Інтегрування раціональних дробів - метод невизначених коефіцієнтів. Інтегрування раціональних дробів

«Математик так само, як художник чи поет, створює візерунки. І якщо його візерунки більш стійкі, лише тому, що вони складені з ідей... Візерунки математика так само, як візерунки художника або поета, повинні бути прекрасні; ідеї так само, як кольори або слова повинні відповідати один одному. Краса є першою вимогою: у світі немає місця для некрасивої математики».

Г.Х.Харді

У першому розділі зазначалося, що існують первісні досить простих функцій, які не можна висловити через елементарні функції. У зв'язку з цим, велике практичне значення набувають ті класи функцій, про які можна точно сказати, що їх первісні - елементарні функції. До такого класу функцій відносяться раціональні функції, що являють собою відношення двох алгебраїчних багаточленів До інтегрування раціональних дробів наводять багато завдань. Тому дуже важливо вміти інтегрувати такі функції.

2.1.1. Дробно-раціональні функції

Раціональним дробом(або дробово-раціональною функцією)називається відношення двох алгебраїчних багаточленів:

де і – багаточлени.

Нагадаємо, що багаточленом (поліномом, цілою раціональною функцією) n-го ступеняназивається функція виду

де – дійсні числа. Наприклад,

- багаточлен першого ступеня;

- багаточлен четвертого ступеня і т.д.

Раціональний дріб (2.1.1) називається правильноюякщо ступінь нижче ступеня, тобто. n<m, в іншому випадку дріб називається неправильною.

Будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми багаточлена (цілої частини) та правильного дробу (дрібної частини).Виділення цілої та дробової частин неправильного дробу можна проводити за правилом поділу багаточленів «кутом».

Приклад 2.1.1.Виділити цілу та дробову частини наступних неправильних раціональних дробів:

а) , б) .

Рішення . а) Використовуючи алгоритм розподілу «куточком», отримуємо

Таким чином, отримуємо

.

б) Тут також використовуємо алгоритм поділу «куточком»:

В результаті, отримуємо

.

Підведемо підсумки. Невизначений інтеграл від раціонального дробу в загальному випадку можна уявити сумою інтегралів від багаточлена та від правильного раціонального дробу. Знаходження первісних від многочленів не становить труднощів. Тому надалі розглядатимемо переважно правильні раціональні дроби.

2.1.2. Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування

Серед правильних раціональних дробів виділяють чотири типи, які відносять до найпростішим (елементарним) раціональним дробам:

3) ,

4) ,

де - ціле число, , тобто. квадратний тричлен не має дійсних коренів.

Інтегрування найпростіших дробів 1-го та 2-го типу не становить великих труднощів:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Розглянемо тепер інтегрування найпростіших дробів 3-го типу, а дроби 4-го типу не розглядатимемо.

Почнемо з інтегралів виду

.

Цей інтеграл зазвичай обчислюють шляхом виділення повного квадрата в знаменнику. В результаті виходить табличний інтеграл наступного виду

або .

Приклад 2.1.2.Знайти інтеграли:

а) , б) .

Рішення . а) Виділимо із квадратного тричлена повний квадрат:

Звідси знаходимо

б) Виділивши із квадратного тричлена повний квадрат, отримуємо:

Таким чином,

.

Для знаходження інтегралу

можна виділити в чисельнику похідну знаменника і розкласти інтеграл у сумі двох інтегралів: перший їх підстановкою зводиться до вигляду

,

а другий - до розглянутого вище.

Приклад 2.1.3.Знайти інтеграли:

.

Рішення . Зауважимо, що . Виділимо в чисельнику похідну знаменника:

Перший інтеграл обчислюється за допомогою підстановки :

У другому інтегралі виділимо повний квадрат у знаменнику

Остаточно, отримуємо

2.1.3. Розкладання правильного раціонального дробу
на суму найпростіших дробів

Будь-який правильний раціональний дріб можна уявити єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів. Для цього знаменник слід розкласти на множники. З вищої алгебри відомо, що кожен багаточлен із дійсними коефіцієнтами

2., 5.
,

3.
, 6.
.

В інтегралах 1-3 якості u приймають . Тоді, після n-кратного застосування формули (19) прийдемо до одного з табличних інтегралів

,
,
.

В інтегралах 4-6 при диференціюванні спроститися трансцендентний множник
,
або
, який слід прийняти за u.

Обчислити такі інтеграли.

Приклад 7.

Приклад 8.

Приведення інтегралів до себе

Якщо підінтегральна функція
має вигляд:

,
,
і так далі,

то після дворазового інтегрування частинами отримаємо вираз, що містить вихідний інтеграл :

,

де
- Деяка постійна.

Дозволяючи отримане рівняння щодо , Отримаємо формулу для обчислення вихідного інтеграла:

.

Цей випадок застосування методу інтегрування частинами називається « приведення інтеграла до себе».

Приклад 9.Обчислити інтеграл
.

У правій частині стоїть вихідний інтеграл . Перенісши його в ліву частину, отримаємо:

.

приклад 10.Обчислити інтеграл
.

4.5. Інтегрування найпростіших правильних раціональних дробів

Визначення.Найпростішими правильними дробами I , II і III типів називаються такі дроби:

I. ;

II.
; (
- ціле позитивне число);

III.
; (коріння знаменника комплексне, тобто:
.

Розглянемо інтеграли від найпростіших дробів.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Перетворимо чисельник дробу таким чином, щоб виділити в чисельнику доданок
, що дорівнює похідній знаменника.

Розглянемо перший із двох отриманих інтегралів і зробимо в ньому заміну:

У другому інтегралі доповнимо знаменник до повного квадрата:

Остаточно, інтеграл від дробу третього типу дорівнює:

=
+
. (22)

Таким чином, інтеграл від найпростіших дробів I типу виражається через логарифми, II типу – через раціональні функції, III типу через логарифми та арктангенси.

4.6.Інтегрування дробово-раціональних функцій

Одним із класів функцій, які мають інтеграл, виражений через елементарні функції, є клас раціональних алгебраїчних функцій, тобто функцій, що виходять в результаті кінцевого числа алгебраїчних операцій над аргументом.

Будь-яка раціональна функція
може бути представлена ​​у вигляді відношення двох багаточленів
і
:

. (23)

Припускатимемо, що багаточлени не мають спільних коренів.

Дроб виду (23) називається правильною, якщо ступінь чисельника менший від ступеня знаменника, тобто, m< n. В іншому випадку - неправильною.

Якщо дріб неправильний, то, розділивши чисельник на знаменник (за правилом поділу багаточленів), представимо дріб у вигляді суми багаточлена та правильного дробу:

, (24)

де
- багаточлен, - правильний дріб, причому ступінь багаточлена
- не вище ступеня ( n-1).

приклад.

Так як інтегрування многочлена зводиться до суми табличних інтегралів від статечної функції, то основна складність при інтегруванні раціональних дробів полягає в інтегруванні правильних раціональних дробів.

В алгебрі доведено, що всякий правильний дріб розкладається на суму розглянутих вище найпростішихдробів, вид яких визначається корінням знаменника
.

Розглянемо три окремі випадки. Тут і далі вважатимемо, що коефіцієнт при старшому ступені знаменника
дорівнює одиниці =1, тобтобагаточлен наведений .

Випадок 1.Коріння знаменника, тобто коріння
рівняння
=0, дійсні та різні. Тоді знаменник представимо у вигляді твору лінійних множників:

а правильний дріб розкладається на найпростіші дроби I-готипу:

, (26)

де
- Деякі постійні числа, які знаходяться методом невизначених коефіцієнтів.

Для цього необхідно:

1. Привести праву частину розкладання (26) до спільного знаменника.

2. Прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях тотожних багаточленів, що стоять у чисельнику лівої та правої частин. Отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення
.

3. Вирішити отриману систему та знайти невизначені коефіцієнти
.

Тоді інтеграл дробово-раціональної функції (26) буде дорівнювати сумі інтегралів від найпростіших дробів I-готипу, що обчислюються за формулою (20).

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.Розкладемо знаменник на множники, використовуючи теорему Вієта:

Тоді підінтегральна функція розкладається на суму найпростіших дробів:

.

х:

Запишемо систему трьох рівнянь для знаходження
ху лівій та правій частинах:

.

Вкажемо простіший спосіб знаходження невизначених коефіцієнтів, званий методом приватних значень.

Вважаючи в рівності (27)
отримаємо
, звідки
. Вважаючи
отримаємо
. Нарешті, вважаючи
отримаємо
.

.

Випадок 2Коріння знаменника
дійсні, але серед них є кратні (рівні) корені. Тоді знаменник представимо у вигляді твору лінійних множників, що входять у твір тією мірою, якою є кратність відповідного кореня:

де
.

Правильний дріб буде розкладатися суму дробів I-го та II-го типів. Нехай, наприклад, - корінь знаменника кратності k, а решта ( n- k) Коріння різні.

Тоді розкладання матиме вигляд:

Аналогічно, якщо існує інше кратне коріння. Для некратного коріння в розкладання (28) входять найпростіші дроби першого типу.

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів першого та другого роду з невизначеними коефіцієнтами:

.

Наведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо багаточлени, що стоять у чисельниках лівої та правої частини:

У правій частині наведемо подібні за однакових ступенів х:

Запишемо систему чотирьох рівнянь для знаходження
і . Для цього прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях ху лівій та правій частині

.

Випадок 3.Серед коренів знаменника
є комплексне одноразове коріння. Тобто, до розкладання знаменника входять множники другого ступеня
, що не розкладаються на дійсні лінійні множники, причому вони не повторюються.

Тоді в розкладанні дробу кожному такому множнику буде відповідати найпростіший дріб III типу. Лінійним множникам відповідають найпростіші дроби I-го та II-го типів.

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.
.

.

.

Інтегрування раціональних функцій Дробно – раціональна функція Найпростіші раціональні дроби Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Інтегрування найпростіших дробів Загальне правило інтегрування раціональних дробів

багаточлен ступеня n. Дробно – раціональна функція Дробно – раціональною функцією називається функція, що дорівнює відношенню двох багаточленів: Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь чисельника менший за ступінь знаменника, тобто m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Дробно – раціональна функція Привести неправильний дріб до правильного вигляду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Найпростіші раціональні дроби Правильні раціональні дроби виду: Називаються найпростішими раціональними дробами типів. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Теорема: Будь-який правильний раціональний дріб, знаменник якого розкладений на множники: можна уявити, притому єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx Ak k x x B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx.

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Пояснимо формулювання теореми на таких прикладах: Для знаходження невизначених коефіцієнтів A, B, C, D … застосовують два методи: метод порівнювання коефіцієнтів та метод приватних значень змінної. Перший метод розглянемо з прикладу. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Представити дроб у вигляді суми найпростіших дробів: Приведемо найпростіші дроби до спільного знаменника Прирівняємо чисельники вихідного дробу, що вийшов Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 1 )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Інтегрування найпростіших дробів Знайдемо інтеграли від найпростіших раціональних дробів: Інтегрування дробу 3 типу розглянемо на прикладі. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. Ak

Інтегрування найпростіших дробівdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 3 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg 33 2 9 ln 2 32

Інтегрування найпростіших дробів Інтеграл цього типу за допомогою підстановки: наводиться до суми двох інтегралів: Перший інтеграл обчислюється методом внесення t під знак диференціала. Другий інтеграл обчислюється за допомогою рекурентної формули: 1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Інтегрування найпростіших дробів a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t 2 (4)1(

Загальне правило інтегрування раціональних дробів Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми багаточлена та правильного дробу. Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, уявити його як суми найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами Знайти невизначені коефіцієнти методом порівняння коефіцієнтів чи методом приватних значень змінної. Проінтегрувати багаточлен та отриману суму найпростіших дробів.

Наведемо дріб до правильного вигляду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

Приклад Розкладемо знаменник правильного дробу на множники Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів Знайдемо невизначені коефіцієнти методом приватних значень змінної xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Приклад dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Матеріал, викладений у цій темі, спирається на відомості, подані в темі "Раціональні дроби. Розкладання раціональних дробів на елементарні (найпростіші) дроби" . Дуже раджу хоча б швидко переглянути цю тему перед тим, як переходити до читання даного матеріалу. Крім того, нам буде потрібна таблиця невизначених інтегралів.

Нагадаю кілька термінів. Про них йшлося у відповідній темі, тому тут обмежуся коротким формулюванням.

Відношення двох багаточленів $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ називається раціональною функцією або раціональним дробом. Раціональний дріб називається правильноюякщо $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильною.

Елементарними (найпростішими) раціональними дробами називають раціональні дроби чотирьох типів:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати

Навіщо потрібна умова $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Наприклад, для вираження $x^2+5x+10$ отримаємо: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Оскільки $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

До речі, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $x^2$ дорівнював 1. Наприклад, для $5x^2+7x-3=0$ отримаємо: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Оскільки $D > 0$, то вираз $5x^2+7x-3$ розкладемо на множники.

Приклади раціональних дробів (правильних та неправильних), а також приклади розкладання раціонального дробу на елементарні можна знайти. Тут нас цікавитимуть лише питання їхнього інтегрування. Почнемо з інтегрування елементарних дробів. Отже, кожен із чотирьох типів зазначених вище елементарних дробів нескладно проінтегрувати, використовуючи формули, вказані нижче. Нагадаю, що з інтегруванні дробів типу (2) і (4) передбачається $n=2,3,4,ldots$. Формули (3) та (4) вимагають виконання умови $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)

Для $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ робиться заміна $t=x+\frac(p)(2)$, після отриманий інтерал розбивається на два. Перший обчислюватиметься за допомогою внесення під знак диференціала, а другий матиме вигляд $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Цей інтеграл береться за допомогою рекурентного співвідношення

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equation)

Обчислення такого інтеграла розібрано на прикладі №7 (див. третину).

Схема обчислення інтегралів від раціональних функцій (раціональних дробів):

1. Якщо підінтегральний дріб є елементарним, то застосувати формули (1)-(4).
2. Якщо підінтегральний дріб не є елементарним, то подати його у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати, використовуючи формули (1)-(4).

Вказаний вище алгоритм інтегрування раціональних дробів має незаперечну гідність – він універсальний. Тобто. користуючись цим алгоритмом можна проінтегрувати будь-якураціональний дріб. Саме тому майже всі заміни змінних у невизначеному інтегралі (підстановки Ейлера, Чебишева, універсальна тригонометрична підстановка) робляться з таким розрахунком, щоб після заміни отримати під інтералом раціональний дріб. А до неї вже застосувати алгоритм. Безпосереднє застосування цього алгоритму розберемо на прикладах, попередньо зробивши невелику примітку.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

У принципі цей інтеграл нескладно отримати без механічного застосування формули . Якщо винести константу $7$ за знак інтеграла і врахувати, що $dx=d(x+9)$, то отримаємо:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Для детальної інформації рекомендую подивитися тему. Там докладно пояснюється, як вирішуються такі інтеграли. До речі, формула доводиться тими самими перетвореннями, що були застосовані у цьому пункті під час вирішення "вручну".

2) Знову є два шляхи: застосувати готову формулу або обійтися без неї. Якщо застосовувати формулу , слід врахувати, що коефіцієнт перед $x$ (число 4) доведеться прибрати. Для цього цю четвірку просто винесемо за дужки:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Тепер настала черга і для застосування формули:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Можна обійтися і застосування формули . І навіть без винесення константи $4$ за дужки. Якщо врахувати, що $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, то отримаємо:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Детальні пояснення щодо знаходження подібних інтегралів дано у темі "Інтегрування підстановкою (внесення під знак диференціала)".

3) Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Цей дріб має структуру $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, де $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однак, щоб переконатися, що це дійсно елементарний дріб третього типу, потрібно перевірити виконання умови $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Вирішимо цей приклад, але без використання готової формули. Спробуємо виділити в чисельнику похідну знаменника. Що це означає? Ми знаємо, що $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Саме вираз $2x+10$ нам і належить вичленувати в чисельнику. Поки що чисельник містить лише $4x+7$, але це ненадовго. Застосуємо до чисельника таке перетворення:

$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$

Тепер у чисельнику з'явився необхідний вираз $2x+10$. І наш інтеграл можна переписати у такому вигляді:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Розіб'ємо підінтегральний дріб на два. Ну і, відповідно, сам інтеграл теж "роздвоєм":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Поговоримо спершу перший інтеграл, тобто. про $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Оскільки $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, то в чисельнику підінтегрального дробу розташований диференціал знаменника. Коротше кажучи, замість виразу $( 2x+10)dx$ запишемо $d(x^2+10x+34)$.

Тепер скажемо пару слів і про другий інтеграл. Виділимо в знаменнику повний квадрат: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Крім того, врахуємо $dx=d(x+5)$. Тепер отриману нами раніше суму інтегралів можна переписати в дещо іншому вигляді:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Якщо в першому інтегралі зробити заміну $u=x^2+10x+34$, то він набуде вигляду $\int\frac(du)(u)$ і візьметься простим застосуванням другої формули з . Що ж до другого інтеграла, то для нього здійснена заміна $u=x+5$, після якої він набуде вигляду $\int\frac(du)(u^2+9)$. Це чиста вода одинадцята формула з таблиці невизначених інтегралів. Отже, повертаючись до суми інтегралів, матимемо:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5)^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Ми отримали ту саму відповідь, що і при застосуванні формули, що, власне, не дивно. Взагалі, формула доводиться тими самими способами, які ми використовували для знаходження цього інтеграла. Вважаю, що у уважного читача тут може виникнути одне питання, тому сформулюю його:

Питання №1

Якщо інтегралу $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ застосовувати другу формулу з таблиці невизначених інтегралів , ми отримаємо таке:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Чому ж у рішенні був відсутній модуль?

Відповідь на запитання №1

Питання цілком закономірне. Модуль був відсутній лише тому, що вираз $x^2+10x+34$ за будь-якого $x\in R$ більший за нуль. Це зовсім нескладно показати кількома шляхами. Наприклад, оскільки $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ і $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$ . Можна розсудити і інакше, не залучаючи виділення повного квадрата. Оскільки $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за будь-якого $x\in R$ (якщо цей логічний ланцюжок викликає подив, раджу подивитися графічний метод розв'язання квадратних нерівностей). У кожному разі, оскільки $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, тобто. замість модуля можна використовувати звичайні дужки.

Усі пункти прикладу №1 вирішено, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C $.

Приклад №2

Знайти інтеграл $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

На перший погляд підінтегральний дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ дуже схожа на елементарну дріб третього типу, тобто. на $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Здається, що єдина відмінність - це коефіцієнт $3$ перед $x^2$, але коефіцієнт і прибрати недовго (за дужки винести). Однак це схожість здається. Для дробу $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ обов'язковою є умова $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коефіцієнт перед $x^2$ не дорівнює одиниці, тому перевірити умову $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, тому вираз $3x^2-5x-2$ можна розкласти на множники. А це означає, що дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не є елементаним дробом третього типу, і застосовувати до інтегралу $\int\frac(7x+12)(3x^2- 5x-2)dx$ формулу не можна.

Ну що ж, якщо заданий раціональний дріб не є елементарним, то його потрібно подати у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати. Коротше кажучи, слід скористатися. Як розкласти раціональний дріб на елементарні докладно написано. Почнемо з того, що розкладемо на множники знаменник:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotleft(x+frac(1)(3)right)(x-2). $$

Подинтеральний дріб представимо в такому вигляді:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Тепер розкладемо дріб $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ на елементарні:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3) \right). $$

Щоб знайти коефіцієнти $A$ і $B$, є два стандартні шляхи: метод невизначених коефіцієнтів і метод підстановки приватних значень. Застосуємо метод підстановки приватних значень, підставляючи $x=2$, а потім $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Оскільки коефіцієнти знайдено, залишилося лише записати готове розкладання:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$

В принципі, можна такий запис залишити, але мені до душі акуратніший варіант:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

Повертаючись до вихідного інтегралу, підставимо до нього отримане розкладання. Потім розіб'ємо інтеграл на два, і до кожного застосуємо формулу . Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Відповідь: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | + C $.

Приклад №3

Знайти інтеграл $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. У чисельнику розташований многочлен другого ступеня, а знаменнику - многочлен третього ступеня. Оскільки ступінь многочлена у чисельнику менше ступеня многочлена у знаменнику, тобто. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-frac(1)(x-9). $$

Нам залишиться лише розбити заданий інтеграл на три, і до кожного застосувати формулу. Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Відповідь: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4|-\ln|x-9|+C$.

Продовження аналізу прикладів цієї теми розташоване в другій частині.

Раціональна функція - це дріб виду, чисельник і знаменник якого - багаточлени або твори багаточленів.

приклад 1. Крок 2

.

Помножуємо невизначені коефіцієнти на багаточлени, яких немає в даному окремому дробі, але які є в інших отриманих дробах:

Розкриваємо дужки та прирівнюємо отриманий до отриманого виразу чисельник вихідного підінтегрального дробу:

В обох частинах рівності відшукуємо доданки з однаковими ступенями іксу і складаємо з них систему рівнянь:

.

Скорочуємо всі ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

.

Таким чином, остаточне розкладання підінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

приклад 2. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Тепер починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Тепер потрібно скласти та вирішити систему рівнянь. Для цього прирівнюємо коефіцієнти при змінній у відповідному ступені в чисельнику вихідного виразу функції та аналогічні коефіцієнти в отриманому на попередньому кроці виразу:

Вирішуємо отриману систему:

Отже, , звідси

.

приклад 3. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Як і в попередніх прикладах, складаємо систему рівнянь:

Скорочуємо ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

приклад 4. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Як прирівнювати чисельник вихідного дробу до виразу в чисельнику, отриманому після розкладання дробу на суму простих дробів та приведення цієї суми до спільного знаменника, ми вже знаємо з попередніх прикладів. Тому лише для контролю наведемо систему рівнянь, що вийшла:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

Приклад 5. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Самостійно приводимо до спільного знаменника цю суму, прирівнювати чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

.

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 6. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Проводимо з цією сумою ті ж дії, що й у попередніх прикладах. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

.

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 7. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Після відомих дій з отриманою сумою має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 8. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Внесемо деякі зміни до вже доведених до автоматизму дій для отримання системи рівнянь. Є штучний прийом, який у деяких випадках допомагає уникнути зайвих обчислень. Наводячи суму дробів до спільного знаменника одержуємо і прирівнюючи чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу, одержуємо.