Některé a neurčité informační integrály. Integrály pro figuríny: Jak řešit, pravidla výpočtu, vysvětlení. Hlavní vlastnosti konkrétního integrálu

Řešení integrálů je úkolem je světlo, ale pouze pro volbou. Tento článek je určen pro ty, kteří se chtějí naučit porozumět integrálům, ale neví o nich nic nebo téměř nic. Integrál ... Proč je to potřeba? Jak to vypočítat? Co je jistá a neurčitý integrál?

Pokud je to jediná integrovaná aplikace známá, je získat háčkování ve formě integrální ikony, něco užitečného od těžko na-dosah míst, pak vítejte! Naučte se vyřešit nejjednodušší a další integrály a proč bez ní není možné dělat v matematice.

Studujeme koncept « integrální »

Integrace byla známa ve starověkém Egyptě. Samozřejmě, ne v moderní video, ale stále. Od té doby, matematika napsala spoustu knih na toto téma. Zvláště rozlišující Newton. a Leibnits. Ale podstatu věcí se nezměnila.

Jak porozumět integrálům z nuly? V žádném případě! Chcete-li pochopit toto téma, základní znalosti základů matematické analýzy budou stále potřebovat. Informace o limitech a derivátech nezbytných a pro pochopení integrálů již máme v našem blogu.

Nejistý integrál

Mějte nějakou funkci f (x) .

Nejistá integrovaná funkce f (x) Tato funkce se nazývá F (x) , jehož derivát se rovná funkce f (x) .

Jinými slovy, integrál je derivát naopak nebo primitivní. Mimochodem, o tom, jak vypočítat deriváty, přečtěte si v našem článku.

Prediktivní existuje pro všechny kontinuální funkce. Také konstantní znamení se často přidává do primárního, protože deriváty se liší v neustálém shodě. Proces hledání integrálu se nazývá integrace.

Jednoduchý příklad:

Aby nedošlo k neustálému výpočtu primitivních elementárních funkcí, je vhodné je řídit do tabulky a používat hotové hodnoty.

Plné tabulky integrály pro studenty

Určitý integrál

Mít dohodu s konceptem integrálu, jednáme s nekonečně malými hodnotami. Integrál pomůže vypočítat číslo obrázku, hmotnost nehomogenního tělesa, prošla pod nerovnoměrnou pohybovou dráhu a mnohem více. Je třeba mít na paměti, že integrál je množství nekonečně velké číslo Nekonečně malé termíny.

Jako příklad si představte plán určité funkce.

Jak najít oblast čísel omezených grafem funkce? S pomocí integrálu! Vydělujeme křivkuční trapézu, omezené koordinovanými osami a grafem funkce, na nekonečně malých segmentech. Obrázek bude tedy rozdělen do tenkých sloupů. Součet plochy sloupců bude oblastí lichoběžného prostoru. Ale nezapomeňte, že takový výpočet poskytne příkladný výsledek. Čím menší bude segmenty již budou, tím přesnější bude výpočet. Pokud je snížíme do té míry, že délka bude snažit o nulu, množství segmentů bude usilovat o oblast obrázku. Toto je specifický integrál, který je napsán následovně:

Body A a B se nazývají integrační limity.

« Integrální »

Mimochodem! Pro naše čtenáři nyní existuje 10% sleva jakýkoli typ práce

Pravidla pro výpočet integrálů pro figuríny

Vlastnosti nejistého integrálu

Jak řešit neurčitý integrál? Zde zvážíme vlastnosti ne určitý integrálkteré budou užitečné při řešení příkladů.

• Derivace integrálu se rovná funkce integrace:

• Konstanta může být vyrobena ze znaku integrálu:

• Integrál z částky se rovná množství integrálů. Také pro rozdíl:

Vlastnosti specifického integrálu

• Linearita:

• Integrální znak se změní, pokud jsou integrační limity vyměňovány:

• Pro Žádný Body a., b. a z:

Už jsme zjistili, že určitý integrál je limit částky. Ale jak při řešení příkladu získat konkrétní hodnotu? Pro to je newton-leibnic Formula:

Příklady řešení integrálů

Níže se podívají na neurčitou integrálu a příklady s řešením. Doporučujeme samostatně porozumět jemnosti řešení, a pokud je něco nepochopitelné, klást otázky v komentářích.

Chcete-li zajistit materiál, viz video o tom, jak jsou integrály vyřešeny v praxi. Nevypadejte, pokud není integrál okamžitě uveden. Obraťte se na profesionální služby pro studenty a jakýkoliv trojitý nebo křivkový integrál na uzavřeném povrchu se stanou silami.

V tomto článku uvádíme základní vlastnosti konkrétního integrálu. Většina z těchto vlastností je prokázána na základě pojmů určitého integrálu Riemann a Darbu.

Výpočet specifického integrálu je velmi často prováděn pomocí prvních pěti vlastností, takže v případě potřeby se na ně postaráme. Zbývající vlastnosti konkrétního integrálu se používají hlavně pro vyhodnocení různých výrazů.

Před přesunem do hlavní vlastnosti konkrétního integrálu, souhlasíme s tím, že A nepřesahuje b.

Pro funkci Y \u003d F (x), definovaná na X \u003d A, rovnost je spravedlivé.

To znamená, že hodnota specifického integrálu s náhodným limitem integrace je nula. Tato vlastnost je důsledkem určení integrálu Riemann, protože v tomto případě je v tomto případě každá integrální částka pro všechny dělení mezery a libovolného bodu výběru nulová, protože proto odhad integrálních částek je nulový.

Pro funkci integrovanou na segmentu se provádí .

Jinými slovy, při změně horních a dolních limitů integrace na místech, hodnota konkrétního integrálního změny naopak. Tato vlastnost specifického integrálu také vyplývá z konceptu riemann integrálu, pouze číslování rozdělení segmentu by mělo být zahájeno od bodu x \u003d b.

Pro integrované na segmentu funkcí Y \u003d f (x) a y \u003d g (x).

Důkaz.

Píšeme integrovanou částku funkce Pro toto rozdělení segmentu a tento výběr bodů:

kde a je integrální součty funkcí Y \u003d f (x) a y \u003d g (x) pro toto rozdělení segmentu.

Přesun do limitu kdy Získáme, že podle definice riemann integrálu je ekvivalentní schválení osvědčených vlastností.

Trvalý multiplikátor může být vyřazen z určitého integrovaného znamení. To znamená, že funkce integrovaná na segmentu y \u003d f (x) a libovolné číslo k, rovnost je pravdivá .

Doklad o této vlastnosti konkrétního integrálu je naprosto podobný předchozímu:


Nechte funkci Y \u003d f (x) integrovatelná v intervalu x a a pak .

Tato nemovitost je spravedlivá jak pro i pro nebo.

Důkaz lze provádět spoléhat na předchozí vlastnosti specifického integrálu.

Pokud je funkce integrována na segmentu, je integrována a na jakémkoliv vnitřním segmentu.

Důkaz je založen na majetku Darboux: Pokud přidáte nové body do existujícího rozdělení segmentu, pak nižší množství Darboux nebude snižovat a horní se nezvyšuje.

Pokud je funkce Y \u003d f (x) integrována na segmentu a pro libovolnou hodnotu argumentu .

Tato vlastnost je prokázána stanovením integrálu Riemann: Jakákoli integrální částka pro jakýkoli výběr oddělovacích bodů segmentu a bodů bude negativní (není pozitivní).

Důsledek.

Pro integrované na segmentu funkcí Y \u003d f (x) a y \u003d g (x), nerovnosti platí:


Toto prohlášení znamená, že je přípustné integrovat nerovnosti. Tento důsledek použijeme v důkazu o následujících vlastnostech.

Nechte funkci Y \u003d f (x) integrovat na segmentu, pak je nerovnost pravdivá .

Důkaz.

Je to zřejmé . V předchozím majetku jsme zjistili, že nerovnost může být dosud integrována, takže . Tato dvojí nerovnost může být napsána jako .

Nechte funkce y \u003d f (x) a y \u003d g (x) integrovatelné v segmentu a pro libovolnou hodnotu argumentu kde a .

Důkaz se provádí podobně. Jako m a m - nejmenší a největší hodnotu Funkce Y \u003d f (x) na segmentu . Domování dvojité nerovnosti na nezdaných funkcích Y \u003d g (x) nás vede k další dvojité nerovnosti. Integrace na segmentu, přijdeme k osvědčenému prohlášení.

Důsledek.

Pokud berete g (x) \u003d 1, pak inovace bude mít formulář .

První střední vzorec.

Nechte funkci Y \u003d f (x) integrujte na segmentu, a , pak je zde taková číslo.

Důsledek.

Pokud je funkce Y \u003d f (x) kontinuální na segmentu, je zde taková číslo .

První vzorec průměrné hodnoty v generalizované formě.

Nechte funkce y \u003d f (x) a y \u003d g (x) integrovatelné na segmentu, a a g (x)\u003e 0 pro libovolnou hodnotu argumentu. Pak je zde takové číslo .

Druhý vzorec průměru.

Pokud je na segmentu funkce y \u003d f (x) integrovatelná, a y \u003d g (x) monotonne, pak existuje takové číslo, které se rovná .

Tyto vlastnosti se používají k implementaci integrálních transformací, aby ho přivedly k jednomu z elementárních integrálů a dalšího výpočtu.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná funkce integrace:

2. Diferenciál neurčitého integrálu se rovná počátečnímu výrazu:

3. Neurčitý integrál z diferenciálu určité funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

4. Pro integrální znamení lze provést stálý multiplikátor:

A ≠ 0

5. Integrál součtu (rozdíl) se rovná množství (rozdílu) integrálů:

6. Vlastnost je kombinací vlastností 4 a 5:

A ≠ 0 b ≠ 0

7. Vlastnost invariance neurčitého integrálu:

Pokud pak.

8. Vlastnil:

Pokud pak.

Vlastně tato vlastnost Jedná se o soukromý integrační případ pomocí metody proměnné výměny, která je podrobněji popsána v další části.

Zvažte příklad:

Zpočátku jsme použili majetek 5, pak vlastnost 4, pak použil tabulku primitivu a získal výsledek.

Algoritmus našeho online integrálů kalkulačky podporuje všechny výše uvedené vlastnosti a budou snadno nalezeny podrobné řešení Pro váš integrál.

Tyto vlastnosti se používají k implementaci integrálních transformací, aby ho přivedly k jednomu z elementárních integrálů a dalšího výpočtu.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná funkce integrace:

2. Diferenciál neurčitého integrálu se rovná počátečnímu výrazu:

3. Neurčitý integrál z diferenciálu určité funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

4. Pro integrální znamení lze provést stálý multiplikátor:

A ≠ 0

5. Integrál součtu (rozdíl) se rovná množství (rozdílu) integrálů:

6. Vlastnost je kombinací vlastností 4 a 5:

A ≠ 0 b ≠ 0

7. Vlastnost invariance neurčitého integrálu:

Pokud pak.

8. Vlastnil:

Pokud pak.

Ve skutečnosti je tato vlastnost speciálním integračním případem pomocí metody proměnné výměny, která je podrobněji popsána v další části.

Zvažte příklad:

Zpočátku jsme použili majetek 5, pak vlastnost 4, pak použil tabulku primitivu a získal výsledek.

Algoritmus našeho online kalkulačky integrály podporuje všechny výše uvedené vlastnosti a snadno najdete podrobné řešení pro integrál.

Úkol je řešen v diferenciálním výpočtu: pod Funkce Anna ƒ (x) Najděte jeho derivaci(nebo diferenciální). Integrovaný počet řeší inverzní problém: Najít funkci f (x), znát jeho derivát f "(x) \u003d ƒ (x) (nebo diferenciál). Požadovaná funkce f (x) se nazývá primitivní funkce ƒ (x).

Funkce F (x) se nazývá predo-ve tvarufunkce ƒ (x) na intervalu (a; b), pokud se provádí za jakýkoli x є (a; b) rovnost

F "(x) \u003d ƒ (x) (nebo df (x) \u003d ƒ (x) dx).

například, primitivní funkce y \u003d x 2, x є r, je funkce, protože

Je zřejmé, že všechny funkce budou také primitivní

kde c je konstantní, protože

TEPEMA 29. 1. Pokud je funkce f (x) primitivní funkcí ƒ (x) do (a; b), pak je sada všech velmi primitivních pro ƒ (x) dána vzorcem f (x) + c , kde C je konstantní číslo.

▲ Funkce F (x) + C je primitivní ƒ (x).

(F (x) + c) "\u003d f" (x) \u003d ƒ (x).

Nechť f (x) být jiné odlišné od f (x), primitivní funkce ƒ (x), tj. F "(x) \u003d ƒ (x). Pak pro všechny x є (a; b) máme

A to znamená (viz důsledek 25. 1)

kde c je konstantní číslo. V důsledku toho f (x) \u003d f (x) + c. ▼

Sada všech parametrů funkcí F (X) + C pro ƒ (x) volal nejistý integrál z funkce ƒ (x)a označuje symbol ƒ (x) dx.

Tak, podle definice

∫ ƒ (x) dx \u003d f (x) + c.

Zde ƒ (x) disgrave funkce, ƒ (x) dx - jasný výrazx - variabilní integrace, ∫ -podepsat nejistý integrál .

Provoz nalezení neurčitého integrálu z funkce se nazývá integrace této funkce.

Geometricky neurčitý integrál je rodina "paralelních" křivek Y \u003d f (x) + C (určitá křivka rodiny odpovídá každé numerické hodnotě C odpovídá (viz obr. 166). Graf každé primitivní (křivky) se nazývá integrální křivka.

Existuje neurčitý integrál pro každou funkci?

Existuje věta, která tvrdí, že "jakákoliv kontinuální funkce (a; b) funkce má primitivní účinek na tuto mezeru", a proto a neurčitý integrál.

Všimli jsme si řadu vlastností neurčitého integrálu vyplývající z jeho definice.

1. Diferenciál od nedefinovaného integrálu se rovná počátečnímu výrazu a derivát nejistého integrálu se rovná funkce integrace:

d (∫ ƒ (x) dx) \u003d ƒ (x) dh, (∫ ƒ (x) dx) "\u003d ƒ (x).

Deisitive, D (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (f (x) + s) \u003d df (x) + d (c) \u003d f "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "\u003d (f (x) + c)" \u003d f "(x) +0 \u003d ƒ (x).

Blugging Tato vlastnost je správná integrace je ověřena diferenciací. Například rovnost

∫ (3x 2 + 4) dx \u003d x z + 4x + s

právo, protože (x 3 + 4x + s) "\u003d 3x 2 +4.

2. První integrál diffpectivity některé funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

∫df (x) \u003d f (x) + c.

Opravdu,

3. Pro integrální znamení lze provést stálý multiplikátor:

α ≠ 0 - konstantní.

Opravdu,

(Dejte s 1 / a \u003d p.)

4. Neurčitý integrál z angebolního množství konečného počtu kontinuálních funkcí se rovná v rozporu s integrovaným součtem podmínek funkcí:

Nechť f "(x) \u003d ƒ (x) a g" (x) \u003d g (x). Pak

kde C 1 ± C 2 \u003d s.

5. (Invariance integračního vzorce).

Pokud kde u \u003d φ (x) je libovolná funkce s nepřetržitým derivátem.

▲ Nechť X je nezávislá proměnná, ƒ (x) - kontinuální funkce a f (x) - jeho vrchol. Pak

Nyní se můžeme zaregistrovat u \u003d f (x), kde f (x) je nepřetržitě diferencovatelná funkce. Zvažte komplexní funkci F (U) \u003d F (φ (x)). Z důvodu nevyrovnanosti formy první diferenciální funkce (viz str. 160) máme

Odtud ▼

Vzorec pro neurčitou integrálu zůstává spravedlivý bez ohledu na to, zda je integrační proměnná nezávislá proměnná nebo jakákoliv funkce z něj s nepřetržitým derivátem.

Takže, ze vzorce nahrazením X na U (U \u003d φ (x)) se dostaneme

Zejména,

Příklad 29.1. Najít integrál.

kde C \u003d C1 + C2 + C3 + C4.

Příklad 29.2. Najít integrální řešení:

• 29.3. Tabulka základních neurčitých integrálů

Skutečnost, že integrace je účinkem, inverzní diferenciace, můžete získat tabulku základních integrálů odkazem na odpovídající vzorce diffpektivity počtu (diferenciální tabulka) a použití vlastností neurčitého integrálu.

například, tak jako

d (hřích u) \u003d cos u. DU,

Uzavření řady tabulek vzorců bude uveden při zvažování hlavních integračních metod.

Integrály v následující tabulce se nazývají tabulka. Měly by být známy srdcem. V integrálním počtu nejsou jednoduchá a univerzální pravidla pro nalezení primárních z elementárních funkcí, jako v diferenciálním počtu. Metody hledání pepřového sáčku (I.e. Function Integration) se sníží na pokyny, které vede (požadované) integrální do tabulky. V důsledku toho musíte znát integrály tabulky a být schopni je rozpoznat.

Všimněte si, že v tabulce hlavních integrálů může být integrační proměnná označena jako nezávislá proměnná a funkce z nezávislé proměnné (vlastnost integrovaného integrovaného vzorce).

Ve spravedlnosti níže uvedených vzorců je možné ujistit, že opak opačné strany pravé strany, který bude roven počátečnímu expresi na levé straně vzorce.

Prokazujeme například spravedlnost vzorce 2. Funkce 1 / U je definována a nepřetržitá pro všechny hodnoty a jiné než nula.

Pokud u\u003e 0, pak ln | u | \u003d lnu, pak proto

Esley U.<0, то ln|u|=ln(-u). Но Tak

Formule 2 je tedy pravdivý. Angurthouse, zvážit vzorec 15:

Integrály výstupu tabulky

Přátelé! Zveme vás k diskusi. Máte-li svůj vlastní názor, napište nám v komentářích.