Як вивести формулу із формули з фізики. Як виразити одну змінну через іншу? Як виразити змінну із формули? Союз із математикою

У кожній задачі з фізики потрібно з формули висловити невідому, наступним кроком підставити чисельні значення і отримати відповідь, у деяких випадках необхідно лише висловити невідому величину. Способів виведення невідомої формули багато. Якщо подивитися сторінки Інтернету, ми побачимо безліч рекомендацій з цього приводу. Це говорить про те, що єдиного підходу до вирішення цієї проблеми наукове співтовариство ще не виробило, а ті способи, які використовуються, як свідчить досвід роботи в школі, – вони малоефективні. До 90% учнів випускних класів не вміють правильно висловити невідоме. Ті ж, хто вміють це робити, виконують громіздкі перетворення. Дуже дивно, але фізики, математики, хіміки мають різні підходи, пояснюючи методи перенесення параметрів через знак рівності (пропонують правила трикутника, хреста чи пропорцій). Можна сказати, що мають різну культуру роботи з формулами. Можна уявити, що відбувається з більшістю учнів, які зустрічаються з різними трактуваннями вирішення цієї проблеми, послідовно відвідуючи уроки цих предметів. Цю ситуацію визначає типовий діалог у мережі:

Навчіть виражати формули величини. 10 клас, мені соромно не знати, як із однієї формули робити іншу.

Та не хвилюйся - це проблема багатьох моїх однокласників, хоч я і в 9 кл. Вчителі показують це найчастіше методом трикутника, але мені здається, що це незручно та й заплутатися легко. Покажу найбільш простий спосіб, яким я користуюсь.

Допустимо, дана формула:

Ну простіша.... тобі з цієї формули потрібно знайти час. Ти береш і в цю формулу підставляє числа лише різні, виходячи з алгебри. Допустимо:

і тобі напевно добре видно, що щоб знайти час в алгебраїчному вираженні 5 потрібно 45/9 тобто переходимо до фізики: t=s/v

Більшість учнів формується психологічний блок. Часто учні відзначають, що з читанні підручника труднощі насамперед викликають ті фрагменти тексту, у яких багато формул, що «довгі висновки однаково зрозуміти», та заодно виникає відчуття неповноцінності, невіри у свої сили.

Я, пропоную наступне вирішення даної проблеми - більшість учнів все-таки можуть вирішувати приклади і, отже, розставляти порядок дій. Використовуємо це їхнє вміння.

1. У тій частині формули, де міститься змінна, яку потрібно висловити, треба розстав порядок дій, причому в одночленах, що не містять шукану величину цього робити не будемо.

2. Потім у зворотній послідовності обчислень перенесіть елементи формули в іншу частину формули (через знак рівності) з протилежною дією (мінус - плюс, розділити - помножити, зведення в квадрат - вилучення кореня квадратного). ).

Тобто знайдемо у виразі остання дія і перенесемо одночлен або багаточлен, який виконує цю дію, через знак рівності першою, але вже з протилежною дією. Таким чином, послідовно, знаходячи останню дію у виразі, перенесіть з однієї частини рівності до іншої всі відомі величини. На закінчення перепишемо формулу так, щоб невідома змінна стояла зліва.

Отримуємо чіткий алгоритм роботи, точно знаємо скільки перетворень необхідно виконати. Можемо для тренування використати вже відомі формули, можемо вигадувати свої. Для початку роботи над засвоєнням даного алгоритму було створено презентацію.

Досвід роботи з учнями показує, що цей метод добре сприймається ними. Реакція вчителів на мій виступ на фестивалі «Вчитель профільної школи» також говорить про позитивне зерно, закладене у цій роботі.

Скориставшись записом першого початку термодинаміки у диференціальній формі (9.2), отримаємо вираз для теплоємності довільного процесу:

Представимо повний диференціал внутрішньої енергії через приватні похідні за параметрами та:

Після чого формулу (9.6) перепишемо у вигляді

Співвідношення (9.7) має самостійне значення, оскільки визначає теплоємність у будь-якому термодинамічному процесі та для будь-якої макроскопічної системи, якщо відомі калоричне та термічне рівняння стану.

Розглянемо процес при постійному тиску та отримаємо загальне співвідношення між і .

Виходячи з отриманої формули, можна легко знайти зв'язок між теплоємностями та в ідеальному газі. Цим ми й займемося. Втім, відповідь вже відома, ми її активно використовували в 7.5.

Рівняння Роберта Майєра

Виразимо приватні похідні у правій частині рівняння (9.8), за допомогою термічного та калоричного рівнянь, записаних для одного молячи ідеального газу. Внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від температури і не залежить від обсягу газу, отже

З термічного рівняння легко отримати

Підставимо (9.9) та (9.10) у (9.8), тоді

Остаточно запишемо

Ви, сподіваюся, дізналися (9.11). Так, звичайно, це рівняння Майєра. Ще раз нагадаємо, що рівняння Майєра справедливе лише для ідеального газу.

9.3. Політропічні процеси в ідеальному газі

Як зазначалося вище, перше початок термодинаміки можна використовувати для виведення рівнянь процесів, що відбуваються в газі. Велике практичне застосування знаходить клас процесів, які називаються політропічними. Політропічним називається процес, що проходить при постійній теплоємності .

Рівняння процесу визначається функціональним зв'язком двох макроскопічних параметрів, що описують систему. На відповідній координатній площині рівняння процесу наочно представляється як графіка - кривої процесу. Крива, що зображує політропічний процес, називається політропа. Рівняння політропічного процесу для будь-якої речовини може бути отримано на основі першого початку термодинаміки з використанням його термічного та калоричного рівнянь стану. Продемонструємо, як це робиться на прикладі виведення рівняння процесу ідеального газу.

Виведення рівняння політропічного процесу в ідеальному газі

Вимога сталості теплоємності у процесі дозволяє записати перший початок термодинаміки як

Використовуючи рівняння Майєра (9.11) та рівняння стану ідеального газу, отримуємо наступний вираз для

Розділивши рівняння (9.12) на T і підставивши в нього (9.13) прийдемо до виразу

Розділивши () на , знаходимо

Інтегруванням (9.15), отримуємо

Це рівняння політропи у змінних

Виключаючи з рівняння (), за допомогою рівності отримуємо рівняння політропи в змінних

Параметр називається показником політропи, який може приймати згідно () різні значення, позитивні і негативні, цілі і дробові. За формулою () ховається безліч процесів. Відомі вам ізобарний, ізохорний та ізотермічний процеси є окремими випадками політропічного.

До цього класу процесів належить також адіабатний чи адіабатичний процес . Адіабатним називається процес, який відбувається без теплообміну (). Реалізувати такий процес можна двома способами. Перший спосіб передбачає наявність у системи теплоізолюючої оболонки, здатної змінювати свій об'єм. Другий – полягає у здійсненні такого швидкого процесу, при якому система не встигає обмінюватися кількістю теплоти з навколишнім середовищем. Процес поширення звуку в газі можна вважати адіабатним завдяки великій швидкості.

З визначення теплоємності слід, що у адіабатичному процесі . Згідно

де – показник адіабати.

У цьому випадку рівняння політропи набуває вигляду

Рівняння адіабатного процесу (9.20) називають також рівнянням Пуассона, тому параметр часто називають постійною Пуассона. Постійна важлива характеристика газів. З досвіду випливає, що значення для різних газів лежать в інтервалі 1,30 ÷ 1,67, тому на діаграмі процесів адіабату «падає» більш круто, ніж ізотерма.

Графіки політропічних процесів щодо різних значень представлені на рис. 9.1.

На рис. 9.1 графіки процесів пронумеровані відповідно до табл. 9.1.

Цей урок є корисним доповненням до попередньої теми.

Вміння робити такі речі – штука не просто корисна, вона – необхідна. У всіх розділах математики, від шкільної до вищої. Та й у фізиці також. Саме тому завдання подібного роду обов'язково присутні і в ЄДІ і в ОДЕ. У всіх рівнях – як базовому, і профільному.

Власне, вся теоретична частина подібних завдань є єдиною фразою. Універсальну та просту до неподобства.

Дивуємось, але запам'ятовуємо:

Будь-яка рівність з літерами, будь-яка формула – це ТАКОЖ РІВНЯННЯ!

А де рівняння, там автоматично та . Ось і застосовуємо їх у зручному нам порядку і готова справа. Читали попередній урок? Ні? Однак… Тоді це посилання – для вас.

Ах, ви знаєте? Чудово! Тоді застосовуємо теоретичні знання практично.

Почнемо із простого.

Як виразити одну змінну через іншу?

Таке завдання постійно виникає під час вирішення систем рівнянь.Наприклад, є рівність:

3 x - 2 y = 5

Тут дві змінні- Ікс та ігрок.

Допустимо, нас просять висловитиxчерезy.

Що означає це завдання? Воно означає, що ми повинні отримати певну рівність, де ліворуч стоїть чистий ікс. У гордій самоті, без жодних сусідів та коефіцієнтів. А справа – що вже вийде.

І як нам отримати таку рівність? Дуже просто! За допомогою тих самих старих добрих тотожних перетворень! Ось і застосовуємо їх у зручному нампорядку, крок за кроком добираючись до чистого ікса.

Аналізуємо ліву частину рівняння:

3 x – 2 y = 5

Тут нам мішаються трійка перед іксом і - 2 y. Почнемо з - 2у, Це буде простіше.

Перекидаємо - 2уз лівої частини у праву. Змінюючи мінус на плюс, зрозуміло. Тобто. застосовуємо першетотожне перетворення:

3 x = 5 + 2 y

Півсправи зроблено. Залишилась трійка перед іксом. Як її позбутися? Розділити обидві частини на цю трійку! Тобто. задіяти другетотожне перетворення.

Ось і ділимо:

От і все. Ми висловили ікс через ігрок. Ліворуч – чистий ікс, а праворуч – що вже вийшло внаслідок "очищення" ікса.

Можна було б спочаткуподілити обидві частини на трійку, а потім переносити. Але це призвело б до появи дробів у процесі перетворень, що дуже зручно. А так, дріб з'явився лише наприкінці.

Нагадую, що порядок перетворень жодної ролі не відіграє. Як намзручно, так і робимо. Найголовніше – не порядок застосування тотожних перетворень, які правильність!

А можна з цієї ж рівності

3 x – 2 y = 5

виразити y черезx?

А чому ні? Можна, можливо! Все те саме, тільки цього разу нас цікавить ліворуч чистий гравець. Ось і очищаємо ігорок від усього зайвого.

Насамперед позбавляємося висловлювання 3х. Перекидаємо його у праву частину:

–2 y = 5 – 3 x

Залишилась двійка з мінусом. Ділимо обидві частини на (-2):

І всі справи.) Ми висловилиyчерез х.Переходимо до більш серйозних завдань.

Як виразити змінну із формули?

Не проблема! Так само!Якщо розуміти, що будь-яка формула – теж рівняння.

Наприклад, таке завдання:

З формули

висловити змінну с.

Формула – теж рівняння! Завдання означає, що через перетворення із запропонованої формули нам треба отримати якусь нову формулу.В якій ліворуч стоятиме чиста з, а справа – що вже вийде, те й вийде.

Проте… Як нам цю саму звитягувати-то?

Як-небудь… За кроками! Ясна річ, що виділити чисту з відразунеможливо: вона у дробі сидить. А дріб множиться на r… Отже, насамперед очищаємо вираз з літерою з, тобто. весь дріб цілком.Тут можна поділити обидві частини формули на r.

Отримаємо:

Наступним кроком треба витягнути зз чисельника дробу. Як? Легко! Позбавимося дробу. Нема дробу – немає і чисельника.) Помножуємо обидві частини формули на 2:

Залишилася елементарщина. Забезпечимо праворуч букві згорда самота. Для цього змінні aі bпереносимо вліво:

Ось і все можна сказати. Залишилося переписати рівність у звичному вигляді, зліва направо і відповідь готова:

Це було нескладне завдання. А тепер завдання на основі реального варіанта ЄДІ:

Локатор батискафа, що рівномірно занурюється вертикально вниз, випускає ультразвукові імпульси частотою 749 МГц. Швидкість занурення батискафа обчислюється за формулою

де с = 1500 м/с - швидкість звуку у воді,

f 0 - Частота імпульсів, що випускаються (в МГц),

f– частота відбитого від дна сигналу, реєстрована приймачем (МГц).

Визначте частоту відбитого сигналу МГц, якщо швидкість занурення батискафа дорівнює 2 м/с.

"Багато букафф", так ... Але літери - це лірика, а загальна суть все одно та сама. Насамперед треба висловити цю частоту відбитого сигналу (тобто букву f) із запропонованої нам формули. Ось цим і займемося. Дивимося на формулу:

Безпосередньо, природно, букву fне висмикнеш, вона знову на дріб захована. Причому і чисельник і знаменник. Тому самим логічним кроком буде позбутися дробу. А там – видно буде. Для цього застосовуємо другеперетворення – множимо обидві частини знаменник.

Отримаємо:

А ось тут – чергові граблі. Прошу звернути увагу на дужки в обох частинах! Часто саме у цих самих скобочках і криються помилки у подібних завданнях. Точніше, не в самих скобочках, а в їхній відсутності.

Дужки ліворуч означають, що літера vмножиться на весь знаменник цілком. А не на його окремі шматочки.

Праворуч, після множення, дріб зниклаі залишився самотній чисельник. Який, знову ж таки, весь повністюмножиться на літеру з. Що й виражається дужками у правій частині.)

А ось тепер дужки і розкрити можна:

Чудово. Процес йде.) Тепер буква fзліва стала спільним множником. Виносимо її за дужки:

Залишилося нічого. Ділимо обидві частини на дужку (v- c) і – справа у капелюсі!

В принципі, все готове. Змінна f вже виражена. Але можна додатково "зачесати" отриманий вираз – винести f 0 за дужку в чисельнику і скоротити весь дріб на (-1), тим самим позбувшись зайвих мінусів:

Ось такий вираз. А тепер і числові дані підставити можна. Отримаємо:

Відповідь: 751 МГц

От і все. Сподіваюся, спільна ідея зрозуміла.

Робимо елементарні тотожні перетворення з метою усамітнити цікаву для нас змінну. Головне тут - не послідовність дій (вона може бути будь-якою), які правильність.

У цих двох уроках розглядаються лише два базові тотожні перетворення рівнянь. Вони працюють завжди. На те вони базові. Крім цієї парочки, існує ще безліч інших перетворень, які теж будуть тотожними, але не завжди, а лише за певних умов.

Наприклад, зведення обох частин рівняння (або формули) у квадрат (або навпаки, вилучення кореня з обох частин) буде тотожним перетворенням, якщо обидві частини рівняння явно невід'ємні.

Або, скажімо, логарифмування обох частин рівняння буде тотожним перетворенням, якщо обидві частини свідомо позитивні.І так далі…

Подібні перетворення розглядатимуться у відповідних темах.

А тут і зараз – приклади для тренування з елементарних базових перетворень.

Просте завдання:

З формули

висловити змінну і знайти її значення приS=300, V 0 =20, t=10.

Завдання складніше:

Середня швидкість лижника (в км/год) на дистанції у два кола розраховується за формулою:

деV 1 іV 2 - Середні швидкості (в км/год) на першому та другому колах відповідно. Якою була середня швидкість лижника на другому колі, якщо відомо, що перше коло лижник пробіг зі швидкістю 15 км/год, а середня швидкість на всій дистанції дорівнювала 12 км/год?

Завдання на основі реального варіанта ОДЕ:

Центрошвидке прискорення при русі по колу (м/с 2) можна обчислити за формулоюa=ω 2R, де ω - кутова швидкість (в с -1), аR- Радіус кола. Використовуючи цю формулу, знайдіть радіусR(в метрах), якщо кутова швидкість дорівнює 8,5 с -1 , а доцентрове прискорення дорівнює 289 м/с 2.

Завдання на основі реального варіанта профільного ЄДІ:

До джерела з ЕРС ε=155 В та внутрішнім опоромr=0,5 Ом хочуть підключити навантаження із опоромRОм. Напруга на цьому навантаженні, що виражається у вольтах, дається формулою:

При якому опорі навантаження напруга на ньому буде 150? Відповідь висловіть у омах.

Відповіді (безладно): 4; 15; 2; 10.

А вже де числа, кілометри за годину, метри, оми – це якось самі…)

Способів виведення невідомої з формули багато, але як показує досвід роботи – вони малоефективні. Причина: 1. До 90% учнів випускних класів не можуть правильно висловити невідоме. Ті ж, хто вміють це робити, виконують громіздкі перетворення. 2. Фізики, математики, хіміки – люди, які говорять різними мовами, пояснюючи методи перенесення параметрів через знак рівності (пропонують правила трикутника, хреста та ін.) У статті розглянуто простий алгоритм, що дозволяє в один прийом, без багаторазового переписування висловлювання зробити висновок шуканої формули. Його можна порівнювати з роздяганням людини (право від рівності) в шафу (ліворуч): не можна зняти сорочку, не знімаючи пальто або: те, що першим одягають, останнім знімають.

Алгоритм:

1. Записати формулу і розібрати прямий порядок виконуваних дій, послідовність обчислень: 1) зведення у ступінь, 2) множення – розподіл, 3) віднімання – додавання.

2. Записати: (невідоме) = (переписати зворотну частину рівності)(одяг у шафі (ліворуч від рівності) залишився на місці).

3. Правило перетворення формул: послідовність перенесення параметрів через знак рівності визначається зворотною послідовністю обчислень. Знайти у виразі остання діяі перенестийого через знак рівності першим. Поетапно, знаходячи останню дію у вираженні, перенести сюди з іншої частини рівності (одяг з людини) всі відомі величини. У зворотній частині рівності виконуються зворотні дії (якщо штани знімають – «мінус», то в шафу укладають – «плюс»).

Приклад: hv = hc / λ m + mυ 2 /2

Виразити частотуv :

порядок дій: 1.v = переписуємо праву частинуhc / λ m + mυ 2 /2

2. Розділимо на h

Підсумок: v = ( hc / λ m + mυ 2 /2) / h

Виразити υ m :

порядок дій: 1. υ m = переписати ліву частину (hv ); 2. Послідовно переносимо сюди зі зворотним знаком: ( - hc /λ m ); (*2 ); (1/ m ); (√ або ступінь 1/2 ).

Чому спочатку переноситься ( - hc /λ m )? Це остання дія у правій частині вираження. Оскільки вся права частина множиться на (m /2 ), то і вся ліва частина ділиться на цей множник: тому ставляться дужки. Перше дію у правій частині – зведення квадрат, переноситься у ліву частину останнім.

Цю елементарну математику з порядком дій при обчисленнях кожен учень добре знає. Тому Усеучні досить легко, без багаторазового переписування виразувідразу виводять формулу для обчислення невідомого.

Підсумок: υ = (( hv - hc /λ m ) *2/ m ) 0.5 ` (або пишуть квадратний корінь замість ступеня 0,5 )

Виразити λ m :

порядок дій: 1. λ m = переписати ліву частину (hv ); 2.Відняти ( mυ 2 /2 ); 3. Розділити на (hc ); 4. Звести в ступінь ( -1 ) (Математики зазвичай змінюють чисельник і знаменник шуканого висловлювання.)