Derivace součinu komplexní funkce. Derivace součinu dvou funkcí. Geometrický a fyzikální význam derivace

S referenční materiály na téma "derivát". Úroveň základní školy.
Teoretické informace pro studenty, učitele a tutory v matematice. Pomáhat při vedení kurzů.

Definice: derivace funkce v bodě je limitem poměru přírůstku funkce k přírůstku proměnné, tzn.

Derivační tabulka základních matematických funkcí:

Pravidla výpočtu derivátů

Derivát součtu libovolné dva výrazy se rovna součtu derivací těchto výrazů (derivát součtu se rovná součtu derivací)

Derivace rozdílu libovolné dva výrazy se rovná rozdílu derivátů těchto členů (derivát rozdílu se rovná rozdílu derivátů).

Derivát díla dva faktory se rovná součinu derivace prvního faktoru druhým faktorem plus součinu prvního faktoru derivace druhého faktoru (součet derivací faktorů v pořadí).
Komentář učitele matematiky: když já krátké fráze Připomínám studentovi pravidlo pro výpočet derivace součinu, říkám toto: derivace prvního faktoru druhým plusem vyměňte tahy!

Odvozeno z kvocientu dva výrazy se rovná podílu rozdílu derivací faktorů a druhé mocniny jmenovatele.

Derivace součinu čísla a funkce... Chcete-li najít derivaci součinu čísla doslovným výrazem (funkcí), musíte toto číslo vynásobit derivací tohoto doslovného výrazu.

Derivace komplexní funkce:

Pro výpočet derivace komplexní funkce je nutné najít derivaci vnější funkce a vynásobit ji derivací vnitřní funkce.

Vaše komentáře a zpětná vazba na stránce s deriváty:
Alexander S.
Stůl byl velmi potřebný. Jeden z nejpopulárnějších na internetu. Moc děkuji za vysvětlení a pravidla. Ještě k nim alespoň jeden příklad a obecně by to bylo skvělé. Ještě jednou děkuji.

Kolpakov A.N., učitel matematiky: OK, pokusím se co nejdříve přidat nějaké příklady na stránku.

Virtuální matematická referenční kniha.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, učitel matematiky.

Pokud se budeme řídit definicí, pak derivace funkce v bodě je limita poměru přírůstku funkce Δ y na přírůstek argumentu Δ X:

Vše se zdá být jasné. Ale zkuste vypočítat pomocí tohoto vzorce, řekněme, derivaci funkce F(X) = X 2 + (2X+ 3) E X Hřích X... Pokud uděláte vše podle definice, po několika stránkách výpočtů prostě usnete. Proto existují jednodušší a efektivnější způsoby.

Nejprve si všimneme, že takzvané elementární funkce lze odlišit od celé řady funkcí. Je to relativní jednoduché výrazy, jejichž deriváty jsou již dávno vypočítány a zaneseny do tabulky. Takové funkce jsou snadno zapamatovatelné - spolu s jejich deriváty.

Derivace elementárních funkcí

Základní funkce jsou všechny uvedené níže. Deriváty těchto funkcí je třeba znát nazpaměť. Navíc jejich zapamatování není vůbec těžké – proto jsou elementární.

Takže derivace elementárních funkcí:

název	Funkce	Derivát
Konstantní	F(X) = C, C ∈ R	0 (ano, nula!)
Racionální stupeň	F(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	F(X) = hřích X	cos X
Kosinus	F(X) = cos X	- hřích X(mínus sinus)
Tečna	F(X) = tg X	1 / cos 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	- 1 / hřích 2 X
Přirozený logaritmus	F(X) = ln X	1/X
Libovolný logaritmus	F(X) = log A X	1/(X Ln A)
Exponenciální funkce	F(X) = E X	E X(nic se nezměnilo)

Pokud se elementární funkce vynásobí libovolnou konstantou, pak se derivace nové funkce také snadno vypočítá:

(C · F)’ = C · F ’.

Obecně lze konstanty přesunout mimo znaménko derivace. Například:

(2X 3) ’= 2 · ( X 3) '= 2 3 X 2 = 6X 2 .

Je zřejmé, že elementární funkce lze vzájemně sčítat, násobit, dělit – a mnoho dalšího. Objeví se tak nové funkce, které již nejsou nijak zvlášť elementární, ale také diferencovatelné podle určitých pravidel. Tato pravidla jsou popsána níže.

Derivace součtu a rozdílu

Nechte funkce F(X) a G(X), jejichž deriváty jsou nám známé. Můžete si například vzít výše popsané základní funkce. Pak můžete najít derivaci součtu a rozdílu těchto funkcí:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Takže derivace součtu (rozdílu) dvou funkcí se rovná součtu (rozdílu) derivací. Termínů může být více. Například, ( F + G + h)’ = F ’ + G ’ + h ’.

Přísně vzato, v algebře neexistuje žádný koncept „odčítání“. Existuje koncept „negativního prvku“. Proto ten rozdíl F − G lze přepsat jako součet F+ (-1) G, a pak zbývá pouze jeden vzorec - derivace součtu.

F(X) = X 2 + sin x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkce F(X) Je součtem dvou elementárních funkcí, tedy:

F ’(X) = (X 2 + hřích X)’ = (X 2) '+ (hřích X)’ = 2X+ cos x;

Podobně uvažujeme i u funkce G(X). Pouze již existují tři termíny (z hlediska algebry):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Odpovědět:
F ’(X) = 2X+ cos x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivát díla

Matematika je logická věda, takže mnozí věří, že pokud se derivace součtu rovná součtu derivací, pak derivace součinu stávkovat"> se rovná součinu derivátů. Ale napadá vás! Derivát součinu se vypočítá pomocí zcela jiného vzorce. Konkrétně:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Vzorec je jednoduchý, ale často přehlížený. A to nejen školáků, ale i studentů. Výsledkem jsou nesprávně vyřešené problémy.

Úkol. Najděte derivace funkcí: F(X) = X 3 cos x; G(X) = (X 2 + 7X- 7) E X .

Funkce F(X) je součin dvou elementárních funkcí, takže vše je jednoduché:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3) „cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (- hřích X) = X 2 (3 cos X − X Hřích X)

Funkce G(X) první faktor je trochu složitější, ale obecné schéma se od toho nemění. Je zřejmé, že první faktor funkce G(X) je polynom a jeho derivace je derivací součtu. My máme:

G ’(X) = ((X 2 + 7X- 7) E X)’ = (X 2 + 7X- 7) E X + (X 2 + 7X- 7) ( E X)’ = (2X+ 7) E X + (X 2 + 7X- 7) E X = E X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · E X = X(X+ 9) E X .

Odpovědět:
F ’(X) = X 2 (3 cos X − X Hřích X);
G ’(X) = X(X+ 9) E X .

Všimněte si, že v posledním kroku je derivace faktorizována. Formálně to nemusíte dělat, nicméně většina derivací se nevypočítá sama, ale za účelem prozkoumání funkce. To znamená, že se derivace bude dále rovnat nule, objasní se její znaménka a tak dále. Pro takový případ je lepší mít faktorizovaný výraz.

Pokud existují dvě funkce F(X) a G(X), a G(X) ≠ 0 na množině, která nás zajímá, můžeme definovat novou funkci h(X) = F(X)/G(X). Pro takovou funkci můžete také najít derivaci:

Není slabý, co? Kde se vzalo mínus? Proč G 2? Takhle! Toto je jedna z nejvíce složité vzorce- bez láhve na to nepřijdete. Proto je lepší to studovat dál konkrétní příklady.

Úkol. Najděte derivace funkcí:

Čitatel a jmenovatel každého zlomku obsahuje elementární funkce, takže vše, co potřebujeme, je vzorec pro derivaci podílu:

Podle tradice rozdělení čitatele na faktory značně zjednoduší odpověď:

Složitá funkce nemusí být nutně půlkilometrový vzorec. Například stačí vzít funkci F(X) = hřích X a nahradit proměnnou Xřekněme dál X 2 + ln X... To se ukáže F(X) = hřích ( X 2 + ln X) Jde o komplexní funkci. Má také derivát, ale nebude fungovat jeho nalezení podle výše uvedených pravidel.

Jak být? V takových případech pomáhá náhrada proměnné a vzorec pro derivaci komplexní funkce:

F ’(X) = F ’(t) · t', pokud X je nahrazeno t(X).

S pochopením tohoto vzorce je zpravidla situace ještě smutnější než s derivací kvocientu. Proto je také lepší to vysvětlit na konkrétních příkladech, s podrobným popisem každého kroku.

Úkol. Najděte derivace funkcí: F(X) = E 2X + 3 ; G(X) = hřích ( X 2 + ln X)

Všimněte si, že pokud ve funkci F(X) místo výrazu 2 X+ 3 bude snadné X, pak dostaneme elementární funkci F(X) = E X... Proto provedeme substituci: nechť 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = E t... Hledáme derivaci komplexní funkce podle vzorce:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (E t)’ · t ’ = E t · t ’

A teď - pozor! Provádíme zpětnou výměnu: t = 2X+ 3. Dostáváme:

F ’(X) = E t · t ’ = E 2X+ 3 (2 X + 3)’ = E 2X+ 3 2 = 2 E 2X + 3

Nyní se pojďme zabývat funkcí G(X). Je zřejmé, že musíte vyměnit X 2 + ln X = t... My máme:

G ’(X) = G ’(t) · t‘= (Hřích t)’ · t'= Cos t · t ’

Zpětná výměna: t = X 2 + ln X... Pak:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X) '= Cos ( X 2 + ln X) (2 X + 1/X).

To je vše! Jak je vidět z posledního výrazu, celý problém se zredukoval na výpočet odvozeného součtu.

Odpovědět:
F ’(X) = 2 E 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) Cos ( X 2 + ln X).

Velmi často ve svých lekcích používám slovo „mrtvice“ místo termínu „derivát“. Například prvočíslo součtu se rovná součtu tahů. Je to jasnější? Je to dobré.

Výpočet derivace tedy spočívá v zbavení se právě těchto tahů podle výše uvedených pravidel. Jako poslední příklad se vraťme k derivaci exponentu s racionálním exponentem:

(X n)’ = n · X n − 1

Málokdo ví, jakou roli hraje n může být i zlomkové číslo. Například kořen je X 0,5. Ale co když je v kořenu něco fantastického? Opět se ukáže, že jde o komplexní funkci – takové konstrukce se rády poddávají ovládání funguje a zkoušky.

Úkol. Najděte derivaci funkce:

Nejprve přepišme odmocninu jako mocninu s racionálním exponentem:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Nyní uděláme náhradu: let X 2 + 8X − 7 = t... Derivaci najdeme podle vzorce:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5) t'= 0,5 t−0,5 t ’.

Provádíme zpětnou výměnu: t = X 2 + 8X- 7. Máme:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X- 7) -0,5 X 2 + 8X- 7) '= 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Nakonec zpět ke kořenům:

Je velmi snadné si to zapamatovat.

No, nechoďme daleko, hned budeme uvažovat o inverzní funkci. Pro kterou funkci je inverzní exponenciální funkce? Logaritmus:

V našem případě je základem číslo:

Takový logaritmus (tedy logaritmus se základem) se nazývá „přirozený“ a používáme pro něj speciální zápis: místo toho pište.

co se rovná? Samozřejmě, .

Derivace přirozeného logaritmu je také velmi jednoduchá:

Příklady:

1. Najděte derivaci funkce.
2. Jaká je derivace funkce?

Odpovědi: Exponent a přirozený logaritmus jsou z hlediska derivace jedinečně jednoduché funkce. Exponenciální a logaritmické funkce s jakoukoli jinou bází budou mít jinou derivaci, kterou budeme analyzovat později, až si projdeme pravidla derivování.

Pravidla diferenciace

Pravidla čeho? Zase nový termín, zase?!...

Diferenciace je proces hledání derivátu.

To je vše. Jak jinak nazvat tento proces jedním slovem? Ne derivace... Diferenciál matematiky se nazývá stejný přírůstek funkce at. Tento výraz pochází z latinského differentia – rozdíl. Tady.

Při odvozování všech těchto pravidel použijeme dvě funkce, například a. Potřebujeme také vzorce pro jejich přírůstky:

Existuje celkem 5 pravidel.

Konstanta se přesune mimo znaménko derivace.

Jestliže je nějaké konstantní číslo (konstanta), pak.

Je zřejmé, že toto pravidlo funguje také pro rozdíl:.

Pojďme to dokázat. Nechat, nebo snadněji.

Příklady.

Najděte derivace funkcí:

1. na místě;
2. na místě;
3. na místě;
4. na místě.

Řešení:

1. (derivát je ve všech bodech stejný, protože toto lineární funkce, pamatovat si?);

Derivát díla

Zde je vše stejné: představujeme novou funkci a najdeme její přírůstek:

Derivát:

Příklady:

1. Najděte derivace funkcí a;
2. Najděte derivaci funkce v bodě.

Řešení:

Derivace exponenciální funkce

Nyní vaše znalosti stačí na to, abyste se naučili najít derivaci libovolné exponenciální funkce, nejen exponentu (zapomněli jste, co to je?).

Tak kde je nějaké číslo.

Derivaci funkce již známe, takže zkusme přetypovat naši funkci na nový radix:

K tomu použijeme jednoduché pravidlo:. Pak:

No, povedlo se. Nyní zkuste najít derivaci a nezapomeňte, že tato funkce je záludná.

Stalo?

Zde se přesvědčte:

Vzorec se ukázal být velmi podobný derivaci exponentu: jak byl, zůstal, objevil se pouze násobitel, což je jen číslo, ale ne proměnná.

Příklady:
Najděte derivace funkcí:

Odpovědi:

To je jen číslo, které se bez kalkulačky nedá spočítat, čili se do více zapsat nedá jednoduchá forma... Proto ji v odpovědi ponecháme v této podobě.

Všimněte si, že zde je podíl dvou funkcí, takže použijeme odpovídající pravidlo diferenciace:

V tomto příkladu součin dvou funkcí:

Derivace logaritmické funkce

Zde je to podobné: derivaci přirozeného logaritmu již znáte:

Proto najít libovolný logaritmus s jiným základem, například:

Tento logaritmus musíte přenést na základnu. Jak změníte základnu logaritmu? Doufám, že si pamatujete tento vzorec:

Teprve teď místo napíšeme:

Jmenovatel je pouze konstanta (konstantní číslo, žádná proměnná). Derivát je velmi jednoduchý:

Derivace exponenciálního a logaritmické funkce se u zkoušky téměř nevyskytují, ale nebude zbytečné je znát.

Derivace komplexní funkce.

Co je to "komplexní funkce"? Ne, toto není logaritmus ani arkustangens. Těmto funkcím může být obtížné porozumět (i když pokud se vám logaritmus zdá obtížný, přečtěte si téma „Logaritmy“ a vše projde), ale z hlediska matematiky slovo „obtížný“ neznamená „obtížný“.

Představte si malý dopravníkový pás: dva lidé sedí a provádějí nějakou akci s nějakými předměty. První například zabalí čokoládovou tyčinku do obalu a druhý ji převáže stuhou. Ukazuje se takový složený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a převázaná stuhou. Chcete-li sníst čokoládovou tyčinku, musíte provést opačné kroky v opačném pořadí.

Vytvořme podobnou matematickou pipeline: nejprve najdeme kosinus čísla a poté odmocníme výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoládová tyčinka), já najdu jeho kosinus (obal) a pak urovnáte, co mám (svážete to stuhou). Co se stalo? Funkce. Toto je příklad komplexní funkce: když, abychom našli její hodnotu, provedeme první akci přímo s proměnnou a poté další druhou akci s výsledkem první.

Jinými slovy, komplexní funkce je funkce, jejímž argumentem je jiná funkce: .

Pro náš příklad,.

Můžeme klidně provést stejné akce v obráceném pořadí: nejprve odmocni a pak hledám kosinus výsledného čísla:. Je snadné odhadnout, že výsledek bude téměř vždy jiný. Důležitá vlastnost komplexních funkcí: když změníte pořadí akcí, funkce se změní.

Druhý příklad: (totéž). ...

Akce, kterou uděláme jako poslední, bude vyvolána "Externí" funkce, a opatření přijatá jako první - resp "Interní" funkce(jedná se o neformální názvy, používám je pouze k vysvětlení látky jednoduchým jazykem).

Zkuste sami určit, která funkce je vnější a která vnitřní:

Odpovědi: Oddělení vnitřních a vnějších funkcí je velmi podobné změně proměnných: například ve funkci

1. Jaká je první akce? Nejprve spočítáme sinus a teprve potom jej zvedneme na krychli. To znamená, že jde o vnitřní funkci, ale o vnější.
   A původní funkcí je jejich složení:.
2. Vnitřní:; externí:.
   Vyšetření: .
3. Vnitřní:; externí:.
   Vyšetření: .
4. Vnitřní:; externí:.
   Vyšetření: .
5. Vnitřní:; externí:.
   Vyšetření: .

změníme proměnné a dostaneme funkci.

No, teď vytáhneme naši čokoládovou tyčinku - hledejte derivát. Postup je vždy obrácený: nejprve hledáme derivaci vnější funkce, poté výsledek vynásobíme derivací vnitřní funkce. Ve vztahu k původnímu příkladu to vypadá takto:

Další příklad:

Pojďme tedy konečně formulovat oficiální pravidlo:

Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:

Všechno se zdá být jednoduché, že?

Podívejme se na příklady:

Řešení:

1) Interní:;

Externí:;

2) Interní:;

(prostě se to teď nezkoušejte odříznout! Zpod kosinusu nelze nic vyjmout, pamatujete?)

3) Interní:;

Externí:;

Okamžitě je jasné, že se jedná o tříúrovňovou komplexní funkci: vždyť to je již sama o sobě komplexní funkce a z ní extrahujeme i kořen, tedy provedeme třetí akci (vložíme čokoládovou tyčinku obal a vložte jej do aktovky se stuhou). Není ale důvod se bát: každopádně tuto funkci „rozbalíme“ ve stejném pořadí jako obvykle: od konce.

To znamená, že nejprve rozlišujeme kořen, potom kosinus a teprve potom výraz v závorkách. A pak to všechno vynásobíme.

V takových případech je vhodné kroky očíslovat. To znamená, že si představme, co víme. V jakém pořadí provedeme akce pro výpočet hodnoty tohoto výrazu? Vezměme si příklad:

Čím později je akce provedena, tím „externější“ bude odpovídající funkce. Pořadí akcí - jako dříve:

Zde je hnízdění obecně 4úrovňové. Definujme postup.

1. Radikální výraz. ...

2. Kořen. ...

3. Sinus. ...

4. Čtverec. ...

5. Dát vše dohromady:

DERIVÁT. KRÁTCE O HLAVNÍM

Derivace funkce- poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu s nekonečně malým přírůstkem argumentu:

Základní deriváty:

Pravidla diferenciace:

Konstanta se přesune mimo derivační znaménko:

Derivát částky:

Derivát díla:

Derivát kvocientu:

Derivace komplexní funkce:

Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:

1. Definujeme "vnitřní" funkci, najdeme její derivaci.
2. Definujeme "vnější" funkci, najdeme její derivaci.
3. Výsledky prvního a druhého bodu vynásobíme.

Co je derivační funkce - to je základní matematický koncept, v analýze je na stejné úrovni jako integrály. Tato funkce v určitém bodě udává charakteristiku rychlosti změny funkce v daném bodě.
Pojmy jako derivace a integrace, první je dešifrován jako akce nalezení derivace, druhý naopak obnovuje funkci vycházející z dané derivace.
Derivační výpočty jsou důležitou součástí diferenciálních výpočtů.
Pro názorný příklad nakreslíme derivaci na souřadnicové rovině.

ve funkci y = f (x) zafixujeme bod M, ve kterém (x0; f (X0)) a N f (x0 +? x) ke každé úsečce je přírůstek ve tvaru? x. Přírůstek je proces, kdy se změní úsečka a poté se změní i ordináta. Označuje se jako? At.
Najděte tangens úhlu v trojúhelníku MPN pomocí bodů M a N.

tg? = NP / MP =? У /? X.

Kdy? vůle?. Proto, tg? maximální hodnota pro tg?.

tg? = lim od? x-0 tg? = lim od? x-0? y /? x

Tabulka derivátů

Pokud vyslovíte znění každého odvozené vzorce... Tabulka bude lépe zapamatovatelná.
1) Derivace konstantní hodnoty je 0.
2) X s prvočíslem se rovná jedné.
3) Pokud existuje konstantní faktor, jednoduše jej přesuneme pro derivaci.
4) Pro zjištění odvozeného stupně je potřeba vynásobit exponent daného exponentu exponentem se stejným základem, ve kterém je exponent o 1 menší.
5) Nalezení kořene se rovná jedné dělené 2 z těchto kořenů.
6) Derivace jedničky děleno X se rovná jedničce dělené X na druhou, se znaménkem mínus.
7) P sinus se rovná kosinus
8) P kosinus se rovná sinusu se znaménkem mínus.
9) Tangenta P se rovná jedné dělené kosinusovou druhou mocninou.
10) Kotangens p je roven jedné se znaménkem mínus děleno sinusovou druhou mocninou.

V diferenciaci existují také pravidla, která se také snáze naučíte tím, že je vyslovíte nahlas.

1) Velmi zjednodušeně, n. Členy se rovnají jejich součtu.
2) Derivace při násobení se rovná násobení první hodnoty druhou, přičemž k sobě přičte násobení druhé hodnoty první.
3) Derivace při dělení se rovná násobení první hodnoty druhou, přičemž se od sebe odečte násobení druhé hodnoty první. Zlomek dělení druhou hodnotou na druhou.
4) Formulace je speciální případ třetí formule.

Operace hledání derivace se nazývá diferenciace.

V důsledku řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a nepříliš jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limity poměru přírůstku k přírůstku argumentu vznikla tabulka derivací a přesně definovaná pravidla derivace. se objevil. Prvními v oblasti hledání derivátů byli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Proto v naší době pro nalezení derivace libovolné funkce není nutné počítat výše zmíněnou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulka derivací a pravidla diferenciace. Pro nalezení derivace je vhodný následující algoritmus.

Chcete-li najít derivát, potřebujete výraz pod znakem tahu demontovat jednoduché funkce a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce jsou propojeny. Dále, derivace elementárních funkcí se nacházejí v tabulce derivací a vzorce pro derivace součinu, součtu a kvocientu v pravidlech derivování. Po prvních dvou příkladech jsou uvedeny derivační tabulky a pravidla diferenciace.

Příklad 1 Najděte derivaci funkce

Řešení. Z pravidel derivace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tzn.

Z tabulky derivací zjistíme, že derivace "x" je rovna jedné a derivace sinu je rovna kosinu. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:

Příklad 2 Najděte derivaci funkce

Řešení. Derivujeme jako derivaci součtu, ve kterém druhý člen s konstantním faktorem, může být mimo znaménko derivace:

Pokud stále existují otázky, odkud co pochází, jsou zpravidla jasnější po seznámení se s tabulkou derivátů a nejjednoduššími pravidly diferenciace. Právě k nim jdeme.

Derivační tabulka jednoduchých funkcí

1. Derivace konstanty (čísla). Jakékoli číslo (1, 2, 5, 200 ...), které je ve výrazu funkce. Vždy nula. To je velmi důležité mít na paměti, protože je to velmi často vyžadováno.
2. Derivace nezávisle proměnné. Nejčastěji "x". Vždy se rovná jedné. To je také důležité si dlouho pamatovat.
3. Derivační stupeň. Při řešení problémů je potřeba transformovat nekvadratické odmocniny na stupeň.
4. Derivace proměnné na mocninu -1
5. Derivát odmocnina
6. Derivace sinusu
7. Derivace kosinusu
8. Derivace tečny
9. Derivace kotangens
10. Derivace arkussinus
11. Derivace arkosinu
12. Derivace arkustangens
13. Derivace obloukového kotangens
14. Derivace přirozeného logaritmu
15. Derivace logaritmické funkce
16. Derivace exponentu
17. Derivace exponenciální funkce

Pravidla diferenciace

1. Derivace součtu nebo rozdílu
2. Derivace díla
2a. Derivace výrazu násobená konstantním faktorem
3. Derivace kvocientu
4. Derivace komplexní funkce

Pravidlo 1.Pokud funkce

v určitém bodě diferencovatelné, poté ve stejném bodě funkce

navíc

ty. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.

Následek. Jestliže se dvě diferencovatelné funkce liší konstantním členem, pak jsou jejich derivace stejné, tj.

Pravidlo 2.Pokud funkce

diferencovatelný v určitém bodě, pak ve stejném bodě je jejich produkt také diferencovatelný

navíc

ty. derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé.

Důsledek 1. Konstantní faktor lze posunout mimo znaménko derivace:

Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí se rovná součtu součinů derivace každého z faktorů všemi ostatními.

Například pro tři faktory:

Pravidlo 3.Pokud funkce

v určitém okamžiku rozlišitelné a , pak v tomto bodě je diferencovatelný a jejich kvocientu / v a

ty. derivace podílu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele derivací jmenovatele, a jmenovatel je druhá mocnina předchozího čitatele.

Kde co hledat na jiných stránkách

Při hledání derivace součinu a kvocientu v reálných problémech je vždy potřeba aplikovat několik diferenciačních pravidel najednou, proto více příkladů pro tyto deriváty - v článku"Derivace díla a konkrétní funkce".

Komentář. Nepleťte si konstantu (tedy číslo) se součtem a jako konstantní faktor! V případě členu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. to typická chyba, který se vyskytuje v počáteční fázi studia derivátů, ale protože je již vyřešeno několik jedno- nebo dvousložkových příkladů, běžný student již tuto chybu nedělá.

A pokud při rozlišování díla nebo konkrétního máte termín u"proti, ve kterém u- číslo, například 2 nebo 5, tedy konstanta, pak bude derivace tohoto čísla rovna nule, a tudíž celý člen bude roven nule (tento případ je analyzován v příkladu 10).

Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce je věnován samostatný článek. Nejprve se ale naučíme najít derivace jednoduchých funkcí.

Po cestě se neobejdete bez výrazových transformací. Chcete-li to provést, možná budete muset otevřít výukové programy v nových oknech Akce se silami a kořeny a Akce se zlomky .

Pokud hledáte řešení pro derivace zlomků s mocninou a odmocninou, tedy když funkce vypadá , poté postupujte podle lekce Derivace součtu zlomků s mocninami a odmocninami.

Pokud máte úkol jako , dále vaše lekce „Derivace jednoduchých goniometrických funkcí“.

Příklady krok za krokem - jak najít derivaci

Příklad 3 Najděte derivaci funkce

Řešení. Určujeme části funkčního výrazu: celý výraz představuje součin a jeho činitele jsou součty, z nichž druhý obsahuje konstantní činitel. Aplikujeme pravidlo produktové diferenciace: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé:

Dále použijeme pravidlo pro derivování součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě v každém součtu druhý člen se znaménkem mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace je rovna jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace je rovna nule. Takže "x" se pro nás změní na jednu a mínus 5 - na nulu. Ve druhém výrazu je "x" násobeno 2, takže násobíme dva stejnou jednotkou jako derivace "x". Získáme následující hodnoty derivátů:

Nalezené derivace dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce, kterou vyžaduje podmínka problému:

A můžete zkontrolovat řešení problému pro derivaci na.

Příklad 4 Najděte derivaci funkce

Řešení. Musíme najít derivaci kvocientu. Aplikujeme vzorec pro derivování kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatel a jmenovatel je druhá mocnina předchozího čitatele. Dostaneme:

Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňte, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem mínus:

Pokud hledáte řešení problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je souvislá hromada kořenů a mocnin, jako je např. pak vítejte ve třídě "Derivace součtu zlomků s mocninou a odmocninou" .

Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinů, kosinů, tečen a dalších goniometrické funkce, tedy když funkce vypadá , pak vaše lekce "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí" .

Příklad 5. Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je odmocnina nezávisle proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Podle pravidla diferenciace součinu a tabulkové hodnoty derivace odmocniny získáme:

Řešení problému pro derivaci můžete zkontrolovat na online kalkulačka derivátů .

Příklad 6. Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhá odmocnina nezávislé proměnné. Podle pravidla derivace kvocientu, které jsme zopakovali a použili v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace odmocniny, dostaneme:

Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatel a jmenovatel.