Co je výkonová funkce. Základní elementární funkce: jejich vlastnosti a grafika. Vlastnosti funkce n-tá odmocnina, n je sudé číslo

Jste obeznámeni s funkcemi y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x atd. Všechny tyto funkce jsou speciálními případy výkonové funkce, tj. funkcí y = x p kde p je dané reálné číslo.
Vlastnosti a graf mocninné funkce v podstatě závisí na vlastnostech mocniny s reálným exponentem, a zejména na tom, jaké hodnoty X a p dává smysl míru X p... Přistupme k podobnému zvažování různých případů v závislosti na
exponent p.

1. Index p = 2n je sudé přirozené číslo.

y = x 2n, kde n- přirozené číslo, má následující

vlastnosti:

• definiční obor - všechna reálná čísla, tedy množina R;
• množinou hodnot jsou nezáporná čísla, tj. y je větší nebo rovno 0;
• funkce y = x 2n i od té doby x 2n=(- x) 2n
• funkce je v intervalu klesající X<0 a zvyšující se v intervalu x> 0.

Funkční graf y = x 2n má stejný tvar jako např. graf funkce y = x 4.

2. Indikátor p = 2n-1- liché přirozené číslo
V tomto případě funkce napájení y = x 2n-1, kde je přirozené číslo, má následující vlastnosti:

• doména definice - množina R;
• sada hodnot - sada R;
• funkce y = x 2n-1 liché od té doby (- x) 2n-1=x 2n-1;
• funkce je rostoucí podél celé reálné osy.

Funkční graf y = x 2n-1 má stejný tvar jako např. graf funkce y = x 3 .

3. Indikátor p = -2n, kde n - přirozené číslo.

V tomto případě funkce napájení y = x -2n = 1 / x 2n má následující vlastnosti:

• doména definice - množina R, kromě x = 0;
• sada hodnot - kladná čísla y> 0;
• funkce y = 1/x 2n i od té doby 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• funkce je rostoucí na intervalu x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funkce y plot = 1/x 2n má stejný tvar jako např. graf funkce y = 1 / x 2.

Mocninná funkce se nazývá funkce ve tvaru y = x n (čteno jako y se rovná x mocnině n), kde n je dané číslo. Speciálními případy mocninných funkcí jsou funkce tvaru y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x a mnoho dalších. Pojďme si o každém z nich říci více.

Lineární funkce y = x 1 (y = x)

Graf je přímka procházející bodem (0; 0) pod úhlem 45 stupňů ke kladnému směru osy Ox.

Graf je uveden níže.

Základní vlastnosti lineární funkce:

• Funkce je vzestupná a je definována na celé číselné ose.
• Nemá žádné maximální a minimální hodnoty.

Kvadratická funkce y = x 2

Grafem kvadratické funkce je parabola.

Základní vlastnosti kvadratické funkce:

• 1. Pro x = 0, y = 0 a y> 0 pro x0
• 2. Kvadratická funkce dosáhne své minimální hodnoty ve svém vrcholu. Ymin při x = 0; Je třeba také poznamenat, že funkce nemá maximální hodnotu.
• 3. Funkce klesá na intervalu (-∞; 0] a roste na intervalu a konvexita na intervalu [0, + ∞);
• inflexní bod má souřadnice (0; 0);
• nejsou žádné asymptoty;
• graf funkce pro liché n prochází body (- 1; - 1), (0; 0) a (1; 1).

Funkce napájení

Definice 5

Mocninná funkce je definována vzorcem y = x a.

Typ grafů a vlastnosti funkce závisí na hodnotě exponentu.

• když má mocninná funkce celočíselný exponent a, pak tvar grafu mocninné funkce a její vlastnosti závisí na tom, zda je exponent sudý nebo lichý, a také na tom, jaké má exponent znaménko. Podívejme se níže na všechny tyto zvláštní případy podrobněji;
• exponent může být zlomkový nebo iracionální - v závislosti na tom se také liší typ grafů a vlastnosti funkce. Budeme analyzovat speciální případy nastavením několika podmínek: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• mocninná funkce může mít nulový exponent, tento případ také podrobněji rozebereme níže.

Pojďme analyzovat mocninnou funkci y = x a, když a je liché kladné číslo, například a = 1, 3, 5 ...

Pro názornost uvádíme grafy takových mocninných funkcí: y = x (černá barva tabulky), y = x 3 (modrá barva grafu), y = x 5 (červená barva grafu), y = x 7 (zelená barva grafu). Když a = 1, dostaneme lineární funkci y = x.

Definice 6

Vlastnosti mocninné funkce, když je exponent lichý kladný

• funkce je rostoucí pro x ∈ (- ∞; + ∞);
• funkce je konvexní pro x ∈ (- ∞; 0] a konkávní pro x ∈ [0; + ∞) (s výjimkou lineární funkce);
• inflexní bod má souřadnice (0; 0) (s výjimkou lineární funkce);
• nejsou žádné asymptoty;
• body průchodu funkce: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Pojďme analyzovat mocninnou funkci y = x a, když a je sudé kladné číslo, například a = 2, 4, 6 ...

Pro přehlednost uvádíme grafy takových mocninných funkcí: y = x 2 (černá barva grafu), y = x 4 (modrá barva grafu), y = x 8 (červená barva grafu). Když a = 2, dostaneme kvadratickou funkci, jejímž grafem je kvadratická parabola.

Definice 7

Vlastnosti mocninné funkce, když je exponent dokonce kladný:

• doména definice: x ∈ (- ∞; + ∞);
• klesající pro x ∈ (- ∞; 0];
• funkce je konkávní pro x ∈ (- ∞; + ∞);
• žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;
• body průchodu funkce: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Níže uvedený obrázek ukazuje příklady grafů mocninné funkce y = x a, když a je liché záporné číslo: y = x - 9 (černá barva grafu); y = x - 5 (modrá barva grafu); y = x - 3 (červená barva grafu); y = x - 1 (zelená barva grafu). Když a = - 1, dostaneme inverzní úměrnost, jejímž grafem je hyperbola.

Definice 8

Vlastnosti mocninné funkce, když je exponent lichý záporný:

Když x = 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, protože lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pro a = - 1, - 3, - 5,…. Přímka x = 0 je tedy vertikální asymptota;

• rozsah hodnot: y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
• funkce je lichá, protože y (- x) = - y (x);
• funkce je klesající pro x ∈ - ∞; 0 ∪ (0; + ∞);
• funkce je konvexní pro x ∈ (- ∞; 0) a konkávní pro x ∈ (0; + ∞);
• žádné inflexní body;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, když a = - 1, - 3, - 5,. ... ... ...

• body průchodu funkce: (- 1; - 1), (1; 1).

Níže uvedený obrázek ukazuje příklady grafů mocninné funkce y = x a, když a je sudé záporné číslo: y = x - 8 (černá barva grafu); y = x - 4 (modrá barva grafu); y = x - 2 (červená barva grafu).

Definice 9

Vlastnosti mocninné funkce, když je exponent dokonce záporný:

• doména: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);

Když x = 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, protože lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pro a = - 2, - 4, - 6,…. Přímka x = 0 je tedy vertikální asymptota;

• funkce je sudá, protože y (- x) = y (x);
• funkce je rostoucí pro x ∈ (- ∞; 0) a klesající pro x ∈ 0; + ∞;
• funkce je konkávní pro x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
• žádné inflexní body;
• vodorovná asymptota je přímka y = 0, protože:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, když a = - 2, - 4, - 6,. ... ... ...

• body průchodu funkce: (- 1; 1), (1; 1).

Od samého začátku věnujte pozornost následujícímu aspektu: v případě, že a je kladný zlomek s lichým jmenovatelem, berou někteří autoři za definiční obor této mocninné funkce interval - ∞; + ∞, přičemž je stanoveno, že exponent a je neredukovatelný zlomek. V současné době autoři mnoha vzdělávacích publikací o algebře a principech analýzy NEURČUJÍ mocninné funkce, kde exponent je zlomek s lichým jmenovatelem pro záporné hodnoty argumentu. Dále se budeme držet přesně této polohy: vezmeme jako doménu definice mocninných funkcí s frakčními kladnými exponenty množinu [0; + ∞). Tip pro studenty: Zjistěte v tomto bodě pohled učitele, abyste se vyhnuli nesouhlasu.

Pojďme tedy analyzovat výkonovou funkci y = x a, když exponent je racionální nebo iracionální číslo, za předpokladu, že 0< a < 1 .

Znázorněme pomocí grafů mocninné funkce y = x a, když a = 11 12 (černá barva grafu); a = 5 7 (červená barva grafu); a = 1 3 (modrá barva grafu); a = 2 5 (zelená barva grafu).

Jiné hodnoty exponentu a (za předpokladu, že 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definice 10

Vlastnosti mocninné funkce na 0< a < 1:

• rozsah hodnot: y ∈ [0; + ∞);
• funkce je rostoucí pro x ∈ [0; + ∞);
• funkce je konvexní pro x ∈ (0; + ∞);
• žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;

Pojďme analyzovat mocninnou funkci y = x a, když exponent je necelé racionální nebo iracionální číslo, za předpokladu, že a > 1.

Znázorněme pomocí grafů mocninnou funkci y = x a za daných podmínek na příkladu takových funkcí: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (grafy černé, červené, modré, zelené).

Ostatní hodnoty exponentu a, za předpokladu a> 1, poskytnou podobný pohled na graf.

Definice 11

Vlastnosti mocninné funkce pro a> 1:

• doména definice: x ∈ [0; + ∞);
• rozsah hodnot: y ∈ [0; + ∞);
• tato funkce je obecnou funkcí (není ani lichá, ani sudá);
• funkce je rostoucí pro x ∈ [0; + ∞);
• funkce je konkávní pro x ∈ (0; + ∞) (když 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;
• body průchodu funkce: (0; 0), (1; 1).

Upozorňujeme, že když a je záporný zlomek s lichým jmenovatelem, v dílech některých autorů existuje názor, že doménou definice je v tomto případě interval - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) s tím, že exponent a je ireducibilní zlomek. V současné době autoři výukových materiálů o algebře a principech analýzy NEURČUJÍ mocninné funkce s exponentem ve formě zlomku s lichým jmenovatelem pro záporné hodnoty argumentu. Dále se držíme právě takového názoru: množinu (0; + ∞) bereme jako doménu definice mocninných funkcí se zlomkovými zápornými exponenty. Tip pro studenty: Ujasněte si v tomto bodě vizi svého učitele, abyste se vyhnuli kontroverzi.

Pokračujeme v tématu a analyzujeme mocninnou funkci y = x a za předpokladu: - 1< a < 0 .

Zde je nákres grafů následujících funkcí: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (černé, červené, modré, zelené čáry, respektive).

Definice 12

Vlastnosti výkonové funkce při - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ když - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• rozsah hodnot: y ∈ 0; + ∞;
• tato funkce je obecnou funkcí (není ani lichá, ani sudá);
• žádné inflexní body;

Níže uvedený obrázek ukazuje grafy mocninných funkcí y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (černá, červená, modrá, zelená barva křivek, v tomto pořadí).

Definice 13

Vlastnosti výkonové funkce pro a< - 1:

• doména definice: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ když a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• rozsah hodnot: y ∈ (0; + ∞);
• tato funkce je obecnou funkcí (není ani lichá, ani sudá);
• funkce je klesající pro x ∈ 0; + ∞;
• funkce je konkávní pro x ∈ 0; + ∞;
• žádné inflexní body;
• vodorovná asymptota - přímka y = 0;
• bod průchodu funkce: (1; 1).

Když a = 0 a x ≠ 0, dostaneme funkci y = x 0 = 1, která definuje přímku, ze které je bod (0; 1) vyloučen (bylo dohodnuto, že výraz 0 0 nebude mít žádný význam ).

Exponenciální funkce má tvar y = a x, kde a> 0 a a ≠ 1 a graf této funkce vypadá odlišně podle hodnoty základu a. Podívejme se na zvláštní případy.

Nejprve analyzujme situaci, kdy má báze exponenciální funkce hodnotu od nuly do jedné (0< a < 1) . Názorným příkladem jsou grafy funkcí pro a = 1 2 (modrá barva křivky) a a = 5 6 (červená barva křivky).

Grafy exponenciální funkce budou mít podobný tvar pro jiné hodnoty základu za předpokladu, že 0< a < 1 .

Definice 14

Vlastnosti exponenciální funkce, když je základ menší než jedna:

• rozsah hodnot: y ∈ (0; + ∞);
• tato funkce je obecnou funkcí (není ani lichá, ani sudá);
• exponenciální funkce, pro kterou je základ menší než jedna, klesá v celém definičním oboru;
• žádné inflexní body;
• vodorovná asymptota - přímka y = 0 s proměnnou x směřující k + ∞;

Nyní zvažte případ, kdy je báze exponenciální funkce větší než jedna (a> 1).

Ukažme si tento konkrétní případ na grafu exponenciálních funkcí y = 3 2 x (modrá barva křivky) a y = e x (červená barva grafu).

Jiné hodnoty základu, větší jednotky, poskytnou podobný pohled na graf exponenciální funkce.

Definice 15

Vlastnosti exponenciální funkce, když je základ větší než jedna:

• definiční obor - celá množina reálných čísel;
• rozsah hodnot: y ∈ (0; + ∞);
• tato funkce je obecnou funkcí (není ani lichá, ani sudá);
• exponenciální funkce se základem větším než jedna je rostoucí pro x ∈ - ∞; + ∞;
• funkce je konkávní pro x ∈ - ∞; + ∞;
• žádné inflexní body;
• vodorovná asymptota - přímka y = 0 s proměnnou x směřující k - ∞;
• funkční průchodový bod: (0; 1).

Logaritmická funkce má tvar y = log a (x), kde a> 0, a ≠ 1.

Taková funkce je definována pouze pro kladné hodnoty argumentu: for x ∈ 0; + ∞.

Graf logaritmické funkce má různý tvar podle hodnoty základu a.

Nejprve se podívejme na situaci, kdy 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Jiné hodnoty základny, ne větší než jedna, poskytnou podobný pohled na graf.

Definice 16

Vlastnosti logaritmické funkce, když je základ menší než jedna:

• doména definice: x ∈ 0; + ∞. Protože x má sklon k nule zprava, hodnoty funkce mají sklon k + ∞;
• rozsah hodnot: y ∈ - ∞; + ∞;
• tato funkce je obecnou funkcí (není ani lichá, ani sudá);
• logaritmický
• funkce je konkávní pro x ∈ 0; + ∞;
• žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;

Nyní analyzujme speciální případ, kdy je základ logaritmické funkce větší než jedna: a> 1 . Na obrázku níže jsou grafy logaritmických funkcí y = log 3 2 x a y = ln x (modrá a červená barva grafů).

Jiné základní hodnoty vyšší než jedna poskytnou podobný vzhled grafu.

Definice 17

Vlastnosti logaritmické funkce, když je základ větší než jedna:

• doména definice: x ∈ 0; + ∞. Když x směřuje k nule zprava, hodnoty funkce mají sklon k - ∞;
• rozsah hodnot: y ∈ - ∞; + ∞ (celá množina reálných čísel);
• tato funkce je obecnou funkcí (není ani lichá, ani sudá);
• logaritmická funkce je rostoucí pro x ∈ 0; + ∞;
• funkce je konvexní pro x ∈ 0; + ∞;
• žádné inflexní body;
• nejsou žádné asymptoty;
• bod průchodu funkce: (1; 0).

Goniometrické funkce jsou sinus, kosinus, tangens a kotangens. Pojďme analyzovat vlastnosti každého z nich a odpovídající grafy.

Obecně se všechny goniometrické funkce vyznačují vlastností periodicity, tzn. kdy se hodnoty funkcí opakují pro různé hodnoty argumentu, které se od sebe liší hodnotou periody f (x + T) = f (x) (T je perioda). Do seznamu vlastností goniometrických funkcí je tedy přidána položka „nejmenší kladné období“. Kromě toho označíme takové hodnoty argumentu, pro které příslušná funkce zmizí.

1. Funkce sinus: y = sin (x)

Graf této funkce se nazývá sinusovka.

Definice 18

Vlastnosti sinusové funkce:

• definiční oblast: celá množina reálných čísel x ∈ - ∞; + ∞;
• funkce zaniká, když x = π · k, kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
• funkce je rostoucí pro x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π k, k ∈ Z a klesající pro x ∈ π 2 + 2 π k; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
• funkce sinus má lokální maxima v bodech π 2 + 2 π · k; 1 a lokální minima v bodech - π 2 + 2 π · k; - 1, k∈ Z;
• funkce je sinusově konkávní, když x ∈ - π + 2 π · k; 2 π k, k ∈ Z a konvexní, když x ∈ 2 π k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• nejsou žádné asymptoty.

1. Funkce kosinus: y = cos (x)

Grafu této funkce se říká kosinová vlna.

Definice 19

Vlastnosti funkce kosinu:

• doména definice: x ∈ - ∞; + ∞;
• nejmenší kladná perioda: T = 2 π;
• rozsah hodnot: y ∈ - 1; 1;
• tato funkce je sudá, protože y (- x) = y (x);
• funkce je rostoucí pro x ∈ - π + 2 π · k; 2 π k, k ∈ Z a klesající pro x ∈ 2 π k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• funkce kosinus má lokální maxima v bodech 2 π · k; 1, k ∈ Z a lokální minima v bodech π + 2 π · k; - 1, k∈z;
• funkce kosinus je konkávní, když x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z a konvexní, když x ∈ - π 2 + 2 π k; π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
• inflexní body mají souřadnice π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• nejsou žádné asymptoty.

1. Funkce tečny: y = t g (x)

Graf této funkce se nazývá tangentový.

Definice 20

Vlastnosti funkce tangens:

• doména definice: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k, kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
• Chování funkce tečny na hranici definičního oboru lim x → π 2 + π k + 0 t g (x) = - ∞, lim x → π 2 + π k - 0 t g (x) = + ∞. Přímky x = π 2 + π · k k ∈ Z jsou tedy vertikální asymptoty;
• funkce zmizí, když x = π · k pro k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
• rozsah hodnot: y ∈ - ∞; + ∞;
• tato funkce je lichá, protože y ( - x) = - y (x);
• funkce roste jako - π 2 + π · k; π 2 + π k, k ∈ Z;
• funkce tečny je konkávní pro x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z a konvexní pro x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• inflexní body mají souřadnice π · k; 0, k ∈ Z;

1. Funkce kotangens: y = c t g (x)

Graf této funkce se nazývá kotangentoid. .

Definice 21

Vlastnosti funkce kotangens:

• obor: x ∈ (π k; π + π k), kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);

Chování funkce kotangens na hranici definičního oboru lim x → π k + 0 t g (x) = + ∞, lim x → π k - 0 t g (x) = - ∞. Přímky x = π · k k ∈ Z jsou tedy vertikální asymptoty;

• nejmenší kladná perioda: T = π;
• funkce zmizí, když x = π 2 + π · k pro k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
• rozsah hodnot: y ∈ - ∞; + ∞;
• tato funkce je lichá, protože y ( - x) = - y (x);
• funkce je klesající pro x ∈ π · k; π + π k, k ∈ Z;
• funkce kotangens je konkávní pro x ∈ (π · k; π 2 + π · k], k ∈ Z a konvexní pro x ∈ [- π 2 + π · k; π · k), k ∈ Z;
• inflexní body mají souřadnice π 2 + π · k; 0, k∈ Z;
• šikmé a horizontální asymptoty chybí.

Inverzní goniometrické funkce jsou inverzní sinus, inverzní kosinus, arktangens a inverzní kotangens. Často, kvůli přítomnosti předpony „oblouk“ v názvu, se inverzní goniometrické funkce nazývají obloukové funkce .

1. Arcsine funkce: y = a rc sin (x)

Definice 22

Vlastnosti funkce Arcsine:

• tato funkce je lichá, protože y ( - x) = - y (x);
• funkce arcsine má konkávnost pro x ∈ 0; 1 a konvexnost pro x ∈ - 1; 0;
• inflexní body mají souřadnice (0; 0), což je nula funkce;
• nejsou žádné asymptoty.

1. Arc cosinus funkce: y = a rc cos (x)

Definice 23

Vlastnosti inverzní funkce kosinus:

• doména definice: x ∈ - 1; 1;
• rozsah hodnot: y ∈ 0; π;
• tato funkce je obecného typu (ani sudá, ani lichá);
• funkce klesá v celém definičním oboru;
• inverzní kosinusová funkce má konkávnost pro x ∈ - 1; 0 a konvexita pro x ∈ 0; 1;
• inflexní body mají souřadnice 0; π 2;
• nejsou žádné asymptoty.

1. Arktangentová funkce: y = a r c t g (x)

Definice 24

Vlastnosti funkce arkustangens:

• doména definice: x ∈ - ∞; + ∞;
• rozsah hodnot: y ∈ - π 2; π 2;
• tato funkce je lichá, protože y ( - x) = - y (x);
• funkce roste v celém definičním oboru;
• funkce arkustangens má konkávnost pro x ∈ (- ∞; 0] a konvexnost pro x ∈ [0; + ∞);
• inflexní bod má souřadnice (0; 0), je také nulou funkce;
• vodorovné asymptoty jsou přímky y = - π 2 jako x → - ∞ a y = π 2 jako x → + ∞ (na obrázku jsou asymptoty zelené čáry).

1. Funkce kotangens oblouku: y = a r c c t g (x)

Definice 25

Vlastnosti funkce inverzní kotangens:

• doména definice: x ∈ - ∞; + ∞;
• rozsah hodnot: y ∈ (0; π);
• tato funkce je obecného typu;
• funkce klesá v celém definičním oboru;
• funkce kotangens oblouku má konkávnost pro x ∈ [0; + ∞) a konvexnost pro x ∈ (- ∞; 0];
• inflexní bod má souřadnice 0; π 2;
• vodorovné asymptoty jsou přímky y = π jako x → - ∞ (na obrázku - zelená čára) a y = 0 jako x → + ∞.

Pokud si všimnete chyby v textu, vyberte ji a stiskněte Ctrl + Enter

Funkce y = ax, y = ax 2, y = a / x - jsou konkrétní formy mocninné funkce pro n = 1, n = 2, n = -1 .

Li n zlomkové číslo p/ q se sudým jmenovatelem q a lichý čitatel R, pak hodnotu může mít dvě znaménka a graf má ještě jednu část ve spodní části osy x NS a je symetrický k vrcholu.

Vidíme graf dvouhodnotové funkce y = ± 2x 1/2, tzn. znázorněno parabolou s vodorovnou osou.

Funkční grafy y = xn na n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 ... Tyto grafy procházejí bodem (1; 1).

Když n = -1 dostaneme nadsázka... Na n < - 1 graf mocninné funkce je umístěn nejprve nad hyperbolou, tzn. mezi x = 0 a x = 1 a poté níže (pro x> 1). Li n> -1 graf je obrácený. Záporné hodnoty NS a zlomkové hodnoty n jsou podobné pro pozitivní n.

Všechny grafy se neomezeně přibližují k ose x NS, a na souřadnicovou osu na aniž byste se jich dotkli. Vzhledem k podobnosti s hyperbolou se tyto grafy nazývají hyperboly. n čt objednat.