Решаване на по-сложна система на неравенство. Неравенство. Видове неравенства. II. Повторение и фиксиране на материала

Какво трябва да знаете за иконите на неравенството? Неравенство с значка повече ▼ (> ), или по-малко (< ) Наречен строга. С икони повече или равни (≥ ), по-малко или равни (≤ ) Наречен небри. Икона не е равно (≠ ) Това е имение, но също така е постоянно да се решават примери с такава значка. И ние бръснем.)

Самата икона няма специално въздействие върху процеса на решения. Но в края на решението при избора на окончателен отговор се проявява значението на иконата пълна сила! Какво ще видим по-долу, в примерите. Има вашите шеги там ...

Неравенствата, както и равенството, има верни и неправилни. Всичко е просто тук, без фокус. Казвам, 5. > 2 - Вечно неравенство. пет < 2 - неправилно.

Такива обучения работят за неравенство всякакъв вид И лесен за ужас.) Имате нужда, само за да изпълните две (само две!) Елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но това е характерно, плитчините в тези действия - и има голяма грешка в решаването на неравенствата, да ... стана необходимо да се повторят тези действия. Те се наричат \u200b\u200bтези действия като:

Идентични трансформации на неравенствата.

Идентичните трансформации на неравенствата са много сходни с идентични трансформации на уравнения. Всъщност това е основният проблем. Разликите ускоряват покрай главата и ... следователно.) Затова ще отделяте поотделно тези различия. Така че, първото идентично преобразуване на неравенствата:

1. И двете части на неравенството могат да бъдат добавени (отнемане) на същия номер или изразяване. Всеки. Знакът за неравенство няма да се промени.

На практика това правило се прилага като прехвърляне на членове от лявата част на неравенството вдясно (и обратно) с промяната на знака. С промяна на знак за член, а не в неравенство! Правилото за един съвпада с правилото за уравнения. Но следните идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравнения. Затова ги подчертавам в червено:

2. двете части на неравенството могат да се умножат (разделени) на едно и също нещоположителен номер. На всекиположителен Няма да се промени.

3. двете части на неравенството могат да се умножат (разделени) на същотоотрицателен номер. На всекиотрицателен номер. Знак за неравенство от товапромяна в обратното.

Спомняте си (надявам се ...), че уравнението може да бъде умножено / разделено на това, което падна. И всеки номер и израз с Ха. Само ако не е нула. Това, уравнението, от него не е нито горещо, нито студено.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение / разделение.

Визуален пример за дълъг памет. Пишем неравенство, което не предизвиква съмнения:

5 > 2

Умножете двете части +3, Получаваме:

15 > 6

Има ли някакви възражения? Няма възражения.) И ако умножите двете части на първоначалното неравенство -3, Получаваме:

15 > -6

И това вече е откровено лъжа.) Пълен лъжи! Сплитане на хора! Но си струва да промените знака на неравенството в обратното, как става всичко на мястото си:

15 < -6

За лъжи и измама - не се заклевам толкова много.) "Забравих да променя знака на неравенството ..." - това е основното Грешка при решаването на неравенствата. Това е обилно и просто правило на толкова много хора боли! Кой забрави ...), така че се кълна. Може би ще си спомня ...)

Особено внимателно известие, че неравенството не може да се умножи по експресия с Ха. Изисквай вниманието!) И защо не? Отговорът е прост. Ние не знаем знака на този израз с Ха. Това може да бъде положително, отрицателно ... Стана, ние не знаем кой признак за неравенство да постави след умножение. Променете го или не? Неизвестен. Разбира се, това е ограничение (забрана за умножение / разделение на неравенството в израз с ICOM) може да бъде байпас. Ако е много необходимо. Но това е темата за други уроци.

Ето всички идентични трансформации на неравенствата. Нека отново да напомним, че те работят . \\ T Неравенство. И сега можете да отидете на определени видове.

Линейни неравенства. Решение, примери.

Линейните неравенства се наричат \u200b\u200bнеравенства, в които X е в първа степен и няма разделение на X. Тип:

x + 3. > 5x-5.

Как се решават тези неравенства? Те са решени много прости! А именно: с помощта на намалена най-алкохолната линейна неравенство направо към отговора. Това е цялото решение. Основните точки от решението ще разпределя. За да се избегнат глупави грешки.)

Ние решаваме това неравенство:

x + 3. > 5x-5.

Решаваме същото като линейното уравнение. С единствената разлика:

Внимателно следвайте знака на неравенството!

Първата стъпка е най-често срещаната. С кухини - ляво, без ICS - дясно ... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна работа.) Само признаци от преносими членове не забравяйте да промените.

Запазва се знак за неравенство:

x-5X. > -5-3

Даваме подобно.

Запазва се знак за неравенство:

4x. > -8

Остава да се приложи последното преобразуване на самоличността: Разделете двете части на -4.

Делима отрицателен номер.

Знакът за неравенство ще се промени в обратното:

х. < 2

Това е отговорът.

Така че всички линейни неравенства са решени.

Внимание! Точка 2 се изтегля от бяло, т.е. Увеличен. Празен вътре. Това означава, че не влиза в отговора! Специално го боядисах особено толкова. Такава точка (празна, не е здрава!)) В математиката се нарича точка за пречистване.

Останалите номера на оста могат да бъдат отбелязани, но няма нужда. Аутсайдерите, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркани, да ... просто трябва да помните, че увеличаването на числата върви по стрелката, т.е. Числа 3, 4, 5 и др. се намират надясно Двойки, и числа 1, 0, -1 и др. - наляво.

Неравенство x. < 2 - строг. X е стриктно по-малко от две. Ако има съмнения, проверката е проста. Заместваме съмнителен номер в неравенството и отразяваме: "Две по-малко от две? Не, разбира се!" Точно. Неравенство 2. < 2 невалиден. Двойно не е подходящо.

И едно нещо е подходящо? Сигурен. По-малко ... и нула е подходяща, и -17, и 0.34 ... да, всички числа, които са по-малко от две, са подходящи! И дори 1,9999 .... поне малко, да по-малко!

Затова отбелязваме всички тези номера на числовата ос. Как? Има опции. Първо излюпване. Ние носим мишката на чертежа (или докосване на снимката на таблета) и виждаме, че регионът на всички ICS подходящ под условието X е засенчено < 2 . Това е всичко.

Вторият вариант ще разгледа за втория пример:

х. ≥ -0,5

Ние нарисуваме оста, отбелязваме номера -0.5. Като този:

Забелязал ли е разликата?) Е, да, трудно е да не забележите ... Тази точка е черна! Боядисан. Това означава, че -0.5 в отговор. Тук, между другото, проверете и объркайте някого. Ние заменим:

-0,5 ≥ -0,5

Как така? -0.5 не повече -0.5! И има повече икона ...

Нищо грешно. В несмисленото неравенство, всичко е подходящо за иконата. И по равно Добре е, I. повече ▼ Подходящ е. Следователно, -0.5 в отговор е включен.

Така че, -0.5 Забелязахме на оста, все още бяха отбелязани всички числа, които са повече -0.5. Този път празнувам областта на подходящи ICS стойности ливада (от думата дъга), не се излюпва. Ние донасяме курсора на чертежа и виждам тази ръчна машина.

Няма особена разлика между люпенето и ръцете. Направете начина, по който каза учителят. Ако няма учител - нарисувайте дръжка. В по-сложни задачи, люпенето е по-малко визуално. Можете да се объркате.

Начертани са линейни неравенства на оста. Преминете към следващата черта на неравенствата.

Рекорден отговор за неравенствата.

В уравненията имаше добри.) Намерени X и те записваха отговора, например: x \u003d 3. В неравенствата има две форми на реагиране. Един - под формата на окончателно неравенство. Добре за обикновените случаи. Например:

х.< 2.

Това е пълен отговор.

Понякога е необходимо да се запише едно и също нещо, но в различна форма, чрез цифрови пропуски. След това записът започва да изглежда много научно):

x ∈ (-∞; 2)

Под иконата ∈ Скриване на дума "принадлежи".

Записът се чете така: x принадлежи към пролуката от минус безкрайност до две без да включва. Логично е. X може да бъде произволен брой всички възможни номера от минус безкрайност до две. Две IX не може да бъде, че казваме думата "без да включва".

И къде изглежда това "без да включва"? Този факт се отбелязва в отговор. кръгъл скоба веднага след две. Ако два пъти се включи, скобата ще бъде квадрат. Ето го:]. В следващия пример се използва такава скоба.

Пишем отговора: x ≥ -0,5 през интервалите:

x ∈ [-0.5; + ∞)

Четене: x е пролуката от минус 0.5, включително, до безкрайност.

Безкрайността никога не може да се включи. Това не е номер, това е символ. Следователно, при такива записи, безкрайността винаги е в непосредствена близост до кръглата скоба.

Тази форма на запис е удобна за сложни отговори, състоящи се от няколко интервала. Но - именно за окончателни отговори. В междинните резултати, когато се очаква допълнително решение, по-добре е да се използва обичайната форма под формата на просто неравенство. Ние разбираме това в съответните теми.

Популярни задачи с неравенства.

Самите сами линейни неравенства са прости. Ето защо, често задачите са сложни. Така че беше необходимо да се мисли. Това, ако с необичайно, не е много хубаво.), Но полезно. Ще покажа примери за такива задачи. Не е така, че сте ги научили, това е излишно. И за да не се страхувате, когато среща с подобни примери. Просто мисля - и всичко е просто!)

1. Намерете две решения неравенство 3x - 3< 0

Ако не е много ясно какво да правите, запомнете основното правило на математиката:

Не знаете какво ви е необходимо - направете това, което можете!)

х. < 1

И така, какво? Нищо специално. Какво попитаме? Ние сме помолени да намерим два специфични номера, които са решението на неравенството. Тези. Подходящ. Две . \\ T Числа. Всъщност тя е объркана.) Няколко 0 и 0.5 годни. Двойка -3 и -8. Да, тези двойки са безкраен комплект! Какъв е правилният отговор?!

Аз отговарям: всичко! Всички двойки, всеки от които е по-малък от един, това ще бъде правилният отговор. Напишете какво искате. Още повече.

2. Решаване на неравенство:

4 - 3. ≠ 0

Задачите в този формуляр са редки. Но, като спомагателни неравенства, когато OTZ е например или когато функцията за определяне на функцията е намерена, тя е бързо наоколо. Такова линейно неравенство може да бъде решено като общо линейно уравнение. Само навсякъде, с изключение на знака "\u003d" ( по равно) Поставете знак " ≠ " (не е равно). Така че да отговорите и да излезете, със знака на неравенството:

х. ≠ 0,75

В повече комплексни примерипо-добре е да се прави по различен начин. Направете равенство от неравенството. Като този:

4 - 3. = 0

Тихо го разреши, както се преподава и получи отговор:

x \u003d 0.75.

Основното нещо в самия край, когато записвате окончателен отговор, не забравяйте, че открихме X, което дава равенство. И ние се нуждаем - неравенство. Това стана, че този X просто не е необходим.) И трябва да го напишете с правилната икона:

х. ≠ 0,75

С този подход се получават по-малко грешки. Тези, които решават уравненията на машината. И тези, които не решават уравненията, неравенството, всъщност, за нищо ...) друг пример за популярна задача:

3. Намерете най-малкото пълно решение на неравенството:

3 (x - 1) < 5x + 9.

Първоначално ние просто решаваме неравенството. Ние отрежаваме скоби, прехвърляме, донесете подобни ... получаваме:

х. > - 6

Не се случи!? И последвани от признаци!? И зад признаците на членовете и зад знака на неравенството ...

Ние отново мислим. Трябва да намерим конкретен номер, подходящ и задвижван и при условие "Най-малкото цяло число".Ако не падне веднага, можете просто да вземете всеки номер и оценка. Още два минус шест? Сигурен! Има ли подходящ номер по-малък? Разбира се. Например, нула повече -6. И още по-малко? Ние сме най-малката от възможната! Минус още три минус шест! Вече можете да хванете модел и да спрете глупави сортирането, нали?)

Вземете номера по-близо до -6. Например, -5. Отговорът се извършва, -5 > - 6. Можете да намерите друг номер, по-малко5, но още -6? Можете, например -5.5 ... спрете! Казва ни цялрешение! Не навивайте -5.5! И минус шест? UH-UH! Неравенство стриктно, минус 6 не по-малко минус 6!

Това стана правилен отговор: -5.

Надявам се с избора на стойност от общо решение всичко е ясно. Друг пример:

4. Решаване на неравенство:

7 < 3x + 1. < 13

В това как! Този израз се нарича тройно неравенство. Строго говорейки, това е съкратен вход на системата за неравенство. Но все още е възможно да се решат такива тройни неравенства в някои задачи ... то се решава без никакви системи. Според същите трансформации на самоличността.

Необходимо е да се опрости, донесе това неравенство в чистата ICA. Но ... Какво да носите!? Ето времето да запомните, че прехвърлянето в ляво, то е съкратена форма. първото преобразуване на идентичността.

НО пълна форма Звучи като: За двете части на уравнението (неравенство) можете да добавите / отнемате всеки номер или израз.

Ето три части. Така че ще приложим еднакви трансформации на всичките три части!

Така че, се отървете от една в средната част на неравенството. Ние отнемаме от цялата средна част. Така че неравенството не се променя, отнема уреда и от останалите две части. Като този:

7 -1< 3x + 1-1. < 13-1

6 < 3x. < 12

Вече по-добре, нали?) Остава да се разделят и трите части за първите три:

2 < х. < 4

Това е всичко. Това е отговорът. X може да има произволен брой от twos (без да включва) до четвъртия (без да включва). Този отговор се записва и през интервалите, такива записи ще бъдат в квадратни неравенства. Там те са най-често срещаното нещо.

В края на урока повтарям най-важното нещо. Успехът в решаването на линейните неравенства зависи от способността за превръщане и опростяване на линейните уравнения. Ако в същото време следвайте признаците на неравенство Няма да има проблеми. Какво ви пожелавам. Липса на проблеми.)

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и деривати.

Например, неравенството е израз (x\u003e 5).

Видове неравенства:

If (a) и (b) е номера или, тогава се нарича неравенство числен. Всъщност това е просто сравнение на две числа. Такива неравенства са разделени лоялен и неправилен.

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

(17 + 3 GEQ 115) е неправилно числово неравенство, тъй като (17 + 3 \u003d 20) и (20) по-малко (115) (и не повече от или равно).

Ако (a) и (б) са изрази, съдържащи променлива, тогава имаме неравенство с променлива. Такива неравенства се разделят по видове в зависимост от съдържанието:

(2x + 1 GEQ4 (5-x))				Променлива само в първа степен
(3x ^ 2-x + 5\u003e 0)				Има променлива до втора степен (квадрат), но няма по-стари степени (трета, четвърта и т.н.)
(log_ (4) ((x + 1))<3\)
(2 ^ (x) leq8 ^ (5x-2) \\ t

... и т.н.

Какво е решението на неравенството?

Ако в неравенството вместо променлива за заместване на произволен брой, тогава тя ще се превърне в цифров.

Ако тази стойност за IKS трансформира първоначалното неравенство е правилното числово, то се нарича чрез решението за неравенство. Ако не - тази стойност не е решението. И към решаване на неравенство - Необходимо е да се намерят всички негови решения (или показват, че те не са).

Например, Ако сме в линейно неравенство (x + 6\u003e 10), заместваме вместо номера (7) - правилното числово неравенство: (13\u003e 10). И ако заменим (2), ще има неправилно числово неравенство (8\u003e 10). Това е решението на първоначалното неравенство и (2) не е така.

Въпреки това, неравенството (x + 6\u003e 10) има други решения. Наистина, ние ще получаваме верни числени неравенства при заместване и (5), и (12) ... и как да намерим всички възможни решения? За да направите това, използвайте за нашия случай, който имаме:

(x + 6\u003e 10) (| -6)
(x\u003e 4)

Това означава, че ще отговаряме на всеки номер повече от четири. Сега трябва да запишете отговора. Решения на неравенствата, като правило, записват цифри, допълнително ги отбелязвате на числената ос на люпенето. За нашия случай имаме:

Отговор: (x в (4; + infly)

Кога се променя знакът в неравенството?

В неравенствата има един голям капан, в който учениците обичат да се срещат:

Когато се умножават (или разделяне) неравенства за отрицателно число, промените в обратното ("по-малко" на "по-малко", "повече или равни" на "по-малко или равни" и т.н.)

Защо се случва това? За да разберете това, да видим трансформацията на числено неравенство (3\u003e 1). Вярно е, че тройката е наистина по-обединена. Първо, опитайте се да го умножите на всеки положителен брой, например, два:

(3\u003e 1) \\ t
\(6>2\)

Както можете да видите, след умножаване, неравенството остава вярно. И за какъвто и да е положителен брой, ние се умножаваме - винаги ще получаваме истинско неравенство. Сега нека се опитаме да се размножим отрицателно числоНапример, минус тройка:

(3\u003e 1) \\\\ (| cdot (-3) \\ t
\(-9>-3\)

Оказа се неправилно неравенство, защото минус девет по-малко от минус трима! Това е, за да бъде неравенството да бъде верен (и следователно преобразуването на умножаването на отрицателно е "законно"), трябва да обърнете знака за сравнение, така: \\ t (- 9<− 3\).
С разделение се оказва подобен, можете да проверите себе си.

Записаното по-горе правило се отнася за всички видове неравенства, а не само цифрови.

Пример: Решаване на неравенство (2 (x + 1) -1<7+8x\)
Решение:

(2x + 2-1<7+8x\)	Ние прехвърляме (8x) наляво, и (2) и (- 1) отдясно, не забравяйте да променяте знаците
(2x-8x<7-2+1\)
(- 6x<6\) \(|:(-6)\)	Ние споделяме двете части на неравенството на (- 6), без да забравяме да се променят с "по-малко" на "повече"
	Забележка за оста на числената пропаст. Неравенство, така че стойността на (- 1) "разгръщане" и не приемайте в отговор
	Пишаме отговора под формата на интервал

Отговор: (x in (-1; infly) \\ t

Неравенство и ...

Неравенствата, както и уравненията могат да имат ограничения, т.е. стойностите на ICA. Съответно, тези стойности, които са неприемливи от OTZ, трябва да бъдат изключени от решенията.

Пример: Решаване на неравенство (SQRT (X + 1)<3\)

Решение: Ясно е, че за лявата част има по-малко (3), експресията за хранене трябва да бъде по-малка (9) (1) само (3)). Получаваме:

(x + 1<9\) \(|-1\)
\\ (Х.<8\)

Всичко? Ние ще отговарят на всеки смисъл на ICA по-малко (8)? Не! Защото ако вземем, например, изглежда, че стойността е подходяща за изискването (- 5) - това няма да бъде решение на първоначалното неравенство, тъй като ще ни доведе до изчисляването на корена от отрицателен номер.

(SQRT (-5 + 1)<3\)
(-4)<3\)

Ето защо ние все още трябва да вземем предвид ограниченията на стойностите на ИКА - не може да бъде такова, че под корена има отрицателно число. По този начин имаме второ изискване за x:

(X + 1 geq0)
(X geq-1)

И така, че X е окончателното решение, тя трябва незабавно да отговаря на двете изисквания: тя трябва да бъде по-малка (8) (да бъде решение) и повече (- 1) (да бъде допустимо по принцип). Прилагайки се към числова ос, имаме окончателен отговор:

Отговор: (ляво [-1; 8 дясно)

Сред разнообразието на логаритмичните неравенства се изследват отделно неравенствата с променлива база. Те се решават със специална формула, която по някаква причина рядко говореха с училище:

log K (x) F (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (F (x) - g (x)) · (K (x) - 1) ∨ 0

Вместо DAW "∨", можете да поставите всеки знак за неравенство: повече или по-малко. Основното е, че в двете неравенства знаците са едни и същи.

Така че ние се отървем от логаритмите и да намалим задачата на рационалното неравенство. Последното е решено много по-лесно, но когато се изхвърлят логаритмите, могат да възникнат допълнителни корени. За да се отреже, е достатъчно да се намери областта на допустимите стойности. Ако забравите otz логаритъм, аз силно препоръчвам повтаряне - вижте "Какво е логаритъм".

Всичко, което е свързано с областта на допустимите стойности, трябва да бъдат написани отделно:

f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.

Тези четири неравенства съставляват системата и трябва да се извършват едновременно. Когато е установена площта на допустимите ценности, остава да го прекосим с решението на рационалното неравенство - и отговорът е готов.

Задача. Решаване на неравенство:

За да започнете, пийте otz логаритъм:

Първите две неравенства се изпълняват автоматично, а последният трябва да бъде боядисан. Тъй като площадът на номера е нула, ако и само ако самият номер е нула, имаме:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Оказва се, че нечетният логаритъм е всички числа, с изключение на надраскване: x ∈ (-∞ 0) ∪ (0; + ∞). Сега решаваме основното неравенство:

Извършваме прехода от логаритмично неравенство към рационално. В първоначалното неравенство има "по-малко" знак, това означава, че полученото неравенство също трябва да бъде с "по-малко" знак. Ние имаме:

(10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) · x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

Зерос на този израз: x \u003d 3; x \u003d -3; x \u003d 0. Освен това, x \u003d 0 е коренът на втората множественост, това означава, че функцията не се променя през нея при преминаване през нея. Ние имаме:

Получаваме x ∈ (-∞ -3) ∪ (3; + ∞). Този комплект се съдържа изцяло в логаритъма на OTZ, тогава това е отговорът.

Трансформация на логаритмични неравенства

Често първоначалното неравенство се различава от горното. Лесно е да се коригира според стандартните правила за работа с логаритми - вижте "Основните свойства на логаритмите". А именно:

1. Всеки номер е идея като логаритъм с дадена база;
2. Сумата и разликата между логаритмите със същите основи могат да бъдат заменени с един логаритъм.

Отделно, искам да напомня за областта на допустимите стойности. Тъй като в първоначалното неравенство може да има няколко логаритми, трябва да се намери OTZ всяка от тях. Така общата схема за решаване на логаритмични неравенства е както следва:

1. Намерете OTZ на всеки логаритъм, включен в неравенството;
2. Намаляване на неравенството в стандартните формули и изваждане на логаритми;
3. Решават полученото неравенство съгласно схемата по-горе.

Задача. Решаване на неравенство:

Ще открием областта на дефиницията (OTZ) на първия логаритъм:

Решаваме метода на интервала. Ние откриваме нули на числителя:

3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.

След това - нули на знаменателя:

x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.

Празнуваме нули и знаци по координатните стрелки:

Получаваме x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Вторият логаритъм на OTZ ще бъде същото. Не вярвайте - можете да проверите. Сега трансформираме втория логаритъм, така че два пъти да стоим в основата:

Както виждате, първите три и пред логаритъма намаляват. Получи два логаритъма със същата база. Сгъваме ги:

log 2 (x - 1) 2< 2;
Log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Получиха стандартно логаритмично неравенство. Отървете се от логаритмите по формулата. Тъй като в първоначалното неравенство има "по-малко" знак, произтичащият рационален израз също трябва да бъде по-малък от нула. Ние имаме:

(F (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Получени два комплекта:

1. OTZ: X ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
2. Кандидат: x ∈ (-1; 3).

Остава да премине тези комплекти - ние получаваме истински отговор:

Ние се интересуваме от пресечната точка на комплектите, така че избираме интервалите, рисувани върху двете стрелки. Получаваме x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - всички точки на населението.

Целта на урока: разгледа решението на по-сложни неравенства.

По време на класовете

I. Теми и цели на урока.

II. Повторение и фиксиране на материала.

1. Отговори на въпроси относно домашното (анализ на нерешени задачи).

2. Контрол на овладяващ материал (тест).

III. Изучаване на нов материал.

Разрешаване на сложни неравенства с наличието на модули или параметри в тях.

Нека неравенството | x - 1 | < 3.

Първо, ще реша това неравенство аналитично, като се има предвид два случая:

а) ако x - 1\u003e 0, т.е. x\u003e 1, тогава | x - 1 | \u003d X - 1 и неравенството има изглед X - 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х > 1, получаваме решение в този случай 1< х < 4 или х [ 1; 4).

б) ако x - 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Ние намираме комбинацията от получените решения.

Тъй като въвеждането на отговор е много важно в задачите с параметрите (отговорът се записва в реда за увеличаване на параметъра), ние ще дадем пълен отговор:

С.< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а > 1 x (-; a + 1].

Сега помислете за линейни неравенства с две променливи. По правило такива задачи се намаляват до имиджа на набор от точки, чиито координати отговарят на неравенството върху координатовата равнина.

На координатна равнина. Ще покажа набора от точки, чиито координати отговарят на неравенството Y-2\u003e X-3.

Пишаме това неравенство под формата на Y\u003e X-1. Първо, изграждаме графика на линейната функция Y \u003d X-1 (права линия). Тази линия споделя всички точки на координатната равнина до точките, разположени на този директ, и точките, разположени под тази права линия. Проверете кои точки отговарят на това неравенство.

От първия регион приемаме например контролен пункт А (0; 0) - началото на координатите. Лесно е да се провери дали неравенството Y\u003e -1 се извършва. От втория регион, избираме, например, контролна точка в (1; -1). За такава точка неравенството Y\u003e X-1 не се извършва. Следователно, това неравенство е доволно с точките по-горе и на прав y \u003d x-1 (т.е. точки, подобни на точка А). Тези точки са засенчени.

Под какви стойности на параметъра и уравнението AH 2 + X - 1 \u003d 0 няма решения?

Тъй като по-възрастният коефициент на уравнението зависи от параметъра А, е необходимо да се вземат предвид два случая.

а) ако 0, тогава AH2 + X - 1 \u003d 0 уравнението е квадрат. Такова уравнение няма решения, ако е дискриминант D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) ако a \u003d 0, тогава AH2 + x - 1 \u003d 0 уравнението е линейно и има форма X - 1 \u003d 0. Очевидно е, че уравнението има единичен разтвор X \u003d 1.

Така, с (-; -) това уравнение Решенията нямат.

Нека неравенството | x - 1 | + x 2 + 2 x + 1< 0.

Пишем неравенство във формата X - 1 | + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| > 0 и 2\u003e 0 за всички стойности А, след това сумата

| A | + A 2\u003e 0 за всички, но. Следователно, неравенство, | + A 2.< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Има подобен тип неравенство с две променливи.

Координатният самолет ще покаже разнообразие от точки, чиито координати отговарят на неравенството Y-1< х 2 .

Пишем неравенство под формата на y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. Задача в урока и у дома.

1. Аналитично решаване на неравенството:

2. За всички стойности и решаване на неравенството:

3. При какви стойности на параметъра и уравнението

а) 3x 2 - 2x + a \u003d 0 няма корени;
b) 2x 2 - 3x + 5a \u003d 0 има две различни корени;
в) 3ах 2 - 4x + 1 \u003d 0 има два различни корени;
d) AH2 - 3X + 2 \u003d 0 има поне един корен.

4. Решете аналитично (и ако е възможно, след това графично) неравенства:

В статията разглеждат решение на неравенствата. Ще ви разкажем как да се изгради неравенство, относно разбираеми примери!

Преди да разгледаме решението на неравенствата в примерите, ние ще се справим с основните понятия.

Обща информация за неравенствата

Неравенство Той се нарича израз, в който функциите са свързани чрез признаците на връзката\u003e. Неравенствата са цифрови и азбуки.
Неравенствата с два знака на отношенията се наричат \u200b\u200bдвойно, с три тройни и др. Например:
a (x)\u003e b (x),
a (x) a (x) b (x), \\ t
a (x) b (x).
(X) неравенства, съдържащи знак\u003e или или - не-стратегически.
Чрез решението за неравенство Това е всяка стойност на промяна, в която това неравенство ще бъде правилно.
"Решаване на неравенство"означава, че трябва да намерите много от всичките му решения. Има различни методи за решаване на неравенство. За решения на неравенството Насладете се на цифров прав, който е безкраен. Например, чрез решението за неравенство X\u003e 3 има празнина от 3 до +, а номер 3 не е включен в тази празнина, така че точката на прав е обозначена с празен кръг, защото Неравенство стриктно.
+
Отговорът ще бъде както следва: x (3; +).
Стойността X \u003d 3 не е включена в много решения, така че скобата е кръгла. Знакът безкрайност винаги е маркиран от кръгла скоба. Знакът означава "собственост".
Помислете как да решавате неравенствата на друг пример със знак:
x 2.
-+
Стойността x \u003d 2 влиза много решения, така че скобата е квадратна и точката на стрейт е показана от кръга.
Отговорът ще бъде както следва: X)