Množina reálných čísel. Operace na soupravách. Geometrické znázornění reálných čísel

Komplexní čísla

Základní pojmy

Prvotní údaje o počtu se vztahují k době kamenné – paleomelit. Jedná se o „jeden“, „málo“ a „mnoho“. Byly zaznamenány ve formě zářezů, uzlů atd. Rozvoj pracovních procesů a vznik majetku donutil člověka vymýšlet čísla a jejich názvy. Poprvé se objevila přirozená čísla N získané počítáním předmětů. Spolu s potřebou počítání pak lidé měli potřebu měřit délky, plochy, objemy, čas a další veličiny, kde bylo nutné brát v úvahu části použité míry. Tak se zrodily zlomky. Formální zdůvodnění pojmů zlomkové a záporné číslo byla provedena v 19. století. Sada celých čísel Z jsou přirozená čísla, přirozená čísla se znaménkem mínus a nula. Celá a zlomková čísla tvořila množinu racionálních čísel Q, ale i to se ukázalo jako nedostatečné pro studium neustále se měnících proměnných. Genesis opět ukázala nedokonalost matematiky: nemožnost vyřešit rovnici tvaru X 2 = 3, v souvislosti s nimiž se objevila iracionální čísla já Sjednocení množiny racionálních čísel Q a iracionální čísla já je množina reálných (nebo reálných) čísel R. V důsledku toho byla číselná řada vyplněna: každé reálné číslo odpovídalo bodu na ní. Ale na place R neexistuje způsob, jak rovnici vyřešit X 2 = – A 2. V důsledku toho opět vznikla potřeba rozšířit pojem čísla. Takže v roce 1545 se objevila komplexní čísla. Jejich tvůrce J. Cardano je označil za „čistě negativní“. Název „imaginární“ zavedl v roce 1637 Francouz R. Descartes, v roce 1777 Euler navrhl použít první písmeno francouzského čísla i k označení imaginární jednotky. Tento symbol se dostal do všeobecného užívání díky K. Gaussovi.

V průběhu 17. a 18. století pokračovala diskuse o aritmetické povaze imaginárních představ a jejich geometrické interpretaci. Dán G. Wessel, Francouz J. Argan a Němec K. Gauss nezávisle navrhli, aby komplexní číslo bylo reprezentováno tečkou na souřadnicová rovina. Později se ukázalo, že je ještě pohodlnější reprezentovat číslo ne bodem samotným, ale vektorem jdoucím do tohoto bodu z počátku.

Teprve koncem 18. - začátkem 19. století zaujala komplexní čísla své právoplatné místo v matematické analýze. Jejich první použití je teoreticky diferenciální rovnice a v teorii hydrodynamiky.

Definice 1.komplexní číslo se nazývá výraz ve tvaru , kde X a y – reálná čísla, a i je pomyslná jednotka, .

dvě komplexní čísla a rovnat se tehdy a jen tehdy, .

Pokud , pak je číslo voláno čistě imaginární; if , pak číslo je reálné číslo, což znamená, že množina R S, kde S je množina komplexních čísel.

Konjugovaný ke komplexnímu číslu se nazývá komplexní číslo.

Geometrická reprezentace komplexních čísel.

Každé komplexní číslo může být reprezentováno tečkou. M(X, y) letadlo Oxy. Dvojice reálných čísel také označuje souřadnice vektoru poloměru , tj. mezi množinou vektorů v rovině a množinou komplexních čísel lze ustavit korespondenci jedna ku jedné: .

Definice 2.Skutečná část X.

Označení: X= Re z(z latinského Realis).

Definice 3.imaginární část komplexní číslo zavolal skutečné číslo y.

Označení: y= Im z(z latinského Imaginarius).

Re z je uložen na ose ( Ach), Im z je uložen na ose ( Oj), pak vektor odpovídající komplexnímu číslu je vektor poloměru bodu M(X, y), (nebo M(Re z, Im z)) (Obr. 1).

Definice 4. Rovina, jejíž body jsou spojeny s množinou komplexních čísel, se nazývá komplexní rovina. Úsečka se nazývá reálná osa, protože obsahuje reálná čísla. Osa y se nazývá pomyslná osa, obsahuje čistě imaginární komplexní čísla . Označuje se množina komplexních čísel S.

Definice 5.modul komplexní číslo z = (X, y) je délka vektoru : , tzn. .

Definice 6.Argument komplexní číslo se nazývá úhel mezi kladným směrem osy ( Ach) a vektor: .

Expresivní geometrickou reprezentaci soustavy racionálních čísel lze získat následovně.

Rýže. 8. Číselná osa

Na nějaké přímce, "číselné ose", označíme segment od 0 do 1 (obr. 8). Tím se nastaví délka jediný segment, které lze obecně volit libovolně. Kladná a záporná celá čísla jsou pak znázorněna jako množina stejně vzdálených bodů na číselné ose, konkrétně kladná čísla jsou označena vpravo a záporná vlevo od bodu 0. Abychom zobrazili čísla se jmenovatelem, rozdělíme každé ze získaných segmentů jednotkové délky na stejné části; dělicí body budou představovat zlomky se jmenovatelem. Pokud to uděláme pro hodnoty odpovídající všem přirozeným číslům, bude každé racionální číslo znázorněno nějakým bodem na číselné ose. Budeme souhlasit s tím, že tyto body budeme nazývat „racionálními“; obecně se termíny „racionální číslo“ a „racionální bod“ budou používat jako synonyma.

V kapitole I § 1 byl definován vztah nerovnosti pro přirozená čísla. Na číselné ose se tento poměr projeví následovně: jestliže přirozené číslo A je menší než přirozené číslo B, pak bod A leží nalevo od bodu B. Protože naznačený geometrický vztah je stanoven pro libovolnou dvojici racionálních bodů, je přirozené pokusit se zobecnit vztah aritmetické nerovnosti v takovém způsob, jak zachovat toto geometrické pořadí pro uvažované body. To se podaří, pokud přijmeme následující definici: říká se, že racionální číslo A je menší než racionální číslo, nebo že číslo B je větší než číslo, pokud je rozdíl kladný. Z toho (pro ) vyplývá, že body (čísla) mezi jsou ty, které

současně Každá taková dvojice bodů spolu se všemi body mezi nimi se nazývá segment (nebo segment) a označuje se (a samotná množina mezilehlých bodů se nazývá interval (nebo interval), označovaný jako

Vzdálenost libovolného bodu A od počátku 0, považovaná za kladné číslo, se nazývá absolutní hodnota A a označuje se symbolem

Pojem "absolutní hodnota" je definován takto: if , then if then Je jasné, že pokud čísla mají stejné znaménko, pak platí rovnost, pokud mají různá znaménka, pak . Spojením těchto dvou výsledků dojdeme k obecné nerovnosti

který je platný bez ohledu na znamení

Fakt zásadní důležitosti vyjadřuje následující tvrzení: racionální body jsou na číselné ose všude husté. Význam tohoto tvrzení je, že uvnitř každého intervalu, bez ohledu na to, jak malý může být, existují racionální body. Pro ověření platnosti uvedeného tvrzení stačí vzít číslo tak velké, že interval ( bude menší než daný interval ; pak bude alespoň jeden z bodů formuláře uvnitř tohoto intervalu. žádný takový interval na číselné ose (ani ten nejmenší, jaký si lze představit), ve kterém by nebyly žádné racionální body. Z toho plyne další důsledek: každý interval obsahuje nekonečný počet racionálních bodů. Pokud by totiž nějaký interval obsahoval pouze konečný počet racionálních bodů, pak by uvnitř intervalu tvořeného dvěma sousedními takovými body již racionální body nebyly, a to je v rozporu s tím, co bylo právě dokázáno.

REÁLNÁ ČÍSLA II

§ 37 Geometrické znázornění racionálních čísel

Nechat Δ je segment braný jako jednotka délky a l - libovolná přímka (obr. 51). Vezměme si na něm nějaký bod a označme ho písmenem O.

Každé kladné racionální číslo m / n umístit bod na přímku l , ležící napravo od C ve vzdálenosti m / n jednotky délky.

Například číslo 2 bude odpovídat bodu A, který leží napravo od O ve vzdálenosti 2 jednotek délky, a číslo 5/4 bude odpovídat bodu B, ležícímu napravo od O ve vzdálenosti 5/4 jednotky délky. Každé záporné racionální číslo k / l uveďte do korespondence bod přímky ležící vlevo od O ve vzdálenosti | k / l | jednotky délky. Takže číslo - 3 bude odpovídat bodu C, který leží nalevo od O ve vzdálenosti 3 jednotek délky, a číslo - 3/2 bude odpovídat bodu D, který leží nalevo od O. ve vzdálenosti 3/2 jednotky délky. Nakonec bod O přiřadíme racionálnímu číslu „nula“.

Je zřejmé, že při zvolené korespondenci budou stejná racionální čísla (například 1/2 a 2/4) odpovídat stejnému bodu a různé body přímky nebudou odpovídat stejným číslům. Předpokládejme, že číslo m / n odpovídá bodu P a číslu k / l bod Q. Pak, pokud m / n > k / l , pak bude bod P ležet napravo od bodu Q (obr. 52, a); -li m / n < k / l , pak bude bod P vlevo od bodu Q (obr. 52, b).

Jakékoli racionální číslo lze tedy geometricky reprezentovat jako určitý, dobře definovaný bod na přímce. Je opak pravdou? Lze jakýkoli bod přímky považovat za geometrický obraz nějakého racionálního čísla? Rozhodnutí o této otázce odložíme do § 44.

Cvičení

296. Nakreslete následující racionální čísla s body přímky:

3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.

297. Je známo, že bod A (obr. 53) slouží jako geometrické zobrazení racionálního čísla 1/3. Jaká čísla představují body B, C a D?

298. Na přímce jsou dány dva body, které slouží jako geometrické zobrazení racionálních čísel A a b a + b a a - b .

299. Na přímce jsou dány dva body, které slouží jako geometrické zobrazení racionálních čísel a + b a a - b . Najděte na této přímce body představující čísla A a b .

VSTUPENKA 1

Racionálníčísla jsou čísla zapsaná jako p/q, kde q je přirozené. číslo a p je celé číslo.

Dvě čísla a=p1/q1 a b=p2/q2 se nazývají rovná, pokud p1q2=p2q1 a p2q1 a a>b, pokud p1q2 ODA- dvě akce kladou čísla α=а0, а1, а2…, β=b0,b1,b2… říkají, že číslo α<β если a0β. modul zavolejte číslo α |α|=|+-a0, a1, a2…an|= a0, a1, a2…an. Říkají, že záporné číslo α=-a0, a1, a2< отриц числа β=-b0,b1,b2 если |α|>|β|. Jestliže β a α jsou reálná čísla a α<β то сущ-ет рац число R такое что αGemetrický výklad akční čísla. Akční osa je číselná osa. Začátek šňůry je 0. Celá osa je (-∞; +∞), interval je xЄR. Segment __,M1__,0__,__,M2__,__; M1<0 x=a0,a1, M2>0x=-a0,a1.

VSTUPENKA 2

Komplexní čísla. Komplexní čísla

Algebraická rovnice je rovnice tvaru: P n ( X) = 0, kde P n ( X) - polynom n- Oh stupeň. Pár reálných čísel X a na bude nazýván objednaným, pokud je uvedeno, který z nich je považován za první a který - druhý. Zápis objednaného páru: ( X, y). Komplexní číslo je libovolně uspořádaná dvojice reálných čísel. z = (X, y)-komplexní číslo.

X- skutečná část z, y- imaginární část z. Li X= 0 a y= 0, tedy z= 0. Uvažujme z 1 = (x 1, y 1) az 2 = (x 2, y 2).

Definice 1. z 1 \u003d z 2, pokud x 1 \u003d x 2 a y 1 \u003d y 2.

Koncepty > a< для комплексных чисел не вводятся.

Geometrická reprezentace a goniometrický tvar komplexních čísel.

M( X, y) « z = X + iy.

½ OM½ = r = ½ z½ = .(obrázek)

r se nazývá modul komplexního čísla z.

j se nazývá argument komplexního čísla z. Definuje se do ± 2p n.

X= rcosj, y= rsinj.

z= X+ iy= r(cosj + i sinj) je trigonometrická forma komplexních čísel.

Prohlášení 3.

= (cos + i hřích),

= (cos + i hřích), pak

= (cos( ​​​​+) + i hřích ( + )),

= (cos(-)+ i sin( - )) na ¹0.

Prohlášení 4.

Li z=r (cosj + i sinj), pak „přirozený n:

= (cos nj + i hřích nj),

VSTUPENKA 3

Nechat X-množina čísel obsahující alespoň jedno číslo (neprázdná sada).

XÎ X- X obsaženo v X. ; XÏ X- X nepatří X.

Definice: Hromada X se nazývá ohraničený shora (zdola), pokud existuje nějaké číslo M(m) takové, že pro jakékoli X Î X nerovnost X £ M (X ³ m), zatímco číslo M se nazývá horní (dolní) mez množiny X. hromada X se nazývá ohraničený shora, jestliže $ M, " X Î X: X £ M. Definice nastavit neomezeně shora. hromada X se nazývá neohraničený shora, pokud " M $ X Î X: X> M Definice hromada X se nazývá ohraničený, pokud je ohraničený nahoře a dole, tj. $ M, m takové, že" X Î X: m £ X £ M. Ekvivalentní definice omezené množiny: Sada X se nazývá ohraničený, pokud $ A > 0, " X Î X: ½ X½£ A. Definice: Nejmenší z horních hranic množiny ohraničené výše X se nazývá jeho nejmenší horní mez a označuje se Sup X

(supremum). =Sup X. Podobně lze určit přesné

spodní okraj. ekvivalent definice přesný horní okraj:

Číslo se nazývá nejmenší horní mez množiny X, pokud: 1) " X Î X: X£ (tato podmínka ukazuje, že jde o jednu z horních mezí). 2) " < $ x Î X: X> (tato podmínka ukazuje, že -

nejmenší z horních hranic).

sup X= :

1. " XÎ X: X £ .

2. " < $ XÎ X: X> .

inf X(infimum) je nejméně infimum. Položme si otázku: má každá ohraničená množina přesné plochy?

Příklad: X= {X: X>0) nemá nejmenší číslo.

Věta o existenci přesné horní (dolní) plochy. Jakákoli neprázdná horní (spodní) ohraničující množina xОR má bodovou horní (dolní) mez.

Věta o oddělitelnosti číselných množných čísel:▀▀▄

VSTUPENKA 4

Pokud je každému číslu n (n = 1,2,3 ..) přiřazeno určité číslo Xn, pak říkají, že je definováno a dané sekvence x1, x2 …, napište (Xn), (Xn). Příklad: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,… shora (zdola), pokud je počet bodů x=x1,x2,…xn ležících na reálné ose shora (zdola) omezen, tzn. $C:Xn£C" Poslední limit:číslo a se nazývá limita posledního jestliže pro libovolné ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N nerovnost |Xn-a|<ε. Т.е. – εa–ε A volala limitu číselné posloupnosti {a n), pokud

na n > N.

Jedinečnost limitu omezená a konvergentní posloupnost

Vlastnost 1: Konvergentní posloupnost má pouze jednu limitu.

Důkaz: rozporem nech A a b limity konvergentní posloupnosti (x n ), kde a se nerovná b. uvažujme infinitezimální posloupnosti (α n )=(x n -a) a (β n )=(x n -b). Protože všechny prvky b.m. posloupnosti (α n -β n ) mají stejnou hodnotu b-a, pak podle vlastnosti b.m. sekvence b-a=0 tzn. b=a a dostali jsme se do rozporu.

Vlastnost 2: Konvergentní posloupnost je omezená.

Důkaz: Nechť a je limita konvergentní posloupnosti (x n ), pak α n =x n -a je prvkem b.m. sekvence. Vezměte libovolné ε>0 a použijte jej k nalezení N ε: / x n -a/< ε при n>Nε . Označme b největší z čísel ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε . Je zřejmé, že / x n /

Poznámka: Ohraničená posloupnost může, ale nemusí být konvergentní.

VSTUPENKA 6

Posloupnost a n se nazývá infinitesimální, což znamená, že limita této posloupnosti po je 0.

a n je infinitezimální Û lim(n ® + ¥)a n =0 tj. pro libovolné ε>0 existuje N takových, že |a n |<ε

Teorém. Součet nekonečna je nekonečně malý.

a n b n ®nekonečně malý Þ a n +b n je nekonečně malý.

Důkaz.

a n - infinitezimální Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 z |a n |<ε

b n - infinitezimální Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 z |b n |<ε

Položme N=max(N 1 ,N 2 ), pak pro libovolné n>N z platí obě nerovnosti současně:

|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N

Sada "ε 1 >0, sada ε=ε 1 /2. Pak pro libovolné ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то

je a n +b n - nekonečně malý.

Teorém Součin nekonečna je nekonečno.

a n ,b n je nekonečně malý Þ a n b n je nekonečně malý.

Důkaz:

Množina "ε 1 >0, množina ε=Öε 1 , protože a n a b n jsou pro toto ε>0 nekonečně malé, pak existuje N 1: " n>N Þ |a n |<ε

$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε

Vezměme N=max (N 1 ;N 2 ), pak "n>N = |a n |<ε

|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1

" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1

lim a n b n =0 Û a n b n je nekonečně malé, což bylo třeba dokázat.

Teorém Součinem omezené posloupnosti a infinitezimální posloupnosti je nekonečně malá posloupnost

a n je omezená posloupnost

a n je nekonečně malá posloupnost Þ a n a n je nekonečně malá posloupnost.

Důkaz: Protože а n je omezeno Û $С>0: "nн N z |a n |£C

Nastavíme "ε 1 >0; nastavíme ε=ε 1 /C; protože a n je nekonečně malé, pak ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n |

"ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n je nekonečně malé

Sekvence je volána BBP(sekvence) if Write . Je zřejmé, že BBP není omezen. Opačné tvrzení obecně není pravdivé (příklad). Pokud pro velké nčlenů, pak píšou to znamená, že jakmile .

Význam zápisu je definován obdobně

Nekonečně velké sekvence a n = 2 n ; b n \u003d (-1) n 2 n ; c n \u003d -2 n

Definice(nekonečně velké sekvence)

1) lim(n ® ¥)a n =+¥ jestliže "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε kde ε je libovolně malé.

2) lim(n ® ¥)a n =-¥ pokud "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε

3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε

VSTUPENKA 7

Věta „O konvergenci monotónní. poslední"

Jakákoli monotónní sekvence je konvergentní, tzn. má limity. Doc-in Nechte poslední (xn) monotónní vystoupat. a omezeny shora. X - veškerá množina čísel, která má el-t tohoto posledního podle konvencí. Vět má mnohá omezení, proto podle vyhl. Věta, má konečný přesný vrchol. obličej supX xn®supX (supX označujeme x*). Protože x* přesný vrchol. hrana, pak xn£x* " n. " e >0 vyp-sya $ xm (nechť m je n s víkem): xm>x*-e s " n>m => z naznačených 2 nerovností získáme druhá nerovnost x*-e£xn£x*+e pro n>m je ekvivalentní 1xn-x*1 m To znamená, že x* yavl. hranice posledního.

VSTUPENKA 8

Exponent nebo číslo e

R-ráfek č. poslední se společným členem xn=(1+1/n)^n (na mocninu n)(1) . Ukazuje se, že posloupnost (1) roste monotónně, je shora ohraničená a poněkud konvergentní, limita tohoto sloupku se nazývá exponenciála a je označena symbolem e "2,7128 ... Číslo e

VSTUPENKA 9

Princip vnořených segmentů

Nechť je na číselné ose uvedena posloupnost segmentů ,,…,,…

Navíc tyto segmenty splňují sl. podm.:

1) každý následník je vnořen do předchozího, tzn. Ì, "n=1,2,…;

2) Délky segmentů ®0 s rostoucím n, tzn. lim(n®¥)(bn-an)=0. Sekvence se zadanými svatými se nazývá vnořená.

Teorém Jakákoli sekvence vnořených segmentů obsahuje jeden t-ku se sekvencí patřící do všech segmentů současně, přičemž společný bod všech segmentů, na které se stahují.

Doc-in(an)-sekvence levých konců segmentů yavl. monotónně neklesající a shora ohraničený číslem b1.

(bn)-sekvence pravých konců je monotónně nerostoucí, proto jsou tyto sekvence yavl. konvergující, tzn. čísla podstatných jmen с1=lim(n®¥)an a с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - jejich společná hodnota. Ve skutečnosti má limit lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) kvůli podmínce 2) o= lim(n®¥) (bn-an)=c2-c1=> c1=c2=c

Je jasné, že m. c je společné všem segmentům, protože „n an£c£bn. Nyní dokážeme, že je to jeden.

Předpokládejme, že $ je další c', na které jsou staženy všechny segmenty. Vezmeme-li jakékoli neprotínající se segmenty c a c', pak na jedné straně celý „ocas“ posledního (an), (bn) musí být umístěn v blízkosti c'' (protože an a bn konvergují k c a c' současně). Rozpor doc-et t-mu.

VSTUPENKA 10

Bolzanova-Weierstrassova věta Z jakéhokoli limitu. nakonec si můžete vybrat shromáždění. následující

1. Protože poslední je ohraničené, pak $ m a M takové, že " m £ xn £ M, " n.

D1= - segment, ve kterém leží všechna m-ki posledního. Rozdělme to napůl. Alespoň v jedné z polovin bude nekonečno číslo t-to poslední

D2 je polovina, kde leží nekonečný počet m-to-last. Rozdělili jsme to napůl. Alespoň v jedné z polovin neg. D2 nah-Xia nekonečný počet tak-až do posledního. Tato polovina je D3. Dělíme segment D3 ... a tak dále. získáme posloupnost vnořených segmentů, jejichž délky mají tendenci k 0. Podle m-me o vnořených segmentech $ jednotek. t-ka C, kat. ve vlastnictví všechny segmenty D1, některé t-ku Dn1. V segmentu D2 volím m-ku xn2, takže n2>n1. V segmentu D3 atd. V důsledku toho sníme poslední xnkÎDk.

VSTUPENKA 11

VSTUPENKA 12

základní

Na závěr zvažte otázku kritéria pro konvergenci číselné posloupnosti.

Nechť tj.: spolu s přirozeným číslem lze do poslední nerovnosti dosadit jiné přirozené číslo ,pak

Obdrželi jsme následující prohlášení:

Pokud posloupnost konverguje, pak podmínka Cauchy:

Je volána číselná posloupnost, která splňuje Cauchyho podmínku základní. Dá se dokázat, že opak je pravdou. Máme tedy kritérium (nezbytnou a postačující podmínku) pro konvergenci posloupnosti.

Cauchyho kritérium.

Aby posloupnost měla limitu, je nutné a postačující, aby byla základní.

Druhý význam Cauchyho kritéria.Členy sekvence a kde n a m se nekonečně blíží k .

VSTUPENKA 13

Jednostranné limity.

Definice 13.11.Číslo A se nazývá limita funkce y = f(x) na XÚsilí o x 0 vlevo (vpravo), pokud takový, že | f(x)-A|<ε при x 0 - x< δ (x - x 0< δ ).

Označení:

Věta 13.1 (druhá definice limity). Funkce y=f(x) má v X, aspirující na X 0 , limit se rovná A, právě tehdy, když obě jeho jednostranné limity v tomto bodě existují a jsou si rovny A.

Důkaz.

1) Pokud , pak a pro x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ |f(x) - A|<ε, то есть

1) Jestliže , pak existuje δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0< δ2. Když vybereme z čísel δ 1 a δ 2 menší a vezmeme to za δ, dostaneme, že pro | x-x0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана.

Komentář. Jelikož je prokázána rovnocennost požadavků obsažených v definici limity 13.7 a podmínky existence a rovnosti jednostranných limitů, lze tuto podmínku považovat za druhou definici limitu.

Definice 4 (podle Heineho)

Číslo A se nazývá limit funkce, pokud k nějakému BBP hodnot argumentu konverguje sekvence odpovídajících hodnot funkce A.

Definice 4 (podle Cauchyho).

Číslo A volalo kdyby . Je dokázáno, že tyto definice jsou ekvivalentní.

VSTUPENKA 14 a 15

Limitní vlastnosti funkce v bodě

1) Pokud limita existuje v t-ke, pak je jedinečná

2) Je-li v cyklu x0 limita funkce f(x) lim(x®x0)f(x)=A

lim(x®x0)g(x)£B=> pak v tomto t-ke $ limita součtu, rozdílu, součinu a kvocientu. Oddělení těchto 2 funkcí.

a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B

b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B

c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B

d) lim(x®x0)C=C

e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A

Věta 3.

Pokud ( resp. A ) pak $ je okolí, ve kterém je nerovnost >B(resp Nechat A>B nastavíme pak For selected, levá z těchto nerovností má tvar >B resp. je dokázána 2. část věty, pouze v tomto případě bereme Důsledek (zachování funkčních znamének její limity).

Nastavení ve větě 3 B=0, dostaneme: pokud ( resp), poté $ , ve všech bodech, což bude >0 (resp<0), ty. funkce si zachovává znaménko své limity.

Věta 4(při přechodu na limit v nerovnosti).

Pokud je v nějakém okolí bodu (snad kromě tohoto bodu samotného) podmínka splněna a tyto funkce mají v bodě limity, pak . V jazyce a Představme si funkci. Je zřejmé, že v sousedství t. j. Pak podle teorému zachování funkce máme hodnotu její limity, ale

Věta 5.(na hranici mezilehlé funkce).

(1) Pokud a v nějakém okolí t. (snad kromě samotného t.) je splněna podmínka (2), pak má funkce limitu v t. a tato limita je rovna A. podle podmínky (1) $ for (zde je nejmenší okolí bodu ). Ale pak, na základě podmínky (2), bude hodnota také umístěna v - blízkosti bodu A, ty. .

VSTUPENKA 16

Definice 14.1. Funkce y=α(x) se nazývá infinitezimální pro x→x 0,-li

Vlastnosti infinitezimálů.

1. Součet dvou infinitezimálů je nekonečně malý.

Důkaz. Li α(x) a β(x) jsou nekonečně malé pro x→x 0, pak existují δ 1 a δ 2 takové, že | α(x)|<ε/2 и |β(X)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, , to je α(х)+β(х) je nekonečně malý.

Komentář. Z toho plyne, že součet libovolného konečného počtu infinitezimálů je nekonečně malý.

2. Pokud α( X) je nekonečně malý x→x 0, a f(x) je funkce ohraničená v nějakém okolí x 0, pak α(x)f(x) je nekonečně malý x→x 0.

Důkaz. Vyberte číslo M takové, že | f(x)| v | x-x 0 |< δ 1 a najděte δ 2 takové, že | α(x)|<ε/M v | x-x 0|<δ 2 . Тогда, если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ 1 и δ 2 , |α(x)f(x)| , to je α(x) f(x)- nekonečně malý.

Důsledek 1. Součin nekonečna konečným číslem je nekonečně malý.

Důsledek 2. Součin dvou nebo více infinitezimálů je nekonečno.

Důsledek 3. Lineární kombinace infinitezimálních čísel je nekonečně malá.

3. (Třetí definice limitu). Pokud , pak nezbytnou a postačující podmínkou pro to je, že funkce f(x) může být reprezentován jako f(x)=A+α(x), kde α(x) je nekonečně malý x→x 0.

Důkaz.

1) Nechej Pak | f(x)-A|<ε при x→x 0, to je a(x)=f(x)-A je nekonečně malý x→x 0. Proto f(x)=A+a(x).

2) Nechat f(x)=A+α(x). Pak znamená | f(x)-A|<ε при |x-x0| < δ(ε). Cледовательно, .

Komentář. Získáme tak ještě jednu definici limity, která je ekvivalentní dvěma předchozím.

Nekonečně velké funkce.

Definice 15.1. Funkce f(x) se nazývá nekonečně velká pro x x 0 if

Pro nekonečně velké lze zavést stejný klasifikační systém jako pro nekonečně malé, a to:

1. Nekonečně velké f(x) a g(x) jsou považovány za stejného řádu, jestliže

2. Jestliže , pak f(x) je považováno za nekonečně velký vyšší řád než g(x).

3. Nekonečně velké f(x) se nazývá k-tý řád vzhledem k nekonečně velkému g(x), jestliže .

Komentář. Všimněte si, že a x je nekonečně velký (pro a>1 a x ) vyšší řád než x k pro libovolné k a log a x je nekonečně nižší řád než jakákoli mocnina x k .

Věta 15.1. Jestliže α(x) je nekonečně malé pro x→x 0 , pak 1/α(x) je nekonečně velké pro x→x 0 .

Důkaz. Dokažme, že pro |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно,

|1/α(x)|>M. Tedy , tj. 1/α(x) je nekonečně velké jako x→x 0 .

VSTUPENKA 17

Věta 14.7 (první pozoruhodná limita). .

Důkaz. Uvažujme kružnici o jednotkovém poloměru se středem v počátku a předpokládejme, že úhel AOB je x (radián). Porovnejme plochy trojúhelníku AOB, sektoru AOB a trojúhelníku AOC, kde přímka OS je tečnou ke kružnici procházející bodem (1; 0). To je zřejmé.

Pomocí odpovídajících geometrických vzorců pro oblasti obrazců z toho získáme že nebo sinx 0), zapíšeme nerovnost ve tvaru: . Potom a podle věty 14.4.