V rovnici harmonického kmitání hodnota stojí. Rovnice harmonických kmitů. Základy Maxwellovy teorie pro elektromagnetické pole

Zvažovali jsme několik fyzikálně zcela odlišných systémů a ujistili jsme se, že pohybové rovnice jsou zredukovány do stejného tvaru

Rozdíly mezi fyzikálními systémy se projevují pouze v odlišné definici veličiny a v různých fyzický smysl variabilní X: může to být souřadnice, úhel, náboj, proud atd. Všimněte si, že v tomto případě, jak vyplývá ze samotné struktury rovnice (1.18), má veličina vždy rozměr inverzního času.

Rovnice (1.18) popisuje tzv harmonické vibrace.

Harmonická vibrační rovnice (1.18) je lineární diferenciální rovnice druhého řádu (protože obsahuje druhou derivaci proměnné X). Linearita rovnice to znamená

pokud nějaká funkce x (t) je řešení této rovnice, pak funkce Cx (t) bylo by to také jeho řešení ( C- libovolná konstanta);

pokud funkce x 1 (t) a x 2 (t) jsou řešení této rovnice, pak jejich součet x 1 (t) + x 2 (t) bude také řešením stejné rovnice.

Byla také prokázána matematická věta, podle níž má rovnice druhého řádu dvě nezávislá řešení. Všechna ostatní řešení, podle vlastností linearity, lze získat jako jejich lineární kombinace. Je snadné ověřit přímou derivací, že nezávislé fungují a splňují rovnici (1.18). Prostředek, společné rozhodnutí tato rovnice má tvar:

kde C 1,C 2- libovolné konstanty. Toto řešení může být prezentováno v jiné podobě. Představujeme hodnotu

a definujte úhel poměry:

Potom se obecné řešení (1.19) zapíše jako

Podle trigonometrických vzorců je výraz v závorce

Konečně se dostáváme k obecné řešení harmonické vibrační rovnice tak jako:

Nezáporná hodnota A volala amplituda oscilace, - počáteční fáze oscilace. Zavolá se celý kosinový argument – ​​kombinace švihová fáze.

Výrazy (1.19) a (1.23) jsou zcela ekvivalentní, takže pro zjednodušení můžeme použít kterýkoli z nich. Obě řešení jsou periodické funkcečas. Sinus a kosinus jsou periodické s tečkou . Proto se různé stavy systému provádějícího harmonické kmity po určité době opakují t *, pro kterou fáze kmitání dostává přírůstek, který je násobkem :

Z toho tedy vyplývá

Nejméně z těchto časů

volala období výkyvů (obr. 1.8), a - jeho kruhový (cyklický) frekvence.

Rýže. 1.8.

Také použijte frekvence váhání

V souladu s tím je úhlová frekvence rovna počtu oscilací za sekundy.

Pokud tedy systém v daném okamžiku t charakterizované hodnotou proměnné x (t), pak stejnou hodnotu bude mít proměnná po určité době (obrázek 1.9), tzn

Stejný význam se bude časem přirozeně opakovat. 2T, ZT atd.

Rýže. 1.9. Doba oscilace

Obecné řešení obsahuje dvě libovolné konstanty ( C1, C2 nebo A, A), jehož hodnoty musí být určeny dvěma počáteční podmínky. Obvykle (i když ne nutně) jejich roli hrají počáteční hodnoty proměnné x (0) a jeho derivát.

Uveďme příklad. Nechť řešení (1.19) rovnice harmonického kmitání popisuje pohyb pružinového kyvadla. Hodnoty libovolných konstant závisí na způsobu, jakým jsme vyvedli kyvadlo z rovnováhy. Například jsme vytáhli pružinu na dálku a vypustil míč bez počáteční rychlosti. V tomto případě

Střídání t = 0 v (1.19) najdeme hodnotu konstanty C 2

Řešením je tedy:

Rychlost zatížení zjistíme derivací v čase

Střídání zde t = 0, najdeme konstantu C 1:

Konečně

Při porovnání s (1.23) zjistíme, že je amplituda kmitů a jeho počáteční fáze je nulová:.

Nyní vyvažme kyvadlo jiným způsobem. Narazíme na zátěž tak, aby nabyla počáteční rychlost, ale prakticky se při nárazu neposunula. Pak máme další počáteční podmínky:

naše řešení je

Rychlost nákladu se bude lišit podle zákona:

Nahradíme zde:

Výkyvy nazýváme takové procesy, při kterých soustava s větší či menší frekvencí opakovaně prochází rovnovážnou polohou.

Klasifikace vibrací:

A) od přírody (mechanické, elektromagnetické, kolísání koncentrace, teploty atd.);

b) ve tvaru (jednoduché = harmonické; komplexní, což je součet jednoduchých harmonických vibrací);

proti) podle frekvence = periodické (charakteristiky systému se opakují po přesně definovaném časovém úseku (periodě)) a aperiodické;

G) ve vztahu k času (kontinuální = konstantní amplituda; klesající = klesající amplituda);

G) na energii - zdarma (jednorázový přísun energie do systému zvenčí = jednorázový vnější vliv); nucená (vícenásobná (periodická) dodávka energie do systému zvenčí = periodický vnější vliv); vlastní oscilace (trvalé oscilace vznikající díky schopnosti systému regulovat tok energie z konstantního zdroje).

Podmínky pro vznik vibrací.

a) Přítomnost oscilačního systému (kyvadlo na závěsu, pružinové kyvadlo, oscilační obvod atd.);

b) Přítomnost vnějšího zdroje energie, který je schopen alespoň jednou systém vyvést z rovnováhy;

c) Vznik kvazielastické vratné síly v systému (tj. síly úměrné posunutí);

d) Přítomnost v soustavě setrvačnosti (inerciální prvek).

Jako názorný příklad uvažujme pohyb matematického kyvadla. Matematické kyvadlo se nazývá těleso malých rozměrů, zavěšené na tenké neroztažitelné niti, jehož hmotnost je oproti hmotnosti tělesa zanedbatelná. V rovnovážné poloze, kdy kyvadlo visí podél olovnice, je gravitační síla vyvážena napínací silou nitě
... Když se kyvadlo vychýlí z rovnovážné polohy o určitý úhel α objevuje se tangenciální složka gravitace F=- mg sinα. Znaménko mínus v tomto vzorci znamená, že tečná složka směřuje ve směru opačném k výchylce kyvadla. Je obnovující silou. Při malých úhlech α (asi 15-20°) je tato síla úměrná posunutí kyvadla, tzn. je kvazielastický a kmity kyvadla jsou harmonické.

Při vychýlení kyvadla se zvedne do určité výšky, tzn. je mu poskytnuta určitá zásoba potenciální energie ( E potit se = mgh). Při pohybu kyvadla do rovnovážné polohy dochází k přechodu potenciální energie na energii kinetickou. V okamžiku, kdy kyvadlo projde rovnovážnou polohou, je potenciální energie nulová a kinetická energie maximální. Vzhledem k přítomnosti hmoty m(hmotnost je fyzikální veličina, která určuje setrvačné a gravitační vlastnosti hmoty) kyvadlo projde rovnovážnou polohou a vychýlí se opačným směrem. Při absenci tření v systému budou oscilace kyvadla pokračovat donekonečna.

Harmonická vibrační rovnice je:

x (t) = x m cos (ω 0 t +φ 0 ),

kde NS- posunutí tělesa z rovnovážné polohy;

X m (A) Je amplituda kmitů, to znamená modul maximálního posunutí,

ω 0 - cyklická (nebo kruhová) frekvence vibrací,

t- čas.

Množství pod znaménkem kosinus φ = ω 0 t + φ 0 volala fáze harmonické kmitání. Fáze určuje posun v daném čase t. Fáze se vyjadřuje v úhlových jednotkách (radiánech).

Na t= 0 φ = φ 0 , proto φ 0 se nazývají počáteční fázi.

Časový interval, ve kterém se opakují určité stavy oscilačního systému, se nazývá období výkyvů T.

Fyzikální veličina inverzní k periodě oscilace se nazývá frekvence vibrací:
... Frekvence kmitání ν ukazuje, kolik oscilací se provede za jednotku času. Jednotka frekvence - hertz (Hz) - jeden kmit za sekundu.

Frekvence kmitání ν související s cyklickou frekvencí ω a periodu oscilace T poměry:
.

To znamená, že kruhová frekvence je počet úplných oscilací, ke kterým dochází za 2π jednotek času.

Graficky lze harmonické vibrace znázornit jako závislost NS z t a metoda vektorových diagramů.

Metoda vektorových diagramů umožňuje vizualizovat všechny parametry obsažené v rovnici harmonických kmitů. Ve skutečnosti, pokud vektor amplitudy A úhlové φ k ose NS, pak jeho průmět na osu NS se bude rovnat: x = Acos (φ ) ... Injekce φ a je tu počáteční fáze. Pokud je vektor A točit s úhlová rychlostω 0, rovná se frekvenci kruhových vibrací, pak se projekce konce vektoru bude pohybovat podél osy NS a přebírat hodnoty od -A před + A, a souřadnice této projekce se budou v průběhu času měnit podle zákona: X(t) = Acos(ω 0 t+ φ) ... Doba potřebná k tomu, aby vektor amplitudy provedl jednu úplnou otáčku, se rovná periodě T harmonické vibrace. Počet otáček vektoru za sekundu se rovná frekvenci kmitů ν .

Harmonické vibrace - vibrace, při kterých se fyzikální veličina v čase mění podle harmonického (sinusového, kosinusového) zákona. Harmonickou vibrační rovnici lze zapsat takto:
X (t) = A ∙ cos (ω t + φ)
nebo
X (t) = A ∙ sin (ω t + φ)

X - odchylka od rovnovážné polohy v čase t
A - amplituda vibrací, rozměr A se shoduje s rozměrem X
ω - cyklická frekvence, rad / s (radiány za sekundu)
φ - počáteční fáze, rad
t - čas, s
T - perioda oscilace, s
f - frekvence vibrací, Hz (Hertz)
π je konstanta přibližně rovna 3,14, 2π = 6,28

Perioda kmitů, frekvence v hertzech a cyklická frekvence souvisí poměry.
ω = 2πf, T = 2π / ω, f = 1 / T, f = ω / 2π
Abyste si tyto vztahy zapamatovali, musíte pochopit následující.
Každý z parametrů ω, f, T jednoznačně určuje ostatní. K popisu kmitání stačí použít jeden z těchto parametrů.

Perioda T je doba jednoho švihu, je vhodné jej použít pro vykreslování swingových grafů.
Cyklická frekvence ω - slouží k zápisu rovnic kmitání, umožňuje provádět matematické výpočty.
Frekvence f - počet kmitů za jednotku času, se používá všude. V hertzech měříme frekvenci, na kterou jsou rádiové přijímače naladěny, a také rozsah provozu mobilní telefony... V hertzech se při ladění hudebních nástrojů měří frekvence kmitání strun.

Výraz (ωt + φ) se nazývá fáze kmitání a hodnota φ se nazývá počáteční fáze, protože se rovná fázi kmitání v čase t = 0.

Funkce sinus a kosinus popisují vztah stran pravoúhlý trojuhelník... Mnozí proto nechápou, jak tyto funkce souvisí s harmonickými oscilacemi. Toto spojení je demonstrováno rovnoměrně rotujícím vektorem. Projekce rovnoměrně rotujícího vektoru provádí harmonické kmity.
Níže uvedený obrázek ukazuje příklad tří harmonických kmitů. Stejné ve frekvenci, ale odlišné ve fázi a amplitudě.

Rovnice harmonické oscilace

Harmonická vibrační rovnice stanoví závislost souřadnic tělesa na čase

Kosinový graf má v počátečním okamžiku maximální hodnotu a sinusový graf má v počátečním okamžiku nulovou hodnotu. Začneme-li zkoumat kmitání z rovnovážné polohy, pak kmitání bude opakovat sinusoidu. Začneme-li uvažovat kmitání z polohy maximální výchylky, pak kmitání bude popisovat kosinus. Nebo může být taková oscilace popsána sinusovým vzorcem s počáteční fází.

Změna rychlosti a zrychlení s harmonickou vibrací

Nejen souřadnice tělesa se s časem mění podle sinusového nebo kosinusového zákona. Ale stejným způsobem se mění i takové veličiny, jako je síla, rychlost a zrychlení. Síla a zrychlení jsou maximální, když je kmitající těleso v krajních polohách, kde je výchylka maximální, a jsou rovny nule, když těleso prochází rovnovážnou polohou. Rychlost je naopak v krajních polohách rovna nule, a když těleso projde rovnovážnou polohou, dosáhne své maximální hodnoty.

Pokud je oscilace popsána podle kosinového zákona

Pokud je oscilace popsána podle sinusového zákona

Maximální hodnoty rychlosti a zrychlení

Po analýze rovnic závislosti v (t) a a (t) lze odhadnout, že maximální hodnoty rychlosti a zrychlení jsou brány, když je trigonometrický faktor 1 nebo -1. Určeno vzorcem

« Fyzika - třída 11"

Zrychlení je druhá časová derivace souřadnice.

Okamžitá rychlost bodu je časovou derivací souřadnice bodu.
Zrychlení bodu je derivace jeho rychlosti s ohledem na čas nebo druhá derivace souřadnice s ohledem na čas.
Pohybovou rovnici kyvadla lze tedy zapsat takto:

kde x "je druhá časová derivace souřadnice.

S volnými vibracemi, souřadnice NS se mění s časem tak, že druhá derivace souřadnice vzhledem k času je přímo úměrná samotné souřadnici a ve znaménku proti ní.

Harmonické vibrace

Z matematiky: druhé derivace sinus a kosinus v jejich argumentu jsou úměrné funkcím samotným, brané s opačným znaménkem, a žádné jiné funkce tuto vlastnost nemají.
Proto:
Souřadnice tělesa vykonávajícího volné vibrace se v průběhu času mění podle sinusového nebo kosinového zákona.

Periodické změny Fyzické množství v závislosti na čase, vyskytující se podle zákona sinus nebo kosinus, se nazývají harmonické vibrace.

Amplituda vibrací

Amplituda harmonické kmity se nazývá modul největšího vychýlení tělesa z rovnovážné polohy.

Amplituda je určena počátečními podmínkami, nebo spíše energií předávanou tělu.

Grafem závislosti souřadnic tělesa na čase je kosinusová vlna.

x = x m cos ω 0 t

Pak pohybová rovnice popisující volné kmitání kyvadla je:

Perioda a frekvence harmonických kmitů.

S výkyvy se pohyby těla periodicky opakují.
Časový interval T, během kterého systém dokončí jeden úplný cyklus kmitů, se nazývá období výkyvů.

Frekvence vibrací je počet vibrací za jednotku času.
Pokud v čase T dojde k jednomu kmitu, pak počet kmitů za sekundu

V mezinárodní soustavě jednotek (SI) se nazývá jednotka frekvence hertz(Hz) na počest Německý fyzik G. Hertz.

Počet kmitů za 2π s se rovná:

Veličina ω 0 je cyklická (nebo kruhová) frekvence vibrací.
Po časovém úseku rovném jedné periodě se oscilace opakují.

Frekvence volné vibrace se nazývají vlastní frekvence oscilační systém.
Cyklická frekvence je často pro stručnost označována jednoduše jako frekvence.

Závislost frekvence a periody volných kmitů na vlastnostech soustavy.

1.pro pružinové kyvadlo

Vlastní frekvence kmitů pružinového kyvadla je rovna:

Je tím větší, čím větší je tuhost pružiny k, a čím menší, tím větší je hmotnost tělesa m.
Tuhá pružina uděluje tělu větší zrychlení, rychleji mění rychlost těla a čím je tělo masivnější, tím pomaleji mění svou rychlost pod vlivem síly.

Doba oscilace je:

Perioda kmitání pružinového kyvadla nezávisí na amplitudě kmitů.

2.pro závitové kyvadlo

Vlastní frekvence kmitů matematického kyvadla při malých úhlech vychýlení závitu od svislice závisí na délce kyvadla a gravitačním zrychlení:

Perioda těchto oscilací je rovna

Doba kmitání kyvadla závitu při malých úhlech vychýlení nezávisí na amplitudě kmitů.

Doba kmitání se zvyšuje s délkou kyvadla. Nezáleží na hmotnosti kyvadla.

Čím menší g, tím delší je perioda kmitání kyvadla a tím pomaleji tedy hodiny s kyvadlem běží. Hodiny s kyvadlem v podobě zátěže na tyči tedy zaostanou za den o téměř 3 s, pokud budou zvednuty ze suterénu do horního patra Moskevské univerzity (výška 200 m). A to jen díky poklesu gravitačního zrychlení s výškou.