Rozdělení logaritmů se stejnými bázemi. Výpočet logaritmů, příkladů, řešení. Výpočet logaritmů podle definice

Pokračujeme na logaritmy. V tomto článku budeme mluvit výpočet logaritmuTento proces se nazývá logarithoming.. Nejprve se budeme zabývat výpočtem logaritmů podle definice. Dále zvažte, jak jsou hodnoty logaritmů umístěny pomocí jejich vlastností. Poté se zastaví při výpočtu logaritmů prostřednictvím původně zadaných hodnot jiných logaritmů. Nakonec se naučte použít tabulky logaritmů. All Teorie je vybavena příklady s podrobnými řešeními.

Navigace stránky.

Výpočet logaritmů podle definice

V nejjednodušších případech je to možné a snadno a snadno. nalezení logaritmu podle definice. Podívejme se podrobně, jak nastane tento proces.

Jeho podstatu spočívá v reprezentaci čísla B ve formě A C, odkud k určení čísla logaritmu C je hodnota logaritmu. To znamená, že nalezení logaritmu podle definice je zodpovězen následujícím řetězcem rovnic: log a b \u003d log a c \u003d c.

Takže výpočet logaritmu podle definice sestává na nalezení takového čísla C, který c \u003d b, a samotný počet je požadovanou hodnotou logaritmu.

Vzhledem k informacím předchozích odstavců, pokud je počet pod náznakem logaritmusu nastaveno určitým stupněm základny logaritmie, můžete okamžitě označit, co se rovná logaritmu - je roven stupni. Podívejme se na řešení pro příklady.

Příklad.

Najít log 2 2 -3, stejně jako vypočítat přirozený logaritmus čísla E 5.3.

Rozhodnutí.

Definice logaritmu nám umožňuje okamžitě říci, že log 2 2 -3 \u003d -3. Opravdu, počet pod logaritmovým znaménkem se rovná základně 2 V -3 stupně.

Podobně najdeme druhý logaritmus: LNE 5.3 \u003d 5.3.

Odpovědět:

log 2-3 \u003d -3 a LNE 5.3 \u003d 5.3.

Pokud číslo B pod znaménkem logaritmus není specifikováno jako stupeň základny logaritmu, je nutné pečlivě podívat, zda není možné přijít na reprezentaci čísla B ve formě A C. Taková reprezentace je často zcela zřejmá, zejména když počet pod logaritmovým znaménkem se rovná zemi do stupně 1 nebo 2, nebo 3, ...

Příklad.

Vypočítejte logaritms Log 5 25 a.

Rozhodnutí.

Je snadné vidět, že 25 \u003d 5 2, umožňuje vypočítat první logaritmus: log 5 25 \u003d log 5 5 2 \u003d 2.

Jděte do výpočtu druhého logaritmu. Číslo může být reprezentováno jako stupeň čísla 7: (viz v případě potřeby). Proto, .

Třetí logaritmus přepíšeme v následujícím formuláři. Teď to můžete vidět kde jsme dospěli k závěru . V důsledku definice logaritmu .

Stručně řečeno, řešení by mohlo být napsáno takto :.

Odpovědět:

log 5 25 \u003d 2 a .

Když je pod označením logaritmu poměrně velké přirozené čísloNebude to bolet, aby se o jednoduchých multiplikáti rozložil. To často pomáhá prezentovat takové číslo jako určitý stupeň základny logaritmie, což znamená vypočítat tento logaritmus podle definice.

Příklad.

Vyhledejte hodnotu logaritmu.

Rozhodnutí.

Některé logaritmy vám umožňují okamžitě určit hodnotu logaritmů. Tyto vlastnosti zahrnují vlastnost logaritmové jednotky a vlastnost logaritmus čísla rovna základu: log 1 1 \u003d log A 0 \u003d 0 a protokol A \u003d log A 1 \u003d 1. To znamená, že když je logaritmus číslo 1 nebo číslo A, rovný základně logaritmu, pak v těchto případech, logaritmy jsou 0 a 1, resp.

Příklad.

Jaké jsou logaritmy a lg10?

Rozhodnutí.

Od té doby z definice logaritmu .

Ve druhém příkladu se počet 10 pod náznakem logaritmu shoduje s jeho základem, takže desetinný logaritmus deset rovna jednoty, tj. LG10 \u003d LG10 1 \u003d 1.

Odpovědět:

A lg10 \u003d 1.

Všimněte si, že výpočet logaritmů podle definice (který jsme rozebrali v předchozím odstavci), znamená použití rovnosti protokolu A P \u003d P, což je jedním z vlastností logaritmů.

V praxi, když číslo pod logaritmem znamení a základna logaritmu je snadno prezentováno ve formě stupně určitého čísla, je velmi vhodné použít vzorec který odpovídá jedné z vlastností logaritmů. Zvažte příklad nalezení logaritmu, ilustrujícího použití tohoto vzorce.

Příklad.

Vypočítat logaritmus.

Rozhodnutí.

Odpovědět:

.

Nad výše uvedenými vlastnostmi logaritmů se také používají při výpočtu, ale budeme o tom hovořit v následujících odstavcích.

Hledání logaritmů prostřednictvím jiných známých logaritmů

Informace o tomto odstavci pokračují v používání vlastností logaritmů při jejich výpočtu. Ale tady je hlavní rozdíl, že vlastnosti logaritmů se používají s cílem vyjádřit zdrojový logaritmus prostřednictvím jiného logaritmu, jejichž hodnota je známa. Uveďte příklad pro vysvětlení. Předpokládejme, že víme, že log 2 3≈1.584963, pak můžeme najít například log 2 6 provedením malé konverze pomocí vlastností logaritmu: log 2 6 \u003d Log 2 (2 · 3) \u003d Log 2 2 + Log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

V daném příkladu jsme stačili, abychom mohli používat logaritmus práce. Nicméně, mnohem častěji je nutné aplikovat širší arzenál vlastností logaritmů pro výpočet zdrojového logaritmu přes zadaný.

Příklad.

Vypočítejte logaritmus 27 pro základnu 60, pokud je známo, že log 60 2 \u003d A a log 60 5 \u003d b.

Rozhodnutí.

Takže musíme najít Log 60 27. Je snadné vidět, že 27 \u003d 3 3, a zdrojový logaritmus na základě vlastnosti logaritmusu stupně, může být přepsán jako 3 · log 60 3.

Podívejme se, jak log 60 3 exprimují prostřednictvím známých logaritmů. Vlastnost logaritmu čísla rovnající se základně vám umožní zaznamenávat přihlášení rovnosti 60 \u003d 1. Na druhé straně, log 60 60 \u003d log60 (2 2 · 3 · 5) \u003d log 60 2 2 + LOG 60 3 + LOGE 60 5 \u003d 2 · Log 60 2 + Log 60 3 + Log 60 5. Takto, 2 · Log 60 2 + LOG 60 3 + LOGE 60 5 \u003d 1. Proto, log 60 3 \u003d 1-2 · log 60 2-log 60 5 \u003d 1-2 · A-B.

Konečně vypočítáme zdrojový logaritmus: log 60 27 \u003d 3 · log 60 3 \u003d 3 · (1-2 · A-B) \u003d 3-6 · A-3 · B.

Odpovědět:

log 60 27 \u003d 3 · (1-2 · A-B) \u003d 3-6 · A-3 · B.

Samostatně, stojí za to říci hodnotu vzorce pro přechod na novou základnu logaritmu druhu. To umožňuje logaritmům s jakýmikoliv k přesunu do logaritmů se specifickým základem, jejichž hodnoty jsou známy nebo mají schopnost je najít. Obvykle je počáteční logaritmus přechodového vzorce přenesen do logaritmů na jednom ze základen 2, E nebo 10, protože existují logaritmy tabulky, které jim umožňují vypočítat jejich hodnoty s určitým stupněm přesnosti. V dalším bodě budeme ukázat, jak se to dělá.

Logarovské tabulky, jejich použití

K přibližně vypočítat hodnoty logaritmů lze použít. stoly Logarovmov.. Nejčastěji používaná tabulka logaritmů založených na 2, stůl přírodních logaritmů a tabulky desetinných logaritmů. Při práci v desetinném čísle systému je vhodné použít tabulku logaritmů na základě deseti. S tím se naučíte najít hodnoty logaritmů.

Prezentovaná tabulka umožňuje přesnost jednoho deseti tisíc k nalezení hodnot desetinných logaritmů čísel od 1 000 do 9.9999 (se třemi desetinnými deskami). Princip zjištění hodnoty logaritmu pomocí tabulky desetinných logaritmů bude zkoumat specifický příklad - Tak jasnější. Najít LG1,256.

V levém sloupci desetinných logaritmů najdeme dvě první číslice čísla 1.256, tj. Nacházíme 1,2 (toto číslo je navštěvováno modrou čarou). Třetí číslice čísla 1.256 (číslice 5) se nachází v prvním nebo posledním řádku vlevo od dvojité čáry (toto číslo je krouženo s červenou čarou). Čtvrtá číslice původního čísla 1.256 (číslice 6) se nachází v prvním nebo posledním řádku vpravo od dvojité čáry (toto číslo je krouženo se zelenou linkou). Nyní najdeme čísla v tabulkách logaritmů na křižovatce označené čáry a označených sloupců (tato čísla jsou zvýrazněna oranžová). Součet označených čísel dává požadovanou hodnotu desetinného logaritmu s přesností čtvrtého znaku po čárce, tj. lG1,236≈0,0969 + 0.0021 \u003d 0,0990.

A je možné pomocí níže uvedené tabulky, najít hodnoty desetinných logaritmů čísel, které mají více než tři číslice po čárku, stejně jako odchodu 1 až 9 999? Ano můžeš. Ukažme, jak se to děje, na příkladu.

Vypočítejte LG102,76332. Nejprve musíte zapsat Číslo B. standardní video : 102,76332 \u003d 1,0276332 · 10 2. Po tom, Mantissa by měla být zaokrouhlena na třetí značku po čárce, máme 1 0276332 · 10 2 ≈1,028 · 10 2Současně, počáteční desetinný logaritmus je přibližně roven logaritmu výsledného čísla, tj. Přijímáme LG102,76332≈LG1,76332 · 10 2. Nyní aplikujte vlastnosti logaritmus: lG1,028 · 10 2 \u003d LG1,028 + LG10 2 \u003d LG1,028 + 2. Nakonec najdeme hodnotu logaritmu LG1 028 na stole desetinných logaritmů LG1,028≈0,0086 + 0,0034 \u003d 0,012. Výsledkem je, že celý proces výpočtu logaritmu vypadá takto: lG102,76332 \u003d LG1,0276332 · 10 2 ≈LG1,028 · 10 2 \u003d lG1,028 + LG10 2 \u003d LG1,028 + 2≈0,012 + 2 \u003d 2,012.

Závěrem stojí za zmínku, že pomocí tabulky desetinných protokolů můžete vypočítat přibližnou hodnotu jakéhokoliv logaritmu. Chcete-li to provést, stačí pomocí přechodového vzorce přejděte na desetinné logaritmy, najděte jejich hodnoty na stole a proveďte zbývající výpočty.

Například vypočítat Log 2 3. Přechodovým vzorcem k nové základně logaritmu. Z tabulky desetinných protokolů nalezneme LG3≈0,4771 a LG2≈0,30110. Takto, .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.m., DudnitSyn yu.p. et al. algebra a start analýza: učebnice pro 10 - 11 tříd všeobecných vzdělávacích institucí.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příspěvek na žadatele o technické škole).

základní vlastnosti.

1. logax + Logay \u003d Loga (x · Y);
2. logax - Logay \u003d Loga (X: Y).

stejné pozemky

Log6 4 + log6 9.

Teď trochu komplikuje úkol.

Příklady logaritmů řešení

Co když na základně nebo argumentu logaritmus stojí stupeň? Indikátorem tohoto rozsahu pak může být vyřazen z logaritmového znaménka podle následujících pravidel:

Samozřejmě, že všechna tato pravidla mají smysl, když se shodují s logaritmem OTZ: A\u003e 0, a ≠ 1, X\u003e

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Přechod na novou základnu

LOGAX LOGAX. Pak pro jakékoli číslo C takové, že C\u003e 0 a C ≠ 1, rovnost je pravdivá:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Viz také:

Hlavní vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Vystavovatel je 2,718281828 .... Chcete-li si pamatovat vystavovatele, můžete prozkoumat pravidlo: vystavovatel je 2,7 a dvakrát rok narození Leo Nikolayevich Tolstoy.

Hlavní vlastnosti logaritmu

Znát toto pravidlo bude znát přesnou hodnotu vystavování a datum narození Lev Tolstoy.

Příklady na logaritmii

Příjmení výrazů

Příklad 1.
ale). X \u003d 10AS ^ 2 (A\u003e 0, C\u003e 0).

Vlastnosti 3.5 Vypočítat

2.

3.

Příklad 2. Najít x, pokud

Příklad 3. Nechte hodnotu logaritmů nastavena

Vypočítat protokol (x), pokud

Hlavní vlastnosti logaritmu

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, mohou být složeny, odečteny a převést. Ale protože logaritmy nejsou zcela obyčejné čísla, existují vlastní pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí nutně vědět - žádný závažný logaritmický úkol je vyřešen bez nich. Kromě toho jsou trochu trochu - vše lze naučit za jeden den. Tak pokračujte.

A odčítání logaritmů

Zvažte dva logaritmus identické důvody: Logax a Logay. Pak mohou být složeny a odečteny, a:

1. logax + Logay \u003d Loga (x · Y);
2. logax - Logay \u003d Loga (X: Y).

Takže množství logaritmů se rovná logaritmu díla a rozdíl je logaritmus soukromého. Poznámka: Klíčovým bodem je zde stejné pozemky. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když se jednotlivé části nepovažují (viz lekce "Co je logaritmus"). Podívejte se na příklady - a ujistěte se, že:

Vzhledem k tomu, že základy v logaritmech jsou stejné, používáme součet součtu:
log6 4 + log6 9 \u003d log6 (4 · 9) \u003d log6 36 \u003d 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: Log2 48 - Log2 3.

Základy jsou stejné, pomocí rozdílového vzorce:
log2 48 - Log2 3 \u003d Log2 (48: 3) \u003d Log2 16 \u003d 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 - Log3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log3 135 - log3 5 \u003d log3 (135: 5) \u003d log3 27 \u003d 3.

Jak vidíte, počáteční výrazy se skládají z "špatných" logaritmů, které nejsou samostatně zvažovány zvlášť. Ale po transformaci se získají zcela normální čísla. Mnozí jsou na této skutečnosti postavena. zkušební papíry. Ale jaká je kontrola - takové výrazy jsou v plné výši (někdy - téměř beze změny) jsou nabízeny na zkoušce.

Výkonný titul od logaritmu

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dva. Je však lepší si ho pamatovat, v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Samozřejmě, že všechna tato pravidla dávají smysl, když splnění OTZ Logaritmus: A\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. A další: Naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale naopak, tj. Můžete provést čísla, která čelí logaritmus, do samotného logaritmu. To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavte se rozsahu v argumentu v prvním vzorci:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že v denominátoru je logaritmus, základ a argument, které jsou přesné stupně: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Máme:

Myslím, že nejnovější příklad vyžaduje vysvětlení. Kde zmizel logaritmy? Před Samo. poslední moment Pracujeme jen s jmenovatelem.

Logaritmy vzorců. Logaritmy příklady řešení.

Představili základ a argument logaritmu ve formě stupňů a prováděných ukazatelů - obdržel "třípatrový" zlomek.

Podívejme se na základní zlomek. V čitateli a denominátoru je stejné číslo: Log2 7. Od loga2 7 ≠ 0 můžeme snížit frakci - 2/4 zůstane v denominátoru. Podle pravidel aritmetiky mohou být čtyři převedeny na numerátor, který byl proveden. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na novou základnu

Mluvit o pravidlech pro přidání a odčítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými bázemi. A co když jsou nadace jinak? Co když nejsou přesné stupně stejného čísla?

Vzorky pro přechod na novou základnu přicházejí k záchraně. Formulujeme je ve formě teorémů:

LOGAX LOGAX. Pak pro jakékoli číslo C takové, že C\u003e 0 a C ≠ 1, rovnost je pravdivá:

Zejména pokud dáte c \u003d x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základna a argument logaritmie mohou být změněny v místech, ale zároveň výraz "otočí", tj. Logaritmus se ukáže být v denominátoru.

Tyto vzorce jsou vzácné v konvenčních numerických výrazech. Posouzení, jak jsou vhodné, je možné pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovností.

Existují však úkoly, které nejsou obecně vyřešeny kdekoli jako přechod na novou základnu. Zvažte několik takových:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 · Log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné stupně. Vyjdeme indikátory: log5 16 \u003d log5 24 \u003d 4log5 2; Log2 25 \u003d log2 52 \u003d 2Log2 5;

A teď "invert" druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že práce se nezmění z přeskupení multiplikátorů, jsme klidně změnili čtyři a dva a pak seřazeni s logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 · LG 3.

Základ a argument prvního logaritmu - přesné stupně. Píšeme to a zbavíme se ukazatelů:

Zbavte se desetinný logaritmus, otočením na novou základnu:

Základní logaritmická identita

Řešení je často nutné předložit číslo jako logaritmus pro zadanou základnu. V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě se počet n stává ukazatelem rozsahu v argumentu. Číslo n může být absolutně jakýkoliv, protože je to jen logaritmová hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovanou definici. To se nazývá :.

To, co se stane, pokud je počet B v takovém případě, že číslo B do této míry dává číslo A? Právo: Ukazuje to stejné číslo a. Opatrně si přečtěte tento odstavec - mnoho "pověsit" na něm.

Stejně jako přechodové vzorce k nové základně, hlavní logaritmická identita je někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že Log25 64 \u003d Log5 8 - právě provedl náměstí ze základny a argument logaritmus. Vzhledem k pravidlům pro násobení titulů se stejnou základnou dostaneme:

Pokud někdo není vědom, byl to skutečný úkol EGE 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Závěrem získám dvě identity, že je obtížné pojmenovat vlastnosti - spíše, to je důsledek definice logaritmu. Jsou neustále nalezeny v úkolech a které jsou překvapivé, vytvářejí problémy i pro "pokročilé" studenty.

1. logaa \u003d 1 je. Pamatujte si časy a navždy: Logaritmus na jakékoli bázi A od samotné báze se rovná jednomu.
2. loga 1 \u003d 0 je. Základna A může být jakýmkoliv smyslem, ale pokud je argument jednotka - logaritmus je nula! Protože A0 \u003d 1 je přímým důsledkem definice.

To je všechny vlastnosti. Ujistěte se, že je praktikován v praxi! Stáhněte si postýlku na začátku lekce, vytiskněte jej - a vyřešit úkoly.

Viz také:

Logaritmus čísla B založený na A označuje výraz. Vypočítat logaritmus znamená najít takový stupeň x (), při které se provádí rovnost

Hlavní vlastnosti logaritmu

Tyto vlastnosti musí vědět, protože na jejich základě jsou vyřešeny téměř všechny úkoly a příklady jsou spojeny s logaritmy. Zbývající exotické vlastnosti mohou být odvozeny matematickými manipulací s těmito vzorce

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

V výpočtech vzorce součtu a rozdíl logaritmů (3.4) jsou poměrně běžné. Zbytek je poněkud složité, ale v řadě úkolů jsou nepostradatelné pro zjednodušení složitých výrazů a vypočítat jejich hodnoty.

Existují případy logaritmu

Jeden ze společných logaritmů je takový, ve kterém je základna hladká deset, exponenciální nebo dvakrát.
Logaritmus na základě deseti je obvyklé pro volání desetinného logaritmu a zjednodušení LG (X).

Ze záznamu je jasné, že základy v záznamu nejsou napsány. Například

Přírodní logaritmus je logaritmus, pro který je vystavovatel založen na ln (x)).

Vystavovatel je 2,718281828 .... Chcete-li si pamatovat vystavovatele, můžete prozkoumat pravidlo: vystavovatel je 2,7 a dvakrát rok narození Leo Nikolayevich Tolstoy. Znát toto pravidlo bude znát přesnou hodnotu vystavování a datum narození Lev Tolstoy.

A ještě jeden důležitější logaritmus na základně Dva označení

Derivace funkce logaritmu se rovná jednotce rozdělené do proměnné

Integrální nebo primitivní logaritmus je určen závislostí

Výše uvedený materiál stačí, aby vyřešil širokou třídu úkolů spojených s logaritmy a logaritmatem. Pro asimilaci materiálu poskytnu jen několik společných příkladů Školní program a univerzity.

Příklady na logaritmii

Příjmení výrazů

Příklad 1.
ale). X \u003d 10AS ^ 2 (A\u003e 0, C\u003e 0).

Vlastnosti 3.5 Vypočítat

2.
Vlastnosti rozdílu logaritmie mají

3.
Použití vlastností 3.5 Najít

Forma složitého výrazu s využitím řady pravidel je zjednodušena

Nalezení hodnot logaritmu

Příklad 2. Najít x, pokud

Rozhodnutí. Pro výpočet použitelný pro poslední funkční období 3. a 13 nemovitostí

Nahradíme psát a truchlit

Vzhledem k tomu, že důvody jsou stejné, pak rovné výrazy

Logaritmie. První úroveň.

Nechte hodnotu logaritmů

Vypočítat protokol (x), pokud

Řešení: Progriformní proměnná pro malování logaritmu přes součet podmínek

Na tomto známém s logaritmům a jejich vlastnosti začíná. Cvičení ve výpočtech, obohacení praktických dovedností - získané znalosti budou brzy zapotřebí k řešení logaritmických rovnic. Po studiu základních metod řešení těchto rovnic budeme rozšířit své znalosti pro další stejně důležité téma - logaritmické nerovnosti ...

Hlavní vlastnosti logaritmu

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, mohou být složeny, odečteny a převést. Ale protože logaritmy nejsou zcela obyčejné čísla, existují vlastní pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí nutně vědět - žádný závažný logaritmický úkol je vyřešen bez nich. Kromě toho jsou trochu trochu - vše lze naučit za jeden den. Tak pokračujte.

A odčítání logaritmů

Zvažte dva logaritmus se stejnými základny: Logax a Logay. Pak mohou být složeny a odečteny, a:

1. logax + Logay \u003d Loga (x · Y);
2. logax - Logay \u003d Loga (X: Y).

Takže množství logaritmů se rovná logaritmu díla a rozdíl je logaritmus soukromého. Poznámka: Klíčovým bodem je zde stejné pozemky. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když se jednotlivé části nepovažují (viz lekce "Co je logaritmus"). Podívejte se na příklady - a ujistěte se, že:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log6 4 + Log6 9.

Vzhledem k tomu, že základy v logaritmech jsou stejné, používáme součet součtu:
log6 4 + log6 9 \u003d log6 (4 · 9) \u003d log6 36 \u003d 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: Log2 48 - Log2 3.

Základy jsou stejné, pomocí rozdílového vzorce:
log2 48 - Log2 3 \u003d Log2 (48: 3) \u003d Log2 16 \u003d 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 - Log3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log3 135 - log3 5 \u003d log3 (135: 5) \u003d log3 27 \u003d 3.

Jak vidíte, počáteční výrazy se skládají z "špatných" logaritmů, které nejsou samostatně zvažovány zvlášť. Ale po transformaci se získají zcela normální čísla. V této skutečnosti je postaveno mnoho zkušebních prací. Ale jaká je kontrola - takové výrazy jsou v plné výši (někdy - téměř beze změny) jsou nabízeny na zkoušce.

Výkonný titul od logaritmu

Teď trochu komplikuje úkol. Co když na základně nebo argumentu logaritmus stojí stupeň? Indikátorem tohoto rozsahu pak může být vyřazen z logaritmového znaménka podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dva. Je však lepší si ho pamatovat, v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Samozřejmě, že všechna tato pravidla dávají smysl, když splnění OTZ Logaritmus: A\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. A další: Naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale naopak, tj. Můžete provést čísla, která čelí logaritmus, do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmus

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavte se rozsahu v argumentu v prvním vzorci:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že v denominátoru je logaritmus, základ a argument, které jsou přesné stupně: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Máme:

Myslím, že nejnovější příklad vyžaduje vysvětlení. Kde zmizel logaritmy? Do posledního okamžiku pracujeme pouze s jmenovatelem. Představili základ a argument logaritmu ve formě stupňů a prováděných ukazatelů - obdržel "třípatrový" zlomek.

Podívejme se na základní zlomek. V čitateli a denominátoru je stejné číslo: Log2 7. Od loga2 7 ≠ 0 můžeme snížit frakci - 2/4 zůstane v denominátoru. Podle pravidel aritmetiky mohou být čtyři převedeny na numerátor, který byl proveden. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na novou základnu

Mluvit o pravidlech pro přidání a odčítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými bázemi. A co když jsou nadace jinak? Co když nejsou přesné stupně stejného čísla?

Vzorky pro přechod na novou základnu přicházejí k záchraně. Formulujeme je ve formě teorémů:

LOGAX LOGAX. Pak pro jakékoli číslo C takové, že C\u003e 0 a C ≠ 1, rovnost je pravdivá:

Zejména pokud dáte c \u003d x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základna a argument logaritmie mohou být změněny v místech, ale zároveň výraz "otočí", tj. Logaritmus se ukáže být v denominátoru.

Tyto vzorce jsou vzácné v konvenčních numerických výrazech. Posouzení, jak jsou vhodné, je možné pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovností.

Existují však úkoly, které nejsou obecně vyřešeny kdekoli jako přechod na novou základnu. Zvažte několik takových:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 · Log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné stupně. Vyjdeme indikátory: log5 16 \u003d log5 24 \u003d 4log5 2; Log2 25 \u003d log2 52 \u003d 2Log2 5;

A teď "invert" druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že práce se nezmění z přeskupení multiplikátorů, jsme klidně změnili čtyři a dva a pak seřazeni s logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 · LG 3.

Základ a argument prvního logaritmu - přesné stupně. Píšeme to a zbavíme se ukazatelů:

Zbavte se desetinný logaritmus, otočením na novou základnu:

Základní logaritmická identita

Řešení je často nutné předložit číslo jako logaritmus pro zadanou základnu. V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě se počet n stává ukazatelem rozsahu v argumentu. Číslo n může být absolutně jakýkoliv, protože je to jen logaritmová hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovanou definici. To se nazývá :.

To, co se stane, pokud je počet B v takovém případě, že číslo B do této míry dává číslo A? Právo: Ukazuje to stejné číslo a. Opatrně si přečtěte tento odstavec - mnoho "pověsit" na něm.

Stejně jako přechodové vzorce k nové základně, hlavní logaritmická identita je někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že Log25 64 \u003d Log5 8 - právě provedl náměstí ze základny a argument logaritmus. Vzhledem k pravidlům pro násobení titulů se stejnou základnou dostaneme:

Pokud někdo není vědom, byl to skutečný úkol EGE 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Závěrem získám dvě identity, že je obtížné pojmenovat vlastnosti - spíše, to je důsledek definice logaritmu. Jsou neustále nalezeny v úkolech a které jsou překvapivé, vytvářejí problémy i pro "pokročilé" studenty.

1. logaa \u003d 1 je. Pamatujte si časy a navždy: Logaritmus na jakékoli bázi A od samotné báze se rovná jednomu.
2. loga 1 \u003d 0 je. Základna A může být jakýmkoliv smyslem, ale pokud je argument jednotka - logaritmus je nula! Protože A0 \u003d 1 je přímým důsledkem definice.

To je všechny vlastnosti. Ujistěte se, že je praktikován v praxi! Stáhněte si postýlku na začátku lekce, vytiskněte jej - a vyřešit úkoly.

Od jeho definice. A tak logaritmus čísla b. Na základě alestanoveno jako ukazatel stupně, ve kterém by měl být číslo vydáno a.získat číslo b. (Logaritmus existuje pouze v kladných číslech).

Z této formulace vyplývá, že výpočet x \u003d log a bekvivalentní řešení rovnice x \u003d b. Například, log 2 8 \u003d 3protože 8 = 2 3 . Znění logaritmu vám umožní ospravedlnit, pokud b \u003d A spak logaritmová čísla b. Na základě a. Havran z. Je také jasné, že téma logarithmingu je úzce propojeno s tématem čísla.

S logaritmy, stejně jako s libovolnými čísly, lze provést příjemné operace, odčítání a přeměnit v každém směru. Ale vzhledem k tomu, že logaritmy nejsou zcela obyčejné čísla, zde jsou jejich zvláštní pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

A odčítání logaritmů.

Vezměte dva logaritmus se stejnými bázemi: log a x. a přihlásit Y.. Pak je možné, aby bylo možné provést dodatky a odečtení operací:

log A x + log a y \u003d log a (x · y);

záznam A X - log a y \u003d log a (x: y).

log A.(x. 1 . x. 2 . x. 3 ... x K.) = log a x. 1 + log a x. 2 + log a x. 3 + ... + log a x k.

Z Věty logaritmů jsou soukromémůžete získat další majetek logaritmu. To je dobře známo, že log A.1 \u003d 0 proto,

log. A. 1 / B.\u003d Log. A.1 - log. A B.\u003d - log. A B..

A tedy probíhá rovnost:

záznam 1 / b \u003d - log a b.

Logaritmy dvou vzájemně vzrušených číseltéměř základna se odlišná od sebe výhradně obeznámit. Tak:

Log 3 9 \u003d - log 3 1/9; Log 5 1/125 \u003d -log 5 125.

Logaritmus číslo b (b\u003e 0) na základě a (a\u003e 0, a ≠ 1) - ukazatel stupně, ve kterém by měl být číslo a mělo být přijato k získání b.

Logaritmus číslo b založené na 10 lze napsat jako lg (b)a logaritmus založený na e (přírodní logaritmus) - ln (b).

Často se používají při řešení úkolů s logaritmy:

Vlastnosti logaritmu

Existují čtyři základní vlastnosti logaritmu.

Nechť A\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 a y\u003e 0.

Vlastnost 1. Logaritmie funguje

Logaritmová práce rovnající se součtu logaritmů:

log A (x ⋅ y) \u003d log a x + log a y

Nemovitosti 2. Soukromý logaritmus

Logaritmus private. rovný rozdíl v logaritmech:

log a (x / y) \u003d log a x - log a

Vlastnost 3. Logaritm.

Stupeň logaritmu Je rovná se stupni na logaritmus:

Pokud je základem logaritmu ve stupni, druhý vzorec zákonů:

Vlastnost 4. Logaritmus kořen

Tato vlastnost může být získána z vlastností logaritmu stupně, protože kořen n-th titulu je roven 1 / N:

Vzorec pro přechod z logaritmu v jedné základně k logaritmu s jinou základnou

Tento vzorec je také často používán při řešení různých úkolů pro logaritmii:

Soukromý případ:

Srovnání logaritmů (nerovnost)

Nechte máme 2 funkce f (x) a g (x) v logaritmech se stejnými bázemi a mezi nimi je znamením nerovnosti:

Chcete-li je porovnat, musíte se nejprve podívat na základnu logaritmů A:

• Pokud A\u003e 0, pak f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• Pokud 0.< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak řešit problémy s logaritmy: příklady

Úkoly s logaritmy zahrnut v složení EGE Matematika pro stupeň 11 v úloze 5 a úkol 7, můžete najít úkoly s řešeními na našich webových stránkách v příslušných sekcích. Také úkoly s logaritmy se nacházejí v vtipu úkolů v matematice. Všechny příklady naleznete prostřednictvím vyhledávacího webu.

Co je logaritm.

Logaritmy byly vždy považovány za složité téma Školní kurz matematika. Existuje mnoho různých definic logaritmusu, ale většina učebnic z nějakého důvodu používají nejchodernější a neúspěšné z nich.

Definujeme logaritmus jednoduše a jasně. Chcete-li to udělat, proveďte tabulku:

Takže před odečtením nás.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, jak vyřešit

Pokud si vezmete číslo ze spodního řádku, můžete snadno najít titul, ve kterém bude Deuce muset být přijata k získání tohoto čísla. Například, dostanete 16, potřebujete dva stavět čtvrtý stupeň. A dostat 64, potřebujete dva stavět v šestém stupni. To je vidět ze stolu.

A teď - vlastně definice logaritmu:

na základě Argumentu X je stupeň, ve kterém má být číslo A, aby bylo možné získat číslo x.

Označení: log A x \u003d b, kde je základ, X je argument, b - ve skutečnosti, to, co se rovná logaritmu.

Například 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (logaritmus pro základnu 2 z čísla 8 je tři, protože 2 3 \u003d 8). Se stejným úspěchem logem 2 64 \u003d 6, protože 2 6 \u003d 64.

Vyzývá se provozování logaritmu čísla na dané bázi. Takže doplňte náš stůl s novým řetězcem:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Bohužel, ne všechny logaritmy jsou považovány za tak snadné. Snažte se například najít Log 2 5. Čísla 5 ne v tabulce, ale logika navrhuje, aby logaritmus ležel někde na segmentu. Protože 2 2.< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Taková čísla se nazývají iracionální: čísla poté, co čárka mohou být zapsána do nekonečna a nikdy se neopakují. Pokud je logaritmus získán iracionální, je lepší opustit: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je důležité pochopit, že logaritmus je výraz se dvěma proměnnými (základem a argumentem). Mnozí na prvním zmatku, kde se základem nachází a kde je argument. Aby se zabránilo nepříjemné nedorozumění, podívejte se na obrázek:

Než nás není nic jiného než definice logaritmu. Pamatovat si: logaritmus je stupeňVe kterém musí být nadace přijata, aby se dosáhlo argumentu. Je to nadace, která je postavena do stupně - na obrázku je zvýrazněn červeně. Ukazuje se, že základna je vždy v přízemí! Toto úžasné pravidlo říkám svým studentům na první lekci - a žádný zmatek vzniká.

Jak počítat logaritmus

Zabývali jsme se definicí - zůstane naučit se zvážit logaritmy, tj. Zbavte se znaku "log". Chcete-li začít, všimneme, že dvě důležitá fakta vyplývají z definice:

1. Argument a základna by měla být vždy větší než nula. To vyplývá z určení stupně racionálního ukazatele, ke kterému se sníží definice logaritmu.
2. Základ by měla být odlišná od jednotky, protože jednotka do každé stupně stále zůstává jednotou. Díky tomu je otázka "Kolik by mělo být jednotka postavena, aby se dostal o Deuce" zbavený význam. Neexistuje žádný takový stupeň!

Taková omezení se nazývají oblasti přípustných hodnot (OTZ). Ukazuje se, že lichý logaritmus vypadá takto: log A x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Všimněte si, že žádná omezení čísla B (hodnota logaritmu) není superponována. Například logaritmus může být negativní: log 2 0,5 \u003d -1, protože 0,5 \u003d 2 -1.

Nicméně, nyní uvažujeme pouze numerické výrazy, kde poznat logaritmus OTZ není nutný. Všechna omezení jsou již zohledněny kompilátory úkolů. Ale když logaritmické rovnice a nerovnosti jdou, požadavky OTZ se stanou povinným. Na základě základny a argumentu mohou být velmi nepřiměřené struktury stát, což nutně vyhovuje výše uvedenými omezeními.

Nyní zvažte obecné schéma pro výpočet logaritmů. Skládá se ze tří kroků:

1. Odeslat základnu A a Argument X ve formě míry s minimální možnou základnou, velkou jednotkou. Podél cesty je lepší zbavit se desetinných frakcí;
2. Řešení vzhledem k proměnné B rovnici: X \u003d A B;
3. Výsledný počet b bude odpověď.

To je vše! Pokud je logaritmus iracionální, bude v prvním kroku viditelný. Požadavek, že základna byla více sjednocená, je velmi důležitá: snižuje pravděpodobnost chyby a výrazně zjednodušuje výpočty. Podobný S. desetinné zlomky: Pokud je okamžitě přenášíte na běžné, budou chyby občas méně.

Podívejme se, jak toto schéma funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Vypočítat logaritmus: Log 5 25

1. Předkládat základ a argument jako stupeň pěti: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Pojďme a vyřešit rovnici:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Obdržel odpověď: 2.

Úkol. Vypočítat logaritmus:

Úkol. Vypočítat logaritmus: log 4 64

1. Představte si základ a argument jako stupeň twos: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Pojďme a vyřešit rovnici:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Obdržel odpověď: 3.

Úkol. Vypočítat logaritmus: LOG 16 1

1. Představte si základ a argument jako stupeň dvou: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Pojďme a vyřešit rovnici:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Obdržel odpověď: 0.

Úkol. Vypočítat logaritmus: log 7 14

1. Předkládat základ a argument jako stupeň sedm: 7 \u003d 7 1; 14 Ve formě sedmi sedmi se nezdá, protože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z předchozího bodu vyplývá, že logaritmus není zvažován;
3. Odpověď není změna: Log 7 14.

Malá poznámka k poslednímu příkladu. Jak se ujistit, že číslo není přesný stupeň jiného čísla? Velmi jednoduchý - dost, aby ho rozložil na jednoduché faktory. Pokud existuje alespoň dva různé faktor v rozkladu, číslo není přesný stupeň.

Úkol. Zjistěte, zda přesné stupně čísla: 8; 48; 81; 35; čtrnáct.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - přesný stupeň, protože Násobitel je pouze jeden;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - Není to přesný stupeň, protože existují dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - přesný stupeň;
35 \u003d 7 · 5 - opět není přesný stupeň;
14 \u003d 7 · 2 - Opět, ne přesný stupeň;

Všimněte si také, že jednoduchá čísla Vždy jsou přesné stupně sami.

Desetinný logaritmus

Některé logaritmy se vyskytují tak často, že mají zvláštní jméno a označení.

z argumentu X je logaritmus založený na základně 10, tj. Stupeň, ve které by mělo být číslo 10 postaveno, aby se číslo x. Označení: LG X.

Například, LG 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - atd.

Od nynějška, kdy se učebnice setkává s frází jako "Najít lg 0.01", víš: Není to překlep. To je desetinný logaritmus. Pokud však máte neobvyklé pro takové označení, může být vždy přepsán:
Lg x \u003d log 10 x

Vše, co platí pro běžné logaritmy, platí pro desetinné místo.

Přírodní logaritm.

Existuje další logaritmus, který má vlastní označení. V určitém smyslu je ještě důležitější než desetinné místo. Mluvíme O přírodním logaritmech.

z argumentu X je logaritmus založený na E, tj. Stupeň, ve kterém by měl být postaven číslo e, aby se číslo x. Označení: ln x.

Mnozí se zeptá: Co ještě v čísle e? To je iracionální číslo, jeho přesná hodnota najít a napsat to nemožné. Dám jen jeho první čísla:
e \u003d 2,718281828459 ...

Nebudeme prohloubit, že je to číslo a proč potřebujete. Jen si pamatujte, že e je základem přírodního logaritmu:
ln x \u003d log e x

Tedy, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - atd. Na druhé straně, Ln 2 je iracionální číslo. Obecně je přirozený logaritmus jakéhokoliv racionálního čísla iracionální. Kromě toho, samozřejmě, jednotky: ln 1 \u003d 0.

Pro přirozené logaritmy jsou platná všechna pravidla, která jsou pravdivá pro běžné logaritmy.

Viz také:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (stupeň logaritmu).

Jak předložit číslo ve formě logaritmu?

Používáme definici logaritmu.

Logaritmus je indikátorem stupně, ve kterém musí být báze přijata, aby se číslo pod značkou logaritmu.

Tak, reprezentovat určité číslo C ve formě logaritmu na základě A, je nutné dát titul se stejnou základnou pod logaritmem znaménkem jako základem logaritmu, a z hlediska stupně záznamu tohoto čísla C:

Ve formě logaritmu si dokážete představit jakékoli číslo - pozitivní, negativní, celé číslo, frakční, racionální, iracionální:

Tak, že ve stresujících podmínkách kontroly nebo zkoušky nezaměňují A a C, můžete použít takové pravidlo zapamatování:

co je dole dolů, že nahoře, jít nahoru.

Například musíte předložit číslo 2 jako logaritmus na základě základny 3.

Máme dvě čísla - 2 a 3. Tato čísla jsou základem a indikátorem stupně, který píšeme pod označením logaritmu. Zbývá zjistit, která z těchto čísel je třeba zapsat, na základně stupně, a která je v ukazateli.

Základna 3 v záznamu logaritmusu je pod dnem, to znamená, že když reprezentujeme dva ve formě logaritmu na základě základny 3, 3 také zapište na základnu.

2 stojí nad trojnásobkem. A ve stupni Decend, zapíšeme tři nejlepší tři, to znamená, pokud jde o stupeň:

Logaritmie. První úroveň.

Logaritmie

Logaritmus Kladné číslo b. Na základě a.kde a\u003e 0, a ≠ 1, je ukazatel stupně, ve kterém musí být číslo vydáno a., Získat b..

Definice logaritmu Můžete si krátce nahrávat takto:

Tato rovnost je spravedlivá, když b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1. Obvykle se nazývá logaritmická identita.
Lokalita logaritmu se nazývá logarithmívejte.

Vlastnosti Logarov:

Logaritmová práce:

Logaritmus soukromý z divize:

Výměna základny logaritmu:

Logaritmus:

Logaritmus:

Logaritmus s napájecí základnou:

Desetinné a přírodní logaritmy.

Desetinný logaritmus Čísla se nazývají logaritmus tohoto čísla pro základnu 10 a psát a nbsp lg b.
Přírodní logaritm. Čísla volají logaritmus tohoto čísla e.kde e. - iracionální číslo, přibližně 2.7. Zároveň píšou ln b..

Ostatní algebra a geometrie poznámky

Hlavní vlastnosti logaritmu

Hlavní vlastnosti logaritmu

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, mohou být složeny, odečteny a převést. Ale protože logaritmy nejsou zcela obyčejné čísla, existují vlastní pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí nutně vědět - žádný závažný logaritmický úkol je vyřešen bez nich. Kromě toho jsou trochu trochu - vše lze naučit za jeden den. Tak pokračujte.

A odčítání logaritmů

Zvažte dva logaritmy se stejnými bázemi: log a x a log a log Pak mohou být složeny a odečteny, a:

1. log A x + log a y \u003d log a (x · y);
2. záznam A X - log a y \u003d log a (x: y).

Takže množství logaritmů se rovná logaritmu díla a rozdíl je logaritmus soukromého. Poznámka: Klíčovým bodem je zde stejné pozemky. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když se jednotlivé části nepovažují (viz lekce "Co je logaritmus"). Podívejte se na příklady - a ujistěte se, že:

Log 6 4 + LOGE 6 9.

Vzhledem k tomu, že základy v logaritmech jsou stejné, používáme součet součtu:
log 6 4 + LOG 6 9 \u003d LOG 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: Log 2 48 - Log 2 3.

Základy jsou stejné, pomocí rozdílového vzorce:
log 2 48 - Log 2 3 \u003d Log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 3 135 - Log 3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log 3 135 - Log 3 5 \u003d Log 3 (135: 5) \u003d Log 3 27 \u003d 3.

Jak vidíte, počáteční výrazy se skládají z "špatných" logaritmů, které nejsou samostatně zvažovány zvlášť. Ale po transformaci se získají zcela normální čísla. V této skutečnosti je postaveno mnoho zkušebních prací. Ale jaká je kontrola - takové výrazy jsou v plné výši (někdy - téměř beze změny) jsou nabízeny na zkoušce.

Výkonný titul od logaritmu

Teď trochu komplikuje úkol. Co když na základně nebo argumentu logaritmus stojí stupeň? Indikátorem tohoto rozsahu pak může být vyřazen z logaritmového znaménka podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dva. Je však lepší si ho pamatovat, v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Samozřejmě, že všechna tato pravidla dávají smysl, když splnění OTZ Logaritmus: A\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. A další: Naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale naopak, tj. Můžete provést čísla, která čelí logaritmus, do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmus

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 7 49 6.

Zbavte se rozsahu v argumentu v prvním vzorci:
log 7 49 6 \u003d 6 · Log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že v denominátoru je logaritmus, základna a argument, které jsou přesné stupně: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. My máme:

Myslím, že nejnovější příklad vyžaduje vysvětlení. Kde zmizel logaritmy? Do posledního okamžiku pracujeme pouze s jmenovatelem. Představili základ a argument logaritmu ve formě stupňů a prováděných ukazatelů - obdržel "třípatrový" zlomek.

Podívejme se na základní zlomek. Číslo v numerátoru a jmenovatele je stejné číslo: Log 2 7. Od logu 2 7 ≠ 0 můžeme snížit frakci - 2/4 zůstane v denominátoru. Podle pravidel aritmetiky mohou být čtyři převedeny na numerátor, který byl proveden. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na novou základnu

Mluvit o pravidlech pro přidání a odčítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými bázemi. A co když jsou nadace jinak? Co když nejsou přesné stupně stejného čísla?

Vzorky pro přechod na novou základnu přicházejí k záchraně. Formulujeme je ve formě teorémů:

Nechte loga a x být uveden. Pak pro jakékoli číslo C takové, že C\u003e 0 a C ≠ 1, rovnost je pravdivá:

Zejména pokud dáte c \u003d x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základna a argument logaritmie mohou být změněny v místech, ale zároveň výraz "otočí", tj. Logaritmus se ukáže být v denominátoru.

Tyto vzorce jsou vzácné v konvenčních numerických výrazech. Posouzení, jak jsou vhodné, je možné pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovností.

Existují však úkoly, které nejsou obecně vyřešeny kdekoli jako přechod na novou základnu. Zvažte několik takových:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 5 16 · Log 2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné stupně. Shrnuto: Log 5 16 \u003d LOG 5 2 4 \u003d 4LOG 5 2; Log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

A teď "invert" druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že práce se nezmění z přeskupení multiplikátorů, jsme klidně změnili čtyři a dva a pak seřazeni s logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 9 100 · LG 3.

Základ a argument prvního logaritmu - přesné stupně. Píšeme to a zbavíme se ukazatelů:

Zbavte se desetinný logaritmus, otočením na novou základnu:

Základní logaritmická identita

Řešení je často nutné předložit číslo jako logaritmus pro zadanou základnu.

V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě se počet n stává ukazatelem rozsahu v argumentu. Číslo n může být absolutně jakýkoliv, protože je to jen logaritmová hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovanou definici. To se nazývá :.

To, co se stane, pokud je počet B v takovém případě, že číslo B do této míry dává číslo A? Právo: Ukazuje to stejné číslo a. Opatrně si přečtěte tento odstavec - mnoho "pověsit" na něm.

Stejně jako přechodové vzorce k nové základně, hlavní logaritmická identita je někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že log 25 64 \u003d Log 5 8 - právě provedl náměstí ze základny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidlům pro násobení titulů se stejnou základnou dostaneme:

Pokud někdo není vědom, byl to skutečný úkol EGE 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Závěrem získám dvě identity, že je obtížné pojmenovat vlastnosti - spíše, to je důsledek definice logaritmu. Jsou neustále nalezeny v úkolech a které jsou překvapivé, vytvářejí problémy i pro "pokročilé" studenty.

1. log a \u003d 1 je. Pamatujte si časy a navždy: Logaritmus na jakékoli bázi A od samotné báze se rovná jednomu.
2. log A 1 \u003d 0 je. Základna A může být jakýmkoliv smyslem, ale pokud je argument jednotka - logaritmus je nula! Protože 0 \u003d 1 je přímým důsledkem definice.

To je všechny vlastnosti. Ujistěte se, že je praktikován v praxi! Stáhněte si postýlku na začátku lekce, vytiskněte jej - a vyřešit úkoly.