Десяткові числа прикладів. Звичайні та десяткові дроби та дії над ними. Переведення періодичних десяткових дробів у звичайні

Ця стаття про десяткові дроби. Тут ми розберемося з десятковим записом дробових чисел, введемо поняття десяткового дробу та наведемо приклади десяткових дробів. Далі поговоримо про розряди десяткових дробів, дамо назви розрядів. Після цього зупинимося на нескінченних десяткових дробах, скажімо про періодичні та неперіодичні дроби. Далі перерахуємо основні дії із десятковими дробами. На закінчення встановимо положення десяткових дробів на координатному промені.

Навігація на сторінці.

Десятковий запис дробового числа

Читання десяткових дробів

Скажімо кілька слів про правила читання десяткових дробів.

Десяткові дроби, яким відповідають правильні звичайні дроби, читаються також як і ці звичайні дроби, тільки попередньо додається «нуль цілих». Наприклад, десяткового дробу 0,12 відповідає звичайний дріб 12/100 (читається «дванадцять сотих»), тому, 0,12 читається як «нуль цілих дванадцять сотих».

Десяткові дроби, яким відповідають змішані числа, читаються також як ці змішані числа. Наприклад, десяткового дробу 56,002 відповідає змішане число, тому, десятковий дріб 56,002 читається як «п'ятдесят шість цілих дві тисячні».

Розряди у десяткових дробах

У запису десяткових дробів, як і у записи натуральних чисел, значення кожної цифри залежить від її позиції. Справді, цифра 3 у десятковому дробі 0,3 означає три десятих, у десятковому дробі 0,0003 – три десяти тисячних, а у десятковому дробі 30 000,152 – три десятки тисяч. Таким чином, ми можемо говорити про розрядах у десяткових дробах, як і про розряди в натуральних числах .

Назви розрядів у десятковому дробі до десяткової коми повністю збігаються з назвами розрядів у натуральних числах. А назви розрядів у десятковому дробі після коми видно з наступної таблиці.

Наприклад, у десятковому дробі 37,051 цифра 3 знаходиться у розряді десятків, 7 – у розряді одиниць, 0 стоїть у розряді десятих, 5 – у розряді сотих, 1 – у розряді тисячних.

Розряди в десятковому дробі також різняться за старшинством. Якщо в записі десяткового дробу рухатися від цифри до цифри зліва направо, ми будемо переміщатися від старшихдо молодшим розрядам. Наприклад, розряд сотень старший за розряд десятих, а розряд мільйонних молодший за розряд сотих. У даному кінцевому десятковому дробі можна говорити про старший і молодший розряд. Наприклад, у десятковому дробі 604,9387 старшим (вищим)розрядом є розряд сотень, а молодшим (нижчим)- Розряд десятитисячних.

Для десяткових дробів має місце розкладання за розрядами. Воно аналогічне розкладання за розрядами натуральних чисел. Наприклад, розкладання за розрядами десяткового дробу 45,6072 таке: 45,6072 = 40 +5 +0,6 +0,007 +0,0002. А властивості додавання від розкладання десяткового дробу за розрядами дозволяють перейти до інших уявлень цього десяткового дробу, наприклад, 45,6072=45+0,6072 , або 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , або 45,6072= 45,0072+0,6.

Кінцеві десяткові дроби

До цього моменту ми говорили лише про десяткові дроби, у запису яких після десяткової коми знаходиться кінцева кількість цифр. Такі дроби називають кінцевими десятковими дробами.

Визначення.

Кінцеві десяткові дроби– це десяткові дроби, записи яких міститься кінцеве число знаків (цифр).

Наведемо кілька прикладів кінцевих десяткових дробів: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230032,45.

Однак не будь-який звичайний дріб може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу. Наприклад, дріб 5/13 не може бути замінена рівним їй дробом з одним із знаменників 10, 100, … , отже, не може бути переведена в кінцевий десятковий дріб. Докладніше про це ми поговоримо в розділі теорії переведення звичайних дробів у десяткові дроби.

Нескінченні десяткові дроби: періодичні дроби та неперіодичні дроби

У записі десяткового дробу після коми можна припустити можливість наявності нескінченної кількості цифр. І тут ми прийдемо до розгляду про нескінченних десяткових дробів.

Визначення.

Нескінченні десяткові дроби– це десяткові дроби, у запису яких є безліч цифр.

Зрозуміло, що нескінченні десяткові дроби ми не можемо записати в повному вигляді, тому в їх запису обмежуються лише деяким кінцевим числом цифр після коми і ставлять крапку, що вказує на послідовність цифр, що нескінченно триває. Наведемо кілька прикладів нескінченних десяткових дробів: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .

Якщо уважно подивитися на два останні нескінченні десяткові дроби, то дроби 2,111111111… добре видно нескінченно повторювана цифра 1 , а дроби 69,74152152152… , починаючи з третього знака після коми, чітко видно повторюється група цифр 1 . Такі нескінченні десяткові дроби називають періодичними.

Визначення.

Періодичні десяткові дроби(або просто періодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, у запису яких, починаючи з деякого знака після коми, нескінченно повторюється якась цифра або група цифр, яку називають періодом дробу.

Наприклад, періодом періодичного дробу 2,111111111 є цифра 1, а періодом дробу 69,74152152152 є група цифр виду 152 .

Для нескінченних періодичних десяткових дробів прийнято особливу форму запису. Для стислості умовилися період записувати один раз, укладаючи його в круглі дужки. Наприклад, періодичний дріб 2,111111111... записується як 2,(1) , а періодичний дріб 69,74152152152... записується як 69,74(152) .

Варто зазначити, що для одного і того ж періодичного десяткового дробу можна вказати різні періоди. Наприклад, періодичний десятковий дріб 0,73333 можна розглядати як дріб 0,7(3) з періодом 3 , а також як дріб 0,7(33) з періодом 33 , і так далі 0,7(333), 0,7 (3333), ... Також на періодичний дріб 0,73333 ... можна подивитися і так: 0,733 (3), або так 0,73 (333) і т.п. Тут, щоб уникнути багатозначності і різночитань, умовимося розглядати як період десяткового дробу найкоротший з усіх можливих послідовностей цифр, що повторюються, і починається з найближчої позиції до десяткової коми. Тобто, періодом десяткового дробу 0,73333 ... вважатимемо послідовність з однієї цифри 3 і періодичність починається з другої позиції після коми, тобто, 0,73333 ... = 0,7 (3) . Ще приклад: періодичний дріб 4,7412121212 ... має період 12, періодичність починається з третьої цифри після коми, тобто, 4,7412121212 ... = 4,74 (12).

Нескінченні десяткові періодичні дроби виходять при переведенні в десяткові дроби звичайних дробів, знаменники яких містять прості множники, відмінні від 2 і 5 .

Тут варто сказати про періодичні дроби з періодом 9 . Наведемо приклади таких дробів: 6,43 (9), 27, (9). Ці дроби є іншим записом періодичних дробів з періодом 0 і їх прийнято замінювати періодичними дробами з періодом 0 . Для цього період 9 замінюють періодом 0 а значення наступного за старшинством розряду збільшують на одиницю. Наприклад, дріб з періодом 9 виду 7,24(9) замінюється періодичним дробом з періодом 0 виду 7,25(0) або рівним їй кінцевим десятковим дробом 7,25 . Ще приклад: 4, (9) = 5, (0) = 5 . Рівність дробу з періодом 9 і відповідного їй дробу з періодом 0 легко встановлюється після заміни цих десяткових дробів рівними їм звичайними дробами.

Нарешті, уважніше розглянемо нескінченні десяткові дроби, у запису яких відсутня послідовність цифр, що нескінченно повторюється. Їх називають неперіодичними.

Визначення.

Неперіодичні десяткові дроби(або просто неперіодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, які мають періоду.

Іноді неперіодичні дроби мають вигляд, схожий на вид періодичних дробів, наприклад, 8,02002000200002… - неперіодична дріб. У таких випадках слід бути особливо уважними, щоб помітити різницю.

Зазначимо, що неперіодичні дроби не перетворюються на звичайні дроби, нескінченні неперіодичні десяткові дроби становлять ірраціональні числа.

Дії з десятковими дробами

Однією з дій з десятковими дробами є порівняння, також визначено чотири основні арифметичні дії з десятковими дробами: додавання, віднімання, множення та розподіл. Розглянемо окремо кожну з дій із десятковими дробами.

Порівняння десяткових дробівнасправді виходить з порівнянні звичайних дробів , відповідальних порівнюваним десятковим дробам. Однак переведення десяткових дробів у звичайні є досить трудомісткою дією, та й нескінченні неперіодичні дроби не можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, тому зручно використовувати порозрядне порівняння десяткових дробів. Порозрядне порівняння десяткових дробів аналогічне порівнянню натуральних чисел. Для більш детальної інформації рекомендуємо вивчити матеріал статті порівняння десяткових дробів, правила, приклади, рішення .

Переходимо до наступної дії множення десяткових дробів. Множення кінцевих десяткових дробів проводиться аналогічно віднімання десяткових дробів, правила, приклади, розв'язання множення стовпчиком натуральних чисел. У разі періодичних дробів множення можна звести до множення звичайних дробів. У свою чергу, множення нескінченних неперіодичних десяткових дробів після їх округлення зводиться до множення кінцевих десяткових дробів. Рекомендуємо до подальшого вивчення статті множення десяткових дробів, правила, приклади, рішення .

Десяткові дроби на координатному промені

Між точками та десятковими дробами існує взаємно однозначна відповідність.

Розберемося, як будуються точки на координатному промені, що відповідають даному десятковому дробу.

Кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні десяткові дроби ми можемо замінити рівними ним звичайними дробами, після чого побудувати відповідні звичайні дроби на координатному промені . Наприклад, десяткового дробу 1,4 відповідає звичайний дріб 14/10 тому точка з координатою 1,4 віддалена від початку відліку в позитивному напрямку на 14 відрізків, рівних десятій частині одиничного відрізка.

Десяткові дроби можна відзначати на координатному промені, відштовхуючись від розкладання цього десяткового дробу за розрядами. Наприклад, нехай нам потрібно побудувати точку з координатою 16,3007 , так як 16,3007=16+0,3+0,0007 , то дану точку можна потрапити, послідовно відкладаючи від початку координат 16 одиничних відрізків, 3 відрізка, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, і 7 відрізків, довжина якого дорівнює десятитисячній частці одиничного відрізка.

Такий спосіб побудови десяткових чисел на координатному промені дозволяє як завгодно близько наблизитися до точки, що відповідає нескінченного десяткового дробу.

Іноді можна точно побудувати точку, що відповідає нескінченному десятковому дробу. Наприклад, , Тоді цього нескінченного десяткового дробу 1,41421 ... відповідає точка координатного променя, віддалена від початку координат на довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 одиничний відрізок.

Зворотний процес отримання десяткового дробу, що відповідає даній точці на координатному промені, є так званим десятковий вимір відрізка. Розберемося, як воно проводиться.

Нехай наше завдання полягає в тому, щоб потрапити з початку відліку до цієї точки координатної прямої (або нескінченно наблизитися до неї, якщо потрапити в неї не виходить). При десятковому вимірі відрізка ми можемо послідовно відкладати від початку відліку будь-яку кількість одиничних відрізків, далі відрізків, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, потім відрізків, довжина яких дорівнює сотій частині одиничного, і т.д. Записуючи кількість відкладених відрізків кожної довжини, ми отримаємо десятковий дріб, який відповідає даній точці на координатному промені.

Наприклад, щоб потрапити в точку М на наведеному вище малюнку, потрібно відкласти 1 одиничний відрізок і 4 відрізки, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного. Таким чином, точці М відповідає десятковий дріб 1,4 .

Зрозуміло, що точкам координатного променя, у які неможливо потрапити у процесі десяткового виміру, відповідають нескінченні десяткові дроби.

Список літератури.

• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Тема: Десяткові дроби. Додавання та віднімання десяткових дробів

Урок: Десятковий запис дробових чисел

Знаменник дробу може бути виражений будь-яким натуральним числом. Дробові числа, у яких знаменник виражений числом 10; 100; 1000; ..., де n, домовилися записувати без знаменника. Будь-яке дробове число, у знаменнику якого 10; 100; 1000 і т.д. (тобто одиниця з кількома нулями), можна у вигляді десяткового запису (як десяткового дробу). Спочатку пишуть цілу частину, потім чисельник дробової частини, і цілу частину від дробової відокремлюють комою.

Наприклад,

Якщо ціла частина відсутня, тобто. дріб правильний, тоді цілу частину записують у вигляді 0.

Щоб правильно записати десятковий дріб, чисельник дробової частини повинен мати стільки ж знаків, скільки нулів у дробовій частині.

1. Запишіть у вигляді десяткового дробу.

2. Подати десятковий дріб у вигляді дробу або змішаного числа.

3. Прочитайте десяткові дроби.

12,4 – 12 цілих 4 десятих;

0,3 – 0 цілих 3 десятих;

1,14 - 1 ціла 14 сотих;

2,07 - 2 цілих 7 сотих;

0,06 - 0 цілих 6 сотих;

0,25 - 0 цілих 25 сотих;

1,234 - 1 ціла 234 тисячні;

1,230 - 1 ціла 230 тисячних;

1,034 - 1 ціла 34 тисячних;

1,004 - 1 ціла 4 тисячних;

1,030 - 1 ціла 30 тисячних;

0,010101 - 0 цілих 10 101 мільйонних.

4. Перенесіть кому в кожній цифрі на 1 розряд ліворуч і прочитайте числа.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Перенесіть кому в кожному з чисел на 1 розряд праворуч і прочитайте число, що вийшло.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Виразіть у метрах та сантиметрах.

3,28 м = 3 м +.

7. Виразіть у тоннах та кілограмах.

24,030 т = 24 т.

8. Запишіть у вигляді десяткового дробу приватне.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Виразіть у дм.

5 дм 6 см = 5 дм + ;

9 мм =

Інструкція

Навчіться переводити десяткові дроби у звичайні. Порахуйте, скільки знаків відокремлено комою. Одна цифра праворуч від коми означає, що знаменник – 10, дві – 100, три – 1000 і так далі. Наприклад, десятковий дріб 6,8 як «шість цілих, вісім». При перетворенні її напишіть спочатку кількість цілих одиниць - 6. У знаменнику напишіть 10. У чисельнику стоятиме число 8. Вийде, що 6,8 = 6 8/10. Згадайте правила скорочення. Якщо чисельник і знаменник поділяються на те саме число, то дріб можна скоротити на спільний дільник. У разі це число 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Спробуйте скласти десяткові дроби. Якщо ви робите це в стовпчик, будьте уважні. Розряди всіх чисел повинні бути строго один під одним, - під комою. Правила складання такі самі, як і при дії з . Додайте до того ж числу 6,8 інший десятковий дріб - наприклад, 7,3. Запишіть трійку під вісімкою, кому - під комою, а сімку - під шісткою. Складати почніть із останнього розряду. 3+8=11, тобто 1 запишіть, 1 запам'ятайте. Далі складіть 6+7, отримайте 13. Додайте те, що залишалося в умі та запишіть результат – 14,1.

Віднімання виконується за тим самим принципом. Розряди запишіть один під одним, ком - під комою. Орієнтуйтеся завжди по ній, особливо якщо кількість цифр після неї в меншому, що зменшується, ніж у віднімається. Відніміть від заданого числа, наприклад, 2,139. Двійку запишіть під шісткою, одиницю – під вісімкою, решту двох цифр – під наступними розрядами, які можна позначити нулями. Вийде, що зменшення не 6,8, а 6,800. Виконавши цю дію, ви отримаєте в результаті 4,661.

Дії з негативними десятковими дробами виконуються так само, як і з цілими числами. При складанні мінус виноситься за дужку, а дужках пишуться задані числа, і з-поміж них ставиться плюс. У результаті виходить негативне число. Тобто при додаванні -6,8 і -7,3 ви отримаєте той же результат 14,1, але зі знаком "-" перед ним. Якщо віднімається більше зменшуваного, то мінус теж виноситься за дужку, з більшої кількості віднімається менше. Відніміть з 6,8 число -7,3. Перетворіть вираз у такий спосіб. 6,8 - 7,3 = -(7,3 - 6,8) = -0,5.

Для того щоб помножити десяткові дроби, на якийсь час забудьте про кому. Помножте їх так, ніби перед вами цілі числа. Після цього порахуйте кількість знаків, що стоять праворуч після коми в обох співмножниках. Відокремте стільки ж знаків і у творі. Перемноживши 6,8 та 7,3, в результаті ви отримаєте 49,64. Тобто праворуч від коми у вас виявляться 2 знаки, тоді як у множині і множнику їх було по одному.

Розділіть заданий дріб на якесь ціле число. Ця дія виконується так само, як і з цілими числами. Головне - не забути про кому і на початку поставити 0, якщо кількість цілих одиниць не поділяється на дільник. Наприклад, спробуйте розділити ті самі 6,8 на 26. На початку поставте 0, оскільки 6 менше, ніж 26. Відділіть його комою, далі вже підуть десяті і соті. У результаті вийде приблизно 0,26. Насправді в даному випадку виходить нескінченний неперіодичний дріб, який можна округлити до потрібного ступеня точності.

При розподілі двох десяткових дробів скористайтеся властивістю, що при множенні поділеного і дільника на одне і те ж число приватне не змінюється. Тобто перетворіть обидва дроби на цілі числа, залежно від того, скільки знаків коштує після коми. Якщо ви хочете розділити 6,8 на 7,3, достатньо помножити обидва числа на 10. Вийде, що ділити потрібно 68 на 73. Якщо ж в одному з чисел розрядів після коми більше, перетворіть на ціле число спочатку його, а потім вже і друге число. Помножте його на те число. Тобто при розподілі 6,8 на 4,136 збільште ділене і дільник не в 10, а в 1000 разів. Розділивши 6800 на 1436, отримаєте у результаті 4,735.

У вигляді:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

де ± - знак дробу: або +, або -,

, - десяткова кома, яка служить роздільником між цілою і дробовою частинами числа,

d k- десяткові цифри.

При цьому порядок слідування цифр до коми (ліворуч від неї) має кінець (як min 1-на цифра), а після коми (праворуч) — може бути кінцевою (як варіант, цифр після коми може взагалі не бути), і нескінченною.

Значенням десяткового дробу ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … є дійсне число:

яке дорівнює сумі кінцевого чи нескінченного кількості доданків.

Подання дійсних чисел за допомогою десяткових дробів є узагальнення запису цілих чисел у десятковій системі числення. У поданні цілого числа десятковим дробом немає цифр після коми, і т.ч., це уявлення виглядає так:

± d m … d 1 d 0 ,

І це збігається із записом нашого числа у десятковій системі числення.

Десятковий дріб- це результат розподілу 1-ци на 10, 100, 1000 тощо елементів. Ці дроби досить зручні обчислень, т.к. вони ґрунтуються на такій же позиційній системі, на якій побудовані рахунок та запис цілих чисел. Завдяки цьому запис та правила дій з десятковими дробами практично такі ж, як і для цілих чисел.

Записуючи десяткові дроби не потрібно відзначати знаменник, він визначається місцем, яке займає відповідна цифра. Спочатку пишемо цілу частину числа, далі праворуч ставимо десяткову точку. Перша цифра після десяткової точки позначає число десятих, друга – число сотих, третя – число тисячних тощо. Цифри, які розташовані після десяткової точки, є десятковими знаками.

Наприклад:

Одна з переваг десяткових дробів така, що їх дуже просто можна привести до вигляду звичайних: число після десяткової точки (у нас це 5047) - це чисельник; знаменникдорівнює n-ой ступеня 10, де n- Число десяткових знаків (у нас це n = 4):

Коли в десятковому дробі немає цілої частини, значить, перед десятковою точкою ставимо нуль:

Властивості десяткових дробів.

1. Десятковий дріб не змінюється, коли праворуч додаються нулі:

13.6 =13.6000.

2. Десятковий дріб не змінюється, коли видаляються нулі, розташовані в кінці десяткового дробу:

0.00123000 = 0.00123.

Увага!Не можна видаляти нулі, які розташовані НЕ наприкінці десяткового дробу!

3. Десятковий дріб збільшується в 10, 100, 1000 і так далі раз, коли переносимо десяткову точку відповідно 1-ну, 2, 2 і так далі позицій правіше:

3.675 → 367.5 (дроб збільшився в сто разів).

4. Десятковий дріб стає меншим у десять, сто, тисячу і так далі разів, коли переносимо десяткову точку відповідно 1-ну, 2, 3 і так далі позицій лівіше:

1536.78 → 1.53678 (дроб став менше в тисячу разів).

Види десяткових дробів.

Десяткові дроби поділяються на кінцеві, нескінченніі періодичні десяткові дроби.

Кінцевий десятковий дріб -це дріб, що містить кінцеву кількість цифр після коми (або їх немає зовсім), тобто. виглядає так:

Дійсно число можна представити як кінцевий десятковий дріб лише в тому випадку, якщо це число є раціональним і при запису його нескоротним дробом p/qзнаменник qне має простих дільників, які відмінні від 2 та 5.

Нескінченний десятковий дріб.

Містить групу цифр, що нескінченно повторюється, яка називається періодом. Період записується у дужках. Наприклад, 0.12345123451234512345 ... = 0. (12345).

Періодичний десятковий дріб- це такий нескінченний десятковий дріб, в якому послідовність цифр після коми, починаючи з деякого місця, є групою цифр, що періодично повторюється. Іншими словами, періодичний дріб— десятковий дріб, що виглядає так:

Подібний дріб зазвичай коротко записують так:

Група цифр b 1 … b l, яка повторюється, є періодом дробу, число цифр у цій групі є довжиною періоду.

Коли в періодичному дробі період йде відразу після коми, значить, дроб чистої періодичної. Коли між комою та 1-им періодом є цифри, то дріб є змішаної періодичної, а група цифр після коми до 1-го знака періоду передперіодом дробу.

Наприклад, Дріб 1, (23) = 1,2323 ... є чистої періодичної, а дріб 0,1 (23) = 0,12323 ... - Змішаної періодичної.

Основна властивість періодичних дробів, завдяки якому їх виділяють з усієї сукупності десяткових дробів, у тому, що періодичні дроби лише вони представляють раціональні числа . Точніше, має місце таке:

Будь-який нескінченний періодичний десятковий дріб представляє раціональне число. Назад, коли раціональне число розкладається в нескінченний десятковий дріб, отже, цей дріб буде періодичним.