Tekoucí diferenciální oscilace. Volné pádové oscilace. Rovnice míče míče v tomto případě jsou

Snížení energie oscilačního systému vede k postupnému snížení amplitudy oscilací, pro

V tomto případě to říkají oscilace jsou vybledlé .

Podobná situace je v oscilačním obvodu. Skutečná cívka, která je součástí kontury, má vždy aktivní odpor. Když proud proudí na aktivní odpor cívky, bude zvýrazněno jowleto teplo. Energie obrysu se sníží, což povede ke snížení amplitudy oscilací náboje, napětí a proudu.

Náš úkol - Zjistěte, jaké právní právo se děje snížení amplitudy oscilací, podle kterého zákona se fluktující oscilace samotné změny, s nějakou frekvencí, poklesy oscilace dochází, jak dlouho oscilace "vybledne".

§1 proudící oscilace v viskózních třecích systémech

Zvažte oscilační systém, ve kterém je platná síla viskózního tření. Příkladem takového oscilačního systému může sloužit jako matematický kyvadlo, které provádí oscilace ve vzduchu.

V tomto případě při odstraňování systému z rovnovážné polohy

kyvadlo bude jednat dvě silné stránky: kvazi-otočený pevnost a odporová síla (viskózní třecí síla).

Druhý zákon Newton bude zaznamenán následovně:

Víme, že při nízkých rychlostech je síla viskózního tření úměrná rychlosti pohybu:

Bereme v úvahu, že rychlostní projekce je prvním derivátem souřadnosti těla a projekce zrychlení je druhým derivátem souřadnic:

Pak rovnice (2) bude mít formu:

získáváme rovnici pohybu v následujícím formuláři:

kde D je koeficient útlumu, záleží na koeficientu tření r,

w 0 je cyklická frekvence ideálních oscilací (v nepřítomnosti tření).

Před rozhodnutím rovnice (3) zvažte oscilační okruh. Aktivní odpor cívky je součástí série s kapacitou a indukčností L.

Píšeme druhý zákon Kirchhoffa

Bereme v úvahu, že

Druhý zákon Kirchhofu bude mít formulář:

Rozdělujeme obě části rovnice:

Zavedeme notace

Konečně dostat

Věnujte pozornost matematické identitě diferenciální rovnice (3) a (3 '). Není nic překvapivého. Už jsme ukázali absolutní matematickou identitu procesu oscilace kyvadla a elektromagnetické oscilace v obvodu. Procesy útlumu oscilací v obvodu a v systémech s viskózním třením se samozřejmě vyskytují stejně.

Rozhodování rovnice (3), obdržíme odpovědi na všechny výše uvedené otázky.

Řešení této rovnice víme

Poté pro požadovanou rovnici (3) získáváme konečný výsledek.

Je snadné vidět, že poplatek kondenzátoru v reálném oscilačním okruhu se změní zákonem

Analýza získaného výsledku:

1 v důsledku společného působení kvazi-elastické pevnosti a pevnosti systému odporu umět Proveďte oscilační pohyb. Chcete-li to provést, stav w 0 2 - D 2\u003e 0. Jinými slovy, tření v systému by mělo být malé.

2 Frekvence plovoucích oscilací W se neshoduje s frekvencí oscilací systému v nepřítomnosti tření W2 \u003d W 0 2 - D2< w 0 2 . S časem, frekvence rozprašovacích oscilací zůstane nezměněna.

Pokud je koeficient zeslabení D malý, pak se frekvence rozpadajících oscilací blíží vlastní frekvenci W 0.

Tato ztráta amplitudy se vyskytuje pod exponenciálním zákonem.

4 Pokud W 0 2 - D 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

Přímá substituce se snadno zajistí, že funkce (4) je skutečně roztok rovnice (3). Samozřejmě, součet dvou exponenciálních funkcí není periodická funkce. Z fyzického hlediska to znamená, že výkyvy v systému nebudou vzniknout. Po odstranění systému z rovnovážné polohy bude v něm zpomalit. Takový proces se nazývá aeriodic. .

§2 Jak rychle prdeli výkyvy v viskózních třecích systémech?

Zdobí útlum

Hodnotu velikosti. Je vidět, že hodnota D charakterizuje rychlost útlumu oscilací. Z tohoto důvodu D se nazývá koeficient útlumu.

Pro elektrické oscilace v obvodu závisí koeficient útlumu na parametrech cívky: čím větší je aktivní odpor cívky, tím rychleji amplituda náboje na kondenzátoru, napětí, proudové síly snižují.

Funkce je produktem klesající indikativní funkce a harmonickou funkci, takže funkce není harmonická. Má však určitý stupeň "opakovatelnosti", která spočívá v tom, že maxima, minima, nulové funkce vyskytují ve stejných intervalech. Funkční graf je sinusoidem ohraničený dvěma vystavovateli.

Najděte poměr dvou po sobě následujících amplitud, rozdělených intervalem času najednou. Tento vztah se nazývá zintenziveň

Upozorňujeme, že výsledek nezávisí na tom, co dvě po sobě jdoucí období zvažujete - na začátku oscilační pohyb Nebo po určité době. Pro každé období amplitudy měnících se oscilací ne na stejné hodnotě ve stejnou dobu !!

Není těžké to vidět pro všechny různé intervaly se amplituda mizejících oscilací sníží ve stejný čas.

Čas na odpočinek

Relaxační čas se nazývá doba, po kterou se v této době snižuje amplituda rozpadajících se oscilací:

Odtud není obtížné instalovat fyzický význam Koeficient útlumu:

Koeficient útlumu je tedy hodnotu, reverzní relaxační čas. Například v oscilačním okruhu je koeficient zeslabení stejný. To znamená, že časem s amplitudou oscilací se sníží e. čas.

Logaritmický snížení útlumu

Rychlost útlumu oscilací je často charakterizována logaritmickým poklesem útlumu. Za tímto účelem vezmou přirozený logaritmus ze vztahu amplitud, oddělených intervalem času v období.

Zjistěte fyzický význam logaritmického snížení útlumu.

Nechť n být počet oscilací prováděných systémem během relaxace, to znamená, že počet oscilací, pro které se kolísá amplituda snižuje e. čas. Očividně.

Je vidět, že logaritmický snížení útlumu - existuje velikost, inverzní počet oscilací, po kterém se amplituda snižuje e. čas.

Předpokládejme, že to znamená, že po 100 oscilací amplitudy se sníží e.čas.

Kvalita oscilačního systému

Kromě logaritmického snížení útlumu a relaxačního času lze rychlost útlumu oscilací charakterizovat takovou velikost jako kvalita oscilačního systému . V kvalitě

Můžete ukázat pro slabě polnící oscilace

Energie oscilačního systému v libovolném okamžiku je rovna. Energetická ztráta pro období lze nalézt jako energetický rozdíl v době a energetice časem, rovnající se období:

Orientační funkce může být rozložen v řadě na<< 1. после подстановки получаем .

Závěrem jsme uložili limit<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Vzorky získané námi pro kvalitu systému nemluví. Předpokládejme, že výpočty poskytují hodnotu Q \u003d 10. Co to znamená? Jak rychle oscilace fade? Je to dobré nebo špatné?

Obvykle se předpokládá, že oscilace téměř zastavily, pokud se jejich energie snížila 100krát (amplituda - při 10). Zjistěte, kolik výkyvů dělalo systém v tomto bodě:

Můžeme odpovědět na otázku, která doručená dříve: n \u003d 8.

Jaký je oscilační systém lepší - s velkým nebo nízkou kvalitou? Odpověď na tuto otázku závisí na tom, co chcete dostat z oscilace systému.

Pokud chcete, aby systém provedl co nejvíce výkyvů před zastavením, je třeba zvýšit kvalitu systému. Jak? Vzhledem k tomu, že kvalita je určena parametry samotného oscilačního systému, musíte správně vybrat tyto parametry.

Například Foucaultův kyvadlo založené v katedrále sv. Isaacu bylo špatně zmírňující oscilace. Pak

Nejjednodušší způsob, jak zvýšit kvalitu kyvadla, je to těžší.

V praxi jsou často inverzní problémy: je nutné rychle splatit výkyvy, které vznikly (například oscilaci šipky měřicího zařízení, výkyvy karoserie automobilu, výkyvy nádoby atd.) zařízení, která vám umožní zvýšit útlum v systému, se nazývají tlumiče (nebo tlumiče). Například absorbér pro auto nárazu v první aproximaci je válec naplněný olejem (viskózní tekutinou), ve kterém píst může pohybovat s řadou malých otvorů. Rod pístu je spojena s tělem a válec - s osou kola. Výsledné kolísání těla rychle vyblednou, protože pohybující se píst se setkává ve své cestě velký odolnost od viskózní kapaliny plnícího válce.

§ 3 Útlum oscilací v suchých třecích systémech

V zásadě dochází k útlumu oscilací, pokud má systém posuvné třecí síly v systému. Je to ona, kdo je příčinou zastavení kyvadla pružiny, provádějící výkyvy podél povrchu.

Předpokládejme, že pružinový kyvadlo umístěný na horizontálním povrchu vedlo k oscilačnímu pohybu, stlačení pružiny a uvolnění nákladu, to je z extrémní polohy. V procesu pohybu nákladu z jedné mimořádné polohy, pevnost gravitace a výkonu podpěry (vertikální) reakční síly (vertikální), pevnost pružnosti a pevnost posuvného tření (podél povrchu) .

Všimněte si, že v procesu pohybu zleva doprava se síla tření nemění ve směru a modulu.

To vám umožní tvrdit, že během první poloviny období je pružinový kyvadlo v neustálém výkonu.

Posunutí rovnovážné polohy lze vypočítat z stavu rovnosti rovnosti rovnosti nuly v rovnovážné poloze:
Je důležité, aby během první poloviny kyvadla oscilace harmonický !

Při pohybu v opačném směru - vpravo od kůže tření změní směr, ale v celém přechodu zůstane konstantní v modulu a směru. Tato situace opět odpovídá oscilacím kyvadla v konstantním výkonu. Teprve teď je toto pole jiné! Změnil směr. V důsledku toho se také změnila poloha rovnováhy při pohybu vpravo vlevo. Nyní se posunula doprava hodnotou D l. 0 .

Budu zobrazovat závislost souřadnic těla včas. Vzhledem k tomu, že pohyb je harmonický oscilace pro každou polovinu období, bude graf poloviční sinusoid, z nichž každý je konstruován vzhledem k jeho rovnovážné poloze. Vyrábíme operaci "řešení prošívání".

Ukážeme, jak se provádí na konkrétním příkladu.

Nechť je hmotnost nákladu připojené k pružině 200 g, tuhost pružiny 20 N / m, koeficient tření mezi zatížením a povrchem tabulky 0,1. Kyvadlo vedlo k oscilačnímu pohybu, protahoval pružinu

6,5 cm.

Na rozdíl od začarovaných třecích oscilátorových systémů v systémech se suchým třením se amplituda oscilací snižuje v průběhu času podle lineárního zákona - pro každé období se snižuje do dvou šířek stagnační zóny.

Dalším výrazným znakem je oscilace v suchých třecích systémech dokonce teoreticky se nemůže stát neurčitě. Zastaví se, jakmile se tělo zastaví v "stagnační zóně".

§4 Příklady řešení problémů

Úkol 1 Charakter změn v amplitudě mizejících oscilací v viskózních třecích systémech

Amplituda odlupovacích oscilací kyvadla během t1 \u003d 5 min se snížila o 2 krát. Pro jakou dobu se oscilace t 2 sníží 8krát? Po jaké době t 3 můžeme předpokládat, že oscilace kyvadla se zastavily?

Rozhodnutí:

Amplitudy oscilací v viskózních třecích systémech v čase

ani klesá o exponenciální, kde - amplituda oscilací při počátečním okamžiku času, koeficient útlumu.

1 Píšeme zákon změnit amplitudu dvakrát

2 Vyřešte rovnice dohromady. Logaritmus každá rovnice a dostat se

Divide Druhá rovnice není první a najít čas t 2

Po transformaci dostaneme

Delim poslední rovnice pro rovnici (*)

Úkol 2 Doba rozpadajících se oscilací v viskózních třecích systémech

Určete období rozpadajících se oscilací systému T, pokud doba vlastních oscilací t 0 \u003d 1 s, a logaritmický snížení útlumu. Kolik oscilací bude tento systém udělat až do úplné zastávky?

Rozhodnutí:

1 Období mizení oscilací v systému s viskózním třením je více než doba vlastních oscilací (v případě neexistence tření v systému). Frekvence rozpadajících se oscilací, naopak, je menší než četnost jejich vlastního a rovna, kde je koeficient útlumu.

2 Po období vyjadřujte cyklickou frekvenci. A brát v úvahu, že logaritmický snížení útlumu je:

3 Po transformaci dostaneme.

Energie systému se rovná maximální možné energii kyvadla

Po transformaci dostaneme

5 Vyjádřete koeficient útlumu prostřednictvím logaritmického snížení, dostaneme

Počet oscilací, které systém bude provádět zastavení, je stejný

Úkol 3 Počet oscilací prováděných kyvadlem, dokud se amplituda nesnižuje dvakrát

Logaritmická snižování útlumu kyvadla je Q \u003d 3 × 10 -3. Určete počet úplných oscilací, které musí kyvadlo učinit, že amplituda jeho oscilací se snížila o 2 krát.

Rozhodnutí:

3 Není těžké vidět, že logaritmický snížení útlumu. Dostávat

Najdeme počet oscilací

Úloha 4 Kvalita oscilačního systému

Určete dotaznost kyvadla, pokud během kterého bylo provedeno 10 oscilací, amplituda se snížila o 2 krát. Po jaké době se kyvadlo zastaví?

Rozhodnutí:

1 Oscilace amplituda ve viskózních třecích systémech v průběhu času se snižuje exponenciální, kde - amplituda oscilací v počátečním okamžiku času, koeficient útlumu.

Protože amplituda oscilací se sníží o 2krát, dostaneme

2 Doba oscilací může být reprezentována jako produkt oscilace podle jejich čísla:

Získanou časovou hodnotu nahrazujeme ve výrazu (*)

3 Není těžké vidět, že logaritmický snížení útlumu. Dostáváme logaritmické snížení útlumu je stejný

4 Kvalita oscilačního systému

Energie systému se rovná maximální možné energii kyvadla

Po transformaci dostaneme

Najdeme čas, kterými se oscilace zastaví.

Úloha 5 Oscilace magnetu

Vasya Lisucchin, známý pro celou školu experimentátora, se rozhodla udělat magnetickou postavu svého milovaného literárního hrdiny Kolobky podél zdi chladničky. Připevnil obrázek na pružinovou tuhost k \u003d 10 h / m, natáhla ji pro 10 cm a pustil. Kolik oscilací vytvoří Kolobok, pokud hmotnost obrázku m \u003d 10 g, koeficient tření mezi postavou a stěnou je μ \u003d 0,4, a může být odtažen ze stěny silou f \u003d 0,5 N.

Rozhodnutí:

1 Při pohybu z extrémního nižšího v extrémní horní poloze, když je rychlost nákladu směrována vzhůru, posuvná třecí síla je směrována dolů a je numericky rovna. Prachový kyvadlo je tedy v konstantním výkonu vytvořené gravitací a třením. V oblasti konstantního výkonu v kyvadle posouvá rovnovážnou polohu:

kde - pružiny, táhnoucí se v nové "rovnovážné poloze".

2 Při pohybu z extrémního vrcholu do extrémně nižší polohy, když je rychlost nákladu nasměrována dolů, posuvná třecí síla je zaměřena a numericky stejná. Prachový kyvadlo je tedy opět v konstantním výkonu vytvořené gravitací a třením. V oblasti konstantního výkonu v kyvadle posouvá rovnovážnou polohu:

kde - deformace pružiny v nové "rovnovážné poloze", znamení "-" říká, že v této poloze je pružina stlačena.

3 zóna stagnace je omezena deformacemi pružiny od 1 cm do 3 cm a je 4 cm. Středem stagnační zóny, ve které je pružinová deformace 1 cm, odpovídá poloze nákladu, ve kterém tření chybí. V zóně stagnace je pevnost pružnosti pružiny v modulu menší než efektivní maximální míru síly míru A gravitace. Pokud se kyvadlo zastaví ve stagnační zóně, zastavení oscilací.

4 Pro každé období se deformace pružiny snižuje do dvou šířek stagnační zóny, tj. O 8 cm. Po jednom oscilaci bude deformace pružiny rovna 10 cm - 8 cm \u003d 2 cm. To znamená, že po jednom oscilaci spadá postava Kolobka do oblasti stagnace a jeho oscilace jsou zastaveny.

§5 Úkoly pro sebehodnocení

Test "tekoucí oscilace"

1 Podle útlumu oscilací chápe ...

A) snížení frekvence oscilací; B) snížení oscilace;

C) snižování amplitudy oscilací; D) Snížení fáze oscilace.

2 příčina útlumu volných oscilací -

A) akce v systému náhodných faktorů inhibujících výkyvy;

B) účinek pravidelně měnící se vnější síly;

C) přítomnost třecí síly v systému;

D) postupné snižování kvazi-elastické síly, které se snaží vrátit kyvadlo do rovnovážné polohy.

?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm;

D) Odpověď není možná, protože to není známo čas.

6 Dva identický kyvadlo, být v různých viskózních prostředích, aby oscilace. Amplituda těchto oscilací se časem mění, jak je znázorněno na obrázku. Ve kterém třecím prostředí je větší?

7 Dva kyvadlo, být ve stejných médiích, dělat oscilace. Amplituda těchto oscilací se časem mění, jak je znázorněno na obrázku. Jaký kyvadlo má velkou hmotu?

C) odpověď je nemožná, protože souřadnicové osy nejsou připevněny a výpočty nelze provést.

8 V jakém obrázku je správně znázorněno závislost souřadnic mizejících oscilací v systému s viskózním třením?

A) 1; B) 2; Ve 3; D) Všechny grafy jsou pravdivé.

9 Nainstalujte korespondenci mezi fyzikálními veličinami charakterizujícím útlum oscilací v systémech s viskózním třením a jejich definicí a fyzickým významem. Vyplňte tabulku

A) Toto je poměr amplitudů oscilací časem, rovnající se období;

B) Je to přirozený logaritmus amplitudy výkyvy v čase, rovný období;

C) tentokrát, během které se amplituda oscilací sníží e. čas;

G) Tato hodnota je inverzní počet oscilací, pro které se fluktuací amplituda snižuje e. čas;

H) Tato hodnota ukazuje, kolikrát se oscilace amplituda snižuje během doby rovnající se oscilace.

10 Proveďte správné schválení.

Za kvalitního porozumění ...

A) vzrostl ve 2p násoby poměr celkové energie systému E Energy W, rozptýlené po dobu;

B) poměr amplitud po určitou dobu rovnající se období;

C) Počet oscilací, které systém provádí v době, kdy se amplituda sníží v čase.

Kvalita je vypočtena vzorcem ...

Dobrovolné oscilačního systému závisí na ...

A) systémová energie;

B) ztráta energie za období;

C) Parametry oscilujícího systému a tření v něm.

Čím větší je kvalita oscilačního systému, tím více ...

A) pomalejší prdeli oscilací;

B) Fluktuace rychleji upevněte.

11 Matematický kyvadlo vede k oscilačnímu pohybu, který odmítá suspenzi z rovnovážné polohy v prvním případě o 15 ° ve druhé - o 10 °. Pendulu bude ve skutečnosti větší výkyvy před zastávkou?

A) když byla suspenze odmítnuta o 15 °;

B) když byla suspenze odmítnuta o 10 °;

C) V obou případech bude kyvadlo stejný počet oscilací.

12 Závití stejné délky připojené kuličky stejného poloměru - hliník a měď. Pendile vedou k oscilačnímu pohybu, odmítající je do stejných úhlů. Který z kyvadla učiní více výkyvů před zastávkou?

A) hliník; B) měď;

C) Oba kyvadlo učiní stejné množství oscilací.

13 pružinový kyvadlo, které se nachází na vodorovném povrchu, vedlo k oscilacím, protahování pružiny o 9 cm. Po spáchání tří úplných oscilací bylo kyvadlo ve vzdálenosti 6 cm na poloze nedeformovaného pružiny. V jaké vzdálenosti od pozice nedeformovaného jara bude kyvadlo po dalších třech oscilacích?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm.

A získejte dvě volné lekce Ve škole English Skyeng!
Dělám tam sám - velmi chladný. Pokrok je zřejmý.

Aplikace, kterou můžete naučit slova, trénovat publikum a výslovnost.

Snaž se. Dvě lekce zdarma na mém odkazu!
lis

Útlující oscilace

Volné oscilace v reálných podmínkách nemohou pokračovat navždy. Pro mechanické systémy se vždy koná střední odolnost, v důsledku toho je energie pohybu objektu rozptýlena třením. V elektromagnetických obvodech jsou oscilace prdeli odolností vůči vodičům.

Rovnice rozpadajících se oscilací

Rovnice rozpadajících se oscilací popisuje pohyb reálných oscilačních systémů. V diferenciální podobě je napsán následovně:

Z tohoto výrazu můžete získat další kanonickou formu:

Zde X a t jsou souřadnice prostoru a času a je počáteční amplitudou. - koeficient útlumu, který závisí na odolnosti média R a hmotnosti oscilačního objektu M:

Čím větší je odolnost média, tím více energie rozptýlí při viskózním tření. A naopak - čím větší je hmotnost (a proto setrvačnost) těla, tím déle bude i nadále pohybovat.

Cyklická frekvence volných oscilací (stejný systém, ale bez tření) bere v úvahu sílu pružnosti v systému (například tuhost pružiny k):

Přísně řečeno, v případě mizení oscilací je nemožné mluvit o této době - \u200b\u200bčas mezi opakovanými pohyby systému neustále roste. Pokud však oscilace pomalu zmizí, je možné pro ně určit dostatečnou přesností. T:

Cyklická frekvence tekoucí oscilace

Další charakteristika rozprašovacích oscilací - cyklická frekvence:

Relaxační čas je koeficient, který ukazuje, kdy se amplituda oscilací sníží v každém okamžiku:

Poměr amplitudy změny hodnoty ve dvou po sobě jdoucích obdobích se nazývá snížení útlumu:

Stejná charakteristika během výpočtů je často reprezentována jako logaritmus:

Kvalita Q charakterizuje, jak moc je síla systému vyšší než pevnost středního odporu, zabraňuje rozptýlení energie:

Příklady řešení problémů

Příklad 1.

Úkol	Po nákladu Ještědl na pružinu natáhl na 9,8 cm. Jarní se pohybuje ve svislém směru ,. Určovat období oscilací.
Rozhodnutí	Vzhledem k tomu, že pružina je natažena pod váze, síly gravitace působí na něj: Pevnost gravitace je proti výkonu pružnosti pružiny: Ze dvou výrazů najdeme koeficient pružnosti: Koeficient pružnosti nahrazujeme ve vzorci pro období rozprašování oscilací: S vědomím, že logaritmický snížení útlumu vyjadřuje neznámou hodnotu z ní, nahrazujeme denominátor vzorce a vyjadřujeme ji:
Odpovědět

V reálných oscilačních systémech, s výjimkou kvazi-rukou síly, existuje konzistence média. Přítomnost třecích sil vede k rozptylu (rozptylování) energie a snížení amplitudy oscilací. Zpomalení pohybu, třecí silou zvyšuje období, tj. Snižuje frekvenci oscilací. Takové oscilace nebudou harmonické.

Oscilace s neustále klesajícími v časově amplitudě v důsledku rozptylu energie se nazývají pokus o pokus . S dostatečně nízkými otáčkami je třecí síly úměrná rychlosti těla a směřuje proti pohybu

kde R - koeficient tření v závislosti na vlastnostech média, formy a velikostí pohyblivého tělesa. Diferenciální rovnice rozpadajících se oscilací v přítomnosti třecích sil:

nebo
(21)

kde
- koeficient útlumu,

- Vlastní kruhová frekvence volných oscilací v nepřítomnosti třecích sil.

Obecné řešení rovnice (21) v případě malého útlumu (
) je:

Liší se od harmonického (8) v tom, že amplituda oscilací:

(23)

je klesající časová funkce a kruhová frekvence s vlastní frekvencí a součinitel útlumu podle poměru:

. (24)

Doba rozpadajících se oscilací je:

. (25)

Závislost posunutí x od utažených oscilací je uvedena na obr.4.

C. teplý pokles amplitudy je určen koeficientem útlumu .

Během
amplituda (23) snižuje v ≈ 2,72 krát. Tentokrát přirozený útlum je volán Čas na odpočinek. V důsledku toho je koeficient útlumu hodnotu, reverzní relaxační čas:

.(26)

Charakterizuje se rychlost snížení amplitudy oscilací logaritmický snížení útlumu. Nechť (t) a (t + t) jsou amplitudy dvou po sobě následujících oscilací odpovídající době času, která se liší po dobu jednoho období. Pak postoj:

(27)

volala zintenziveňkterý ukazuje, kolikrát je oscilační amplituda snížena během období rovnající se období. Přírodní logaritmus tohoto vztahu:

(28)

nazval logaritmický snížení útlumu. Zde, n e je počet oscilací spáchaných během redukce amplitudy v době, tj. Během relaxace.

Logaritmický snížení útlumu je tedy hodnota, inverzní počet oscilací, po kterém se amplituda oscilací sníží v čase.

Sazba snižování energie oscilačního systému se vyznačuje Q. Q. Kvalita oscilačního systému- hodnota je úměrná poměru celkové energie E (t) oscilačního systému na energii (- E) ztracené pro období t:

(29)

Celková energie oscilačního systému v libovolném okamžiku času a s jakýmkoliv významem X má formu:

(30)

Vzhledem k tomu, že energie je úměrná čtverci amplitudy, energie rozpadajících se oscilací se snižuje v poměru k velikosti
, Můžeš psát:

. (31)

Podle definice se podívá výraz dobrovolnosti oscilačního systému:

To bere v úvahu, že s malými úhlemi (1): 1-E -2   \u200b\u200b2.

V důsledku toho je kvalita úměrná počtu oscilací n E, prováděné systémem během relaxace.

Dobrovolné vibračních systémů se může značně lišit, například kvalitu fyzikálního kyvadla Q ~ 102 a napětí atomu, což je také oscilační systém, dosahuje ~ 10 8.

Závěrem si všimneme, že s koeficientem útlumu β \u003d Ω 0 se období stane nekonečným t \u003d ∞ (kritický útlum). S dalším nárůstem β se období t stává imaginárním a útlum pohybu se vyskytuje bez oscilací, jak říkají, že je to naznačeně. Tento pohyb je znázorněn na obr.5. Kritický útlum (zklidnění) se vyskytuje v minimálním čase a je důležitý v měřicích přístrojech, například v balistických galvanometrech .

V NucenýOscilace A rezonance

Pokud elastická síla F Y \u003d -KX, tření síly působí na těle s hmotností m
a vnější periodická síla
Pak to dělá nucené oscilace. V tomto případě má diferenciální rovnici pohybu formulář:

kde
,
- koeficient útlumu,
- Vlastní frekvence volných non-pulzující oscilací tělesa, F 0 - amplituda, ω - frekvence periodické síly.

V počátečním čase, práce vnější síly přesahuje energii, která je spotřebována pro tření (obr. 6). Energie a amplituda výkyvů těla se zvýší, dokud nebude hlášena celá energie plně vynakládána na překonávající tření, což je úměrné rychlosti. Je tedy stanovena rovnováha, ve kterém je množství kinetické a potenciální energie je konstantní. Tato podmínka charakterizuje stacionární stav systému.

V tomto stavu bude pohyb těla harmonický s frekvencí rovnou frekvenci vnějšího excitace, ale v důsledku setrvačnosti těla jeho oscilací bude posunuta ve vztahu k okamžité hodnotě vnější periodické síly:

X \u003d ASOS (ωt + φ). (34)

Na rozdíl od volných oscilací amplitudy A a fáze  nucených oscilací závisí na počátečních podmínkách pohybu, ale budou určeny pouze vlastnostmi oscilačního systému, amplitudou a frekvencí nutící síly:

, (35)

. (36)

Je vidět, že amplituda a fázový posun závisí na frekvenci síly (obr. 7, 8).

Charakteristickým znakem nucených oscilací je přítomnost rezonance. Jev prudký nárůst amplitudy nucených oscilací, když frekvence nucené síly k vlastní frekvenci volných nešťastných oscilací tělesa ω 0 se nazývá mechanická rezonance . Amplituda tělesných fluktuace s rezonanční frekvencí
dosahuje maximální hodnoty:

(37)

Pokud jde o rezonanční křivky (viz obr. 7), proveďte následující poznámky. Pokud Ω → 0, pak všechny křivky (viz také (35)) přišroubují stejné, jiné než nula, maximální hodnota
tzv statistická odchylka. Pokud Ω → ∞, pak všechny křivky asymptoticky bývají nulu.

Pod podmínkou malého útlumu (β 2 \u003c\u003c\u003c 0 2) rezonanční amplituda (viz (37))

(37a)

Současně vezmeme poměr rezonančního vysídlení ke statické odchylce:

z jaké lze vidět, že relativní zvýšení amplitudy oscilací během rezonance je určeno kvalitou oscilujícího systému. Zde kvalita je ve skutečnosti míra získávání odpovědi
systémy a s nízkým útlumem mohou dosáhnout velkých hodnot.

Tato okolnost určuje enormní význam rezonančního fenoménu ve fyzice a technologii. Používá se, pokud chtějí zvýšit oscilace, například v akustice - zvýšit zvuk hudebních nástrojů v rádiovém inženýrství - zvýraznit požadovaný signál z množství jiné různé frekvence. Pokud může být rezonance použita k nežádoucímu růstu oscilací, použijte systém s nízkou kvalitou.

Související oscilace

Zdrojem vnějšího periodické síly může být druhý oscilační systém, elasticky spojen s prvními. Oba oscilační systémy mohou jednat samostatně na druhé straně. Například případ dvou připojených kyvadel (obr. 9).

Systém může provádět jak simfázou (obr. 9b) a antifázu (obr. 9c) oscilace. Takové oscilace se nazývají normální typ nebo normální oscilační moda a jsou charakterizovány vlastní normální frekvencí. S syfase oscilací posunutí kyvadel po celou dobu času x 1 \u003d x 2, a frekvence ω 1 je přesně stejná jako frekvence jednoho kyvadla
. To je vysvětleno tím, že lehká pružina je ve volném stavu a nemá žádný vliv na pohyb. V antifázech oscilací po celou dobu času - x 1 \u003d x 2. Frekvence takových oscilací je větší a stejná
Vzhledem k tomu, že pružina má tuhost a komunikující, po celou dobu je v natažené, pak ve stlačeném stavu.

L.
bohatý stav našeho propojeného systému, včetně počátečního vysídlení X (obr. 9a), může být reprezentován jako superpozice dvou normálních režimů:

Pokud systém přivedete k pohybu z počátečního stavu X 1 \u003d 0,
, X 2 \u003d 2a,
,

posunutí kyvadla budou popsány výrazy:

Na Obr. 10 ukazuje změnu vysídlení jednotlivých peterů v čase.

Frekvence kyvadlových oscilací se rovná průměrné frekvenci dvou normálních režimů:

, (39)

a jejich amplituda se liší podle zákona sinusu nebo kužel s nižší frekvencí rovnou polovině rozdílového rozdílu normálních režimů:

. (40)

Pomalá změna amplitudy s frekvencí rovnou polovině rozdílového rozdílu normálních režimů, se nazývá “ biodies. ” Dvě oscilace s téměř identickými frekvencemi. Frekvence "beats" se rovná rozdílu ω 1 -Ω 2 frekvency, (a ne polovina tohoto rozdílu), protože maximum amplitudy 2a se dosáhne dvakrát za období odpovídající frekvenci

Odtud se ukazuje období úderů, aby se rovná:

(41)

S úderem mezi kyvadly, energie je splněna. Úplná výměna energie je však možné pouze tehdy, když oba masy jsou stejné a poměr (ω 1 + Ω 2 / Ω 1 -Ω 2) se rovná celému číslu. Je třeba poznamenat, že jeden důležitý bod: Ačkoli individuální peters mohou vyměňovat energii, neexistuje výměna energie mezi normálními režimy.

Přítomnost takových kolísavých systémů, které mezi sebou vzájemně ovlivňují a je schopna předávat svou energii navzájem tvořit základ pohybu vlny.

Oscilující materiál těleso, umístěné v elastickém médiu, provádí a vede k oscilačnímu pohybu sousedícímu s IT částic média. Vzhledem k přítomnosti elastických vazeb mezi kmitavami oscilace je rychlostní charakteristika tohoto média distribuována v celém médiu.

Proces distribuce oscilací v elastickém médiu se nazývá mávat .

Existují dva hlavní typy vln: podélný a příčný. V podélných vlnách Střední částice kolísají podél směru šíření vlny a v průřezu - kolmo ke směru šíření vln. Ne v elastickém médiu je možné šířit příčnou vlnu. Příčná elastická vlna je možná pouze v takových prostředích, ve kterých došlo k elastické deformaci posunu. Například pouze podélné elastické vlny (zvuk) jsou distribuovány v plynech a kapalinách.

Geometrické umístění bodů média, ke kterému včas přišlo včas, zavolalo přední část vlny . Přední část vlny odděluje část prostoru, který je již zapojen do vlnového procesu, z oblasti, ve které dosud nevznikly oscilace. V závislosti na formě přední strany jsou vlny ploché, sférické, válcové, atd.

Rovnice ploché vlny rozmnožování bez ztrát v homogenním médiu má formu:
, (42)

kde ξ (x, t) je posunutí částic média s souřadnicem x z rovnovážné polohy v době t, a-amplitudy,
- fázová vlna,
- Kruhová frekvence středních částic, rychlost šíření vln.

Vlnová délka λ To se nazývá vzdálenost mezi body, oscilujícím s fázovým rozdílu 2π, jinými slovy, vlnová délka se nazývá dráhou, procházející jakoukoliv fází vlny v jednom období oscilací:

fázová rychlost, tj Míra propagace této fáze:

λ / t (44)

Číslo vlny - počet vlnových délek naskládaných na délce 2π jednotek:

k \u003d ω / v \u003d 2π / λ. (45)

Nahrazení těchto označení v (42), rovnice plochého běhu monochromatická vlnalze reprezentovat jako:

(46)

Všimněte si, že vlnová rovnice (46) detekuje dvojí frekvenci podél souřadnic a času. Opravdu, oscilační fáze se shodují se změnou souřadnice na λ a kdy se časové změny pro období T. Proto je nemožné zobrazovat graficky vlnu v rovině. Čas t je často pevný a závislost posunutí ξ na souřadnici x, tj. Okamžitá distribuce posunutí částic média podél směru propagace vlny (obr. 11). Fázový rozdíl Δφ oscilací středních bodů závisí na vzdálenosti Δh \u003d x 2 - x 1 mezi těmito body:

(47)

Pokud vlna šíří opačný směr X, rovnice zadní vlny je zaznamenána jako:

ξ (x, t) \u003d asos (ωt + kx). (48)

Stojící vlny jsou výsledkem zvláštního typu interference vlny. Jsou tvořeny, když se překrývají dva běžecké vlny na sebe navzájem se stejnými frekvencemi a amplitudami.

Rovnice dvou plochých vln šířených podél osy X v opačných směrech jsou:

ξ 1 \u003d asos (ωt - kx)

2 \u003d ASOS (ΩT + KX). (49)

Skládání těchto rovnic vzorce kosinového množství a s ohledem na to, že k \u003d 2π / λ získáme rovnici stálé vlny:

. (50)

Faktor COS ωt ukazuje, že v bodech média existuje oscilace stejné frekvence Ω s amplitudou
v závislosti na souřadnicích pozorovaných bodů. V prostředích, kde:
, (51)

amplituda oscilací dosahuje maximální hodnoty rovnou 2A. Tyto body se nazývají poams..

Z výrazu (51) můžete najít souřadnice pokut:
(52)

V bodech, kde. \\ t
(53) Amplituda oscilací se odvolává na nulu. Tyto body se nazývají uzlů.

Souřadnice uzlů:
. (54)

R. zajištění mezi přilehlými paprsky a sousedními uzly jsou stejné a rovné λ / 2. Vzdálenost mezi uzlem a přilehlým bobukem je λ / 4. Při pohybu přes uzel, multiplikátor
změní znaménko, takže oscilační fáze na různých stranách uzlu se liší na π, tj. Points ležící po různých stranách uzlu kolísají v antifázu. Body uzavřené mezi dvěma přilehlými uzly kolísají s různými amplitudami, ale se stejnými fázemi.

Distribuce uzlů a beatships ve stálé vlně závisí na podmínkách, které se vyskytují na okraji sekce obou prostředích, ze které se odrazí odraz. Pokud odraz vlny pochází ze střední hustší, pak oscilační fáze na místě odrazu vln se změní na opačné nebo, jak se říká, polovina vlna je ztracena. Proto v důsledku přidání oscilací opačných směrů je posunutí na hranici nula, tj. K dispozici je uzel (obr. 12). Podrazem z odrazu vlny z hranice méně hustého média zůstává oscilační fáze v odrazovém místě beze změny a hranice jsou výkyvy se stejnými fázemi - to ukazuje pittál.

Ve stojaté vlně není žádný pohyb fází, neexistuje žádná šíření vlny, neexistuje žádný přenos energie, se kterým je připojen název tohoto typu vln.

Všeobecné

Oscilacejsou nazývány pohyby nebo procesy, které jsou charakterizovány určitou opakovatelností v čase. Oscilace se nazývají volný, uvolnitPokud se provádí v důsledku původně hlášené energie s následnou nepřítomností vnějších vlivů na oscilačním systému. Nejjednodušší typ oscilací jsou harmonické oscilace - oscilace, ve kterých oscilační hodnota se v čase v závislosti na zákonu sinus nebo kosinem.

Diferenciální rovnice harmonických oscilací má formulář:

kde - oscilační hodnota - cyklická frekvence.

- Řešení této rovnice. Zde - amplituda, - počáteční fáze.

Fázové oscilace.

Amplituda je maximální hodnota oscilační hodnoty.

Doba oscilací je doba, po kterou nastane opakování pohybu těla. Oscilace fáze pro období přijímá přírůstek. . - počet oscilací.

Frekvence oscilací - počet plných oscilací na jednotku času. . . Měřeno v Hertz (Hz).

Cyklická frekvence - počet oscilací prováděných v sekundách. . Jednotka měření .

Fázové oscilace - hodnota pod náznakem kosininu a charakterizující stav oscilace kdykoliv.

Počáteční fáze je fáze oscilace v počátečním okamžiku času. Fáze a počáteční fáze se měří v radiánech ().

Volné plovoucí oscilace- Osciláty, jejichž amplituda v důsledku energetických ztrát se skutečným oscilantním systémem v čase se snižuje. Nejjednodušší mechanismus pro snížení oscilace energie je jeho přeměna na teplo v důsledku tření v mechanických oscilačních systémech, jakož i ohmických ztrát a emisí elektromagnetické energie v elektrických oscilačních systémech.

- logaritmický snížení útlumu.

Hodnota N e. - to je počet oscilací spáchaných během redukce amplitudy v e.čas. Logaritmický snížení útlumu je konstantní hodnota tohoto oscilačního systému.

Pro charakteristiky oscilačního systému používejte koncept dobroty Q.které na malých hodnotách logaritmického snižování se rovná

.

Kvalita je úměrná počtu oscilací prováděných systémem během relaxace.

Definování koeficientu tření pomocí nakloněného kyvadla

Teoretické zdůvodnění metodiky pro stanovení koeficientu

Šikmý kyvadlo je koule zavěšená na dlouhé nitě a ležící na nakloněné rovině.

Pokud je míč odstraněn z rovnovážné polohy (osa) Oo. 1) v úhlu A, a pak uvolněte, pak budou oscilace kyvadla. V tomto případě bude míč jezdit na nakloněné rovině v blízkosti rovnovážné polohy (obr. 1, A). Mezi míčem a nakloněnou rovinou bude činit valivé tření. V důsledku toho budou kyvadlové oscilace postupně vybledlé, to znamená, že v době amplitudy oscilací bude pokles.

Lze předpokládat, že velikost útlumu oscilací může být stanovena třecí silou a koeficientem válcování tření.

Dodáváme vzorec, který váže snížení amplitudy oscilací s koeficientem valivého tření M. Zpívající míč na rovině třecí síly dělá práci. Tato práce snižuje plnou energii míče. Plná energie se skládá z kinetických a potenciálních energií. V těchto ustanoveních, kde je kyvadlo maximálně vychýleno na rovnovážné poloze, jeho rychlost, a v důsledku toho je kinetická energie nulová.

Tyto body se nazývají turné. V nich se kyvadlo zastaví, otočí se a pohybuje se zpět. V okamžiku otočení je energie kyvadla rovna potenciální energii, a proto pokles potenciální energie kyvadla, když se pohybuje z jednoho bodu otáčení na druhý, se rovná práci třecí síly na cestě mezi trubkou Otočte body.

Nech být ALE- bod otáčení (obr. 1, a). V této poloze je závit kyvadla úhel A s osou Oo. 1. Pokud neexistovaly žádné tření, pak po polovině období by kyvadlo by bylo v té době N.a úhel odchylka by byl roven A. Ale kvůli tření, míč nebude trochu padat do bodu N. a zastavit v místě V. Bude to nový bod otáčení. V tomto bodě je roh vlákna zosa Oo. 1 bude stejná. Více než polovina období se úhel otáčení kyvadla snížil. Směřovat Vnachází se poněkud nižší než ten bod ALE,a proto potenciální energie kyvadla v té době Vméně než v místě ALE.V důsledku toho se kyvadlo ztratilo výšku při pohybu z bodu ALEpřesně tak V.

Najdeme vztah mezi ztrátou úhlu a ztráty výšky. Chcete-li to udělat, Sprog Point A. a B. na ose Oo. 1 (viz obr. 1, a). Bude to bod A. 1 I. B. 1, resp. Samozřejmě, délka segmentu ALE 1 V 1

kde je délka závitu.

Od osy Oo. 1 nakloněna pod úhlem do vertikálního, projekce segmentu k svislé ose je ztráta výšky (obr. 1, b):

V tomto případě se změna potenciální energie kyvadla během přechodu z polohy A. v nařízení V stejně:

, (3)

kde m. - hmotnost míče;

g.- Zrychlení gravitace.

Vypočítáme práci třecí síly.

Třecí síla je určena vzorcem:

Cesta prošla míčem v polovině doby oscilace kyvadla se rovná délce oblouku B.:

.

Práce třecí síly na cestě:

Získá se tedy zohledňující rovnice (2), (3), (3)

. (6)

Výraz (6) je výrazně zjednodušen skutečností, že úhel je velmi malý (asi 10 -2 radiánů). Tak, . Ale. Proto.

Vzorec (6) tedy získává formulář:

,

. (7)

Z vzorce (7) lze vidět, že ztráta úhlu v polovině období je stanovena koeficientem třením m a úhlem A. Nicméně, můžete najít takové podmínky, ve kterých nezávisí na úhlu. Bereme v úvahu, že koeficient válcování je malý (asi 10 -3). Pokud uvažujeme dostatečně velké amplitudy oscilace kyvadla A, jako je například , pak lze nadaci v denominátoru vzorce (7) zanedbávat:

.

Na druhou stranu nechte úhel a bude malý, aby to bylo možné předpokládat. Poté ztráta úhlu v polovině oscilace bude stanovena vzorcem:

. (8)

Vzorec (8) je platný, pokud:

. (9)

Vzhledem k tomu, že M má řádek 10 -2, nerovnost (9) uspokojit úhly A řádu 10 -2 -10 -1 radiánů.

Během jedné úplné fluktuace bude ztráta úhlu:

,

a pro n. Oscilace - .

Vzorec (10) poskytuje pohodlný způsob, jak určit koeficient válcování tření. Je nutné měřit pokles úhlu DA N. Pro 10-15 spolu-Lebia, a pak vzorcem (10), vypočítat m.

Ve vzorci (10) je hodnota DA vyjádřena v radiánech. Pro použití hodnot DA ve stupních, vzorec (10) musí být upraven:

. (11)

Zjistěte fyzický význam koeficientu válcování. Zvážit první obecnější úkol. Míčová hmota m. A okamžik setrvačnosti I C.pokud jde o osu, která prochází středem hmotnosti, pohybuje se podél hladkého povrchu (obr. 2).

Obr. 2.

Do středu hmoty. C. Aplikovaná síla směřující podél osy vŮL. a být funkcí souřadnic x.. Z povrchu povrchu na těle je síla tření F. Tr. Nechte moment třecí síly vzhledem k ose procházející středem C. Mísa, havran. M. Tr.

Rovnice míče míče v tomto případě jsou:

; (12)

, (13)

kde - rychlost centů;

w - úhlová rychlost.

V rovnicích (12) a (13) čtyři neznámé: , w, F. Tred, M. Tr. . V obecném případě není úkol definován.

Předpokládejme, že:

1) Těleso válce bez sklouznutí. Pak:

kde R -poloměr míče;

2) Tělo a letadlo jsou naprosto tuhé, tj. Tělo není deformováno, ale vztahuje se k rovině v jednom bodě O(Bodový kontakt), pak mezi okamžikem třecí síly a síla tření je spojení:

. (15)

S ohledem na vzorce (14) a (15) z rovnic (12) a (13) získáme výraz pro třecí síly:

. (16)

Exprese (16) neobsahuje koeficient tření m, který je určen fyzikálními vlastnostmi kontaktních povrchů koule a roviny, jako je drsnost nebo typ materiálů, ze kterých se míč a rovina vyrobí. Tento výsledek je přímým důsledkem přijaté idealizace, která se odráží dluhopisy (14) a (15). Kromě toho je snadné ukázat, že v přijatém modelu nefunguje třecí silou. Skutečně násobit rovnice (12) a rovnice (13) - na w. Vezmeme-li v úvahu, že

a

a skládací výrazy (12) a (13), dostaneme

kde W.(x.) - Potenciální energie míče v oblasti síly F.(x.). By to mělo zvážit

Pokud bereme v úvahu vzorec (14) a (15), je na nulu aplikována pravá strana rovnosti (17). V levé části rovnosti (17) existuje časový derivát z celkové energie systému, který se skládá z kinetické energie tranzitu míče , kinetická energie rotačního pohybu a potenciální energie W.(h.). To znamená, že celková energie systému je konstantní hodnota, tj. Třecí síly nečiní práci.

Je zřejmé, že tento poněkud podivný výsledek je také důsledkem přijaté idealizace. To naznačuje, že přijatá idealizace nereaguje na fyzickou realitu. Ve skutečnosti, v procesu pohybu, míč interaguje s rovinou, takže jeho mechanická energie by se měla snížit, což znamená, že vazby (14) a (15) mohou být správné pouze co nejvíce, jak zanedbávat rozptyl energie.

Je naprosto jasné, že v tomto případě je nemožné přijmout takovou idealizaci, protože naším cílem je určit koeficient tření změnit energii kyvadla. Proto budeme zvažovat spravedlivý předpoklad o absolutní ztuhlosti míče a povrchu, a proto spravedlivé spojení (15). Odmítneme však předpokládat, že míč se pohybuje bez sklouznutí. Předpokládáme, že existuje slabý sklouznutí.

Nechte rychlost dotečných bodů (na obr. 2 bod O) míče (rychlost skluzu):

. (19)

Poté, nahrazení v rovnici (17) a vzhledem k podmínkám (15) a (20), do rovnice:

, (21)

od kterého je vidět, že rychlost odtržení energie se rovná sílu třecí síly. Výsledek je poměrně přirozený, protože Tělo se sklouzne přes povrch rychlostí a,národ je síla tření, která provádí práci, v důsledku toho snižuje celková energie systému.

Provádění diferenciace v rovnici (21) a vzhledem k vztahu (18) získáme rovnici pohybu středu hmotnosti hmotnosti míče:

. (22)

Je podobné hmotnému bodu pohybu hmotného bodu:

, (23)

pod působením vnější síly F. a kolejová třecí síly:

.

A F. Tr - obvyklá pevnost tření síla. V důsledku toho, když válcování míče, účinná třecí silou, která se nazývá pevnost válcovacího tření, je prostě obvyklá posuvná třecí silou násobená poměrem rychlosti uklouznutí na rychlost těla tělesného hmotnosti. V praxi je případ často pozorován, když síly valivé třecí síly nezávisí na tělové rychlosti.

Zřejmě v tomto případě rychlost sklouznutí aÚměrné rychlosti těla:

Všechny skutečné oscilační systémy jsou rozptýlené. Energie mechanických oscilací systému v čase je vynaložena na práci proti třecím silám, takže jeho vlastní oscilace vždy vyblednou - jejich amplituda postupně klesá. Ztráta energie dochází během deformacím orgánů, protože docela elastická těla neexistují, a deformace nejsou zcela elastická tělesa doprovázena částečným přechodem mechanické energie do energie chaotického tepelného pohybu částic těchto těles.

V mnoha případech, v první aproximaci, lze předpokládat, že při nízkých rychlostech výkonu, což způsobuje útlum mechanických oscilací úměrné rychlosti. Zavoláme tyto síly bez ohledu na jejich původ, síly tření nebo odolnosti a vypočítáme je podle následujícího vzorce :. Zde R je koeficient střední odolnosti - rychlost těla. Značka mínus ukazuje, že třecí síly jsou vždy směrovány k opačnému směru pohybu těla.

Píšeme rovnici druhého zákona Newtonu pro mizející rovné výkyvy na jaře kyvadla

Zde: M - hmotnost nákladu, K je tuhost pružiny, - projekce rychlosti na ose OH, - projekce zrychlení na ose OH. Vydělujeme obě části rovnice (13) na hmotnost m a přepište ji ve formě:

. (14)

Zavedeme notaci:

, (15)

. (16)

Říkáme koeficient útlumu a my jsme byli dříve nazýváni naší vlastní cyklickou frekvencí. S ohledem na zavedené označení (15 a 16) bude zaznamenána rovnice (14)

. (17)

Jedná se o diferenciální rovnici rozpadajících se oscilací jakékoli povahy. Forma řešení této lineární diferenciální rovnice druhého řádu závisí na vztahu mezi hodnotou zvyšující se frekvence ne-vibračních kmitání a koeficientu útlumu.

Pokud je tření velmi velké (v tomto případě), systém odvozený od rovnovážné polohy se vrátí bez výroby oscilací ("procházení"). Takový pohyb (křivka 2 na obr. 3) se nazývá aperiodická.

Pokud je v počátečním okamžiku, systém s velkým třením je v rovnovážné poloze a je uveden na určitou počáteční rychlost, systém dosáhne největší odchylky od rovnovážné polohy, zarážky a poté, co posunutí asymptoticky bývá nule (obr. 4) ).

Obr.3 Obr.4.

Pokud je systém odstraněn z rovnovážné polohy, opatřeného a uvolněným bez počáteční rychlosti, systém také neprochází rovnovážnou polohu. V tomto případě se však doba praktické aproximace ukáže být menší než v případě velkých tření (křivka 1 na obr. 3). Tento režim se nazývá kritický a k tomu má tendenci používat různé měřicí přístroje (pro rychlý odkaz na čtení).

při nízkém tření (v tomto případě) je pohyb oscilační v přírodě (obr. 5) a roztok rovnice (17) má formu:

(19)

popisuje změnu amplitudy mizení oscilacís časem. Amplituda rozpadajících se oscilací se v průběhu času snižuje (obr. 5) a tím rychleji, tím větší je koeficient odporu a menší hmotnost kolísavého tělesa, to znamená, tím menší je inertnost systému.

Obr.5.

Velikost

volal cyklickou frekvenci rozpadajících se oscilací. Proudové oscilace jsou neperiodické oscilace, protože se nikdy neopakují, například maximální posunutí, rychlost a zrychlení. Proto je možné volat frekvenci pouze podmíněně v tom smyslu, že ukazuje, kolikrát se druhý kolísající systém prochází rovnovážnou polohou. Ze stejného důvodu, množství

(21)

lze říci podmíněné období rozprašovacích oscilací.

Chcete-li charakterizovat útlum, zavádíme následující hodnoty:

Snížení logaritmického útlumu;

Čas na odpočinek;

Kvalitní.

Poměr dvou po sobě jdoucích posunů oddělených v čase o jedno období zvané zintenziveň.

Logaritmický snížení útlumupřírodní logaritmus poměru hodnot amplitudy rozpadajících se oscilací v době t a t + t (přírodní logaritmus je poměr dvou po sobě jdoucích posunů oddělených v čase o jedno období):

Od té doby .

Používáme vzorec pro závislost amplitudy času (19) a dostanete

Zjistěte fyzický význam množství a. Označují časem, pro kterou se amplituda mizejících oscilací sníží v době a pojďme to nazvat Čas na odpočinek. Pak . Proto to vyplývá