Pojem n-té odmocniny reálného čísla. Lekce „Pojem n-té odmocniny reálného čísla. Druhá odmocnina, aritmetická odmocnina

Gratulujeme: dnes budeme zkoumat kořeny - jedno z nejzáživnějších témat 8. třídy. :)

Mnoho lidí je zmateno kořeny, ne proto, že jsou složité (což je tak obtížné – pár definic a pár vlastností), ale protože ve většině školních učebnic jsou kořeny určovány takovou džunglí, že pouze autoři učebnice samy dokážou tento klikyháky vymyslet. A pak už jen s lahví dobré whisky. :)

Proto nyní uvedu nejsprávnější a nejkompetentnější definici kořene - jedinou, kterou byste si opravdu měli pamatovat. A teprve potom vysvětlím: proč je to všechno potřeba a jak to aplikovat v praxi.

Nejprve si ale pamatujte jednu důležitý bod, na který mnoho kompilátorů učebnic z nějakého důvodu "zapomíná":

Kořeny mohou být sudého stupně (naše oblíbené $ \ sqrt (a) $, stejně jako všechny druhy $ \ sqrt (a) $ a sudé $ \ sqrt (a) $) a liché stupně (všechny druhy $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ atd.). A definice kořene lichého stupně je poněkud odlišná od sudého.

Tady v tomhle zasraném "poněkud jiné" se skrývá pravděpodobně 95% všech chyb a nedorozumění spojených s kořeny. Pojďme se proto jednou provždy zabývat terminologií:

Definice. Dokonce i root n od $ a $ je libovolný nezápornéčíslo $ b $ takové, že $ ((b) ^ (n)) = a $. A lichá odmocnina stejného čísla $ a $ je obecně jakékoli číslo $ b $, pro které platí stejná rovnost: $ ((b) ^ (n)) = a $.

V každém případě je kořen označen takto:

\ (a) \]

Číslo $ n $ v takovém záznamu se nazývá exponent odmocniny a číslo $ a $ se nazývá radikální výraz. Konkrétně za $ n = 2 $ získáme naše "oblíbené" Odmocnina(mimochodem, toto je kořen sudého stupně) a pro $ n = 3 $ - krychlový (lichý stupeň), který se také často vyskytuje v úlohách a rovnicích.

Příklady. Klasické příklady odmocniny:

\ [\ begin (zarovnání) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ konec (zarovnat) \]

Mimochodem, $ \ sqrt (0) = 0 $ a $ \ sqrt (1) = 1 $. To je celkem logické, protože $ ((0) ^ (2)) = 0 $ a $ ((1) ^ (2)) = 1 $.

Časté jsou i kubické kořeny – nebojte se jich:

\ [\ begin (zarovnat) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ konec (zarovnat) \]

No a pár "exotických příkladů":

\ [\ begin (zarovnat) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ konec (zarovnat) \]

Pokud nerozumíte, jaký je rozdíl mezi sudým a lichým stupněm, přečtěte si definici znovu. Je to velmi důležité!

Mezitím se podíváme na jednu nepříjemnou vlastnost kořenů, kvůli které jsme potřebovali zavést samostatnou definici pro sudé a liché ukazatele.

Proč vůbec potřebujeme kořeny?

Po přečtení definice se mnoho studentů zeptá: "Co matematici kouřili, když na to přišli?" Proč vlastně potřebujeme všechny tyto kořeny?

Abychom na tuto otázku odpověděli, vraťme se na chvíli zpět primární třídy... Pamatujte: v těch dávných dobách, kdy byly stromy zelenější a knedlíky chutnější, bylo naším hlavním zájmem správně násobit čísla. No, něco jako "pět na pět - dvacet pět", to je vše. Čísla však můžete násobit ne dvojicí, ale trojicí, čtyřkou a obecně celými množinami:

\ [\ begin (zarovnat) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (zarovnat) \]

O to však nejde. Trik je jiný: matematici jsou líní lidé, a tak museli násobení deseti pěti zapsat takto:

Takže přišli s tituly. Proč místo dlouhého řetězce nenastavit horní index počtu faktorů? Takhle:

Je to velmi pohodlné! Všechny výpočty jsou výrazně zredukovány a nemusíte plýtvat hromadou listů pergamenu v sešitech, abyste si zapsali nějakých 5 183. Takový záznam se jmenoval stupeň čísla, našli v něm hromadu vlastností, ale ukázalo se, že štěstí bylo krátkodobé.

Po obrovském chlastu, který byl organizován právě o "objevování" stupňů, se najednou nějaký zvlášť tvrdohlavý matematik zeptal: "Co když známe stupeň čísla, ale neznáme číslo samotné?" Nyní, opravdu, pokud víme, že určité číslo $ b $, například v 5. mocnině dává 243, jak pak můžeme hádat, čemu se rovná číslo $ b $?

Tento problém se ukázal být mnohem globálnější, než by se na první pohled mohlo zdát. Protože se ukázalo, že pro většinu „připravených“ stupňů žádná taková „počáteční“ čísla neexistují. Posuďte sami:

\ [\ begin (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Šipka vpravo b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Šipka doprava b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Šipka doprava b = 4. \\ \ konec (zarovnat) \]

Co když $ ((b) ^ (3)) = 50 $? Ukazuje se, že potřebujete najít určité číslo, které nám po vynásobení třikrát samo o sobě dá 50. Ale co je to za číslo? Je zřetelně větší než 3, protože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To jest. toto číslo leží někde mezi třemi a čtyřmi, ale čemu se rovná - fíky pochopíte.

Právě kvůli tomu matematici vynalezli kořeny $ n $ -tého stupně. Proto byl zaveden radikální symbol $ \ sqrt (*) $. Označit samotné číslo $ b $, které nám v zadané míře poskytne dříve známou hodnotu

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Šipka doprava ((b) ^ (n)) = a \]

Nehádám se: tyto kořeny lze často snadno spočítat - výše jsme viděli několik takových příkladů. Ale přesto, ve většině případů, pokud uhodnete libovolné číslo a pak se z něj pokusíte extrahovat libovolný kořen, čeká vás krutý průšvih.

Co je tam! Dokonce ani nejjednodušší a nejznámější $ \ sqrt (2) $ nemůže být reprezentováno v naší obvyklé formě - jako celé číslo nebo zlomek. A pokud toto číslo zadáte do kalkulačky, uvidíte toto:

\ [\ sqrt (2) = 1,414213562 ... \]

Jak vidíte, za čárkou je nekonečná posloupnost čísel, která se nepodřizují žádné logice. Toto číslo můžete samozřejmě zaokrouhlit nahoru, abyste je mohli rychle porovnat s jinými čísly. Například:

\ [\ sqrt (2) = 1,4142 ... \ přibližně 1,4 \ lt 1,5 \]

Nebo zde je další příklad:

\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ přibližně 1,7 \ gt 1,5 \]

Ale všechna tato zaoblení jsou za prvé poněkud hrubá; a zadruhé je potřeba umět pracovat i s přibližnými hodnotami, jinak můžete chytit hromadu nepřehlédnutelných chyb (mimochodem, dovednost porovnávání a zaokrouhlování se povinně kontroluje na profilové zkoušce).

Proto se ve vážné matematice neobejdete bez kořenů - jsou to stejní rovní zástupci množiny všech reálných čísel $ \ mathbb (R) $, stejně jako zlomky a celá čísla, které jsou nám dlouho známé.

Nemožnost reprezentovat kořen jako zlomek tvaru $ \ frac (p) (q) $ znamená, že tento kořen není racionální číslo. Taková čísla se nazývají iracionální a nelze je přesně reprezentovat jinak než pomocí radikálu nebo jiných speciálně navržených konstrukcí (logaritmy, stupně, limity atd.). Ale o tom více jindy.

Zvažte pár příkladů, kdy po všech výpočtech v odpovědi stále zůstanou iracionální čísla.

\ [\ begin (zarovnat) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ přibližně 2 236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ přibližně -1,2599 ... \\ \ konec (zarovnat) \]

Přirozeně, podle vzhledu kořene je téměř nemožné odhadnout, jaká čísla budou následovat za desetinnou čárkou. S kalkulačkou však můžete počítat, ale i ta nejdokonalejší datová kalkulačka nám dává jen prvních pár číslic iracionálního čísla. Proto je mnohem správnější psát odpovědi ve tvaru $ \ sqrt (5) $ a $ \ sqrt (-2) $.

Proto byly vynalezeny. Pro pohodlné zaznamenávání vašich odpovědí.

Proč jsou potřeba dvě definice?

Pozorný čtenář si již pravděpodobně všiml, že všechny odmocniny uvedené v příkladech jsou odvozeny od kladných čísel. Dobře dovnitř poslední možnost od nuly. Ale krychlové kořeny jsou klidně extrahovány z absolutně jakéhokoli čísla - ať už pozitivního nebo negativního.

proč se to děje? Podívejte se na graf funkce $ y = ((x) ^ (2)) $:

Plán kvadratická funkce dává dva kořeny: pozitivní a negativní

Zkusme pomocí tohoto grafu vypočítat $ \ sqrt (4) $. K tomu je na grafu nakreslena vodorovná čára $ y = 4 $ (označená červeně), která se protíná s parabolou ve dvou bodech: $ ((x) _ (1)) = 2 $ a $ ((x) _ (2)) = -2 $. To je celkem logické, protože

S prvním číslem je vše jasné - je kladné, proto je kořenem:

Ale co potom dělat s druhým bodem? Jako že čtyři mají dva kořeny najednou? Když totiž odmocníme číslo −2, dostaneme také 4. Proč nenapsat $ \ sqrt (4) = - 2 $? A proč se učitelé na takové záznamy dívají, jako by vás chtěli sežrat? :)

Problém je v tom, že pokud žádné neuložíte dodatečné podmínky, pak čtyři budou mít dvě odmocniny - kladnou a zápornou. A každé kladné číslo bude mít také dvě. Ale záporná čísla nebudou mít vůbec žádné kořeny - to lze vidět ze stejného grafu, protože parabola nikdy neklesne pod osu y, tj. nepřijímá záporné hodnoty.

Podobný problém nastává pro všechny kořeny se sudým exponentem:

1. Přísně vzato, každé kladné číslo bude mít dva kořeny se sudým exponentem $ n $;
2. Ze záporných čísel není odmocnina se sudým $ n $ vůbec extrahována.

Proto je v definici odmocniny sudé mocniny $ n $ speciálně stanoveno, že odpověď musí být nezáporné číslo. Tím se zbavíme nejednoznačnosti.

Ale pro liché $ n $ takový problém neexistuje. Abychom si to ověřili, podívejme se na graf funkce $ y = ((x) ^ (3)) $:

Kubická parabola nabývá libovolných hodnot, takže krychlová odmocnina je extrahována z libovolného čísla

Z tohoto grafu lze vyvodit dva závěry:

1. Větve kubické paraboly, na rozdíl od té obvyklé, jdou do nekonečna oběma směry – nahoru i dolů. Proto, v jakékoli výšce nakreslíme vodorovnou čáru, tato čára se nutně protne s naším grafem. Tudíž odmocninu lze vždy získat z absolutně libovolného čísla;
2. Navíc takový průsečík bude vždy jediný, takže není třeba přemýšlet, které číslo považovat za "správný" kořen, a které bodovat. Proto je definice kořenů pro lichý stupeň jednodušší než pro sudý (není zde požadavek na nezápornost).

Je škoda, že tyto jednoduché věci nejsou ve většině učebnic vysvětleny. Místo toho k nám začne plout mozek s nejrůznějšími aritmetickými kořeny a jejich vlastnostmi.

Ano, nehádám se: co je aritmetický kořen - také musíte vědět. A podrobně se tomu budu věnovat v samostatném tutoriálu. Dnes si o ní také povíme, protože bez ní by byly všechny úvahy o kořenech $ n $ -té násobnosti neúplné.

Nejprve však musíte jasně porozumět definici, kterou jsem uvedl výše. V opačném případě vám díky přemírě pojmů začne v hlavě takový nepořádek, že nakonec nebudete rozumět vůbec ničemu.

Vše, co musíte udělat, je pochopit rozdíl mezi sudými a lichými ukazateli. Pojďme si tedy ještě jednou dát dohromady vše, co opravdu potřebujete vědět o kořenech:

1. Sudý kořen existuje pouze od nezáporného čísla a sám je vždy nezáporným číslem. Pro záporná čísla není takový kořen definován.
2. Ale kořen lichého stupně existuje z libovolného čísla a sám může být libovolným číslem: pro kladná čísla je kladná a pro záporná, jak naznačuje čepice, záporná.

Je to těžké? Ne, není to těžké. Průhledná? Ano, obecně je to zřejmé! Nyní si tedy procvičíme některé výpočty.

Základní vlastnosti a omezení

Kořeny mají mnoho podivných vlastností a omezení – o tom bude řeč samostatná lekce... Proto nyní budeme zvažovat pouze nejdůležitější "trik", který platí pouze pro kořeny se sudým exponentem. Zapišme tuto vlastnost ve formě vzorce:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ vlevo | x \ vpravo | \]

Jinými slovy, pokud zvýšíte číslo na sudou mocninu a poté z toho vyjmete odmocninu stejné mocniny, nedostaneme původní číslo, ale jeho modul. Jedná se o jednoduchou větu, kterou lze snadno dokázat (stačí uvažovat samostatně nezáporné $ x $ a poté samostatně - záporné). Učitelé o tom neustále mluví, dávají to do každého školní učebnice... Jakmile ale dojde na řešení iracionálních rovnic (tedy rovnic obsahujících radikál), studenti na tento vzorec přátelsky zapomínají.

Abychom otázce porozuměli podrobně, zapomeňme na minutu všechny vzorce a zkusme spočítat dvě čísla rovnou dopředu:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ vlevo (-3 \ vpravo)) ^ (4))) =? \]

Toto je velmi jednoduché příklady... První příklad vyřeší většina lidí, ale na druhém se mnozí budou držet. Chcete-li takové svinstvo vyřešit bez problémů, vždy zvažte pořadí akcí:

1. Nejprve se číslo zvýší na čtvrtou mocninu. No, je to trochu snadné. Dostanete nové číslo, které najdete i v násobilce;
2. A nyní, z tohoto nového čísla, je nutné extrahovat čtvrtý kořen. Tito. nedochází k "snížení" kořenů a stupňů - jedná se o sekvenční akce.

Pracujeme s prvním výrazem: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Je zřejmé, že nejprve musíte vypočítat výraz pod kořenem:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Potom vyjmeme čtvrtou odmocninu čísla 81:

Nyní udělejme totéž s druhým výrazem. Nejprve zvýšíme číslo −3 na čtvrtou mocninu, pro kterou jej musíme vynásobit samo sebou 4krát:

\ [((\ vlevo (-3 \ vpravo)) ^ (4)) = \ vlevo (-3 \ vpravo) \ cdot \ vlevo (-3 \ vpravo) \ cdot \ vlevo (-3 \ vpravo) \ cdot \ vlevo (-3 \ vpravo) = 81 \]

Dostali jsme kladné číslo, protože celkový počet minusů v produktu jsou 4 kusy a všechny se vzájemně zničí (koneckonců minus o minus dává plus). Poté znovu extrahujeme kořen:

V zásadě tento řádek nemohl být napsán, protože není jasné, že odpověď bude stejná. Tito. sudá odmocnina téže sudé síly „vypálí“ mínusy a v tomto smyslu je výsledek k nerozeznání od obvyklého modulu:

\ [\ begin (zarovnat) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ vlevo | 3 \ vpravo | = 3; \\ & \ sqrt (((\ vlevo (-3 \ vpravo)) ^ (4))) = \ vlevo | -3 \ vpravo | = 3. \\ \ konec (zarovnat) \]

Tyto výpočty jsou v dobré shodě s definicí sudého kořene: výsledek je vždy nezáporný a dokonce ani pod radikálem není vždy záporné číslo... V opačném případě není kořenový adresář definován.

Poznámka k postupu

1. Zápis $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ znamená, že nejprve odmocníme číslo $ a $ a poté z výsledné hodnoty vyjmeme druhou odmocninu. Proto si můžeme být jisti, že nezáporné číslo vždy leží pod kořenovým znaménkem, protože $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ v každém případě;
2. Ale záznam $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ naopak znamená, že nejprve vyjmeme odmocninu z určitého čísla $ a $ a teprve potom výsledek odmocníme. Proto číslo $ a $ v žádném případě nemůže být záporné - to je povinný požadavek v definici.

V žádném případě byste tedy neměli bezmyšlenkovitě zmenšovat kořeny a stupně a tím prý „zjednodušit“ původní výraz. Protože pokud je pod odmocninou záporné číslo a jeho exponent je sudý, dostaneme spoustu problémů.

Všechny tyto problémy jsou však relevantní pouze pro sudé ukazatele.

Odstranění mínus z kořenového znaménka

Odmocniny s lichými ukazateli mají přirozeně také své vlastní počítadlo, které pro sudé v zásadě neexistuje. A to:

\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]

Zkrátka mínus můžete vyndat pod znaménkem kořenů lichého stupně. Toto je velmi užitečná vlastnost, která vám umožní „vyhodit“ všechny mínusy:

\ [\ begin (zarovnat) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ vlevo (- \ sqrt (32) \ vpravo) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ konec (zarovnat) \]

Tato jednoduchá vlastnost značně zjednodušuje mnoho výpočtů. Nyní není třeba se obávat: co když se pod kořen vkradl negativní výraz a stupeň u kořene se ukáže jako sudý? Všechny mínusy stačí jen „vyhodit“ mimo kořeny, načež se mohou navzájem násobit, dělit a obecně dělat mnoho podezřelých věcí, které nás v případě „klasických“ kořenů zaručeně dovedou k chyba.

A zde vstupuje do hry ještě jedna definice – právě ta, kterou na většině škol začíná studium iracionálních výrazů. A bez nichž by naše úvahy byly neúplné. Prosím Vítej!

Aritmetický kořen

Předpokládejme na chvíli, že pod znaménkem kořene mohou být pouze kladná čísla, maximálně nula. Zapomeňme na sudé / liché ukazatele, zapomeňme na všechny výše uvedené definice - budeme pracovat pouze s nezápornými čísly. Co pak?

A pak dostaneme aritmetický kořen - částečně se překrývá s našimi "standardními" definicemi, ale stále se od nich liší.

Definice. Aritmetický kořen $ n $ -tého stupně nezáporného čísla $ a $ je nezáporné číslo $ b $ takové, že $ ((b) ^ (n)) = a $.

Jak vidíte, parita nás již nezajímá. Místo toho se objevilo nové omezení: radikální výraz je nyní vždy nezáporný a samotný kořen je také nezáporný.

Chcete-li lépe pochopit, jak se aritmetický kořen liší od obvyklého, podívejte se na již známé grafy čtvercové a kubické paraboly:

Oblast hledání aritmetického kořene - nezáporná čísla

Jak vidíte, odteď nás zajímají pouze ty části grafů, které se nacházejí v první souřadnicové čtvrtině – kde jsou souřadnice $ x $ a $ y $ kladné (nebo alespoň nulové). Už se nemusíte dívat na indikátor, abyste pochopili, zda máme právo odmocnit záporné číslo nebo ne. Protože se zápornými čísly se už v zásadě nepočítá.

Můžete se zeptat: "No, proč potřebujeme takovou kastrovanou definici?" Nebo: "Proč si nemůžete vystačit se standardní definicí uvedenou výše?"

Uvedu jen jednu vlastnost, kvůli které se nová definice stává vhodnou. Například pravidlo pro umocňování je:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Pozor: radikální výraz můžeme umocnit na libovolnou mocninu a zároveň vynásobit kořenový exponent stejnou mocninou – a výsledkem bude stejné číslo! Zde jsou nějaké příklady:

\ [\ begin (zarovnat) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ konec (zarovnat) \]

Takže o co jde? Proč jsme to nemohli udělat dříve? Zde je důvod. Uvažujme jednoduchý výraz: $ \ sqrt (-2) $ - toto číslo je v našem klasickém smyslu zcela normální, ale z hlediska aritmetického kořene absolutně nepřijatelné. Zkusme to transformovat:

$ \ begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ vlevo (-2 \ vpravo)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (zarovnat) $

Jak vidíte, v prvním případě jsme odstranili mínus pod radikálem (máme plné právo, protože indikátor je lichý) a ve druhém jsme použili výše uvedený vzorec. Tito. z hlediska matematiky se vše dělá podle pravidel.

WTF ?! Jak může být stejné číslo kladné i záporné? V žádném případě. Prostě umocňovací vzorec, který skvěle funguje pro kladná čísla a nulu, začíná být u záporných čísel kacířství.

Aby se zbavili takové nejednoznačnosti, přišli s aritmetickými kořeny. Je jim věnována samostatná velká lekce, kde se podrobně zabýváme všemi jejich vlastnostmi. Takže teď se u nich nebudeme zdržovat - lekce se již ukázala jako příliš dlouhá.

Algebraický kořen: pro ty, kteří chtějí vědět více

Dlouho jsem přemýšlel, zda dát toto téma do samostatného odstavce nebo ne. Nakonec jsem se rozhodl odtud odejít. Tento materiál určeno pro ty, kteří chtějí ještě lépe porozumět kořenům – ne na průměrné „školní“ úrovni, ale na úrovni blízké olympiádě.

Takže: kromě „klasické“ definice $ n $ -té odmocniny čísla a s tím spojeného dělení na sudé a liché ukazatele existuje ještě „dospělejší“ definice, která na paritě a dalších jemnostech vůbec nezávisí. . Toto se nazývá algebraický kořen.

Definice. Algebraický kořen $ n $ tého stupně libovolného $ a $ je množina všech čísel $ b $ takových, že $ ((b) ^ (n)) = a $. Pro takové kořeny neexistuje žádné zavedené označení, takže navrch dáme pomlčku:

\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ vlevo \ (b \ vlevo | b \ v \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ vpravo. \ vpravo \) \]

Zásadní rozdíl oproti standardní definici uvedené na začátku lekce je v tom, že algebraický kořen není konkrétní číslo, ale množina. A protože pracujeme s reálnými čísly, existují pouze tři typy této množiny:

1. Prázdná sada. Vyskytuje se, když je požadováno najít algebraický kořen sudého stupně ze záporného čísla;
2. Sada skládající se z jednoho prvku. Všechny kořeny lichých stupňů, stejně jako kořeny sudých stupňů od nuly, spadají do této kategorie;
3. Nakonec může sada obsahovat dvě čísla - stejná $ ((x) _ (1)) $ a $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, která jsme viděli na graf kvadratické funkce. V souladu s tím je takové zarovnání možné pouze při extrahování sudého kořene z kladného čísla.

Poslední případ si zaslouží podrobnější zvážení. Pojďme si spočítat pár příkladů, abychom pochopili rozdíl.

Příklad. Hodnotit výrazy:

\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]

Řešení. První výraz je jednoduchý:

\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ vlevo \ (2; -2 \ vpravo \) \]

Jsou to dvě čísla, která tvoří sadu. Protože každý z nich ve čtverci dává čtyřku.

\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ vlevo \ (-3 \ vpravo \) \]

Zde vidíme množinu skládající se pouze z jednoho čísla. To je celkem logické, protože kořenový exponent je lichý.

Konečně poslední výraz:

\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Máme prázdnou sadu. Protože žádný není reálné číslo, což po zvýšení na čtvrtý (tedy sudý!) stupeň nám dá záporné číslo −16.

Závěrečná poznámka. Pozor: ne náhodou jsem všude poznamenal, že pracujeme s reálnými čísly. Protože stále existuje komplexní čísla- tam je docela možné počítat $ \ sqrt (-16) $ a mnoho dalších podivných věcí.

Nicméně v moderní školní kurz s komplexními čísly se v matematice téměř nikdy nenarazíme. Z většiny učebnic byly vyškrtnuty, protože naši úředníci považují toto téma za „příliš obtížné na pochopení“.

To je vše. V další lekci se podíváme na všechny klíčové vlastnosti odmocnin a nakonec se naučíme, jak zjednodušit iracionální výrazy. :)

Vyřešme rovnici graficky (x v šesté mocnině se rovná jedné), k tomu sestavíme následující grafy funkcí v jednom souřadnicovém systému: (ig se rovná x v šesté mocnině)

Jak vidíme, protínají se ve dvou bodech A a C, kde úsečky průsečíků jsou kořeny rovnice, tzn. (obr. 2)

Z řešení dvou rovnic vidíme, že každá z nich má dva kořeny a tato čísla jsou vzájemně opačná.

V těchto dvou rovnicích lze kořeny najít poměrně snadno.

Uvažujme rovnici 7 (x v šesté mocnině se rovná sedmi) ( obr. 3)

Sestavíme v jednom souřadnicovém systému grafy funkce a y = 7

Nákres ukazuje, že rovnice má dva kořeny x jedna a x dva, ale jejich přesné hodnoty nelze specifikovat, ale pouze přibližné: jsou umístěny na ose x, jeden kořen je mírně vlevo od bodu -1 a druhý je mírně vpravo od bodu 1.

Za účelem řešení podobných situací zavedli matematici nový symbol, šestý kořen. A s tímto symbolem kořeny tato rovnice lze zapsat takto: (x jedna je šestá odmocnina ze sedmi a x dva je mínus šestá odmocnina ze sedmi).

Uvažujme řešení rovnic s lichým stupněm

a (obr. 4)

Jak je vidět z výkresů, každá z rovnic má jeden kořen, ale v první rovnici je kořen celé číslo dvě a ve druhé není možné přesně určit hodnotu, proto zadáme označení za to (pátý kořen ze šesti).

Na základě zvažovaných příkladů vyvodíme závěr a uvedeme definici:

1. Rovnice (x na mocninu en se rovná a), kde n (en) je libovolné přirozené sudé číslo a má dva kořeny:

(n-tá odmocnina z a a mínus n-tá odmocnina z a)

2. Rovnice (x na mocninu en se rovná a), kde n (en) je libovolné přirozené liché číslo a (a je větší než nula) má jeden kořen: (n-tá odmocnina čísla a)

3. Rovnice (x na mocninu en se rovná nule) má jeden kořen x = 0 (x se rovná nule).

Definice: Odmocnina n-tého (n-tého) stupně nezáporného čísla a (n = 2,3,34,5 ...) je nezáporné číslo, které po umocnění n (en) výsledkem je číslo a.

Toto číslo označuje (n-tá odmocnina z a). Číslo a se nazývá kořenové číslo a číslo n (en) se nazývá kořenový indikátor.

(Studovali jste speciální případ v algebře 8. ročníku, kdy n = 2: píšou (druhá odmocnina z a)).

Pamatuj, jestli

(pokud a je nezáporné číslo, n je přirozené číslo, větší než jedna, pak je n-tá odmocnina čísla a nezáporné číslo, a pokud je n-tá odmocnina čísla a umocněna na n-tou mocninu, pak dostaneme číslo a, tedy odmocninu) .

Jinými slovy, definice může být přeformulována takto:

(n-tá odmocnina čísla a je číslo bs, jehož n-tá mocnina se rovná a).

Pod pojmem extrakce zpod kořene rozumět hledání kořene nezáporného čísla. Jinými slovy, musíte provést opačnou akci než zvýšit na příslušnou sílu. Zvažte tabulku:

Pozor, podle definice n-té odmocniny jsou v tabulce uvažována pouze kladná čísla.

Zvažte příklad 1: Vypočítejte

a) (šestá odmocnina ze šedesáti čtyř je dvě, protože dvojka je kladné číslo a dvojka v šesté mocnině je šedesát čtyři).

(třetí odmocnina nula dvě stě šestnáct tisícin je nula šest desetin, protože nalezené číslo je kladné a ve třetím stupni udává číslo odmocniny)

Protože =

d) Podle definice n-té odmocniny zapíšeme dvě rovnosti: a

Proto musíme najít číslo, které je ve čtvrté mocnině rovné 55, ale dvě ve čtvrté mocnině se rovná šestnácti, což je méně než 55,

A tři až čtvrtá mocnina se rovná osmdesáti jedna, což je více než 55,. To znamená, že není možné uvést přesnou hodnotu, proto použijeme znaménko přibližné rovnosti s přesností na setiny.

Chcete-li extrahovat odmocninu záporného čísla, použijte druhou definici:

Definice: Odmocninou lichého stupně n záporného čísla a (n = 3,5,7, ...) je takové záporné číslo m, které po umocnění n dostane číslo a.

číslo a se nazývá kořenové číslo a číslo n (en) se nazývá kořenový indikátor.

Pro odmocninu lichého stupně platí dvě vlastnosti:

(je-li a záporné číslo, n je přirozené liché číslo větší než jedna, pak n-tá odmocnina čísla a je záporné číslo, a je-li n-tá odmocnina čísla a umocněna na n-tou mocninu, pak dostaneme číslo a, tedy kořenové číslo) ...

Po analýze definic a vlastností n-té odmocniny čísla docházíme k závěru:

Sudý kořen je smysluplný (tj. definovaný) pouze pro nezáporný radikální výraz;

Lichý kořen má smysl pro jakýkoli radikální výraz

Téma:"Kořeny a stupně." Pojem kořen n-tý stupně ze skutečného čísla."

Cíle lekce:

vzdělávací: studovat pojem aritmetického kořene přirozeného stupně, včetně stupně lichého; mistrovský výpočet aritmetické kořeny.

vzdělávací: zintenzivnit práci žáků ve třídě, podpořit zájem o předmět;

rozvoj: rozvíjet intelektuální schopnosti, schopnost přenášet znalosti do nových situací.

Typ lekce: učení nového materiálu.

Metoda: vysvětlující a názorné.

Zařízení: počítač, interaktivní tabule, prezentace.

Během vyučování

1. Organizační část

Pozdravy. Připravenost třídy na hodinu. Kontrola domácího úkolu.

2. Motivace vzdělávací aktivity, sdělení tématu a stanovení cíle lekce.

Dnes budeme studovat téma „Kořeny a stupně. Kořenový koncept n-tý stupeň ze skutečného čísla“. Chci vás upozornit na slova Anatole France (1844-1924) , který bude epigrafem naší lekce. Budeme pracovat s výrazy obsahujícími odmocniny. Rozšíříte si znalosti o kořenech. Na konci lekce uděláme malou samostatnou práci, abychom zkontrolovali, jak můžete samostatně aplikovat znalosti na toto téma.

"Učení může být jen zábava...

Chcete-li strávit znalosti, musíte je absorbovat s chutí."

Vysvětlení nového materiálu.

Definice 1.Vykořenitn-tý stupeň nezáporného čísla a(n = 2,3,4,5 ...) je nezáporné číslo, které, když je umocněno n, vede k číslu a.

Označení: - kořen n-tého stupně.

Číslo n se nazývá mocnina aritmetické odmocniny.

Pokud n = 2, pak se stupeň kořene neuvádí a zapisuje se

Odmocnina druhého stupně se obvykle nazývá čtverec a odmocnina třetího stupně se nazývá krychlový.

Umocňování a extrakce kořenů jsou stejné závislosti:

Základní vlastnosti kořenů

Konsolidace studovaného materiálu:

č. 1063 ústně,

№ 1067 – 1069,

č. 1070-1071 (a, b)

č. 1072-1073 (a, b)

č. 1076 (a, c)

č. 1078 (a, b)

č. 1079 (a, c)

Samostatná práce:

Možnost 1

č. 1070-1071 (c)

č. 1072-1073 (g)

Možnost 2

č. 1070-1071 (g)

č. 1072-1073 (c)

Domácí práce: č. 1076 (g), č. 1078 (c), č. 1079 (b)

Shrnutí lekce:

Dnes jsme v lekci studovali koncept aritmetického kořene n-tého stupně a opravili jej řešením příkladů.

Hodnocení lekce.

Literatura

1.A.G. Mordkovič. Algebra a začátek matematické analýzy. 10-11 tříd. Za 2 hod. Učebnice pro studenty vzdělávací instituce(základní úroveň) - M: Mnemosyne, 2012

2. Alexandrova L.A. Algebra a začátek analýzy. 11 tř. Samostatná práce: příručka pro vzdělávací instituce / pod. vyd. Mordkovich A.G. – M .: Mněmosina, 2014.

3. T.I. Kuporov. Algebra a začátek analýzy. 11. třída: Plány lekcí podle učebnice A.G. Mordkoviče - Volgograd: Učitel, 2008.

4. Rurukin AN Vývoj lekce algebry a principů analýzy: ročník 11. - M .: VAKO, 2014.

5. Nechaev M.P. Lekce na kurzu "Algebra - 11". - M .: 5 za znalosti, 2007

Snímek 1

Městská vzdělávací instituce lyceum №10 města Sovětsk, Kaliningradská oblast, učitelka matematiky Razygraeva Tatyana Nikolaevna Koncept kořene n-tého stupně z reálného čísla.

Snímek 2

Která křivka je grafem funkce y = x²? Která křivka je grafem funkce y = x⁴? Uvažujme rovnici x⁴ = 1. Sestavme grafy funkcí y = x⁴ a y = 1. Odpověď: x = 1, x = -1. Podobně: x⁴ = 16. Odpověď: x = 2, x = -2. Podobně: x⁴ = 5.y = 5 Odpověď:

Snímek 3

Uvažujme rovnici x⁵ = 1. Sestavme grafy funkcí y = x⁵ a y = 1. Podobně: x⁵ = 7. Odpověď: x = 1. Odpověď: Uvažujme rovnici: kde a> 0, n N, n> 1. Pokud je n sudé, pak má rovnice dva kořeny: Pokud je n liché, pak jeden kořen:

Snímek 4

Definice 1: N-tá odmocnina nezáporného čísla a (n = 2,3,4,5, ...) je nezáporné číslo, které po umocnění n vede k číslu a. Toto číslo se značí: a n - radikální výraz - kořenový indikátor Operace nalezení kořene z nezáporného čísla se nazývá extrakce kořene. Pokud a 0, n = 2,3,4,5, ..., pak

Snímek 5

Operace extrakce kořene je opakem zvýšení na vhodnou sílu. 5² = 25 10³ = 1000 0,3⁴ = 0,0081 25 = 5 3 4 Někdy se výrazu a říká radikál z latinského slova radix - "kořen". n Symbol je stylizované písmeno r. Umocňování Extrakce kořene

Snímek 6

Příklad 1: Vypočítejte: a) 49; b) 0,125; c) 0; d) 17 3 7 4 Řešení: a) 49 = 7, protože 7> 0 a 7² = 49; 3 b) 0,125 = 0,5, protože 0,5> 0 a 0,5³ = 0,125; c) 0; d) 17 ≈ 2,03 4 Definice 2: Odmocnina lichého stupně n ze záporného čísla a (n = 3,5, ...) je záporné číslo, které, když je umocněno n, vede k číslu a.

Snímek 7

Takže závěr: Odmocnina sudého stupně má smysl (tj. je definována) pouze pro nezáporné radikální vyjádření; lichý kořen má smysl pro jakýkoli radikální výraz. Příklad 2: Řešte rovnice: Jestliže a< 0, n = 3,5,7,…, то

Pro úspěšné použití operace extrakce kořene v praxi je třeba se seznámit s vlastnostmi této operace.
Všechny vlastnosti jsou formulovány a prokázány pouze pro nezáporné hodnoty proměnných obsažených pod znaménky kořenů.

Věta 1. N-tá odmocnina (n = 2, 3, 4, ...) součinu dvou nezáporných třísek se rovná součinu kořeny n-tého mocniny těchto čísel:

Komentář:

1. Věta 1 zůstává platná pro případ, kdy je radikální výraz součinem více než dvou nezáporných čísel.

Věta 2.Li, a n je přirozené číslo větší než 1, pak rovnost

Stručný(byť nepřesná) formulace, která je v praxi výhodnější: odmocnina zlomku se rovná zlomku odmocnin.

Věta 1 nám umožňuje násobit m pouze kořeny stejného stupně , tj. pouze kořeny s stejný indikátor.

Věta 3 Jestliže ,k je přirozené číslo a n je přirozené číslo větší než 1, pak rovnost

Jinými slovy, zakořenit přirozený stupeň, stačí radikální výraz pozvednout na tento stupeň.
To je důsledek věty 1. Skutečně například pro k = 3 dostáváme: Stejným způsobem lze uvažovat v případě jakékoli jiné přirozené hodnoty exponentu k.

Věta 4 Jestliže ,k, n jsou přirozená čísla větší než 1, pak rovnost

Jinými slovy, k extrahování kořene z kořene stačí vynásobit indexy kořenů.
Například,

Buď opatrný! Dozvěděli jsme se, že s kořeny lze provádět čtyři operace: násobení, dělení, umocňování a extrakci odmocniny (z kořene). Ale co sčítání a odčítání odmocnin? V žádném případě.
Například místo toho nelze napsat Opravdu, ale je zřejmé, že

Věta 5 Jestliže indexy kořene a radikálního výrazu se vynásobí nebo vydělí stejným přirozeným číslem, pak se hodnota kořene nezmění, tzn.

Příklady řešení úloh

Příklad 1 Vypočítat

Řešení. Pomocí první vlastnosti kořenů (věta 1) dostaneme:

Příklad 2 Vypočítat
Řešení. Obraťme se smíšené číslo do nevhodného zlomku.
Máme Použití druhé vlastnosti kořenů ( Věta 2 ), dostaneme:

Příklad 3 Vypočítat:

Řešení. Jakýkoli vzorec v algebře, jak dobře víte, se používá nejen „zleva doprava“, ale také „zprava doleva“. První vlastnost kořenů tedy znamená, že může být reprezentován ve tvaru a naopak může být nahrazen výrazem. Totéž platí pro druhou vlastnost kořenů. S ohledem na to provedeme výpočty.