Напевно, поняття похідної знайоме кожному з нас зі школи. Зазвичай в учнів виникають труднощі з розумінням цієї, безперечно, дуже важливої ​​речі. Вона активно застосовується в різних сферах життя людей, і багато інженерних розробок були засновані саме на математичних розрахунках, отриманих за допомогою похідної. Але перш ніж перейти до розбору того, що ж таке похідні чисел, як їх обчислювати і де вони нам знадобляться, зануримося трохи в історію.

Історія

Що є основою математичного аналізу, було відкрито (краще навіть сказати "винайдено", тому що в природі воно як таке не існувало) Ісааком Ньютоном, якого ми всі знаємо щодо відкриття закону всесвітнього тяжіння. Саме він уперше застосував у фізиці це поняття для зв'язування природи швидкості та прискорення тіл. І багато вчених досі вихваляють Ньютона за цей чудовий винахід, адже по суті він винайшов основу диференціального та інтегрального обчислення, фактично основу цілої галузі математики під назвою "математичний аналіз". Якби в той час була Нобелівська премія, Ньютон з великою ймовірністю отримав би її кілька разів.

Не обійшлося і без інших великих умів. Крім Ньютона над розвитком похідної та інтеграла попрацювали такі імениті генії математики, як Леонард Ейлер, Луї Лагранж та Готфрід Лейбніц. Саме завдяки ним ми отримали теорію у такому вигляді, в якому вона існує до сьогодні. До речі, це Лейбніц відкрив геометричний зміст похідної, яка виявилася нічим іншим, як тангенсом кута нахилу щодо графіку функції.

Що таке похідні чисел? Трохи повторимо те, що проходили у школі.

Що таке похідна?

Визначати це поняття можна кількома різними способами. Найпростіше пояснення: похідна – це швидкість зміни функції. Представимо графік якоїсь функції y від x. Якщо це не пряма, то вона має деякі вигини у графіку, періоди зростання та спадання. Якщо брати якийсь нескінченно малий проміжок цього графіка, він буде відрізком прямий. Так ось, відношення розміру цього нескінченно малого відрізка по координаті y до розміру по координаті x і буде похідною цієї функції в даній точці. Якщо розглядати функцію загалом, а чи не у конкретній точці, ми отримаємо функцію похідної, тобто певну залежність ігорок від икс.

До того ж крім швидкості зміни функції є ще й геометричний зміст. Про нього ми зараз і поговоримо.

Геометричний зміст

Похідні чисел власними силами є деяке число, яке без належного розуміння несе ніякого сенсу. Виявляється, похідна не тільки показує швидкість зростання або зменшення функції, а також тангенс кута нахилу щодо графіку функції в даній точці. Не зовсім зрозуміле визначення. Розберемо його докладніше. Допустимо, у нас є графік будь-якої функції (для інтересу візьмемо криву). На ній є безліч точок, але є такі області, де тільки одна єдина точка має максимум або мінімум. Через будь-яку таку точку можна провести пряму, яка була перпендикулярна графіку функції в цій точці. Така лінія називатиметься дотичною. Допустимо, ми провели її до перетину з віссю OX. Так ось, отриманий між дотичною і віссю OX кут буде визначатися похідною. А точніше, тангенс цього кута дорівнюватиме їй.

Поговоримо трохи про окремі випадки і розберемо похідні чисел.

Приватні випадки

Як ми вже казали, похідні чисел – це значення похідної у конкретній точці. Ось, наприклад, візьмемо функцію y=x 2 . Похідна x - число, а в загальному випадку - функція, що дорівнює 2 * x. Якщо нам необхідно обчислити похідну, скажімо, у точці x 0 = 1, то отримуємо y"(1) = 2 * 1 = 2. Все дуже просто. Цікавий випадок представляє похідна Вдаватися в докладне пояснення того, що таке комплексне число, ми не будемо. Скажемо лише, що це число, яке містить у собі так звану уявну одиницю - число, квадрат якого дорівнює -1.

1) Повинні існувати приватні похідні першого порядку від дійсної та уявної частини з ігор і по ікс.

2) Виконуються умови Коші-Рімана, пов'язані з рівністю приватних похідних, описаних у першому пункті.

Іншим цікавим випадком, хоча й таким складним як попередній, є похідна негативного числа. Насправді будь-яке негативне число можна як позитивне, помножене на -1. Ну а похідна постійної та функції дорівнює постійній, помноженій на похідну функції.

Цікаво буде дізнатися про роль похідної у повсякденному житті, і саме це зараз обговоримо.

Застосування

Напевно, кожен із нас хоч раз у житті ловить себе на думці, що математика навряд чи знадобиться йому. А така складна штука, як похідна, мабуть взагалі не має застосування. Насправді математика - і всі її плоди розвиває в основному фізика, хімія, астрономія і навіть економіка. Похідна започаткувала що дала нам можливість робити висновки з графіків функцій, і ми навчилися інтерпретувати закони природи та звертати їх на свою користь завдяки йому.

Висновок

Звичайно, не кожному, можливо, стане в нагоді похідна в реальному житті. Але математика розвиває логіку, яка точно буде потрібна. Адже не дарма математику називають царицею наук: з неї складаються основи розуміння інших галузей знань.

Якщо слідувати визначенню, то похідна функції у точці — це межа відношення збільшення функції Δ yдо збільшення аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x· sin x. Якщо все робити за визначенням, то через кілька сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші та ефективніші способи.

Спочатку зазначимо, що з усього різноманіття функцій можна назвати звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені та занесені до таблиці. Такі функції досить просто запам'ятати — разом із їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції – це все, що наведено нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше, що завчити їх зовсім нескладно — на те вони й елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	Функція	Похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь із раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
Сінус	f(x) = sin x	cos x
Косінус	f(x) = cos x	− sin x(мінус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натуральний логарифм	f(x) = ln x	1/x
Довільний логарифм	f(x) = log a x	1/(x· ln a)
Показова функція	f(x) = e x	e x(нічого не змінилось)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції також легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом константи можна виносити за знак похідної. Наприклад:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати одна з одною, множити, ділити і багато іншого. Так з'являться нові функції, не особливо елементарні, але теж диференційовані за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми та різниці

Нехай дані функції f(x) та g(x), похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми та різниці цих функцій:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі немає поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − gможна переписати як суму f+ (−1) · gі тоді залишиться лише одна формула — похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там уже три доданки (з погляду алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Відповідь:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Похідна робота

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"> дорівнює твору похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула проста, але її часто забувають. І не лише школярі, а й студенти. Результат – неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функція f(x) є твір двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)' · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x· sin x)

У функції g(x) перший множник трохи складніше, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) є багаточлен, і його похідна - це похідна суми. Маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x· sin x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому етапі похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, проте більшість похідних обчислюються не власними силами, а щоб дослідити функцію. А значить, далі похідна прирівнюватиметься до нуля, з'ясовуватимуться її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладений на множники.

Якщо є дві функції f(x) та g(x), причому g(x) ≠ 0 на цікавій для нас безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції також можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? Чому g 2? А ось так! Це одна із найскладніших формул — без пляшки не розберешся. Тому найкраще вивчати її на конкретних прикладах.

Завдання. Знайти похідні функції:

У чисельнику та знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно – це формула похідної частки:

За традицією, розкладемо чисельник на множники — це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула завдовжки півкілометра. Наприклад, достатньо взяти функцію f(x) = sin xта замінити змінну x, скажімо, на x 2 + ln x. Вийде f(x) = sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. Вона теж має похідну, проте знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t', якщо xзамінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справа ще більш сумно, ніж з похідною приватного. Тому її також краще пояснити на конкретних прикладах, з докладним описом кожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо у функції f(x) замість виразу 2 x+ 3 буде просто x, то вийде елементарна функція f(x) = e x. Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер – увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x+ 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 · (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося із функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. Маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Зворотна заміна: t = x 2 + ln x. Тоді:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як очевидно з останнього висловлювання, все завдання звелося до обчислення похідної суми.

Відповідь:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміну "похідна" я використовую слово "штрих". Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення цих самих штрихів за правилами, розглянутими вище. Як останній приклад повернемося до похідного ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі nцілком може виступати дрібне число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, коли під корінням стоятиме щось наворочене? Знову вийде складна функція – такі конструкції люблять давати на контрольних роботах та іспитах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x− 7. Маємо:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємось до коріння:

Як знайти похідну, як взяти похідну?На цьому уроці ми навчимося знаходити похідні функції. Але перед вивченням даної сторінки я рекомендую ознайомитися з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. Довідковий посібник можна відкрити або завантажити на сторінці Математичні формули та таблиці. Також звідти нам буде потрібно Таблиця похідних, її краще роздрукувати, до неї часто доведеться звертатися, причому не тільки зараз, а й в офлайні.

Чи є? Приступимо. У мене для Вас є дві новини: хороша та дуже хороша. Хороша новина полягає в наступному: щоб навчитися знаходити похідні, зовсім не обов'язково знати та розуміти, що таке похідна. Більше того, визначення похідної функції, математичний, фізичний, геометричний зміст похідної доцільніше перетравити пізніше, оскільки якісне опрацювання теорії, на мою думку, вимагає вивчення інших тем, а також деякого практичного досвіду.
І зараз наше завдання освоїти ці похідні технічно. Дуже хороша новина полягає в тому, що навчитися брати похідні не так складно, існує досить чіткий алгоритм розв'язання (і пояснення) цього завдання, інтеграли або межі, наприклад, важче освоїти.

Раджу наступний порядок вивчення теми: по-перше, ця стаття Потім потрібно прочитати найважливіший урок Похідна складної функції. Ці два базові заняття дозволять підняти Ваші навички з повного нуля. Далі можна буде ознайомитися з складнішими похідними у статті Складні похідні. Логарифмічна похідна. Якщо планка виявиться надто високою, то спочатку прочитайте річ Найпростіші типові завдання з похідною. Крім нового матеріалу, на уроці розглянуті інші, простіші типи похідних, і є чудова можливість покращити свою техніку диференціювання. Крім того, у контрольних роботах майже завжди трапляються завдання на знаходження похідних функцій, які задані неявно чи параметрично. Такий урок також є: Похідні неявних та параметрично заданих функцій.

Я спробую у доступній формі, крок за кроком, навчити Вас знаходити похідні функції. Уся інформація викладена докладно, простими словами.

Власне, одразу розглянемо приклад:

Приклад 1

Знайти похідну функції

Рішення:

Це найпростіший приклад, будь ласка, знайдіть його у таблиці похідних елементарних функцій. Тепер подивимося на рішення та проаналізуємо, що ж сталося? А сталася така річ: у нас була функція, яка в результаті рішення перетворилася на функцію.

Говорячи дуже просто, щоб знайти похідну функції, потрібно за певними правилами перетворити її на іншу функцію. Подивіться ще раз на таблицю похідних – функції перетворюються на інші функції. Єдиним винятком є ​​експоненційна функція, яка перетворюється сама на себе. Операція знаходження похідної називається диференціюванням .

Позначення: Похідну позначають або .

УВАГА, ВАЖЛИВО!Забути поставити штрих (там де треба), або намалювати зайвий штрих (там де не треба) – ГРУБА ПОМИЛКА!Функція та її похідна – це дві різні функції!

Повернімося до нашої похідної таблиці. З цієї таблиці бажано запам'ятати напам'ять: правила диференціювання та похідні деяких елементарних функцій, особливо:

похідну константи:
, де - Постійне число;

похідну статечної функції:
, зокрема: , , .

Навіщо запам'ятовувати? Дані знання є елементарними знаннями про похідні. І якщо Ви не зможете відповісти викладачеві на запитання «Чому дорівнює похідна цифра?», то навчання у ВНЗ може для Вас закінчитися (особисто знайомий із двома реальними випадками з життя). Крім того, це найбільш поширені формули, якими доводиться користуватися практично щоразу, коли ми стикаємося з похідними.

Насправді прості табличні приклади – рідкість, зазвичай при знаходженні похідних спочатку використовуються правила диференціювання, та був – таблиця похідних елементарних функций.

У зв'язку з цим переходимо до розгляду правил диференціювання:

1) Постійне число можна (і потрібно) винести за знак похідної

Де – постійне число (константа)

Приклад 2

Знайти похідну функції

Дивимося до таблиці похідних. Похідна косинуса там є, але в нас.

Саме час використовувати правило, виносимо постійний множник за знак похідної:

А тепер перетворюємо наш косинус за таблицею:

Ну і результат бажано трохи «зачесати» - ставимо мінус на перше місце, заодно позбавляючись дужок:

2) Похідна сума дорівнює сумі похідних

Приклад 3

Знайти похідну функції

Вирішуємо. Як Ви, напевно, вже помітили, перша дія, яка завжди виконується при знаходженні похідної, полягає в тому, що ми укладаємо в дужки весь вираз і ставимо штрих праворуч угорі:

Застосовуємо друге правило:

Зверніть увагу, що для диференціювання все коріння, ступеня потрібно подати у вигляді , а якщо вони знаходяться в знаменнику, то перемістити їх вгору. Як це зробити – розглянуто у моїх методичних матеріалах.

Тепер згадуємо про перше правило диференціювання – постійні множники (числа) виносимо за знак похідної:

Зазвичай у ході рішення ці два правила застосовують одночасно (щоб не переписувати вкотре довгий вираз).

Усі функції, що знаходяться під штрихами, є елементарними табличними функціями, за допомогою таблиці здійснюємо перетворення:

Можна все залишити в такому вигляді, тому що штрихів більше немає, і знайдена похідна. Проте, подібні висловлювання зазвичай спрощують:

Усі ступеня виду бажано знову уявити як коріння, ступеня з негативними показниками – скинути у знаменник. Хоча цього можна і не робити, помилкою не буде.

Приклад 4

Знайти похідну функції

Спробуйте вирішити цей приклад самостійно (відповідь наприкінці уроку). Бажаючі також можуть скористатися інтенсивним курсому pdf-форматі, який є особливо актуальним, якщо у вас у розпорядженні зовсім мало часу.

3) Похідна робота функцій

Начебто за аналогією напрошується формула …., але несподіванка полягає в тому, що:

Це незвичайне правило (як, власне, та інші)випливає з визначення похідної. Але з теорією ми поки що почекаємо – зараз важливіше навчитися вирішувати:

Приклад 5

Знайти похідну функції

Тут ми маємо твір двох функцій, залежних від .
Спочатку застосовуємо наше дивне правило, а потім перетворюємо функції по таблиці похідних:

Важко? Зовсім ні, цілком доступно навіть для чайника.

Приклад 6

Знайти похідну функції

У цій функції міститься сума та добуток двох функцій – квадратного тричлена та логарифму. Зі школи ми пам'ятаємо, що множення та поділ мають пріоритет перед складанням та відніманням.

Тут так само. СПОЧАТКУми використовуємо правило диференціювання твору:

Тепер для дужки використовуємо два перші правила:

В результаті застосування правил диференціювання під штрихами у нас залишилися лише елементарні функції, за таблицею похідних перетворюємо їх на інші функції:

Готово.

При певному досвіді знаходження похідних прості похідні начебто не обов'язково розписувати так докладно. Взагалі вони зазвичай вирішуються усно, і відразу записується, що .

Приклад 7

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку)

4) Похідна приватних функцій

У стелі відкрився люк, не лякайся, це глюк.
А ось це ось сувора дійсність:

Приклад 8

Знайти похідну функції

Чого тут тільки немає – сума, різницю, твір, дріб…. З чого почати?! Є сумніви, немає сумнівів, але, В БУДЬ-ЯКОМУ ВИПАДКУдля початку малюємо дужки і праворуч вгорі ставимо штрих:

Тепер дивимося на вираз у дужках, як його спростити? У цьому випадку помічаємо множник, який згідно з першим правилом доцільно винести за знак похідної.

Запам'ятати дуже легко.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм – функції унікально прості з погляду похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (Похідна однакова у всіх точках, так як це лінійна функція, пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

І тому скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут приватне двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі добуток двох функцій:

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для прикладу, .

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягаємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше чиниться дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давай визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

Дата: 20.11.2014

Що таке похідна?

Таблиця похідних.

Похідна – одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.

Це знайомство дозволить:

Розуміти суть нескладних завдань із похідною;

Успішно вирішувати ці нескладні завдання;

Підготуватися до серйозніших уроків з похідної.

Спочатку – приємний сюрприз.)

Суворе визначення похідної ґрунтується на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не потребує таких великих і глибоких знань!

Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, та лише кілька правил- Щоб його вирішити. І все. Це радує.

Приступимо до знайомства?)

Терміни та позначення.

В елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає вищою. Ця нова операція називається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції буде розглянуто в окремих уроках.

Тут важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.

Диференціювання- Дія над функцією.

Похідна- Результат цієї дії.

Так само, як, наприклад, сума- Результат додавання. Або приватне- Результат поділу.

Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків вирішення завдання.

Позначається похідна за допомогою штришку вгорі праворуч над функцією. Ось так: y"або f"(x)або S"(t)і так далі.

Читається ігор штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли...)

Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)", (x 3 )" , (Sinx)"і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.

Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.

Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:

1. Таблиця похідних (формули диференціювання).

3. Похідна складної функції.

Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.

Таблиця похідних.

У світі - безліч функцій. Серед цієї множини є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як із цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції і вивчаються у школі – лінійна, квадратична, гіпербола тощо.

Диференціювання функцій "з нуля", тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики – теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)

Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Ліворуч - елементарна функція, праворуч - її похідна.

	Функція y	Похідна функції y y"
1	C (постійна величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - будь-яке число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій цієї таблиці похідних. Похідна статечної функції - одна з найуживаніших формул, якщо тільки не найвживаніша! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як це може здатися. Спробуйте вирішувати більше прикладів, таблиця сама і запам'ятається!)

Знайти табличне значення похідної, як ви розумієте, завдання не найважче. Тому дуже часто у подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або у формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - начебто і немає...

Розглянемо кілька прикладів:

1. Знайти похідну функції y = x 3

Такої функції у таблиці немає. Але є похідна статечної функції у загальному вигляді (третя група). У разі n=3. Ось і підставляємо трійку замість n та акуратно записуємо результат:

(x 3) " = 3 · x 3-1 = 3x 2

Ось і всі справи.

Відповідь: y" = 3x 2

2. Знайти значення похідної функції y = sinx у точці х = 0.

Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х = 0в цю похідну. Саме у такому порядку!А то, буває, відразу підставляють нуль у вихідну функцію... Нас просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідною.Похідна, нагадаю – це вже нова функція.

По табличці знаходимо синус та відповідну похідну:

y" = (sin x)" = cosx

Підставляємо нуль у похідну:

y"(0) = cos 0 = 1

Це буде відповідь.

3. Продиференціювати функцію:

Що, вселяє?) Такої функції таблиці похідних і близько немає.

Нагадаю, що продиференціювати функцію – це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітно. Таблиця не допомагає...

Але якщо побачити, що наша функція – це косинус подвійного кута, То все відразу налагоджується!

Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціюванняцілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:

Тобто. наша хитра функція є не що інше, як y = cosx. А це – таблична функція. Відразу отримуємо:

Відповідь: y" = - sin x.

Приклад для просунутих випускників та студентів:

4. Знайти похідну функції:

Такої функції у таблиці похідних немає, очевидно. Але якщо згадати елементарну математику, дії зі ступенями... То можна спростити цю функцію. Ось так:

А ікс ступеня одна десята - це вже таблична функція! Третя група, n = 1/10. Просто за формулою та записуємо:

От і все. Це буде відповідь.

Сподіваюся, що з першим китом диференціювання – таблицею похідних – все ясно. Залишилося розібратися з двома китами, що залишилися. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.