Як перемножувати матриці 2x2. Множення матриць. Зведення матриці в ступінь

Отже, в попередньому уроці ми розібрали правила додавання і віднімання матриць. Це настільки прості операції, що більшість студентів розуміють їх буквально з ходу.

Однак ви рано радієте. Халява закінчилася - переходимо до множення. Відразу попереджу: помножити дві матриці - це зовсім не перемножити числа, які стоять в клітинах з однаковими координатами, як би ви могли подумати. Тут все набагато веселіше. І почати доведеться з попередніх визначень.

узгоджені матриці

Одна з найважливіших характеристик матриці - це її розмір. Ми вже сто разів говорили про це: запис $ A = \ left [m \ times n \ right] $ означає, що в матриці рівно $ m $ рядків і $ n $ стовпців. Як не плутати рядки зі стовпчиками, ми теж вже обговорювали. Зараз важливо інше.

Визначення. Матриці виду $ A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $, в яких кількість стовпців в першій матриці збігається з кількістю рядків у другій, називаються узгодженими.

Ще раз: кількість стовпців в першій матриці дорівнює кількості рядків у другій! Звідси отримуємо відразу два висновки:

1. Нам важливий порядок матриць. Наприклад, матриці $ A = \ left [3 \ times 2 \ right] $ і $ B = \ left [2 \ times 5 \ right] $ є узгодженими (2 стовпці в першій матриці і 2 рядки в другій), а ось навпаки - матриці $ B = \ left [2 \ times 5 \ right] $ і $ A = \ left [3 \ times 2 \ right] $ - вже не узгоджені (5 стовпців в першій матриці - це як би не 3 рядки в другій ).
2. Узгодженість легко перевірити, якщо виписати всі розміри один за одним. На прикладі з попереднього пункту: «3 2 + 2 5" - посередині однакові числа, тому матриці узгоджені. А ось «2 5 3 2» - не узгоджені, оскільки посередині різні числа.

Крім того, капітан очевидність як би натякає, що квадратні матриці однакового розміру $ \ left [n \ times n \ right] $ узгоджені завжди.

В математиці, коли важливий порядок перерахування об'єктів (наприклад, в розглянутому вище визначенні важливий порядок матриць), часто говорять про упорядкованих парах. Ми зустрічалися з ними ще в школі: думаю, і їжаку зрозуміло, що координати $ \ left (1; 0 \ right) $ і $ \ left (0; 1 \ right) $ задають різні точки на площині.

Так ось: координати - це теж впорядковані пари, які складаються з чисел. Але ніщо не заважає скласти таку пару з матриць. Тоді можна буде сказати: «Упорядкована пара матриць $ \ left (A; B \ right) $ є узгодженою, якщо кількість стовпців в першій матриці збігається з кількістю рядків у другій».

Ну і що з того?

визначення множення

Розглянемо дві узгоджені матриці: $ A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $. І визначимо для них операцію множення.

Визначення. Твір двох узгоджених матриць $ A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $ - це нова матриця $ C = \ left [m \ times k \ right] $, елементи якої вважаються за формулою:

\ [\ Begin (align) & ((c) _ (i; j)) = ((a) _ (i; 1)) \ cdot ((b) _ (1; j)) + ((a) _ (i; 2)) \ cdot ((b) _ (2; j)) + \ ldots + ((a) _ (i; n)) \ cdot ((b) _ (n; j)) = \\ & = \ sum \ limits_ (t = 1) ^ (n) (((a) _ (i; t)) \ cdot ((b) _ (t; j))) \ end (align) \]

Позначається такий твір стандартно: $ C = A \ cdot B $.

У тих, хто вперше бачить це визначення, відразу виникає два питання:

1. Що це за люта дичину?
2. А чому так складно?

Що ж, про все по порядку. Почнемо з першого питання. Що означають всі ці індекси? І як не помилитися при роботі з реальними матрицями?

Насамперед зазначимо, що довга рядок для розрахунку $ ((c) _ (i; j)) $ (спеціально поставив крапку з комою між індексами, щоб не заплутатися, але взагалі їх ставити не треба - я сам задолбался набирати формулу в ухвалі) насправді зводиться до простого правила:

1. Беремо $ i $ -ю рядок в першій матриці;
2. Беремо $ j $ -й стовпець у другій матриці;
3. Отримуємо дві послідовності чисел. Перемножуємо елементи цих послідовностей з однаковими номерами, а потім складаємо отримані твори.

Даний процес легко зрозуміти по картинці:

Схема перемноження двох матриць

Ще раз: фіксуємо рядок $ i $ в першій матриці, стовпець $ j $ в другій матриці, перемножуємо елементи з однаковими номерами, а потім отримані твори складаємо - отримуємо $ ((c) _ (ij)) $. І так для всіх $ 1 \ le i \ le m $ і $ 1 \ le j \ le k $. Тобто всього буде $ m \ times k $ таких «збочень».

Насправді ми вже зустрічалися з перемножением матриць в шкільній програмі, тільки в сильно урізаному вигляді. Нехай дано вектора:

\ [\ Begin (align) & \ vec (a) = \ left (((x) _ (a)); ((y) _ (a)); ((z) _ (a)) \ right); \\ & \ overrightarrow (b) = \ left (((x) _ (b)); ((y) _ (b)); ((z) _ (b)) \ ​​right). \\ \ end (align) \]

Тоді їх скалярним твором буде саме сума попарних творів:

\ [\ Overrightarrow (a) \ times \ overrightarrow (b) = ((x) _ (a)) \ cdot ((x) _ (b)) + ((y) _ (a)) \ cdot ((y ) _ (b)) + ((z) _ (a)) \ cdot ((z) _ (b)) \]

По суті, в ті далекі роки, коли дерева були зеленішою, а небо яскравіше, ми просто множили вектор-рядок $ \ overrightarrow (a) $ на вектор-стовпець $ \ overrightarrow (b) $.

Сьогодні нічого не змінилося. Просто тепер цих векторів-рядків і стовпців стало більше.

Але вистачить теорії! Давайте подивимося на реальні приклади. І почнемо з найпростішого випадку - квадратних матриць.

Множення квадратних матриць

Завдання 1. Виконайте множення:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Рішення. Отже, у нас дві матриці: $ A = \ left [2 \ times 2 \ right] $ і $ B = \ left [2 \ times 2 \ right] $. Зрозуміло, що вони узгоджені (квадратні матриці однакового розміру завжди узгоджені). Тому виконуємо множення:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot \ left (-2 \ right) +2 \ cdot 3 & 1 \ cdot 4 + 2 \ cdot 1 \\ -3 \ cdot \ left (-2 \ right) +4 \ cdot 3 & -3 \ cdot 4 + 4 \ cdot 1 \\\ end (array) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end (array) \ right]. \ End (align) \]

От і все!

Відповідь: $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end (array) \ right] $.

Завдання 2. Виконайте множення:

\ [\ Left [\ begin (matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ end (array) \ right] \]

Рішення. Знову узгоджені матриці, тому виконуємо дії: \ [\]

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) ( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot 9 + 3 \ cdot \ left (-3 \ right) & 1 \ cdot 6 + 3 \ cdot \ left (-2 \ right) \\ 2 \ cdot 9 + 6 \ cdot \ left (-3 \ right) & 2 \ cdot 6 + 6 \ cdot \ left (-2 \ right) \\\ end (array) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end (matrix) \ right] . \ End (align) \]

Як бачимо, вийшла матриця, заповнена нулями

Відповідь: $ \ left [\ begin (matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end (matrix) \ right] $.

З наведених прикладів очевидно, що множення матриць - не така вже й складна операція. Принаймні для квадратних матриць розміру 2 на 2.

В процесі обчислень ми склали проміжну матрицю, де прямо розписали, які числа входять в ту чи іншу осередок. Саме так і слід робити при вирішенні реальних завдань.

Основні властивості матричного твори

В двох словах. Множення матриць:

1. Некомутативними: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $ в загальному випадку. Бувають, звичайно, особливі матриці, для яких рівність $ A \ cdot B = B \ cdot A $ (наприклад, якщо $ B = E $ - одиничної матриці), але в абсолютній більшості випадків це не працює;
2. Асоціативно: $ \ left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $. Тут без варіантів: стоять поруч матриці можна перемножувати, що не переживаючи за те, що варто лівіше і правіше цих двох матриць.
3. Дистрибутивно: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $ і $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $ (в силу некомутативності твори доводиться окремо прописувати дистрибутивность справа і зліва.

А тепер - все те ж саме, але більш докладно.

Множення матриць багато в чому нагадує класичне множення чисел. Але є відмінності, найважливіше з яких полягає в тому, що множення матриць, взагалі кажучи, некомутативними.

Розглянемо ще раз матриці з завдання 1. Пряме їх твір ми вже знаємо:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end (array) \ right] \]

Але якщо поміняти матриці місцями, то отримаємо зовсім інший результат:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ end (matrix ) \ right] \]

Виходить, що $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $. Крім того, операція множення визначена тільки для узгоджених матриць $ A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $, але ніхто не гарантував, що вони залишаться узгодженими, якщо їх поміняти місцями. Наприклад, матриці $ \ left [2 \ times 3 \ right] $ і $ \ left [3 \ times 5 \ right] $ цілком собі узгоджені в зазначеному порядку, але ті ж матриці $ \ left [3 \ times 5 \ right] $ і $ \ left [2 \ times 3 \ right] $, записані в зворотному порядку, вже не узгоджені. Сум.:(

Серед квадратних матриць заданого розміру $ n $ завжди знайдуться такі, які дають однаковий результат як при перемножуванні в прямому, так і в зворотному порядку. Як описати всі подібні матриці (і скільки їх взагалі) - тема для окремого уроку. Сьогодні не будемо про це. :)

Проте, множення матриць асоціативно:

\ [\ Left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) \]

Отже, коли вам треба перемножити відразу кілька матриць поспіль, зовсім необов'язково робити це напролом: цілком можливо, що деякі оточуючі матриці при перемножуванні дають цікавий результат. Наприклад, нульову матрицю, як в Задачі 2, розглянутої вище.

В реальних задачах найчастіше доводиться множити квадратні матриці розміру $ \ left [n \ times n \ right] $. Безліч всіх таких матриць позначається $ ((M) ^ (n)) $ (тобто записи $ A = \ left [n \ times n \ right] $ і \ означають одне і те ж), і в ньому обов'язково знайдеться матриця $ E $, яку називають одиничною.

Визначення. Одинична матриця розміру $ n $ - це така матриця $ E $, що для будь-якої квадратної матриці $ A = \ left [n \ times n \ right] $ виконується рівність:

Така матриця завжди виглядає однаково: на головній діагоналі її стоять одиниці, а у всіх інших клітинах - нулі.

\ [\ Begin (align) & A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C; \\ & \ left (A + B \ right) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C. \\ \ end (align) \]

Іншими словами, якщо потрібно помножити одну матрицю на суму двох інших, то можна помножити її на кожну з цих «двох інших», а потім результати скласти. На практиці зазвичай доводиться виконувати зворотну операцію: помічаємо однакову матрицю, виносимо її за дужку, виконуємо додавання і тим самим спрощуємо собі життя. :)

Зауважте: для опису дистрибутивности нам довелося прописати дві формули: де сума стоїть у другому множник і де сума стоїть в першому. Це відбувається як раз через те, що множення матриць некомутативними (і взагалі, в некомутативної алгебри купа всяких приколів, які при роботі з звичайними числами навіть не приходять в голову). І якщо, припустимо, вам на іспиті потрібно буде розписати це властивість, то обов'язково пишіть обидві формули, інакше препод може трохи розлютитися.

Гаразд, все це були казки про квадратних матрицях. А що щодо прямокутних?

Випадок прямокутних матриць

А нічого - все те ж саме, що і з квадратними.

Завдання 3. Виконайте множення:

\ [\ Left [\ begin (matrix) \ begin (matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ end (matrix) & \ begin (matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ end (matrix) \ \\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end (array) \ right] \]

Рішення. Маємо дві матриці: $ A = \ left [3 \ times 2 \ right] $ і $ B = \ left [2 \ times 2 \ right] $. Випишемо числа, що позначають розміри, в ряд:

Як бачимо, центральні два числа збігаються. Значить, матриці узгоджені, і їх можна перемножити. Причому на виході ми отримаємо матрицю $ C = \ left [3 \ times 2 \ right] $:

\ [\ Begin (align) & \ left [\ begin (matrix) \ begin (matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ end (matrix) & \ begin (matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \ end (matrix) \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 5 \ cdot \ left (-2 \ right) +4 \ cdot 3 & 5 \ cdot 5 + 4 \ cdot 4 \\ 2 \ cdot \ left (-2 \ right) +5 \ cdot 3 & 2 \ cdot 5 + 5 \ cdot 4 \\ 3 \ cdot \ left (-2 \ right) +1 \ cdot 3 & 3 \ cdot 5 + 1 \ cdot 4 \\\ end (array) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ end (array) \ right]. \ End (align) \]

Все чітко: в підсумковій матриці 3 рядки і 2 колонки. Цілком собі $ = \ left [3 \ times 2 \ right] $.

Відповідь: $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) \ begin (array) (* (35) (r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\ end (array) & \ begin (matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ end (matrix) \\\ end (array) \ right] $.

Зараз розглянемо одне з найкращих тренувальних завдань для тих, хто тільки починає працювати з матрицями. У ньому потрібно не просто перемножити якісь дві таблички, а спочатку визначити: чи припустимо таке множення?

Завдання 4. Знайдіть всі можливі попарні твори матриць:

\\]; $ B = \ left [\ begin (matrix) \ begin (matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\ end (matrix) & \ begin (matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ end (matrix) \\\ end (matrix) \ right] $; $ C = \ left [\ begin (matrix) 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right] $.

Рішення. Для початку запишемо розміри матриць:

\; \ B = \ left [4 \ times 2 \ right]; \ C = \ left [2 \ times 2 \ right] \]

Отримуємо, що матрицю $ A $ можна узгодити лише з матрицею $ B $, оскільки кількість стовпців у $ A $ дорівнює 4, а таку кількість рядків тільки у $ B $. Отже, можемо знайти твір:

\\ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) - 10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ end (array) \ right] \]

Проміжні кроки пропоную виконати читачеві самостійно. Зауважу лише, що розмір результуючої матриці краще визначати заздалегідь, ще до будь-яких обчислень:

\\ cdot \ left [4 \ times 2 \ right] = \ left [2 \ times 2 \ right] \]

Іншими словами, ми просто прибираємо «транзитні» коефіцієнти, які забезпечували узгодженість матриць.

Які ще можливі варіанти? Безумовно, можна знайти $ B \ cdot A $, оскільки $ B = \ left [4 \ times 2 \ right] $, $ A = \ left [2 \ times 4 \ right] $, тому впорядкована пара $ \ left (B ; A \ right) $ є узгодженою, а розмірність твори буде:

\\ cdot \ left [2 \ times 4 \ right] = \ left [4 \ times 4 \ right] \]

Коротше кажучи, на виході буде матриця $ \ left [4 \ times 4 \ right] $, коефіцієнти якої легко вважаються:

\\ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ end (array) \ right] \]

Очевидно, можна узгодити ще $ C \ cdot A $ і $ B \ cdot C $ - і все. Тому просто запишемо отримані твори:

Це було легко.:)

Відповідь: $ AB = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ end (array) \ right] $; $ BA = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ end (array) \ right] $; $ CA = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\ end (array) \ right] $; $ BC = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\ end (array) \ right] $.

Взагалі, дуже рекомендую виконати це завдання самостійно. І ще одне аналогічне завдання, яке є в домашній роботі. Ці прості на перший погляд роздуми допоможуть вам відпрацювати всі ключові етапи множення матриць.

Але на цьому історія не закінчується. Переходимо до окремих випадків множення. :)

Вектор-рядки і вектор-стовпці

Однією з найпоширеніших матричних операцій є множення на матрицю, в якій один рядок або один стовпець.

Визначення. Вектор-стовпець - це матриця розміру $ \ left [m \ times 1 \ right] $, тобто що складається з декількох рядків і тільки одного стовпчика.

Вектор-рядок - це матриця розміру $ \ left [1 \ times n \ right] $, тобто що складається з одного рядка і декількох стовпців.

Насправді ми вже зустрічалися з цими об'єктами. Наприклад, звичайний тривимірний вектор з стереометрії $ \ overrightarrow (a) = \ left (x; y; z \ right) $ - це не що інше як вектор-рядок. З точки зору теорії різниці між рядками і стовпцями майже немає. Уважними треба бути хіба що при узгодженні з оточуючими матрицями-множниками.

Завдання 5. Виконайте множення:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ end (array) \ right] \]

Рішення. Перед нами твір узгоджених матриць: $ \ left [3 \ times 3 \ right] \ cdot \ left [3 \ times 1 \ right] = \ left [3 \ times 1 \ right] $. Знайдемо цей твір:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35 ) (r)) 2 \ cdot 1+ \ left (-1 \ right) \ cdot 2 + 3 \ cdot \ left (-1 \ right) \\ 4 \ cdot 1 + 2 \ cdot 2 + 0 \ cdot 2 \ \ -1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 2 + 1 \ cdot \ left (-1 \ right) \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ end (array) \ right] \]

Відповідь: $ \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) - 3 \\ 8 \\ 0 \\\ end (array) \ right] $.

Завдання 6. Виконайте множення:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ end (array) \ right] \]

Рішення. Знову все погоджено: $ \ left [1 \ times 3 \ right] \ cdot \ left [3 \ times 3 \ right] = \ left [1 \ times 3 \ right] $. Вважаємо твір:

\ [\ Left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) ( r)) 5 & -19 & 5 \\\ end (array) \ right] \]

Відповідь: $ \ left [\ begin (matrix) 5 & -19 & 5 \\\ end (matrix) \ right] $.

Як бачите, при множенні вектор-рядки і вектор-стовпця на квадратну матрицю на виході ми завжди отримуємо рядок або стовпець того ж розміру. Цей факт має безліч застосувань - від рішення лінійних рівнянь до всіляких перетворень координат (які в підсумку теж зводяться до систем рівнянь, але давайте не будемо про сумне).

Думаю, тут все було очевидно. Переходимо до заключної частини сьогоднішнього уроку.

Зведення матриці в ступінь

Серед всіх операцій множення на окрему увагу заслуговує зведення в ступінь - це коли ми кілька разів множимо один і той же об'єкт на самого себе. Матриці - не виняток, їх теж можна зводити в різні ступені.

Такі твори завжди узгоджені:

\\ cdot \ left [n \ times n \ right] = \ left [n \ times n \ right] \]

І позначаються точно так же, як і звичайні ступеня:

\ [\ Begin (align) & A \ cdot A = ((A) ^ (2)); \\ & A \ cdot A \ cdot A = ((A) ^ (3)); \\ & \ underbrace (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (n) = ((A) ^ (n)). \\ \ end (align) \]

На перший погляд, все просто. Подивимося, як це виглядає на практиці:

Завдання 7. Зведіть матрицю в зазначену ступінь:

$ ((\ Left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) $

Рішення. Ну ОК, давайте будувати. Спочатку зведемо в квадрат:

\ [\ Begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (2)) = \ left [\ begin (matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 1 \\ 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 & 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot 1 \\\ end (array) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ end (array) \ right] \ end (align) \]

\ [\ Begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) = ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end ( matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [ \ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \ end (align) \]

От і все.:)

Відповідь: $ \ left [\ begin (matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] $.

Завдання 8. Зведіть матрицю в зазначену ступінь:

\ [((\ Left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (10)) \]

Рішення. Ось тільки не треба зараз плакати з приводу того, що «ступінь занадто велика», «світ не справедливий» і «препод зовсім берега втратили». Насправді все легко:

\ [\ Begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (10)) = ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) \ cdot ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) \ cdot ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left (\ left [\ begin (matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] \ right) \ cdot \ left (\ left [ \ begin (matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right ] \ right) = \\ & = \ left [\ begin (matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] \ end (align) \ ]

Зауважте: у другій сходинці ми використовували асоціативність множення. Власне, ми використовували її і в попередньому завданні, але там це було неявно.

Відповідь: $ \ left [\ begin (matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] $.

Як бачите, нічого складного в зведенні матриці в ступінь немає. Останній приклад можна узагальнити:

\ [((\ Left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (n)) = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Цей факт легко довести через математичну індукцію або прямим перемножением. Однак далеко не завжди при зведенні в ступінь можна виловити подібні закономірності. Тому будьте уважні: часто перемножити кілька матриць «напролом» виявляється простіше і швидше, ніж шукати якісь там закономірності.

Загалом, не шукайте вищий сенс там, де його немає. На закінчення розглянемо зведення в ступінь матриці більшого розміру - аж $ \ left [3 \ times 3 \ right] $.

Завдання 9. Зведіть матрицю в зазначену ступінь:

\ [((\ Left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) \]

Рішення. Не будемо шукати закономірності. Працюємо «напролом»:

\ [((\ Left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) = (( \ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (2)) \ cdot \ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right] \]

Для початку зведемо цю матрицю в квадрат:

\ [\ Begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right]) ^ ( 2)) = \ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ end (array) \ right] \ end (align) \]

Тепер зведемо в куб:

\ [\ Begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right]) ^ ( 3)) = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin ( array) (* (35) (r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ end (array) \ right] \ end (align) \]

От і все. Завдання вирішена.

Відповідь: $ \ left [\ begin (matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ end (matrix) \ right] $.

Як бачите, обсяг обчислень став більше, але сенс від цього анітрохи не змінився. :)

На цьому урок можна закінчувати. Наступного разу ми розглянемо зворотну операцію: за наявним твору будемо шукати вихідні множники.

Як ви вже, напевно, здогадалися, мова піде про зворотну матриці і методах її знаходження.

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціі основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити з матрицями. З чого почати знайомство з матрицями? Звичайно, з самого простого - визначень, основних понять і найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють всі, хто приділить їм хоча б трохи часу!

визначення матриці

матриця- це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою - таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються прописними літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядка і матриці-стовпці, звані векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків і стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицю розміру m на n , де m - кількість рядків, а n - кількість стовпців.

Елементи, для яких i = j (a11, a22, .. ) Утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити з матрицями? Складати / віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції додавання і віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати тільки матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того ж розміру. Складати (або віднімати) матриці просто - досить тільки скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо додавання двох матриць A і В розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожний її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться не всі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити один на одного тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. При цьому кожен елемент отриманої матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумі добутків відповідних елементів в i-му рядку першого множника і j-му стовпці другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад з реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці - це операція, коли відповідні рядки і стовпці міняються місцями. Наприклад, транспоніруем матрицю A з першого прикладу:

визначник матриці

Визначник, про ж детермінант - одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди придумали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У підсумку, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що, останній ривок!

Визначник - це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна для вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут вже складніше, але впоратися можна.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі добутків елементів головної діагоналі і творів елементів лежать на трикутниках з межею паралельної головній діагоналі, від якої віднімається твір елементів побічної діагоналі і твір елементів лежать на трикутниках з межею паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів на практиці доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції над матрицями. Звичайно, в реальному житті можна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь або ж навпаки - зіткнутися з набагато більш складними випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтеся по допомогу, отримуйте якісне і докладний рішення, насолоджуйтеся успіхами в навчанні і вільним часом.

Це одна з найпоширеніших операцій з матрицями. Матриця, яка виходить після множення, називається твором матриць.

твором матриці A m × nна матрицю B n × kбуде матриця C m × kтака, що елемент матриці C, Що знаходиться в i-му рядку і j-ом стовпці, тобто елемент c ijдорівнює сумі добутків елементів i-ої рядки матриці Aна відповідні елементи j-ого стовпця матриці B.

процес множення матрицьможливий тільки в разі, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці.

приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?

m =n, Значить, множити дані матриці можна.

Якщо ж матриці поміняти місцями, то, при таких матрицях, множення вже не буде можливо.

m≠ n, Таким чином, виконувати множення можна:

Досить часто можна зустріти завдання із секретом, коли учневі пропонується помножити матриці, Множення яких свідомо неможливо.

Зверніть увагу, що іноді можна множити матриці і так, і так. Наприклад, для матриць, і можливо як множення MN, Так і множення NM.

Це не дуже складна дія. Множення матриць краще розуміти на конкретних прикладах, тому що тільки визначення може сильно заплутати.

Почнемо з самого простого прикладу:

Необхідно помножити на. Насамперед наведемо формулу для даного випадку:

- тут добре простежується закономірність.

Помножити на .

Формула для цього випадку:.

Множення матриць і результат:

В результаті отримана т.зв. нульова матриця.

Дуже важливо пам'ятати, що тут не працює «правило перестановки місць доданків» так як майже завжди MN≠ NM. Тому, проводячи операцію множення матрицьїх ні в якому разі не можна міняти місцями.

Тепер розглянемо приклади множення матриць третього порядку:

помножити на.

Формула дуже схожа на минулі:

Рішення матриці: .

Це те ж саме множення матриць, тільки замість другої матриці береться просте число. Як можна здогадатися, таке множення виконувати набагато простіше.

Приклад множення матриці на число:

Тут все зрозуміло - для того, щоб помножити матрицю на число, Необхідно кожен елемент матриці послідовно помножити на вказане число. В даному випадку - на 3.

Ще один корисний приклад:

- множення матриці на дробове число.

Насамперед покажемо те, чого робити не треба:

При множенні матриці на дробове число не потрібно вносити дріб в матрицю, так як це в першу чергу тільки ускладнює подальші дії з матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем.

І, тим більше, не потрібно ділити кожен елемент матриці на -7:

.

Що варто зробити в даному випадку - це внести мінус в матрицю:

.

Якби у вас був приклад, коли всі елементи матриці ділилися б на 7 без залишку, то тоді можна (і потрібно!) Було б поділити.

В даному прикладі можна і потрібно помножити всі елементи матриці на ½, тому що кожен елемент матриці ділиться на 2 без залишку.

Примітка: в теорії вищої математики шкільного поняття «поділ» немає. Замість фрази «це поділити на це» завжди можна сказати «це помножити на дріб». Тобто, розподіл - це окремий випадок множення.