Тессеракт та взагалі n-мірні куби. Кіберкуб - перший крок у четвертий вимір 4 х мірний куб gif

У геометрії гіперкуб- це n-мірна аналогія квадрата ( n= 2) та куба ( n= 3). Це замкнута опукла постать, що складається з груп паралельних ліній, розташованих на протилежних краях фігури, і з'єднаних один з одним під прямим кутом.

Ця фігура також відома під назвою тесеракт(Tesseract). Тессеракт відноситься до куба, як куб відноситься до квадрата. Більш формально, тессеракт може бути описаний як правильний опуклий чотиривимірний політоп (багатогранник), межа якого складається з восьми кубічних осередків.

Згідно з Окфордським словником англійської мови, слово "tesseract" було придумано в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (Charles Howard Hinton) і використано в його книзі "Нова ера думки" ("A New Era of Thought"). Слово було утворене від грецького "τεσσερες ακτινες" ("чотири промені"), є у вигляді чотири осі координат. Крім цього, у деяких джерелах цю ж фігуру називали тетракубом(Tetracube).

n-мірний гіперкуб також називається n-кубом.

Крапка - це гіперкуб розмірності 0. Якщо зрушити точку на одиницю довжини, вийде відрізок одиничної довжини - гіперкуб розмірності 1. Далі, якщо зрушити відрізок на одиницю довжини в напрямку перпендикулярному напрямку відрізка вийде куб - гіперкуб розмірності 2. Зсув квадрат на одиницю довжини в напрямку Перпендикулярна площині квадрата, виходить куб - гіперкуб розмірності 3. Цей процес може бути узагальнений на будь-яку кількість вимірювань. Наприклад, якщо зрушити куб на одиницю довжини четвертому вимірі, вийде тессеракт.

Сімейство гіперкубів є одним з небагатьох правильних багатогранників, які можуть бути представлені у будь-якому вимірі.

Елементи гіперкубу

Гіперкуб розмірності nмає 2 n"сторон" (одномірна лінія має 2 точки; двомірний квадрат - 4 сторони; тривимірний куб - 6 граней; чотиривимірний тессеракт - 8 осередків). Кількість вершин (точок) гіперкубу дорівнює 2 n(Наприклад, для куба - 2 3 вершин).

Кількість m-мірних гіперкубів на кордоні n-куба одно

Наприклад, на межі гіперкубу знаходяться 8 кубів, 24 квадрати, 32 ребра та 16 вершин.

Елементи гіперкубів

n-куб	Назва	Вершина (0-грань)	Ребро (1-грань)	Грань (2-грань)	Комірка (3-грань)	(4-грань)	(5-грань)	(6-грань)	(7-грань)	(8-грань)
0-куб	Крапка	1
1-куб	Відрізок	2	1
2-куб	Квадрат	4	4	1
3-куб	Куб	8	12	6	1
4-куб	Тессеракт	16	32	24	8	1
5-куб	Пентеракт	32	80	80	40	10	1
6-куб	Хексеракт	64	192	240	160	60	12	1
7-куб	Хептеракт	128	448	672	560	280	84	14	1
8-куб	Октеракт	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-куб	Ененеракт	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Проекція на площину

Формування гіперкуба може бути представлене наступним способом:

• Дві точки A та B можуть бути з'єднані, утворюючи відрізок AB.
• Два паралельні відрізки AB і CD можуть бути з'єднані, утворюючи квадрат ABCD.
• Два паралельні квадрати ABCD і EFGH можуть бути з'єднані, утворюючи куб ABCDEFGH.
• Два паралельні куби ABCDEFGH і IJKLMNOP можуть бути з'єднані, утворюючи гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Остання структура нелегка уявити, але можна зобразити її проекцію на двовимірний або тривимірний простір. Більш того, проекції на двомірну площину можуть бути кориснішими можливістю перестановки позицій спроектованих вершин. В цьому випадку можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відношення елементів усередині тесеракту, але ілюструють структуру з'єднань вершин, як на прикладах нижче.

На першій ілюстрації показано, як у принципі утворюється тессеракт шляхом з'єднання двох кубів. Ця схема схожа на схему створення куба із двох квадратів. На другий схемі показано, що це ребра тессеракта мають однакову довжину. Ця схема також змушують шукати з'єднані один з одним куби. На третій схемі вершини тесеракта розташовані відповідно до відстаней уздовж граней щодо нижньої точки. Ця схема цікава тим, що вона використовується як базова схема для мережевої топології з'єднання процесорів при організації паралельних обчислень: відстань між будь-якими двома вузлами не перевищує 4 довжин ребер і існує багато різних шляхів для врівноваження навантаження.

Гіперкуб у мистецтві

Гіперкуб з'явився в науково-фантастичній літературі з 1940 року, коли Роберт Хайнлайн в оповіданні "Будинок, який збудував Тіл" ("And He Built a Crooked House") описав будинок, збудований за формою розгортки тесеракту. В оповіданні цей Далі цей будинок згортається, перетворюючись на чотиривимірний тесеракт. Після цього гіперкуб з'являється у багатьох книгах та новелах.

У фільмі "Куб 2: Гіперкуб" розповідається про вісім людей, замкнених у мережі гіперкубів.

На картині Сальвадора Далі "Розп'яття" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) зображено Ісус розп'ятий на розгортці тесеракта. Цю картину можна побачити у Музеї Мистецтв (Metropolitan Museum of Art) у Нью-Йорку.

Висновок

Гіперкуб - одна з найпростіших чотиривимірних об'єктів, на прикладі якого можна побачити всю складність та незвичайність четвертого виміру. І те, що виглядає неможливим у трьох вимірах, можливо в чотирьох, наприклад, неможливих фігур. Так, наприклад, бруски неможливого трикутника у чотирьох вимірах будуть з'єднані під прямими кутами. І ця фігура виглядатиме так з усіх точок огляду, і не спотворюватиметься на відміну від реалізацій неможливого трикутника у тривимірному просторі (див.

Якщо з вами стався незвичайний випадок, ви побачили дивну істоту або незрозуміле явище, вам наснився незвичайний сон, ви побачили в небі НЛО або стали жертвою викрадення прибульців, ви можете надіслати нам свою історію і вона буде опублікована на нашому сайті. .

Вчення про багатовимірні простори почали з'являтися у середині ХІХ століття. Ідею чотиривимірного простору у вчених запозичили фантасти. У своїх творах вони розповіли світові про дивовижні дива четвертого виміру.

Герої їхніх творів, використовуючи властивості чотиривимірного простору, могли з'їсти вміст яйця, не пошкодивши шкаралупи, випити напій, не розкриваючи пляшку. Викрадачі витягували скарби із сейфа через четвертий вимір. Хірурги виконували операції над внутрішніми органами, не розрізаючи тканини тіла пацієнта.

Тессеракт

У геометрії гіперкуб – це n-мірна аналогія квадрата (п = 2) та куба (п = 3). Чотиривимірний аналог нашого 3-мірного куба відомий під назвою тессеракт (tesseract). Тессеракт відноситься до куба, як куб відноситься до квадрата. Більш формально, тессеракт може бути описаний як правильний опуклий чотиривимірний багатогранник, межа якого складається з восьми кубічних осередків.

Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні грані (квадрати), тощо. Остаточно, тессеракт володіє 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами та 16 вершинами.
До речі згідно з Оксфордським словником, слово tesseract було придумано і почало використовуватися в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (1853-1907) в його книзі «Нова ера думки». Пізніше деякі люди назвали ту саму фігуру тетракубом (грец. Тетра - чотири) - чотиривимірним кубом.

Побудова та опис

Спробуємо уявити, як виглядатиме гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.
В одномірному «просторі» - на лінії - виділимо відрізок АВ завдовжки L. На двовимірній площині на відстані L від АВ намалюємо паралельний відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат CDBA. Повторивши цю операцію із площиною, отримаємо тривимірний куб CDBAGHFE. А зсунувши куб у четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшої кількості вимірювань, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, мешканців тривимірного простору, виглядатиме чотиривимірний гіперкуб.

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимося на нього одним оком з боку грані. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрати (ближню та дальню його грані), з'єднані чотирма лініями – бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірювань буде виглядати як два кубічні «ящики», вставлені один в одного і з'єднані вісьмома ребрами. При цьому самі «ящики» – тривимірні грані – проектуватимуться на «наш» простір, а лінії, що їх з'єднують, простягнуться у напрямку четвертої осі. Можна спробувати уявити собі куб над проекції, а просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зрушеним на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі виглядатимуть як досить складна фігура. Сам же чотиривимірний гіперкуб можна розбити на нескінченну кількість кубів, подібно до того, як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти в плоску фігуру - розгортку. Вона матиме по квадрату з кожного боку вихідної грані плюс ще один – грань, їй протилежну. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба складатиметься з вихідного куба, шести кубів, що «виростають» із нього, плюс ще одного – кінцевої «гіперграні».

Гіперкуб у мистецтві

Тессеракт настільки цікава постать, що неодноразово привертав увагу письменників та кінематографістів.
Роберт Е. Хайнлайн кілька разів згадував гіперкуби. У «Будинку, який збудував Тіл», (1940) він описав будинок, побудований як розгортка тессеракта, а потім внаслідок землетрусу «який склався» в четвертому вимірі і став «реальним» тессерактом. У романі «Дорога слави» Хайнлайн описана гіперрозмірна скринька, яка була зсередини більша, ніж зовні.

Розповідь Генрі Каттнера «Всі теналі борогові» описує розвиваючу іграшку для дітей з далекого майбутнього, за будовою схожу на тессеракт.

Сюжет фільму "Куб 2: Гіперкуб" зосереджується на восьми незнайомцях, спійманих у пастку в "гіперкубі", або мережі пов'язаних кубів.

Паралельний світ

Математичні абстракції викликали до життя уявлення про існування паралельних світів. Під такими розуміються дійсності, які є одночасно з нашою, але незалежно від неї. Паралельний світ може мати різні розміри: від невеликої географічної області до цілого всесвіту. У паралельному світі події відбуваються по-своєму, він може відрізнятись від нашого світу, як в окремих деталях, так і практично у всьому. При цьому фізичні закони паралельного світу не обов'язково аналогічні законам нашого Всесвіту.

Ця тема – благодатний ґрунт для письменників-фантастів.

На картині Сальвадора Далі «Розп'яття на хресті» зображено тесеракт. "Розп'яття або Гіперкубічне тіло", - картина іспанського художника Сальвадора Далі, написана в 1954 році. Зображує розіп'ятого Ісуса Христа на розгортці тесеракта. Картина зберігається у Музеї Метрополітен у Нью-Йорку

Все почалося в 1895 році, коли Герберт Уеллс розповіддю «Двері в стіні» відкрив для фантастики існування паралельних світів. У 1923 році Уеллс повернувся до ідеї паралельних світів і помістив до них утопічну країну, куди вирушають персонажі роману «Люди як боги».

Роман не залишився непоміченим. У 1926 році з'явилося оповідання Г. Дента «Імператор країни „Якщо"». У оповіданні Дента вперше виникла ідея про те, що можуть існувати країни (світи), історія яких могла піти не так, як історія реальних країн у нашому світі. ці не менш реальні, ніж наші.

У 1944 році Хорхе Луїс Борхес опублікував у своїй книзі «Вигадані історії» розповідь «Сад розбіжних стежок». Тут ідея розгалуження часу була нарешті виражена з граничною ясністю.
Незважаючи на появу перелічених вище творів, ідея багатосвітності почала серйозно розвиватися у науковій фантастиці лише наприкінці сорокових років XX століття, приблизно тоді, коли аналогічна ідея виникла у фізиці.

Одним з піонерів нового напряму у фантастиці був Джон Біксбі, який передбачив у розповіді «Вулиця одностороннього руху» (1954), що між світами можна рухатися лише в один бік - вирушивши зі свого світу в паралельний, ви вже не повернетеся назад, але так і будете переходити з одного світу до наступного. Втім, повернення у свій світ також не виключається – для цього необхідно, щоб система світів була замкнена.

У романі Кліффорда Саймака «Кільце навколо Сонця» (1982) описані численні планети Земля, що існують кожна у своєму світі, але на одній і тій же орбіті, і відрізняються ці світи та ці планети одна від одної лише незначним (на мікросекунду) зрушенням у часі . Численні Землі, які відвідує герой роману, утворюють єдину систему світів.

Цікавий погляд на розгалуження світів висловив Альфред Бестер у оповіданні «Людина, яка вбила Магомета» (1958). "Міняючи минуле, - стверджував герой оповідання, - змінюєш його тільки для себе". Іншими словами, після зміни минулого виникає відгалуження історії, в якому лише для персонажа, який вчинив зміну, ця зміна існує.

У повісті братів Стругацьких «Понеділок починається в суботу» (1962) описані подорожі персонажів у різні варіанти описуваного фантастами майбутнього – на відміну від подорожей, що вже існували у фантастиці, у різні варіанти минулого.

Втім, навіть просте перерахування всіх творів, у яких торкається тема паралельності світів, зайняло надто багато часу. І хоча фантасти, як правило, науково не обґрунтовують постулат про багатовимірність, в одному вони мають рацію - це гіпотеза, яка має право на існування.
Четвертий вимір тесеракта все ще чекає на нас у гості.

Віктор Савінов

Гіперкуб та Платонові тіла

Змоделювати в системі «Вектор» усічений ікосаедр («футбольний м'яч»)
у якого кожен п'ятикутник обмежений шестикутниками

Усічений ікосаедрможе бути отриманий зрізанням 12 вершин з утворенням граней як правильних п'ятикутників. При цьому число вершин нового багатогранника збільшується в 5 разів (12×5=60), 20 трикутних граней перетворюються на правильні шестикутники (всього граней стає 20+12=32), а число ребер зростає до 30+12×5=90.

Кроки побудови усіченого ікосаедра в системі «Вектор»

Фігури у 4-мірному просторі.

--à

--à ?

Наприклад, дано куб та гіперкуб. У гіперкубі 24 грані. Значить, у 4-мірного октаедра буде 24 вершини. Хоча ні, гіперкуб – 8 граней кубів – у кожному центрі - вершина. Значить, у 4-мірного октаедра буде 8 вершин того легше.

4-мірний октаедр. Він складається з восьми рівносторонніх і рівних між собою тетраедрів,
з'єднаних по чотири біля кожної вершини.

Рис. Спроба змоделювати
гіпершар-гіперсферу в системі «Вектор»

Передня – задня грані – кулі без спотворення. Ще шість куль – можна задати через еліпсоїди або квадратичні поверхні (через 4 лінії контуру як утворюють) або через грані (спочатку задаються через утворюючі).

Ще прийоми «побудувати» гіперсферу
- той же «футбольний м'яч» у 4-мірному просторі

Додаток 2

Для опуклих багатогранників має місце властивість, що зв'язує число його вершин, ребер і граней, доведене в 1752 Леонардом Ейлером, і назва теореми Ейлера.

Перш ніж його сформулювати розглянемо відомі нам багатогранники і заповнимо наступну таблицю, в якій В – число вершин, Р – ребер та Г – граней даного багатогранника:

Назва багатогранника
Трикутна піраміда
Чотирикутна піраміда
Трикутна призма
Чотирикутна призма
n -вугільна піраміда	n+1	2n	n+1
n -вугільна призма	2n	3n	n+2
n -вугільна усічена піраміда	2n	3n	n+2

З цієї таблиці безпосередньо видно, що для всіх вибраних багатогранників має місце рівність В - Р + Г = 2. Виявляється, що ця рівність справедлива не тільки для цих багатогранників, але і для опуклого довільного багатогранника.

Теорема Ейлер. Для будь-якого опуклого багатогранника має місце рівність

В – Р + Г = 2,

де В – число вершин, Р – число ребер та Г – число граней даного багатогранника.

Доказ.Для підтвердження цієї рівності представимо поверхню даного багатогранника виготовленої з еластичного матеріалу. Видалимо (виріжемо) одну з його граней і поверхню, що залишилася, розтягнемо на площині. Отримаємо багатокутник (утворений ребрами віддаленої грані багатогранника), розбитий більш дрібні багатокутники (утворені іншими гранями багатогранника).

Зауважимо, що багатокутники можна деформувати, збільшувати, зменшувати або навіть викривляти їхні сторони, аби при цьому не відбувалося розривів сторін. Число вершин, ребер та граней при цьому не зміниться.

Доведемо, що для отриманого розбиття багатокутника на дрібніші багатокутники має місце рівність

(*) В - Р + Г " = 1,

де В – загальна кількість вершин, Р – загальна кількість ребер і Г” – число багатокутників, що входять у розбиття. Зрозуміло, що Г” = Г – 1, де Г – число граней даного багатогранника.

Доведемо, що рівність (*) не зміниться, якщо у якомусь багатокутнику даного розбиття провести діагональ (рис. 5, а). Справді, після проведення такої діагоналі у новому розбитті буде В вершин, Р+1 ребер і кількість багатокутників збільшиться на одиницю. Отже, маємо

В - (Р + 1) + (Г "+1) = В - Р + Г" .

Користуючись цією властивістю, проведемо діагоналі, що розбивають вхідні багатокутники на трикутники, і для розбиття покажемо здійсненність рівності (*) (рис. 5, б). Для цього послідовно прибиратимемо зовнішні ребра, зменшуючи кількість трикутників. При цьому можливі два випадки:

а) для видалення трикутника ABCпотрібно зняти два ребра, у нашому випадку ABі BC;

б) видалення трикутникаMKNпотрібно зняти одне ребро, у нашому випадкуMN.

В обох випадках рівність (*) не зміниться. Наприклад, у першому випадку після видалення трикутника граф складатиметься з В – 1 вершин, Р – 2 ребер та Г” – 1 багатокутника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г" - 1) = В - Р + Г".

Самостійно розгляньте другий випадок.

Таким чином, видалення одного трикутника не змінює рівність (*). Продовжуючи цей процес видалення трикутників, зрештою, ми прийдемо до розбиття, що складається з одного трикутника. Для такого розбиття В = 3, Р = 3, Г " = 1 і, отже, B - Р + Г " = 1. Отже, рівність (*) має місце і для вихідного розбиття, звідки остаточно отримуємо, що для цього розбиття багатокутника справедлива рівність (*). Таким чином, для вихідного опуклого багатогранника справедлива рівність В – Р + Г = 2.

Приклад багатогранника, якого не виконується співвідношення Ейлера,показаний на малюнку 6. Цей багатогранник має 16 вершин, 32 ребра та 16 граней. Отже, цього багатогранника виконується рівність В – Р + Г = 0.

Додаток 3.

Фільм Куб 2: Гіперкуб» (англ. Cube 2: Hypercube) – фантастичний фільм, продовження фільму «Куб».

Вісім незнайомих людей прокидаються у кімнатах, що мають форму куба. Кімнати знаходяться всередині чотиривимірного гіперкубу. Кімнати постійно переміщуються шляхом "квантової телепортації", і якщо перелізти до сусідньої кімнати, то повернутися до попередньої вже малоймовірно. У гіперкубі перетинаються паралельні світи, час у деяких кімнатах протікає по-різному, і деякі кімнати є смертельними пастками.

Сюжетно картина багато в чому повторює історію першої частини, що також відбивається на образах деяких персонажів. У кімнатах гіперкуба гине нобелівський лауреат Розенцвейг, який розрахував точний час знищення гіперкуба.

Критика

Якщо в першій частині люди ув'язнені в лабіринт намагалися допомогти один одному, у цьому фільмі кожен сам за себе. Дуже багато зайвих спецефектів (вони ж пастки) які не пов'язують логічно цю частину фільму з попередньою. Тобто виходить фільм Куб 2 - це такий собі лабіринт майбутнього 2020-2030 років, але ніяк не 2000. У першій частині всі види пасток може теоретично створити людина. У другій частині ці пастки – програма якогось комп'ютера, так звана "Віртуальна реальність".

Тессеракт – чотиривимірний гіперкуб – куб у чотиривимірному просторі.
Згідно з Оксфордським словником, слово tesseract було придумано і почало використовуватися в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (1853-1907) в його книзі «Нова ера думки». Пізніше деякі люди назвали ту ж фігуру тетракубом (грец. τετρα - чотири) - чотиривимірним кубом.
Звичайний тессеракт у евклідовому чотиривимірному просторі визначається як опукла оболонка крапок (±1, ±1, ±1, ±1). Інакше кажучи, він може бути представлений у вигляді наступної множини:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тессеракт обмежений вісьма гіперплощинами x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , перетин яких з самим тессерактом задає його Тривимірні грані (які є звичайними кубами) Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні грані (квадрати), і т. д. Остаточно, тессеракт має 8 тривимірних гранів, 24 двовимірні, 32 ребри і 1
Популярний опис
Спробуємо уявити, як виглядатиме гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.
В одномірному «просторі» - на лінії - виділимо відрізок АВ завдовжки L. На двовимірній площині на відстані L від АВ намалюємо паралельний відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат CDBA. Повторивши цю операцію із площиною, отримаємо тривимірний куб CDBAGHFE. А зсунувши куб у четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.
Одновимірний відрізок АВ є стороною двовимірного квадрата CDBA, квадрат - стороною куба CDBAGHFE, який, у свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямий має дві граничні точки, квадрат – чотири вершини, куб – вісім. У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба та 8 зрушеного у четвертому вимірі. Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті самі міркування можна зробити і для граней гіперкуба. У двомірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані - 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.
Як сторонами квадрата є 4 одновимірні відрізки, а сторонами (гранями) куба є 6 двомірних квадратів, так і для «чотиривимірного куба» (тесеракта) сторонами є 8 тривимірних кубів. Простіри протилежних пар кубів тессеракта (тобто тривимірні простори, яким ці куби належать) паралельні. На малюнку це куби: CDBAGHFE та KLJIOPNM, CDBAKLJI та GHFEOPNM, EFBAMNJI та GHDCOPLK, CKIAGOME та DLJBHPNF.
Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшої кількості вимірювань, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, мешканців тривимірного простору, виглядатиме чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим методом аналогій.
Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимося на нього одним оком з боку грані. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрати (ближню та дальню його грані), з'єднані чотирма лініями – бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірювань буде виглядати як два кубічні «ящики», вставлені один в одного і з'єднані вісьмома ребрами. При цьому самі «ящики» – тривимірні грані – проектуватимуться на «наш» простір, а лінії, що їх з'єднують, простягнуться у напрямку четвертої осі. Можна спробувати уявити собі куб над проекції, а просторовому зображенні.
Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зрушеним на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі виглядатимуть як досить складна фігура. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того, як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.
Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти в плоску фігуру - розгортку. Вона матиме по квадрату з кожного боку вихідної грані плюс ще один – грань, їй протилежну. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба складатиметься з вихідного куба, шести кубів, що «виростають» із нього, плюс ще одного – кінцевої «гіперграні».
Властивості тесеракта є продовженням властивостей геометричних фігур меншої розмірності в чотиривимірний простір.

Еволюція людського мозку проходила у тривимірному просторі. Тому нам складно уявити собі простору з розмірністю понад три. Фактично людський мозок не може уявити геометричні об'єкти з розмірністю більше трьох. І в той же час ми легко уявляємо собі геометричні об'єкти з розмірністю не тільки три, але і з розмірністю два і один.

Відмінність і аналогія між одновимірним і двовимірним просторами, а також відмінність і аналогія між двовимірним і тривимірним просторами дозволяють нам трохи відкрити ширму таємничості, яка відгороджує нас від просторів більшої розмірності. Щоб зрозуміти, як використовується ця аналогія, розглянемо дуже простий чотиривимірний об'єкт – гіперкуб, тобто чотиривимірний куб. Нехай для визначеності, скажімо, ми хочемо вирішити конкретне завдання, а саме, порахувати кількість квадратних граней чотиривимірного куба. Весь розгляд далі буде дуже несуворим, без усіляких доказів, суто за аналогією.

Щоб зрозуміти, як будується гіперкуб із звичайного куба, треба спочатку подивитися, як будується звичайний куб із звичайного квадрата. Для оригінальності викладу цього матеріалу, будемо тут звичайний квадрат називати СубКубом (і не плутатимемо його з суккубом).

Щоб побудувати куб із субкуба, треба протягнути субкуб у напрямку перпендикулярному площині субкуба за напрямком третього виміру. При цьому з кожної сторони первісного субкуба зросте субкуб, який є бічною двовимірною гранню куба, які обмежать з чотирьох сторін тривимірний об'єм куба, по дві перпендикулярно кожному напрямку в площині субкуба. І вздовж нової третьої осі теж є два субкуби, що обмежують тривимірний об'єм куба. Це та двомірна грань, де спочатку знаходився наш субкуб і та двомірна грань куба, куди субкуб прийшов під кінець будівництва куба.

Те, що Ви зараз прочитали, викладено дуже докладно і з масою уточнень. І не просто. Зараз ми зробимо такий фокус, замінимо у попередньому тексті деякі слова формально таким чином:
куб -> гіперкуб
субкуб -> куб
площина -> обсяг
третього -> четвертого
двовимірної -> тривимірної
чотирьох -> шести
тривимірний -> чотиривимірний
дві -> три
площині -> просторі

В результаті отримуємо наступний осмислений текст, який вже не здається надто докладним.

Щоб побудувати гіперкуб із куба, треба протягнути куб у напрямку перпендикулярному об'єму куба у напрямку четвертого виміру. При цьому з кожної сторони первісного куба зросте куб, який є бічною тривимірною гранню гіперкуба, які обмежать з шести сторін чотиривимірний об'єм гіперкуба, по три перпендикулярно кожному напрямку в просторі куба. І вздовж нової четвертої осі також є два куби, що обмежують чотиривимірний обсяг гіперкуба. Це та тривимірна грань, де спочатку був наш куб і та тривимірна грань гіперкуба, куди куб прийшов під кінець будівництва гіперкуба.

Чому в нас така впевненість, що ми отримали правильний опис побудови гіперкубу? Та тому що такою ж формальною заміною слів ми отримуємо опис побудови куба з опису побудови квадрата. (Перевірте це самі.)

Ось тепер зрозуміло, якщо з кожної сторони куба повинен вирости ще один тривимірний куб, то значить, з кожного ребра початкового куба повинна вирости грань. Всього у куба ребер 12, отже, з'явиться додатково 12 нових граней (субкубів) у тих 6 кубів, які обмежують чотиривимірний об'єм по трьох осях тривимірного простору. І залишилися ще два куби, які обмежують цей чотиривимірний об'єм знизу та зверху вздовж четвертої осі. У кожному із цих кубів є по 6 граней.

Разом отримуємо, що гіперкуб має 12+6+6=24 квадратні грані.

На наступному малюнку показано логічну будову гіперкуба. Це як би проекція гіперкуба на тривимірне місце. При цьому виходить тривимірний каркас із ребер. На малюнку, звичайно, Ви бачите проекцію цього каркаса ще й на поверхню.

На цьому каркасі внутрішній куб це як би початковий куб, з якого почалося побудова і обмежує чотиривимірний обсяг гіперкуба по четвертій осі знизу. Ми цей початковий куб простягаємо нагору вздовж четвертої осі виміру і він переходить у зовнішній куб. Отже, зовнішній і внутрішній куби з цього малюнка обмежують гіперкуб по четвертій осі вимірювання.

А між цими двома кубами видно ще 6 нових кубів, які стикаються загальними гранями з першими двома. Ці шість кубів обмежують наш гіперкуб по трьох осях тривимірного простору. Як бачите, вони стикаються не лише з першими двома кубами, які на цьому тривимірному каркасі внутрішній та зовнішній, але вони ще стикаються один з одним.

Можна прямо на малюнку порахувати і переконатися, що гіперкуб дійсно 24 грані. Але виникає таке питання. Цей каркас гіперкуба в тривимірному просторі заповнений вісьмома тривимірними кубами без жодних просвітів. Щоб із цієї тривимірної проекції гіперкуба зробити справжній гіперкуб, треба вивернути цей каркас навиворіт так, щоб усі 8 кубів обмежували 4-мірний об'єм.

Робиться це так. Запрошуємо в гості мешканця чотиривимірного простору та просимо його допомогти нам. Він вистачає внутрішній куб цього каркаса і зсуває його в напрямку четвертого виміру, який перпендикулярний до нашого тривимірного простору. Ми в нашому тривимірному просторі сприймаємо це так, начебто весь внутрішній каркас зник і залишився тільки каркас зовнішнього куба.

Далі наш чотиривимірний помічник пропонує свою допомогу в пологових будинках по безболісних пологах, але наших вагітних жінок лякає перспектива того, що немовля просто зникне з живота і опиниться в паралельному тривимірному просторі. Тому чотиримерцю ввічливо відмовляють.

А ми спантеличуємося питанням, чи не розклеїлися деякі з наших кубів при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт. Адже якщо якісь тривимірні куби, що оточують гіперкуб, стикаються своїми гранями з сусідами на каркасі, то вони також стикатимуться цими ж гранями, якщо чотиримерець виверне каркас навиворіт.

Знову звернемося до аналогії з просторами меншої розмірності. Порівняйте зображення каркаса гіперкуба з проекцією тривимірного куба на площину, показану на наступному малюнку.

Жителі двовимірного простору побудували на площині каркас проекції куба на площину та запросили нас, тривимірних мешканців, вивертати цей каркас навиворіт. Ми беремо чотири вершини внутрішнього квадрата і зсуваємо їх перпендикулярно до площини. Двовимірні жителі у своїй бачать повне зникнення всього внутрішнього каркаса, і вони залишається лише каркас зовнішнього квадрата. При такій операції всі квадрати, які стикалися своїми ребрами, продовжують, як і раніше, стикатися з тими самими ребрами.

Тому ми сподіваємося, що і логічна схема гіперкуба також не буде порушена при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт, а число квадратних граней гіперкуба при цьому не збільшиться і буде, як і раніше, дорівнює 24. Це, звичайно ж, ніякий не доказ, а суто здогад за аналогією .

Після всього прочитаного тут, Ви вже легко зможете намалювати логічні каркаси п'ятивимірного куба і підрахувати, яке у нього число вершин, ребер, граней, кубів і гіперкубів. Це зовсім не важко.