Stupeň počtu: definice, označení, příklady. Stupeň čísla: definice, zápis, příklady Stupeň s přirozeným exponentem, čtverec čísla, krychle čísla

„Srovnávací stupeň“ - Ve stejné norě žila fretka. N.F. Smart + VÍCE - chytřejší N.F. Smart + MÉNĚ - méně chytrý. Role v návrhu. Méně hbití naši psi Jděte fandit myším na závodech. Obecní vzdělávací instituce„Yelgayskaya main všeobecná střední škola". Křeček je hbitější než štěně. Nějak nám byla odebrána bota Méně hbité sousedovo štěně.

„Titul s přirozeným exponentem“ - Titul s přirozenými a celými exponenty. (-1) 2k = 1, (-1) 2k-1 = -1. Vlastnosti přirozeného exponentu. Stanovení stupně přirozeným indikátorem. 1 se rovná libovolnému výkonu 1 1n = 1. Co je to titul? Jak psát kratší. Násobení sil pomocí ze stejných důvodů... N podmínek. 10n = 100000 ... 0.

"Stupeň s celočíselným exponentem" - spočítejte. Představte si ten výraz jako moc. Představte si výraz x-12 jako součin dvou mocnin se základnou x, pokud je znám jeden faktor. Uspořádejte sestupně. Zjednodušit. Na jakých hodnotách x je rovnost pravdivá.

"Rovnice třetího stupně" - (Ve třetím případě - minimum, ve čtvrtém - maximum). V prvním a druhém případě je funkce v bodě x = monotónní. Náš vzorec dává: „Velké umění“. Tartaglia se tedy nechal přemluvit. Lemma. Ve třetím a čtvrtém případě má funkce údajně v bodě x = extrém. Rozšiřujeme závorky.

„Vlastnosti titulu“ - Zobecnění znalostí a dovedností při aplikaci vlastností titulu s přirozeným ukazatelem. Vlastnosti přirozeného exponentu. Brainstorm... Jaké číslo je 64? Výpočetní pauza. Vlastnosti přirozeného exponentu. Rozvoj vytrvalosti, mentální aktivity a tvůrčí činnosti.

„Kořen n -tého stupně“ - definice 2: A). Zvedněme obě strany rovnice na krychli: - Radikální výraz. Uvažujme rovnici x? = 1. Zvedneme obě strany rovnice na čtvrtou mocninu: Postavíme grafy funkcí y = x? a y = 1. Pojem n -tého kořene reálné číslo... Je -li n liché, pak jeden kořen: Vykreslete grafy funkcí y = x? a y = 1.

Tato část se zabývá konceptem stupně pouze s přirozeným indikátorem a nula.

Koncept a vlastnosti stupňů s racionálními ukazateli (s negativními a zlomkovými) budou probrány v hodinách pro 8. ročník.

Pojďme tedy zjistit, jaký je stupeň čísla. Chcete -li zaznamenat součin čísla sám, několikrát se použije zkrácený zápis.

Místo součinu šesti identických faktorů 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 napíšou 4 6 a vysloví „čtyři do šestého stupně“.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

Výraz 4 6 se nazývá síla čísla, kde:

• 4 — základní stupeň;
• 6 — exponent.

PROTI obecný pohled stupeň se základnou "a" a exponentem "n" se zapisuje pomocí výrazu:

Pamatovat si!

Síla čísla „a“ s přirozeným exponentem „n“ větším než 1 je součinem „n“ identických faktorů, z nichž každý rovná číslu"A".

Zápis „a n“ zní takto: „a k mocnině n“ nebo „n-té mocnině čísla a“.

Výjimkou jsou záznamy:

• a 2 - lze jej vyslovit jako „na druhou“;
• a 3 - lze jej vyslovit jako „krychli“.

• a 2 - "a ve druhém stupni";
• a 3 - "a ve třetím stupni".

Zvláštní případy nastanou, pokud exponent se rovná jedné nebo nula (n = 1; n = 0).

Pamatovat si!

Síla čísla „a“ s exponentem n = 1 je toto číslo samotné:
a 1 = a

Libovolné číslo v nulovém stupni se rovná jedné.
a 0 = 1

Nula v jakékoli přirozené síle je nulová.
0 n = 0

Jednotka na libovolný výkon je 1.
1 n = 1

Výraz 0 0 ( nula na nulu) je považováno za nesmyslné.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Při řešení příkladů je třeba mít na paměti, že umocňování je nalezení číselné nebo doslovné hodnoty poté, co se zvýší na moc.

Příklad. Zvedněte k moci.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Umocňování záporného čísla

Základem síly (číslo, které se zvýší na mocninu) může být libovolné číslo - kladné, záporné nebo nulové.

Pamatovat si!

Zvýšení kladného čísla na výkon má za následek kladné číslo.

Zvýšení nuly na přirozenou sílu vede k nule.

Když se zvýší na sílu záporné číslo výsledkem může být kladné číslo nebo záporné číslo. Záleží na tom, zda byl exponent sudý nebo lichý.

Uvažujme příklady zvýšení na moc záporných čísel.

Z uvažovaných příkladů je vidět, že pokud je záporné číslo zvýšeno na lichou mocninu, pak se získá záporné číslo. Protože součin lichého počtu negativních faktorů je negativní.

Pokud je záporné číslo zvýšeno na sudou mocninu, získá se kladné číslo. Protože součin sudého počtu negativních faktorů je pozitivní.

Pamatovat si!

Záporné číslo zvednuté na sudou mocninu je kladné číslo.

Záporné číslo zvýšené na lichou mocninu je záporné číslo.

Čtverec libovolného čísla je kladné číslo nebo nula, to znamená:

a 2 ≥ 0 pro jakékoli a.

• 2 (−3) 2 = 2 (−3) (−3) = 2 9 = 18
• −5 (−2) 3 = −5 (−8) = 40

Poznámka!

Při řešení příkladů pro umocňování často dělají chyby a zapomínají, že notace (−5) 4 a −5 4 jsou různé výrazy. Výsledky umocnění těchto výrazů se budou lišit.

Vypočítejte (−5) 4 znamená najít čtvrtou mocninu záporného čísla.

(−5) 4 = (−5) (−5) (−5) (−5) = 625

Zatímco nalezení „−5 4“ znamená, že příklad je třeba vyřešit ve 2 krocích:

1. Pozvedněte kladné číslo 5 na čtvrtou mocninu.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Před výsledek dejte znaménko mínus (tj. Proveďte odečítací akci).
   −5 4 = −625

Příklad. Vyhodnoťte: −6 2 - (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) (−1) (−1) (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Postup pro příklady napájení

Výpočtu hodnoty se říká umocnění. Toto je akce třetího kroku.

Pamatovat si!

Ve výrazech s mocninami, které neobsahují závorky, nejprve proveďte zvyšování do určité míry, pak násobení a dělení a na konci sčítání a odčítání.

Pokud jsou ve výrazu závorky, pak se nejprve ve výše uvedeném pořadí provedou akce v závorkách a poté se provedou zbývající akce ve stejném pořadí zleva doprava.

Příklad. Vypočítat:

Pro usnadnění řešení příkladů je užitečné znát a používat tabulku stupňů, kterou si můžete zdarma stáhnout na našem webu.

Chcete -li zkontrolovat své výsledky, můžete použít kalkulačku na našem webu „

V tomto článku zjistíme, co to je stupeň... Zde uvedeme definice stupně čísla, přičemž se blíže podíváme na všechny možné exponenty, počínaje přirozeným exponentem a konče iracionálním. V materiálu najdete spoustu příkladů stupňů, pokrývajících všechny jemnosti, které vyvstanou.

Navigace na stránce.

Stupeň s přirozeným exponentem, čtverec čísla, krychle čísla

Začněme s. Při pohledu do budoucnosti říkáme, že definice stupně čísla a s přirozeným exponentem n je dána pro a, které budeme nazývat základní stupeň, a n, které budeme volat exponent... Mějte také na paměti, že stupeň s přirozeným exponentem je určen prostřednictvím produktu, takže abyste porozuměli níže uvedenému materiálu, musíte mít představu o násobení čísel.

Definice.

Síla čísla a s přirozeným exponentem n je výrazem tvaru a n, jehož hodnota se rovná součinu n faktorů, z nichž každý se rovná a, to znamená ,.
Zejména síla čísla a s exponentem 1 je samotné číslo a, tj. A 1 = a.

Mělo by se hned říci o pravidlech pro čtení stupňů. Univerzální způsob čtení záznamu a n je následující: „a k síle n“. V některých případech jsou také přijatelné následující možnosti: „a k n-té mocnině“ a „n-té mocnině čísla a“. Vezměte například sílu 8 12, což je „osm na sílu dvanácti“ nebo „osm na dvanáctý stupeň“ nebo „dvanáctá síla osmi“.

Druhý stupeň čísla, stejně jako třetí stupeň čísla, mají svá vlastní jména. Druhá mocnina čísla se nazývá o druhou mocninu čísla například 7 2 zní „sedm na druhou“ nebo „čtverec čísla sedm“. Třetí mocnina čísla se nazývá čísla kostek například 5 3 lze číst jako „kostku pět“ nebo říci „krychli čísla 5“.

Je čas vést příklady stupňů s přirozenými ukazateli... Začněme na síle 5 7, zde 5 je základem síly a 7 je exponent. Uveďme další příklad: 4,32 je základ a přirozené číslo 9 - exponent (4,32) 9.

Vezměte prosím na vědomí, že v posledním příkladu je základ 4,32 stupně napsán v závorkách: abychom předešli záměně, vložíme do závorek všechny základy stupně, které se liší od přirozených čísel. Jako příklad uvádíme následující stupně s přirozenými ukazateli , jejich základy nejsou přirozená čísla, proto jsou zapsána v závorkách. Pro úplnou jasnost v tomto okamžiku ukážeme rozdíl mezi položkami formuláře (−2) 3 a −2 3. Výraz (−2) 3 je mocnina −2 s přirozeným exponentem 3 a výraz −2 3 (lze jej zapsat jako - (2 3)) odpovídá číslu, hodnotě síly 2 3 .

Všimněte si, že existuje notace pro stupeň čísla a s exponentem n tvaru a ^ n. Navíc, pokud n je přirozené číslo s více hodnotami, pak je exponent brán v závorkách. Například 4 ^ 9 je další zápis síly 4 9. A zde je několik dalších příkladů psaní stupňů pomocí symbolu „ ^“: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). V následujícím textu budeme hlavně používat notaci pro stupeň tvaru a n.

Jedním z úkolů, inverzních k povýšení na sílu s přirozeným exponentem, je úkol najít základ titulu známá hodnota stupeň a známý indikátor. Tento úkol vede k.

Je známo, že množina racionálních čísel se skládá z celých čísel a zlomkových čísel a každé zlomkové číslo může být reprezentováno jako kladné nebo záporné číslo. společný zlomek... Stupeň jsme definovali celočíselným exponentem v předchozím odstavci, a proto, abyste dokončili definici stupně racionálním exponentem, musíte uvést význam stupně čísla a se zlomkovým exponentem m / n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo. Pojďme na to.

Zvažte stupeň se zlomkovým exponentem formuláře. Aby vlastnost stupně do stupně byla platná, rovnost ... Pokud vezmeme v úvahu získanou rovnost a jak jsme ji určili, pak je logické přijmout, za předpokladu, že pro daná m, n a a má výraz smysl.

Je snadné zkontrolovat, že pro všechny vlastnosti stupně s celočíselným exponentem (to se provádí v části o vlastnostech stupně s racionálním exponentem).

Výše uvedené odůvodnění nám umožňuje provést následující. výstup: pokud pro dané m, n a a dává výraz smysl, pak mocnina čísla a se zlomkovým exponentem m / n se nazývá n -tý kořen a mocnině m.

Toto tvrzení nás přivádí velmi blízko k určení stupně pomocí zlomkového exponentu. Zbývá pouze popsat, pro které výrazy m, n a a mají smysl. V závislosti na omezeních m, n a a existují dva hlavní přístupy.

Nejjednodušší je omezit a za předpokladu, že a≥0 pro pozitivní m a a> 0 pro negativní m (protože pro m≤0 není definován stupeň 0 m). Pak dostaneme následující definici zlomkového exponentu.

Definice.

Síla kladného čísla a se zlomkovým exponentem m / n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo, se nazývá n -tý kořen a na mocninu m, tj.

Rovněž je určen zlomkový výkon nula s jedinou podmínkou, že indikátor musí být kladný.

Definice.

Síla nuly s kladným zlomkovým exponentem m / n kde m je kladné celé číslo a n je přirozené číslo, je definováno jako .
Když stupeň není určen, to znamená, že stupeň čísla nula se zlomkovým záporným exponentem nedává smysl.

Je třeba poznamenat, že s takovou definicí stupně se zlomkovým exponentem existuje jedna nuance: u některých záporných a a některých m a n má výraz smysl a tyto případy jsme zavrhli zavedením podmínky a≥0. Například má smysl psát nebo, a výše uvedená definice nás nutí říci, že stupně se zlomkovým exponentem formy nedávají smysl, protože základna by neměla být záporná.

Jiný přístup ke stanovení exponentu s frakčním exponentem m / n je zvažovat odděleně liché a sudé exponenty kořene. Tento přístup vyžaduje další podmínka: mocnina čísla a, jehož indikátor je, je považována za mocninu čísla a, jehož indikátorem je odpovídající neredukovatelný zlomek (význam této podmínky bude vysvětlen níže). To znamená, že pokud m / n je neredukovatelný zlomek, pak pro jakékoli přirozené číslo k je stupeň předběžně nahrazen.

Pro sudé n a kladné m má výraz smysl pro jakékoli nezáporné a (sudý kořen záporného čísla nedává smysl), pro záporné m musí být číslo a stále nenulové (v opačném případě bude dělení nulou ). A pro liché n a kladné m může být číslo a libovolné (lichý kořen je definován pro jakékoli reálné číslo) a pro záporné m číslo a musí být nenulové (aby nedocházelo k dělení nulou).

Výše uvedené úvahy nás vedou k takové definici stupně se zlomkovým exponentem.

Definice.

Nechť m / n je neredukovatelný zlomek, m celé číslo a n přirozené číslo. U jakékoli zrušitelné frakce je exponent nahrazen. Síla čísla s neredukovatelným zlomkovým exponentem m / n je pro



Vysvětlíme, proč je stupeň s redukovatelným zlomkovým exponentem dříve nahrazen stupněm s neredukovatelným exponentem. Pokud bychom jednoduše definovali stupeň jako a neudělali jsme výhradu ohledně neredukovatelnosti zlomku m/n, pak bychom se potýkali se situacemi podobnými následujícím: od 6/10 = 3/5 by rovnost měla platit , ale , a.