A példákkal kapcsolatos bizonytalan integrált fő tulajdonságai. Egy bizonytalan integrált fő tulajdonságai. Az integrációs űrlapok invariance

Sorszám

weboldal Lehetővé teszi, hogy megtalálja a sor összege online Numerikus szekvencia. Amellett, hogy megtalálja az online numerikus szekvencia mennyiségét, a kiszolgáló üzemmódban online fog találni a sor bizonyos összege. Ez hasznos az analitikai számításokhoz, amikor a sor összege online kell ábrázolni, és megoldást talál a szekvenciahatárra a sor részleges összegei. Más oldalakhoz képest, weboldal vitathatatlan előnye van, mivel lehetővé teszi, hogy megtalálja a sor összege online nem csak numerikus, hanem is funkcionális sorozatamely meghatározza az eredeti konvergencia régióját sora legismertebb módszerek alkalmazása. Az elmélet szerint sorokSzükséges a numerikus szekvencia konvergenciájának feltétele a teljes tagtól származó egyenlőség numerikus sor Ha a végtelenségig változhat. Ez a feltétel azonban nem elegendő a numerikus sor online konvergenciájának meghatározásához a sorok online konvergenciája A konvergencia vagy az eltérés megfelelő jeleit találták sor. A leghíresebb és gyakran használták a D "Alambert, Cauchy, Raabe, összehasonlítások jelei numerikus sorok, valamint a konvergencia integrált jele numerikus sor. Különleges hely között numerikus sorok olyan, amelyben a kifejezések jelei szigorúan alternatívak és abszolút értékek numerikus sorok Monoton szinten csökken. Ez kiderül numerikus sorok Az online számok konvergenciájának szükséges jele egyidejűleg elegendő, vagyis az egyenlőség nulla az általános tagból származó határérték numerikus sor Ha a végtelenségig változhat. Számos különböző hely van képviselve szerverek Számításra az online sor összege, valamint a funkciók bomlását sor Néhány ponton a funkció meghatározási területétől. Ha a funkciót bomlik le sor online nem jelent sok munkát ezeken a szervereken, majd kiszámítja a funkcionális sorozat online összege, amelynek minden tagja, ellentétben a numerikus sorNem szám, hanem egy funkció, úgy tűnik, szinte lehetetlen a szükséges technikai erőforrások hiánya miatt. -Ért www.syt. Nincs ilyen probléma.

A betét tárolásánál a bankban, az érdeklődésre számot tartott az 5% -os, majd 12% -kal, majd végül 12,5% -kal. Ismeretes, hogy az egyes új kamatlábak fellépése szerint a hozzájárulás egész hónapos hónap volt, a tárolási időszak után, a kezdeti összeg növelte a letéti eltarthatóság meghatározásával.

Döntés.

Tudott:

1. A hozzájárulás iránti kamatot havonta terhelték.

2. A naptári hónap után minden későbbi kamatláb-juttatás kerül felszámításra, figyelembe véve az újonnan létrehozott betét összeget és figyelembe véve a korábbi juttatások.

Ha a kezdeti hozzájárulás összegét a havi 5% kamat kamatláb indult, akkor a hozzájárulás megnövekedett havi időnként, és ez a tényező lesz tárolva, amíg az árfolyam változása.

Ha egy százalékos felár / (a \u200b\u200btét tart), az első betét összege növekedni fog a hónapokban.

Tegyük fel, hogy a kamatláb tart a tartós, és a kamatláb tart. Ezután a megfelelő emelő együtthatók:

Így a hozzájárulás egészének növelésének együtthatója a betét letétbe helyezési időtartamára a bankban:

Másrészt a feladat feltétele szerint az első betét összege ugyanabban az időben nőtt

A fő aritmetikai tétel szerint természetes számTöbb mint 1 képviselhető az egyszerű tényezők termékeként, és ez a képviselet az egyetlen, amely a következők sorrendjének pontosságával rendelkezik. Ebben az esetben:

Ezt a rendszert a természet természetes és a rendszer utolsó egyenletéig oldjuk meg: Ezekkel az értékekkel a rendszer az űrlapot veszi:

Tehát a bankhoz való hozzájárulás 7 hónap volt. A talált értékekkel és tényleg nulla.

Válasz: 7.

Jegyzet.

A feladat egyszerűbb verziójához lásd a szobákat és.

Forrás: A. Larin: Képzési lehetőség 81.

Semyon Kuznetsov tervezte, hogy minden megtakarítást a megtakarítási számlára fektessen be a "Nastrode" -on, 500% alatt, számításra egy év alatt DE rubel. Azonban a "Nezodeva" bank összeomlása megváltoztatta terveit, megakadályozva a gyors cselekményt. Ennek eredményeként a pénz része Kuznetsov úr az "Első önkormányzati" bankba, és a többi - a banknak Makaroni alatt. Egy évvel később az "első önkormányzat" két és fél alkalommal növelte a kifizetések százalékos arányát, és Kuznetsov úr úgy döntött, hogy egy évre letétbe helyez. Ennek eredményeképpen az "első önkormányzati" -ban kapott mennyiséget rubel volt. Határozza meg, hogy az első év százaléka felhalmozódott a bank "első önkormányzati", ha a sperma "befektetett" a tészta alatt Makaróni.

Döntés.

Tegyük fel, hogy Kuznetsova megtakarításai voltak h. R.

Semyon tervezett egy év alatt, hogy a bank "Nastrode", 6 h. = DE (R).

Ugyanakkor Mr. Kuznetsov (P) megtakarításait "befektetett" a bankban Makaróna, és a többi rubel - a bank "első önkormányzat". Mondjuk, hogy ebben a bankban kamatfizetések a készpénztárolás első évében y. %. Ezután a második évben ez a kamatláb% volt. 2 év tárolás az "első önkormányzati" bankban, a vetőmag hozzájárulása nőtt

És ennek a kifejezésnek az értéke egyenlő

Az egyenlet megoldása w..

Nem alkalmas a probléma jelentésére.

Semen Kuznetsov Bank "Első Municipal" a betét tárolásának első évében 20%.

Válasz: 20%.

Forrás: A. Larin: Képzési lehetőség 94.

Alaposztályíró: Gyakorlati feladatok

Stb. - a leginkább minimális tudás numerikus sorok. Meg kell érteni, hogy mi a sor, hogy részletesen aláírja, és ne legyőzze a szemet a "sorozat konvergenciája" kifejezések után, "egy sor eltér", "egy szám összege". Ezért, ha a hangulat teljesen nulla, kérjük, fizessen 5-10 percet Sorok a teáskannákhoz (Szó szerint az első 2-3 oldal), majd itt tér vissza, és merészen elkezdenek megoldani a példákat!

Meg kell jegyezni, hogy a legtöbb esetben számos nehézségét megtalálja, és ezt a kérdést általában megoldják funkcionális sorok (Élénk várakozás :)). Tehát például a népszerű művész összege Átmegy fourier sorok. E tekintetben a gyakorlatot szinte mindig telepíteni kell. a konvergencia tényeDe ne találjon egy adott számot (sok, azt hiszem, már észrevették). Azonban a nagy sok numerikus sor között számos képviselő létezik, akik lehetővé teszik a problémák nélkül, hogy megérintsük a szentek szentjeit még egy teljes teáskanna is. És a bevezető leckében egy példát vezettem a végtelenül csökkenő geometriai progresszióra , amelynek mennyisége könnyen kiszámítható a jól ismert iskolai képlet szerint.

Ebben a cikkben továbbra is hasonló példákat fogunk figyelembe venni, emellett megtudjuk az összeg szigorú meghatározását, és egyszerűen megismerkedünk a rangsorok bizonyos tulajdonságaival. Nézzük füstöt ... Igen, a progresszióra és a diszpergálásra:

1. példa.

Keresse meg a sor összegét

Döntés: Képzeld el a sorunkat a két sor összege szerint:

Miért ebben Lehetséges, hogy ezt megteheti? Az elvégzett tevékenységek két legegyszerűbb állításon alapulnak:

1) Ha a rangok egyetértenek , akkor konvergálnak, és az érintett tagok összegeiből vagy különbségeiből összeállított rangok :. Ugyanakkor az a tény, hogy beszélünk konvergens sorok. Példánkban mi előre tudnádhogy mindkét geometriai előrehaladás megfelel, ezért kétségtelenül kétségtelenül kifejezi az eredeti számot két sorban.

2) A második ingatlan még nyilvánvalóbb. Az állandó a tartományon kívül elérhető: És ez nem befolyásolja a konvergenciáját, az eltérést és a végső összeget. Miért teszik az állandót? Igen, csak hogy "nem akadályozta meg a lábát". De néha nyereséges erre, és nem

A példa megyei tervezése így néz ki:

A képletet kétszer használjuk, hogy megtaláljuk a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegét: Hol van a progresszió első tagja, a progresszió alapja.

Válasz: A sor összege

A megoldás megkezdése némileg egy másik stílusban bocsátható ki - egy számot közvetlenül írni, és átcsoportosíthatja tagjait:

Tovább a hengerelt.

2. példa.

Keresse meg a sor összegét

Ez egy független megoldás példája. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Itt nincs különös öröm, de egy nap egy szokatlan sorozat jött hozzám, amit egy tapasztalatlan személy meglepője foghat. Ez ... szintén végtelenül csökkenti a geometriai progresszió! Valójában az összeget szó szerint számolják ki néhány pillanatban: .

És most a további feladatok megoldásához szükséges matematikai analízis életmódos kortyja:

Mi az összeg a sor?

A konvergencia / divergencia és az elméletben lévő számok szigorú meghatározása az úgynevezett részösszegek sor. A részleges eszközök hiányosak. Numerikus sorban részleges összegek :

ÉS különleges szerep A sorozat tagjai részleges összegének lejátszása:

Ha a numerikus sorozat részleges összegei egyenlő véges Szám:, akkor ilyen szám hívott konvergens, és maga a szám sorszám. Ha a határ végtelen, vagy nem létezik, akkor a sort hívják eltérés.

Visszatérünk a demonstrációs sorba és visszavonja részleges összegeit:

A részösszegek határértéke pontosan csökkenti a geometriai progresszió, amelynek összege egyenlő :. Hasonló határértéket tartottunk a leckében numerikus szekvenciákon. Valójában a képlet maga a fent említett elméleti számítások közvetlen következménye (lásd a Mathan második kötetét).

Így rajzol Általános algoritmus a feladatunk megoldására: Meg kell adni az Enna részleges mennyiségét a sorban, és megtalálni a határértéket. Lássuk, hogyan történik ez a gyakorlatban:

3. példa.

Számítsa ki a sor összegét

Döntés: Az első lépésben bomlik a sor általános tagja a frakciók mennyiségében. Használ a bizonytalan együtthatók módszere:

Ennek eredményeként:

Azonnal Hasznos a csekk végrehajtásával:

A sorozat általános tagját eredeti formában kaptuk, ezért a frakciók mennyiségének csökkenését sikeresen végeztük.

Most egy részleges összegét. Általánosságban elmondható, hogy szó szerint történik, de ha egyszer megírom a legtöbb részletet, mi jött:

Hogyan írjunk tökéletesen világossá, de mi az előző tag? A sorozat általános tagjában HELYETTE "HU" helyettesítjük:

A részanyag mennyiségének szinte minden összetevője biztonságosan megtervezett:


Jobb ilyen jelölések és ceruza egy notebookban. A fenébe kényelmes.

Továbbra is kiszámítja az elemi korlátot, és megtudja a szám összegét:

Válasz:

Hasonló sor az önmegoldásokhoz:

4. példa.

Számítsa ki a sor összegét

A megoldás végső díszítésének példamutató mintája a lecke végén.

Nyilvánvaló, hogy a szám összegének megtalálása önmagában bizonyítja a konvergenciáját (mellett az összehasonlítás jelei, Dalambert, Cauchy stb.) Mi, különösen a megfogalmazás következő feladat:

5. példa.

Keresse meg a szám összegét, vagy megállapítsa az eltérést

Az általános tag megjelenése szerint azonnal elmondhatja, hogy ez az elvtárs hogyan viselkedik. Komplexek nélkül. Keresztül az összehasonlítás maximális jele Könnyű megtudni (és még orálisan), hogy ez a sorozat közeledik a közelben. De van egy ritka esetünk, amikor az összeget sok baj nélkül is kiszámítják.

Döntés: Terjessze a frakció denomoterét a munkában. Ehhez meg kell oldania másodfokú egyenlet:

Ily módon:

A szorzók jobbak a növekvő sorrendben :.

Végezze el a közbenső ellenőrzést:

rendben

Így a sorozat közös tagja:

Ily módon:

Ne lusta:

Mit kellett ellenőrizni.

A sorozat tagjai részleges összegét írjuk le, miközben figyelmet fordítunk arra a tényre, hogy a szám "számlálója" a számból származik. Mint az előző példákban, megbízhatóbb, hogy a COBRA-t tisztességes hosszra nyújtsa:

Ha azonban egy vagy két sorban írunk, akkor továbbra is meglehetősen nehéz lesz navigálni a kifejezésekben (mindegyik tagja van). És itt fogunk jönni a mentéshez ... Geometria. Tegyünk egy tánc kígyót a tompa alatt:

Igen, jobbra és írj egy notebookot egy faszban egy másik és egyenesen annyira. By the way, saját találmánya. Mint érted, nem a legegyszerűbb feladatból ebben az életben \u003d)

Ennek eredményeként sztriptízünk van:

És végül a sor összege:

Válasz:

8. példa.

Számítsa ki a sor összegét

Ez egy független megoldás példája.

A vizsgált feladat természetesen nem kér minket sokféleséggel - a gyakorlatban, vagy végtelenül csökken a geometriai progresszió, vagy egy sor frakcionális-racionális általános tagja és egy lebontható polinom a denominátorban (az úton, nem minden Egyetlen polinom lehetővé teszi a szám mennyiségének megtalálását). De mindazonáltal néha szokatlan másolatok találkoznak, és a jelenlegi jó hagyományban befejezem az egyes feladatok leckét.

Ezeket a tulajdonságokat az integrált transzformációk megvalósítására használják annak érdekében, hogy az egyik elemi integrál és további számításhoz hozza.

1. A határozatlan integrált származéka megegyezik az integrand funkcióval:

2. A határozatlan integrált különbség megegyezik a kezdeti kifejezéssel:

3. A függvény különbségének határozatlan integrálja megegyezik a funkció összegével és tetszőleges állandóval:

4. Az integrált jelzésre állandó szorzót lehet készíteni:

És egy ≠ 0

5. Az összeg (különbség) integrálja megegyezik az integrálok összegével (különbség):

6. Az ingatlan a 4. és 5. tulajdonságok kombinációja:

És egy ≠ 0 b ≠ 0

7. A határozatlan integrált invariancia tulajdonsága:

Ha akkor

8. Tulajdon:

Ha akkor

Tulajdonképpen ez a tulajdonság Ez egy privát integrációs eset, amely változó csere módszerrel rendelkezik, amelyet részletesebben ismertetünk a következő részben.

Tekintsünk egy példát:

Először az 5-ös tulajdonságot, majd a 4-es tulajdonságot alkalmazzuk, majd a primitív és az eredményt kaptuk.

Az online kalkulátor integrálja algoritmusa támogatja a fent felsorolt \u200b\u200bösszes tulajdonságot, és könnyen megtalálható részletes megoldás Az Ön integráljára.

Hagyja a funkciót y. = f.(x. ) A szegmensen meghatározott [ a., b. ], a. < b. . Végezze el a következő műveleteket:

1) leeresztő [ a., b. ] Pontok a. = x. 0 < x. 1 < ... < x. ÉN.- 1 < x. ÉN. < ... < x. n. = b. a n. Részleges szegmensek [ x. 0 , x. 1 ], [x. 1 , x. 2 ], ..., [x. ÉN.- 1 , x. ÉN. ], ..., [x. n.- 1 , x. n. ];

2) Mindegyik részleges szegmensben [ x. ÉN.- 1 , x. ÉN. ], ÉN. = 1, 2, ... n., Válasszon tetszőleges pontot, és kiszámolja a funkció értékét ezen a ponton: f.(z I. ) ;

3) Keresse meg a műveket f.(z I. ) · Δ x. ÉN. ahol - a részleges szegmens hossza [ x. ÉN.- 1 , x. ÉN. ], ÉN. = 1, 2, ... n.;

4) Töltsük fel integrált összegfunkciók y. = f.(x. ) a szegmensen [ a., b. ]:

Geometriai szempontból ez az összeg σ a téglalapok területeinek összege, amelyek alapjai részleges szegmensek [ x. 0 , x. 1 ], [x. 1 , x. 2 ], ..., [x. ÉN.- 1 , x. ÉN. ], ..., [x. n.- 1 , x. n. ] és a magasságok egyenlőek f.(z. 1 ) , f.(z. 2 ), ..., f.(z N. ) Ennek megfelelően (1. ábra). Kijelent λ A legnagyobb részleges szegmens hossza:

5) Megtaláljuk az integrált összeg korlátozását, amikor λ → 0.

Meghatározás. Ha van egy véges integrált mennyiség (1), és nem függ a szegmens megosztásának módjától [ a., b. ] a részleges szegmenseken, sem a pontok kiválasztásából z I. Bennük, akkor ezt a határértéket hívják bizonyos integrált a funkciótól y. = f.(x. ) a szegmensen [ a., b. ] És jelöli

Ilyen módon

Ebben az esetben a funkció f.(x. ) Hívott integrálható a [ a., b. ]. Számok a. és b. az integrációs határértékek alsó részének, f.(x. ) - az integrand funkció, f.(x. ) dx - egy koncentív kifejezés, x. - integrációs változó; [] szakasz a., b. ] Az integrációs intervallumnak nevezik.

1. tétel.Ha a funkció y. = f.(x. ) Folyamatos a szegmensen [ a., b. ], akkor integrálva van erre a szegmensre.

Egy bizonyos integrációs határértékekkel rendelkező egyes integrált nulla:

Ha egy a. > b. , akkor, definíció szerint hiszünk

2. Egy adott integrált geometriai jelentése

Hagyja a szegmenst [ a., b. ] Folyamatos nem negatív funkció y. = f.(x. ) . Curvilinear trapéza függvénytáblázat tetejéről korlátozott szám y. = f.(x. ), az alábbiakban - a tengely Ó, bal és jobb - közvetlen x \u003d A. és x \u003d B. (2. ábra).

Bizonyos szervezetek nem negatív funkcióból y. = f.(x. ) A geometriai szempontból megegyezik a Curvilinear Trapezium területével, korlátozott a grafikon tetején y. = f.(x. ), bal és jobb - egyenes vágások x \u003d A. és x \u003d B. , Alul - a tengely szegmense Oh.

3. A specifikus integráció fő tulajdonságai

1. Egy specifikus integrált értéke nem függ az integrációs változó megnevezésétől:

2. Állandó szorzót lehet venni egy bizonyos integrált jelből:

(3) A két funkció algebrai mennyiségének specifikus integrálja megegyezik az ilyen funkciók bizonyos integrálja algebrai összegével:

4.Ha funkció y. = f.(x. ) integrálja a [ a., b. ] I. a. < b. < c. T.

5. (Átlagos tétel). Ha a funkció y. = f.(x. ) Folyamatos a szegmensen [ a., b. ], akkor ez a szegmensen van egy pont, hogy

4. Newton Labitsa Formula

Tétel 2.Ha a funkció y. = f.(x. ) Folyamatos a szegmensen [ a., b. ] I. F.(x.) - Valamennyi előreformált ezen a szegmensen, akkor a következő képlet igaz:

amit hívnak newton Formula Laboratóriuma. Különbség F.(b.) - F.(a.) A KÖVETKEZŐ KÖVETKEZŐKÉNT:

ahol a karaktert kettős helyettesítési jelnek nevezik.

Így a (2) képlet formájában írható:

1. példa. Kiszámítja az integrált

Döntés. Az integrált funkcióhoz f.(x. ) = x. 2 Az önkényes primitív az űrlapnak van

Mivel a Formula Newton Labnica segítségével bármilyen primitív, majd kiszámítani az integrált, vegyen egy primitív, a legegyszerűbb nézet:

5. A változó cseréje egy adott integrált

3. tétel. Hagyja a funkciót y. = f.(x. ) Folyamatos a szegmensen [ a., b. ]. Ha egy:

1) funkció x. = φ ( t.) és származéka φ "( t.) folyamatos;

2) Több funkcióérték x. = φ ( t.) ha egy szegmens [ a., b. ];

3) φ ( a.) = a., φ ( b.) = b.Ezután a képlet érvényes

amit hívnak a változó konkrét integrált cseréjének képlete .

nem úgy mint bizonytalan integrált, ebben az esetben nem szükséges Visszatérés a kezdeti integrációs változóhoz - elegendő az α és β integrációjának új határértékeinek megtalálása t. φ egyenletek ( t.) = a. és φ ( t.) = b.).

Helyettesítés helyett x. = φ ( t.) A helyettesítést használhatja t. = g.(x. ). Ebben az esetben új integrációs határértékeket találunk változó szerint t.egyszerűsített: α \u003d g.(a.) , β = g.(b.) .

2. példa.. Kiszámítja az integrált

Döntés. Új változót vezetünk be a képlet által. Az egyenlőség mindkét részét felemeli a téren, 1 + x \u003d. t. 2 Tól től! x \u003d. t. 2 - 1, dx = (t. 2 - 1)"dT.= 2tDT. . Új integrációs korlátokat találunk. Ehhez helyettesítjük a régi határértékeket a képletben x \u003d. 3 I. x \u003d. 8. Kapunk: hol t.\u003d 2 és α \u003d 2; Tól től! t.= 3 és β \u003d 3. így

3. példa. Kiszámítja

Döntés. Legyen u. \u003d ln. x. azután v. = x. . (4) képlet szerint