Jak zjistit vzdálenost mezi body souřadnicové čáry. Jak zjistit vzdálenost v souřadnicové rovině. Hledání vzdálenosti od bodu k bodu, příklady a řešení

Plán lekce.

Vzdálenost mezi dvěma body na přímce.

Pravoúhlý (kartézský) souřadnicový systém.

Vzdálenost mezi dvěma body na přímce.

Věta 3. Jsou-li A (x) a B (y) libovolné dva body, pak d - vzdálenost mezi nimi se vypočítá podle vzorce: d = lу - хl.

Důkaz. Podle věty 2 máme AB = y - x. Ale vzdálenost mezi body A a B je rovna délce úsečky AB, ty. délka vektoru AB. Proto d = lАВl = lу-хl.

Protože čísla y-x a x-y jsou brána modulo, můžeme psát d = lx-yl. Takže, abyste našli vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře, musíte najít modul rozdílu mezi jejich souřadnicemi.

Příklad 4... Dané body A (2) a B (-6) najděte vzdálenost mezi nimi.

Řešení. Dosaďte ve vzorci místo x = 2 a y = -6. Dostaneme AB = lу-хl = l-6-2l = l-8l = 8.

Příklad 5. Sestrojte bod symetrický k bodu M (4) vzhledem k počátku.

Řešení. Protože z bodu M do bodu O 4 jednotkové segmenty, dáme stranou vpravo, pak abychom k němu vytvořili bod symetrický, odložíme 4 jednotkové segmenty doleva z bodu O, dostaneme bod M"(-4).

Příklad 6. Sestrojte bod C (x), symetrický k bodu A (-4) vzhledem k bodu B (2).

Řešení. Označme na číselné ose body А (-4) a В (2). Najděte vzdálenost mezi body podle věty 3, dostaneme 6. Potom by vzdálenost mezi body B a C měla být také 6. Odložíme 6 jednotkových segmentů z bodu B doprava, dostaneme bod C (8).

Cvičení. 1) Najděte vzdálenost mezi body A a B: a) A (3) a B (11), b) A (5) a B (2), c) A (-1) a B (3), d) A (-5) a B (-3), e) A (-1) a B (3), (Odpověď: a) 8, b) 3, c) 4, d) 2, e) 2).

2) Sestrojte bod C (x) symetrický k bodu A (-5) vzhledem k bodu B (-1). (Odpověď: C (3)).

Pravoúhlý (kartézský) souřadnicový systém.

Dvě vzájemně kolmé osy Ox a Oy, které mají společný počátek O a stejnou jednotku měřítka, tvoří obdélníkový(nebo karteziánský) rovinný souřadnicový systém.

Říká se Axis Oh úsečka, a osa Oy je osa y... Bod O průsečíku os se nazývá původ... Rovina, ve které se nacházejí osy Ox a Oy, se nazývá rovina souřadnic a označuje se Oxy.

Nechť M je libovolný bod roviny. Pomiňme z něj kolmice MA a MB na osách Ox a Oy. Nazývají se průsečíky A a B kolmic s osami projekce body M na souřadnicové ose.

Body A a B odpovídají určitým číslům x a y - jejich souřadnicím na osách Ox a Oy. Volá se číslo x úsečka bod M, číslo y - ona ordinovat.

Skutečnost, že bod M má souřadnice x a y, je symbolicky označena následovně: M (x, y). V tomto případě první v závorkách označuje úsečku a druhý - pořadnici. Počátek má souřadnice (0,0).

Pro zvolený souřadnicový systém tedy každému bodu M roviny odpovídá dvojice čísel (x, y) - jeho pravoúhlým souřadnicím a naopak každé dvojici čísel (x, y) tam odpovídá a navíc jedna bod M v rovině Oxy tak, že jeho úsečka je x a pořadnice je y.

Pravoúhlý souřadnicový systém v rovině tedy vytváří vzájemnou korespondenci mezi množinou všech bodů v rovině a množinou dvojic čísel, což umožňuje řešit geometrické problémy aplikovat algebraické metody.

Souřadnicové osy rozdělují rovinu na čtyři části, nazývají se čtvrtiny, kvadranty nebo souřadnicové úhly a číslovány římskými číslicemi I, II, III, IV, jak je znázorněno na obrázku (hypertextový odkaz).

Na obrázku jsou také znázorněny znaménka souřadnic bodů v závislosti na jejich umístění. (např. v prvním čtvrtletí jsou obě souřadnice kladné).

Příklad 7. Sestrojte body: A (3; 5), B (-3; 2), C (2; -4), D (-5; -1).

Řešení. Sestrojme bod A (3; 5). Nejprve zavedeme pravoúhlý souřadnicový systém. Potom na vodorovné ose odložíme 3 jednotky měřítka doprava a na souřadnici - 5 jednotek měřítka nahoru a přes konečné body dělení nakreslíme rovné čáry rovnoběžné se souřadnicovými osami. Průsečíkem těchto čar je požadovaný bod A (3; 5). Zbytek bodů je konstruován stejným způsobem (viz obrázek-hyperlink).

Cvičení.

Bez kreslení bodu A (2; -4) zjistěte, do které čtvrti patří.

V jakých čtvrtích může být bod, pokud je jeho ordináta kladná?

Na ose Oy se vezme bod se souřadnicí -5. Jaké jsou jeho souřadnice v rovině? (Odpověď: protože bod leží na ose Oy, pak jeho úsečka je 0, pořadnice je dána podmínkou, takže souřadnice bodu jsou (0; -5)).

Body jsou uvedeny: a) A (2; 3), b) B (-3; 2), c) C (-1; -1), d) D (x; y). Najděte souřadnice bodů, které jsou k nim symetrické kolem osy Ox. Zakreslete všechny tyto body. (odpověď: a) (2; -3), b) (-3; -2), c) (-1; 1), d) (x; -y)).

Body jsou uvedeny: a) A (-1; 2), b) B (3; -1), c) C (-2; -2), d) D (x; y). Najděte souřadnice bodů, které jsou k nim symetrické kolem osy Oy. Zakreslete všechny tyto body. (odpověď: a) (1; 2), b) (-3; -1), c) (2; -2), d) (-x; y)).

Body jsou uvedeny: a) A (3; 3), b) B (2; -4), c) C (-2; 1), d) D (x; y). Najděte souřadnice bodů, které jsou k nim symetrické podle počátku. Zakreslete všechny tyto body. (odpověď: a) (-3; -3), b) (-2; 4), c) (2; -1), d) (-x; -y)).

Bod M (3; -1) je dán. Najděte souřadnice bodů symetrických k ose Ox, Oy a počátku. Zakreslete všechny body. (Odpověď: (3; 1), (-3; -1), (-3; 1)).

Určete, ve kterých čtvrtinách se může nacházet bod M (x; y), jestliže: a) xy> 0, b) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

Určete souřadnice vrcholů rovnostranný trojúhelník se stranou rovnou 10, ležící v první čtvrtině, pokud se jeden z jejích vrcholů shoduje s počátkem souřadnic O a základna trojúhelníku se nachází na ose Ox. Nakreslete kresbu. (Odpověď: (0; 0), (10; 0), (5; 5v3)).

Pomocí souřadnicové metody určete souřadnice všech vrcholů pravidelného šestiúhelníku ABCDEF. (Odpověď: A (0; 0), B (1; 0), C (1,5; v3 / 2), D (1; v3), E (0; v3), F (-0,5; v3 / 2). Poznámka: vezměte bod A jako počátek souřadnic, nasměrujte osu úsečky z A do B, vezměte délku strany AB jako jednotku měřítka. Je vhodné kreslit velké úhlopříčky šestiúhelníku.)

Vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře je stupeň 6.

Vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi body na souřadnicové čáře

Algoritmus pro nalezení souřadnice bodu - středu úsečky

Děkuji kolegům na internetu, jejichž materiál jsem použil v této prezentaci!

Stažení:

Náhled:

Použít náhled prezentací, vytvořte si účet Google (účet) a přihlaste se do něj: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře x 0 1 A B AB = ρ (A, B)

Vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře Účel lekce: - Najděte způsob (vzorec, pravidlo), jak zjistit vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře. - Naučte se najít vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře pomocí nalezeného pravidla.

1. Slovní počet 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Ústně vyřešte úlohu pomocí souřadnic: kolik celých čísel je uzavřeno mezi čísly: a) - 8,9 a 2 b) - 10,4 a - 3,7 c) - 1,2 a 4,6? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 kladná čísla -1 -5 záporná čísla Vzdálenost z domova na stadion 6 Vzdálenost z domova do školy 6 Souřadnice

0 1 2 7 -1 -5 Vzdálenost ze stadionu domů 6 Vzdálenost ze školy domů 6 Zjištění vzdálenosti mezi body na souřadnicové čáře ρ (-5; 1) = 6 ρ (7; 1) = 6 Vzdálenost mezi body budou označeny písmenem ρ (ro)

0 1 2 7 -1 -5 Vzdálenost ze stadionu domů 6 Vzdálenost ze školy domů 6 Zjištění vzdálenosti mezi body na souřadnicové čáře ρ (-5; 1) = 6 ρ (7; 1) = 6 ρ (a b) =? | a-b |

Vzdálenost mezi body a a b je rovna modulu rozdílu souřadnic těchto bodů. ρ (a; b) = | a-b | Vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře

Geometrický význam modulu reálného čísla a b a a = b b x x x Vzdálenost mezi dvěma body

0 1 2 7 -1 -5 Najděte vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6; 2) = ρ (6; 3) = ρ (0; 7) = ρ (1; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Najděte vzdálenosti mezi body na souřadnicové čáře - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2; -6) = ρ (3; 6) = ρ (7; 0) = ρ (-4; 1) = 8 3 7 5

Závěr: Hodnoty výrazu | a - b | a | b - a | jsou stejné pro všechny hodnoty a a b =

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ (–3; 8) = 11; | (–3) – (+8) | = 11; | (+8) - (–3) | = 11. ρ (–16; –2) = 14; | (–16) – (–2) | = 14; | (–2) – (–16) | = 14. p (4; 17) = 13; | (+4) - (+17) | = 13; | (+17) - (+4) | = 13. Vzdálenost mezi body souřadnicové čáry

Najděte ρ (x; y), pokud: 1) x = - 14, y = - 23; ρ (x; y) = | x - y | = | –14 - (- 23) | = | –14 + 23 | = | 9 | = 9 2) x = 5,9, y = –6,8; ρ (x; y) = | 5, 9 - (- 6,8) | = | 5,9 + 6,8 | = | 12,7 | = 12,7

Pokračujte ve větě 1. Souřadnicová čára je přímka, na které je naznačen ... 2. Vzdálenost mezi dvěma body je ... 3. Opačná čísla jsou čísla, ... 4. Modul čísla X je tzv. ... 5. - Porovnejte hodnoty výrazů a - b V b - a udělejte závěr ... - Porovnejte hodnoty výrazů | a - b | V | b - a | c uzavřít...

Cog a Shpuntik sledují souřadnicový paprsek. Zub je v bodě B (236), Shpuntik je v bodě W (193) V jaké vzdálenosti jsou od sebe Cog a Shpuntik? p (B, W) = 43

Najděte vzdálenost mezi body A (0), B (1) A (2), B (5) A (0), B (- 3) A (- 10), B (1) AB = 1 AB = 3 AB = 3 AB = 11

Najděte vzdálenost mezi body A (- 3,5), B (1,4) K (1,8), B (4,3) A (- 10), C (3)

Zkontrolujte AB = KV = AC =

С (- 5) С (- 3) Najděte souřadnici bodu - střed úsečky BA

Na souřadnicové čáře jsou vyznačeny body A (–3,25) a B (2,65). Najděte souřadnici bodu O - střed úsečky AB. Řešení: 1) ρ (A; B) = | –3,25 - 2,65 | = | –5,9 | = 5,9 2) 5,9: 2 = 2,95 3) –3,25 + 2,95 = – 0,3 nebo 2,65 – 2,95 = – 0,3 Odpověď: O (–0, 3)

Na souřadnicové čáře jsou vyznačeny body C (- 5.17) a D (2.33). Najděte souřadnici bodu A - střed segmentu CD. Řešení: 1) ρ (C; D) = | - 5, 17 - 2, 33 | = | - 7, 5 | = 7, 5 2) 7, 5: 2 = 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 = - 1, 42 nebo 2, 33 - 3, 7 5 = - 1, 42 Odpověď: A ( - 1, 42)

Závěr: Algoritmus pro zjištění souřadnice bodu - středu daného segmentu: 1. Najděte vzdálenost mezi body - konce daného segmentu = 2. Výsledek-1 vydělte 2 (poloviční hodnota) = c 3. Přidejte výsledek-2 k souřadnici a nebo odečtěte výsledek-2 od souřadnice a + c nebo - c 4. Výsledek-3 je souřadnice bodu - středu daného segmentu

Práce s učebnicí: §19, str. 112, A. č. 573, 575 V. č. 578, 580 Domácí úkol: §19, str. 112, A. č. 574, 576, V. č. 579, 581 připravit na CD " Sčítání a odčítání racionálních čísel. Vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře "

Dnes jsem zjistil ... Bylo to zajímavé ... Uvědomil jsem si, že ... Teď můžu ... Naučil jsem se ... Uspěl jsem ... Zkusím ... Byl jsem překvapen ... Chtěl jsem ...

Lekce #3

TÉMA: Vzdálenost mezi body souřadnicové čáry

Účel učitele: vytvořit podmínky pro zvládnutí dovedností najít vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře, vypočítat modul rozdílu, souřadnice středu segmentu.

Plánované výsledky studia tématu:

Osobní: projevit kognitivní zájem o studium předmětu.

Předmět: vědět, jak najít vzdálenost mezi body na souřadnicové čáře, vypočítat modul rozdílu, souřadnice středu segmentu.

Metapředmětové výsledky studia tématu (univerzální školicí aktivity):

poznávací: zaměřit se na různé způsoby řešení problémů; vědět, jak zobecňovat a organizovat informace;

regulační: vzít v úvahu pravidlo při plánování a kontrole způsobu řešení;

komunikativní: počítat s různými názory a snažit se koordinovat různé pozice ve spolupráci.

Scénář lekce.

já .Org moment.
Nazdar hoši. Dnes u našeho hosta Vítáme je!

Sedni si.

Naše lekce není úplně obyčejná. Lekce zobecňování znalostí. Musíme ukázat, co jsme se naučili, co jsme se naučili.

Na jakém tématu v poslední době pracujeme? (Porovnání, sčítání racionálních čísel)

Jako epigraf lekce jsem vzal tato slova : Dnes půjdeme za vědou

Vezměme si na pomoc fantazii

Nesjedeme rovně ze silnice

A abychom cíle dosáhli dříve

Musíme vylézt po schodech nahoru!

2. Aktualizace znalostí .

Úkol "Žebřík".

Možnost práce, validace a sebehodnocení

3 Výborně, pokračujeme v cestě za poznáním nahoru.Zkontrolujeme domácí úkol.

1. Najděte vzdálenost mezi body souřadnicové čáry: Д / З

a) A (-4) a B (-6); b) A (5) a B (-7); c) A (3) a B (-18).

ŘEŠENÍ: a) AB = | -6 - (- 4) | = | -2 | = 2

b) AB = | -7-5 | = 12

c) AB = | -18-3 | = 21

2. Najděte souřadnice bodů vzdálených od bodu:

a) A (-8) o 5; b) B (6) o -2,7; c) C (4) o -3,2

Řešení: a) -8 + 5 = -3 A 1 (-3) a -8-5 = -13 A 2 (-13)

b) 6 + (- 2,7) = 3,3 PROTI 1 (3,3) a 6 - (- 2,7) = 8,7 PROTI 2 (8,7)

c) 4 + (- 3,2) = 0,8 S 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 S 2 (7,2)

3) Najděte souřadnici bodu C, středu segmentu, pokud:

a) A (-12) B (1) b) A (-7) a B (9) c) A (16) a B (-8)

ŘEŠENÍ:

12 + 1 = -11 B) -7 + 9 = 2 C) 16 + (- 8) = 8

11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4

M (-5,5) s (1) M (4)

Na stolech máte měřítko domácí práce... Zkontrolujte a vložte značku na sebehodnotící list.

4 ... Blitz - anketa :

1. Co je to souřadnicová přímka?

2. Jaká znáš pravidla pro porovnávání racionálních čísel?

3.Jaký je modul čísla?

4.Jak sečíst dvě čísla se stejným znaménkem?

5.Jak sečíst dvě čísla s různými znaménky?

6. Jak určit vzdálenost mezi body souřadnicové čáry?

No a teď si pojďme ukázat, jak můžeme naše znalosti aplikovat v praxi.

5 oprav chyb

12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5

16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2

6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9

11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22

Proveďte autotest.

12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5

16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8

26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5

11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4

6. Určete vzdálenost mezi body: a najděte střed segmentu (podle možností)

(výměna sešitů a vzájemná kontrola.)

7. No a teď budeme odpočívat. Naše oči si musí odpočinout

8. Samostatná práce (v sešitu) známkování.

Možnost 1 Možnost 2

1,5-4,6 0,8 -1,2

-2,8 +3,8 4-9,4

0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (Snímek 9)

Cílová: otestovat schopnost aplikovat zákony sčítání na transformované výrazy; rozvíjet kognitivní zájem, nezávislost; pěstovat vytrvalost a vytrvalost při dosahování cíle.




Najděte hodnotu výrazu a podle získaného výsledku v souladu s tabulkou vybarvěte trpaslíka. (karta s gnómem zůstává studentům jako talisman)

Výborně chlapci!

Dokončili jste úkoly

A blýskli se znalostmi.

A kouzelný klíč k učení je

Vaše vytrvalost a trpělivost!

V tomto článku zvážíme způsoby, jak teoreticky určit vzdálenost od bodu k bodu a na příkladu konkrétních úloh. A na začátek si uveďme některé definice.

Definice 1

Vzdálenost mezi body Je délka segmentu, který je spojuje, v dostupném měřítku? Je nutné nastavit měřítko, abyste měli jednotku délky pro měření. Proto je v zásadě problém zjištění vzdálenosti mezi body vyřešen použitím jejich souřadnic na souřadnicové čáře, v souřadnicové rovině nebo trojrozměrném prostoru.

Počáteční údaje: souřadnice O x a na ní ležící libovolný bod A. Libovolný bod přímky má jedničku reálné číslo: nechť je to nějaké číslo pro bod A x A, je to také souřadnice bodu A.

Obecně lze říci, že k odhadu délky určitého segmentu dochází ve srovnání s segmentem braným jako jednotka délky v daném měřítku.

Pokud bod A odpovídá celému reálnému číslu, postupně se odkládá z bodu O do bodu podél přímky OA segmenty - jednotky délky, můžeme určit délku segmentu O A celkovým počtem čekajících jednotkových segmentů.

Například bod A odpovídá číslu 3 - abyste se tam dostali z bodu O, budete muset odložit tři segmenty jednotky. Pokud má bod A souřadnice - 4 - jednotkové segmenty se ukládají podobným způsobem, ale jiným, negativním směrem. V prvním případě je tedy vzdálenost O And rovna 3; ve druhém případě O A = 4.

Pokud má bod A racionální číslo jako souřadnici, pak z počátku (bod O) odložíme celý počet jednotkových segmentů a poté jeho nezbytnou část. Ale ne vždy je geometricky možné provést měření. Například se zdá obtížné odložit zlomek 4 111 na souřadnicové přímce.

Výše uvedeným způsobem je zcela nemožné odložit iracionální číslo na přímce. Například, když je souřadnice bodu A 11. V tomto případě je možné přejít k abstrakci: pokud je daná souřadnice bodu A větší než nula, pak O A = x A (číslo se bere jako vzdálenost); pokud je souřadnice menší než nula, pak O A = - x A. Obecně platí, že tato tvrzení platí pro jakékoli reálné číslo x A.

Abychom to shrnuli: vzdálenost od počátku k bodu odpovídajícímu reálnému číslu na souřadnicové čáře je rovna:

• 0, pokud se bod shoduje s počátkem;

• x A, pokud x A > 0;

• - x A, pokud x A< 0 .

V tomto případě je zřejmé, že délka samotného segmentu nemůže být záporná, proto pomocí znaménka modulu zapíšeme vzdálenost z bodu O do bodu A se souřadnicí x A: O A = x A

Následující tvrzení bude pravdivé: vzdálenost od jednoho bodu k druhému bude rovna modulu souřadnicového rozdílu. Tito. pro body A a B ležící na stejné souřadnicové čáře v libovolném z jejich umístění a mající souřadnice x A a x B: A B = x B - x A.

Výchozí údaje: body A a B, ležící v rovině v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y s danými souřadnicemi: A (x A, y A) a B (x B, y B).

Prokresleme kolmice k souřadnicovým osám O x a O y body A a B a získáme promítací body jako výsledek: A x, A y, B x, B y. Na základě umístění bodů A a B jsou dále možné následující možnosti:

Pokud se body A a B shodují, pak je vzdálenost mezi nimi nulová;

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose O x (úsečka), pak se body shodují a | A B | = | А y B y | ... Protože vzdálenost mezi body je rovna modulu rozdílu jejich souřadnic, pak A y B y = y B - y A, a tedy A B = A y B y = y B - y A.

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose O y (osa pořadnice) - analogicky s předchozím odstavcem: A B = A x B x = x B - x A

Pokud body A a B neleží na přímce kolmé k jedné ze souřadnicových os, zjistíme vzdálenost mezi nimi a odvodíme vzorec pro výpočet:

Vidíme, že trojúhelník ABC má obdélníkovou konstrukci. Navíc A C = A x B x a B C = A y B y. Pomocí Pythagorovy věty složíme rovnost: AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇔ AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 a poté ji transformujeme: AB = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Udělejme závěr ze získaného výsledku: vzdálenost z bodu A do bodu B v rovině je určena výpočtem pomocí vzorce pomocí souřadnic těchto bodů

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Výsledný vzorec také potvrzuje dříve vytvořená tvrzení pro případy shody bodů nebo situace, kdy body leží na přímkách kolmých k osám. Takže pro případ shody bodů A a B bude platit rovnost: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pro situaci, kdy body A a B leží na přímce kolmé k ose úsečky:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pro případ, kdy body A a B leží na přímce kolmé k ose pořadnice:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Počáteční údaje: pravoúhlý souřadnicový systém O x y z s libovolnými body na něm ležícími s danými souřadnicemi A (x A, y A, z A) a B (x B, y B, z B). Je nutné určit vzdálenost mezi těmito body.

Uvažujme obecný případ, kdy body A a B neleží v rovině rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin. Prokresleme body A a B roviny kolmé k souřadnicovým osám a získáme odpovídající promítací body: A x, A y, A z, B x, B y, B z

Vzdálenost mezi body A a B je úhlopříčka výsledného rámečku. Podle konstrukce měření tohoto rovnoběžnostěnu: A x B x, A y B y a A z B z

Z průběhu geometrie je známo, že čtverec úhlopříčky rovnoběžnostěnu je roven součtu čtverců jeho rozměrů. Na základě tohoto tvrzení získáme rovnost: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Na základě dříve získaných závěrů píšeme následující:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Převedeme výraz:

AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finále vzorec pro určení vzdálenosti mezi body v prostoru bude vypadat takto:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Výsledný vzorec platí také pro případy, kdy:

Shoda bodů;

Lehni si na jednu souřadnicová osa nebo přímka rovnoběžná s jednou ze souřadnicových os.

Příklady řešení úloh na hledání vzdálenosti mezi body

Příklad 1

Počáteční data: dána souřadnicová čára a body na ní ležící s danými souřadnicemi A (1 - 2) a B (11 + 2). Je nutné najít vzdálenost od výchozího bodu O k bodu A a mezi body A a B.

Řešení

1. Vzdálenost od počátku k bodu je rovna modulu souřadnice tohoto bodu, respektive O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Vzdálenost mezi body A a B je definována jako modul rozdílu mezi souřadnicemi těchto bodů: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpověď: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Příklad 2

Počáteční údaje: dán pravoúhlým souřadnicovým systémem a dvěma body na něm ležícími A (1, - 1) a B (λ + 1, 3). λ je nějaké reálné číslo. Je nutné najít všechny hodnoty tohoto čísla, při kterých bude vzdálenost A B rovna 5.

Řešení

Pro zjištění vzdálenosti mezi body A a B použijte vzorec A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Dosazením skutečných hodnot souřadnic dostaneme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

A také použijeme existující podmínku, že A B = 5 a pak bude rovnost pravdivá:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpověď: А В = 5, pokud λ = ± 3.

Příklad 3

Výchozí údaje: uvedeny trojrozměrný prostor v pravoúhlém souřadnicovém systému O x y z a body A (1, 2, 3) a B - 7, - 2, 4 v něm ležící.

Řešení

K vyřešení úlohy použijeme vzorec A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dosazením reálných hodnot dostaneme: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpověď: | A B | = 9

Pokud si všimnete chyby v textu, vyberte ji a stiskněte Ctrl + Enter