Інтегрування правильної раціональної функції. Інтегрування раціональних функцій Дробно – раціональна функція Найпростіші

Однією з найважливіших класів функцій, інтеграли яких виражаються через елементарні функції, є клас раціональних функцій.

Визначення 1. Функція виду де
- багаточлени ступенівnіmназивається раціональною. Ціла раціональна функція, тобто. багаточлен, що інтегрується безпосередньо. Інтеграл від дробово-раціональної функції можна знайти шляхом розкладання на доданки, які стандартним чином перетворюються на основні табличні інтеграли.

Визначення 2. Дроби
називається правильною, якщо ступінь чисельникаnменше ступеня знаменникаm. Дроб, у якого ступінь чисельника більший або дорівнює ступеню знаменника, називається неправильним.

Будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми багаточлена та правильного дробу. Це робиться за допомогою поділу багаточлена на багаточлен «стовпчиком», подібно до поділу чисел.

приклад.

Уявимо дріб
у вигляді суми багаточлена та правильного дробу:

x - 1

3

3

3

Перший доданок
у приватному виходить як результат поділу старшого члена
, поділеного на старший член хдільника. Потім множимо
на дільник х-1та отриманий результат віднімаємо з діленого; аналогічно перебувають інші доданки неповного приватного.

Виконавши поділ багаточленів, отримаємо:

Ця дія називається виділенням цілої частини.

Визначення 3. Найпростішими дробами називаються правильні раціональні дроби таких типів:

I.

ІІ.
(K = 2, 3, ...).

ІІІ.
де квадратний тричлен

IV.
де К = 2, 3, …; квадратний тричлен
не має дійсних коренів.

а) розкласти знаменник
на найпростіші дійсні множники (відповідно до основної теореми алгебри це розкладання може містити лінійні двочлени виду
і квадратні тричлени
, що не мають коріння);

б) написати схему розкладання даного дробу у сумі найпростіших дробів. При цьому кожному співмножнику виду
відповідає kскладових видів I та II:

кожному співмножнику виду
відповідає складових видів III і IV:

приклад.

Записати схему розкладання дробу
у суму найпростіших.

в) виконати складання отриманих найпростіших дробів. Записати рівність чисельників отриманого та вихідного дробів;

г) визначити коефіцієнти відповідного розкладання:
(методи рішення будуть розглянуті нижче);

д) знайдені значення коефіцієнтів підставити у схему розкладання.

Інтегрування будь-якого правильного раціонального дробу після розкладання на найпростіші доданки зводиться до знаходження інтегралів одного з типів:

(kі e =2, 3, …).

Обчислення інтегралу зводиться до формули III:

інтеграла - До формули II:

інтеграл можна знайти за правилом, зазначеним у теорії інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен; - шляхом перетворень, наведених нижче у прикладі 4.

приклад 1.

а) розкладемо знаменник на множники:

б) напишемо схему розкладання підінтегральної функції на доданки:

в) виконаємо складання найпростіших дробів:

Запишемо рівність чисельників дробів:

г) для знаходження невідомих коефіцієнтів A, B, C є два методи.

Два багаточлени рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях хтому можна скласти відповідну систему рівнянь. У цьому полягає один із методів рішення.

Коефіцієнти при

вільні члени (коеф. ):4А = 8.

Вирішивши систему, отримаємо А = 2, В=1, З = - 10.

Інший метод – приватних значень буде розглянутий у наступному прикладі;

д) підставимо знайдені значення у схему розкладання:

Підставляючи під знак інтеграла отриману суму, і інтегруючи кожен доданок окремо, знайдемо:

приклад 2.

Тотожність є рівність, справедливе за будь-яких значень невідомих. На цьому ґрунтується метод приватних значень.Можна надавати хбудь-які значення. Зручніше для обчислень брати ті значення, які перетворюють на нуль будь-які складові у правій частині рівності.

Нехай х = 0. Тоді 1 = А 0(0+2)+В 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Аналогічно при х = - 2маємо 1 = - 2В * (-3), при х = 1маємо 1 = 3А.

Отже,

приклад 3.

г) спочатку скористаємося методом приватних значень.

Нехай х = 0тоді 1 = А 1, А = 1.

При х = - 1маємо - 1+4+2+1 = - В(1+1+1)або 6 = - 3В, В = - 2.

Для знаходження коефіцієнтів З та D потрібно скласти ще два рівняння. Для цього можна взяти будь-які інші значення х, наприклад х = 1і х = 2. Можна скористатися першим способом, тобто. прирівняти коефіцієнти за будь-яких однакових ступенів х, наприклад при і . Отримаємо

1 = А + В + С та 4 = С +D- В.

Знаючи А = 1, В = -2, знайдемо С = 2, D = 0 .

Таким чином, при обчисленні коефіцієнтів можна поєднувати обидва методи.

Останній інтеграл знаходимо окремо за правилом, зазначеним у методі веління нової змінної. Виділимо повний квадрат у знаменнику:

припустимо,
тоді
Отримаємо:

=

Підставляючи у попередню рівність, знайдемо

приклад 4.

Знайти

б)

д)

Інтегруючи, маємо:

Перший інтеграл перетворимо до формули III:

Другий інтеграл перетворимо до формули II:

У третьому інтегралі замінимо змінну:

(При виконанні перетворень скористалися формулою тригонометрії

Знайти інтеграли:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Запитання для самоперевірки.

Які з цих раціональних дробів є правильними:

2. Чи правильно записана схема розкладання дробу на суму найпростіших дробів?

Раціональна функція - це дріб виду, чисельник і знаменник якого - багаточлени або твори багаточленів.

приклад 1. Крок 2

.

Помножуємо невизначені коефіцієнти на багаточлени, яких немає в даному окремому дробі, але які є в інших отриманих дробах:

Розкриваємо дужки та прирівнюємо отриманий до отриманого виразу чисельник вихідного підінтегрального дробу:

В обох частинах рівності відшукуємо доданки з однаковими ступенями іксу і складаємо з них систему рівнянь:

.

Скорочуємо всі ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

.

Таким чином, остаточне розкладання підінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

приклад 2. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Тепер починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Тепер потрібно скласти та вирішити систему рівнянь. Для цього прирівнюємо коефіцієнти при змінній у відповідному ступені в чисельнику вихідного виразу функції та аналогічні коефіцієнти в отриманому на попередньому кроці виразу:

Вирішуємо отриману систему:

Отже, , звідси

.

приклад 3. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Як і в попередніх прикладах, складаємо систему рівнянь:

Скорочуємо ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

приклад 4. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Як прирівнювати чисельник вихідного дробу до виразу в чисельнику, отриманому після розкладання дробу на суму простих дробів та приведення цієї суми до спільного знаменника, ми вже знаємо з попередніх прикладів. Тому лише для контролю наведемо систему рівнянь, що вийшла:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

Приклад 5. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Самостійно приводимо до спільного знаменника цю суму, прирівнювати чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

.

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 6. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Проводимо з цією сумою ті ж дії, що й у попередніх прикладах. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

.

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 7. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Після відомих дій з отриманою сумою має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 8. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Внесемо деякі зміни до вже доведених до автоматизму дій для отримання системи рівнянь. Є штучний прийом, який у деяких випадках допомагає уникнути зайвих обчислень. Наводячи суму дробів до спільного знаменника одержуємо і прирівнюючи чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу, одержуємо.

Інтегрування раціональних функцій Дробно – раціональна функція Найпростіші раціональні дроби Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Інтегрування найпростіших дробів Загальне правило інтегрування раціональних дробів

багаточлен ступеня n. Дробно – раціональна функція Дробно – раціональною функцією називається функція, що дорівнює відношенню двох багаточленів: Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь чисельника менший за ступінь знаменника, тобто m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Дробно – раціональна функція Привести неправильний дріб до правильного вигляду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Найпростіші раціональні дроби Правильні раціональні дроби виду: Називаються найпростішими раціональними дробами типів. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Теорема: Будь-який правильний раціональний дріб, знаменник якого розкладений на множники: можна уявити, притому єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx Ak k x x B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx.

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Пояснимо формулювання теореми на таких прикладах: Для знаходження невизначених коефіцієнтів A, B, C, D … застосовують два методи: метод порівнювання коефіцієнтів та метод приватних значень змінної. Перший метод розглянемо з прикладу. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Представити дроб у вигляді суми найпростіших дробів: Приведемо найпростіші дроби до спільного знаменника Прирівняємо чисельники вихідного дробу, що вийшов Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 1 )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Інтегрування найпростіших дробів Знайдемо інтеграли від найпростіших раціональних дробів: Інтегрування дробу 3 типу розглянемо на прикладі. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. Ak

Інтегрування найпростіших дробівdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 3 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg 33 2 9 ln 2 32

Інтегрування найпростіших дробів Інтеграл цього типу за допомогою підстановки: наводиться до суми двох інтегралів: Перший інтеграл обчислюється методом внесення t під знак диференціала. Другий інтеграл обчислюється за допомогою рекурентної формули: 1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Інтегрування найпростіших дробів a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t 2 (4)1(

Загальне правило інтегрування раціональних дробів Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми багаточлена та правильного дробу. Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, уявити його як суми найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами Знайти невизначені коефіцієнти методом порівняння коефіцієнтів чи методом приватних значень змінної. Проінтегрувати багаточлен та отриману суму найпростіших дробів.

Наведемо дріб до правильного вигляду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

Приклад Розкладемо знаменник правильного дробу на множники Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів Знайдемо невизначені коефіцієнти методом приватних значень змінної xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Приклад dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

«Математик так само, як художник чи поет, створює візерунки. І якщо його візерунки більш стійкі, лише тому, що вони складені з ідей... Візерунки математика так само, як візерунки художника або поета, повинні бути прекрасні; ідеї так само, як кольори або слова повинні відповідати один одному. Краса є першою вимогою: у світі немає місця для некрасивої математики».

Г.Х.Харді

У першому розділі зазначалося, що існують первісні досить простих функцій, які не можна висловити через елементарні функції. У зв'язку з цим, велике практичне значення набувають ті класи функцій, про які можна точно сказати, що їх первісні - елементарні функції. До такого класу функцій відносяться раціональні функції, що являють собою відношення двох алгебраїчних багаточленів До інтегрування раціональних дробів наводять багато завдань. Тому дуже важливо вміти інтегрувати такі функції.

2.1.1. Дробно-раціональні функції

Раціональним дробом(або дробово-раціональною функцією)називається відношення двох алгебраїчних багаточленів:

де і – багаточлени.

Нагадаємо, що багаточленом (поліномом, цілою раціональною функцією) n-го ступеняназивається функція виду

де – дійсні числа. Наприклад,

- багаточлен першого ступеня;

- багаточлен четвертого ступеня і т.д.

Раціональний дріб (2.1.1) називається правильноюякщо ступінь нижче ступеня, тобто. n<m, в іншому випадку дріб називається неправильною.

Будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми багаточлена (цілої частини) та правильного дробу (дрібної частини).Виділення цілої та дробової частин неправильного дробу можна проводити за правилом поділу багаточленів «кутом».

Приклад 2.1.1.Виділити цілу та дробову частини наступних неправильних раціональних дробів:

а) , б) .

Рішення . а) Використовуючи алгоритм розподілу «куточком», отримуємо

Таким чином, отримуємо

.

б) Тут також використовуємо алгоритм поділу «куточком»:

В результаті, отримуємо

.

Підведемо підсумки. Невизначений інтеграл від раціонального дробу в загальному випадку можна уявити сумою інтегралів від багаточлена та від правильного раціонального дробу. Знаходження первісних від многочленів не становить труднощів. Тому надалі розглядатимемо переважно правильні раціональні дроби.

2.1.2. Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування

Серед правильних раціональних дробів виділяють чотири типи, які відносять до найпростішим (елементарним) раціональним дробам:

3) ,

4) ,

де - ціле число, , тобто. квадратний тричлен не має дійсних коренів.

Інтегрування найпростіших дробів 1-го та 2-го типу не становить великих труднощів:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Розглянемо тепер інтегрування найпростіших дробів 3-го типу, а дроби 4-го типу не розглядатимемо.

Почнемо з інтегралів виду

.

Цей інтеграл зазвичай обчислюють шляхом виділення повного квадрата в знаменнику. В результаті виходить табличний інтеграл наступного виду

або .

Приклад 2.1.2.Знайти інтеграли:

а) , б) .

Рішення . а) Виділимо із квадратного тричлена повний квадрат:

Звідси знаходимо

б) Виділивши із квадратного тричлена повний квадрат, отримуємо:

Таким чином,

.

Для знаходження інтегралу

можна виділити в чисельнику похідну знаменника і розкласти інтеграл у сумі двох інтегралів: перший їх підстановкою зводиться до вигляду

,

а другий - до розглянутого вище.

Приклад 2.1.3.Знайти інтеграли:

.

Рішення . Зауважимо, що . Виділимо в чисельнику похідну знаменника:

Перший інтеграл обчислюється за допомогою підстановки :

У другому інтегралі виділимо повний квадрат у знаменнику

Остаточно, отримуємо

2.1.3. Розкладання правильного раціонального дробу
на суму найпростіших дробів

Будь-який правильний раціональний дріб можна уявити єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів. Для цього знаменник слід розкласти на множники. З вищої алгебри відомо, що кожен багаточлен із дійсними коефіцієнтами

Тут ми наводимо докладні рішення трьох прикладів інтегрування наступних раціональних дробів:
, , .

Приклад 1

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут під знаком інтеграла стоїть раціональна функція, оскільки підінтегральний вираз є дробом із багаточленів. Ступінь багаточлена знаменника ( 3 ) менше ступеня багаточлена чисельника ( 4 ). Тому спочатку необхідно виділити цілу частину дробу.

1. Виділимо цілу частину дробу. Ділимо x 4 на x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Звідси
.

2. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно розв'язати кубічне рівняння:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Підставимо x = 1 :
.

1 . Ділимо на x - 1 :

Звідси
.
Вирішуємо квадратне рівняння.
.
Коріння рівняння: , .
Тоді
.

3. Розкладемо дріб на найпростіші.

.

Отже, ми знайшли:
.
Інтегруємо.

Відповідь

Приклад 2

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут у чисельнику дробу - багаточлен нульового ступеня ( 1 = x 0). У знаменнику - багаточлен третього ступеня. Оскільки 0 < 3 , то дріб правильний. Розкладемо її на найпростіші дроби.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 3 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 3, -1, -3 .
Підставимо x = 1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = 1 . Ділимо x 3 + 2 x - 3на x - 1 :

Отже,
.

Вирішуємо квадратне рівняння:
x 2+x+3=0.
Знаходимо дискримінант: D = 1 2 - 4 · 3 = -11. Оскільки D< 0 , то рівняння не має дійсних коренів. Таким чином, ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Підставимо x = 1 . Тоді x - 1 = 0 ,
.

Підставимо в (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Прирівняємо в (2.1) коефіцієнти при x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Інтегруємо.
(2.2) .
Для обчислення другого інтеграла, виділимо в чисельнику похідну знаменника та наведемо знаменник до суми квадратів.

;
;
.

Обчислюємо I 2 .


.
Оскільки рівняння x 2+x+3=0не має дійсних коренів, то x 2 + x + 3 > 0. Тому знак модуля можна опустити.

Поставляємо в (2.2) :
.

Відповідь

Приклад 3

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Тут під знаком інтеграла стоїть дріб із багаточленів. Тому підінтегральний вираз є раціональною функцією. Ступінь многочлена в чисельнику дорівнює 3 . Ступінь многочлена знаменника дробу дорівнює 4 . Оскільки 3 < 4 , то дріб правильний. Тому її можна розкладати на найпростіші дроби. Але для цього потрібно розкласти знаменник на множники.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння четвертого ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = -1 . Ділимо на x - (-1) = x + 1:


Отже,
.

Тепер потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Якщо припустити, що це рівняння має ціле коріння, він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли ще один корінь x = -1 . Можна було б, як і в попередньому випадку, поділити багаточлен на , але ми згрупуємо члени:
.

Оскільки рівняння x 2 + 2 = 0 не має дійсних коренів, то ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2. Розкладемо дріб на найпростіші. Шукаємо розкладання у вигляді:
.
Звільняємося від знаменника дробу, множимо на (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Підставимо x = -1 . Тоді x + 1 = 0 ,
.

Продиференціюємо (3.1) :

;

.
Підставимо x = -1 та врахуємо, що x + 1 = 0 :
;
; .

Підставимо в (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Прирівняємо в (3.1) коефіцієнти при x 3 :
;
1 = B + C;
.

Отже, ми знайшли розкладання на найпростіші дроби:
.

3. Інтегруємо.


.