Fyzikální vzorec oscilačního pohybu. Mechanické vibrace. Přeměna energie v oscilačních systémech

4.2. Pojmy a definice sekce "oscilace a vlny"

Rovnice harmonické vibrace a jeho řešení:

, x=Acos(ω 0 t+α ) ,

A– amplituda oscilace;

α je počáteční fáze kmitů.

Doba oscilace hmotný bod, který kmitá působením pružné síly:

kde m je hmotnost hmotného bodu;

k je faktor tuhosti.

Doba kmitání matematického kyvadla:

kde l je délka kyvadla;

G\u003d 9,8 m / s 2 - zrychlení volného pádu.

Amplituda kmitů získaná přidáním dvou stejně směrovaných harmonických kmitů:

kde A 1 a A 2 – amplitudy členů oscilace;

φ 1 a φ 2 jsou počáteční fáze členů oscilace.

Počáteční fáze kmitů získaná přidáním dvou identicky směrovaných harmonických kmitů:

.

Rovnice tlumené oscilace a jeho řešení:

, ,

je frekvence tlumených kmitů,

zde ω 0 je vlastní frekvence kmitání.

Logaritmický pokles tlumení:

kde β je koeficient útlumu;

je perioda tlumených kmitů.

Faktor kvality oscilačního systému:

kde θ je logaritmický faktor tlumení

Rovnice vynucených kmitů a její ustálené řešení:

, x=A cos (ω t-φ ),

kde F 0 je hodnota amplitudy síly;

je amplituda tlumených kmitů;

φ= - úvodní fáze.

rezonanční frekvence výkyvy:

,

kde ω 0 je vlastní frekvence cyklických oscilací;

β je koeficient útlumu.

Tlumené elektromagnetické oscilace v obvodu sestávajícím z kapacityC, indukčnostLa odporR:

,

kde q- nabíjení na kondenzátoru;

qm je hodnota amplitudy náboje na kondenzátoru;

β = R/2L je koeficient útlumu,

tady R– odpor smyčky;

L je indukčnost cívky;

– frekvence cyklických oscilací;

zde ω 0 je vlastní frekvence kmitání;

α je počáteční fáze kmitů.

Období elektromagnetických oscilací:

,

kde S je kapacita kondenzátoru;

L je indukčnost cívky;

R- smyčkový odpor.

Pokud je odpor smyčky malý, pak ( R/2L) 2 <<1/LC, pak perioda oscilace:

Vlnová délka:

kde proti- rychlost šíření vlny;

T je perioda oscilace.

Rovnice rovinné vlny:

ξ = A cos (ω t-kx),

kde A– amplituda;

ω je cyklická frekvence;

je vlnové číslo.

Rovnice kulové vlny:

,

kde A– amplituda;

ω je cyklická frekvence;

k je vlnové číslo;

r je vzdálenost od středu vlny k uvažovanému bodu média.

? Volné harmonické kmity v obvodu

Ideální obvod je elektrický obvod tvořený sériově zapojeným kondenzátorem o kapacitě S a induktory L. Podle harmonického zákona se bude měnit napětí na deskách kondenzátoru a proud v induktoru.

? Harmonický oscilátor. Pružinová, fyzikální a matematická kyvadla, jejich periody kmitání

Harmonický oscilátor je jakýkoli fyzický systém, který kmitá. Klasické oscilátory - pružinová, fyzikální a matematická kyvadla. Pružinové kyvadlo - hmotnostní zatížení m zavěšené na dokonale pružné pružině a provádějící harmonické kmity působením pružné síly. T= . Fyzické kyvadlo je tuhé těleso libovolného tvaru, které kmitá působením gravitace kolem vodorovné osy, která neprochází jeho těžištěm. T= . Matematické kyvadlo je izolovaný systém skládající se z hmotného bodu o hmotnosti m zavěšené na neroztažitelné beztížné niti délky L a osciluje pod vlivem gravitace. T= .

? Volné netlumené mechanické kmity (rovnice, rychlost, zrychlení, energie). Grafické znázornění harmonických kmitů.

Oscilace se nazývají volné, pokud jsou prováděny díky původně předané energii s následnou absencí vnějších vlivů na oscilační systém. Hodnota se mění podle zákona sinusového nebo kosinusového. , S- posunutí z rovnovážné polohy, A-amplituda, w 0 - cyklická frekvence, -počáteční fáze kmitů. Rychlost, zrychlení. Plná energie - E= . Graficky - pomocí sinusovky nebo kosinusové vlny.

? Pojem oscilačních procesů. Harmonické kmity a jejich charakteristiky. Perioda, amplituda, frekvence a fáze kmitů. Grafické znázornění harmonických kmitů.

Periodické procesy, které se v čase opakují, se nazývají oscilační. Periodické kmity, při kterých se souřadnice tělesa mění s časem podle zákona sinusového nebo kosinusového, se nazývají harmonické. Perioda je doba jednoho kmitu. Amplituda - maximální posunutí bodu z rovnovážné polohy. Frekvence - počet úplných kmitů za jednotku času. Fáze - hodnota, která je pod znaménkem sinus nebo kosinus. rovnice: , tady S- veličina charakterizující stav kmitající soustavy, - cyklická frekvence. Graficky - pomocí sinusovky nebo kosinusové vlny.

? tlumené vibrace. Diferenciální rovnice těchto kmitů. Logaritmický dekrement tlumení, doba relaxace, faktor kvality.

Kmity, jejichž amplituda s časem klesá, například v důsledku síly tření. rovnice: , tady S- veličina charakterizující stav kmitající soustavy, - cyklická frekvence, - koeficient tlumení. Logaritmický dekrement tlumení , kde N je počet kmitů provedených během doby poklesu amplitudy v N jednou. Relaxační čas t-, během kterého se amplituda e sníží. Faktor kvality Q=.

? Netlumené nucené oscilace. Diferenciální rovnice těchto kmitů. Co se nazývá rezonance? Amplituda a fáze vynucených kmitů.

Pokud jsou energetické ztráty kmitů, vedoucí k jejich tlumení, plně kompenzovány, vznikají netlumené kmity. rovnice: . Zde je na pravé straně vnější vliv měnící se podle harmonického zákona. Pokud se vlastní frekvence kmitání systému shoduje s vnější, dochází k rezonanci - prudkému nárůstu amplitudy systému. Amplituda , .

? Popište sčítání kmitů stejného směru a stejné frekvence, vzájemně kolmé kmity. Co jsou beaty?

Amplituda výsledného kmitání vyplývající ze sčítání dvou harmonických kmitů stejného směru a stejné frekvence, zde A jsou amplitudy, j jsou počáteční fáze. Počáteční fáze výsledné oscilace . Vzájemně kolmé oscilace - rovnice trajektorie , tady A a PROTI amplitudy přidaných kmitů, j-fázový rozdíl.

? Charakterizujte relaxační oscilace; samooscilace.

Relaxace - samokmitání, které se výrazně liší formou od harmonických, v důsledku výrazného rozptylu energie v samooscilačních systémech (tření v mechanických systémech). Vlastní oscilace jsou netlumené oscilace podporované vnějšími zdroji energie v nepřítomnosti vnější proměnné síly. Rozdíl od vynucených kmitů spočívá v tom, že frekvence a amplituda vlastních kmitů jsou určeny vlastnostmi samotného oscilačního systému. Rozdíl od volných kmitů - liší se nezávislostí amplitudy na čase a od počátečního krátkodobého dopadu, který vybudí proces kmitání. Příkladem samooscilačního systému jsou hodiny.

? Vlny (základní pojmy). Podélné a příčné vlny. stojatá vlna. Vlnová délka, její vztah k periodě a frekvenci.

Proces šíření kmitů v prostoru se nazývá vlna. Směr přenosu vibrační energie vlnou je směr pohybu vlny. Podélné - oscilace částic prostředí nastává ve směru šíření vln. Příčné - kolísání částic prostředí nastává kolmo na směr šíření vlny. Stojatá vlna vzniká, když se dvě postupné vlny šíří k sobě se stejnými frekvencemi a amplitudami a v případě příčných vln se stejnou polarizací. Vlnová délka je vzdálenost, kterou vlna urazí za jednu periodu. (vlnová délka, proti- rychlost vlny, T- perioda oscilace)

? Princip superpozice (superpozice) vlnění. Skupinová rychlost a její vztah k fázové rychlosti.

Princip superpozice - když se v lineárním prostředí šíří několik vln, každá se šíří, jako by žádné jiné vlny nebyly a výsledné posunutí částice média v libovolném okamžiku se rovná geometrickému součtu posunů, které částice přijímat, podílet se na každé ze složek vlnových procesů. Skupinová rychlost - rychlost pohybu skupiny vln, které tvoří lokalizovaný vlnový paket v každém časovém okamžiku v prostoru. Rychlost fáze vlny je rychlost fáze. V nedispergovaném médiu se shodují.

? Elektromagnetická vlna a její vlastnosti. Energie elektromagnetických vln.

Elektromagnetická vlna - elektromagnetické kmitání šířící se v prostoru. Experimentálně získané Hertzem v roce 1880. Vlastnosti - může se šířit v prostředí a vakuu, ve vakuu se rovná c, v prostředí menší, příčně, E a B vzájemně kolmé a kolmé na směr šíření. Intenzita roste s rostoucím zrychlením vyzařující nabité částice, za určitých podmínek se objevují typické vlnové vlastnosti - difrakce atd. Objemová hustota energie .

Optika

Základní vzorce optiky

Rychlost světla v médiu:

kde C je rychlost světla ve vakuu;

n je index lomu média.

Délka optické dráhy světelné vlny:

L = ns,

kde s– geometrická délka dráhy světelné vlny v prostředí s indexem lomu n.

Rozdíl optické dráhy dvou světelných vln:

∆ = L 1 – L 2 .

Závislost fázového rozdílu na rozdílu optické dráhy světelných vln:

kde λ je vlnová délka světla.

Podmínka pro maximální zesílení světla při rušení:

∆ = kλ (= 0, 1, 2, …) .

Podmínka pro maximální útlum světla:

Rozdíl optické dráhy světelných vln, ke kterému dochází, když se monochromatické světlo odráží od tenkého filmu:

∆ = 2d ,

kde d je tloušťka filmu;

n je index lomu filmu;

já i je úhel lomu světla ve filmu.

Poloměr světla Newtonovy prstence v odraženém světle:

rk = , (k = 1, 2, 3, …),

kde k- číslo prstenu;

R je poloměr zakřivení.

Poloměr Newtonových tmavých prstenců v odraženém světle:

rk = .

Úhel vychýlení paprsků φ odpovídající maximu (světelný pás) při ohybu o jednu štěrbinu se určí z podmínky

A sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

kde A– šířka štěrbiny;

k je pořadové číslo maxima.

Injekceφ výchylky paprsku odpovídající maximu (světelný pás) při ohybu světla na difrakční mřížce se určí z podmínky

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

kde d je perioda difrakční mřížky.

Rozlišení difrakční mřížky:

R= = kN,

kde ∆λ je nejmenší rozdíl vlnových délek mezi dvěma sousedními spektrálními čarami (λ a λ+∆λ), při kterém lze tyto čáry samostatně vidět ve spektru získaném pomocí dané mřížky;

N je celkový počet mřížkových slotů.

Wulf-Bragsův vzorec:

2d sinθ = κ λ,

kde θ je úhel pohledu (úhel mezi směrem paralelního rentgenového paprsku dopadajícího na krystal a atomovou rovinou v krystalu);

d je vzdálenost mezi atomovými rovinami krystalu.

Brewsterův zákon:

tg ε B=n 21 ,

kde ε B je úhel dopadu, při kterém je paprsek odražený od dielektrika zcela polarizován;

n 21 je relativní index lomu druhého média vzhledem k prvnímu.

Malusův zákon:

já = já 0 cos 2 α ,

kde já 0 je intenzita rovinně polarizovaného světla dopadajícího na analyzátor;

já je intenzita tohoto světla za analyzátorem;

α je úhel mezi směrem vibrací elektrického vektoru světla dopadajícího na analyzátor a rovinou přenosu analyzátoru (pokud se vibrace elektrického vektoru dopadajícího světla shodují s touto rovinou, pak analyzátor toto světlo propouští bez útlumu).

Úhel natočení roviny polarizace monochromatického světla při průchodu opticky aktivní látkou:

a) φ = αd(v pevných látkách),

kde α je konstanta rotace;

d je délka dráhy, kterou urazí světlo v opticky aktivní látce;

b) φ = [α]pd(v řešeních),

kde [α] – specifická rotace;

p je hmotnostní koncentrace opticky aktivní látky v roztoku.

Lehký tlak při kolmém dopadu na povrch:

,

kde Její- energetické osvětlení (ozařování);

ω je objemová hustota energie záření;

ρ je koeficient odrazu.

4.2. Pojmy a definice sekce "optika"

? Rušení vln. Soudržnost. Maximální a minimální stav.

Interference - vzájemné zesílení nebo zeslabení koherentních vln při jejich superpozici (koherentní - mající stejnou délku a konstantní fázový rozdíl v místě jejich superpozice).

Maximální ;

minimální .

Zde D je rozdíl optické dráhy, l je vlnová délka.

? Huygens-Fresnelův princip. Fenomén difrakce. Štěrbinová difrakce, difrakční mřížka.

Huygens-Fresnelův princip - každý bod v prostoru, do kterého se šířící se vlna v daném časovém okamžiku dostala, se stává zdrojem elementárních koherentních vln. Difrakce je ohýbání překážek vlnami, pokud je velikost překážky srovnatelná s vlnovou délkou, odchylka světla od přímočarého šíření. Štěrbinová difrakce je v rovnoběžných svazcích. Na překážku dopadá rovinná vlna, difrakční obrazec je pozorován na stínítku umístěném v ohniskové rovině konvergující čočky instalované v dráze světla procházejícího překážkou. Na obrazovce se získá "difrakční obraz" vzdáleného zdroje světla. Difrakční mřížka je systém rovnoběžných štěrbin stejné šířky, ležících ve stejné rovině, oddělených neprůhlednými mezerami stejné šířky. Používá se k rozkladu světla na spektrum a měření vlnových délek.

? Rozptyl světla (normální a abnormální). Boogerův zákon. Význam koeficientu absorpce.

Světelná disperze - závislost absolutního indexu lomu látky n na frekvenci ν (neboli vlnové délce λ) světla dopadajícího na látku (). Rychlost světla ve vakuu nezávisí na frekvenci, takže ve vakuu nedochází k žádné disperzi. Normální disperze světla - pokud index lomu monotónně roste s rostoucí frekvencí (s rostoucí vlnovou délkou klesá). Anomální disperze - pokud index lomu monotónně klesá s rostoucí frekvencí (roste s rostoucí vlnovou délkou). Důsledkem disperze je rozklad bílého světla na spektrum při jeho lomu v látce. Absorpci světla ve hmotě popisuje Bouguerův zákon

já 0 a já jsou intenzity rovinné monochromatické světelné vlny na vstupu a výstupu vrstvy absorbujícího materiálu o tl. X, a - absorpční koeficient, závisí na vlnové délce, pro různé látky různý.

? Co je polarizace vln? Získání polarizovaných vln. Malusův zákon.

Polarizace spočívá v získání převládající orientace směru kmitů v příčných vlnách. Uspořádání v orientaci vektorů intenzity elektrických a magnetických polí elektromagnetického vlnění v rovině kolmé na směr šíření světelného paprsku. E , B -kolmý. Přirozené světlo lze pomocí polarizátorů přeměnit na světlo polarizované. Malusův zákon ( já 0 - prošel analyzátorem, já prošel polarizátorem).

? Dualismus korpuskulárních vln. De Broglieho hypotéza.

Historicky byly předloženy dvě teorie světla: korpuskulární - svítící tělesa emitují částice-korpuskuly (důkaz - záření černého tělesa, fotoelektrický jev) a vlnová - svítící těleso vyvolává v prostředí elastické vibrace, které se šíří jako zvukové vlny vzduchem (důkaz - jevy interference, difrakce, polarizace světla). Broglieho hypotéza - vlastnosti korpuskulárních vln jsou vlastní nejen fotonům, ale také částicím, které mají klidovou hmotnost - elektrony, protony, neutrony, atomy, molekuly. ? Fotoelektrický jev. Einsteinova rovnice.

Fotoelektrický jev je jev interakce světla s hmotou, v důsledku čehož se energie fotonů přenáší na elektrony hmoty. rovnice: (energie fotonu se vynakládá na pracovní funkci elektronu a předávání kinetické energie elektronu)

Jakékoli oscilace představují pohyb s proměnným zrychlením. Výchylka, rychlost a zrychlení jsou v tomto případě funkcemi času. Periodicita je typická pro jakékoliv výkyvy, tzn. pohyb se po uplynutí času opakuje T, nazývané trvání nebo perioda oscilace. K oscilacím dochází, když je systému, který je schopen oscilovat, předána energie.
Je třeba rozlišovat:

Spojité oscilace

Kontinuální oscilace se vyskytují s konstantní amplitudou Y m. Předpokládá se, že v tomto případě se šetří vstupní energie. Přibližně takové podmínky probíhají při nízkých energetických ztrátách a krátké době pozorování. Pro získání skutečně netlumených kmitů je nutné pravidelně doplňovat ztracenou energii.

tlumené vibrace

Tlumené kmity postupně snižují svou amplitudu Y m. Bez doplnění energie případné vibrace vyhasnou.

Důležité oscilační charakteristiky

Harmonické oscilace se vyskytují podle zákona:

X = A cos(ω t + φ 0),

kde X je posunutí částice z rovnovážné polohy, A- amplituda kmitání, ω - kruhová frekvence, φ 0 - počáteční fáze, t- čas.

Doba oscilace T = .

Rychlost kmitající částice:

υ = = – Aω sin (ω t + φ 0),

akcelerace A = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Kinetická energie částice vykonávající oscilační pohyb: E k = =
sin 2 (ω t+ φ 0).

Potenciální energie:

E n=
cos 2 (ω t + φ 0).

Periody kmitání kyvadel

- jaro T =
,

kde m- hmotnost nákladu k- koeficient tuhosti pružiny,

- matematický T = ,

kde l- délka zavěšení, G- gravitační zrychlení,

- fyzický T =
,

kde já je moment setrvačnosti kyvadla kolem osy procházející bodem zavěšení, m je hmotnost kyvadla, l je vzdálenost od bodu zavěšení k těžišti.

Zkrácená délka fyzického kyvadla se zjistí z podmínky: l np= ,

označení jsou stejná jako u fyzického kyvadla.

Přidáním dvou harmonických kmitů stejné frekvence a jednoho směru se získá harmonické kmitání stejné frekvence s amplitudou:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

a počáteční fáze: φ = arctg
.

kde A 1 , A 2 - amplitudy, φ 1 , φ 2 - počáteční fáze přidaných kmitů.

Dráha výsledného pohybu při sečtení vzájemně kolmých kmitů stejné frekvence:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

Tlumené kmity se vyskytují podle zákona:

X = A 0 E - β t cos(ω t + φ 0),

kde β je koeficient tlumení, význam zbývajících parametrů je stejný jako u harmonických kmitů, A 0 je počáteční amplituda. V daném okamžiku t amplituda oscilace:

A = A 0 E - β t .

Logaritmický dekrement tlumení se nazývá:

λ = log
= β T,

kde T- perioda oscilace: T = .

Faktor kvality oscilačního systému se nazývá:

Rovnice roviny postupné vlny má tvar:

y = y 0 cos ω( t ± ),

kde na je posunutí kmitající veličiny z rovnovážné polohy, na 0 – amplituda, ω – kruhová frekvence, t- čas, X je souřadnice, po které se vlna šíří, υ je rychlost šíření vln.

Znaménko "+" odpovídá vlně šířící se proti ose X, znaménko „–“ odpovídá vlně šířící se podél osy X.

Vlnová délka se nazývá její prostorová perioda:

λ = υ T,

kde υ je rychlost šíření vlny, T je perioda šíření kmitů.

Vlnovou rovnici lze napsat:

y = y 0 cos 2π (+).

Stojatá vlna je popsána rovnicí:

y = (2y 0 cos ) cos ω t.

Amplituda stojaté vlny je uvedena v závorkách. Body s maximální amplitudou se nazývají antinody,

X n = n ,

body s nulovou amplitudou - uzly,

X y = ( n + ) .

Příklady řešení problémů

Problém 20

Amplituda harmonických kmitů je 50 mm, perioda je 4 s a počáteční fáze . a) Zapište rovnici tohoto kmitání; b) zjistěte posunutí kmitajícího bodu z rovnovážné polohy při t=0 a při t= 1,5 s; c) nakreslete graf tohoto pohybu.

Řešení

Oscilační rovnice je zapsána jako X = A cos( t+  0).

Podle podmínky je známa perioda oscilací. Jeho prostřednictvím můžete vyjádřit kruhovou frekvenci  = . Další parametry jsou známé:

A) X= 0,05 cos( t + ).

b) Offset X na t= 0.

X 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

Na t= 1,5 s

X 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = -0,05 m.

proti ) funkční graf X=0,05 cos ( t + ) jak následuje:

Určíme polohu několika bodů. známý X 1 (0) a X 2 (1.5), stejně jako periodu oscilace. Takže přes  t= hodnota 4 s X opakuje a přes  t = 2 c mění znaménko. Mezi maximem a minimem uprostřed - 0.

Problém 21

Bod vytváří harmonické kmitání. Doba kmitání je 2 s, amplituda je 50 mm, počáteční fáze je nulová. Najděte rychlost bodu v době, kdy jeho posunutí z rovnovážné polohy je 25 mm.

Řešení

1 způsob. Napíšeme rovnici pro bodové kmitání:

X= 0,05 cos t, protože  = =.

Zjištění rychlosti v čase t:

υ = = – 0,05 cos  t.

Najděte okamžik, kdy je offset 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos t 1 ,

proto cos  t 1 = ,  t 1 = . Tuto hodnotu dosadíme do výrazu pro rychlost:

υ = - 0,05  hřích = – 0,05 = 0,136 m/s.

2 způsobem. Celková energie oscilačního pohybu:

E =
,

kde A– amplituda,  – kruhová frekvence, m – hmotnost částic.

V každém časovém okamžiku je to součet potenciální a kinetické energie bodu

E k = , E n = , ale k = m 2, takže E n =
.

Píšeme zákon zachování energie:

= +
,

odtud dostaneme: A 2  2 = υ 2 +  2 X 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Problém 22

Amplituda harmonických kmitů hmotného bodu A= 2 cm, celková energie E= 3∙10 -7 J. Při jakém posunutí z rovnovážné polohy působí síla na kmitající bod F = 2,25∙10-5 N?

Řešení

Celková energie bodu vytvářejícího harmonické oscilace je rovna: E =
. (13)

Modul pružné síly je vyjádřen prostřednictvím posunutí bodů z rovnovážné polohy X následujícím způsobem:

F = k x (14)

Vzorec (13) zahrnuje hmotnost m a kruhová frekvence , a v (14) - koeficient tuhosti k. Kruhová frekvence ale souvisí s m a k:

 2 = ,

odtud k = m 2 a F = m 2 X. Vyjadřování m 2 ze vztahu (13) dostaneme: m 2 = , F = X.

Odkud dostáváme výraz pro posun X: X = .

Nahrazení číselných hodnot dává:

X =
= 1,5∙10-2 m = 1,5 cm.

Problém 23

Bod se účastní dvou oscilací se stejnými periodami a počátečními fázemi. Oscilační amplitudy A 1 \u003d 3 cm a A 2 \u003d 4 cm Najděte amplitudu výsledného kmitání, pokud: 1) kmitání probíhá v jednom směru; 2) vibrace jsou vzájemně kolmé.

Řešení

Pokud se oscilace vyskytují v jednom směru, pak je amplituda výsledné oscilace určena jako:

kde A 1 a A 2 – amplitudy přidaných kmitů,  1 a  2 – počáteční fáze. Podle podmínky jsou počáteční fáze stejné, což znamená  2 -  1 = 0 a cos 0 = 1.

Proto:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Pokud jsou kmity vzájemně kolmé, pak rovnice výsledného pohybu bude:

cos( 2 -  1) = sin 2 ( 2 -  1).

Vzhledem k tomu, že podle podmínky  2 -  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, bude rovnice zapsána takto:
=0,

nebo
=0,

nebo
.

Výsledný poměr mezi X a na lze zobrazit na grafu. Z grafu je vidět, že výsledkem bude kolísání bodu na přímce MN. Amplituda této oscilace je definována jako: A =
= 5 cm.

Problém 24

Období tlumených kmitů T\u003d 4 s, dekrement logaritmického tlumení  \u003d 1,6, počáteční fáze je nula. Odsazení bodu v t = rovno 4,5 cm 1) Napište rovnici pro toto kmitání; 2) Sestavte graf tohoto pohybu pro dvě období.

Řešení

Rovnice tlumených kmitů s nulovou počáteční fází má tvar:

X = A 0 E -  t cos2 .

Pro nahrazení číselných hodnot není dostatek hodnot počáteční amplitudy A 0 a faktor tlumení .

Koeficient tlumení lze určit z poměru pro logaritmický dekrement tlumení:

 = T.

Tedy  = = = 0,4 s-1.

Počáteční amplitudu lze určit nahrazením druhé podmínky:

4,5 cm = A 0
cos 2 = A 0
cos = A 0
.

Odtud najdeme:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Konečná pohybová rovnice je:

X = 0,0775
náklady.

Problém 25

Jaký je logaritmický dekrement tlumení matematického kyvadla, pokud t = 1 min se amplituda kmitů snížila na polovinu? délka kyvadla l = 1 m.

Řešení

Logaritmický dekrement tlumení lze zjistit ze vztahu: =  T,

kde  je koeficient útlumu, T je perioda oscilace. Přirozená kruhová frekvence matematického kyvadla:

 0 =
\u003d 3,13 s -1.

Koeficient tlumení kmitů lze určit z podmínky: A 0 = A 0 E -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c-1.

Protože <<  0 , то в формуле  =
lze zanedbat  ve srovnání s  0 a periodu oscilace lze určit podle vzorce: T = = 2c.

Nahraďte  a T do výrazu pro dekrement logaritmického tlumení a dostaneme:

 = T\u003d 0,0116 s -1 ∙ 2 s \u003d 0,0232.

Problém 26

Rovnice netlumeného kmitání je uvedena ve tvaru X= 4 sin600 t cm.

Najděte odsazení od rovnovážné polohy bodu umístěného ve vzdálenosti l= 75 cm od zdroje vibrací, průchozí t= 0,01 s po začátku kmitů. Rychlost šíření vlny υ = 300 m/s.

Řešení

Napišme rovnici vlny šířící se z daného zdroje: X= 0,04 sin 600 ( t– ).

Najděte fázi vlny v daném čase na daném místě:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 \u003d 4,5,

hřích 4,5 \u003d hřích \u003d 1.

Proto ten bodový posun X= 0,04 m, tzn. na dálku l = 75 cm od zdroje v čase t= maximální bodová odchylka 0,01 s.

Bibliografie

Volkenstein V.S.. Sbírka úloh k obecnému kursu fyziky. - Petrohrad: SpecLit, 2001.

Saveliev I.V.. Sbírka otázek a problémů v obecné fyzice. – M.: Nauka, 1998.

Harmonické kmity - kmity prováděné podle zákonů sinus a kosinus. Následující obrázek ukazuje graf změny souřadnice bodu v čase podle kosinového zákona.

obrázek

Amplituda oscilace

Amplituda harmonického kmitu je největší hodnota vychýlení tělesa z rovnovážné polohy. Amplituda může nabývat různých hodnot. Bude záležet na tom, jak moc těleso v počátečním okamžiku z rovnovážné polohy posuneme.

Amplituda je určena počátečními podmínkami, to znamená energií předanou tělu v počátečním časovém okamžiku. Protože sinus a kosinus mohou nabývat hodnot v rozsahu od -1 do 1, musí rovnice obsahovat faktor Xm, který vyjadřuje amplitudu kmitů. Pohybová rovnice pro harmonické vibrace:

x = Xm*cos(co0*t).

Doba oscilace

Perioda oscilace je doba potřebná k jedné kompletní oscilaci. Periodu oscilace označujeme písmenem T. Jednotky periody odpovídají jednotkám času. To znamená, že v SI jsou to sekundy.

Frekvence kmitů - počet kmitů za jednotku času. Kmitočet kmitání se značí písmenem ν. Frekvenci kmitání lze vyjádřit periodou kmitání.

v = 1/T.

Jednotky frekvence v SI 1/sec. Tato jednotka měření se nazývá Hertz. Počet oscilací za čas 2 * pi sekund bude roven:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Frekvence kmitání

Tato hodnota se nazývá frekvence cyklických oscilací. V některé literatuře se nachází název kruhová frekvence. Vlastní frekvence oscilačního systému je frekvence volných oscilací.

Frekvence vlastních kmitů se vypočítá podle vzorce:

Frekvence vlastních kmitů závisí na vlastnostech materiálu a hmotnosti zátěže. Čím větší je tuhost pružiny, tím větší je frekvence vlastních kmitů. Čím větší je hmotnost zátěže, tím nižší je frekvence vlastních kmitů.

Tyto dva závěry jsou zřejmé. Čím tužší pružina, tím větší zrychlení udělí tělu, když je systém nevyvážený. Čím větší je hmotnost tělesa, tím pomaleji se bude rychlost tohoto tělesa měnit.

Období volných kmitů:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Je pozoruhodné, že při malých úhlech vychýlení nebude perioda kmitání tělesa na pružině a perioda kmitání kyvadla záviset na amplitudě kmitů.

Zapišme si vzorce pro periodu a frekvenci volných kmitů pro matematické kyvadlo.

pak bude období

T = 2*pi*√(l/g).

Tento vzorec bude platný pouze pro malé úhly vychýlení. Ze vzorce vidíme, že perioda kmitání roste s délkou závitu kyvadla. Čím delší je délka, tím pomaleji bude tělo kmitat.

Doba kmitání nezávisí na hmotnosti břemene. Ale záleží na zrychlení volného pádu. Jak se g snižuje, doba oscilace se prodlužuje. Tato vlastnost je v praxi hojně využívána. Například k měření přesné hodnoty volného zrychlení.