Какво е мощностна функция. Основни елементарни функции: техните свойства и графики. Свойства на функцията n-ти корен, n е четно число

Запознати ли сте с функциите y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / xи т.н. Всички тези функции са специални случаи на степенна функция, тоест функциите y = x pкъдето p е дадено реално число.
Свойствата и графиката на степенната функция по същество зависят от свойствата на степента с реален експонент и по-специално от това какви стойности хи стрима смисъл степен х стр... Нека пристъпим към подобно разглеждане на различни случаи, в зависимост от
показател стр.

1. Индекс p = 2nе четно естествено число.

y = x 2n, където н- естествено число, има следното

Имоти:

• област на дефиниция - всички реални числа, тоест множеството R;
• наборът от стойности е неотрицателни числа, т.е. y е по-голямо или равно на 0;
• функция y = x 2nдори оттогава x 2n=(- x) 2n
• функцията намалява в интервалах<0 и се увеличава в интервала x> 0.

Графика на функциите y = x 2nима същата форма като например графика на функция y = x 4.

2. Индикатор p = 2n-1- нечетно естествено число
В този случай функцията за мощност y = x 2n-1, където е естествено число, има следните свойства:

• област на дефиниция - множество R;
• набор от стойности - набор R;
• функция y = x 2n-1странно, тъй като (- x) 2n-1=х 2n-1;
• функцията се увеличава по цялата реална ос.

Графика на функциите y = x 2n-1 има същата форма като например графиката на функцията y = x 3 .

3. Индикатор p = -2n, където н -естествено число.

В този случай функцията за мощност y = x -2n = 1 / x 2nима следните свойства:

• област на дефиниция - множество R, с изключение на x = 0;
• набор от стойности - положителни числа y> 0;
• функция y = 1 / x 2nдори оттогава 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• функцията се увеличава на интервала x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Функция y график = 1 / x 2nима същата форма като например графиката на функцията y = 1 / x 2.

Степенна функция се нарича функция от вида y = x n (четена като y е равно на x на степен n), където n е дадено число. Специални случаи на степенни функции са функции от вида y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x и много други. Нека ви разкажем повече за всеки от тях.

Линейна функция y = x 1 (y = x)

Графиката е права линия, минаваща през точката (0; 0) под ъгъл от 45 градуса спрямо положителната посока на оста Ox.

Графиката е показана по-долу.

Основни свойства на линейна функция:

• Функцията е възходяща и е дефинирана по цялата числова ос.
• Той няма максимални и минимални стойности.

Квадратична функция y = x 2

Графиката на квадратична функция е парабола.

Основни свойства на квадратична функция:

• 1. За x = 0, y = 0 и y> 0 за x0
• 2. Квадратната функция достига своята минимална стойност във върха си. Ymin при x = 0; Трябва също да се отбележи, че функцията няма максимална стойност.
• 3. Функцията намалява на интервала (-∞; 0] и се увеличава на интервала и изпъкналостта на интервала [0, + ∞);
• точката на огъване има координати (0; 0);
• няма асимптоти;
• графиката на функцията за нечетно n минава през точките (- 1; - 1), (0; 0) и (1; 1).

Функция за захранване

Определение 5

Функцията на степента се дефинира от формулата y = x a.

Видът на графиките и свойствата на функцията зависят от стойността на степента.

• когато степенната функция има целочислен показател a, тогава формата на графиката на степенната функция и нейните свойства зависят от това дали степента е четна или нечетна, както и какъв знак има степента. Нека разгледаме всички тези специални случаи по-подробно по-долу;
• степента може да бъде дробна или ирационална - в зависимост от това видът на графиките и свойствата на функцията също варират. Ще анализираме специални случаи, като зададем няколко условия: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• степенната функция може да има нулева степен; ние също ще анализираме този случай по-подробно по-долу.

Нека анализираме функцията на мощността y = x a, когато a е нечетно положително число, например a = 1, 3, 5 ...

За по-голяма яснота посочваме графиките на такива степенни функции: y = x (черен цвят на графиката), y = x 3 (син цвят на графиката), y = x 5 (червен цвят на графиката), y = x 7 (зелен цвят на графиката). Когато a = 1, получаваме линейна функция y = x.

Определение 6

Свойства на степенната функция, когато експонентът е нечетно положителен

• функцията се увеличава за x ∈ (- ∞; + ∞);
• функцията е изпъкнала за x ∈ (- ∞; 0] и вдлъбната за x ∈ [0; + ∞) (с изключение на линейната функция);
• точката на прегъване има координати (0; 0) (с изключение на линейната функция);
• няма асимптоти;
• точките на преминаване на функцията: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Нека анализираме функцията на мощността y = x a, когато a е четно положително число, например a = 2, 4, 6 ...

За по -голяма яснота посочваме графиките на такива степенни функции: y = x 2 (черен цвят на графиката), y = x 4 (син цвят на графиката), y = x 8 (червен цвят на графиката). Когато a = 2, получаваме квадратична функция, чиято графика е квадратна парабола.

Определение 7

Свойства на степенна функция, когато показателят е дори положителен:

• област на дефиниция: x ∈ (- ∞; + ∞);
• намаляващо за x ∈ (- ∞; 0];
• функцията е вдлъбната за x ∈ (- ∞; + ∞);
• без точки на огъване;
• няма асимптоти;
• точките на преминаване на функцията: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Фигурата по-долу показва примери за графики на степенна функция y = x a, когато a е нечетно отрицателно число: y = x - 9 (черен цвят на графиката); y = x - 5 (син цвят на графиката); y = x - 3 (червен цвят на графиката); y = x - 1 (зелен цвят на графиката). Когато a = - 1, получаваме обратна пропорционалност, графиката на която е хипербола.

Определение 8

Свойства на степенна функция, когато показателят е нечетен отрицателен:

Когато x = 0, получаваме прекъсване от втория вид, тъй като lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ за a = - 1, - 3, - 5,…. Така правата линия x = 0 е вертикалната асимптота;

• диапазон от стойности: y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
• функцията е нечетна, защото y (- x) = - y (x);
• функцията намалява за x ∈ - ∞; 0 ∪ (0; + ∞);
• функцията е изпъкнала за x ∈ (- ∞; 0) и вдлъбната за x ∈ (0; + ∞);
• няма точки на огъване;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, когато a = - 1, - 3, - 5,. ... ... ...

• точките на преминаване на функцията: (- 1; - 1), (1; 1).

Фигурата по-долу показва примери за графики на степенната функция y = x a, когато a е четно отрицателно число: y = x - 8 (черен цвят на графиката); y = x - 4 (син цвят на графиката); y = x - 2 (червен цвят на графиката).

Определение 9

Свойства на степенна функция, когато експонентът е дори отрицателен:

• домейн: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);

Когато x = 0, получаваме прекъсване от втория вид, тъй като lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ за a = - 2, - 4, - 6,…. Така правата линия x = 0 е вертикалната асимптота;

• функцията е четна, защото y (- x) = y (x);
• функцията се увеличава за x ∈ (- ∞; 0) и намалява за x ∈ 0; + ∞;
• функцията е вдлъбната за x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
• няма точки на огъване;
• хоризонталната асимптота е правата линия y = 0, защото:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, когато a = - 2, - 4, - 6,. ... ... ...

• точките на преминаване на функцията: (- 1; 1), (1; 1).

От самото начало обърнете внимание на следния аспект: в случай, когато a е положителна дроб с нечетен знаменател, някои автори приемат интервала - ∞ като област на дефиниране на тази степенна функция; + ∞, като се уточнява, че степента a е неприводима дроб. В момента авторите на много образователни публикации по алгебра и принципите на анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯТ степенните функции, където степента е дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. По-нататък ще се придържаме точно към тази позиция: ще вземем за област на дефиниране на степенни функции с дробни положителни експоненти множеството [0; + ∞). Съвет за учениците: Открийте гледната точка на учителя в този момент, за да избегнете несъгласие.

Така че, нека анализираме степенната функция y = x a, когато степента е рационално или ирационално число, при условие че 0< a < 1 .

Нека илюстрираме с графики степенните функции y = x a когато a = 11 12 (черен цвят на графиката); a = 5 7 (червен цвят на графиката); a = 1 3 (син цвят на графиката); a = 2 5 (зелен цвят на графиката).

Други стойности на експонента a (при условие, че 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Определение 10

Свойства на функцията за мощност при 0< a < 1:

• диапазон от стойности: y ∈ [0; + ∞);
• функцията се увеличава за x ∈ [0; + ∞);
• функцията е изпъкнала за x ∈ (0; + ∞);
• няма точки на огъване;
• няма асимптоти;

Нека анализираме функцията на мощността y = x a, когато степента е нецялочислено рационално или ирационално число, при условие че a> 1.

Нека илюстрираме с графики степенната функция y = x a при дадените условия, използвайки примера на такива функции: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (съответно черни, червени, сини, зелени графики).

Други стойности на експонента a, при условие a> 1, ще дадат подобен изглед на графиката.

Определение 11

Свойства на мощностната функция за a> 1:

• област на дефиниция: x ∈ [0; + ∞);
• диапазон от стойности: y ∈ [0; + ∞);
• тази функция е обща функция (не е нито нечетна, нито четна);
• функцията се увеличава за x ∈ [0; + ∞);
• функцията е вдлъбната за x ∈ (0; + ∞) (когато 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• няма точки на огъване;
• няма асимптоти;
• точките на преминаване на функцията: (0; 0), (1; 1).

Обръщаме вашето внимание!Когато a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, в трудовете на някои автори има мнение, че областта на дефиниция в този случай е интервалът - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) при условие, че степента a е неприводима дроб. В момента авторите на образователни материали по алгебра и принципите на анализ НЕ ОПРЕДЕЛЯТ степенните функции с експонент под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Освен това ние се придържаме точно към такъв възглед: приемаме множеството (0; + ∞) като област на дефиниране на степенни функции с дробни отрицателни експоненти. Съвет за учениците: Изяснете визията на вашия учител в този момент, за да избегнете противоречия.

Продължаваме темата и анализираме функцията на мощността y = x a при условие: - 1< a < 0 .

Ето чертеж на графиките на следните функции: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (черни, червени, сини, зелени линии, съответно).

Определение 12

Свойства на мощностната функция при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, когато - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• диапазон от стойности: y ∈ 0; + ∞;
• тази функция е обща функция (не е нито нечетна, нито четна);
• няма точки на огъване;

Чертежът по -долу показва графики на степенните функции y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (съответно черен, червен, син, зелен цвят на кривите).

Определение 13

Свойства на мощностната функция за a< - 1:

• област на дефиниция: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, когато a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• диапазон от стойности: y ∈ (0; + ∞);
• тази функция е обща функция (не е нито нечетна, нито четна);
• функцията намалява за x ∈ 0; + ∞;
• функцията е вдлъбната за x ∈ 0; + ∞;
• няма точки на огъване;
• хоризонтална асимптота - права y = 0;
• точка на преминаване на функцията: (1; 1).

Когато a = 0 и x ≠ 0, получаваме функцията y = x 0 = 1, която дефинира линията, от която точката (0; 1) е изключена (беше договорено, че изразът 0 0 няма да има никакъв смисъл ).

Експоненциалната функция има формата y = a x, където a> 0 и a ≠ 1, а графиката на тази функция изглежда различно въз основа на стойността на основата a. Нека разгледаме специални случаи.

Първо, нека анализираме ситуацията, когато основата на експоненциалната функция има стойност от нула до единица (0< a < 1) . Илюстративен пример са графиките на функциите за a = 1 2 (син цвят на кривата) и a = 5 6 (червен цвят на кривата).

Графиките на експоненциалната функция ще имат подобна форма за други стойности на основата, при условие че 0< a < 1 .

Определение 14

Свойства на експоненциалната функция, когато основата е по-малка от едно:

• диапазон от стойности: y ∈ (0; + ∞);
• тази функция е обща функция (не е нито нечетна, нито четна);
• експоненциалната функция, за която основата е по-малка от единица, намалява в цялата област на дефиниране;
• няма точки на огъване;
• хоризонтална асимптота - права y = 0 с променлива x, стремяща се към + ∞;

Сега разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица (a> 1).

Нека илюстрираме този конкретен случай с графика на експоненциални функции y = 3 2 x (син цвят на кривата) и y = e x (червен цвят на графиката).

Други стойности на базата, по -големи единици, ще дадат подобен изглед на графиката на експоненциалната функция.

Определение 15

Свойства на експоненциалната функция, когато основата е по-голяма от едно:

• област на дефиниция - цялото множество от реални числа;
• диапазон от стойности: y ∈ (0; + ∞);
• тази функция е обща функция (не е нито нечетна, нито четна);
• експоненциална функция с основа по -голяма от единица се увеличава за x ∈ - ∞; + ∞;
• функцията е вдлъбната за x ∈ - ∞; + ∞;
• няма точки на огъване;
• хоризонтална асимптота - права y = 0 с променлива x, стремяща се към - ∞;
• точка на преминаване на функцията: (0; 1).

Логаритмичната функция има формата y = log a (x), където a> 0, a ≠ 1.

Такава функция се дефинира само за положителни стойности на аргумента: за x ∈ 0; + ∞.

Графиката на логаритмичната функция има различна форма, базирана на стойността на основата a.

Нека първо разгледаме ситуацията, когато 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Други стойности на основата, не по -големи от една, ще дадат подобен изглед на диаграмата.

Определение 16

Свойства на логаритмичната функция, когато основата е по-малка от едно:

• област на дефиниция: x ∈ 0; + ∞. Тъй като x се стреми към нула отдясно, стойностите на функцията се стремят към + ∞;
• диапазон от стойности: y ∈ - ∞; + ∞;
• тази функция е обща функция (не е нито нечетна, нито четна);
• логаритмичен
• функцията е вдлъбната за x ∈ 0; + ∞;
• няма точки на огъване;
• няма асимптоти;

Сега нека анализираме специален случай, когато основата на логаритмичната функция е по-голяма от единица: a> 1 . На чертежа по-долу, графиките на логаритмичните функции y = log 3 2 x и y = ln x (съответно син и червен цвят на графиките).

Други базови стойности, по-големи от една, ще дадат подобен вид на диаграмата.

Определение 17

Свойства на логаритмичната функция, когато основата е по-голяма от едно:

• област на дефиниция: x ∈ 0; + ∞. Когато x клони към нула отдясно, стойностите на функцията клонят към - ∞;
• диапазон от стойности: y ∈ - ∞; + ∞ (цялото множество реални числа);
• тази функция е обща функция (не е нито нечетна, нито четна);
• логаритмичната функция се увеличава за x ∈ 0; + ∞;
• функцията е изпъкнала за x ∈ 0; + ∞;
• няма точки на огъване;
• няма асимптоти;
• точка на преминаване на функцията: (1; 0).

Тригонометричните функции са синус, косинус, тангенс и котангенс. Нека анализираме свойствата на всеки от тях и съответните графики.

Най-общо всички тригонометрични функции се характеризират със свойството на периодичност, т.е. когато стойностите на функциите се повтарят за различни стойности на аргумента, които се различават една от друга със стойността на периода f (x + T) = f (x) (T е периодът). По този начин към списъка със свойствата на тригонометричните функции се добавя елементът "най-малък положителен период". Освен това ще посочим такива стойности на аргумента, за които съответната функция изчезва.

1. Синусова функция: y = sin (x)

Графиката на тази функция се нарича синусоида.

Определение 18

Свойства на функцията синус:

• област на дефиниция: цялото множество реални числа x ∈ - ∞; + ∞;
• функцията изчезва, когато x = π · k, където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
• функцията се увеличава за x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π k, k ∈ Z и намаляващо за x ∈ π 2 + 2 π k; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
• функцията синус има локални максимуми в точките π 2 + 2 π · k; 1 и локални минимуми в точки - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• функцията е синусоидна вдлъбната, когато x ∈ - π + 2 π · k; 2 π k, k ∈ Z и изпъкнала, когато x ∈ 2 π k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• няма асимптоти.

1. Косинус функция: y = cos (x)

Графиката на тази функция се нарича косинусова вълна.

Определение 19

Свойства на косинус функция:

• област на дефиниция: x ∈ - ∞; + ∞;
• най-малкият положителен период: T = 2 π;
• диапазон от стойности: y ∈ - 1; 1;
• тази функция е четна, тъй като y (- x) = y (x);
• функцията се увеличава за x ∈ - π + 2 π · k; 2 π k, k ∈ Z и намаляващ за x ∈ 2 π k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• косинус функцията има локални максимуми в точките 2 π · k; 1, k ∈ Z и локални минимуми в точки π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• косинусовата функция е вдлъбната, когато x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z и изпъкнала, когато x ∈ - π 2 + 2 π k; π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
• точките на прегъване имат координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• няма асимптоти.

1. Тангентна функция: y = t g (x)

Графиката на тази функция се нарича тангентоид.

Определение 20

Свойства на допирателната функция:

• област на дефиниция: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k, където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
• Поведение на допирателната функция на границата на областта на дефиниция lim x → π 2 + π k + 0 t g (x) = - ∞, lim x → π 2 + π k - 0 t g (x) = + ∞. Така правите x = π 2 + π · k k ∈ Z са вертикални асимптоти;
• функцията изчезва, когато x = π · k за k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
• диапазон от стойности: y ∈ - ∞; + ∞;
• тази функция е нечетна, тъй като y (- x) = - y (x);
• функцията нараства като - π 2 + π · k; π 2 + π k, k ∈ Z;
• допирателната функция е вдлъбната за x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z и изпъкнала за x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• точките на прегъване имат координати π · k; 0, k ∈ Z;

1. Котангенсна функция: y = c t g (x)

Графиката на тази функция се нарича котангентоид. .

Определение 21

Свойства на котангенсната функция:

• област: x ∈ (π k; π + π k), където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);

Поведение на котангенсната функция на границата на областта lim x → π k + 0 t g (x) = + ∞, lim x → π k - 0 t g (x) = - ∞. По този начин правите линии x = π · k k ∈ Z са вертикални асимптоти;

• най-малкият положителен период: T = π;
• функцията изчезва, когато x = π 2 + π · k за k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
• диапазон от стойности: y ∈ - ∞; + ∞;
• тази функция е нечетна, тъй като y (- x) = - y (x);
• функцията е намаляваща за x ∈ π · k; π + π k, k ∈ Z;
• котангенсната функция е вдлъбната за x ∈ (π · k; π 2 + π · k], k ∈ Z и изпъкнала за x ∈ [- π 2 + π · k; π · k), k ∈ Z;
• точките на прегъване имат координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• наклонени и хоризонтални асимптоти липсват.

Обратните тригонометрични функции са обратен синус, обратен косинус, арктангенс и обратен котангенс. Често, поради наличието на префикса "дъга" в името, обратните тригонометрични функции се наричат ​​дъгови функции .

1. Функция арксинус: y = a r c sin (x)

Определение 22

Арксинус свойства на функцията:

• тази функция е нечетна, тъй като y (- x) = - y (x);
• функцията арксинус има вдлъбнатина за x ∈ 0; 1 и изпъкналост за x ∈ - 1; 0;
• точките на прегъване имат координати (0; 0), което е нулата на функцията;
• няма асимптоти.

1. Дъга косинус функция: y = a r c cos (x)

Определение 23

Свойства на функцията за обратен косинус:

• област на дефиниция: x ∈ - 1; 1;
• диапазон от стойности: y ∈ 0; π;
• тази функция е от общ тип (нито четна, нито нечетна);
• функцията намалява в цялата област на дефиниция;
• обратната косинусна функция има вдлъбнатина за x ∈ - 1; 0 и изпъкналост за x ∈ 0; 1;
• точките на прегъване имат координати 0; π 2;
• няма асимптоти.

1. Арктангентна функция: y = a r c t g (x)

Определение 24

Свойства на арктангенсната функция:

• област на дефиниция: x ∈ - ∞; + ∞;
• диапазон от стойности: y ∈ - π 2; π 2;
• тази функция е нечетна, тъй като y (- x) = - y (x);
• функцията се увеличава в цялата област на дефиниция;
• функцията арктангенс има вдлъбнатост за x ∈ (- ∞; 0] и изпъкналост за x ∈ [0; + ∞);
• точката на инфлексия има координати (0; 0), тя също е нула на функцията;
• хоризонталните асимптоти са прави линии y = - π 2 като x → - ∞ и y = π 2 като x → + ∞ (на фигурата асимптотите са зелени линии).

1. Котангентна функция на дъгата: y = a r c c t g (x)

Определение 25

Свойства на обратната котангентна функция:

• област на дефиниция: x ∈ - ∞; + ∞;
• диапазон от стойности: y ∈ (0; π);
• тази функция е от общ тип;
• функцията намалява в цялата област на дефиниция;
• дъговата котангентна функция има вдлъбнатина за x ∈ [0; + ∞) и изпъкналост за x ∈ (- ∞; 0];
• точката на огъване има координати 0; π 2;
• хоризонталните асимптоти са прави линии y = π при x → - ∞ (на чертежа - зелена линия) и y = 0 като x → + ∞.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Функциите y = ax, y = ax 2, y = a / x - са частни форми на степенната функция за н = 1, н = 2, н = -1 .

Ако ндробно число стр/ qс четен знаменател qи нечетен числител R, след това стойността може да има два знака, а графиката има още една част в долната част на оста на абсцисата NS, и е симетрично на върха.

Виждаме графика на двузначна функция y = ± 2x 1/2, т.е. представена от парабола с хоризонтална ос.

Функционални графики y = xнпри н = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 ... Тези графики минават през точка (1; 1).

Кога н = -1 получаваме хипербола... В н < - 1 графиката на степенната функция се намира първо над хиперболата, т.е. между x = 0и х = 1, а след това по-долу (за x> 1). Ако н> -1 графиката е обърната. Отрицателни стойности NSи дробни стойности нса сходни за положителни н.

Всички графики се приближават неограничено по отношение на оста на абсцисата NS,и към оста на ординатите прибез да ги докосва. Поради сходството с хиперболата, тези графики се наричат ​​хиперболи. н типоръчка.