Geometrická regrese. Geometrická posloupnost a její vzorec. Problémy pro výpočet složeného úročení

Toto číslo se nazývá jmenovatel. geometrická progrese, tj. každý člen se liší od předchozího q krát. (Budeme předpokládat, že q ≠ 1, jinak je vše příliš triviální). Je snadné vidět, že obecný vzorec n-tého členu geometrické posloupnosti je b n = b 1 q n – 1 ; členy s čísly b n a b m se liší o q n – m krát.

Již ve starém Egyptě znali nejen aritmetiku, ale i geometrický postup. Zde je například úkol z Rhindova papyru: „Sedm tváří má sedm koček; každá kočka sežere sedm myší, každá myš sežere sedm klasů kukuřice, každé ucho může vypěstovat sedm měr ječmene. Jak velká jsou čísla v této řadě a jejich součet?

Rýže. 1. Problém geometrické posloupnosti starověkého Egypta

Tento úkol byl mnohokrát opakován s různými obměnami mezi jinými národy a jindy. Například v písemném XIII století. "Kniha počítadla" od Leonarda z Pisy (Fibonacci) má problém, ve kterém se na cestě do Říma objevuje 7 starých žen (samozřejmě poutnic), z nichž každá má 7 mul, z nichž každá má 7 tašek, z nichž každá má 7 chlebů, z nichž každý má 7 nožů, z nichž každý je v 7 pochvách. Problém se ptá, kolik položek existuje.

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Tento vzorec lze dokázat například takto: Sn \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Přičteme číslo b 1 q n k S n a dostaneme:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Odtud S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) a dostaneme potřebný vzorec.

Již na jedné z hliněných tabulek starověkého Babylonu, pocházejících z VI. století. před naším letopočtem obsahuje součet 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Pravda, stejně jako v řadě jiných případů, nevíme, kde byla tato skutečnost Babyloňanům známa. .

Rychlý růst geometrického pokroku v řadě kultur, zejména v Indii, je opakovaně používán jako jasný symbol nesmírnosti vesmíru. V slavná legenda o vzhledu šachů dává vládce jejich vynálezci možnost, aby si sám vybral odměnu, a žádá o takový počet pšeničných zrn, jaký získá, když jedno položí na první buňku šachovnice, dvě na druhou, čtyři na třetím, osm na čtvrté atd., pokaždé, když se číslo zdvojnásobí. Pán si to myslel mluvíme, maximálně o pár pytlích, ale přepočítal se. Je snadné vidět, že za všech 64 polí na šachovnici měl vynálezce dostat (2 64 - 1) zrno, které je vyjádřeno jako 20místné číslo; i kdyby byl oset celý povrch Země, nasbírání potřebného množství zrn by trvalo minimálně 8 let. Tato legenda je někdy interpretována jako odkaz na téměř neomezené možnosti skryté v šachové hře.

Skutečnost, že toto číslo je skutečně 20místné, lze snadno zjistit:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (přesnější výpočet dává 1,84 10 19). Ale zajímalo by mě, jestli dokážete zjistit, jakou číslicí toto číslo končí?

Geometrická progrese je rostoucí, pokud je jmenovatel větší než 1 v absolutní hodnotě, nebo klesající, pokud je menší než jedna. V druhém případě se číslo q n může stát libovolně malým pro dostatečně velké n. Zatímco rostoucí exponenciála roste nečekaně rychle, klesající exponenciála klesá stejně rychle.

Čím větší n, tím slabší se číslo q n liší od nuly a čím blíže je součet n členů geometrické posloupnosti S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) k číslu S \u003d b 1 / (1 - q). (Tak to odůvodnil např. F. Viet). Číslo S se nazývá součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti. Avšak po mnoho staletí nebyla otázka, jaký je význam součtu VŠECH geometrické posloupnosti s jejím nekonečným počtem členů, matematikům dostatečně jasná.

Klesající geometrická progrese je vidět např. v Zenónových aporiích „Kousání“ a „Achilles a želva“. V prvním případě je jasně ukázáno, že celá silnice (předpokládejme délku 1) je součtem nekonečného počtu segmentů 1/2, 1/4, 1/8 atd. To je samozřejmě případ od r. hledisko představ o konečném součtu nekonečné geometrické posloupnosti. A přesto – jak je to možné?

Rýže. 2. Progrese s faktorem 1/2

V aporii o Achillovi je situace trochu složitější, protože zde se jmenovatel postupu nerovná 1/2, ale nějakému jinému číslu. Nechť například Achilles běží rychlostí v, želva se pohybuje rychlostí u a počáteční vzdálenost mezi nimi je l. Achilles uběhne tuto vzdálenost za čas l/v, želva se během této doby posune o vzdálenost lu/v. Když Achilles proběhne tímto segmentem, vzdálenost mezi ním a želvou bude rovna l (u / v) 2 atd. Ukazuje se, že dohnat želvu znamená najít součet nekonečně klesající geometrické progrese s první výraz l a jmenovatel u / v. Tento součet - segment, který Achilles nakonec doběhne k bodu setkání s želvou - se rovná l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ale opět, jak by měl být tento výsledek interpretován a proč má vůbec smysl, nebylo dlouho jasné.

Rýže. 3. Geometrická progrese s koeficientem 2/3

Součet geometrické progrese použil Archimedes při určování plochy segmentu paraboly. Nechť je daný úsek paraboly ohraničen tětivou AB a tečna v bodě D paraboly nechť je rovnoběžná s AB . Nechť C je střed AB , E střed AC , F střed CB . Nakreslete čáry rovnoběžné s DC body A, E, F, B; nechť tečnu vedenou v bodě D , tyto přímky se protínají v bodech K , L , M , N . Nakreslíme také segmenty AD a DB. Nechť přímka EL protíná přímku AD v bodě G a parabolu v bodě H; přímka FM protíná přímku DB v bodě Q a parabolu v bodě R. Podle obecná teorie kuželosečky, DC je průměr paraboly (tj. segmentu rovnoběžného s její osou); ona a tečna v bodě D mohou sloužit jako souřadnicové osy x a y, ve kterých je rovnice paraboly zapsána jako y 2 \u003d 2px (x je vzdálenost od D k libovolnému bodu daného průměru, y je délka a úsečka rovnoběžná s danou tečnou od tohoto bodu průměru k nějakému bodu na samotné parabole).

Na základě rovnice paraboly platí DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a protože DK = 2DL , pak KA = 4LH . Protože KA = 2LG, LH = HG. Plocha segmentu ADB paraboly se rovná ploše trojúhelníku ΔADB a plochám segmentů AHD a DRB dohromady. Plocha segmentu AHD se zase podobně rovná ploše trojúhelníku AHD a zbývajících segmentů AH a HD, s každým z nich lze provést stejnou operaci - rozdělit na trojúhelník (Δ) a dva zbývající segmenty () atd.:

Plocha trojúhelníku ΔAHD se rovná polovině plochy trojúhelníku ΔALD (mají společnou základnu AD a výšky se liší 2krát), což se zase rovná polovině plochy ​trojúhelník ΔAKD, a tedy polovinu plochy trojúhelníku ΔACD. Plocha trojúhelníku ΔAHD se tedy rovná čtvrtině plochy trojúhelníku ΔACD. Podobně se plocha trojúhelníku ΔDRB rovná čtvrtině plochy trojúhelníku ΔDFB. Plochy trojúhelníků ∆AHD a ∆DRB se tedy dohromady rovnají čtvrtině plochy trojúhelníku ∆ADB. Opakování této operace, jak je aplikováno na segmenty AH, HD, DR a RB, z nich také vybere trojúhelníky, jejichž plocha bude dohromady 4krát menší než plocha zabraných trojúhelníků ΔAHD a ΔDRB. dohromady, a tedy 16krát méně, než je plocha trojúhelníku ΔADB . A tak dále:

Archimedes tak dokázal, že „každý segment uzavřený mezi přímkou ​​a parabolou je čtyřmi třetinami trojúhelníku, který má stejnou základnu a stejnou výšku jako ona“.

Geometrický postup je nový druhčíselnou řadu, se kterou se musíme seznámit. Pro úspěšné seznámení neuškodí alespoň vědět a pochopit. Pak nebude problém s geometrickým postupem.)

Co je geometrická progrese? Koncept geometrické progrese.

Prohlídku začínáme jako obvykle základními. Píšu nedokončenou posloupnost čísel:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Dokážete zachytit vzorec a říct, která čísla budou následovat? Pepř je jasný, čísla 100000, 1000000 a tak dále půjdou dál. I bez velkého psychického stresu je vše jasné, ne?)

OK. Další příklad. Píšu následující sekvenci:

1, 2, 4, 8, 16, …

Můžete říct, která čísla budou následovat po čísle 16 a jménu osmýčlen sekvence? Pokud jste přišli na to, že to bude číslo 128, tak velmi dobře. Takže polovina bitvy je v porozumění význam A Klíčové body geometrická progrese již byla provedena. Můžete růst dále.)

A nyní se opět obracíme od senzací k přísné matematice.

Klíčové momenty geometrického postupu.

Klíčový moment #1

Geometrický postup je posloupnost čísel. Stejně jako progrese. Nic složitého. Právě uspořádal tuto sekvenci jinak. Proto má samozřejmě jiné jméno, ano...

Klíčový moment #2

S druhým klíčovým bodem bude otázka složitější. Vraťme se trochu zpět a připomeňme si klíčovou vlastnost aritmetický postup. Tady to je: každý člen je jiný než ten předchozí o stejnou částku.

Je možné formulovat podobnou klíčovou vlastnost pro geometrickou progresi? Přemýšlejte trochu... Podívejte se na uvedené příklady. Hádali? Ano! V geometrickém postupu (jakémkoli!) se každý jeho člen liší od předchozího ve stejném počtu časů. Vždy!

V prvním příkladu je toto číslo deset. Ať už zvolíte kterýkoli člen sekvence, je větší než předchozí desetkrát.

Ve druhém příkladu je to dvojka: každý člen je větší než předchozí. dvakrát.

Právě v tomto klíčovém bodě se geometrická progrese liší od aritmetické. V aritmetickém postupu se získá každý další člen přidávání ve stejné hodnotě jako předchozí termín. A tady - násobení předchozí období o stejnou částku. To je rozdíl.)

Klíčový moment #3

Tento klíčový bod je zcela totožný s bodem pro aritmetický postup. A to: každý člen geometrické progrese je na svém místě. Všechno je úplně stejné jako v aritmetickém postupu a komentáře, myslím, jsou zbytečné. Je tam první termín, je tam sto a první a tak dále. Přeuspořádejme alespoň dva členy - vzor (a s ním i geometrická progrese) zmizí. Zůstává jen posloupnost čísel bez jakékoli logiky.

To je vše. To je celý smysl geometrického postupu.

Termíny a označení.

A nyní, když jsme se zabývali významem a klíčovými body geometrického postupu, můžeme přejít k teorii. Jinak co je to teorie bez pochopení významu, že?

Co je geometrická progrese?

Jak se píše geometrická posloupnost? obecný pohled? Žádný problém! Každý člen progrese je také napsán jako dopis. Pouze pro aritmetický postup se obvykle používá písmeno "A", pro geometrické - písm "b". Číslo člena, jako obvykle, je uvedeno pravý dolní index. Samotné členy progrese jsou jednoduše uvedeny oddělené čárkami nebo středníky.

Takhle:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Stručně řečeno, takový postup je napsán takto: (b n) .

Nebo takto, pro konečný průběh:

b1, b2, b3, b4, b5, b6.

b 1, b 2, ..., b 29, b 30.

Nebo ve zkratce:

(b n), n=30 .

To jsou vlastně všechna označení. Všechno je stejné, jen písmeno je jiné, ano.) A nyní přejdeme přímo k definici.

Definice geometrické posloupnosti.

Geometrický postup je číselná posloupnost, jehož první člen je nenulový a každý následující člen je roven předchozímu členu vynásobenému stejným nenulovým číslem.

To je celá definice. Většina slov a frází je vám jasná a známá. Pokud ovšem nechápete význam geometrického postupu „na prstech“ a obecně. Ale je tu také několik nových frází, na které bych chtěl zvlášť upozornit.

Nejprve slova: „jehož první termín odlišný od nuly".

Toto omezení na první funkční období nebylo zavedeno náhodou. Co si myslíte, že se stane, když první termín b 1 ukáže se jako nula? Jaký bude druhý člen, pokud je každý člen větší než předchozí stejný početkrát?Řekněme třikrát? Podívejme se... Vynásobte první člen (tj. 0) 3 a dostanete... nulu! A třetí člen? Taky nula! A čtvrtý termín je také nula! A tak dále…

Dostaneme jen pytel bagelů posloupnost nul:

0, 0, 0, 0, …

Taková sekvence má samozřejmě právo na život, ale nemá praktický význam. Všechno je tak jasné. Kterýkoli z jejích členů je nula. Součet libovolného počtu členů je také nula ... Co zajímavého s tím můžete dělat? Nic…

Následující klíčová slova: „vynásobeno stejným nenulovým číslem“.

Toto stejné číslo má také své vlastní speciální jméno - jmenovatel geometrické posloupnosti. Začněme randit.)

Jmenovatel geometrické posloupnosti.

Všechno je jednoduché.

Jmenovatelem geometrické posloupnosti je nenulové číslo (nebo hodnota) udávající kolikrátkaždý člen progrese více než předchozí.

Opět analogicky s aritmetickým postupem klíčové slovo což by mělo být uvedeno v této definici je slovo "více". To znamená, že se získá každý člen geometrické posloupnosti násobení právě tomuto jmenovateli předchozí člen.

vysvětluji.

Pro výpočet, řekněme druhýčlen vzít Prvníčlen a násobit to na jmenovatele. Pro výpočet desátýčlen vzít devátýčlen a násobit to na jmenovatele.

Jmenovatelem samotné geometrické progrese může být cokoliv. Naprosto kdokoli! Celé číslo, zlomek, kladné, záporné, iracionální – všichni. Kromě nuly. O tom nám vypovídá slovo „nenulový“ v definici. Proč je zde toto slovo potřeba - o tom později.

Jmenovatel geometrické posloupnosti obvykle označeno písmenem q.

Jak najít tento q? Žádný problém! Musíme vzít jakýkoli termín progrese a dělit podle předchozího termínu. Divize je zlomek. Odtud název – „jmenovatel progrese“. Jmenovatel, ten většinou sedí ve zlomku, že ano...) I když, logicky, hodnota q by se mělo volat soukromé geometrický postup, podobný rozdíl pro aritmetický postup. Ale souhlasil, že zavolá jmenovatel. A nebudeme znovu vynalézat kolo.)

Definujme například hodnotu q pro tento geometrický postup:

2, 6, 18, 54, …

Vše je elementární. Bereme žádný pořadové číslo. Co chceme, to si vezmeme. Kromě toho úplně prvního. Například 18. A dělit předchozí číslo. Tedy v 6.

Dostaneme:

q = 18/6 = 3

To je vše. Toto je správná odpověď. Pro danou geometrickou posloupnost je jmenovatel tři.

Pojďme najít jmenovatele q pro další geometrický postup. Například takto:

1, -2, 4, -8, 16, …

Pořád to samé. Ať už mají členové sami jakákoli znamení, stále bereme žádný pořadové číslo (například 16) a dělit předchozí číslo(tj. -8).

Dostaneme:

d = 16/(-8) = -2

A je to.) Tentokrát se jmenovatel progrese ukázal jako negativní. Mínus dva. Se děje.)

Vezměme si tento postup:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

A opět, bez ohledu na typ čísel v posloupnosti (i celá čísla, i zlomková, i záporná, dokonce iracionální), vezmeme libovolné číslo (například 1/9) a vydělíme předchozím číslem (1/3). Podle pravidel operací se zlomky, samozřejmě.

Dostaneme:

To je vše.) Zde se ukázalo, že jmenovatel je zlomkový: q = 1/3.

Ale takový "progres" jako ty?

3, 3, 3, 3, 3, …

Pochopitelně tady q = 1 . Formálně jde také o geometrickou progresi, pouze s stejnými členy.) Ale takové pokroky ke studiu a praktická aplikace nezajímavé. Stejně jako progrese s plnými nulami. Proto je nebudeme uvažovat.

Jak vidíte, jmenovatelem progrese může být cokoliv – celé číslo, zlomek, kladné, záporné – cokoliv! Nemůže to být jen nula. Neuhádli jste proč?

No, podívejme se na nějaký konkrétní příklad, co se stane, když vezmeme jako jmenovatele q nula.) Nechte nás například mít b 1 = 2 , A q = 0 . Jaké bude tedy druhé volební období?

Věříme:

b 2 = b 1 · q= 20 = 0

A třetí člen?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Typy a chování geometrických posloupností.

Se vším bylo víceméně jasné: pokud je rozdíl v postupu d je pozitivní, progrese se zvyšuje. Pokud je rozdíl záporný, progrese se snižuje. Jsou pouze dvě možnosti. Třetí neexistuje.)

Ale s chováním geometrické progrese bude všechno mnohem zajímavější a rozmanitější!)

Jakmile se zde členové chovají: přibývají a ubývají, neomezeně se přibližují k nule a dokonce mění znaménka, střídavě spěchají buď do „plus“ nebo do „mínusu“! A v celé této rozmanitosti musí být člověk schopen dobře rozumět, ano ...

Rozumíme?) Začněme tím nejjednodušším případem.

Jmenovatel je kladný ( q >0)

S kladným jmenovatelem mohou za prvé vstoupit členy geometrické posloupnosti plus nekonečno(tj. neomezeně zvyšovat) a může jít do mínus nekonečno(tj. neomezeně snižovat). Na takové chování progresí jsme si již zvykli.

Například:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Všechno je zde jednoduché. Každý člen progrese je více než předchozí. A každý člen dostane násobení předchozí člen na pozitivníčíslo +2 (tj. q = 2 ). Chování takové progrese je zřejmé: všichni členové progrese rostou neomezeně a míří do vesmíru. Navíc nekonečno...

Nyní je postup:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

I zde se získá každý termín progrese násobení předchozí člen na pozitivníčíslo +2. Ale chování takové progrese je již přímo opačné: každý člen progrese je získán méně než předchozí a všechny jeho členy se neomezeně zmenšují až do mínus nekonečna.

Nyní se zamysleme: co mají tyto dvě progrese společného? Přesně tak, jmenovateli! Tu a tam q = +2 . Kladné číslo.Čert. A tady chování Tyto dvě progrese se zásadně liší! Neuhádli jste proč? Ano! Všechno je to o první člen! Je to on, jak se říká, kdo objednává hudbu.) Přesvědčte se sami.

V prvním případě první termín progrese pozitivní(+1), a tedy všechny následující členy získané vynásobením pozitivní jmenovatel q = +2 , bude také pozitivní.

Ale ve druhém případě první termín negativní(-1). Proto všechny následující členy progrese získají vynásobením pozitivní q = +2 , bude také získán negativní. Pro „mínus“ až „plus“ vždy dává „mínus“, ano.)

Jak vidíte, na rozdíl od aritmetické progrese se geometrická progrese může chovat zcela odlišným způsobem, nejen v závislosti na od jmenovateleq, ale také v závislosti od prvního člena, Ano.)

Pamatujte: chování geometrické posloupnosti je jednoznačně určeno jejím prvním členem b 1 a jmenovatelq .

A nyní začínáme s analýzou méně známých, ale mnohem zajímavějších případů!

Vezměte si například následující sekvenci:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Tato sekvence je také geometrickým postupem! Každý člen této progrese je také získán násobení předchozí termín, stejným číslem. Pouze číslo je zlomkový: q = +1/2 . Nebo +0,5 . A (důležité!) číslo, menší:q = 1/2<1.

Co je na tomto geometrickém postupu zajímavého? Kam jdou její členové? Pojďme se podívat:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

co je zde zajímavého? Za prvé, úbytek členů progrese je okamžitě markantní: každý z jejích členů méně předchozí přesně 2krát. Nebo, podle definice geometrické progrese, každý termín více předchozí 1/2 krát, protože jmenovatel progrese q = 1/2 . A od vynásobení kladným číslem menším než jedna se výsledek obvykle snižuje, ano ...

Co více lze vidět v chování této progrese? Mizí její členové? neomezený, jdeš do mínus nekonečna? Ne! Mizí zvláštním způsobem. Zpočátku ubývají poměrně rychle a pak stále pomaleji. A po celou dobu pobytu pozitivní. I když velmi, velmi malé. A o co usilují? Nehádali jste? Ano! Mají sklon k nule!) A pozor, členové naší progrese nikdy nedosáhnout! Pouze k němu nekonečně blízko. Je to velmi důležité.)

Podobná situace bude v takovém průběhu:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Tady b 1 = -1 , A q = 1/2 . Vše je při starém, jen se nyní členové přiblíží k nule z druhé strany, zespodu. Zůstat po celou dobu negativní.)

Takový geometrický postup, jehož členy blížící se nule na neurčito.(nezáleží na tom, na pozitivní nebo negativní straně), v matematice má speciální název - nekonečně klesající geometrický postup. Tento vývoj je tak zajímavý a neobvyklý, že dokonce bude samostatná lekce .)

Takže jsme zvážili všechno možné pozitivní jmenovatele jsou velké i menší. Jedničku samotnou za jmenovatele z výše uvedených důvodů nepovažujeme (vzpomeňte si na příklad s posloupností trojic ...)

Shrnout:

pozitivníA víc než jeden (q>1), pak členové progrese:

A) neomezeně zvyšovat (pokudb 1 >0);

b) neomezeně snižovat (pokudb 1 <0).

Je-li jmenovatel geometrické posloupnosti pozitivní A méně než jeden (0< q<1), то члены прогрессии:

a) nekonečně blízko nule výše(Lib 1 >0);

b) nekonečně blízko nule zespodu(Lib 1 <0).

Nyní zbývá případ zvážit záporný jmenovatel.

Jmenovatel je záporný ( q <0)

Pro příklad nepůjdeme daleko. Proč vlastně střapatá babička?!) Ať je např. první člen progrese b 1 = 1 a vezměte jmenovatele q = -2.

Dostaneme následující sekvenci:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

A tak dále.) Získá se každý termín postupu násobení předchozí člen na záporné číslo-2. V tomto případě budou všichni členové na lichých místech (první, třetí, pátý atd.). pozitivní a na sudých místech (druhé, čtvrté atd.) - negativní. Značky jsou přísně prokládány. Plus-minus-plus-minus ... Takový geometrický průběh se nazývá - rostoucí znamení střídání.

Kam jdou její členové? A nikde.) Ano, v absolutní hodnotě (tj. modulo) termíny naší progrese se neomezeně zvyšují (odtud název „rostoucí“). Ale přitom to každý člen progrese střídavě hází do tepla, pak do mrazu. Buď plus nebo mínus. Náš postup kolísá... Navíc rozsah kolísání s každým krokem rychle roste, ano.) Proto aspirace členů progrese někam jít konkrétně Tady Ne. Ani do plus nekonečna, ani do mínus nekonečna, ani do nuly – nikde.

Zvažte nyní nějaký zlomkový jmenovatel mezi nulou a mínus jedna.

Například, nech to být b 1 = 1 , A q = -1/2.

Pak dostaneme průběh:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

A opět tu máme střídání znamení! Ale na rozdíl od předchozího příkladu je zde již jasná tendence členů přiblížit se nule.) Pouze tentokrát se naše členy k nule nepřibližují striktně shora nebo zdola, ale opět váhání. Střídavě brát buď kladné nebo záporné hodnoty. Ale zároveň oni moduly jsou stále blíž a blíž k milované nule.)

Tato geometrická progrese se nazývá nekonečně klesající střídavý znak.

Proč jsou tyto dva příklady zajímavé? A skutečnost, že v obou případech se koná střídání postav! Takový čip je typický pouze pro posloupnosti se záporným jmenovatelem, ano.) Pokud tedy v některé úloze uvidíte geometrickou progresi se střídajícími se členy, pak už budete pevně vědět, že jeho jmenovatel je 100% záporný a nespletete se ve znamení.)

Mimochodem, v případě záporného jmenovatele znaménko prvního členu vůbec neovlivňuje chování samotné progrese. Ať je znaménko prvního člena progrese jakékoliv, v každém případě bude dodrženo znaménko střídání členů. Celá otázka je spravedlivá na jakých místech(sudé nebo liché) budou členové se specifickými znaky.

Pamatovat si:

Je-li jmenovatel geometrické posloupnosti negativní , pak jsou znaky podmínek progrese vždy střídat.

Přitom sami členové:

a) neomezeně zvyšovatmodulo, Pokudq<-1;

b) nekonečně se přibližovat k nule, pokud -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

To je vše. Všechny typické případy jsou analyzovány.)

V procesu analýzy různých příkladů geometrických posloupností jsem pravidelně používal slova: "má sklon k nule", "má sklon k plus nekonečnu", inklinuje k mínus nekonečnu... To je v pořádku.) Tyto řečové obraty (a konkrétní příklady) jsou jen prvním seznámením chování různé číselné řady. Příklad geometrického postupu.

Proč vůbec potřebujeme znát progresivní chování? Jaký je rozdíl v tom, kam jde? Do nuly, do plus nekonečna, do mínus nekonečna... Co nás na tom zajímá?

Jde o to, že už na univerzitě, v rámci vyšší matematiky, budete potřebovat schopnost pracovat s nejrůznějšími číselnými posloupnostmi (s jakýmikoli, nejen posloupnostmi!) a schopnost přesně si představit, jak se ta či ona posloupnost chová - zda neomezeně roste, zda klesá, zda inklinuje ke konkrétnímu číslu (a ne nutně k nule), nebo dokonce neinklinuje vůbec k ničemu... Tomuto tématu je věnována celá jedna sekce v kurzu matematiky analýza - limitní teorie. Trochu konkrétněji koncept limit číselné řady. Velmi zajímavé téma! Má smysl jít na vysokou školu a přijít na to.)

Některé příklady z této části (sekvence, které mají limit) a zejména, nekonečně klesající geometrický postup začít se učit ve škole. Zvykat si.)

Navíc schopnost dobře studovat chování sekvencí v budoucnu bude velmi hrát do karet a bude velmi užitečná funkční výzkum. Nejrozmanitější. Ale schopnost kompetentně pracovat s funkcemi (vypočítat derivace, prozkoumat je v plném rozsahu, sestavit jejich grafy) už dramaticky zvyšuje vaši matematickou úroveň! Pochybovat? Není třeba. Pamatujte také na moje slova.)

Podívejme se na geometrický vývoj v životě?

V životě kolem nás se velmi, velmi často setkáváme s exponenciální progresí. Aniž by to věděl.)

Například různé mikroorganismy, které nás všude obklopují v obrovském množství a které bez mikroskopu ani nevidíme, se přesně geometrickou progresí množí.

Řekněme, že jedna bakterie se rozmnožuje tak, že se rozdělí napůl, čímž vznikne potomstvo 2 bakteriím. Na druhé straně se každý z nich, množí, také rozdělí na polovinu, což dává společné potomstvo 4 bakterií. Další generace dá 8 bakterií, pak 16 bakterií, 32, 64 a tak dále. S každou další generací se počet bakterií zdvojnásobí. Typický příklad geometrické progrese.)

Také některý hmyz – mšice, mouchy – se množí exponenciálně. A mimochodem někdy i králíci.)

Dalším příkladem geometrické progrese, bližší každodennímu životu, je tzv složený úrok. Takový zajímavý jev se často vyskytuje u bankovních vkladů a je tzv úroková kapitalizace. co to je?

Vy sám jste samozřejmě ještě mladý. Studuješ školu, nehlásíš se do bank. Ale vaši rodiče jsou dospělí a nezávislí lidé. Chodí do práce, vydělávají si peníze na svůj denní chléb a část peněz dávají do banky, čímž ušetří.)

Řekněme, že si váš táta chce našetřit určitou částku peněz na rodinnou dovolenou v Turecku a vloží 50 000 rublů do banky s 10 % ročně po dobu tří let. s roční úrokovou kapitalizací. Navíc po celou tuto dobu nelze s vkladem nic dělat. Nemůžete ani doplnit vklad, ani vybrat peníze z účtu. Jaký zisk dosáhne za tyto tři roky?

Nejprve musíte zjistit, co je 10% ročně. Znamená to, že v roce K počáteční částce vkladu bude bankou přidáno 10 %. Z čeho? Samozřejmě od počáteční výše vkladu.

Spočítejte si výši účtu za rok. Pokud byla počáteční částka vkladu 50 000 rublů (tj. 100 %), kolik úroků bude na účtu za rok? Přesně tak, 110%! Od 50 000 rublů.

Takže uvažujeme 110% z 50 000 rublů:

50 000 1,1 \u003d 55 000 rublů.

Doufám, že chápete, že nalezení 110 % hodnoty znamená vynásobení této hodnoty číslem 1,1? Pokud nechápete, proč tomu tak je, vzpomeňte si na pátou a šestou třídu. A to - vztah procent se zlomky a díly.)

To znamená, že nárůst za první rok bude 5 000 rublů.

Kolik peněz bude na účtu po dvou letech? 60 000 rublů? Bohužel (nebo spíše naštěstí) to není tak jednoduché. Celý trik úrokové kapitalizace je v tom, že s každým novým připsáním úroku budou tyto stejné úroky již brány v úvahu z nové částky! Od toho, kdo již je na účtu Momentálně. A úroky naběhlé za předchozí období se přičítají k počáteční výši vkladu a sami se tak podílejí na výpočtu nového úroku! To znamená, že se stanou plnohodnotnou součástí celkového účtu. nebo obecný hlavní město. Odtud název - úroková kapitalizace.

Je to v ekonomice. A v matematice se takovým procentům říká složený úrok. Nebo procenta procenta.) Jejich trik je v tom, že při sekvenčním výpočtu se procenta počítají pokaždé z nové hodnoty. Ne z originálu...

Proto, aby bylo možné vypočítat součet přes dva roky, potřebujeme spočítat 110 % částky, která bude na účtu v roce. To znamená, že již od 55 000 rublů.

Zvažujeme 110 % z 55 000 rublů:

55 000 1,1 \u003d 60 500 rublů.

To znamená, že procentní nárůst za druhý rok bude již 5 500 rublů a na dva roky - 10 500 rublů.

Nyní již můžete hádat, že za tři roky bude částka na účtu 110% z 60 500 rublů. To je zase 110% z předchozího (minulého roku) množství.

Zde uvažujeme:

60500 1,1 \u003d 66550 rublů.

A nyní sestavujeme naše peněžní částky po letech v pořadí:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50 000 1,1) 1,1) 1,1

Jak to tedy je? Proč ne geometrický postup? První člen b 1 = 50000 a jmenovatel q = 1,1 . Každý termín je striktně 1,1krát větší než ten předchozí. Vše je v přísném souladu s definicí.)

A kolik dalších procentuálních bonusů váš táta „přihodí“, zatímco jeho 50 000 rublů bylo na bankovním účtu tři roky?

Věříme:

66550 - 50000 = 16550 rublů

Je to špatné, samozřejmě. Ale to je, pokud je počáteční výše příspěvku malá. Co když je toho víc? Řekněme, ne 50, ale 200 tisíc rublů? Pak bude nárůst na tři roky již 66 200 rublů (pokud počítáte). Což je již velmi dobré.) A pokud je příspěvek ještě větší? Tak to je...

Závěr: čím vyšší je počáteční vklad, tím výnosnější je úroková kapitalizace. Vklady s úrokovou kapitalizací jsou proto bankami poskytovány dlouhodobě. Řekněme pět let.

Také všechny druhy špatných nemocí jako chřipka, spalničky a ještě hroznější nemoci (stejný SARS na počátku 21. století nebo mor ve středověku) se rády šíří exponenciálně. Proto rozsah epidemií, ano ...) A to vše kvůli skutečnosti, že geometrický postup s celý kladný jmenovatel (q>1) - věc, která roste velmi rychle! Pamatujte na reprodukci bakterií: z jedné bakterie se získají dvě, ze dvou - čtyři, ze čtyř - osm atd. ... S šířením jakékoli infekce je vše stejné.)

Nejjednodušší úlohy v geometrickém postupu.

Začněme jako vždy jednoduchým problémem. Čistě pro pochopení smyslu.

1. Je známo, že druhý člen geometrické posloupnosti je 6 a jmenovatel je -0,5. Najděte první, třetí a čtvrtý termín.

Takže je nám dáno nekonečný geometrický postup, dobře známý druhé období tento postup:

b2 = 6

Navíc také víme jmenovatel progrese:

q = -0,5

A musíte najít první, třetí A Čtvrtýčleny této progrese.

Tady jednáme. Posloupnost zapisujeme podle stavu problému. Přímo obecně, kde druhý člen je šest:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Nyní začneme hledat. Začneme jako vždy tím nejjednodušším. Můžete vypočítat například třetí člen b 3? Umět! Již víme (přímo ve smyslu geometrické progrese), že třetí člen (b 3) více než sekundu (b 2 ) PROTI "q" jednou!

Takže píšeme:

b 3 =b 2 · q

Místo toho do tohoto výrazu dosadíme šestku b 2 a -0,5 místo toho q a myslíme si. A mínus samozřejmě také není ignorován ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Takhle. Třetí termín dopadl negativně. Není divu: náš jmenovatel q- negativní. A plus vynásobené mínusem, bude to samozřejmě mínus.)

Nyní zvažujeme další, čtvrtý termín postupu:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Čtvrtý termín je opět s plusem. Pátý termín bude opět s mínusem, šestý s plusem a tak dále. Znamení - střídejte!

Byl tedy nalezen třetí a čtvrtý člen. Výsledkem je následující sekvence:

bl; 6; -3; 1,5; …

Nyní zbývá najít první termín b 1 podle známého druhého. K tomu vykročíme jiným směrem, doleva. To znamená, že v tomto případě nemusíme druhý člen progrese násobit jmenovatelem, ale podíl.

Rozdělíme a dostaneme:

To je vše.) Odpověď na problém bude následující:

-12; 6; -3; 1,5; …

Jak vidíte, princip řešení je stejný jako v . Víme žádnýčlen a jmenovatel geometrická progrese - můžeme najít jakýkoli jiný termín. Co chceme, jedno najdeme.) Jediný rozdíl je v tom, že sčítání / odčítání je nahrazeno násobením / dělením.

Pamatujte: pokud známe alespoň jeden člen a jmenovatel geometrické posloupnosti, pak můžeme vždy najít jakýkoli jiný člen této posloupnosti.

Následující úkol je podle tradice ze skutečné verze OGE:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Jak to tedy je? Tentokrát není žádný první termín, žádný jmenovatel q, je dána jen posloupnost čísel ... Už něco známého, že? Ano! Podobný problém již byl řešen v aritmetickém postupu!

Tady se nebojíme. Pořád to samé. Otočte hlavu a zapamatujte si základní význam geometrického postupu. Pečlivě se podíváme na naši sekvenci a zjistíme, které parametry geometrické posloupnosti tří hlavních (první člen, jmenovatel, číslo členu) se v ní skrývají.

Členská čísla? Neexistují žádná čísla členů, ano... Ale jsou čtyři postupnéčísla. Co toto slovo znamená, nevidím v této fázi smysl vysvětlovat.) Jsou tam dva sousední známá čísla? Jíst! Jedná se o 6 a 1.2. Takže můžeme najít jmenovatel progrese. Vezmeme tedy číslo 1,2 a vydělíme na předchozí číslo. Za šest.

Dostaneme:

Dostaneme:

X= 150 0,2 = 30

Odpovědět: X = 30 .

Jak vidíte, vše je docela jednoduché. Hlavní problém spočívá pouze ve výpočtech. Obzvláště obtížné je to v případě záporných a zlomkových jmenovatelů. Takže kdo máte problémy, opakujte aritmetiku! Jak pracovat se zlomky, jak pracovat se zápornými čísly a tak dále... Jinak zde nemilosrdně zpomalíte.

Nyní trochu změníme problém. Teď to bude zajímavé! Odeberme v něm poslední číslo 1,2. Pojďme nyní vyřešit tento problém:

3. Je napsáno několik po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti:

…; 150; X; 6; …

Najděte člen průběhu, označený písmenem x.

Všechno je stejné, jen dva sousedí slavný již nemáme členy progrese. To je hlavní problém. Protože velikost q prostřednictvím dvou sousedních členů již snadno určíme nemůžeme. Máme šanci splnit výzvu? Rozhodně!

Napíšeme neznámý termín" X„Přímo ve smyslu geometrického postupu! Obecně řečeno.

Ano ano! Přímo s neznámým jmenovatelem!

Na jedné straně pro x můžeme napsat následující poměr:

X= 150q

Na druhou stranu máme plné právo nakreslit stejné X dalšíčlen, přes šest! Vyděl šest jmenovatelem.

Takhle:

X = 6/ q

Je zřejmé, že nyní můžeme oba tyto poměry srovnat. Protože se vyjadřujeme stejný hodnotu (x), ale dvě různé způsoby.

Dostaneme rovnici:

Vynásobením všeho q, zjednodušením, zmenšením, dostaneme rovnici:

q 2 \u003d 1/25

Vyřešíme a dostaneme:

q = ±1/5 = ±0,2

Jejda! Jmenovatel je dvojnásobný! +0,2 a -0,2. A který si vybrat? Slepá ulička?

Uklidnit! Ano, problém opravdu je dvě řešení! Není na tom nic špatného. Stává se.) Nedivíte se, když například řešením obvyklého získáte dva kořeny? Tady je to stejný příběh.)

Pro q = +0,2 dostaneme:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

A pro q = -0,2 vůle:

X = 150 (-0,2) = -30

Dostáváme dvojí odpověď: X = 30; X = -30.

Co tento zajímavý fakt znamená? A co existuje dvě progrese, splňující podmínku problému!

Jako tyhle:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Obojí je vhodné.) Co je podle vás důvodem rozdvojení odpovědí? Právě kvůli vyřazení konkrétního člena progrese (1,2), přicházejícího po šestce. A když známe pouze předchozí (n-1)-tý a následující (n+1)-tý člen geometrické posloupnosti, nemůžeme již jednoznačně říci nic o tom, že by mezi nimi stál n-tý člen. Jsou dvě možnosti – plus a mínus.

Ale to je jedno. V úlohách pro geometrický postup jsou zpravidla další informace, které dávají jednoznačnou odpověď. Řekněme slova: "progrese se střídavým znaménkem" nebo "progrese s kladným jmenovatelem" a tak dále... Právě tato slova by měla sloužit jako vodítko, jaké znaménko plus mínus zvolit při konečné odpovědi. Pokud takové informace neexistují, pak - ano, úkol bude mít dvě řešení.)

A teď se rozhodujeme sami.

4. Určete, zda číslo 20 bude členem geometrické posloupnosti:

4 ; 6; 9; …

5. Je dán střídavý geometrický postup:

…; 5; X ; 45; …

Najděte termín progrese označený písmenem X .

6. Najděte čtvrtý kladný člen geometrické posloupnosti:

625; -250; 100; …

7. Druhý člen geometrického průběhu je -360 a jeho pátý člen je 23.04. Najděte první termín tohoto postupu.

Odpovědi (v nepořádku): -15; 900; Ne; 2.56.

Gratulujeme, pokud vše klaplo!

Něco nesedí? Je někde dvojí odpověď? Pečlivě jsme si přečetli podmínky zadání!

Poslední hádanka nefunguje? Není tam nic složitého.) Pracujeme přímo podle smyslu geometrické posloupnosti. No, můžeš si nakreslit obrázek. To pomáhá.)

Jak vidíte, vše je elementární. Pokud je progrese krátká. Co když je to dlouhé? Nebo je počet požadovaného člena velmi velký? Chtěl bych, analogicky s aritmetickým postupem, nějak získat vhodný vzorec, který usnadní nalezení žádnýčlen libovolné geometrické progrese podle jeho čísla. Bez mnohonásobného násobení q. A existuje takový vzorec!) Podrobnosti - v další lekci.

Lekce a prezentace na téma: "Číselné posloupnosti. Geometrická progrese"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Výukové pomůcky a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro ročník 9
Funkce a grafy mocnin a odmocnin

Kluci, dnes se seznámíme s dalším typem progrese.
Tématem dnešní lekce je geometrický postup.

Geometrická progrese

Definice. Číselná posloupnost, ve které každý člen, počínaje druhým, se rovná produktu předchozí a nějaké pevné číslo se nazývá geometrická progrese.
Definujme naši posloupnost rekurzivně: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kde b a q jsou určitá daná čísla. Číslo q se nazývá jmenovatel progrese.

Příklad. 1,2,4,8,16… Geometrická posloupnost, ve které je první člen roven jedné a $q=2$.

Příklad. 8,8,8,8… Geometrická posloupnost, jejíž první člen je osm,
a $q=1$.

Příklad. 3,-3,3,-3,3... Geometrická posloupnost, jejíž první člen je tři,
a $q=-1$.

Geometrická progrese má vlastnosti monotonie.
Pokud $b_(1)>0$, $q>1$,
pak se sekvence zvyšuje.
Pokud $b_(1)>0$, $0 Sekvence se obvykle označuje jako: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Stejně jako v aritmetické posloupnosti, pokud je počet prvků v geometrické posloupnosti konečný, pak se posloupnost nazývá konečná geometrická posloupnost.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Všimněte si, že pokud je posloupnost geometrickou posloupností, pak posloupnost umocněných členů je také geometrickou posloupností. Druhá posloupnost má první člen $b_(1)^2$ a jmenovatel $q^2$.

Vzorec n-tého členu geometrické posloupnosti

Geometrická progrese může být specifikována i v analytické formě. Podívejme se, jak na to:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Můžeme snadno vidět vzor: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Náš vzorec se nazývá "vzorec n-tého členu geometrické posloupnosti".

Vraťme se k našim příkladům.

Příklad. 1,2,4,8,16… geometrická posloupnost, jejíž první člen je roven jedné,
a $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Příklad. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrická posloupnost, jejíž první člen je šestnáct a $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Příklad. 8,8,8,8… Geometrická posloupnost, kde první člen je osm a $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Příklad. 3,-3,3,-3,3… Geometrická posloupnost, jejíž první člen je tři a $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Příklad. Je dána geometrická posloupnost $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Je známo, že $b_(1)=6, q=3$. Najděte $b_(5)$.
b) Je známo, že $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Najít n.
c) Je známo, že $q=-2, b_(6)=96$. Najděte $b_(1)$.
d) Je známo, že $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Najděte q.

Řešení.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ od $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Příklad. Rozdíl mezi sedmým a pátým členem geometrické posloupnosti je 192, součet pátého a šestého člena posloupnosti je 192. Najděte desátý člen této posloupnosti.

Řešení.
Víme, že: $b_(7)-b_(5)=192$ a $b_(5)+b_(6)=192$.
Víme také: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Pak:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192 $.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dostali jsme soustavu rovnic:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Když dáme rovnítko, naše rovnice dostane:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Máme dvě řešení q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Dosazujte postupně do druhé rovnice:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ žádná řešení.
Dostali jsme, že: $b_(1)=4, q=2$.
Najdeme desátý člen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Součet konečné geometrické posloupnosti

Předpokládejme, že máme konečný geometrický průběh. Pojďme, stejně jako u aritmetické posloupnosti, spočítat součet jejích členů.

Nechť je dána konečná geometrická posloupnost: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Zaveďme zápis pro součet jeho členů: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
V případě, kdy $q=1$. Všechny členy geometrické posloupnosti jsou rovny prvnímu členu, pak je zřejmé, že $S_(n)=n*b_(1)$.
Zvažte nyní případ $q≠1$.
Vynásobte výše uvedenou částku q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Poznámka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Získali jsme vzorec pro součet konečné geometrické posloupnosti.

Příklad.
Najděte součet prvních sedmi členů geometrické posloupnosti, jejíž první člen je 4 a jmenovatel je 3.

Řešení.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Příklad.
Najděte pátý člen geometrické posloupnosti, který je známý: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095 $.

Řešení.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024 $.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakteristická vlastnost geometrické posloupnosti

Chlapi, vzhledem k geometrickému postupu. Uvažujme jeho tři po sobě jdoucí členy: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Víme, že:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Pak:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Pokud je progrese konečná, pak tato rovnost platí pro všechny členy kromě prvního a posledního.
Pokud není předem známo, jaký druh posloupnosti má posloupnost, ale je známo, že: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Pak můžeme s jistotou říci, že se jedná o geometrickou progresi.

Číselná posloupnost je geometrickou posloupností pouze tehdy, když druhá mocnina každého z jejích členů je rovna součinu jejích dvou sousedních členů posloupnosti. Nezapomeňte, že pro konečný postup není tato podmínka splněna pro první a poslední člen.

Podívejme se na tuto identitu: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se nazývá průměr geometrická čísla a a b.

Modul libovolného členu geometrické progrese se rovná geometrickému průměru dvou členů k němu přiléhajících.

Příklad.
Najděte x takové, že $x+2; 2x+2; 3x+3$ byly tři po sobě jdoucí členy geometrické progrese.

Řešení.
Použijme charakteristickou vlastnost:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ a $x_(2)=-1$.
Postupně nahraďte v původním výrazu naše řešení:
S $x=2$ jsme dostali sekvenci: 4;6;9 je geometrická posloupnost s $q=1,5$.
S $x=-1$ jsme dostali sekvenci: 1;0;0.
Odpověď: $x=2.$

Úkoly pro samostatné řešení

1. Najděte osmý první člen geometrické posloupnosti 16; -8; 4; -2 ....
2. Najděte desátý člen geometrické posloupnosti 11,22,44….
3. Je známo, že $b_(1)=5, q=3$. Najděte $b_(7)$.
4. Je známo, že $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Najít n.
5. Najděte součet prvních 11 členů geometrické posloupnosti 3;12;48….
6. Najděte x takové, že $3x+4; 2x+4; x+5$ jsou tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.

Příklad geometrického postupu: 2, 6, 18, 54, 162.

Zde je každý termín po prvním trojnásobkem toho předchozího. To znamená, že každý následující výraz je výsledkem vynásobení předchozího výrazu třemi:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

V našem příkladu při dělení druhého členu prvním, třetího druhým a tak dále. dostaneme 3. Číslo 3 je jmenovatelem této geometrické posloupnosti.

Příklad:

Vraťme se k naší geometrické posloupnosti 2, 6, 18, 54, 162. Vezměme čtvrtý člen a odmocnime jej:
54 2 = 2916.

Nyní vynásobíme členy vlevo a vpravo od čísla 54:

18 162 = 2916.

Jak vidíte, druhá mocnina třetího členu se rovná součinu sousedního druhého a čtvrtého členu.

Příklad 1: Vezměme si nějakou geometrickou posloupnost, ve které se první člen rovná 2 a jmenovatel geometrické posloupnosti je roven 1,5. Musíme najít 4. člen tohoto postupu.

Vzhledem k tomu:
b 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
b 4 - ?

Řešení.

Použití vzorce b n= b 1 q n- 1, vložením příslušných hodnot do něj:
b 4 \u003d 2 1,5 4 - 1 \u003d 2 1,5 3 \u003d 2 3,375 \u003d 6,75.

Odpovědět: Čtvrtý člen dané geometrické posloupnosti je číslo 6,75.

Příklad 2: Najděte pátý člen geometrické posloupnosti, pokud je první a třetí člen 12 a 192, v tomto pořadí.

Vzhledem k tomu:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Řešení.

1) Nejprve musíme najít jmenovatele geometrické posloupnosti, bez kterého není možné problém vyřešit. Jako první krok pomocí našeho vzorce odvodíme vzorec pro b 3:

b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Nyní můžeme najít jmenovatele geometrické posloupnosti:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q= √16 = 4 nebo -4.

2) Zbývá najít hodnotu b 5 .
Li q= 4 tedy

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

Na q= -4 výsledek bude stejný. Problém má tedy jedno řešení.

Odpovědět: Pátý člen dané geometrické posloupnosti je číslo 3072.

Příklad: Najděte součet prvních pěti členů geometrické posloupnosti ( b n), ve kterém se první člen rovná 2 a jmenovatel geometrické posloupnosti je 3.

Vzhledem k tomu:

b 1 = 2

q = 3

n = 5
————
S 5 - ?

Řešení.

Aplikujeme druhý vzorec ze dvou výše:

b 1 (q 5 – 1) 2 (3 5 – 1) 2 (243 – 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Odpovědět: Součet prvních pěti členů dané geometrické posloupnosti je 242.

Součet nekonečné geometrické posloupnosti.

Je třeba rozlišovat mezi pojmy „součet nekonečné geometrické posloupnosti“ a „součet nčleny geometrické progrese. Druhý koncept se týká jakékoli geometrické progrese a první - pouze té, kde je jmenovatel menší než 1 modulo.

Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například:

Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které z nich je první, které druhé, a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady:

Číselná posloupnost je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo.

Například pro naši sekvenci:

Přidělené číslo je specifické pouze pro jedno pořadové číslo. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (jako -té číslo) je vždy stejné.

Číslo s číslem se nazývá -tý člen posloupnosti.

Celé posloupnosti obvykle říkáme nějaké písmeno (například) a každý člen této posloupnosti - stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

V našem případě:

Nejběžnější typy progrese jsou aritmetické a geometrické. V tomto tématu budeme hovořit o druhém druhu − geometrická progrese.

Proč potřebujeme geometrickou progresi a její historii.

Už ve starověku se italský matematik, mnich Leonardo z Pisy (známější jako Fibonacci), zabýval praktickými potřebami obchodu. Mnich stál před úkolem určit, jaký nejmenší počet závaží lze použít k vážení zboží? Fibonacci ve svých spisech dokazuje, že takový systém vah je optimální: Toto je jedna z prvních situací, kdy se lidé museli vypořádat s geometrickou progresí, o které jste pravděpodobně slyšeli a máte o ní alespoň rámcovou představu. Jakmile plně pochopíte téma, zamyslete se nad tím, proč je takový systém optimální?

V současné době se v životní praxi projevuje geometrická progrese při investování prostředků v bance, kdy je výše úroku účtována z částky nastřádané na účtu za minulé období. Jinými slovy, pokud dáte peníze na termínovaný vklad do spořitelny, tak za rok se vklad z původní částky navýší, tzn. nová částka se bude rovnat příspěvku vynásobenému. V dalším roce se tato částka zvýší o, tj. částka získaná v té době se opět vynásobí a tak dále. Podobná situace je popsána v problematice počítání tzv složený úrok- procento se bere pokaždé z částky, která je na účtu, s přihlédnutím k předchozímu úroku. O těchto úkolech si povíme trochu později.

Existuje mnohem více jednoduchých případů, kdy je aplikována geometrická progrese. Například šíření chřipky: jeden člověk nakazil člověka, ten zase nakazil jiného člověka, a tak druhou vlnou infekce je člověk, a ten zase nakazil dalšího ... a tak dále .. .

Mimochodem, finanční pyramida, stejný MMM, je jednoduchý a suchý výpočet podle vlastností geometrické progrese. Zajímavý? Pojďme na to přijít.

Geometrická progrese.

Řekněme, že máme číselnou řadu:

Ihned odpovíte, že je to snadné a název takové sekvence je s rozdílem jejích členů. Co třeba něco takového:

Pokud odečtete předchozí číslo od dalšího čísla, uvidíte, že pokaždé, když dostanete nový rozdíl (a tak dále), ale posloupnost rozhodně existuje a je snadné si ji všimnout - každé následující číslo je krát větší než předchozí !

Tento typ sekvence se nazývá geometrická progrese a je označeno.

Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

Omezení, že první člen ( ) není stejný a nejsou náhodné. Řekněme, že žádné nejsou a první člen je stále stejný a q je, hmm .. nechť, pak to dopadne:

Souhlaste, že to není žádný pokrok.

Jak jste pochopili, dostaneme stejné výsledky, pokud je to jakékoli číslo jiné než nula, ale. V těchto případech prostě nedojde k žádné progresi, protože celá číselná řada budou buď samé nuly, nebo jedno číslo a všechny ostatní nuly.

Nyní si povíme podrobněji o jmenovateli geometrické posloupnosti, tedy o.

Opět je toto číslo kolikrát se každý následující termín změní geometrická progrese.

Co by to podle vás mohlo být? To je pravda, pozitivní a negativní, ale ne nula (o tom jsme mluvili trochu výše).

Řekněme, že máme pozitivní. Nechť v našem případě a. Jaký je druhý termín a? Na to můžete snadno odpovědět:

Dobře. V souladu s tím, pokud, pak všichni následující členové progrese mají stejné znamení - oni pozitivní.

Co když je negativní? Například a. Jaký je druhý termín a?

Je to úplně jiný příběh

Zkuste si spočítat dobu tohoto postupu. kolik jsi dostal? Mám. Pokud tedy, pak se znaménka členů geometrické posloupnosti střídají. To znamená, že pokud vidíte progresi se střídajícími se znaky v jejích členech, pak je její jmenovatel záporný. Tyto znalosti vám mohou pomoci otestovat se při řešení problémů na toto téma.

Nyní si trochu procvičíme: zkuste určit, které číselné posloupnosti jsou geometrickou posloupností a které aritmetickou:

Mám to? Porovnejte naše odpovědi:

• Geometrická progrese - 3, 6.
• Aritmetický postup - 2, 4.
• Není to ani aritmetika, ani geometrický postup - 1, 5, 7.

Vraťme se k našemu poslednímu postupu a pokusme se najít jeho termín stejným způsobem jako v aritmetice. Jak už asi tušíte, existují dva způsoby, jak ho najít.

Každý výraz postupně násobíme.

Takže -tý člen popsané geometrické posloupnosti je roven.

Jak již tušíte, nyní sami odvodíte vzorec, který vám pomůže najít jakýkoli člen geometrické posloupnosti. Nebo už jste to pro sebe přinesli a popsali, jak najít th člen po etapách? Pokud ano, zkontrolujte správnost své úvahy.

Ukažme si to na příkladu nalezení -tého členu této posloupnosti:

Jinými slovy:

Najděte si hodnotu člena dané geometrické posloupnosti.

Stalo? Porovnejte naše odpovědi:

Všimněte si, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, kdy jsme postupně násobili každým předchozím členem geometrické posloupnosti.
Pokusme se tento vzorec "odosobnit" - přeneseme jej do obecné podoby a dostaneme:

Odvozený vzorec platí pro všechny hodnoty – kladné i záporné. Ověřte si to sami výpočtem členů geometrické posloupnosti s následujícími podmínkami: ,a.

Počítal jsi? Porovnejme výsledky:

Souhlaste, že by bylo možné najít člena progrese stejným způsobem jako člena, nicméně je zde možnost přepočtu. A když už jsme našli tý člen geometrické posloupnosti a, tak co může být jednodušší než použít „zkrácenou“ část vzorce.

Nekonečně klesající geometrický postup.

Nedávno jsme mluvili o tom, co může být větší nebo menší než nula, existují však speciální hodnoty, pro které se geometrická progrese nazývá nekonečně klesající.

Proč myslíš, že má takový název?
Pro začátek si zapišme nějakou geometrickou posloupnost skládající se z členů.
Řekněme tedy:

Vidíme, že každý následující termín je v časech menší než ten předchozí, ale bude nějaké číslo? Okamžitě odpovíte „ne“. To je důvod, proč nekonečně klesající - klesá, klesá, ale nikdy se nestane nulou.

Abychom jasně pochopili, jak to vizuálně vypadá, zkusme nakreslit graf našeho postupu. Takže pro náš případ má vzorec následující formu:

Na grafech jsme zvyklí budovat závislost na:

Podstata výrazu se nezměnila: v prvním vstupu jsme ukázali závislost hodnoty členu geometrické posloupnosti na jeho pořadovém čísle a ve druhém vstupu jsme prostě vzali hodnotu členu geometrické posloupnosti pro a pořadové číslo bylo určeno nikoli jako, ale jako. Zbývá jen nakreslit graf.
Podívejme se, co máš. Zde je graf, který jsem dostal:

Vidět? Funkce klesá, má tendenci k nule, ale nikdy ji nekříží, takže nekonečně klesá. Vyznačme si na grafu naše body a zároveň, co souřadnice a znamená:

Pokuste se schematicky znázornit graf geometrické progrese, pokud je její první člen také stejný. Analyzujte, jaký je rozdíl od našeho předchozího grafu?

Zvládli jste to? Zde je graf, který jsem dostal:

Nyní, když jste plně pochopili základy tématu geometrické posloupnosti: víte, co to je, víte, jak najít její termín, a také víte, co je to nekonečně klesající geometrická posloupnost, přejděme k její hlavní vlastnosti.

vlastnost geometrické posloupnosti.

Pamatujete si vlastnosti členů aritmetického postupu? Ano, ano, jak najít hodnotu určitého počtu progrese, když existují předchozí a následující hodnoty členů této progrese. Pamatováno? Tento:

Nyní stojíme před úplně stejnou otázkou ohledně podmínek geometrické progrese. Abychom odvodili takový vzorec, začněme kreslit a uvažovat. Uvidíte, je to velmi snadné, a pokud zapomenete, můžete to vynést sami.

Vezměme si další jednoduchý geometrický postup, ve kterém známe a. Jak najít? S aritmetickým postupem je to snadné a jednoduché, ale jak je to tady? Ve skutečnosti ani v geometrii není nic složitého - stačí namalovat každou nám zadanou hodnotu podle vzorce.

Ptáte se, a co s tím teď uděláme? Ano, velmi jednoduché. Nejprve si znázorněme tyto vzorce na obrázku a pokusme se s nimi provádět různé manipulace, abychom dospěli k hodnotě.

Abstrahujeme od čísel, která nám jsou dána, zaměříme se pouze na jejich vyjádření pomocí vzorce. Musíme najít zvýrazněnou hodnotu oranžový, zná pojmy, které s ním sousedí. Zkusme s nimi provádět různé akce, v jejichž důsledku můžeme získat.

Přidání.
Zkusme přidat dva výrazy a dostaneme:

Z tohoto výrazu, jak vidíte, se nebudeme moci nijak vyjádřit, proto zkusíme jinou možnost - odečítání.

Odčítání.

Jak vidíte, ani z toho se nemůžeme vyjádřit, proto se pokusíme tyto výrazy mezi sebou znásobit.

Násobení.

Nyní se pozorně podívejte na to, co máme, a vynásobte podmínky geometrické progrese, která nám byla dána, ve srovnání s tím, co je třeba najít:

Hádejte, o čem mluvím? Správně, abychom našli, musíme vzít Odmocnina z čísel geometrické posloupnosti sousedících s požadovaným číslem vynásobených navzájem:

Tady máš. Sám jste odvodil vlastnost geometrické progrese. Zkuste napsat tento vzorec v obecné podobě. Stalo?

Zapomenutý stav kdy? Zamyslete se nad tím, proč je to důležité, zkuste si to například spočítat sami, při. Co se stane v tomto případě? To je pravda, úplný nesmysl, protože vzorec vypadá takto:

Proto na toto omezení nezapomeňte.

Nyní spočítejme, co je

Správná odpověď - ! Pokud jste při výpočtu nezapomněli na druhou možnou hodnotu, tak jste skvělí a můžete rovnou přistoupit k tréninku a pokud jste zapomněli, přečtěte si, co je rozebráno níže a věnujte pozornost tomu, proč musí být v odpovědi zapsány oba kořeny .

Nakreslete obě naše geometrické posloupnosti – jednu s hodnotou a druhou s hodnotou a zkontrolujme, zda obě mají právo existovat:

Abychom mohli zkontrolovat, zda taková geometrická progrese existuje nebo ne, je nutné zjistit, zda je stejná mezi všemi jejími danými členy? Vypočítejte q pro první a druhý případ.

Vidíte, proč musíme napsat dvě odpovědi? Protože znaménko požadovaného termínu závisí na tom, zda je kladné nebo záporné! A protože nevíme, co to je, je potřeba napsat obě odpovědi s plusem a mínusem.

Nyní, když jste zvládli hlavní body a odvodili vzorec pro vlastnost geometrické posloupnosti, najděte, znáte a

Porovnejte své odpovědi se správnými:

Co si myslíte, co kdybychom nedostali hodnoty členů geometrické progrese sousedící s požadovaným číslem, ale ve stejné vzdálenosti od něj. Například potřebujeme najít, a dané a. Můžeme v tomto případě použít vzorec, který jsme odvodili? Pokuste se potvrdit nebo vyvrátit tuto možnost stejným způsobem, popište, z čeho se každá hodnota skládá, jako jste to udělali při počátečním odvozování vzorce.
Co jsi dostal?

Nyní se znovu pozorně podívejte.
a odpovídajícím způsobem:

Z toho můžeme usoudit, že vzorec funguje nejen se sousedy s požadovanými členy geometrické progrese, ale také s stejně vzdálený z toho, co členové hledají.

Náš původní vzorec tedy bude:

To znamená, že pokud jsme to řekli v prvním případě, teď říkáme, že se to může rovnat jakémukoli přirozené číslo, což je méně. Hlavní je, aby byla pro obě daná čísla stejná.

Cvičit pro konkrétní příklady jen buďte extrémně opatrní!

1. , . Nalézt.
2. , . Nalézt.
3. , . Nalézt.

Rozhodnuto? Doufám, že jste byli extrémně pozorní a všimli jste si malého úlovku.

Porovnáme výsledky.

V prvních dvou případech klidně použijeme výše uvedený vzorec a získáme následující hodnoty:

Ve třetím případě, po pečlivém zvážení sériových čísel čísel, která nám byla poskytnuta, jsme pochopili, že nejsou ve stejné vzdálenosti od čísla, které hledáme: je to předchozí číslo, ale odstraněno na pozici, takže není možné použít vzorec.

jak to vyřešit? Ve skutečnosti to není tak těžké, jak se zdá! Pojďme si s vámi zapsat, z čeho se skládá každé nám dané číslo a požadované číslo.

Takže máme a. Pojďme se podívat, co s nimi můžeme dělat. Navrhuji rozdělit. Dostaneme:

Naše data dosadíme do vzorce:

Další krok můžeme najít - k tomu potřebujeme vzít třetí odmocninu výsledného čísla.

Nyní se znovu podíváme na to, co máme. Máme, ale musíme najít, a to se zase rovná:

Našli jsme všechny potřebné údaje pro výpočet. Nahraďte ve vzorci:

Naše odpověď: .

Zkuste sami vyřešit jiný stejný problém:
Vzhledem k tomu: ,
Nalézt:

kolik jsi dostal? Mám - .

Jak vidíte, ve skutečnosti potřebujete zapamatovat si pouze jeden vzorec- Vše ostatní si můžete sami kdykoliv bez problémů stáhnout. K tomu stačí napsat nejjednodušší geometrickou posloupnost na papír a napsat, čemu se podle výše uvedeného vzorce rovná každé její číslo.

Součet členů geometrické posloupnosti.

Nyní zvažte vzorce, které nám umožňují rychle vypočítat součet členů geometrické posloupnosti v daném intervalu:

Abychom odvodili vzorec pro součet členů konečné geometrické posloupnosti, vynásobíme všechny části výše uvedené rovnice číslem. Dostaneme:

Podívejte se pozorně: co mají poslední dva vzorce společného? Přesně tak, třeba společní členové a tak dále, kromě prvního a posledního člena. Zkusme odečíst 1. rovnici od 2. rovnice. Co jsi dostal?

Nyní vyjádřete pomocí vzorce člen geometrické posloupnosti a dosaďte výsledný výraz do našeho posledního vzorce:

Seskupte výraz. Měli byste dostat:

Zbývá pouze vyjádřit:

V souladu s tím v tomto případě.

Co když? Jaký vzorec tedy funguje? Představte si geometrickou progresi v. Jaká je? Správná řada stejná čísla, takže vzorec bude vypadat takto:

Stejně jako u aritmetického a geometrického postupu existuje mnoho legend. Jednou z nich je legenda o Sethovi, tvůrci šachů.

Mnoho lidí ví, že šachová hra byla vynalezena v Indii. Když se s ní hinduistický král setkal, byl potěšen jejím vtipem a rozmanitostí možných pozic v ní. Když se král dozvěděl, že jej vynalezl jeden z jeho poddaných, rozhodl se ho osobně odměnit. Zavolal k sobě vynálezce a nařídil, aby ho požádal o cokoli, co by chtěl, a slíbil, že splní i tu nejšikovnější touhu.

Seta požádal o čas na rozmyšlenou, a když se následujícího dne Seta objevil před králem, překvapil krále nebývalou skromností své žádosti. Požádal o pšeničné zrno pro první pole šachovnice, pšenici pro druhé, pro třetí, pro čtvrté a tak dále.

Král se rozzlobil a zahnal Setha s tím, že žádost sluhy není hodná královské štědrosti, ale slíbil, že sluha dostane jeho obilí za všechny cely rady.

A nyní otázka zní: pomocí vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti spočítejte, kolik zrn by měl Seth dostat?

Začněme diskutovat. Protože podle podmínky Seth požádal o zrnko pšenice za první buňku šachovnice, za druhou, za třetí, za čtvrtou atd., vidíme, že problém je v geometrickém postupu. Co se v tomto případě rovná?
Že jo.

Celkový počet buněk na šachovnici. Respektive, . Všechna data máme, zbývá jen dosadit do vzorce a vypočítat.

Abychom alespoň přibližně reprezentovali „škály“ daného čísla, transformujeme pomocí vlastností stupně:

Samozřejmě, pokud chcete, můžete si vzít kalkulačku a spočítat si, k jakému číslu nakonec dostanete, a pokud ne, budete mi muset dát za slovo: konečná hodnota výrazu bude.
to je:

kvintilion kvadrilion bilion miliard milionů milionů tisíc.

Fuh) Pokud si chcete představit enormnost tohoto čísla, pak odhadněte, jaká velikost stodoly by byla zapotřebí, aby se vešlo celé množství obilí.
Při výšce stodoly m a šířce m by její délka musela sahat na km, tzn. dvakrát tak daleko než od Země ke Slunci.

Pokud by byl král silný v matematice, mohl by vědci nabídnout, aby počítal zrnka, protože k napočítání milionu zrnek by potřeboval minimálně den neúnavného počítání a vzhledem k tomu, že je nutné počítat kvintiliony, tak by se dalo říci, že pokud by byl král silný v matematice, mohl by sám vědce nabídnout počítání zrnek, protože k napočítání milionu zrnek by potřeboval alespoň den neúnavného počítání, zrna by se musel počítat celý život.

A nyní vyřešíme jednoduchý problém na součtu členů geometrické posloupnosti.
Vasya, student 5. třídy, onemocněl chřipkou, ale dál chodí do školy. Každý den Vasja nakazí dva lidi, kteří zase nakazí další dva lidi a tak dále. Jen jeden člověk ve třídě. Za kolik dní dostane celá třída chřipku?

Takže prvním členem geometrické progrese je Vasya, tedy osoba. člen geometrické progrese, to jsou dva lidé, které nakazil první den svého příjezdu. Celkový součet členů postupu se rovná počtu studentů 5A. V souladu s tím hovoříme o progresi, ve které:

Dosadíme naše data do vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti:

Během několika dní onemocní celá třída. Nevěříte vzorcům a číslům? Zkuste „infekci“ studentů ztvárnit sami. Stalo? Podívejte se, jak to u mě vypadá:

Spočítejte si sami, kolik dní by studenti dostali chřipku, kdyby každý nakazil člověka a ve třídě byl člověk.

Jakou hodnotu jste získali? Ukázalo se, že všem začalo být po dni špatně.

Jak vidíte, takový úkol a jeho kresba připomíná pyramidu, ve které každý následující „přináší“ nové lidi. Dříve nebo později však přijde okamžik, kdy ten druhý nemůže nikoho přitáhnout. V našem případě, pokud si představíme, že třída je izolovaná, osoba z uzavře řetězec (). Pokud by tedy byla osoba zapojena do finanční pyramidy, ve které byly dány peníze, pokud byste přivedli dva další účastníky, pak by tato osoba (nebo obecně) nikoho nepřivedla, respektive ztratila by vše, co investovala do tohoto finančního podvodu. .

Vše, co bylo řečeno výše, se týká klesajícího nebo rostoucího geometrického postupu, ale jak si vzpomínáte, máme zvláštní druh - nekonečně klesající geometrický postup. Jak vypočítat součet jejích členů? A proč má tento typ progrese určité rysy? Pojďme na to společně přijít.

Pro začátek se tedy znovu podívejme na tento obrázek nekonečně klesající geometrické progrese z našeho příkladu:

A nyní se podívejme na vzorec pro součet geometrické posloupnosti, odvozený o něco dříve:
nebo

O co usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenci k nule. Tedy kdy, to se bude téměř rovnat, respektive při výpočtu výrazu dostaneme téměř. V tomto ohledu se domníváme, že při výpočtu součtu nekonečně klesající geometrické posloupnosti lze tuto závorku zanedbat, protože se bude rovnat.

- vzorec je součtem členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti.

DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečný počet členů.

Je-li uvedeno konkrétní číslo n, pak použijeme vzorec pro součet n členů, i když nebo.

A teď pojďme cvičit.

1. Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti s a.
2. Najděte součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti s a.

Doufám, že jsi byl velmi opatrný. Porovnejte naše odpovědi:

Nyní víte vše o geometrickém postupu a je čas přejít od teorie k praxi. Nejběžnější exponenciální problémy nalezené u zkoušky jsou problémy se složeným úrokem. Právě o nich budeme hovořit.

Problémy pro výpočet složeného úročení.

Určitě jste slyšeli o takzvaném složeném úrokovém vzorci. Chápeš, co tím myslí? Pokud ne, pojďme na to přijít, protože po realizaci samotného procesu okamžitě pochopíte, co s tím má geometrická progrese společného.

Všichni jdeme do banky a víme, že existují různé podmínky pro vklady: to je termín, další údržba a úrok se dvěma různými způsoby výpočtu - jednoduchý a složitý.

S jednoduchý zájem vše je víceméně jasné: úrok je účtován jednou na konci doby trvání vkladu. To znamená, že pokud mluvíme o vložení 100 rublů ročně, budou připsány až na konci roku. V souladu s tím na konci vkladu obdržíme rubly.

Složené úročení je možnost, ve které úroková kapitalizace, tj. jejich přičtení k výši vkladu a následný výpočet příjmů nikoli z počáteční, ale z kumulované částky vkladu. Velká písmena se nevyskytují neustále, ale s určitou periodicitou. Zpravidla jsou taková období stejná a banky nejčastěji používají měsíc, čtvrtletí nebo rok.

Řekněme, že vkládáme všechny stejné rubly ročně, ale s měsíční kapitalizací vkladu. co získáme?

Rozumíš tady všemu? Pokud ne, pojďme na to krok za krokem.

Přinesli jsme rubly do banky. Do konce měsíce bychom měli mít na účtu částku skládající se z našich rublů plus úroky z nich, tedy:

Souhlasit?

Můžeme to vyjmout z držáku a pak dostaneme:

Souhlas, tento vzorec je již více podobný tomu, který jsme napsali na začátku. Zbývá se vypořádat s procenty

Ve stavu problému je nám řečeno o roční. Jak víte, nenásobíme - převádíme procenta na desetinná místa, to je:

Že jo? Nyní se ptáte, kde se to číslo vzalo? Velmi jednoduché!
Opakuji: stav problému říká o ROČNÍ naběhlý úrok MĚSÍČNÍ. Jak víte, za rok měsíců, respektive, nám banka bude účtovat část ročního úroku měsíčně:

Uvědomil? Zkuste teď napsat, jak by tato část vzorce vypadala, kdybych řekl, že úrok se počítá denně.
Zvládli jste to? Porovnejme výsledky:

Výborně! Vraťme se k našemu úkolu: napište si, kolik bude na náš účet připsáno za druhý měsíc, s ohledem na to, že z nahromaděné částky vkladu je účtován úrok.
Stalo se mi toto:

Nebo, jinými slovy:

Myslím, že jste si již všimli vzoru a viděli jste v tom všem geometrický pokrok. Napište, čemu se bude jeho člen rovnat, nebo jinými slovy, kolik peněz na konci měsíce dostaneme.
Dělal? Kontrola!

Jak vidíte, pokud vložíte peníze do banky na rok za jednoduchý úrok, dostanete rubly, a pokud je vložíte za složenou sazbu, dostanete rubly. Přínos je malý, ale to se děje pouze během tého roku, ale po delší období je kapitalizace mnohem výnosnější:

Zvažte jiný typ problémů se složeným úrokem. Po tom, co jste zjistili, to pro vás bude elementární. Takže úkol zní:

Zvezda začala do tohoto odvětví investovat v roce 2000 s dolarovým kapitálem. Od roku 2001 dosahuje každoročně zisku, který se rovná kapitálu předchozího roku. Jaký zisk získá společnost Zvezda na konci roku 2003, pokud by zisk nebyl stažen z oběhu?

V roce 2000 kapitál společnosti Zvezda.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2001.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2002.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2003.

Nebo můžeme stručně napsat:

Pro náš případ:

2000, 2001, 2002 a 2003.

Respektive:
rublů
Všimněte si, že v tomto problému nemáme dělení ani podle ani podle, protože procento se udává ROČNĚ a počítá se ROČNĚ. To znamená, že při čtení problému pro složené úročení věnujte pozornost tomu, jaké procento je uvedeno a v jakém období je účtováno, a teprve poté pokračujte ve výpočtech.
Nyní víte vše o geometrickém postupu.

Výcvik.

1. Najděte člen geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
2. Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
3. Společnost MDM Capital začala v tomto odvětví investovat v roce 2003 s dolarovým kapitálem. Od roku 2004 dosahuje každoročně zisku, který se rovná kapitálu předchozího roku. Společnost "MSK Cash Flows" začala do odvětví investovat v roce 2005 ve výši 10 000 $, přičemž v roce 2006 začala vytvářet zisk ve výši. O kolik dolarů převyšuje kapitál jedné společnosti kapitál jiné společnosti na konci roku 2007, pokud by zisky nebyly staženy z oběhu?

Odpovědi:

1. Protože podmínka úlohy neříká, že posloupnost je nekonečná a je potřeba najít součet určitého počtu jejích členů, výpočet se provede podle vzorce:
2. 
   Společnost "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - se zvýší o 100 %, tedy 2krát.
   Respektive:
   rublů
   Peněžní toky MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - zvyšuje se, tedy krát.
   Respektive:
   rublů
   rublů

Pojďme si to shrnout.

1) Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

2) Rovnice členů geometrické posloupnosti -.

3) může mít jakoukoli hodnotu, kromě a.

• jestliže, pak všichni následující členové progrese mají stejné znaménko - oni pozitivní;
• pokud, pak všichni následující členové progrese alternativní znamení;
• at - progrese se nazývá nekonečně klesající.

4) , at je vlastnost geometrické posloupnosti (sousední členy)

nebo
, v (ekvidistantní termíny)

Až to najdete, nezapomeňte na to měly by existovat dvě odpovědi..

Například,

5) Součet členů geometrické posloupnosti se vypočítá podle vzorce:
nebo

nebo

DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečného počtu členů.

6) Úkoly pro složené úročení se rovněž počítají podle vzorce tého členu geometrické progrese, pokud nebyly prostředky staženy z oběhu:

GEOMETRICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍM

Geometrická progrese( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se volá jmenovatel geometrické progrese.

Jmenovatel geometrické posloupnosti může mít jakoukoli hodnotu kromě a.

• Pokud, pak všechny následující členy progrese mají stejné znaménko - jsou pozitivní;
• jestliže, pak všechny následující členy progrese střídají znamení;
• at - progrese se nazývá nekonečně klesající.

Rovnice členů geometrické posloupnosti - .

Součet členů geometrické posloupnosti vypočítá se podle vzorce:
nebo

Pokud se progrese nekonečně snižuje, pak:

ZBÝVAJÍCÍ 2/3 ČLÁNKU JSOU K DISPOZICI POUZE PRO MLADŠÍ STUDENTY!

Staňte se studentem YouClever,

Připravte se na OGE nebo USE v matematice za cenu "šálek kávy za měsíc",

A také získejte neomezený přístup k učebnici „YouClever“, přípravnému programu „100gia“ (rechebnik), neomezeně zkušební zkouška a OGE, 6000 úloh s analýzou řešení ak dalším službám YouClever a 100gia.