Jak najít pohybový modul ve fyzice? (Možná existuje nějaký univerzální vzorec?). Vektory a operace s vektory Co je vektor ort

Jednotkový vektor- to vektor, jehož absolutní hodnota (modul) je rovna jedné. Pro označení jednotkového vektoru použijeme dolní index e. Pokud je tedy dán vektor A, pak jeho jednotkovým vektorem bude vektor A e. Tento jednotkový vektor je nasměrován stejným směrem jako samotný vektor A a jeho modul je roven jedné, tedy a e = 1.

Očividně, A= a A e (a - vektorový modul A)... Vyplývá to z pravidla, podle kterého se provádí operace násobení skaláru vektorem.

Jednotkové vektoryčasto spojené se souřadnicovými osami souřadnicového systému (zejména s osami kartézského souřadnicového systému). Směry těchto vektory se shodují se směry odpovídajících os a jejich počátky jsou často zarovnány s počátkem souřadnicového systému.

Dovolte mi, abych vám to připomněl Kartézský souřadnicový systém v prostoru se mu tradičně říká trojice vzájemně kolmých os protínajících se v bodě zvaném počátek. Souřadnicové osy jsou obvykle označeny písmeny X, Y, Z a nazývají se úsečka, pořadnice a aplikace. Sám Descartes používal pouze jednu osu, na které byly vyneseny úsečky. Přednosti použití systémy sekery patří jeho žákům. Proto ta věta kartézský souřadnicový systém historicky špatně. Je lepší mluvit obdélníkový souřadnicový systém nebo ortogonální souřadnicový systém... Přesto tradice nezměníme a do budoucna budeme předpokládat, že kartézský a pravoúhlý (ortogonální) souřadnicový systém jsou jedno a totéž.

Jednotkový vektor směrovaný podél osy X je označen i, jednotkový vektor směrovaný podél osy Y je označen j, a jednotkový vektor směrovaný podél osy Z je označen k... vektory i, j, k se nazývají orts(obr. 12, vlevo), mají jednotlivé moduly, tzn
i = 1, j = 1, k = 1.

Sekery a orts pravoúhlý souřadnicový systém v některých případech mají různá jména a označení. Takže úsečku X lze nazvat tečnou osou a její jednotkový vektor je označen τ (malé řecké písmeno tau), pořadnice je normální osa, označuje se její jednotka n, aplikační osa je binormální osa, její jednotkový vektor je označen b... Proč měnit jména, když podstata zůstává stejná?

Faktem je, že například v mechanice se při studiu pohybu těles velmi často používá pravoúhlý souřadnicový systém. Pokud je tedy samotný souřadnicový systém stacionární a změna souřadnic pohybujícího se objektu je sledována v tomto stacionárním systému, pak obvykle osy označují X, Y, Z a jejich orts resp i, j, k.

Ale často, když se objekt pohybuje po nějaké křivočaré trajektorii (například po kružnici), je vhodnější uvažovat o mechanických procesech v souřadnicovém systému pohybujícím se s tímto objektem. Právě pro takový pohyblivý souřadnicový systém se používají jiné názvy os a jejich jednotkové vektory. Je to prostě přijato. V tomto případě je osa X nasměrována tangenciálně k trajektorii v bodě, ve kterém se tento objekt aktuálně nachází. A pak se tato osa již nejmenuje osa X, ale osa tečny a její jednotka se již neoznačuje i, a τ ... Osa Y směřuje po poloměru zakřivení trajektorie (v případě pohybu po kružnici - do středu kružnice). A protože poloměr je kolmý na tečnu, nazývá se osa normální osa (kolmá a normála jsou jedno a totéž). Jednotkový vektor této osy se již neoznačuje j, a n... Třetí osa (dříve Z) je kolmá na předchozí dvě. Toto je binormál s ort b(obr. 12, vpravo). Mimochodem, v tomto případě takový pravoúhlý souřadnicový systémčasto označované jako „přirozené“ nebo přirozené.

Vektor v geometrii se nazývá řízený segment nebo uspořádaná dvojice bodů v euklidovském prostoru. Orthom vektor je jednotkový vektor normalizovaného vektorového prostoru nebo vektor, jehož norma (délka) je rovna jedné.

Budete potřebovat

• Znalost geometrie.

Instrukce

Nejprve musíte vypočítat délku vektor... Jak víte, délka (modul) vektor se rovná druhé odmocnině součtu druhých mocnin souřadnic. Nechť je dán vektor se souřadnicemi: a (3, 4). Pak jeho délka je | a | = (9 + 16) ^ 1/2 nebo | a | = 5.

Chcete-li najít ort vektor a, je nutné každou z nich vydělit její délkou. Výsledkem bude vektor nazývaný jednotkový vektor nebo jednotkový vektor. Pro vektor a (3, 4) jednotkový vektor bude a (3/5, 4/5). Vektor a` bude jednotkou pro vektor A.

Chcete-li zkontrolovat, zda je jednotkový vektor nalezen správně, můžete provést následující: najít délku výsledné jednotky, pak je vše nalezeno správně, pokud ne, do výpočtů se vloudila chyba. Zkontrolujeme, zda je jednotkový vektor a` nalezen správně. Délka vektor a` se rovná: a` = (9/25 + 16/25) ^ 1/2 = (25/25) ^ 1/2 = 1. Délka vektor a` se rovná jedné, takže jednotkový vektor je nalezen správně.

Konečně se mi dostalo do rukou rozsáhlé a dlouho očekávané téma analytická geometrie... Nejprve něco o této části vyšší matematiky…. Jistě se vám nyní vybaví školní kurz geometrie s četnými větami, jejich důkazy, kresbami atd. Co skrývat, pro velkou část studentů nemilovaný a často obskurní předmět. Analytická geometrie se kupodivu může zdát zajímavější a přístupnější. Co znamená přídavné jméno analytický? Okamžitě mě napadnou dva vyražené matematické obraty: „metoda grafického řešení“ a „metoda analytického řešení“. Grafická metoda, samozřejmě souvisí se stavbou grafů, nákresů. Analytická stejný metoda zahrnuje řešení problémů převážně prostřednictvím algebraických akcí. V tomto ohledu je algoritmus pro řešení téměř všech problémů analytické geometrie jednoduchý a transparentní, často stačí pečlivě použít potřebné vzorce - a odpověď je připravena! Ne, samozřejmě se to vůbec neobejde bez nákresů, ostatně pro lepší pochopení látky se je pokusím nad míru nezbytně uvést.

Otevřený kurz lekcí geometrie si nečiní nárok na teoretickou úplnost, je zaměřen na řešení praktických problémů. Do svých přednášek zařadím jen to, co je z mého pohledu v praxi důležité. Pokud potřebujete podrobnější pomoc s jakoukoli podsekcí, doporučuji následující snadno dostupnou literaturu:

1) Věc, kterou, bez vtipu, zná několik generací: Školní učebnice geometrie, autoři - L.S. Atanasyan a společnost... Tento věšák školní šatny vydržel již 20 (!) Dotisků, což samozřejmě není limit.

2) Geometrie ve 2 svazcích... Autoři L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.... Toto je středoškolská literatura, kterou budete potřebovat první svazek... Vzácné úkoly mi mohou z oka vypadnout a tento tutoriál bude neocenitelným pomocníkem.

Obě knihy jsou zdarma ke stažení na internetu. Navíc můžete využít můj archiv s hotovými řešeními, které najdete na stránce Stáhněte si příklady z vyšší matematiky .

Ze sady nástrojů opět navrhuji svůj vlastní vývoj - softwarový balík na analytickou geometrii, což výrazně zjednoduší život a ušetří spoustu času.

Předpokládá se, že čtenář zná základní geometrické pojmy a tvary: bod, přímka, rovina, trojúhelník, rovnoběžník, rovnoběžnostěn, krychle atd. Je vhodné si zapamatovat některé věty, alespoň Pythagorovu větu, ahoj opakovače)

A nyní budeme postupně zvažovat: koncept vektoru, akce s vektory, souřadnice vektoru. Dále doporučuji k přečtení zásadní článek Bodový součin vektorů a také Vektorový a smíšený součin vektorů ... Místní úkol nebude zbytečný - Rozdělení segmentu v tomto ohledu... Na základě výše uvedených informací můžete zvládnout rovnice přímky na rovině S nejjednodušší příklady řešení která umožní naučit se řešit problémy v geometrii ... Následující články jsou také užitečné: Rovnice roviny v prostoru , Rovnice přímky v prostoru , Hlavní úkoly na lince a rovině, další úseky analytické geometrie. Přirozeně po cestě budou zvažovat typické úkoly.

Vektorové koncept. Zdarma vektor

Nejprve si zopakujme školní definici vektoru. Vektor volala režírovaný segment, pro který je uveden jeho začátek a konec:

V tomto případě je začátek segmentu bod, konec segmentu je bod. Samotný vektor je označen. Směr je zásadní, pokud přeuspořádáte šipku na druhý konec segmentu, získáte vektor, a to už je úplně jiný vektor... Pojem vektor je vhodné ztotožňovat s pohybem fyzického těla: musíte souhlasit, vstup do dveří ústavu nebo odchod ze dveří ústavu jsou zcela odlišné věci.

Je vhodné uvažovat jednotlivé body roviny, prostoru jako tzv nulový vektor... Takový vektor má stejný konec a začátek.

!!! Poznámka: Dále můžete předpokládat, že vektory leží ve stejné rovině nebo můžete předpokládat, že jsou umístěny v prostoru - podstata prezentovaného materiálu platí pro rovinu i prostor.

Legenda: Mnozí si hned všimli hůlky bez šipky v označení a řekli, nahoře je také šipka! Pravda, můžete psát šipkou:, ale také záznam, který využiji v budoucnu... Proč? Zřejmě se tento zvyk vyvinul z praktických hledisek, moji střelci se ve škole a na univerzitě ukázali jako příliš pestré a střapaté. Ve vzdělávací literatuře se někdy vůbec neobtěžují klínovým písmem, ale zvýrazňují písmena tučně:, čímž naznačují, že se jedná o vektor.

To byl styl, ale nyní o způsobech psaní vektorů:

1) Vektory lze psát dvěma velkými latinskými písmeny:
atd. Navíc první písmeno nezbytně označuje počáteční bod vektoru a druhé písmeno označuje koncový bod vektoru.

2) Vektory jsou také psány malými latinskými písmeny:
Zejména pro stručnost lze náš vektor přejmenovat na malé latinské písmeno.

Délka nebo modul nenulový vektor je délka segmentu. Délka nulového vektoru je nula. Je to logické.

Délka vektoru je označena znaménkem modulu:,

Jak zjistit délku vektoru se naučíme (nebo zopakujeme, pro koho jak) o něco později.

Byly to základní informace o vektoru, známé všem školákům. V analytické geometrii, tzv volný vektor.

Pokud je to docela jednoduché - vektor lze odložit z libovolného bodu:

Dříve jsme takovým vektorům říkali rovné (definice rovných vektorů bude uvedena níže), ale z čistě matematického hlediska jde o JEDEN A TÝŽ VEKTOR resp. volný vektor... proč zdarma? Protože v průběhu řešení problémů můžete „připojit“ ten či onen „školní“ vektor k JAKÉMUKOLI bodu roviny nebo prostoru, který potřebujete. To je velmi cool nemovitost! Představte si nasměrovaný segment libovolné délky a směru – lze jej „naklonovat“ nekonečněkrát a v libovolném bodě prostoru, ve skutečnosti existuje VŠUDE. Student říká: Každý přednášející ve f ** k a vektoru. Ostatně nejde jen o vtipnou rýmovačku, vše je téměř správně - lze tam přidat i režírovaný segment. Ale nespěchejte se radovat, sami studenti častěji trpí =)

Tak, volný vektor- to hromada identické směrované úsečky. Školní definice vektoru uvedená na začátku odstavce: „Vektor se nazývá směrovaný segment ...“ znamená charakteristický směrovaný segment převzatý z dané množiny, který je vázán na konkrétní bod v rovině nebo prostoru.

Je třeba poznamenat, že z hlediska fyziky je koncept volného vektoru obecně nesprávný a na místě použití záleží. Skutečně, přímý úder stejné síly do nosu nebo do čela bude stačit k tomu, aby se můj stupidní příklad rozvinul s různými důsledky. Nicméně, není zdarma vektory setkat a v průběhu vyshmat (tam nechoď :)).

Akce s vektory. Kolineární vektory

V kurzu školní geometrie se uvažuje o řadě akcí a pravidel s vektory: sčítání podle pravidla trojúhelníku, sčítání podle pravidla rovnoběžníku, pravidlo vektorového rozdílu, násobení vektoru číslem, bodový součin vektorů atd. Pro semeno zopakujeme dvě pravidla, která jsou zvláště relevantní pro řešení problémů analytické geometrie.

Pravidlo sčítání vektorů podle pravidla trojúhelníků

Uvažujme dva libovolné nenulové vektory a:

Je potřeba najít součet těchto vektorů. Protože všechny vektory jsou považovány za volné, dáme stranou vektor z konec vektory:

Součet vektorů je vektor. Pro lepší pochopení pravidla je vhodné vložit do něj fyzikální význam: ať nějaké těleso udělá cestu po vektoru a pak po vektoru. Pak součet vektorů je vektorem výsledné cesty se začátkem v místě odjezdu a koncem v místě příjezdu. Podobné pravidlo je formulováno pro součet libovolného počtu vektorů. Jak se říká, tělo může jít svou cestou silně po cikcaku a třeba na autopilota - podle výsledného vektoru součtu.

Mimochodem, pokud je vektor odložen Start vektor, dostanete ekvivalent pravidlo rovnoběžníku přidání vektorů.

Nejprve o kolinearitě vektorů. Tyto dva vektory se nazývají kolineární leží-li na stejné přímce nebo na rovnoběžných liniích. Zhruba řečeno, mluvíme o paralelních vektorech. Ale ve vztahu k nim se vždy používá přívlastek „kolineární“.

Představte si dva kolineární vektory. Pokud jsou šipky těchto vektorů nasměrovány stejným směrem, pak se takové vektory nazývají spolurežírovaný... Pokud šipky ukazují různými směry, vektory budou opačný směr.

Legenda: kolinearita vektorů se zapisuje obvyklým symbolem rovnoběžnosti:, přičemž je možné detailování: (vektory jsou směrovány společně) nebo (vektory jsou směrovány opačně).

Podle produktu nenulový vektor číslem je vektor, jehož délka je stejná, a vektory a jsou nasměrovány na a opačně.

Pravidlo násobení vektoru číslem je snazší pochopit pomocí obrázku:

Pojďme to pochopit podrobněji:

1) Směr. Pokud je faktor záporný, pak vektor mění směr k opaku.

2) Délka. Pokud je faktor uvnitř nebo, pak délka vektoru klesá... Délka vektoru je tedy poloviční než délka vektoru. Pokud je modul větší než jedna, pak délka vektoru zvyšuje včas.

3) Vezměte prosím na vědomí všechny vektory jsou kolineární, zatímco jeden vektor je vyjádřen v termínech jiného, ​​například. Opak je také pravdou: jestliže jeden vektor může být vyjádřen v podmínkách jiného, ​​pak takové vektory jsou nutně kolineární. Takto: vynásobíme-li vektor číslem, dostaneme kolineární(ve vztahu k originálu) vektor.

4) Vektory jsou kosměrné. Vektory a jsou také kosměrné. Jakýkoli vektor první skupiny je orientován opačně vzhledem k jakémukoli vektoru druhé skupiny.

Které vektory jsou stejné?

Dva vektory jsou si rovny, pokud jsou kosměrné a mají stejnou délku... Všimněte si, že kodirectionalita implikuje kolineární vektory. Definice bude nepřesná (nadbytečná), pokud řekneme: "Dva vektory jsou si rovny, pokud jsou kolineární, kosměrné a mají stejnou délku."

Rovné vektory jsou z hlediska konceptu volného vektoru jeden a tentýž vektor, o čemž již byla řeč v předchozím odstavci.

Vektorové souřadnice v rovině a ve vesmíru

Prvním bodem je uvažovat vektory v rovině. Představujeme kartézský pravoúhlý souřadnicový systém a vyčleňujeme počátek souřadnic singl vektory a:

Vektory a ortogonální... Ortogonální = kolmý. Doporučuji si pomalu zvykat na pojmy: místo rovnoběžnosti a kolmosti používáme slova, resp kolinearita a ortogonalita.

Označení: ortogonalita vektorů se zapisuje obvyklým symbolem kolmosti, například:.

Uvažované vektory se nazývají souřadnicové vektory nebo orts... Tyto vektory se tvoří základ na povrchu. Co je základ, je myslím mnohým intuitivně jasné, podrobnější informace najdete v článku Lineární (ne)závislost vektorů. Základy vektorů Jednoduše řečeno, základ a počátek souřadnic definují celý systém - to je jakýsi základ, na kterém je plný a bohatý geometrický život v plném proudu.

Někdy se konstruovaný základ nazývá ortonormální základ roviny: "orto" - protože souřadnicové vektory jsou ortogonální, znamená přídavné jméno "normalizovaný" jednotku, tzn. délky vektorů báze jsou rovny jedné.

Označení: v závorce se obvykle píše základ, uvnitř kterého v přísném pořadí základní vektory jsou uvedeny například:. Souřadnicové vektory je to zakázáno přeskupit.

Žádný vektorová rovina jedinečným způsobem vyjádřeno jako:
, kde - čísla které se nazývají vektorové souřadnice v tomto základu. A samotný výraz volala rozklad vektoruna základě .

Večeře je nachystaná:

Začněme prvním písmenem abecedy:. Výkres jasně ukazuje, že při rozšiřování vektoru z hlediska základu se používají právě uvažované:
1) pravidlo pro násobení vektoru číslem: and;
2) sčítání vektorů podle pravidla trojúhelníku:.

Nyní mentálně odložte vektor z jakéhokoli jiného bodu v rovině. Je zcela zřejmé, že jeho rozklad ho „neúnavně pronásleduje“. Tady to je, svoboda vektoru - vektor "nese vše s sebou." Tato vlastnost samozřejmě platí pro jakýkoli vektor. Sranda je, že samotné základní (volné) vektory se od počátku odkládat nemusí, jeden se dá kreslit třeba vlevo dole a druhý vpravo nahoře a na tom se nic nezmění! Je pravda, že to nemusíte dělat, protože učitel také ukáže originalitu a nakreslí vás "započítáno" na nečekaném místě.

Vektory přesně ilustrují pravidlo násobení vektoru číslem, vektor je kosměrný se základním vektorem, vektor je opačný k základnímu vektoru. Tyto vektory mají jednu ze souřadnic rovnou nule, lze to pečlivě zapsat takto:


A základní vektory jsou mimochodem takto: (ve skutečnosti jsou vyjádřeny skrze sebe).

A nakonec:,. Mimochodem, co je to vektorové odčítání a proč jsem nemluvil o pravidle odčítání? Někde v lineární algebře, už si nepamatuji kde, jsem poznamenal, že odčítání je speciální případ sčítání. Takže expanze vektorů "de" a "e" se klidně píší jako součet:, ... Následujte nákres, jak v těchto situacích jasně funguje staré dobré trojúhelníkové přidávání vektorů.

Uvažovaný rozklad formy někdy nazývaný vektorový rozklad v systému ort(tedy v soustavě jednotkových vektorů). Ale toto není jediný způsob, jak napsat vektor, běžná je následující možnost:

Nebo se znaménkem rovná se:

Samotné základní vektory jsou zapsány následovně: a

To znamená, že souřadnice vektoru jsou uvedeny v závorkách. V praktických úlohách se využívají všechny tři možnosti záznamu.

Pochyboval jsem, zda mám mluvit, ale přesto řeknu: souřadnice vektorů nelze přeskupit. Přísně na prvním místě zapište souřadnici, která odpovídá jednotkovému vektoru, přísně na druhém místě zapíšeme souřadnici, která odpovídá jednotkovému vektoru. Ve skutečnosti a jsou dva různé vektory.

Zjistili jsme souřadnice v letadle. Nyní se podíváme na vektory v trojrozměrném prostoru, zde je vše téměř stejné! Bude přidána pouze jedna další souřadnice. Je obtížné provádět trojrozměrné kresby, takže se omezím na jeden vektor, který pro jednoduchost odložím od původu:

Žádný vektor trojrozměrného prostoru může jediná možnost expandovat na ortonormálním základě:
, kde jsou souřadnice vektoru (čísla) v daném základu.

Příklad z obrázku: ... Podívejme se, jak zde vektorová pravidla fungují. Nejprve vynásobte vektor číslem: (červená šipka), (zelená šipka) a (karmínová šipka). Za druhé, zde je příklad přidání několika, v tomto případě tří, vektorů:. Vektor součtu začíná v počátečním bodě odjezdu (začátek vektoru) a spočívá na konečném cílovém bodě (konec vektoru).

Všechny vektory trojrozměrného prostoru jsou samozřejmě také volné, zkuste mentálně odložit vektor z jakéhokoli jiného bodu a pochopíte, že jeho rozklad „zůstane u něj“.

Podobně jako u plochého pouzdra, navíc s psaním široce používané verze se závorkami: buď.

Pokud v expanzi chybí jeden (nebo dva) souřadnicové vektory, pak jsou nahrazeny nulami. Příklady:
vektor (pečlivě ) - zapsat;
vektor (pečlivě) - zapište si;
vektor (pečlivě ) - zapíšeme.

Bázové vektory jsou zapsány takto:

Zde jsou možná všechny minimální teoretické znalosti potřebné k řešení problémů v analytické geometrii. Možná je zde příliš mnoho pojmů a definic, proto doporučuji tulákům, aby si tyto informace znovu přečetli a porozuměli jim. A pro každého čtenáře bude užitečné čas od času nahlédnout do základní poučky pro lepší asimilaci látky. Kolinearita, ortogonalita, ortonormální báze, vektorová dekompozice – tyto a další pojmy budou často používány v následujícím. Podotýkám, že materiály na webu nestačí ke složení teoretického testu, kolokvia o geometrii, protože pečlivě šifruji všechny teorémy (kromě bez důkazů) - na úkor vědeckého stylu prezentace, ale plus pro vaše porozumění předmětu. Chcete-li získat podrobné teoretické pozadí, následujte prosím poklonu profesoru Atanasyanovi.

A přejdeme k praktické části:

Nejjednodušší problémy analytické geometrie.
Akce s vektory v souřadnicích

Je velmi žádoucí naučit se řešit úlohy, které budou považovány za plně automatické, a vzorce memorovat, dokonce ani speciálně memorování, oni sami si budou pamatovat =) To je velmi důležité, protože jiné problémy analytické geometrie jsou založeny na nejjednodušších elementárních příkladech a bude otravné trávit čas navíc pojídáním pěšců. Na košili není potřeba zapínat horní knoflíky, mnoho věcí znáte ze školy.

Prezentace materiálu bude probíhat paralelně – jak pro rovinu, tak pro vesmír. Z toho důvodu, že všechny vzorce ... uvidíte sami.

Jak najít vektor podle dvou bodů?

Jsou-li dány dva body roviny a, pak má vektor následující souřadnice:

Pokud jsou dány dva body prostoru a, pak má vektor následující souřadnice:

to znamená, ze souřadnic konce vektoru musíte odečíst odpovídající souřadnice začátek vektoru.

Cvičení: U stejných bodů si zapište vzorce pro zjištění souřadnic vektoru. Vzorce na konci lekce.

Příklad 1

Jsou dány dva body roviny a. Najděte vektorové souřadnice

Řešení: podle odpovídajícího vzorce:

Alternativně lze použít následující záznam:

Estéti se rozhodnou takto:

Osobně jsem zvyklý na první verzi nahrávky.

Odpovědět:

Podle podmínky nebylo nutné sestavit výkres (což je typické pro úlohy analytické geometrie), ale abych vysvětlil některé body figurínům, nebudu příliš líný:

Je nezbytně nutné porozumět rozdíl mezi souřadnicemi bodu a souřadnicemi vektoru:

Souřadnice bodu Jsou obvyklé souřadnice v pravoúhlém souřadnicovém systému. Myslím, že každý ví, jak pokládat body na souřadnicové rovině od 5. do 6. třídy. Každý bod má v rovině své pevné místo a nemůžete je nikam posunout.

Souřadnice stejného vektoru Jde v tomto případě o jeho rozšíření z hlediska základu. Jakýkoli vektor je volný, takže pokud je to žádoucí nebo nutné, můžeme jej snadno odložit z jiného bodu v rovině. Zajímavé je, že pro vektory je možné osy vůbec nestavět, pravoúhlý souřadnicový systém, je potřeba pouze základna, v tomto případě ortonormální základna roviny.

Záznamy souřadnic bodů a souřadnic vektorů se zdají být podobné:, a význam souřadnic Absolutně odlišný a měli byste si být tohoto rozdílu dobře vědomi. Tento rozdíl samozřejmě platí i pro prostor.

Dámy a pánové, podáváme ruku:

Příklad 2

a) Přidělují se body a. Najděte vektory a.
b) Body jsou přiděleny a . Najděte vektory a.
c) Přidělují se body a. Najděte vektory a.
d) Body jsou přiděleny. Najděte vektory .

Snad to stačí. To jsou příklady pro samostatné řešení, snažte se je nezanedbávat, vyplatí se to ;-). Není třeba dělat výkresy. Řešení a odpovědi na konci lekce.

Co je důležité při řešení úloh v analytické geometrii? Je důležité být VELMI OPATRNÍ, abyste se vyhnuli dílenské chybě „dva plus dva rovna nule“. Okamžitě se omlouvám, pokud jsem někde udělal chybu =)

Jak zjistit délku úsečky?

Délka, jak již bylo uvedeno, je označena znakem modulu.

Jsou-li dány dva body roviny a, lze délku segmentu vypočítat podle vzorce

Jsou-li dány dva body prostoru a, lze délku segmentu vypočítat podle vzorce

Poznámka: Vzorce zůstanou správné, pokud se odpovídající souřadnice přeuspořádají: a, ale první možnost je standardnější.

Příklad 3

Řešení: podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Pro názornost udělám nákres

sekce - toto není vektor a samozřejmě ho nemůžete nikam přesunout. Pokud navíc dokončíte výkres v měřítku: 1 jednotka. = 1 cm (dvě buňky zápisníku), pak lze získanou odpověď zkontrolovat běžným pravítkem přímým změřením délky segmentu.

Ano, řešení je krátké, ale je zde několik dalších důležitých bodů, které bych rád objasnil:

Nejprve do odpovědi vložíme rozměr: "jednotky". Podmínka neříká, CO to je, milimetry, centimetry, metry nebo kilometry. Matematicky správným řešením by tedy byla obecná formulace: „jednotky“ – zkráceně „jednotka“.

Za druhé si zopakujeme školní látku, která je užitečná nejen pro zvažovaný problém:

Dávejte pozor na důležitá technika – vyjmutí faktoru zpod kořene... Jako výsledek výpočtů jsme dostali výsledek a dobrý matematický styl zahrnuje vyjmutí faktoru zpod kořene (pokud je to možné). Podrobněji proces vypadá takto: ... Samozřejmě, že ponechání odpovědi ve formuláři nebude chybou - ale vadou určitě a závažným argumentem pro nadržování ze strany učitele.

Další běžné případy jsou:

Často se například pod kořenem získá poměrně velké číslo. Co v takových případech dělat? Na kalkulačce zkontrolujte, zda je číslo dělitelné 4:. Ano, bylo to rozděleno úplně, takto: ... Nebo se dá číslo opět vydělit 4? ... Takto: ... Poslední číslice čísla je lichá, takže dělit 4 potřetí zjevně nejde. Snažíme se dělit devíti:. Jako výsledek:
Připraveno.

Závěr: pokud je pod odmocninou získáno neextrahovatelné číslo, pak se pokusíme odstranit násobitel zpod odmocniny - na kalkulačce zkontrolujeme, zda je číslo dělitelné: 4, 9, 16, 25, 36, 49 atd.

Při řešení různých problémů se často naráží na kořeny, vždy se snažte vytáhnout faktory zpod kořene, abyste se vyhnuli nižší známce a zbytečným problémům s upřesňováním vašich řešení dle poznámky učitele.

Zopakujme současně kvadraturu a další mocniny:

Pravidla pro nakládání s tituly v obecné rovině lze najít ve školní učebnici algebry, ale myslím, že z uvedených příkladů je již vše nebo téměř vše jasné.

Úkol pro nezávislé řešení se segmentem v prostoru:

Příklad 4

Body a jsou uvedeny. Najděte délku úsečky.

Řešení a odpověď na konci lekce.

Jak zjistím délku vektoru?

Je-li dán rovinný vektor, pak se jeho délka vypočítá podle vzorce.

Je-li dán vektor prostoru, pak se jeho délka vypočítá podle vzorce .

Neboli jednotkový vektor (jednotkový vektor normalizovaného vektorového prostoru) je vektor, jehož norma (délka) je rovna jedné. Jednotkový vektor ... Wikipedie

- (ort) vektor, jehož délka je rovna jedné ze zvoleného měřítka ... Velký encyklopedický slovník

- (ort), vektor, jehož délka je rovna jednotce zvoleného měřítka. * * * UNIT VECTOR UNIT VECTOR (ort), vektor, jehož délka je rovna jednotce zvoleného měřítka ... encyklopedický slovník

Ort, vektor, jehož délka je rovna jednotce zvoleného měřítka. Jakýkoli vektor a lze získat z nějaké E. v. kolineární k němu. e vynásobením číslem (skalárním) λ, tedy a = λе. Viz také vektorový počet... Velká sovětská encyklopedie

- (ort), vektor, délka k rogo se rovná jednotce zvoleného měřítka ... Přírodní věda. encyklopedický slovník

Orth: Ve Wikislovníku je článek „Orth“ Orff, neboli Orth dvouhlavý pes, potomek Typhona a Echidny, bratra Cerbera. Orth ... Wikipedie

A; m. [něm. Ort] 1. Horn. Horizontální podzemní důl, který nemá přímý výstup na povrch. 2. Mat. Vektor, jehož délka je jedna. * * * Ort I (z řeckého orthós přímka), stejný jako jednotkový vektor. II (německy ... ... encyklopedický slovník