Tesseract a n-rozměrné kostky obecně. Cybercube - první krok do čtyřrozměrného gif krychle čtvrté dimenze

V geometrii hyperkrychle- Tento n-rozměrná analogie čtverce ( n= 2) a kostka ( n= 3). Jedná se o uzavřený konvexní obrazec sestávající ze skupin rovnoběžných čar umístěných na protilehlých okrajích obrazce a vzájemně spojených v pravém úhlu.

Toto číslo je také známé jako tesseract(tesseract). Tesseract je ke krychli stejně jako krychle ke čtverci. Formálněji lze tesseract popsat jako pravidelný konvexní čtyřrozměrný polytop (polytop), jehož hranice se skládá z osmi krychlových buněk.

Podle Oxford English Dictionary bylo slovo „tesseract“ vytvořeno v roce 1888 Charlesem Howardem Hintonem a použito ve své knize A New Era of Thought. Slovo bylo vytvořeno z řeckého "τεσσερες ακτινες" ("čtyři paprsky"), je ve formě čtyř souřadnicových os. Kromě toho se v některých zdrojích nazýval stejný údaj tetracube(tetracube).

n-rozměrná hyperkrychle se také nazývá n-krychle.

Bod je hyperkrychle o rozměru 0. Pokud posunete bod o jednotku délky, dostanete segment o jednotkové délce - hyperkrychli o rozměru 1. Dále, pokud posunete segment o jednotku délky ve směru kolmém do směru segmentu, dostanete krychli - hyperkrychli rozměru 2. Posunutí čtverce o jednotku délky ve směru kolmo k roviněčtverec, ukáže se krychle - hyperkrychle o rozměru 3. Tento proces lze zobecnit na libovolný počet rozměrů. Pokud například posunete krychli o jednotku délky ve čtvrté dimenzi, získáte tesseract.

Rodina hyperkrychlí je jedním z mála pravidelných mnohostěnů, které lze znázornit v jakékoli dimenzi.

Hypercube prvky

Dimenze hyperkrychle n má 2 n"strany" (jednorozměrná čára má 2 body; dvourozměrný čtverec - 4 strany; trojrozměrná krychle - 6 ploch; čtyřrozměrný tesseract - 8 buněk). Počet vrcholů (bodů) hyperkrychle je 2 n(například pro krychli - 2 3 vrcholy).

Množství m-rozměrné hyperkrychle na hranici n-krychle se rovná

Například na hranici hyperkrychle je 8 krychlí, 24 čtverců, 32 hran a 16 vrcholů.

Prvky hyperkrychlí

n-krychle	název	Vrchol (0 obličeje)	Okraj (1 obličej)	okraj (2 tváře)	Buňka (3 tváře)	(4 tváře)	(5 tváří)	(6 obličejů)	(7 obličejů)	(8 obličejů)
0-kostka	Tečka	1
1-kostka	Úsečka	2	1
2-kostka	Náměstí	4	4	1
3-kostka	Krychle	8	12	6	1
4-kostka	tesseract	16	32	24	8	1
5-kostka	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kostka	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kostka	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kostka	Octeraact	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kostka	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Rovinná projekce

Vznik hyperkrychle lze znázornit následujícím způsobem:

• Dva body A a B lze spojit a vytvořit úsečku AB.
• Dva paralelní segmenty AB a CD lze spojit do čtverce ABCD.
• Dva rovnoběžné čtverce ABCD a EFGH lze spojit a vytvořit krychli ABCDEFGH.
• Dvě paralelní krychle ABCDEFGH a IJKLMNOP mohou být spojeny do hyperkrychle ABCDEFGHIJKLMNOP.

Posledně jmenovanou strukturu není snadné si představit, ale je možné zobrazit její projekci do dvou nebo tří rozměrů. Navíc projekce do 2D roviny mohou být užitečnější tím, že přeuspořádáme pozice promítaných vrcholů. V tomto případě lze získat obrázky, které již neodrážejí prostorové vztahy prvků v tesseractu, ale ilustrují strukturu vrcholových spojení, jako v příkladech níže.

První ilustrace ukazuje, jak v principu vzniká tesseract spojením dvou krychlí. Toto schéma je podobné schématu pro vytvoření krychle ze dvou čtverců. Druhý diagram ukazuje, že všechny hrany tesseractu mají stejnou délku. Toto schéma je také nuceno hledat krychle navzájem spojené. Ve třetím diagramu jsou vrcholy tesseractu umístěny v souladu se vzdálenostmi podél ploch vzhledem ke spodnímu bodu. Toto schéma je zajímavé tím, že se používá jako základní schéma pro síťovou topologii spojování procesorů při organizování paralelních výpočtů: vzdálenost mezi libovolnými dvěma uzly nepřesahuje 4 délky hran a existuje mnoho různých způsobů, jak vyrovnat zátěž.

Hypercube v umění

Hyperkrychle se objevuje ve sci-fi od roku 1940, kdy Robert Heinlein v příběhu "The House That Teal Built" ("A on postavil Crooked House") popsal dům postavený ve tvaru tesseractu. V příběhu, tento Dále, je tento dům složen a proměněn ve čtyřrozměrný tesseract. Poté se hyperkrychle objevuje v mnoha knihách a románech.

Cube 2: Hypercube je o osmi lidech uvězněných v síti hyperkrychlí.

Obraz Ukřižování (Corpus Hypercubus), 1954 od Salvadora Dalího zobrazuje Ježíše ukřižovaného na skenu tesseractu. Tento obraz je k vidění v Muzeu umění (Metropolitan Museum of Art) v New Yorku.

Závěr

Hyperkrychle je jedním z nejjednodušších čtyřrozměrných objektů, na jehož příkladu můžete vidět veškerou složitost a neobvyklost čtvrtý rozměr. A co vypadá jako nemožné ve třech rozměrech, je možné ve čtyřech, například nemožných figurách. Takže například tyče nemožného trojúhelníku ve čtyřech rozměrech budou spojeny v pravém úhlu. A tento obrázek bude vypadat takto ze všech úhlů pohledu a nebude zkreslený, na rozdíl od implementací nemožného trojúhelníku v trojrozměrném prostoru (viz obr.

Pokud se vám stala neobvyklá příhoda, viděli jste podivné stvoření nebo nepochopitelný úkaz, měli jste neobvyklý sen, viděli jste UFO na obloze nebo se stali obětí mimozemského únosu, můžete nám poslat svůj příběh a bude zveřejněn na našem webu ===> .

Učení o vícerozměrné prostory se začaly objevovat v polovině 19. století. nápad čtyřrozměrný prostor sci-fi vypůjčené od vědců. Ve svých dílech vyprávěli světu o úžasných zázracích čtvrté dimenze.

Hrdinové svých děl, využívající vlastnosti čtyřrozměrného prostoru, mohli sníst obsah vejce bez poškození skořápky, vypít nápoj, aniž by otevřeli korek láhve. Únosci získali poklad z trezoru přes čtvrtou dimenzi. Chirurgové prováděli operace vnitřní orgány bez řezání tkáně těla pacienta.

tesseract

V geometrii je hyperkrychle n-rozměrnou analogií čtverce (n = 2) a krychle (n = 3). Čtyřrozměrný analog naší obvyklé trojrozměrné krychle je známý jako tesseract. Tesseract je ke krychli stejně jako krychle ke čtverci. Formálněji lze tesseract popsat jako pravidelný konvexní čtyřrozměrný mnohostěn, jehož hranice se skládá z osmi krychlových buněk.

Každý pár nerovnoběžných 3D ploch se protne a vytvoří 2D plochy (čtverce) a tak dále. Nakonec má tesseract 8 3D ploch, 24 2D, 32 hran a 16 vrcholů.
Mimochodem, podle Oxfordského slovníku slovo tesseract vymyslel a použil v roce 1888 Charles Howard Hinton (1853-1907) ve své knize A New Age of Thought. Později někteří lidé nazývali stejný obrazec tetracube (řecky tetra - čtyři) - čtyřrozměrná krychle.

Konstrukce a popis

Zkusme si představit, jak bude hyperkrychle vypadat, aniž bychom opustili trojrozměrný prostor.
V jednorozměrném "prostoru" - na přímce - vybereme úsečku AB délky L. Na dvourozměrné rovině ve vzdálenosti L od AB nakreslíme úsečku DC rovnoběžně s ní a spojíme jejich konce. Získáte čtvercový CDBA. Opakováním této operace s rovinou dostaneme trojrozměrnou krychli CDBAGHFE. A posunutím krychle ve čtvrtém rozměru (kolmo na první tři) o vzdálenost L dostaneme hyperkrychli CDBAGHFEKLJIOPNM.

Podobně můžeme pokračovat v úvahách pro hyperkrychle více rozměrů, ale mnohem zajímavější je vidět, jak bude čtyřrozměrná hyperkrychle vypadat pro nás, obyvatele trojrozměrného prostoru.

Vezmeme drátěnou kostku ABCDHEFG a podíváme se na ni jedním okem ze strany obličeje. Uvidíme a můžeme nakreslit dva čtverce na rovinu (její blízké a vzdálené plochy), spojené čtyřmi čarami - bočními hranami. Podobně čtyřrozměrná hyperkrychle v trojrozměrném prostoru bude vypadat jako dvě krychlové „krabice“ vložené do sebe a spojené osmi hranami. V tomto případě se do "nášho" prostoru promítnou samotné "krabice" - trojrozměrné tváře a spojující čáry se protáhnou ve směru čtvrté osy. Můžete si také zkusit představit krychli nikoli v projekci, ale v prostorovém obrázku.

Stejně jako je trojrozměrná krychle tvořena čtvercem posunutým o délku plochy, krychle posunutá do čtvrtého rozměru vytvoří hyperkrychli. Je omezena osmi kostkami, které budou v budoucnu vypadat jako nějaká poměrně složitá figurka. Samotnou čtyřrozměrnou hyperkrychli lze rozdělit na nekonečný počet krychlí, stejně jako lze trojrozměrnou krychli „rozřezat“ na nekonečný počet plochých čtverců.

Rozřezáním šesti ploch trojrozměrné krychle ji lze rozložit na plochá postava- zametání. Bude mít čtverec na každé straně původního obličeje plus jeden další - obličej proti němu. Trojrozměrný vývoj čtyřrozměrné hyperkrychle se bude skládat z původní krychle, šesti krychlí, které z ní „vyrostou“, plus jedné další – finální „hyperface“.

Hypercube v umění

Tesseract je natolik zajímavá postava, že opakovaně přitahuje pozornost spisovatelů a filmařů.
Robert E. Heinlein se o hyperkrychlích několikrát zmínil. V The House That Teal Built (1940) popsal dům postavený jako rozvinutí tesseractu, který se pak v důsledku zemětřesení „zformoval“ ve čtvrté dimenzi a stal se „skutečným“ tesseractem. V románu Glory Road od Heinleina je popsána hyperdimenzionální krabice, která byla zevnitř větší než zvenčí.

Příběh Henryho Kuttnera „All Borog's Tenals“ popisuje vzdělávací hračku pro děti z daleké budoucnosti, podobnou strukturou jako tesseract.

Děj hry Cube 2: Hypercube se soustředí na osm cizích lidí uvězněných v „hypercube“, neboli síti spojených kostek.

Paralelní svět

Matematické abstrakce oživily myšlenku existence paralelních světů. Jsou to reality, které existují současně s naší, ale nezávisle na ní. Paralelní svět může mít různé velikosti: od malé geografické oblasti až po celý vesmír. V paralelním světě se události odehrávají po svém, může se lišit od našeho světa, jak v jednotlivých detailech, tak téměř ve všem. Přitom fyzikální zákony paralelního světa nemusí být nutně podobné zákonům našeho Vesmíru.

Toto téma je úrodnou půdou pro spisovatele sci-fi.

Ukřižování na kříži od Salvadora Dalího zobrazuje tesseract. "Ukřižování nebo hyperkubické tělo" - obraz španělského umělce Salvadora Dalího, napsaný v roce 1954. Zobrazuje ukřižovaného Ježíše Krista na vývoji tesseractu. Obraz je uložen v Metropolitním muzeu umění v New Yorku.

Všechno to začalo v roce 1895, kdy HG Wells objevil existenci paralelních světů pro fantazii s příběhem "The Door in the Wall". V roce 1923 se Wells vrátil k myšlence paralelních světů a umístil do jednoho z nich utopickou zemi, kam míří postavy románu „People Are Like Gods“.

Román nezůstal bez povšimnutí. V roce 1926 se objevil příběh G. Denta „Císař země“ If „.“ V Dentově příběhu se poprvé objevila myšlenka, že by mohly existovat země (světy), jejichž historie by se mohla ubírat jinak než historie skutečných zemí A tyto světy nejsou o nic méně skutečné než naše.

V roce 1944 vydal Jorge Luis Borges ve své knize Fiktivní příběhy povídku „The Garden of Forking Paths“. Zde byla myšlenka větvení času konečně vyjádřena s maximální jasností.
Navzdory vzhledu výše uvedených děl se myšlenka multi-světa začala vážně rozvíjet ve sci-fi až na konci čtyřicátých let XX století, přibližně ve stejné době, kdy podobná myšlenka vznikla ve fyzice.

Jedním z průkopníků nového směru ve sci-fi byl John Bixby, který v příběhu „Jednosměrná ulice“ (1954) navrhl, že mezi světy se můžete pohybovat pouze jedním směrem – když jste přešli ze svého světa do paralelního, nevrátíte se, ale přesunete se z jednoho světa do druhého. Není však vyloučen ani návrat do vlastního světa – k tomu je nutné, aby byl systém světů uzavřen.

V románu Clifforda Simaka „Ring around the Sun“ (1982) jsou popsány četné planety Země, z nichž každá existuje ve svém vlastním světě, ale na stejné oběžné dráze, a tyto světy a tyto planety se od sebe liší pouze nepatrný (o mikrosekundu) posun v čase . Četné Země navštívené hrdinou románu tvoří jednotný systém světů.

Kuriózní pohled na větvení světů vyjádřil Alfred Bester v příběhu „Muž, který zabil Mohameda“ (1958). "Změnou minulosti," tvrdil hrdina příběhu, "změníte ji pouze pro sebe." Jinými slovy, po změně minulosti vzniká větev historie, ve které tato změna existuje pouze pro postavu, která změnu provedla.

V příběhu bratrů Strugackých „Pondělí začíná v sobotu“ (1962) jsou cesty postav do různé varianty budoucnost popsaná spisovateli sci-fi – na rozdíl od cest do různých verzí minulosti, které již ve sci-fi existovaly.

I prostý výčet všech děl, která se tématu paralelismu světů věnuje, by však zabral příliš mnoho času. A ačkoli autoři sci-fi zpravidla vědecky nepodkládají postulát multidimenzionality, v jedné věci mají pravdu – jde o hypotézu, která má právo na existenci.
Čtvrtá dimenze tesseractu na nás stále čeká na návštěvu.

Viktor Savinov

Hyperkrychle a platónská tělesa

Simulujte zkrácený dvacetistěn („fotbalový míč“) v systému „Vektor“
kde každý pětiúhelník je ohraničen šestiúhelníky

Zkrácený dvacetistěn lze získat řezáním 12 vrcholů s vytvořením tváří ve formě pravidelné pětiúhelníky. V tomto případě se počet vrcholů nového mnohostěnu zvětší 5krát (12 × 5 = 60), 20 trojúhelníkových ploch se změní na pravidelné šestiúhelníky (celkem obličeje se změní na 20+12=32), a počet hran se zvýší na 30+12×5=90.

Kroky pro konstrukci zkráceného dvacetistěnu v systému Vector

Postavy ve 4-rozměrném prostoru.

--à

--à ?

Například daná krychle a hyperkrychle. V hyperkrychli je 24 tváří. To znamená, že 4-rozměrný osmistěn bude mít 24 vrcholů. Ačkoli ne, hyperkrychle má 8 ploch krychlí - v každém středu je vrchol. To znamená, že 4-rozměrný osmistěn bude mít z toho 8 vrcholů jednodušších.

4-rozměrný osmistěn. Skládá se z osmi rovnostranných a stejných čtyřstěnů,
připojeny čtyři v každém vrcholu.

Rýže. Pokus o simulaci
hyperball-hypersphere v systému "Vector".

Přední - zadní strany - koule bez zkreslení. Dalších šest kuliček - lze specifikovat pomocí elipsoidů nebo kvadratických ploch (prostřednictvím 4 vrstevnic jako generátorů) nebo prostřednictvím ploch (nejprve definovaných pomocí generátorů).

Další triky, jak „postavit“ hypersféru
- stejný "fotbalový míč" ve 4-rozměrném prostoru

Příloha 2

Pro konvexní mnohostěny existuje vlastnost vztahující se k počtu jeho vrcholů, hran a ploch, dokázaná v roce 1752 Leonhardem Eulerem a nazývaná Eulerova věta.

Před jeho formulací zvažte nám známé mnohostěny a vyplňte následující tabulku, ve které B je počet vrcholů, P - hran a G - ploch daného mnohostěnu:

Název mnohostěnu
trojúhelníková pyramida
čtyřboká pyramida
trojboký hranol
čtyřboký hranol
n-uhelná pyramida	n+1	2n	n+1
n-uhlíkový hranol	2n	3n	n+2
n-uhlík zkrácený pyramida	2n	3n	n+2

Z této tabulky je přímo vidět, že pro všechny zvolené mnohostěny platí rovnost B - P + T = 2. Ukazuje se, že tato rovnost platí nejen pro tyto mnohostěny, ale i pro libovolný konvexní mnohostěn.

Eulerova věta. Pro jakýkoli konvexní mnohostěn platí rovnost

V – R + G \u003d 2,

kde B je počet vrcholů, P je počet hran a G je počet ploch daného mnohostěnu.

Důkaz. Pro důkaz této rovnosti si představte povrch daného mnohostěnu z elastického materiálu. Smažeme (vyřízneme) jednu jeho plochu a zbývající plochu natáhneme na rovinu. Získáme mnohoúhelník (tvořený hranami odstraněné plochy mnohostěnu), rozdělený na menší mnohoúhelníky (tvořené zbývajícími plochami mnohostěnu).

Všimněte si, že mnohoúhelníky lze deformovat, zvětšovat, zmenšovat nebo dokonce ohýbat jejich strany, pokud se strany nezlomí. Počet vrcholů, hran a ploch se nezmění.

Dokažme, že výsledné rozdělení mnohoúhelníku na menší mnohoúhelníky splňuje rovnost

(*) V - R + G "= 1,

kde v - celkový počet vrcholy, P je celkový počet hran a Г "je počet polygonů zahrnutých v oddílu. Je jasné, že Г" = Г - 1, kde Г je počet ploch daného mnohostěnu.

Dokažme, že rovnost (*) se nezmění, pokud nakreslíme úhlopříčku v některém mnohoúhelníku daného oddílu (obr. 5, a). Po nakreslení takové úhlopříčky bude mít nový oddíl B vrcholů, P + 1 hran a počet polygonů se zvýší o jeden. Proto máme

V - (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .

Pomocí této vlastnosti nakreslíme úhlopříčky rozdělující příchozí polygony na trojúhelníky a pro výsledné rozdělení ukážeme, že je splněna rovnost (*) (obr. 5, b). K tomu budeme důsledně odstraňovat vnější okraje, čímž snížíme počet trojúhelníků. V tomto případě jsou možné dva případy:

a) k odstranění trojúhelníku ABC v našem případě je nutné odstranit dvě žebra AB a před naším letopočtem;

b) k odstranění trojúhelníkuMKNv našem případě je nutné odstranit jednu hranuMN.

V obou případech se rovnost (*) nezmění. Například v prvním případě, po odstranění trojúhelníku, bude graf obsahovat B - 1 vrcholy, R - 2 hrany a G "- 1 polygon:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

Zvažte druhý případ sami.

Odstranění jednoho trojúhelníku tedy nezmění rovnost (*). Pokračujeme-li v tomto procesu odstraňování trojúhelníků, nakonec dojdeme k oddílu sestávajícímu z jediného trojúhelníku. Pro takový oddíl platí B \u003d 3, P \u003d 3, Г "= 1 a tedy B - Р + Г" = 1. Rovnost (*) tedy platí i pro původní oddíl, ze kterého nakonec získáme že pro daný polygonový oddíl platí rovnost (*). Pro původní konvexní mnohostěn tedy platí rovnost B - P + G = 2.

Příkladem mnohostěnu, pro který neplatí Eulerův vztah, je znázorněno na obrázku 6. Tento mnohostěn má 16 vrcholů, 32 hran a 16 ploch. Pro tento mnohostěn je tedy splněna rovnost B - P + G = 0.

Dodatek 3

Film Cube 2: Hypercube "(angl. Cube 2: Hypercube) - fantasy film, pokračování filmu" Cube ".

V místnostech ve tvaru krychle se probudí osm cizích lidí. Místnosti jsou uvnitř čtyřrozměrné hyperkrychle. Místnosti se neustále pohybují "kvantovou teleportací" a pokud vlezete do další místnosti, je nepravděpodobné, že se vrátíte do předchozí. protínají v hyperkrychli Paralelní světy, čas plyne v některých místnostech jinak a některé místnosti jsou smrtelné pasti.

Děj obrázku do značné míry opakuje příběh prvního dílu, což se odráží i v obrazech některých postav. V místnostech hyperkrychle umírá laureát Nobelovy ceny Rosenzweig, který vypočítal přesný čas zničení hyperkrychle.

Kritika

Jestliže se v prvním díle lidé uvěznění v labyrintu snažili jeden druhému pomáhat, v tomto filmu je to každý sám za sebe. Je tam spousta speciálních efektů navíc (jsou to také pasti), které logicky nespojují tuto část filmu s tou předchozí. To znamená, že se ukazuje, že film Cube 2 je jakýmsi labyrintem budoucnosti 2020-2030, ale ne 2000. V první části může teoreticky všechny typy pastí vytvořit člověk. V druhé části jsou tyto pasti programem jakéhosi počítače, tzv. „Virtuální reality“.

Tesseract - čtyřrozměrná hyperkrychle - krychle ve čtyřrozměrném prostoru.
Podle Oxfordského slovníku slovo tesseract vymyslel a použil v roce 1888 Charles Howard Hinton (1853-1907) ve své knize A New Age of Thought. Později někteří lidé nazývali stejný obrazec tetracube (řecky τετρα - čtyři) - čtyřrozměrná krychle.
Obyčejný tesseract v euklidovském čtyřrozměrném prostoru je definován jako konvexní obal bodů (±1, ±1, ±1, ±1). Jinými slovy, může být reprezentován jako následující sada:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Tesseract je ohraničen osmi nadrovinami x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , jejichž průsečík s tesseract sám to definuje 3D plochy (což jsou pravidelné krychle) Každý pár nerovnoběžných 3D ploch se protne a vytvoří 2D plochy (čtverce) atd. Nakonec má tesseract 8 3D ploch, 24 2D, 32 hran a 16 vrcholů.
Populární popis
Zkusme si představit, jak bude hyperkrychle vypadat, aniž bychom opustili trojrozměrný prostor.
V jednorozměrném "prostoru" - na přímce - vybereme úsečku AB délky L. Na dvourozměrné rovině ve vzdálenosti L od AB nakreslíme úsečku DC rovnoběžně s ní a spojíme jejich konce. Získáte čtvercový CDBA. Opakováním této operace s rovinou dostaneme trojrozměrnou krychli CDBAGHFE. A posunutím krychle ve čtvrtém rozměru (kolmo na první tři) o vzdálenost L dostaneme hyperkrychli CDBAGHFEKLJIOPNM.
Jednorozměrný segment AB slouží jako strana dvourozměrného čtverce CDBA, čtverec je stranou krychle CDBAGHFE, která bude naopak stranou čtyřrozměrné hyperkrychle. Úsečka přímky má dva hraniční body, čtverec má čtyři vrcholy a krychle osm. Ve čtyřrozměrné hyperkrychli tedy bude 16 vrcholů: 8 vrcholů původní krychle a 8 vrcholů posunutých ve čtvrté dimenzi. Má 32 hran – 12 každá udává počáteční a konečnou polohu původní krychle a 8 dalších hran „kreslí“ osm jejích vrcholů, které se přesunuly do čtvrté dimenze. Stejné uvažování lze provést pro plochy hyperkrychle. Ve dvourozměrném prostoru je to jeden (samotný čtverec), krychle jich má 6 (dvě plochy z posunutého čtverce a čtyři další budou popisovat jeho strany). Čtyřrozměrná hyperkrychle má 24 čtvercových ploch - 12 čtverců původní krychle ve dvou pozicích a 12 čtverců z dvanácti jejích hran.
Protože strany čtverce jsou 4 jednorozměrné segmenty a strany (plochy) krychle jsou 6 dvourozměrnými čtverci, tak pro "čtyřrozměrnou kostku" (tesseract) jsou strany 8 trojrozměrných krychlí. Prostory opačných dvojic tesseractových krychlí (tj. trojrozměrné prostory, do kterých tyto krychle patří) jsou rovnoběžné. Na obrázku jsou to kostky: CDBAGHFE a KLJIOPNM, CDBAKLJI a GHFEOPNM, EFBAMNJI a GHDCOPLK, CKIAGOME a DLJBHPNF.
Podobným způsobem můžeme pokračovat v úvahách pro hyperkrychle většího počtu rozměrů, ale mnohem zajímavější je sledovat, jak bude čtyřrozměrná hyperkrychle vypadat pro nás, obyvatele trojrozměrného prostoru. Použijme k tomu již známou metodu analogií.
Vezmeme drátěnou kostku ABCDHEFG a podíváme se na ni jedním okem ze strany obličeje. Uvidíme a můžeme nakreslit dva čtverce na rovinu (její blízké a vzdálené plochy), spojené čtyřmi čarami - bočními hranami. Podobně čtyřrozměrná hyperkrychle v trojrozměrném prostoru bude vypadat jako dvě krychlové „krabice“ vložené do sebe a spojené osmi hranami. V tomto případě se do "nášho" prostoru promítnou samotné "krabice" - trojrozměrné tváře a spojující čáry se protáhnou ve směru čtvrté osy. Můžete si také zkusit představit krychli nikoli v projekci, ale v prostorovém obrázku.
Stejně jako je trojrozměrná krychle tvořena čtvercem posunutým o délku plochy, krychle posunutá do čtvrtého rozměru vytvoří hyperkrychli. Je omezena osmi kostkami, které budou v budoucnu vypadat jako nějaká poměrně složitá figurka. Samotná čtyřrozměrná hyperkrychle se skládá z nekonečného počtu krychlí, stejně jako lze trojrozměrnou krychli „rozřezat“ na nekonečné množství plochých čtverců.
Rozřezáním šesti ploch trojrozměrné krychle ji rozložíte na plochou postavu - síť. Bude mít čtverec na každé straně původního obličeje plus jeden další - obličej proti němu. Trojrozměrný vývoj čtyřrozměrné hyperkrychle se bude skládat z původní krychle, šesti krychlí, které z ní „vyrostou“, plus jedné další – finální „hyperface“.
Vlastnosti tesseractu jsou rozšířením vlastností geometrické tvary nižší dimenze do čtyřrozměrného prostoru.

Vývoj lidského mozku probíhal v trojrozměrném prostoru. Proto je pro nás obtížné si představit prostory s rozměry většími než tři. Ve skutečnosti si lidský mozek nedokáže představit geometrické objekty s více než třemi rozměry. A přitom si snadno představíme geometrické objekty o rozměrech nejen tři, ale i o rozměrech dva a jedna.

Rozdíl a analogie mezi 1D a 2D a rozdíl a analogie mezi 2D a 3D nám umožňují poodhalit trochu tajemství, které nás uzavírá do prostorů vyšších dimenzí. Abyste pochopili, jak se tato analogie používá, zvažte velmi jednoduchý čtyřrozměrný objekt – hyperkrychli, tedy čtyřrozměrnou krychli. Pro jistotu řekněme, že chceme vyřešit konkrétní problém, totiž spočítat počet čtvercových ploch čtyřrozměrné krychle. Všechny níže uvedené úvahy budou velmi volné, bez jakýchkoli důkazů, čistě analogicky.

Abychom pochopili, jak se z obyčejné krychle staví hyperkrychle, musíme se nejprve podívat na to, jak se obyčejná krychle staví z obyčejného čtverce. Pro originalitu prezentace tohoto materiálu zde nazveme obyčejnou čtvercovou SubCube (a nebudeme si ji plést se succubusem).

Pro sestrojení krychle z podkrychle je nutné prodloužit podkrychli ve směru kolmém k rovině podkrychle ve směru třetího rozměru. Zároveň z každé strany počáteční podkrychle vyroste podkrychle, což je boční dvourozměrná plocha krychle, která omezí trojrozměrný objem krychle ze čtyř stran, dvou kolmých na každý směr v rovina podkrychle. A podél nové třetí osy jsou také dvě podkrychle, které omezují trojrozměrný objem krychle. Toto je dvourozměrná plocha, kde byla původně umístěna naše podkrychle, a dvourozměrná plocha krychle, kde se podkrychle objevila na konci konstrukce krychle.

To, co jste právě četli, je popsáno příliš podrobně a se spoustou upřesnění. A ne náhodně. Nyní uděláme takový trik, některá slova v předchozím textu nahradíme formálně takto:
kostka -> hyperkrychle
podkrychle -> krychle
rovina -> objem
třetí -> čtvrtý
2D -> 3D
čtyři -> šest
trojrozměrný -> čtyřrozměrný
dva -> tři
rovina -> prostor

Ve výsledku tak dostáváme následující smysluplný text, který se již nezdá příliš podrobný.

Chcete-li sestavit hyperkrychli z krychle, musíte ji natáhnout ve směru kolmém na objem krychle ve směru čtvrtého rozměru. Zároveň z každé strany původní krychle vyroste krychle, což je boční trojrozměrná plocha hyperkrychle, která omezí čtyřrozměrný objem hyperkrychle ze šesti stran, tří kolmých na každý směr v prostor krychle. A podél nové čtvrté osy jsou také dvě krychle, které omezují čtyřrozměrný objem hyperkrychle. Toto je trojrozměrná plocha, kde se naše krychle původně nacházela, a trojrozměrná plocha hyperkrychle, kam se kostka dostala na konci konstrukce hyperkrychle.

Proč jsme si tak jisti, že jsme dostali správný popis konstrukce hyperkrychle? Ano, protože úplně stejnou formální záměnou slov dostaneme popis stavby krychle z popisu stavby čtverce. (Přesvědčte se sami.)

Nyní je jasné, že pokud by z každé strany krychle měla vyrůst další trojrozměrná krychle, pak z každé hrany původní krychle musí vyrůst plocha. Celkem má krychle 12 hran, což znamená, že pro těch 6 krychlí, které omezují čtyřrozměrný objem podél tří os trojrozměrného prostoru, přibude dalších 12 nových ploch (podkrychlí). A jsou tu další dvě krychle, které omezují tento čtyřrozměrný objem zdola a shora podél čtvrté osy. Každá z těchto kostek má 6 ploch.

Celkově dostaneme, že hyperkrychle má 12+6+6=24 čtvercových ploch.

Následující obrázek ukazuje logickou strukturu hyperkrychle. Je to jako projekce hyperkrychle do trojrozměrného prostoru. V tomto případě se získá trojrozměrný rám žeber. Na obrázku samozřejmě vidíte průmět tohoto rámu také do roviny.

Na tomto rámu je vnitřní krychle jakoby počáteční krychle, ze které začala stavba a která omezuje čtyřrozměrný objem hyperkrychle podél čtvrté osy odspodu. Tuto počáteční krychli natáhneme nahoru podél osy čtvrtého rozměru a jde do vnější krychle. Takže vnější a vnitřní krychle z tohoto obrázku omezují hyperkrychli podél osy čtvrtého rozměru.

A mezi těmito dvěma kostkami je vidět dalších 6 nových kostek, které jsou v kontaktu s prvními dvěma společnými plochami. Těchto šest krychlí omezuje naši hyperkrychli podél tří os trojrozměrného prostoru. Jak vidíte, nejsou pouze v kontaktu s prvními dvěma kostkami, které jsou na tomto trojrozměrném rámu vnitřní a vnější, ale jsou stále ve vzájemném kontaktu.

Můžete počítat přímo na obrázku a ujistit se, že hyperkrychle má skutečně 24 ploch. Ale tady přichází otázka. Tento rámeček 3D hyperkrychle je vyplněn osmi 3D kostkami bez jakýchkoliv mezer. Abychom z této trojrozměrné projekce hyperkrychle sestavili skutečnou hyperkrychli, je nutné tento rám otočit naruby tak, aby všech 8 krychlí omezovalo 4rozměrný objem.

Dělá se to takto. Zveme obyvatele čtyřrozměrného prostoru na návštěvu a žádáme ho, aby nám pomohl. Uchopí vnitřní krychli tohoto rámce a posouvá jej směrem ke čtvrté dimenzi, která je kolmá k našemu 3D prostoru. My to v našem trojrozměrném prostoru vnímáme, jako by celý vnitřní rám zmizel a zůstal jen rám vnější krychle.

Dále naše 4D asistentka nabízí pomoc při bezbolestných porodech, ale naše těhotné ženy se děsí vyhlídky, že miminko jednoduše zmizí z břicha a skončí v paralelním 3D prostoru. Proto je čtyřnásobek zdvořile odmítnut.

A jsme zvědaví, jestli se některá z našich kostek neodlepila, když byl rám hyperkrychle otočen naruby. Pokud se totiž nějaké trojrozměrné krychle obklopující hyperkrychli dotýkají svých sousedů na rámu, dotknou se také stejných ploch, pokud čtyřrozměrná otočí rám naruby.

Vraťme se znovu k analogii s prostory nižší dimenze. Porovnejte obrázek drátěného modelu hyperkrychle s projekcí 3D krychle do roviny znázorněné na následujícím obrázku.

Obyvatelé dvourozměrného prostoru postavili kostru projekce krychle do roviny na rovinu a vyzvali nás, trojrozměrné obyvatele, abychom tuto kostru obrátili naruby. Vezmeme čtyři vrcholy vnitřního čtverce a posuneme je kolmo k rovině. Dvourozměrní obyvatelé přitom vidí úplné vymizení celého vnitřního rámce a mají pouze rám vnějšího čtverce. Při takové operaci se všechny čtverce, které byly v kontaktu s jejich hranami, nadále dotýkají jako předtím se stejnými hranami.

Doufáme tedy, že také nebude porušeno logické schéma hyperkrychle při otočení rámu hyperkrychle naruby a počet čtvercových ploch hyperkrychle se v tomto případě nezvýší a zůstane roven 24. samozřejmě to není vůbec důkaz, ale čistě odhad analogie.

Po přečtení všeho zde můžete snadno nakreslit logický rámec pětirozměrné krychle a vypočítat, kolik má vrcholů, hran, ploch, krychlí a hyperkrychlí. Není to vůbec těžké.