Приклади з невідомим доданком. Конспект уроку з математики "Рішення рівнянь" (3 клас). Послідовне застосування правил

Цілі навчання- Вирішувати рівняння способом підбору і на основі зв'язку складання та віднімання.

Цілі уроку

Усі учні зможуть:
знаходити корінь рівняння методом підбору

Більшість учнів зможуть:
вміти записувати та вирішувати прості рівняння на знаходження невідомого доданка

Деякі учні зможуть:
з опорою на малюнок складати та вирішувати самостійно рівняння.

Попередні знання:розуміння системи чисел у межах 100; вміння проводити порівняння та використовувати мову порівняння.

Хід уроку

Створення колаборативного середовища
(психологічні хвилини)

Продзвенів дзвінок веселий.
Ви розпочати урок готові?
Будемо слухати, міркувати,
І один одному допомагати!

Об'єднання у групи

Ціль:об'єднання учнів групи підвищує пізнавальний інтерес до уроку, згуртованість на роботу групи.
Повторення правила роботи у групах

Актуалізація життєвого досвіду

Стратегія "Мозковий штурм" Використання товстих та тонких питань.
- Що таке рівняння? (Рівність з невідомим називають рівнянням)
– Як у рівнянні позначається невідоме?
- Що означає розв'язати рівняння? (Значить знайти невідоме)
- Назвіть компоненти додавання?

Оцінювання: Три бавовни
Стартер "Перегляд відеоролика" (розвиваючий мультик)
Метод "Стоп-кадр!"

Цілепокладання на урок
- Ви здогадалися, чим ми сьогодні на уроці займатимемося?
- Що нам допоможе досягти цілей уроку (дізнатися про нове, навчитися вирішувати такі математичні записи) (свій досвід, учитель, підручник)
Діти формулюють ціль уроку, я узагальнюю.
- Сьогодні на уроці ви дізнаєтесь як вирішувати рівняння з невідомими доданком

Дослідження. Робота за підручником.
Ціль:Дослідити матеріал підручника с. 46

Завдання 1. Гра за підручником "Вагончики в тунелі"
Робота у групі. Стратегія "Подумай, обговори, поділись". Міжпредметний зв'язок навчання грамоті (слухняння та говоріння)

Гра "Вагончики в тунелі"

Скільки вагонів у тунелі?
6 + х = 18 та 2 + х = 14.
Відповідь: 12 вагонів.

Дескриптор:
- складає за малюнком рівняння
- знаходить значення літери шляхом підбору.
- робить висновок (формулюють правило)

Зворотній зв'язок "Світлофор"
Тут я використовую моделювання рівняння з метою
формування вміння розв'язувати рівняння з невідомим доданком.

Завдання 2. Робота у парі. "Допоможи герою"

Гра "Допоможи герою"

Для роботи в парі я використовую спільне навчання, яке передає знання та навички між учнями.
Самооцінювання за дескриптором: "Великий палець"

Динамічна пауза. Музична фізхвилинка.

Завдання 3. Робота у групі. "Подумай-знайди пару, поділись!"

Дескриптори:
- Працює вся група;
- складає та вирішує самостійно рівняння з опорою на малюнок;
- робить висновок (формулюють правило).

Зворотній зв'язок "Колесо"
Застосування (вчитель – спостерігає, допомагає, перевіряє, учень – вирішує питання, демонструє знання)

Взаємоперевірка за слайдами
Тут я використовую роботу в групі для покращення процесу засвоєння інформації.

Завдання 4. Гра в парі "Кубік" (спробуй)

Робота в групі: "Подумай-знайди пару, поділись!"

Дескриптор:
- підставляє число, що випало
- Вирішує самостійно рівняння.

Тут я використовую активний метод в ігровій формі, який призводить до більш глибокого розуміння рішення рівняння з невідомим доданком.
Оцінювання за дескрипторами "Світлофор"

Завдання 5. Індивідуальне завдання
Диференційовані завдання.
Завдання обрані для учнів із різними рівнями знань.

Дескриптор:

1. знаходить корінь рівняння по числовому променю;
2. знаходить за допомогою математичних цифр та знаків корінь рівняння;
3. становить за картинкою складає рівняння.

Самооцінювання "Світлофор" (перевірка за зразком).
- Молодці ви впоралися із цим завданням!
Тут я використовую диференційований підхід для індивідуальних потреб навчання для кожного учня.

Підсумок уроку. Рефлексія "Метод "Інтерв'ю"
– Над чим сьогодні на уроці ми працювали?
- Як знайти невідомий доданок?
- Чим є невідомий доданок? (частиною)
- Чи досягли поставленої мети?
- Що робитимуть ті хлопці, які зазнавали труднощів при роботі з рівняннями? (висловлювання учнів)

Ціль:вчитель дізнається чи зрозуміли учні тему уроку та свої прорахунки, щоб усунути на наступному уроці. (висловлювання учнів) (тут я використовую задовільніше потреби учнів)
Взаємооцінювання "2 зірки, 1 побажання"

Рефлексія "Лісочка успіху" (діти розміщують смайлики)
- Я можу вирішити рівняння з невідомим доданком.
- Я можу навчити іншого...
- Я важко в …
- Я нічого не зрозумів …

Ціль:самооцінювання своїх досягнень за урок.

Admin

Щоб завантажити матеріал чи !

Короткострокове планування уроку

Предмет: Математика

Клас: 2 «Д»

Дата: 5.12.14г.

Вчитель: Агітаєва Г.К.

Ресурси: Інтерактивна дошка, презентація, картки схеми, постери, кольорові маркери,

Тема:

Вирішення рівняння з невідомими доданками.

Цілі завдання навчання

формувати вміння розв'язувати рівняння з невідомими доданками з урахуванням віднімання з обох його частин однієї й тієї числа;

проаналізувати та пояснити сенс поняття рівняння;

розвивати увагу та логічне мислення;

виховувати позитивну мотивацію до предмета, почуття дружби та взаємодопомоги.

Очікуваний результат

Вирішують рівняння з невідомими доданками: аналізують і пояснюють сенс поняття рівняння, становлять та вирішують складові завдання.

Ключові ідеї

Рівняння – це рівність, що містить невідоме число.

Етапи уроку

Організаційний момент. Психологічний настрой.

Заплющте очі, посміхніться і подумки побажайте один одному удачі на уроці.

Діти сьогодні до нас знову прийшов наш друг. Як його звати?(Знайка)

Він запросив до нас на урок гостя

(Відео Незнайка)

Незнайко і хоче допомогти йому вивчити нову тему, але тримає її в секреті і назве її після того, як ми впораємося з його завданнями.

У країну нових знань є потайні дверцята, і щоб її відкрити, Незнайку необхідно виконати завдання Знайки та зібрати ключик.

Усний рахунок.

9+3 8+7 6+7

15-8 12-3 14-7

8+6 9+5 12-5

16-7 8+4 13-7

7+4 11-4 7+7

11-3 6+7

Логічні завдання.

У саду росли 2 берези, 4 яблуні, 5 вишень. Скільки всього фруктових дерев росло у саду? (9 фруктових дерев)

Сестрі 9 років, братові 3 роки. На скільки сестра буде старша за брата через п'ять років? (на 6 років)

3. Оформлення зошита. «Хвилинка» чистописання.

Знайко запитує:

Яке сьогодні число?(5)

А який за рахунком місяць?

Як можна замінити число 12 сумою доданків?

Що можете сказати про нього?(Двозначне. У ньому 1 дес. та 2 од.

Яке таке число? Попереднє?

А яке число вийде, якщо поміняти місцями десятки та одиниці?

Пропишемо число 12.

Але не забувайте, що Знайка любить чистоту та акуратність.

4 . Математичний диктант.

1-а група

42- 22=20

38-25=13

(84-4)+10=90

1-а група

50+ (10-2)=58

14-6=8

5+9=14

3-тя група

58-43= 15

(25-20)+ 10=15

6+6=12

Розставте літери в порядку, наведеному в таблиці. Ми отримаємо і ключ, і код, щоб відчинити двері.

58- та

20-е

8 - у

14 - в

13-а

15 - н

8

12

13

14

15

20

15

58

20

у

р

а

в

н

е

н

і

е

5. Введення у тему

Вам знайомий такий запис: □+ 4=12?

(Та це приклад із «віконцем»)

Що треба зробити, щоб запис був вірним?(Підібрати число.)

Хто правильно підбере число?

Давайте перевіримо?

б) Введення поняття.

Хлопці, подивіться цей запис: х+4=12.(На дошці з'являється запис)

Чим вона відрізняється від попередньої?

(Замість віконця вставлена ​​латинська літера х)

Хтось із вас знає, як називається такий запис?

Такий вираз називається рівнянням.

6. Мозковий штурм. Складання визначення кластера.

Діти як би закінчили фразу? Попрацюємо у парах. Складемо визначення

7 . Фізхвилинка з Незнайкою та його друзями.

8. Формативне опитування.

Знайдіть серед наступних записів рівняння:

Усі рівняння записані за допомогою якогось знака дії?

Це означає Додавання.

Давайте згадаємо компоненти додавання.

А що потрібно зробити, щоб знайти невідомий доданок?

- Що означає розв'язати рівняння? (Знайти невідоме число, щоб рівність була вірною)

Знайдіть корінь рівняння. (Слайд)

1 група – а+10=18

2 група - у +30 = 38

3 група – 8+х=38

9. Розв'язання задачі.

Перш ніж виконати наступне завдання, ви повинні розгадати ребус і дізнаєтеся, яке завдання приготуваввам Знайко.

завдання

Відкрийте підручники на стор.

Завдання №4.

Складання завдання з картинки

1) 40+20=60 (тг.) олівці

2) 40 +60 = 100 (тг.)

В: 40 + (40 +20) = 100 (тг.)

Відповідь: всього 100 тенге коштують фарби та олівці

10. Самостійна робота. (групова)

Складіть рівняння та знайдіть корінь.

1 група? +? = 15

2 група? +? = 16

3 група? +? = 14

Якщо урок пройшов плідно приклейте до дерева – плоди

Цікаво – квіти

Нудно - листочки

С. 102, № 3

Дії вчителя

Дії учня

Коментарі

Фаза виклику

Фаза осмислення

Фаза рефлексії

Домашнє завдання

Вчитель вітає учнів.

Вчитель показує презентацію

Вчитель читає логічні завдання.

Вчитель ставить запитання і нагадує, що кожна цифра пишеться в окремій клітці.

Вчитель роздає групам завдання на картках.

Вчитель дає ключ для розгадки зашифрованого слова

Вчитель пропонує учням порівняти записи.

Вчитель пропонує дітям виконати зарядку разом із анімованими друзями Незнайки.

Вчитель ставить навідні питання.

Вчитель роздає картки.

Вчитель роздає плакати.

Діти вітають вчителі.

Учні переглядають слайд і дізнаються, кого запросив на урок Знайка

Учні усно вирішують приклади

Учні вирішують та усно відповідають.

Діти відповідають на запитання та красиво прописують число у зошиті.

Учні читають та записують диктант. Знаходять значення записаних виразів. Кожна група виступає, а інші групи оцінюють їхню роботу.

Учні розставляють цифри та літери в таблицю та називають зашифроване слово.

Діти у парах на партах становлять визначення.

Діти виконують фізхвилинку.

Діти знаходять рівняння.

Діти відповідають на ці запитання.

Діти колективно становлять умову завдання.

1 учень вирішує біля дошки.

Діти у групі обговорюють та заповнюють постери.

Діти приклеюють наклейки на дерево.

Техніка форматного оцінювання

«Світлофор» (усний зворотний зв'язок). Вчитель використовує техніку для того, щоб побачити, як учні самостійно

справляються із завданням і щоб, по можливості, надати їм допомогу.

Техніка великого пальця.

«Словна оцінка»

(Усний зворотний зв'язок).

Вчитель хвалить

учнів за правильно

виконані дії.

таким чином, вчитель

провів усну оборот

ний зв'язок, та учні

зрозуміли, що вони правда

вільно виконали

завдання.

Довгий шлях напрацювання навичок розв'язки рівняньпочинається з вирішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, у лівій частині яких знаходиться сума, різницю, твір або приватне двох чисел, одне з яких невідоме, а у правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, що зменшується, віднімається, множник, ділене або дільник. Про розв'язання таких рівнянь і йтиметься у цій статті.

Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідомий доданок, множник і т.п. Причому відразу розглядатимемо застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.

Навігація на сторінці.

Отже, підставляємо вихідне рівняння 3+x=8 замість x число 5 , отримуємо 3+5=8 – це рівність правильна, отже, ми правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми здобули неправильну числову рівність, то це вказало б нам на те, що ми неправильно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.

Як знайти невідоме зменшуване, що віднімається?

Зв'язок між складанням і відніманням чисел, про яку ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме віднімається і різницю, а також правило знаходження невідомого віднімається через відоме зменшуване і різницю. Формулюватимемо їх по черзі, і відразу наводитимемо рішення відповідних рівнянь.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімається.

Наприклад розглянемо рівняння x−2=5 . Воно містить невідоме зменшення. Наведене правило нам показує, що з його відшукання ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме віднімається 2 , маємо 5+2=7 . Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.

Якщо опустити пояснення, рішення записується так:
x−2=5 ,
x = 5 +2,
x=7.

Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числову рівність 7-2=5 . Воно вірне, тому можна бути впевненим, що ми вірно визначили значення невідомого зменшуваного.

Можна переходити до знаходження невідомого. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.

Розв'яжемо рівняння виду 9−x=4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є віднімання. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відібрати відому різницю 4 , маємо 9-4 = 5 . Таким чином, шукане віднімається дорівнює п'яти.

Наведемо короткий варіант розв'язання цього рівняння:
9−x=4 ,
x = 9-4 ,
x=5.

Залишається лише перевірити правильність знайденого віднімається. Зробимо перевірку, навіщо підставимо вихідне рівняння замість x знайдене значення 5 , у своїй отримуємо числове рівність 9−5=4 . Воно правильне, тому знайдене нами значення правильне.

І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило розв'язання рівнянь, яке дозволяє виконувати перенесення будь-якого доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком. Так от усі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданку, що зменшується і віднімається з ним повністю узгоджені.

Щоб знайти невідомий множник, треба…

Погляньмо на рівняння x·3=12 і 2·y=6 . Вони невідоме число є множником у лівій частині, а твір і другий множник відомі. Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник.

В основі цього правила лежить те, що діленню чисел ми надали сенсу, зворотному до змісту множення. Тобто, між множенням і розподілом існує зв'язок: з рівності a b = c, в якому a 0 і b 0 слід, що c: a = b і c: b = c, і назад.

Наприклад знайдемо невідомий множник рівняння x 3 = 12 . Відповідно до правила нам треба розділити відомий твір 12 на відомий множник 3 . Проведемо: 12:3 = 4. Таким чином, невідомий множник дорівнює 4 .

Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівностей:
x · 3 = 12,
x=12:3
x=4.

Бажано ще зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість літери знайдене значення, отримуємо 4 · 3 = 12 - правильна числова рівність, тому ми правильно знайшли значення невідомого множника.

І ще один момент: діючи за вивченим правилом, ми фактично виконуємо поділ обох частин рівняння на відомий від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на те саме відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.

Як знайти невідоме ділене, дільник?

В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому дільнику та приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому ділимому та приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згаданий у попередньому пункті зв'язок між множенням та поділом.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Розглянемо його застосування з прикладу. Розв'яжемо рівняння x:5=9 . Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5 тобто виконуємо множення натуральних чисел: 9 · 5 = 45 . Таким чином, шукане ділене дорівнює 45 .

Покажемо короткий запис рішення:
x:5=9
x = 9 · 5,
x=45.

Перевірка підтверджує, що значення невідомого поділеного знайдено правильно. Дійсно, при підстановці у вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно перетворюється на правильну числову рівність 45:5=9 .

Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння відомий дільник. Таке перетворення впливає коріння рівняння.

Переходимо до правила знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на приватне.

Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник із рівняння 18:x=3. Для цього нам потрібно відоме ділене 18 розділити на відоме приватне 3 , маємо 18:3 = 6 . Таким чином, шуканий дільник дорівнює шести.

Рішення можна оформити і так:
18:x = 3,
x = 18:3,
x=6.

Перевіримо цей результат для надійності: 18:6 = 3 - правильна числова рівність, отже, корінь рівняння знайдено правильно.

Відомо, що це правило можна використовувати лише тоді, коли приватне на відміну від нуля, ніж зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватне дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо у своїй ділене дорівнює нулю, тобто, рівняння має вигляд 0:x=0 , цього рівнянню задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення делителя. Іншими словами, корінням такого рівняння є будь-які числа, що не рівні нулю. Якщо ж при рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то при яких значеннях дільника вихідне рівняння не звертається в правильну числову рівність, тобто рівняння не має коріння. Для ілюстрації наведемо рівняння 5: x = 0, воно немає рішень.

Спільне використання правил

Послідовне застосування правил знаходження невідомого доданку, зменшуваного, віднімається, множника, ділимого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною складнішого виду. Розберемося з цим на прикладі.

Розглянемо рівняння 3 x + 1 = 7 . Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 x, для цього треба від суми 7 відібрати відоме доданок 1, отримуємо 3 x = 7-1 і далі 3 x = 6 . Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3 маємо x=6:3 , звідки x=2 . Так знайдено корінь вихідного рівняння.

Для закріплення матеріалу наведемо короткий розв'язок ще одного рівняння (2·x−7):3−5=2 .
(2·x−7):3−5=2 ,
(2 · x-7): 3 = 2 +5,
(2 · x-7): 3 = 7,
2·x−7=7·3 ,
2·x−7=21 ,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28 ,
x = 28:2,
x=14.

Список літератури.

• Математика.. 4 клас. Навч. для загальноосвіт. установ. О 2 год. Ч. 1/[М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін.] - 8-е вид. - М: Просвітництво, 2011. - 112 с.: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.

Рівняння — одна із складних тем для засвоєння, але при цьому є досить потужним інструментом для вирішення більшості завдань.

З допомогою рівнянь описуються різні процеси, які у природі. Рівняння широко застосовуються в інших науках: в економіці, фізиці, біології та хімії.

У даному уроці ми спробуємо зрозуміти суть найпростіших рівнянь, навчимося висловлювати невідомі та вирішимо кілька рівнянь. У міру засвоєння нових матеріалів рівняння будуть ускладнюватися, тому зрозуміти основи дуже важливо.

Попередні навички Зміст уроку

Що таке рівняння?

Рівняння - це рівність, що містить змінну, значення якої потрібно знайти. Це значення має бути таким, щоб при його підстановці у вихідне рівняння виходила правильна числова рівність.

Наприклад, вираз 3 + 2 = 5 є рівністю. При обчисленні лівої частини виходить правильна числова рівність 5 = ​​5.

А ось рівність 3+ x= 5 є рівнянням, оскільки містить у собі змінну xзначення якої можна знайти. Значення має бути таким, щоб при підстановці цього значення вихідне рівняння, вийшла вірна числова рівність.

Іншими словами, ми повинні знайти таке значення, при якому знак рівності виправдав би своє місцезнаходження — ліва частина повинна дорівнювати правій частині.

Рівняння 3+ x= 5 є простим. Значення змінної xдорівнює числу 2. При будь-якому іншому значенні рівність дотримуватися не буде

Говорять, що число 2 є коріннямабо рішенням рівняння 3 + x = 5

Коріньабо вирішення рівняння- Це значення змінної, при якому рівняння звертається в правильну числову рівність.

Коріння може бути кілька або не бути зовсім. Розв'язати рівнянняозначає знайти його коріння чи довести, що коріння немає.

Змінну, що входить у рівняння, інакше називають невідомим. Ви маєте право називати як вам зручніше. Це синоніми.

Примітка. Словосполучення "розв'язати рівняння"каже сама за себе. Вирішити рівняння означає «зрівняти» рівність — зробити його збалансованим, щоб ліва частина дорівнювала правій частині.

Виразити одне через інше

Вивчення рівнянь за традицією починається з того, щоб навчитися виражати одне число, що входить у рівність, через низку інших. Давайте не порушуватимемо цю традицію і зробимо також.

Розглянемо такий вираз:

8 + 2

Даний вираз є сумою чисел 8 та 2. Значення даного виразу дорівнює 10

8 + 2 = 10

Здобули рівність. Тепер можна виразити будь-яке число з цієї рівності через інші числа, що входять до цієї рівності. Наприклад, висловимо число 2.

Щоб висловити число 2, потрібно поставити запитання: «що потрібно зробити з числами 10 та 8, щоб отримати число 2». Відомо, що з отримання числа 2, треба від числа 10 відняти число 8.

Так і робимо. Записуємо число 2 і через знак рівності говоримо, що для отримання цього числа 2 ми з числа 10 відняли число 8:

2 = 10 − 8

Ми висловили число 2 із рівності 8 + 2 = 10 . Як видно з прикладу, нічого складного у цьому немає.

При розв'язанні рівнянь, зокрема при вираженні одного числа через інші, знак рівності зручно замінювати словом « є» . Робити це потрібно подумки, а не в самому виразі.

Так, виражаючи число 2 з рівності 8 + 2 = 10, ми отримали рівність 2 = 10 − 8 . Цю рівність можна прочитати так:

2 є 10 − 8

Тобто знак = замінено словом «є». Більше того, рівність 2 = 10 − 8 можна перевести з математичної мови на повноцінну людську мову. Тоді його можна прочитати так:

Число 2 єрізницю числа 10 та числа 8

Число 2 єрізниця між числом 10 та числом 8.

Але ми обмежимося лише заміною знака рівності на слово «є», і робитимемо це не завжди. Елементарні вирази можна розуміти і без перекладу математичної мови на мову людську.

Повернемо рівність 2 = 10 − 8 у початковий стан:

8 + 2 = 10

Виразимо на цей раз число 8. Що потрібно зробити з рештою числа, щоб отримати число 8? Правильно, треба від числа 10 відняти число 2

8 = 10 − 2

Повернемо рівність 8 = 10 − 2 у початковий стан:

8 + 2 = 10

На цей раз висловимо число 10. Але виявляється, що десятку висловлювати не потрібно, оскільки вона вже висловлена. Досить поміняти місцями ліву та праву частину, тоді вийде те, що нам потрібно:

10 = 8 + 2

Приклад 2. Розглянемо рівність 8 − 2 = 6

Виразимо з цієї рівності число 8. Щоб виразити число 8, решта двох числа потрібно скласти:

8 = 6 + 2

Повернемо рівність 8 = 6 + 2 в початковий стан:

8 − 2 = 6

Висловимо з цієї рівності число 2. Щоб виразити число 2, потрібно відняти 8

2 = 8 − 6

Приклад 3. Розглянемо рівність 3×2 = 6

Виразимо число 3. Щоб виразити число 3, потрібно розділити 6

Повернемо рівність, що вийшла, в початковий стан:

3 × 2 = 6

Виразимо з цієї рівності число 2. Щоб виразити число 2, потрібно розділити 6

Приклад 4. Розглянемо рівність

Виразимо з цієї рівності число 15. Щоб виразити число 15, потрібно перемножити числа 3 та 5

15 = 3×5

Повернемо рівність 15 = 3 × 5 в початковий стан:

Виразимо з цієї рівності число 5. Щоб виразити число 5, потрібно розділити 15 3

Правила знаходження невідомих

Розглянемо кілька правил знаходження невідомих. Можливо вони вам знайомі, але не заважає повторити їх ще раз. Надалі їх можна буде забути, оскільки ми навчимося вирішувати рівняння, не застосовуючи цих правил.

Повернемося до першого прикладу, який ми розглядали у попередній темі, де у рівності 8 + 2 = 10 потрібно виразити число 2.

У рівності 8 + 2 = 10 числа 8 і 2 є доданками, а число 10 сумою.

Щоб виразити число 2, ми надійшли так:

2 = 10 − 8

Тобто із суми 10 відняли доданок 8.

Тепер уявімо, що в рівності 8 + 2 = 10 замість числа 2 розташовується змінна x

8 + x = 10

У цьому випадку рівність 8+2=10 перетворюється на рівняння 8+ x= 10 а змінна x невідомого доданку

Наше завдання знайти це невідоме доданок, тобто вирішити рівняння 8 + x= 10. Для знаходження невідомого доданка передбачено таке правило:

Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок.

Що ми в принципі й зробили, коли виражали двійку рівною 8 + 2 = 10 . Щоб висловити доданок 2, ми від суми 10 відняли інше доданок 8

2 = 10 − 8

А зараз, щоб знайти невідомий доданок x, ми повинні від суми 10 відняти відомий доданок 8:

x = 10 − 8

Якщо обчислити праву частину рівності, то можна дізнатися чому дорівнює змінна x

x = 2

Ми вирішили рівняння. Значення змінної xі 2 . Для перевірки значення змінної xвідправляють у вихідне рівняння 8+ x= 10 і підставляють замість x.Так бажано чинити з будь-яким вирішеним рівнянням, оскільки не можна бути точно впевненим, що рівняння вирішено правильно:

В результаті

Це правило діяло б у разі, якщо невідомим доданком було б перше число 8.

x + 2 = 10

У цьому рівнянні x- це невідомий доданок, 2 - відомий доданок, 10 - сума. Щоб знайти невідомий доданок x, потрібно від суми 10 відняти відомий доданок 2

x = 10 − 2

x = 8

Повернемося до другого прикладу з попередньої теми, де в рівності 8 − 2 = 6 потрібно виразити число 8.

У рівності 8 − 2 = 6 число 8 це зменшуване, число 2 - віднімається, число 6 - різниця

Щоб виразити число 8, ми надійшли так:

8 = 6 + 2

Тобто склали різницю 6 і віднімається 2.

Тепер уявімо, що в рівності 8 − 2 = 6 замість числа 8 розташовується змінна x

x − 2 = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль так званого невідомого зменшуваного

Для знаходження невідомого зменшуваного передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімається.

Що ми й зробили, коли виражали число 8 у рівності 8 − 2 = 6 . Щоб висловити зменшуване 8, до різниці 6 додали віднімається 2.

А зараз, щоб знайти невідоме зменшуване x, ми повинні до різниці 6 додати віднімається 2

x = 6 + 2

Якщо обчислити праву частину, то можна дізнатися, чому дорівнює змінна x

x = 8

Тепер уявімо, що в рівності 8 − 2 = 6 замість числа 2 розташовується змінна x

8 − x = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого віднімання

Для знаходження невідомого віднімається передбачене таке правило:

Щоб знайти невідоме віднімання, потрібно відменшити різницю.

Що ми й зробили, коли виражали число 2 у рівності 8 − 2 = 6. Щоб виразити число 2, ми зменшуваного 8 відняли різницю 6.

А зараз, щоб знайти невідоме віднімання x, потрібно знову ж таки від зменшуваного 8 відняти різницю 6

x = 8 − 6

Обчислюємо праву частину та знаходимо значення x

x = 2

Повернемося до третього прикладу з попередньої теми, де у рівності 3×2 = 6 ми намагалися виразити число 3.

У рівності 3 × 2 = 6 число 3 - це множимо, число 2 - множник, число 6 - добуток

Щоб виразити число 3, ми надійшли наступним чином:

Тобто розділили добуток 6 на множник 2.

Тепер уявімо, що в рівності 3 × 2 = 6 замість числа 3 розташовується змінна x

x× 2 = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого множини.

Для знаходження невідомого множного передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме множину, потрібно твір розділити на множник.

Що ми й зробили, коли виражали число 3 із рівності 3×2 = 6 . Добуток 6 ми розділили на множник 2.

А зараз для знаходження невідомого множини x, Потрібно твір 6 розділити на множник 2.

Обчислення правої частини дозволяє знайти значення змінної x

x = 3

Це ж правило застосовується у випадку, якщо змінна xрозташовується замість множника, а не множного. Уявімо, що в рівності 3×2 = 6 замість числа 2 розташовується змінна x.

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого множника. Для знаходження невідомого множника передбачено таке саме, що й для знаходження невідомого множника, а саме розподіл твору на відомий множник:

Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір поділити на множину.

Що ми й зробили, коли виражали число 2 із рівності 3×2 = 6 . Тоді для отримання числа 2 ми розділили добуток 6 на множинне 3.

А зараз для знаходження невідомого множника xми розділили добуток 6 на множинне 3.

Обчислення правої частини рівності дозволяє дізнатися чому одно x

x = 2

Множимо і множник разом називають співмножниками. Оскільки правила знаходження множного та множника збігаються, ми можемо сформулювати загальне правило знаходження невідомого співмножника:

Щоб знайти невідомий помножувач, потрібно твір розділити на відомий помножувач.

Наприклад, розв'яжемо рівняння 9 × x= 18 . Змінна xє невідомим співмножником. Щоб знайти цей невідомий помножувач, потрібно добуток 18 розділити на відомий помножувач 9

Розв'яжемо рівняння x× 3 = 27. Змінна xє невідомим співмножником. Щоб знайти цей невідомий помножувач, потрібно добуток 27 розділити на відомий помножувач 3

Повернемося до четвертого прикладу з попередньої теми, де в рівності вимагалося виразити число 15. У цій рівності число 15 - це подільне, число 5 - дільник, число 3 - приватне.

Щоб виразити число 15, ми надійшли наступним чином:

15 = 3×5

Тобто помножили приватний 3 на дільник 5.

Тепер уявімо, що в рівності замість числа 15 розташовується змінна x

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого ділимого.

Для знаходження невідомого поділеного передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме ділене, потрібно приватне помножити на дільник.

Що ми зробили, коли виражали число 15 з рівності . Щоб виразити число 15, ми помножили 3 на дільник 5.

А зараз, щоб знайти невідоме ділене xпотрібно приватне 3 помножити на дільник 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Тепер уявімо, що в рівності замість числа 5 розташовується змінна x .

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого дільника.

Для знаходження невідомого дільника передбачено таке правило:

Що ми зробили, коли виражали число 5 з рівності . Щоб виразити число 5, ми розділили 15 ділене на приватне 3.

А зараз, щоб знайти невідомий дільник x, потрібно ділене 15 розділити на приватне 3

Обчислимо праву частину рівності, що вийшла. Так ми дізнаємося, чому дорівнює змінна x .

x = 5

Отже, знаходження невідомих ми вивчили такі правила:

• Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок;
• Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімається;
• Щоб знайти невідоме віднімається, потрібно зменшуваного відняти різницю;
• Щоб знайти невідоме множину, потрібно твір розділити на множник;
• Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на множимое;
• Щоб знайти невідоме ділене, потрібно приватне помножити на дільник;
• Щоб знайти невідомий дільник, потрібно поділити розділити на приватне.

Компоненти

Компонентами ми називатимемо числа та змінні, що входять у рівність

Так, компонентами додавання є доданкиі сума

Компонентами віднімання є зменшуване, віднімаєтьсяі різницю

Компонентами множення є множимо, множникі твір, добуток

Компонентами розподілу є ділене, дільник та приватне

Залежно від того, з якими компонентами ми матимемо справу, застосовуватимуться відповідні правила знаходження невідомих. Ці правила ми вивчили у попередній темі. При розв'язанні рівнянь бажано знати ці правила напам'ять.

Приклад 1. Знайти корінь рівняння 45+ x = 60

45 - доданок, x- Невідоме доданок, 60 - сума. Маємо справу з компонентами додавання. Згадуємо, що для знаходження невідомого доданка, потрібно від суми відняти відомий доданок:

x = 60 − 45

Обчислимо праву частину, отримаємо значення xрівне 15

x = 15

Значить корінь рівняння 45 + x= 60 дорівнює 15.

Найчастіше невідоме доданок необхідно привести до вигляду, при якому його можна було б висловити.

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Тут на відміну від попереднього прикладу, невідоме доданок не можна виразити відразу, оскільки воно містить коефіцієнт 2. Наше завдання привести це рівняння до виду, при якому можна було б висловити x

У цьому прикладі ми маємо справу з компонентами додавання — доданками та сумою. 2 x- це перший доданок, 4 - другий доданок, 8 - сума.

При цьому доданок 2 xмістить змінну x. Після знаходження значення змінної xдоданок 2 xнабуде іншого вигляду. Тому доданок 2 xможна повністю прийняти за невідоме доданок:

Тепер застосовуємо правило знаходження невідомого доданку. Віднімаємо із суми відомий доданок:

Обчислимо праву частину рівняння, що вийшло:

Ми отримали нове рівняння. Тепер ми маємо справу з компонентами множення: множним, множником та твором. 2 - множимо, x- множник, 4 - твір

При цьому змінна xє не просто множником, а невідомим множником

Щоб знайти цей невідомий множник, потрібно твір розділити на множину:

Обчислимо праву частину, отримаємо значення змінної x

Для перевірки знайдений корінь відправимо у вихідне рівняння та підставимо замість x

Приклад 3. Розв'язати рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56

Відразу висловити невідоме xне можна. Спочатку потрібно привести дане рівняння до виду, при якому його можна було б висловити.

Наведемо в лівій частині цього рівняння:

Маємо справу з компонентами множення. 28 - множимо, x- множник, 56 - твір. При цьому xє невідомим множником. Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір поділити на множину:

Звідси xдорівнює 2

Рівносильні рівняння

У попередньому прикладі при вирішенні рівняння 3x + 9x + 16x = 56 , ми привели подібні доданки в лівій частині рівняння. В результаті отримали нове рівняння 28 x= 56 . Старе рівняння 3x + 9x + 16x = 56 і нове рівняння, що вийшло 28 x= 56 називають рівносильними рівняннями, оскільки їх коріння збігається.

Рівняння називають рівносильними, якщо їх коріння збігається.

Перевіримо це. Для рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 ми знайшли корінь рівний 2 . Підставимо цей корінь спочатку на рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 , а потім рівняння 28 x= 56 , що вийшло в результаті приведення подібних доданків у лівій частині попереднього рівняння. Ми повинні здобути вірні числові рівності

Відповідно до порядку дій, насамперед виконується множення:

Підставимо корінь 2 у друге рівняння 28 x= 56

Бачимо, що в обох рівнянь коріння збігається. Значить рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 та 28 x= 56 є рівносильними.

Для вирішення рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 ми скористалися одним із - приведенням подібних доданків. Правильне тотожне перетворення рівняння дозволило нам отримати рівносильне рівняння 28 x= 56 яке простіше вирішувати.

З тотожних перетворень на даний момент ми вміємо лише скорочувати дроби, наводити подібні доданки, виносити загальний множник за дужки, а також розкривати дужки. Існують інші перетворення, які слід знати. Але для загального уявлення про тотожні перетворення рівнянь, вивчених нами тим цілком вистачає.

Розглянемо деякі перетворення, які дозволяють отримати рівносильне рівняння

Якщо до обох частин рівняння додати те саме число, то вийде рівняння рівносильне даному.

та аналогічно:

Якщо з обох частин рівняння відняти одне й те число, то вийде рівняння рівносильне даному.

Іншими словами, корінь рівняння не зміниться, якщо до обох частин даного рівняння додати (або відняти з обох частин) одне й те саме число.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

Віднімемо з обох частин рівняння число 10

Отримали рівняння 5 x= 10. Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти невідомий помножувач x, Потрібно твір 10 розділити на відомий співмножник 5.

і підставимо замість xзнайдене значення 2

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння ми відняли з обох частин рівняння число 10 . В результаті отримали рівносильне рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння так само дорівнює 2

Приклад 2. Розв'язати рівняння 4( x+ 3) = 16

Віднімемо з обох частин рівняння число 12

У лівій частині залишиться 4 x, а у правій частині число 4

Отримали рівняння 4 x= 4. Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти невідомий помножувач x, потрібно добуток 4 розділити на відомий співмножник 4

Повернемося до вихідного рівняння 4( x+ 3) = 16 і підставимо замість xзнайдене значення 1

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння 4( x+ 3) = 16 ми відняли з обох частин рівняння число 12 . В результаті отримали рівносильне рівняння 4 x= 4. Корінь цього рівняння, як і рівняння 4( x+ 3) = 16 так само дорівнює 1

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Розкриємо дужки в лівій частині рівності:

Додамо до обох частин рівняння число 8

Наведемо такі складові в обох частинах рівняння:

У лівій частині залишиться 2 x, а у правій частині число 9

У рівнянні, що вийшло 2 x= 9 висловимо невідомий доданок x

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 4,5

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння ми додали до обох частин рівняння 8. У результаті отримали рівносильне рівняння . Корінь цього рівняння, як і рівняння так само дорівнює 4,5

Наступне правило, яке дозволяє отримати рівносильне рівняння, виглядає так

Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.

Тобто корінь рівняння не зміниться, якщо ми перенесемо доданок з однієї частини рівняння до іншої, змінивши його знак. Ця властивість є одним із важливих і одним із часто використовуваних при вирішенні рівнянь.

Розглянемо наступне рівняння:

Корінь даного рівняння дорівнює 2. Підставимо замість xцей корінь і перевіримо, чи виходить вірна числова рівність

Виходить правильна рівність. Значить число 2 справді є коренем рівняння.

Тепер спробуємо поекспериментувати зі складовими цього рівняння, переносячи їх із однієї частини до іншої, змінюючи знаки.

Наприклад, доданок 3 xрозташовується у лівій частині рівності. Перенесемо його у праву частину, змінивши знак на протилежний:

Вийшло рівняння 12 = 9x − 3x . у правій частині цього рівняння:

xє невідомим співмножником. Знайдемо цей відомий співмножник:

Звідси x= 2 . Як бачимо, корінь рівняння не змінився. Значить рівняння 12 + 3 x = 9xі 12 = 9x − 3x є рівносильними.

Насправді це перетворення є спрощеним методом попереднього перетворення, де до обох частин рівняння додавалася (або віднімалося) одне й те саме число.

Ми сказали, що у рівнянні 12 + 3 x = 9xдоданок 3 xбуло перенесено у праву частину, змінивши знак. Насправді ж відбувалося таке: з обох частин рівняння відняли доданок 3 x

Потім у лівій частині були наведені подібні доданки та отримано рівняння 12 = 9x − 3x. Потім знову були наведені подібні доданки, але вже у правій частині, та отримано рівняння 12 = 6 x.

Але так званий «перенесення» зручніший для подібних рівнянь, тому він і отримав таке широке поширення. Вирішуючи рівняння, ми часто користуватимемося саме цим перетворенням.

Рівносильними є також рівняння 12 + 3 x= 9xі 3x − 9x= −12 . На цей раз у рівнянні 12 + 3 x= 9xдоданок 12 було перенесено в праву частину, а доданок 9 xу ліву. Не слід забувати, що знаки цих доданків були змінені під час перенесення

Наступне правило, яке дозволяє отримати рівносильне рівняння, виглядає так:

Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння рівносильне даному.

Іншими словами, коріння рівняння не зміняться, якщо обидві його частини помножити або розділити на одне й те саме число. Ця дія часто застосовується тоді, коли потрібно вирішити рівняння, що містить дробові вирази.

Спочатку розглянемо приклади, у яких обидві частини рівняння множитимуться на одне й те саме число.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

При розв'язанні рівнянь, що містять дробові вирази, спочатку прийнято спростити це рівняння.

У разі ми маємо справу саме з таким рівнянням. З метою спрощення даного рівняння обидві його частини можна помножити на 8:

Ми пам'ятаємо, що для , потрібно чисельник даного дробу помножити на це число. У нас є два дроби і кожен з них множиться на число 8. Наше завдання помножити чисельники дробів на це число 8

Тепер відбувається найцікавіше. У чисельниках і знаменниках обох дробів міститься множник 8, який можна скоротити на 8. Це дозволить нам позбутися дробового виразу:

В результаті залишиться найпростіше рівняння

Ну і неважко здогадатися, що корінь цього рівняння дорівнює 4

xзнайдене значення 4

Виходить правильна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

При розв'язанні даного рівняння ми помножили обидві його частини на 8. У результаті отримали рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 4. Отже, ці рівняння рівносильні.

Множник на який множаться обидві частини рівняння прийнято записувати перед частиною рівняння, а чи не після неї. Так, вирішуючи рівняння , ми помножили обидві частини на множник 8 і отримали наступний запис:

Від цього корінь рівняння не змінився, але якби ми зробили це, перебуваючи в школі, то нам зробили б зауваження, оскільки в алгебрі множник прийнято записувати перед тим виразом, з яким він перемножується. Тому множення обох частин рівняння на множник 8 бажано переписати так:

Приклад 2. Розв'язати рівняння

У лівій частині множники 15 можна скоротити на 15, а правої частини множники 15 і 5 можна скоротити на 5

Розкриємо дужки у правій частині рівняння:

Перенесемо доданок xз лівої частини рівняння у праву частину, змінивши знак. А доданок 15 з правої частини рівняння перенесемо в ліву частину, знову ж таки змінивши знак:

Наведемо подібні доданки в обох частинах, отримаємо

Маємо справу з компонентами множення. Змінна x

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 5

Виходить правильна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно. При розв'язанні даного рівняння ми помножили обидві частини на 15 . Далі виконуючи тотожні перетворення ми отримали рівняння 10 = 2 x. Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 5 . Значить, ці рівняння рівносильні.

Приклад 3. Розв'язати рівняння

У лівій частині можна скоротити дві трійки, а права частина дорівнюватиме 18

Залишиться найпростіше рівняння. Маємо справу з компонентами множення. Змінна xє невідомим співмножником. Знайдемо цей відомий співмножник:

Повернемося до вихідного рівняння та підставимо замість xзнайдене значення 9

Виходить правильна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Приклад 4. Розв'язати рівняння

Позначимо обидві частини рівняння на 6

У лівій частині рівняння розкриємо дужки. У правій частині множник 6 можна підняти в чисельник:

Скоротимо в обох частинах рівняння те, що можна скоротити:

Перепишемо те, що в нас лишилося:

Скористаємося перенесенням доданків. Доданки, що містять невідоме x, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки вільні від невідомих - у правій:

Наведемо такі складові в обох частинах:

Тепер знайдемо значення змінної x. Для цього розділимо добуток 28 на відомий співмножник 7

Звідси x= 4.

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 4

Вийшла вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Приклад 5. Розв'язати рівняння

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння там, де це можна:

Позначимо обидві частини рівняння на 15

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння:

Скоротимо в обох частинах рівняння, що можна скоротити:

Перепишемо те, що в нас лишилося:

Розкриємо дужки там, де це можна:

Скористаємося перенесенням доданків. Доданки, що містять невідоме, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки, вільні від невідомих - у правій. Не забуваємо, що під час перенесення, доданки змінюють свої знаки на протилежні:

Наведемо такі складові в обох частинах рівняння:

Знайдемо значення x

У відповіді можна виділити цілу частину:

Повернемося до вихідного рівняння та підставимо замість xзнайдене значення

Виходить досить громіздкий вираз. Скористаємося змінними. Ліву частину рівності занесемо у змінну A, а праву частину рівності до змінної B

Наше завдання полягає в тому, щоб переконатися, чи дорівнює ліва частина правої. Іншими словами, довести рівність A = B

Знайдемо значення виразу, що у змінної А.

Значення змінної Аі . Тепер знайдемо значення змінної B. Тобто значення правої частини нашої рівності. Якщо і воно одно, то рівняння буде вирішено правильно

Бачимо, що значення змінної B, як і значення змінної Aі . Це означає, що ліва частина дорівнює правій частині. Звідси робимо висновок, що рівняння вирішено правильно.

Тепер спробуємо не множити обидві частини рівняння на те саме число, а ділити.

Розглянемо рівняння 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Вирішимо його звичайним методом: доданки, що містять невідомі, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки, вільні від невідомих - у правій. Далі виконуючи відомі тотожні перетворення, знайдемо значення x

Підставимо знайдене значення 2 замість xу вихідне рівняння:

Тепер спробуємо розділити всі складові рівняння 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 на якесь число. Помічаємо, що всі доданки цього рівняння мають загальний множник 2. На нього і розділимо кожне доданок:

Виконаємо скорочення в кожному доданку:

Перепишемо те, що в нас лишилося:

Вирішимо це рівняння, користуючись відомими тотожними перетвореннями:

Отримали корінь 2 . Значить рівняння 15x+ 7x+ 7 = 35x − 20x+ 21 і 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 рівносильні.

Поділ обох частин рівняння одне й те число дозволяє звільняти невідоме від коефіцієнта. У попередньому прикладі, коли ми отримали рівняння 7 x= 14 нам потрібно було розділити твір 14 на відомий співмножник 7. Але якби ми в лівій частині звільнили невідоме від коефіцієнта 7, корінь знайшовся б відразу. Для цього достатньо було розділити обидві частини на 7

Цим методом ми теж користуватимемося часто.

Множення на мінус одиницю

Якщо обидві частини рівняння помножити на мінус одиницю, то вийде рівняння рівносильне даному.

Це правило випливає з того, що від множення (або розподілу) обох частин рівняння на те саме число, корінь даного рівняння не змінюється. Отже корінь не зміниться якщо обидві його частини помножити на −1 .

Це правило дозволяє змінити знаки всіх компонентів, що входять до рівняння. Для чого це потрібно? Знову ж таки, щоб здобути рівносильне рівняння, яке простіше вирішувати.

Розглянемо рівняння. Чому дорівнює корінь цього рівняння?

Додамо до обох частин рівняння число 5

Наведемо такі складові:

А тепер згадаємо про . Що ж є ліва частина рівняння. Це є твір мінус одиниці та змінної x

Тобто мінус, що стоїть перед змінною x,відноситься не до самої змінної xа до одиниці, яку ми не бачимо, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати. Це означає, що рівняння насправді виглядає так:

Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти х, Потрібно твір −5 розділити на відомий співмножник −1 .

або розділити обидві частини рівняння на −1 , що ще простіше

Отже, корінь рівняння дорівнює 5 . Для перевірки підставимо його у вихідне рівняння. Не забуваємо, що у вихідному рівнянні мінус, що стоїть перед змінною xвідноситься до невидимої одиниці

Вийшла вірна числова рівність. Значить рівняння вирішено правильно.

Тепер спробуємо помножити обидві частини рівняння на мінус одиницю:

Після розкриття дужок у лівій частині утворюється вираз, а права частина дорівнюватиме 10

Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 5

Значить рівняння та рівносильні.

Приклад 2. Розв'язати рівняння

У цьому рівнянні всі компоненти є негативними. З позитивними компонентами працювати зручніше, ніж із негативними, тому поміняємо знаки всіх компонентів, що входять до рівняння . Для цього розумним обидві частини даного рівняння на −1 .

Відомо, що з множення на −1 будь-яке число змінить свій знак протилежний. Тому саму процедуру множення на −1 та розкриття дужок докладно не розписують, а одразу записують компоненти рівняння із протилежними знаками.

Так, множення рівняння на −1 можна докладно записати наступним чином:

або можна легко змінити знаки всіх компонентів:

Вийде те саме, але різниця буде в тому, що ми заощадимо собі час.

Отже, помноживши обидві частини рівняння на −1 ми отримали рівняння . Вирішимо це рівняння. З обох частин віднімемо число 4 і розділимо обидві частини на 3

Коли корінь знайдено, змінну зазвичай записують у лівій частині, та її значення у правій, що й зробили.

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Позначимо обидві частини рівняння на −1 . Тоді всі компоненти замінять свої знаки на протилежні:

З обох частин рівняння, що вийшло, віднімемо 2 xі наведемо такі складові:

Додамо до обох частин рівняння одиницю і наведемо такі складові:

Прирівнювання до нуля

Нещодавно ми дізналися, що якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.

А що буде якщо перенести з однієї частини до іншої не один доданок, а всі доданки? Правильно, в тій частині, звідки забрали всі доданки, залишиться нуль. Іншими словами, нічого не залишиться.

Як приклад розглянемо рівняння. Вирішимо дане рівняння, як звичайно — доданки, що містять невідомі, згрупуємо в одній частині, а числові доданки, вільні від невідомих залишимо в іншій. Далі виконуючи відомі тотожні перетворення, знайдемо значення змінної x

Тепер спробуємо вирішити це рівняння, прирівнявши всі його компоненти до нуля. Для цього перенесемо всі складові з правої частини до лівої, змінивши знаки:

Наведемо такі складові в лівій частині:

Додамо до обох частин 77 і розділимо обидві частини на 7

Альтернатива правилам знаходження невідомих

Очевидно, що знаючи про тотожні перетворення рівнянь, можна не заучувати напам'ять правила знаходження невідомих.

Наприклад, знаходження невідомого у рівнянні ми твір 10 ділили на відомий співмножник 2

Але якщо в рівнянні обидві частини розділити на 2 корені, знайдеться відразу. У лівій частині рівняння в чисельнику множник 2 і в знаменнику множник 2 скоротяться на 2. А права частина дорівнюватиме 5

Рівняння виду ми вирішували висловлюючи невідоме доданок:

Але можна скористатися тотожними перетвореннями, які ми сьогодні вивчили. У рівнянні доданок 4 можна перенести у праву частину, змінивши знак:

У лівій частині рівняння скоротяться дві двійки. Права частина дорівнюватиме 2. Звідси .

Або можна було з обох частин рівняння відняти 4. Тоді вийшло б таке:

У разі рівнянь виду зручніше ділити твір на відомий співмножник. Порівняємо обидва рішення:

Перше рішення набагато коротше і акуратніше. Друге рішення можна значно укоротити, якщо виконати поділ в умі.

Тим не менш, необхідно знати обидва методи, і тільки потім використовувати той, який більше подобається.

Коли коріння кілька

Рівняння може мати кілька коренів. Наприклад рівняння x(x + 9) = 0 має два корені: 0 та −9 .

У рівнянні x(x + 9) = 0 потрібно було знайти таке значення xпри якому ліва частина дорівнювала б нулю. У лівій частині цього рівняння містяться вирази xі (x + 9)які є співмножниками. З законів множення ми знаємо, що добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю (або перший співмножник або другий).

Тобто в рівнянні x(x + 9) = 0 рівність досягатиметься, якщо xдорівнюватиме нулю або (x + 9)дорівнюватиме нулю.

x= 0 або x + 9 = 0

Прирівнявши до нуля обидва ці вирази, ми зможемо знайти коріння рівняння x(x + 9) = 0. Перше коріння, як видно з прикладу, знайшлося відразу. Для знаходження другого кореня необхідно вирішити елементарне рівняння x+ 9 = 0. Неважко здогадатися, що корінь цього рівняння дорівнює -9. Перевірка показує, що корінь вірний:

−9 + 9 = 0

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Дане рівняння має два корені: 1 і 2. Ліва частина рівняння є добуток виразів ( x− 1) та ( x− 2) . А добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю (або співмножник ( x− 1) або змножувач ( x − 2) ).

Знайдемо таке xпри якому вирази ( x− 1) або ( x− 2) звертаються до нулі:

Підставляємо по черзі знайдені значення вихідне рівняння і переконуємося, що при цих значеннях ліва частина дорівнює нулю:

Коли коріння нескінченно багато

Рівняння може мати безліч коренів. Тобто підставивши на таке рівняння будь-яке число, ми отримаємо правильну числову рівність.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

Коренем цього рівняння є будь-яке число. Якщо розкрити дужки в лівій частині рівняння та навести подібні доданки, то вийде рівність 14 = 14 . Ця рівність буде отримуватися за будь-якого x

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Коренем цього рівняння є будь-яке число. Якщо розкрити дужки в лівій частині рівняння, то вийде рівність 10x + 12 = 10x + 12. Ця рівність буде отримуватися за будь-якого x

Коли коріння немає

Трапляється так, що рівняння зовсім немає рішень, тобто немає коренів. Наприклад, рівняння не має коріння, оскільки при будь-якому значенні x, ліва частина рівняння не дорівнюватиме правій частині. Наприклад, нехай. Тоді рівняння набуде наступного вигляду

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Розкриємо дужки в лівій частині рівності:

Наведемо такі складові:

Бачимо, що ліва частина не дорівнює правій частині. І так буде за будь-якого значення y. Наприклад, нехай y = 3 .

Літерні рівняння

Рівняння може містити як числа зі змінними, а й букви.

Наприклад, формула знаходження швидкості є літерним рівнянням:

Це рівняння визначає швидкість руху тіла при рівноприскореному русі.

Корисною навичкою є вміння виразити будь-який компонент, що входить до літерного рівняння. Наприклад, щоб із рівняння визначити відстань, потрібно виразити змінну s .

Позначимо обидві частини рівняння на t

У правій частині змінні tскоротимо на t

У рівнянні, що вийшло, ліву і праву частину поміняємо місцями:

У нас вийшла формула знаходження відстані, яку ми вивчали раніше.

Спробуймо з рівняння визначити час. Для цього потрібно висловити змінну t .

Позначимо обидві частини рівняння на t

У правій частині змінні tскоротимо на tі перепишемо те, що в нас залишилося:

У рівнянні, що вийшло v × t = sобидві частини розділимо на v

У лівій частині змінні vскоротимо на vі перепишемо те, що в нас залишилося:

У нас вийшла формула визначення часу, яку ми вивчали раніше.

Припустимо, що швидкість поїзда дорівнює 50 км/год

v= 50 км/год

А відстань дорівнює 100 км

s= 100 км

Тоді літерне рівняння набуде наступного вигляду

З цього рівняння можна знайти час. Для цього потрібно висловити змінну t. Можна скористатися правилом знаходження невідомого дільника, розділивши ділене на приватне і таким чином визначити значення змінної t

або можна користуватися тотожними перетвореннями. Спочатку помножити обидві частини рівняння на t

Потім розділити обидві частини на 50

Приклад 2 x

Віднімемо з обох частин рівняння a

Розділимо обидві частини рівняння на b

a + bx = c, то ми матимемо готове рішення. Достатньо підставити в нього потрібні значення. Ті значення, які будуть підставлятися замість букв a, b, cприйнято називати параметрами. А рівняння виду a + bx = cназивають рівнянням із параметрами. Залежно від параметрів, корінь змінюватиметься.

Розв'яжемо рівняння 2 + 4 x= 10. Воно схоже на буквене рівняння a + bx = c. Замість того, щоб виконувати тотожні перетворення, ми можемо скористатися готовим рішенням. Порівняємо обидва рішення:

Бачимо, що друге рішення набагато простіше та коротше.

Для готового рішення потрібно зробити невелике зауваження. Параметр bне повинен бути рівним нулю (b ≠ 0)оскільки розподіл на нуль не допускається.

Приклад 3. Дано буквене рівняння. Виразіть із цього рівняння x

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння

Скористаємося перенесенням доданків. Параметри, що містять змінну x, згрупуємо в лівій частині рівняння, а параметри вільні від цієї змінної - у правій.

У лівій частині винесемо за дужки множник x

Поділимо обидві частини на вираз a − b

У лівій частині чисельник та знаменник можна скоротити на a − b. Так остаточно висловиться змінна x

Тепер, якщо нам трапиться рівняння виду a(x − c) = b(x + d), то ми матимемо готове рішення. Достатньо підставити в нього потрібні значення.

Допустимо нам дано рівняння 4(x − 3) = 2(x+ 4) . Воно схоже на рівняння a(x − c) = b(x + d). Вирішимо його двома способами: за допомогою тотожних перетворень та за допомогою готового рішення:

Для зручності витягнемо з рівняння 4(x − 3) = 2(x+ 4) значення параметрів a, b, c, d . Це дозволить нам не помилитися при підстановці:

Як і в минулому прикладі знаменник тут не повинен дорівнювати нулю ( a − b ≠ 0). Якщо нам зустрінеться рівняння виду a(x − c) = b(x + d)в якому параметри aі bбудуть однаковими, ми зможемо не вирішуючи його сказати, що дане рівняння коренів немає, оскільки різниця однакових чисел дорівнює нулю.

Наприклад, рівняння 2(x − 3) = 2(x + 4)є рівнянням виду a(x − c) = b(x + d). У рівнянні 2(x − 3) = 2(x + 4)параметри aі bоднакові. Якщо ми почнемо його вирішувати, то прийдемо до того, що ліва частина не дорівнюватиме правій частині:

Приклад 4. Дано буквене рівняння. Виразіть із цього рівняння x

Наведемо ліву частину рівняння до спільного знаменника:

Примножимо обидві частини на a

У лівій частині xвинесемо за дужки

Розділимо обидві частини на вираз (1 − a)

Лінійні рівняння з одним невідомим

Розглянуті у цьому уроці рівняння називають лінійними рівняннями першого ступеня з одним невідомим.

Якщо рівняння дано в першому ступені, не містить поділу на невідоме, а також не містить коріння з невідомого, його можна назвати лінійним. Ми ще не вивчали ступеня та коріння, тому щоб не ускладнювати собі життя, слово «лінійний» розумітимемо як «простий».

Більшість рівнянь, вирішених у цьому уроці, зрештою зводилися до найпростішого рівняння, у якому потрібно було твір поділити на відомий співмножник. Таким є рівняння 2( x+ 3) = 16. Давайте вирішимо його.

Розкриємо дужки в лівій частині рівняння, отримаємо 2 x+ 6 = 16. Перенесемо доданок 6 у праву частину, змінивши знак. Тоді отримаємо 2 x= 16 − 6. Обчислимо праву частину, отримаємо 2 x= 10. Щоб знайти xрозділимо добуток 10 на відомий співмножник 2. Звідси x = 5.

Рівняння 2( x+ 3) = 16 є лінійним. Воно звелося до рівняння 2 x= 10 для знаходження кореня якого потрібно було розділити твір на відомий співмножник. Таке найпростіше рівняння називають лінійним рівнянням першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді. Слово "канонічний" є синонімом слів "найпростіший" або "нормальний".

Лінійне рівняння першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді називають рівняння виду ax = b.

Отримане нами рівняння 2 x= 10 є лінійним рівнянням першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді. У цього рівняння перший ступінь, одне невідоме, воно не містить поділу на невідоме і не містить коріння з невідомого, і представлене воно в канонічному вигляді, тобто в найпростішому вигляді, при якому легко можна визначити значення x. Замість параметрів aі bу нашому рівнянні містяться числа 2 і 10. Але подібне рівняння може містити інші числа: позитивні, негативні або рівні нулю.

Якщо у лінійному рівнянні a= 0 і b= 0 то рівняння має нескінченно багато коренів. Справді, якщо aодно нулю і bодно нулю, то лінійне рівняння ax= bнабуде вигляду 0 x= 0. За будь-якого значення xліва частина дорівнюватиме правій частині.

Якщо у лінійному рівнянні a= 0 і b≠ 0 то рівняння коренів не має. Справді, якщо aодно нулю і bодно якому-небудь числу, що не дорівнює нулю, скажімо числу 5, то рівняння ax = bнабуде вигляду 0 x= 5. Ліва частина дорівнюватиме нулю, а права частина п'яти. А нуль не дорівнює п'яти.

Якщо у лінійному рівнянні a≠ 0 і bі будь-якому числу, то рівняння має один корінь. Він визначається розподілом параметра bна параметр a

Справді, якщо aодно якому-небудь числу, не дорівнює нулю, скажімо числу 3 і bі якомусь числу, скажімо числу 6 , то рівняння набуде вигляду .
Звідси.

Існує й інша форма запису лінійного рівняння першого ступеня з одним невідомим. Виглядає вона так: ax − b= 0. Це те саме рівняння, що й ax = b

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки