила на прикладах.

Приклад 8. Переведення десяткових дробів у звичайні

Представимо число 3, 025 у вигляді звичайного дробу.

1. У чисельник записуємо самий десятковий дріб, відкинувши кому: 3025 .
2. У знаменнику пишемо одиницю, а після неї три нулі – саме стільки цифр міститься у вихідному дробі після коми: 3025 1000 .
3. Отриманий дріб 3025 1000 можна скоротити на 25 , внаслідок чого ми отримаємо: 3025 1000 = 121 40 .

Приклад 9. Переведення десяткових дробів у звичайні

Перекладемо дріб 0,0017 з десяткових у звичайні.

1. У чисельнику запишемо дріб 0 , 0017 , відкинувши кому і нулі зліва. Вийде 17 .
2. У знаменник записуємо одиницю, а після неї пишемо чотири нулі: 1710000 . Цей дріб нескоримий.

Якщо в десятковому дробі є ціла частина, то такий дріб можна одразу перевести у змішане число. Як це зробити?

Сформулюємо ще одне правило.

Правило переведення десяткових дробів у змішані числа.

1. Число, що стоїть у дробі до коми, записуємо як цілу частину змішаного числа.
2. У чисельнику записуємо число, що стоїть у дробі після коми, відкинувши нулі зліва, якщо вони є.
3. У знаменнику дробової частини дописуємо одиницю та стільки нулів, скільки цифр є у дробовій частині після коми.

Звернемося, наприклад

Приклад 10. Переведення десяткового дробу в змішане число

Представимо дріб 155 06005 у вигляді змішаного числа.

1. Записуємо число 155 як цілу частину.
2. У чисельнику записуємо цифри після коми, відкинувши нуль.
3. У знаменнику записуємо одиницю та п'ять нулів

Повчаємо мішане число: 155 6005 100000

Дробну частину можна зменшити на 5 . Скорочуємо і отримуємо фінальний результат:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Переклад нескінченних періодичних десяткових дробів у звичайні дроби

Розберемо на прикладах, як здійснювати переведення періодичних десяткових дробів у прості. Перш ніж почати, уточнимо: будь-який періодичний десятковий дріб можна перевести у звичайний.

Найпростіший випадок - період дробу дорівнює нулю. Періодична дріб з нульовим періодом замінюється на кінцевий десятковий дріб, а процес обігу такого дробу зводиться до обігу кінцевого десяткового дробу.

Приклад 11. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Обернемо періодичний дріб 3 , 75 (0) .

Відкинувши нулі праворуч, отримаємо кінцевий десятковий дріб 3 75 .

Звертаючи цей дріб у звичайний алгоритм, розібраний у попередніх пунктах, отримуємо:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Як бути, якщо період дробу відрізняється від нуля? Періодичну частину слід розглядати як суму членів геометричної прогресії, яка зменшується. Пояснимо це на прикладі:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Для суми членів нескінченної спадної геометричної прогресії існує формула. Якщо перший член прогресії дорівнює b, а знаменник q такий, що 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Розглянемо кілька прикладів із застосуванням цієї формули.

Приклад 12. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Нехай у нас є періодичний дріб 0 , (8) і нам потрібно перевести його у звичайний.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Тут ми маємо нескінченну спадну геометричну прогресію з першим членом 0 , 8 і знаменником 0 , 1 .

Застосуємо формулу:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Це і шуканий звичайний дріб.

Для закріплення матеріалу розглянемо ще один приклад.

Приклад 13. Переведення періодичного десяткового дробу у звичайний

Оборотний дріб 0 , 43 (18) .

Спочатку записуємо дріб у вигляді нескінченної суми:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Розглянемо доданки в дужках. Цю геометричну прогресію можна представити у такому вигляді:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Отримане додаємо до кінцевого дробу 0,43 = 43100 і отримуємо результат:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Після складання даних дробів та скорочення отримаємо остаточну відповідь:

0 , 43 (18) = 19 44

На завершення цієї статті скажемо, що неперіодичні нескінченні десяткові дроби не можна перевести у вигляд звичайних дробів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter