Odeslat čísla v trigonometrické podobě z i. Trigonometrická a orientační forma integrovaného čísla. Komplexní čísla XI.

2.3. Trigonometrická forma komplexních čísel

Nechte vektor nastavit na komplexní rovinu podle počtu.

Označte φ úhel mezi pozitivní poloviční osy a vektoru (úhel φ je považován za pozitivní, pokud se počítá proti šípu ve směru hodinových ručiček a negativně).

Označte délku vektoru přes R. Pak. Označovat také

Záznam se liší od nulového komplexního čísla Z ve formuláři

nazývá trigonometrická forma komplexního čísla Z. Číslo R se nazývá komplexní číslo Z modulu a číslo φ se nazývá argument tohoto komplexního čísla a je označen Arg Z.

Trigonometrická forma komplexního čísla - (Euler Formula) - indikativní forma integrovaného záznamu čísel:

V komplexním čísle z, existují nekonečně mnoho argumentů: Pokud je φ0 libovolný argument čísla Z, pak všechny ostatní lze nalézt ve vzorci

Pro komplexní číslo nejsou definovány argument a trigonometrický formulář.

Argumentem integrálního počtu integrovaného čísla je tedy jakýmkoliv řešením systému rovnic:

(3)

Hodnota φ argumentu komplexního čísla Z, uspokojující nerovnosti, se nazývá hlavní a označuje arg z.

Argumenty Arg Z a Arg Z jsou spojeny s rovností

, (4)

Formula (5) je důsledkem systému (3), takže všechny argumenty komplexního čísla splňují rovnost (5), ale ne všechna řešení φ rovnice (5) jsou argumenty čísla Z.

Hlavní hodnota argumentu jiného integrovaného čísla z nuly je ve vzorcích:

Multiplikační vzorce a rozdělení komplexních čísel v trigonometrickém tvaru mají následující formulář:

. (7)

Při postojování v přirozeném stupni integrovaného čísla se používá vzorec Moorev:

Při vyjmutí kořene z integrovaného čísla se použije vzorec:

, (9)

kde k \u003d 0, 1, 2, ..., n-1.

Úkol 54. Vypočítat, kde.

Představte si řešení tohoto výrazu v orientační formě komplexního záznamu čísel :.

Pokud pak.

Pak . Proto pak. a kde.

Odpovědět: , když

Úloha 55. Záznam komplexních čísel v trigonometrické podobě:

ale) ; b); v) ; d); E); E) ; G).

Vzhledem k tomu, že trigonometrická forma komplexního čísla má vzhled, pak:

a) V komplexním čísle :.

,

proto

b) kde

d) kde

e) .

g) , ale pak.

proto

Odpovědět: ; 4; ; ; ; ; .

Úkol 56. Najděte trigonometrickou formu komplexního čísla

.

Nech být , .

Pak , .

Protože já. pak a

Proto proto

Odpovědět: kde.

Úkol 57. Pomocí trigonometrické formy integrovaného čísla proveďte zadané akce :.

Představte si číslo I. v trigonometrické podobě.

1) Kde. pak

Najít důležitost hlavního argumentu:

Nahraďte hodnoty a ve výrazu, dostaneme

2) Kde je pak

Pak

3) najdeme soukromé

Věřit k \u003d 0, 1, 2, získáme tři různé hodnoty požadovaného kořene:

Pokud pak.

pokud pak.

pokud pak. .

Odpovědět ::

:

: .

Úkol 58. Nechť ,,, - různé komplexní čísla a . Dokázat to

číslo je platné kladné číslo;

b) existuje rovnost:

a) Představte si tyto komplexní čísla v trigonometrické podobě:

Tak jako .

Předstírejme to. Pak

.

Poslední výraz je kladné číslo, protože tam jsou čísla z intervalu pod sinusovými značkami.

od čísla Opravdu a pozitivní. Pokud A a B jsou složitá čísla a reálná a nulová, pak.

Navíc,

V důsledku toho je prokázána nezbytná rovnost.

Úkol 59. Zapište si v algebraické formě .

Představte si číslo v trigonometrické podobě, a pak najít svou algebraickou formu. Mít . Pro Dostáváme systém:

Proto je rovnost: .

Použití Moorem Formula:

dostávat

Nachází se trigonometrický tvar zadaného čísla.

Teď píšeme toto číslo v algebraické formě:

.

Odpovědět: .

Úkol 60. Najděte částku,

Zvážit částku

Používáme Moorem Formule, najdeme

Tato částka je množství n členů geometrického progrese s označením a první člen .

Použití vzorce pro množství členů takového progrese, máme

Zvýraznění imaginární části v posledním výrazu najdeme

S platnou částí získáme také následující vzorec :,,

Úkol 61. Najděte částku:

ale) ; b).

Podle Newtonova vzorce pro erekci

Moore Formula najdeme:

Rovné skutečné a imaginární části získaných výrazů pro, máme:

a .

Tyto vzorce v kompaktní podobě lze napsat následujícím způsobem:

,

kde - celá část čísla a.

Úkol 62. Najděte vše, co.

InfoFar as. , použití vzorce

, Extrahovat kořeny, dostat se ,

Proto, , ,

, .

Body odpovídající číslům jsou umístěny ve vrcholech náměstí, které jsou součástí poloměru kružnice 2 se středem v bodě (0; 0) (obr. 30).

Odpovědět: , ,

, .

Úkol 63. Rozhodnout rovnici , .

Podmínkou; Tato rovnice proto nemá kořen a to znamená, že je ekvivalentní rovnici.

Aby počet Z být kořenem této rovnice, je nutné, aby číslo je kořenem stupně PM od 1.

Odtud jsme dospělo k závěru, že počáteční rovnice má kořeny definované z rovnováze

,

Takto,

,

tj. ,

Odpovědět: .

Úkol 64. Rozhodnout rovnici v různých integrovaných číslech.

Vzhledem k tomu, že číslo není kořenem této rovnice, pak s touto rovnicem je ekvivalentní rovnici

To je rovnice.

Všechny kořeny této rovnice jsou získány ze vzorce (viz úloha 62):

; ; ; ; .

Úkol 65. Obrázek Sada bodů, které splňují nerovnosti v komplexní rovině: . (2. způsob řešení problému 45)

Nech být .

Integrovaná čísla, která mají stejné moduly, odpovídají letadlovým bodům ležícím na kruhu se středem na začátku souřadnic, takže nerovnost Uspokojit všechny body otevřeného kruhu, omezené kruhy se společným centrem na začátku souřadnic a poloměru a (obr. 31). Nechte určitý bod komplexní roviny odpovídat číslu W0. Číslo , Má modul, jen menší modul W0, argument pro větší argument W0. Z geometrického hlediska může být bod odpovídající W1 získán s použitím homothetiky se středem na začátku souřadnic a koeficientu, jakož i otáčení vzhledem ke startem souřadnic v úhlu proti směru hodinových ručiček. V důsledku použití těchto dvou transformací na body kroužku (obr. 31) bude tato změna na kroužek, omezený kruhy se stejným středem a poloměrem 1 a 2 (obr. 32).

Konverze Je implementován pomocí paralelního přenosu do vektoru. Nosí kroužek se středem v bodě do zadaného vektoru, získáme kroužek stejné velikosti se středem v bodě (obr. 22).

Navrhovaná metoda, která používá myšlenku geometrických transformací roviny, je pravděpodobně v popisu, ale velmi volený a účinný.

Úkol 66. Najít, pokud .

Pak. Počáteční rovnost bude mít formulář . Z podmínky rovnosti dvou integrovaných čísel získáme, odkud,. Takto, .

Píšeme číslo Z v trigonometrické podobě:

kde,. Podle Moorevova vzorce nalezneme.

Odpověď: - 64.

Úkol 67. Pro integrované číslo naleznete všechny komplexní čísla, například a .

Představte si číslo v trigonometrické podobě:

. Odtud ,. Pro číslo, které dostaneme, může být roven.

V prvním případě Druhý

.

Odpovědět: .

Úkol 68. Najděte částku takových čísel. Zadejte jeden z těchto čísel.

Všimněte si, že již z formulace samotného problému lze zřejmé, že množství kořenů rovnice lze nalézt bez výpočtu kořenů samotných. Skutečně, množství kořenů rovnice Existuje koeficient, přijímaný s opačným znaménkem (generalizovaná Vieta teorém), tj.

Žáci, školní dokumentace, vyvodit závěry o míře asimilace tohoto konceptu. Shrneme studii zvláštností matematického myšlení a procesu tvorby konceptu komplexního čísla. Popis metod. Diagnostická: Stage I. Konverzace se konala u učitele matematiky, která v 10. ročníku učí algebru a geometrii. Konverzace proběhla po nějaké době od začátku ...

Rezonance "(! profesionálních akcí - profesionální a psychologická připravenost). Zvažte nyní psychologickou analýzu právních faktů.

Matematika trigonometrická náhrada a ověřování účinnosti vyvinutého výuky techniky. Fáze práce: 1. Rozvoj volebního kurzu na toto téma: "Aplikace trigonometrické náhrady pro řešení algebraických problémů" se studenty tříd s hloubkou studia matematiky. 2. Proveďte vyvinutý volitelný kurz. 3. Provádění diagnostického řízení ...

Kognitivní úkoly jsou určeny pouze k doplnění stávajících učebních nástrojů a měly by být v účelné kombinaci se všemi tradičními prostředky a prvky vzdělávacího procesu. Rozdíl mezi vzdělávacími úkoly ve výuce humanitárních věd z přesných a matematických úkolů se skládá pouze z toho, že neexistují žádné vzorce, tuhé algoritmy v historických problémech atd., Které komplikuje jejich řešení. ...

Komplexní čísla XI.

§ 256. Trigonometrická forma komplexních čísel

Nechte komplexní číslo a + BI. Odpovídá vektoru Oa. \u003e s souřadnicemi ( a, B. ) (Viz obr. 332).

Označují délku tohoto vektoru r. a úhel, který tvoří s osou h. , přes φ . Definice Sinus a Cosine:

a. / r. \u003d Cos. φ , b. / r. \u003d Sin. φ .

proto ale = r. cos. φ , b. = r. hřích. φ . Ale v tomto případě komplexní číslo a + BI. Lze napsat ve formě:

a + BI. = r. cos. φ + iR. hřích. φ = r. (Cos. φ + i. I. hřích. φ ).

Jak je známo, čtverec délky jakéhokoliv vektoru se rovná součtu čtverců jeho souřadnic. proto r. 2 = a. 2 + b. 2, od. r. = √a. 2 + b. 2

Tak, jakékoli komplexní číslo A + BI. může být reprezentován jako :

a + BI. = r. (Cos. φ + i. I. hřích. φ ), (1)

kde R. = √a. 2 + b. 2 a úhel φ Z podmínky:

Tato forma záznamových komplexních čísel se nazývá trigonometrický.

Číslo r. Ve vzorci (1) modula roh φ - argumentKomplexní číslo A + BI. .

Pokud je komplexní číslo A + BI. není rovna nule, pak modul je pozitivní; -li A + BI. \u003d 0, pak a \u003d B. \u003d 0 a pak r. = 0.

Modul jakéhokoliv integrovaného čísla je definitivně definován.

Pokud je komplexní číslo A + BI. Není rovna nule, pak argument je určen vzorce (2) určitý Až do rohu, více 2 π . Li A + BI. \u003d 0, pak a \u003d B. \u003d 0. V tomto případě r. \u003d 0. Z vzorce (1) je snadné pochopit, že jako argument φ V tomto případě si můžete vybrat libovolný úhel: Koneckonců, s libovolným φ

0 (cos. φ + i. I. hřích. φ ) = 0.

Proto není definován nulový argument.

Komplexní číslo modulu r. Někdy označují | z. | a argument argument z. . Zvažte několik příkladů na prezentaci komplexních čísel v trigonometrické podobě.

Příklad. jeden. 1 + i. I. .

Najdeme modul r. a argument φ tohoto čísla.

r. = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

V důsledku toho Sin. φ \u003d 1 / √ 2, cos φ \u003d 1 / √ 2, odkud φ = π / 4 + 2n.π .

Takto,

1 + i. I. = √ 2 ,

kde p. - Každé celé číslo. Obvykle z nekonečné sady hodnot integrovaného čísla argumentu je zvolen mezi 0 a 2 π . V tomto případě je tato hodnota π / čtyři. proto

1 + i. I. = √ 2 (cos. π / 4 + i. I. hřích. π / 4)

Příklad 2. Záznam v trigonometrickém komplexním čísle √ 3 - i. I. . My máme:

r. = √ 3 + 1 \u003d 2, cos φ \u003d √ 3/2, hřích φ = - 1 / 2

Proto s přesností rohu, více 2 π , φ = 11 / 6 π ; proto,

√ 3 - i. I. \u003d 2 (cos 11/6 π + i. I. sIN 11/6. π ).

Příklad 3. Záznam v trigonometrickém komplexním čísle Já.

Integrovaný počet i. I. Odpovídá vektoru Oa. \u003e, ukončení bodu a osy w. se zakládáním 1 (obr. 333). Délka tohoto vektoru je 1, a úhel, který se tvoří s osou abscisy, se rovná π / 2. proto

i. I. \u003d Cos. π / 2 + i. I. hřích. π / 2 .

Příklad 4.Záznam v trigonometrickém komplexním čísle 3.

Integrovaný počet 3 odpovídá vektoru Oa. > h. abscisa 3 (obr. 334).

Délka tohoto vektoru je 3 a úhel, že se tvoří s osou abscisy, je proto 0. Proto

3 \u003d 3 (COS 0 + i. I. sIN 0)

Příklad 5. Záznam v trigonometrickém komplexním čísle -5.

Komplex, číslo -5 odpovídá vektoru Oa. \u003e, končícím bodem osy h. s abscisy -5 (obr. 335). Délka tohoto vektoru je rovna 5 a úhel, který tvoří s osou abscisy, se rovná π . proto

5 \u003d 5 (cos π + i. I. hřích. π ).

Cvičení

2047. Tato integrovaná čísla jsou zaznamenána v trigonometrické podobě definováním jejich modulů a argumentů:

1) 2 + 2√3 i. I. , 4) 12i. I. - 5; 7).3i. I. ;

2) √3 + i. I. ; 5) 25; 8) -2i. I. ;

3) 6 - 6i. I. ; 6) - 4; 9) 3i. I. - 4.

2048. Určete v rovině sady bodů zobrazujících komplexní čísla, moduly R a argumenty F SES, které splňují podmínky:

1) r. = 1, φ = π / 4 ; 4) r. < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r. =2; 5) 2 < r. <3; 8) 0 < φ < я;

3) r. < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r. < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Může být modul integrovaného čísla současně čísla r. a - r. ?

2050. Může být integrovaný argument prognózy zároveň rohy φ a - φ ?

Tyto komplexní čísla jsou předloženy do trigonometrického formuláře definováním jejich modulů a argumentů:

2051 *. 1 + cos. α + i. I. hřích. α . 2054 *. 2 (COS 20 ° - i. I. Hřích 20 °).

2052 *. hřích. φ + i. I. cos. φ . 2055 *. 3 (- cos 15 ° - i. I. hřích 15 °).

V tomto odstavci bude více o trigonometrické formě integrovaného čísla. Orientační forma v praktických úkolech je mnohem méně časté. Doporučuji stahování a kdykoliv je to možné. trigonometrické stolyMetodický materiál lze nalézt na matematické stránce vzorců a tabulky. Bez stolů, neodejdou.

Veškeré komplexní číslo (kromě nula) může být napsáno v trigonometrické podobě:

Kde to je komplexní číslo modulu, ale - argument komplexního čísla.

Obrázky na komplexním čísle letadla. Pro definitost a jednoduchost vysvětlení, budeme ji umístit do první souřadnicové čtvrti, tj. Věříme tomu:

Modul komplexu Vzdálenost od začátku souřadnic do odpovídajícího bodu komplexní roviny se nazývá. Jednoduše řečeno modul je délka Vektor poloměru, který je označen v červené barvě červené.

Integrovaný modul číslo je standardně označen: nebo

Podle teorém Pythagora se snadno odstraní vzorec pro nalezení komplexního číselného modulu :. Tento vzorec je platný pro každého Hodnoty "A" a "BE".

Poznámka : Integrovaný modul číslo je zobecnění konceptu modul skutečného číslajako vzdálenosti od bodu před začátkem souřadnic.

Argument komplexního čísla volala úhel mezi pozitivní poloosná náprava Platná osa a vektor poloměru vedené od začátku souřadnic do odpovídajícího bodu. Argument není definován pro singulární:.

Princip v úvahu je skutečně podobná polárním souřadnicím, kde polární poloměr a polární úhel jednoznačně určit bod.

Integrovaný argument číslo je standardně označen: nebo

Geometrické úvahy se získá následující vzorec pro nalezení argumentu:

. Pozornost! Tento vzorec pracuje pouze v pravé polovině letadla! Pokud není komplexní číslo umístěno v 1. a ne 4. souřadnicových čtvrtletích, pak vzorec bude trochu jiný. Tyto případy také budeme analyzovat.

Nejprve zvažte nejjednodušší příklady, když jsou složitá čísla umístěna na souřadnicových osách.

Příklad 7.

Přítomný v trigonometrické formě komplexních čísel :,,,, Proveďte výkres:

Úkolem je ve skutečnosti ústní. Pro přehlednost přepište trigonometrickou formu komplexního čísla:

Vzpomínáme si pevně, modul - délka (což je vždy nezáporný), argument - úhel

1) Představte si číslo v trigonometrické podobě. Najdeme svůj modul a argument. Je to zřejmé. Formální výpočet podle vzorce:. Je zřejmé, že počet leží přímo na skutečné pozitivní poloosénu). Číslo v trigonometrické podobě:.

Jasno jako den, reverzní kontrola akce:

2) Představte si číslo v trigonometrické podobě. Najdeme svůj modul a argument. Je to zřejmé. Formální výpočet podle vzorce:. Samozřejmě (nebo 90 stupňů). Ve výkresu je úhel označen červeně. Tak, počet v trigonometrické podobě: .

Použitím Snadno zadejte algebraickou formu (zároveň po kontrole):

3) Představte si číslo v trigonometrické podobě. Najdeme svůj modul a

argument. Je to zřejmé. Formální výpočet podle vzorce:

Samozřejmě (nebo 180 stupňů). Ve výkresu je úhel označen modrou. Číslo v trigonometrické podobě:.

Šek:

4) a čtvrtý zajímavý případ. Je to zřejmé. Formální výpočet podle vzorce:.

Argument může být napsán dvěma způsoby: první metodou: (270 stupňů), a proto: . Šek:

Níže jsou však následující pravidlo: Pokud je úhel více než 180 stupňů, Je zaznamenán s znaménkem mínus a opačnou orientací ("rolování") úhel: (mínus 90 stupňů), v úhlu výkresu je označen zeleně. Snadné upozornění

co je stejný úhel.

Záznam tedy má formulář:

Pozornost! V žádném případě nelze použít paritu Cosine, podivnost sinusu a provádět další "zjednodušení" záznamu:

Mimochodem, je užitečné zapamatovat si vzhled a vlastnosti trigonometrických a inverzních trigonometrických funkcí, referenční materiály jsou umístěny v posledních odstavcích stránce grafiky a vlastností hlavních elementárních funkcí. A komplexní čísla budou odstraněna výrazně jednodušší!

V návrhu nejjednodušších příkladů by mělo být zaznamenáno Modul je zřejmé, že je zřejmé, že je zřejmé, že argument je rovný ... ". Je to opravdu zřejmé a snadno řešeno ústně.

Obraťme se na zvážení více společných případů. S problémovým modulem nedochází, měli byste vždy použít vzorec. Ale vzorce pro nalezení argumentu bude odlišný, záleží na tom, na tom, ke kterému souřadnicové čtvrti je číslo. V tomto případě jsou možné tři možnosti (je užitečné je přepsat):

1) Pokud (1. a 4. souřadnicové čtvrtletí nebo pravá polovina rovina), musí být argument nalezen vzorcem.

2) Pokud (2 souřadnická čtvrtina), musí být argument nalezen vzorcem .

3) Pokud (3 souřadnicová čtvrť), musí být argument nalezen vzorcem .

Příklad 8.

Přítomný v trigonometrické formě komplexních čísel :,,,,

Protože hotové vzorce budou brzy mít, pak není výkres nutný. Existuje však jeden bod: když navrhujete úkol prezentovat číslo v trigonometrické podobě, pak kreslení je lepší v každém případě.. Faktem je, že rozhodnout bez kresby je často dušené učitele, nedostatek kresby je vážným základem pro mínus a nekompozici.

Diskujeme v integrované formě čísla a první a třetí čísla budou pro nezávislé rozhodnutí.

Představte si v trigonometrickém čísle formuláře. Najdeme svůj modul a argument.

Protože (případ 2), pak

- Co je nezbytné použít přesnost Arctgennce. Bohužel není v tabulce žádná hodnota, takže v takových případech musí být argument ponechán v těžkopádním: - počet trigonometrických forem.

Představte si v trigonometrickém čísle formuláře. Najdeme svůj modul a argument.

Protože (případ 1), pak (mínus 60 stupňů).

Takto:

-Un v trigonometrické podobě.

A tady, jak bylo uvedeno, nevýhody nedotýkejte.

Kromě vtipné grafické ověřovací metody existuje analytický test, který již byl proveden v příkladu 7. Používáme tabulka trigonometrických funkcíSoučasně bereme v úvahu, že úhel je přesně úhel stolu (nebo 300 stupňů): - čísla počáteční algebraické formy.

Čísla jsou v trigonometrickém tvaru sami. Stručné řešení a odpověď na konci lekce.

Krátce na konci odstavce o orientační formě integrovaného čísla.

Jakékoliv komplexní číslo (kromě nula) lze napsat v orientačním formuláři:

Kde je modul integrovaného čísla, integrovaný argument.

Co je třeba udělat pro prezentaci komplexního čísla v orientačním formuláři? Téměř stejný: Proveďte výkres, vyhledejte modul a argument. A napište číslo ve formuláři.

Například pro počet předchozího příkladu jsme našli modul a argument:. Toto číslo je pak indikátivně zaznamenáno následovně :.

Číslo v orientačním formuláři bude vypadat takto:

Číslo - Tak:

Jediné poradenství - nedotýkejte se indikátoru Vystavovatelé, není třeba přeskupit multiplikátory, zveřejňovat závorky atd. Komplexní číslo je zaznamenáno v orientačním formuláři přísně ve formě.