Як знайти модуль переміщення у фізиці? (Може є якась універсальна формула?). Вектори та операції над векторами Що таке орта вектора

Одиничний вектор- це вектор, Абсолютна величина (модуль) якого дорівнює одиниці. Для позначення одиничного вектора ми будемо використовувати нижній індекс е. Так, якщо заданий вектор а, то його одиничним вектором буде ае. Цей одиничний вектор направлений туди ж, куди направлений і сам вектор а, та її модуль дорівнює одиниці, тобто а е = 1.

Очевидно, а= а · ае (а - модуль вектора а). Це випливає з правила, яким виконується операція множення скаляра на вектор .

Поодинокі векторичасто пов'язують із координатними осями системи координат (зокрема, з осями декартової системи координат). Напрямки цих векторівзбігаються з напрямками відповідних осей, які початку часто поєднують з початком системи координат.

Нагадаю, що декартовою системою координату просторі традиційно називається трійка взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються у точці, яка називається початком координат. Координатні осі зазвичай позначають літерами X, Y, Z і називають відповідно віссю абсцис, віссю ординат і віссю аплікат. Сам Декарт користувався лише однією віссю, де відкладалися абсциси. Заслуга використання системиосей належить його учням. Тому фраза декартова система координатісторично хибна. Краще говорити прямокутна система координатабо ортогональна система координат. Тим не менш, змінювати традиції ми не станемо і надалі вважатимемо, що декартова та прямокутна (ортогональна) системи координат – це одне й те саме.

Одиничний вектор, спрямований уздовж осі Х, позначається i, одиничний вектор, спрямований уздовж осі Y , позначається j, а одиничний вектор, спрямований уздовж осі Z, позначається k. Вектори i, j, kназиваються ортами(рис. 12, зліва), вони мають одиничні модулі, тобто
i = 1, j = 1, k = 1.

Осі та орти прямокутної системи координату деяких випадках мають інші назви та позначення. Так, вісь абсцис X може називатися дотичною віссю, а її орт позначається τ (грецька рядкова літера тау), вісь ординат - віссю нормалі, її орт позначається n, вісь аплікат - віссю бінормалі, її орт позначається b. Навіщо змінювати назви, якщо суть залишається такою самою?

Річ у тім, що, наприклад, у механіці щодо руху тіл прямокутна система координат використовується дуже часто. Так от, якщо сама система координат нерухома, а зміна координат об'єкта, що рухається, відстежується в цій нерухомій системі, то зазвичай осі позначають X, Y, Z, а їх ортивідповідно i, j, k.

Але нерідко, коли об'єкт рухається якоюсь криволінійною траєкторією (наприклад, по колу) буває зручніше розглядати механічні процеси в системі координат, що рухається з цим об'єктом. Саме для такої системи координат, що рухається, і використовуються інші назви осей та їх ортів. Просто так заведено. У цьому випадку вісь X направляють по дотичній до траєкторії в тій її точці, в якій цей об'єкт знаходиться. І тоді цю вісь називають уже не віссю X, а дотичною віссю, а її орт позначають уже не i, а τ . Вісь Y направляють по радіусу кривизни траєкторії (у разі руху по колу - до центру кола). А оскільки радіус перпендикулярний дотичній, то вісь називають віссю нормалі (перпендикуляр і нормаль – це те саме). Орт цієї осі позначають вже не j, а n. Третя вісь (колишня Z) перпендикулярна двом попереднім. Це - бінормаль з ортом b(Рис. 12, праворуч). До речі, у цьому випадку таку прямокутну систему координатчасто називають «природною» чи натуральною.

Вектором у геометрії називають спрямований відрізок або впорядковану пару точок евклідового простору. Ортом векторає одиничний вектор нормованого векторного простору або вектор, норма (довжина) якого дорівнює одиниці.

Вам знадобиться

• Знання з геометрії.

Інструкція

Для початку необхідно обчислити довжину вектора. Як відомо, довжина (модуль) векторадорівнює кореню квадратному із суми квадратів координат. Нехай даний вектор з координатами: a(3, 4). Тоді його довжина дорівнює | = (9 + 16) ^ 1/2 або | a | = 5.

Щоб знайти орт вектора a, необхідно поділити кожну його на його довжину. Результатом буде вектор, який називається орт або одиничним вектором. Для вектораа(3, 4) ортом буде вектор а(3/5, 4/5). Вектор a` буде одиничним для вектораа.

Для перевірки, чи правильно знайдений орт, можна зробити таке: знайти довжину отриманого орта, якщо вона дорівнює одиниці, то все знайдено правильно, якщо ні, то розрахунки закралася помилка. Перевіримо чи знайдений орт a`. Довжина вектора a` дорівнює: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Отже, довжина вектора a` дорівнює одиниці, отже орт знайдено правильно.

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований вирішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайоме кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики .

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплекс з аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб тощо. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярне твір векторів , а також і Векторний та змішаний твір векторів . Не зайвим буде і локальне завдання. Поділ відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площині з найпростішими прикладами рішень , що дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії . Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі , Рівняння прямої у просторі , Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого зазначено його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напрямокмає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або можете вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не заморочуються клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля:

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємось (або повторимо, для кого як) трохи пізніше.

То були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший «шкільний» вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини або простору. Це дуже крута властивість! Уявіть спрямований відрізок довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все майже коректно - спрямований відрізок можна прилаштувати туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: "Вектором називається спрямований відрізок ...", має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка докладання має значення. Справді, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаютьсята в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Події з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектора:

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний сенс: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється на суму будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючому вектору суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмаскладання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються сонаправленими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: , при цьому можлива деталізація: (вектори спрямовані) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, сонаправлені і мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичним значком перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів .Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому кипить повне та насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числа, які називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладання вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, справедлива будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший - праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Прослідкуйте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються всі три варіанти запису.

Сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежусь одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад складання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо в розкладанні відсутній один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - запишемо;
вектор (прискіпливо) - запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюс до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Події з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ятьЦе дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Викладення матеріалу піде паралельним курсом - і для площини, і для простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дані дві точки площини та . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуся:

Обов'язково треба розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має строге місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за бажання чи необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що для векторів можна взагалі не будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у цьому випадку ортонормований базис площини.

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різнийі вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два одно нулю». Відразу вибачаюсь, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його будь-куди, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення у масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити клітини), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, що це, міліметри, сантиметри, метри або кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком вже точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити на дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невиймане націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань корені трапляються часто, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доробкою ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заодно повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дані точки та . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

Або орт (одиничний вектор нормованого векторного простору) – вектор, норма (довжина) якого дорівнює одиниці. Поодинокий вектор … Вікіпедія

- (орт) вектор, довжина якого дорівнює одиниці обраного масштабу. Великий Енциклопедичний словник

- (орт), вектор, довжина якого дорівнює одиниці вибраного масштабу. * * * ЄДИНИЧНИЙ ВЕКТОР ЄДИНИЧНИЙ ВЕКТОР (орт), вектор, довжина якого дорівнює одиниці обраного масштабу. Енциклопедичний словник

Орт, вектор, довжина якого дорівнює одиниці вибраного масштабу. Будь-який вектор може бути отриманий з деякого коллінеарного йому Е. в. е множенням на число (скаляр) λ, тобто а = λе. також Векторне обчислення … Велика Радянська Енциклопедія

- (орт), вектор, довжина якого дорівнює одиниці обраного масштабу ... Природознавство. Енциклопедичний словник

Орт: У Вікісловарі є стаття «орт» Орф, або Орт двоголовий пес, породження Тифона та Єхидни, брат Цербер. Орт … Вікіпедія

А; м. [нім. Ort] 1. Горн. Горизонтальне підземне гірське вироблення, що не має безпосереднього виходу на поверхню. 2. Матем. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці. * * * орт I (від грец. orthós прямий), те ж, що одиничний вектор. II (нім.… … Енциклопедичний словник