Množství nerovností stejného smyslu negativních čísel. Řešíme systém nerovností - vlastnosti a metody výpočtu. Dodržování vašich soukromí na úrovni společnosti

Pole platných čísel má vlastnost objednávání (ustanovení 6, s. 35): Pro všechna čísla A, B se koná jeden a pouze jeden ze tří poměrů: Or. V tomto případě je záznam A\u003e B znamená, že rozdíl je pozitivní a záznamový rozdíl je negativní. Na rozdíl od pole platných čísel není pole komplexních čísel objednáno: Pro komplexní čísla nejsou určeny koncepty "více" a "méně"; Proto tato kapitola popisuje pouze platná čísla.

Vztahy, které voláme nerovnosti, členy A a B - členy (nebo části) nerovnosti, značky\u003e (více) a nerovnosti A\u003e B a C\u003e D se nazývají nerovnosti stejného (nebo jeden a stejný) význam; nerovnosti A\u003e B az definice nerovnosti okamžitě následují

1) jakékoli kladné číslo je větší než nula;

2) Jakékoliv záporné číslo je menší než nula;

3) jakékoli kladné číslo je větší než jakékoli záporné číslo;

4) dvou negativních čísel více, jehož absolutní hodnota je menší.

Všechna tato prohlášení umožňují jednoduše geometrickou interpretaci. Umožnit pozitivní směr numerické osy jít vpravo od výchozího bodu; Tak, co by bylo znamení čísel, více z nich je znázorněno bodem, který je správným bodem zobrazujícím menší číslo.

Nerovnost má následující základní vlastnosti.

1. Asymetrie (nevratnost): pokud pak a zpět.

Pokud je rozdíl pozitivní, je rozdíl negativní. Říká se, že při přepočítání členů nerovnosti je nutné změnit význam nerovnosti na opak.

2. TRANSITIVITY: Pokud pak. Opravdu, od pozitivity rozdílů a pozitivity

Kromě známek nerovnosti jsou také použity známky nerovnosti následující: záznam znamená, že buď například můžete napsat také. Obvykle nerovnosti zaznamenané pomocí značek se nazývají přísné nerovnosti a nepodstatněné nerovnosti zaznamenané pomocí značek. Znamení se tedy naznačují známky přísné nebo neodpovídající nerovnosti. Vlastnosti 1 a 2, které jsou považovány za výše, platí pro neuvěřitelné nerovnosti.

Zvažte nyní akce, které mohou být provedeny na jednom nebo více nerovností.

3. Od přidávání členům nerovnosti stejného čísla se význam nerovnosti nemění.

Důkaz. Nechte nerovnost a libovolné číslo. Podle definice je rozdíl pozitivní. Do tohoto čísla přidáme dvě protější čísla, ze které se nebude měnit, tj.

Tato rovnost může být přepsána takto:

Z toho vyplývá, že rozdíl je pozitivní, tj. Co

a to bylo nutné dokázat.

To je založeno na možnosti překlšení libovolného člena nerovnosti z jedné části do druhého s opačným znaménkem. Například z nerovnosti

následuje to

4. Při násobení členů nerovnosti na jeden a stejné kladné číslo se význam nerovnosti nemění; Při násobení členů nerovnosti na stejném negativním čísle se význam nerovnosti liší na opak.

Důkaz. Poté, kdy je, že produkt pozitivních čísel je pozitivní. Otevření držáku v levé části poslední nerovnosti, získáme, tj. Stejně tak je případ zvažován.

Přesně stejný závěr může být učiněn ohledně rozdělení částí nerovnosti vůči jinému počtu od nuly, protože rozdělení číslem je ekvivalentní násobení číslem a čísla mají stejné značky.

5. Nechť členové nerovnosti jsou pozitivní. Poté, když pustí jeho členy ve stejném pozitivním stupni, význam nerovnosti se nemění.

Důkaz. Nechte tento případ, podle vlastnictví tranzitivity a. V důsledku monotónního zvýšení funkce napájení budeme mít

Zejména pokud kde -Naturální číslo, pak se dostaneme

i.e. Při odstraňování kořene z obou částí nerovnosti s pozitivním členem se význam nerovnosti nemění.

Nechte členové nerovností negativní. Pak není těžké prokázat, že při výstavbě jeho členů v podivném přirozeném stupni nerovnosti se nezmění, a když je postavena do rovnoměrného přirozeného stupně, změní se na opak. Nerovnosti s negativními členy, můžete také extrahovat kořen zvláštního stupně.

Dále, členové nerovnosti mají různé známky. Pak, když byl postaven do zvláštního stupně, význam nerovnosti se nezmění, a když je postaven v rovnoměrném stupni významu přijímání nerovnosti, není možné nic specifikovat obecně. Ve skutečnosti, kdy je číslo postaveno do lichého stupně, je zachován počet počtu, a proto se význam nerovnosti nemění. Pokud je nerovnost vztyčena do rovnosti, je vytvořena nerovnost s pozitivním členem, a jeho význam bude záviset na absolutních hodnotách členů počáteční nerovnosti, nerovnost stejného významu může být nerovnost jako počáteční, nerovnost opačný význam a dokonce i rovnost!

Všechna výše popsaná nerovnost je užitečná pro kontrolu následujícího příkladu.

Příklad 1. Provedení počátkem následujících nerovností do určeného stupně, změna znamení nerovnosti na opačné nebo na znamení rovnosti.

a) 3\u003e 2 do stupně 4; b) v rozsahu 3;

c) do stupně 3; d) do stupně 2;

e) do stupně 5; e) do stupně 4;

g) 2\u003e -3 do stupně 2; h) do stupně 2

6. Od nerovnosti je možné přejít na nerovnost mezi jestliže členové nerovnosti jsou pozitivní, nebo oba jsou negativní, pak existuje nerovnost opačného významu mezi jejich zpětnými hodnotami:

Důkaz. Pokud A a B jsou jedním znakem, pak je jejich práce pozitivní. Rozdělujeme se na nerovnost

to, co bylo nutné získat.

Pokud mají členové nerovnosti opačné známky, nerovnost mezi jejich inverzními hodnotami má stejný význam, protože známky reverzních hodnot jsou stejné jako známky samotných hodnot.

Příklad 2. Zkontrolujte poslední majetek 6 o následujících nerovnostech:

7. Logarithmívní nerovnosti lze provádět pouze v případě, kdy jsou členy nerovností pozitivní (negativní čísla a nulové logaritmy nemají).

Nech být . Pak kdy bude

a s bude

Správnost těchto výpisů je založena na monotónnosti logaritmické funkce, která se zvyšuje, je-li základem a snižuje se

Takže v logaritmém nerovnosti sestávajícího z pozitivních členů, založených na základě větší jednotky, nerovnost stejného významu, a během svého logaritmingu na pozitivním základě, menší jednotky - nerovnost opaku význam.

8. Pokud, pokud, ale pak.

To okamžitě vyplývá z vlastností monotónnosti indikativní funkce (ustanovení 42), což se v případě snížení snížení

Když je nerovnost stejného významu vytvořena v počátečním přidání nerovnosti jako stejný smysl jako data.

Důkaz. Dokážeme toto prohlášení pro dvě nerovnosti, i když je pravdivé pro jakýkoli počet nerovností složených. Nechť je dána nerovnost

Podle definice bude číslo pozitivní; Pak je jejich částka také pozitivní, tj.

Seskupení jinak složek, dostaneme

a proto,

a to bylo nutné dokázat.

Je nemožné říci vše, co je definováno v obecném případě o významu nerovnosti získaného přidáním dvou nebo několika nerovností různých významů.

10. Pokud od jedné nerovnosti odečíst další nerovnost opačného smyslu, pak je nerovnost tvořena stejný význam jako první.

Důkaz. Nechte dvě nerovnosti různých významů. Druhá z nich podle poměru nevratnosti lze přepsat následujícím způsobem: D\u003e S. Stěhování nyní dvě nerovnosti stejného smyslu a získat nerovnost

stejného významu. Z posledních nalezených

a to bylo nutné dokázat.

Není možné říci nic definovaného v obecném případě o významu nerovnosti získané odečtením jedné nerovnosti jiné nerovnosti stejného významu.

Nerovnost - Jedná se o záznam, ve kterých jsou čísla, proměnné nebo výrazy připojeny znakem<, >nebo. To znamená, že nerovnost může být nazývána srovnáním čísel, proměnných nebo výrazů. Nápisy < , > , ⩽ a ⩾ volala známky nerovnosti.

Druhy nerovností a způsobu čtení:

Jak je vidět z příkladů, všechny nerovnosti se skládají ze dvou částí: vlevo a vpravo, připojené jedním z příznaků nerovnosti. V závislosti na znamení spojovacích částech nerovností jsou rozděleny na přísné a ne-strategické.

Přísné nerovnosti - nerovnosti, které jsou propojeny znakem< или >. Nerovnoměrné nerovnosti - nerovnosti, které jsou propojeny znakem nebo.

Zvažte základní pravidla porovnání v Algebře:

• Jakékoliv kladné číslo je větší než nula.
• Jakékoliv záporné číslo je menší než nula.
• Dvou negativních čísel, což je další, což je absolutní hodnota menší. Například -1\u003e -7.
• a. a b. pozitivní:

  a. - b. > 0,

  Že a. více b. (a. > b.).

• Pokud rozdíl mezi dvěma nerovnými čísly a. a b. Záporný:

  a. - b. < 0,

  Že a. méně b. (a. < b.).

• Pokud je číslo větší než nula, pak je pozitivní:

  a. \u003e 0, pak a. - kladné číslo.

• Pokud je číslo menší než nula, pak je negativní:

  a. < 0, значит a. - záporné číslo.

Ekvivalentní nerovnosti - nerovnosti, které jsou důsledkem jiné nerovnosti. Například, pokud a. méně b.T. b. více a.:

a. < b. a b. > a. - ekvivalentní nerovnosti

Vlastnosti nerovností

1. Pokud přidáte stejné číslo nebo odečíst od obou částí do obou částí nerovnosti, pak bude ekvivalentní nerovnost, tj.

   pokud a. > b. T. a. + c. > b. + c. a a. - c. > b. - c.

   Z toho vyplývá, že můžete přenášet členy nerovnosti z jedné strany do druhého s opačným znaménkem. Například přidání do obou částí nerovnosti a. - b. > c. - d. podle d.Dostaneme:

   a. - b. > c. - d.

   a. - b. + d. > c. - d. + d.

   a. - b. + d. > c.

2. Pokud jsou obě části nerovnosti vynásobeny nebo rozděleny do jednoho a stejného kladného čísla, pak bude ekvivalentní ekvivalentní nerovnosti, tj.
3. Pokud jsou obě části nerovnosti vynásobeny nebo rozděleny do jednoho a stejného záporného čísla, bude to nerovnost naproti tomu, tedy, tedy při násobení nebo rozdělení obou částí nerovnosti na záporné číslo, je nutné změnit znaménko nerovnosti na opak.

   Tato vlastnost může být použita ke změně značek ze všech členů nerovnosti, násobí obě části IT na -1 a změnou znamení nerovnosti na opak:

   -a. + b. > -c.

   (-a. + b.) · -jeden< (-c.) · -jeden

   a. - b. < c.

   Nerovnost -a. + b. > -c. ekvivalentní nerovnosti a. - b. < c.

1 . Pokud a\u003e B.T. b.< a ; Naopak, pokud ale< b T. b\u003e A..

Příklad. Pokud 5x - 1\u003e 2x + 1T. 2x +1.< 5x — 1 .

2 . Pokud a\u003e B. a b\u003e S.T. a\u003e S.. Podobný, ale< b a b.< с T. a.< с .

Příklad. Z nerovností x\u003e 2U., 2Y\u003e 10. následuje to x\u003e 10..

3 . Pokud a\u003e b, že a + C\u003e B + s a a - C\u003e B - C. Li ale< b T. a + S. a a - C. , ty. Pro obě části nerovnosti lze přidat (nebo odečíst) stejné množství

Příklad 1.. Danched nerovnost x + 8\u003e 3. Úspěšné číslo 8 z obou částí nerovnosti, najdeme x\u003e - 5.

Příklad 2.. Danched nerovnost x - 6.< — 2 . Přidání obou částí 6, najdeme h.< 4 .

4 . Pokud a\u003e B. a C\u003e D, že a + C\u003e B + D; jen jestliže ale< b a z< d T. a + C.< b + d , tj. Dva nerovnosti stejného významu) lze znovu sestavit. To platí pro jakýkoli počet nerovností, například pokud a1\u003e B1, A2\u003e B2, A3\u003e B3T. a1 + A2 + A3\u003e B1 + B2 + B3.

Příklad 1.. Nerovnosti — 8 > — 10 a 5 > 2 skutečný. Zatím je skládá, najít věrnou nerovnost — 3 > — 8 .

Příklad 2.. Systém nerovností ( 1/2) x + (1/2)< 18 ; (1/2) x - (1/2)< 4 . Skládání je zatím najdeme x.< 22 .

Komentář. Dva nerovnosti stejného smyslu nelze odečíst odečíst od sebe, protože výsledek může být správný, ale možná nesprávný. Například, pokud je z nerovnosti 10 > 8 2 > 1 Pak dostaneme věrnou nerovnost 8 > 7 Ale pokud od stejné nerovnosti 10 > 8 Moje odečtená nerovnost 6 > 1 , Dostanu absurditu. Porovnejte další položku.

5 . Pokud a\u003e B. a c.< d T. a - C\u003e B - D; Pokud ale< b a c - D.T. tAK JAKO.< b — d , tj. Z jedné nerovnosti lze dosáhnout druhou nerovností opačného smyslu), zanechání znamení této nerovnosti, ze kterého byl odečten jiný.

Příklad 1.. Nerovnosti 12 < 20 a 15 > 7 skutečný. Odpustil obnovit druhou z první a opouštět první znamení, dostaneme věrnou nerovnost — 3 < 13 . Sulfát první z druhé a opouštět druhý znak, najdeme věrnou nerovnost 3 > — 13 .

Příklad 2.. Dana systém nerovnosti (1/2) x + (1/2)< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Odečtení z první nerovnosti za druhé, najdeme y.< 10 .

6 . Pokud a\u003e B. a m. - kladné číslo, pak mA\u003e MB. a a / n\u003e b / n, tj. Obě části nerovnosti mohou být rozděleny nebo vynásobeny na stejné kladné číslo (znamení nerovnosti zůstává stejné). Pokud je to stejné a\u003e B. a n. - záporné číslo, pak na.< nb a a / N.< b/n , tj. Obě části nerovnosti mohou být vynásobeny nebo rozděleny do jednoho a stejného záporného čísla, ale zároveň by mělo být znaménko nerovnosti změněno na opak.

Příklad 1.. Sdílení obou částí věrné nerovnosti 25 > 20 na 5 , dostat věrnou nerovnost 5 > 4 . Pokud rozdělíme obě části nerovnosti 25 > 20 na — 5 pak musíte změnit znamení > na < a pak dostaneme věrnou nerovnost — 5 < — 4 .

Příklad 2.. Z nerovnosti 2x.< 12 následuje to h.< 6 .

Příklad 3.. Z nerovnosti - (1/3) X - (1/3) x\u003e 4 následuje to x.< — 12 .

Příklad 4.. Danched nerovnost x / k\u003e y / l; Z toho vyplývá lX\u003e KY.Pokud jsou známky čísel l. a k. a to lx.< ky Pokud jsou známky čísel l. a k. Opožděný.

Prominentní roli hrají nerovnosti v matematice. Ve škole v podstatě se zabýváme numerické nerovnostiS definicí, jejichž začnou tento článek. A pak seznam a ospravedlnit vlastnosti numerických nerovnostíkde jsou založeny všechny principy práce s nerovností.

Okamžitě si všimněte, že mnoho vlastností číselných nerovností je podobné. Proto budeme mít materiál podle stejného schématu: Formulime majetek, dáváme to odůvodnění a příklady, po kterém se obracíme na následující vlastnost.

Navigace stránky.

Číselné nerovnosti: Definice, příklady

Když jsme představili koncept nerovnosti, všimli si, že nerovnosti často určují jejich vzhled. Tak nerovnosti jsme volali, že mají význam algebraických výrazů, které obsahují známky, nejsou rovny ≠, méně<, больше >, menší nebo rovné ≤ nebo více nebo rovné ≥. Na základě určení je vhodné definovat numerickou nerovnost:

Setkání s numerickými nerovností se vyskytuje v matematickém lekcím v první třídě bezprostředně po seznámení s první přirozenými čísly od 1 do 9 a seznámení se srovnávací operací. Je pravda, že se nazývají jednoduše nerovnosti, snižují definici "numeric". Pro jasnost nebude zabránit několika příkladům nejjednodušší numerických nerovností z této fáze jejich studia: 1<2 , 5+2>3 .

A pak z přirozené počty znalostí se vztahují na jiné typy čísel (celek, racionální, skutečná čísla), pravidla jejich srovnání jsou studovány, a to významně rozšiřuje druhovou rozmanitost numerických nerovností: -5\u003e -72, 3\u003e -0.275 · (7-5, 6) ,.

Vlastnosti numerických nerovností

V praxi umožňuje práci s nerovnostmi číslo vlastnosti numerických nerovností. Vznikají z konceptu nerovnosti, která nám představila. Ve vztahu k číslům je tento koncept dán následujícím prohlášením, které lze považovat za definici "méně" poměrů a "více" na souboru čísel (často se označuje jako rozdíl definice nerovnosti):

Definice.

• číslo větší než číslo B pak a pouze v případě, že rozdíl A-B je kladné číslo;
• Číslo A je menší než číslo B, pokud a pouze v případě, že rozdíl A-B je záporné číslo;
• Číslo A se rovná číslu B, pokud a pouze v případě, že rozdíl A-B je nula.

Tato definice může být odstraněna do definice vztahu "méně než nebo stejná" a "větší nebo rovná". Zde je jeho znění:

Definice.

• číslo větší nebo rovna počtu B pak a pouze v případě, že A-B je nezáporné číslo;
• Číslo A je menší nebo rovno počtu B, pokud a pouze pokud je A-B neschopnost.

Tyto definice používáme v důkazu o vlastnostech numerických nerovností, na které jdeme do průzkumu.

Základní vlastnosti

Zkouška Začněme se třemi hlavními vlastnostmi nerovností. Proč jsou základní? Protože jsou odrazem vlastností nerovností v obecném smyslu, a to nejen ve vztahu k numerickým nerovnostem.

Numerické nerovnosti zaznamenané pomocí značek< и >Charakteristický:

Pokud jde o numerické nerovnosti zaznamenané zaznamenané zaznamenanými znaky non-přísné nerovnosti ≤ a ≥, pak mají vlastnost reflexivity (a ne antireflexivit), protože nerovnosti A≤a a ≥A zahrnují případ rovnosti A \u003d A. Také jsou také charakteristické pro antisymetrii a transitivit.

Číselné nerovnosti zaznamenané znaky ≤ a ≥ mají vlastnosti:

• reflexivnost ≥A a \u003ca - loajální nerovnosti;
• antisymetrie, pokud a \u003cb, pak b.cz ≥ a pokud A≥B, pak B≤A.
• tRANITIVITY, pokud A≤B a B≤C, pak A≤C a také, pokud A≥B a B≥C, pak A≥C.

Jejich důkaz je velmi podobný těm, které již citovali, takže se na ně nezastavíme, ale obrátíme se na další důležité vlastnosti numerických nerovností.

Další důležité vlastnosti numerických nerovností

Doplňují hlavní vlastnosti numerických nerovností jiné série výsledků, které mají velký praktický význam. Jsou založeny na metodách posuzování hodnot projevy, jsou založeny na principech Řešení nerovností atd. Proto je vhodné s nimi dobře vypořádat.

V této položce budou vlastnosti nerovností formulovány pouze pro jedno znamení přísné nerovnosti, ale stojí za to mít na paměti, že podobné vlastnosti budou spravedlivé a pro opačné znaménko k němu, jakož i pro známky non-strategických nerovností . Vysvětlíme to na příkladu. Níže zde formulujete a dokazujeme takovou nerovnost: pokud a

• pokud A\u003e B, pak A + C\u003e B + C;
• pokud je \u003cb, pak A + C≤B + C;
• pokud A≥B, pak A + C≥B + C.

Pro pohodlí si představte vlastnosti numerických nerovností ve formě seznamu, s tím dáme odpovídající prohlášení, napište mu formálně pomocí písmen, důkazu vedení, po kterém je možné ukázat příklady použití. A na konci článku snížíme všechny vlastnosti numerických nerovností v tabulce. Jít!

Přidání (nebo odčítání) libovolného čísla na obě části věrné numerické nerovnosti dává správnou numerickou nerovnost. Jinými slovy, pokud čísla A a B jsou takové, že a

Pro důkaz, budeme rozdíl mezi levým a pravým částem poslední numerické nerovnosti, a my ukážeme, že je negativní, poskytnuta (A + C) - (B + C) \u003d A + C-B - C \u003d A-B. Podmínka A

Na dokladu o této vlastnosti numerických nerovností odečíst čísla C, nezastavujte, protože odčítání může být nahrazeno přidáním -C na množství platných čísel.

Například, pokud přidáte číslo 15 na obě části správné numerické nerovnosti 7\u003e 3, pak je věrná numerická nerovnost 7 + 15\u003e 3 + 15, což je stejné, 22\u003e 18.

Pokud se obě části správné numerické nerovnosti vynásobují (nebo rozděleny) per a stejné kladné číslo C, pak bude správná numerická nerovnost. Pokud se obě části nerovnosti vynásobují (nebo rozděleny) na záporné číslo C, a změní znaménka nerovnosti na opak, pak bude správná nerovnost. V písmenu: Pokud se provádí nerovnost A pro čísla A a B před naším letopočtem.

Důkaz. Začněme s případem, kdy C\u003e 0. Udělejme rozdíl mezi levým a pravým částem numerické nerovnosti prokázané: A · C-B · C \u003d (A-B) · C. Podmínka A 0, pak produkt (A-B) · C bude negativní číslo jako produkt záporného čísla A-B na kladném čísle C (který vyplývá z). V důsledku toho a · c-b · c<0 , откуда a·c

Na důkazu o uvažovaném vlastnostech pro dělení obou částí správné numerické nerovnosti ke stejnému počtu C není zastavit, protože rozdělení může být vždy nahrazeno množstvím 1 / C.

Ukažme příklad použití demontované vlastnosti na konkrétní čísla. Například můžete obě části věrné numerické nerovnosti 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Z nově demontované vlastnosti vynásobení obou částí numerické rovnosti jsou dodržovány dvě prakticky cenné výsledky. Tak jim budou formulovat formou následků.

Všechny vlastnosti demontované výše v tomto odstavci kombinují skutečnost, že první věrná numerická nerovnost je dána, a od něj, u některých manipulací s částmi nerovnosti se získá druhá věrná číselná nerovnost. Nyní představujeme blok vlastností, ve kterém je původně dána nikoliv, ale několik věrných numerických nerovností a nový výsledek je získán od jejich sdílení po přidání nebo vynásobení jejich částí.

Pokud jsou pro čísla A, B, C a D spravedlivé nerovnosti a

Prokazujeme, že (A + C) - (B + D) - záporné číslo, to bude prokázáno, že A + C

Podle indukce se tato nemovitost vztahuje na půdní přidání tří, čtyř, a obecně jakýkoli konečný počet numerických nerovností. Takže, pokud pro čísla 1, a 2, ..., a n a b 1, b 2, ..., b n nerovnosti a 1 a 1 + A 2 + ... + A N .

Například jsme dali tři věrné numerické nerovnosti jednoho znamení -5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Můžete násobit numerické nerovnosti jednoho znaku, jejichž části jsou reprezentovány pozitivními čísly. Zejména pro dvě nerovnosti a

Pro prokázání, můžete násobit obě části nerovnosti

Zadaný majetek platí pro vynásobení libovolného konečného počtu věrných numerických nerovností s pozitivními částmi. To znamená, že je-li 1, a 2, ..., a n a b 1, b 2, ..., b n je kladná čísla a 1 a 1 · a 2 · ... · n .

Samostatně, stojí za zmínku, že pokud neexistují žádná výchozí čísla v záznamu číselných nerovností, jejich násobení hloubky může vést k nesprávným číslicovým nerovnostem. Například numerické nerovnosti 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• Důsledek. Násobení půdy identických věrných nerovností formy A

Závěrem, jak slíbil, budeme shromažďovat všechny studované vlastnosti vlastnosti tabulky číselných nerovností:

Bibliografie.

• Moro M. I.. Matematika. Studie. Pro 1 cl. nahoře shk. Ve 2 TSP 1. (první polovina roku) / M. I. Moro, S. I. Volkov, S. V. Stepanova. - 6. ed. - M.: Enlightenment, 2006. - 112 p.: IL. + Adj. (2 off. L. IL.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematika: Studie. pro 5 cl. obecné vzdělání. Instituce / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Schwartzburg. - 21. ed., CHED. - M.: MnoMozina, 2007. - 280 p.: IL. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: studie. Pro 8 cl. obecné vzdělání. Instituce / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neskov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Enlightenment, 2008. - 271 p. : IL. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. třída. Ve 2 TSP. 1. Výukový program pro studenty obecných vzdělávacích institucí / A. Mordkovich. - 11. ed., CHED. - M.: MnoMozina, 2009. - 215 P.: IL. ISBN 978-5-346-01155-2.

Dodržování vašich soukromí je pro nás důležitý. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a ukládáme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a informujte nás, pokud máte nějaké dotazy.

Sběr a používání osobních údajů

Podle osobních údajů podléhá údajům, které mohou být použity k identifikaci určité osoby nebo s k němu komunikující.

Můžete být požadováni, abyste poskytli své osobní údaje kdykoliv při připojení s námi.

Níže jsou uvedeny příklady typů osobních údajů, které můžeme sbírat, a jak můžeme tyto informace používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když opustíte aplikaci na webu, můžeme sbírat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak využíváme vaše osobní údaje:

• Shromáždili jsme osobní informace, nám umožňuje kontaktovat a podat zprávu o unikátních návrzích, promo akcích a dalších akcích a nejbližších událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k odeslání důležitých oznámení a zpráv.
• Můžeme také využít personalizované informace pro interní účely, jako je audit, analýza dat a různé studie s cílem zlepšit služby našich služeb a poskytovat vám doporučení pro naše služby.
• Pokud se účastníte ceny, soutěžní nebo podobné stimulační události, můžeme použít informace, které poskytujete takové programy.

Informace Zveřejnění třetím stranám

Nevyholáme informace přijaté od vás třetím stranám.

Výjimky:

• Pokud je to nezbytné - v souladu se zákonem, soudním řízením, ve zkoušce, a / nebo na základě veřejných dotazů nebo žádostí ze státních orgánů na území Ruské federace - odhalit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud definujeme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, zachování práva a pořádku nebo jiných sociálně důležitých případů.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme sdělit osobní údaje, které shromažďujeme odpovídající třetí straně - nástupce.

Ochrana osobních údajů

Děláme bezpečnostní opatření - včetně administrativní, technické a fyzické - k ochraně vašich osobních údajů ze ztráty, krádeže a bezohledného použití, jakož i neautorizovaného přístupu, zveřejnění, změn a zničení.

Dodržování vašich soukromí na úrovni společnosti

Aby se ujistil, že vaše osobní údaje jsou bezpečné, přinášíme našim zaměstnancům normu důvěrnosti a bezpečnosti a přísně dodržujte provádění opatření v oblasti důvěrnosti.