Bizonyos és határozatlan információs integrálok. Integgelals for dummies: hogyan kell megoldani, számítási szabályokat, magyarázatot. Egy specifikus integráció fő tulajdonságai

Az integrálok megoldása a feladat fény, de csak a választott. Ez a cikk azok számára szól, akik meg akarják tanulni megérteni az integrálokat, de nem tud semmit róluk, vagy csaknem semmi. Integrál ... Miért van szükség? Hogyan kell kiszámítani? Mi egy bizonyos és határozatlan integrál?

Ha az Ön által ismert egyetlen integrált alkalmazás, hogy egy horgolt egy integrált ikon formájában, valami hasznos a nehezen elérhető helyeken, majd szívesen! Ismerje meg, hogyan oldja meg a legegyszerűbb és más integrálokat, és miért nem lehetetlen a matematikában.

Tanulmányozzuk a koncepciót « integrál »

Az integráció az ókori Egyiptomban ismert. Természetesen nem modern videó, de még mindig. Azóta a matematika sok könyvet írt erről a témáról. Különösen megkülönböztetett Újonc és Leibnits De a dolgok lényege nem változott.

Hogyan lehet megérteni az integrálokat a semmiből? Egyáltalán nem! A téma megértéséhez még mindig szüksége lesz a matematikai elemzés alapjainak alapvető ismerete. Információk a szükséges korlátokról és származékokról, valamint az integrálok megértésére, már blogunkban van.

Bizonytalan integrált

Legyen valamiféle funkciója f (x) .

Bizonytalan integrált funkció f (x) Ezt a funkciót hívják F (x) , amelynek származéka egyenlő a funkcióval f (x) .

Más szavakkal, az integrált ellentétes vagy primitív származékos. By the way, arról, hogyan kell kiszámítani a származékokat, olvassunk el cikkünkben.

Prediktív létezik az összes folyamatos funkcióhoz. Emellett az állandó jelet gyakran az elsődleges hozzáadásra adjuk, mivel a származékok az állandó egybeesik. Az integráció megtalálásának folyamatát integrációnak nevezik.

Egyszerű példa:

Ahhoz, hogy a primitív elemi funkciókat folyamatosan kiszámítsák, kényelmes az asztalhoz vezetni, és használhatja a kész értékeket.

Teljes asztali integrálok a diákok számára

Bizonyos integrált

Az integrál koncepciójával foglalkozunk, végtelenül kis értékekkel foglalkozunk. Az integrált segít kiszámolni az ábrát, az inhomogén test tömegét, az egyenetlen mozgási útvonal alatt és még sok más alatt. Emlékeztetni kell arra, hogy az integrált végtelenül nagyszámú Végtelenül kis kifejezések.

Például képzeljük el egy bizonyos funkció ütemezését.

Hogyan találhat olyan területet, amelyek korlátozzák a funkció grafikonját? Az integrált segítségével! A Curvilinear trapéziumot megosztjuk, korlátozott a koordináta tengelyei és a funkció grafikonja, végtelenül kis szegmensek. Így az ábra vékony oszlopokra osztható. Az oszlopok területének összege lesz a trapéz területe. De ne feledje, hogy egy ilyen számítás példaértékű eredményt ad. Azonban a kisebbek a szegmensek már lesznek, annál pontosabb lesz a számítás. Ha olyan mértékben csökkentjük őket, hogy a hossza nullára törekszik, a szegmensek mennyisége az ábra területére törekszik. Ez egy konkrét integrált, amelyet a következőképpen írunk:

Az A és B pontokat integrációs határértékeknek nevezik.

« Integrál »

Mellesleg! Az olvasóink számára most 10% kedvezmény van bármilyen típusú munka

A bábuk integrálásainak kiszámítására vonatkozó szabályok

Bizonytalan integrált tulajdonságai

Hogyan lehet megoldani egy határozatlan integrált? Itt nem fogjuk megvizsgálni a tulajdonságokat bizonyos integráltamely hasznos lesz a példák megoldása során.

• Az integrált származéka megegyezik az integrand funkcióval:

• A konstans az integrál jeléből készülhet:

• Az összegből származó integrált az integrálok mennyiségével egyenlő. Szintén különbséget is:

Egy adott integráció tulajdonságai

• Linearitás:

• Az integrált jel megváltozik, ha az integrációs határértékeket cseréljük:

• -Ért bármi Pontok a., b. és tól től:

Már megtudtuk, hogy egy bizonyos integrált az összeg határértéke. De hogyan lehet egy adott értéket megoldani a példa megoldásakor? Ehhez van egy Newton-Leibnic képlet:

Példák az integrálok megoldására

Az alábbiakban egy határozatlan integrál és példa a megoldással. Javasoljuk, hogy önállóan megértsük a megoldás finomságait, és ha valami érthetetlen, kérdéseket tegyen fel a megjegyzésekben.

Az anyag biztosítása érdekében olvassa el a videót arról, hogy az integrálok hogyan oldódnak meg a gyakorlatban. Ne kétségbeesés, ha az integrál nem adódik azonnal. Lépjen kapcsolatba a diákok számára a diákok számára, és a zárt felületen lévő bármilyen hármas vagy görbületi integrált erők lesznek.

Ebben a cikkben felsoroljuk az egyes integrált alapvető tulajdonságait. A legtöbb ilyen tulajdonság a Riemann és a Darbu bizonyos integrált koncepciói alapján bizonyul.

A számítás egy adott integrál nagyon gyakran végezzük az első öt tulajdonságait, így fogunk hivatkozni, ha szükséges. A specifikus integrált fennmaradó tulajdonságait elsősorban különböző kifejezések értékelésére használják.

Mielőtt költözne egy specifikus integráció fő tulajdonságai, egyetértünk abban, hogy a nem haladja meg a b értékét.

Az y \u003d f (x) függvény esetében az x \u003d a, az egyenlőség tisztességes.

Ez az, hogy az integráció egybeesési határértékei közötti egyedi integrált értéke nulla. Ez a tulajdonság következtében meghatározó integrált Riemann, hiszen ebben az esetben minden egész összeget minden felosztásához a különbség, és minden pont kiválasztása nulla, mivel ezért a becslés a szerves összegek nulla.

A szegmensre beépített függvény esetében történik .

Más szavakkal, ha megváltoztatjuk a felső és az alsó határát integráció helyen, az érték egy meghatározott szerves változásokat az ellenkezője. Ez a konkrét integrált tulajdonság a Riemann Integral koncepciójáról is következik, csak a szegmens felosztása számozása az X \u003d b pontból kell elindulnia.

Az y \u003d f (x) és y \u003d g (x) funkciók szegmensére integrált.

Bizonyíték.

Írjuk be a funkció integrált mennyiségét A szegmens felosztása és a pontok kiválasztása:

ahol és az y \u003d f (x) és y \u003d g (x) funkciók integrált összegei a szegmens ezen felosztásához.

A határértékre költözik, amikor Ezt a Riemann Integral definíciójával meg kell szerezni, ami megegyezik a bizonyított tulajdonságok jóváhagyásával.

Állandó szorzót lehet venni egy bizonyos integrált jelből. Azaz az y \u003d f (x) szegmensre integrált függvényre és a K tetszőleges számra, az egyenlőség igaz .

A konkrét integrált tulajdonság bizonyítéka teljesen hasonlít az előzőhöz:


Hagyja, hogy az x intervallumra integrálható y \u003d f (x) függvény, és és akkor .

Ez a tulajdonság mindenki számára igazságos, vagy.

A bizonyítékot az adott integrált korábbi tulajdonságaira támaszkodhatják.

Ha a funkció be van építve a szegmensre, akkor az integrált és bármely belső szegmensen van.

A bizonyíték a Darboux ingatlanán alapul: Ha új pontokat ad hozzá a szegmens meglévő felosztásához, akkor a Darboux alacsonyabb mennyisége nem csökken, és a felső nem fog növekedni.

Ha az y \u003d f (x) függvény integrálódik a szegmensre és az argumentum bármely értékére, akkor .

Ez a tulajdonság bizonyult meghatározása révén a Riemann-integrál: bármely egész mennyiségét bármely Az elválasztó pont a szegmens és a pontok lesznek, nem-negatív (nem pozitív).

Corollary.

Az y \u003d f (x) és az y \u003d g (x) funkciók szegmensére integráltak, az egyenlőtlenségek érvényesek:


Ez az állítás azt jelenti, hogy megengedhető az egyenlőtlenségek integrálására. Ezt a következményt fogjuk használni a következő tulajdonságok igazolásában.

Hagyja, hogy az y \u003d f (x) függvény integráljon a szegmensre, akkor az egyenlőtlenség igaz .

Bizonyíték.

Nyilvánvaló, hogy . Az előző ingatlanban rájöttünk, hogy az egyenlőtlenség integrálható eddig, így . Ez a kettős egyenlőtlenség írható .

Hagyja, hogy az Y \u003d f (x) és y \u003d g (x) funkciók integrálhatók legyenek a szegmensre és az argumentum bármely értékére hol és .

A bizonyíték hasonlóan történik. M és m - a legkisebb és a legnagyobb érték az y \u003d f (x) funkciók a szegmensen, akkor . A dupla egyenlőtlenség dominálása az y \u003d g (x) nem negatív függvényen a következő kettős egyenlőtlenséghez vezet. A szegmensre való integrálása, a bizonyított nyilatkozatba kerülünk.

Corollary.

Ha g (x) \u003d 1-et veszel, akkor az egyenlőtlenség elviszi az űrlapot .

Az első középső képlet.

Hagyja, hogy az y \u003d f (x) függvény integráljon a szegmensre, és , akkor van ilyen szám.

Corollary.

Ha az y \u003d f (x) függvény folyamatos a szegmensen, akkor ilyen szám van .

Az általános képlet első képletét az általánosított formában.

Legyen az y \u003d f (x) és y \u003d g (x) funkciók, amelyek integrálhatók a szegmensre, és , és g (x)\u003e 0 az argumentum bármely értékére. Ezután van egy ilyen szám .

Az átlag második képlete.

Ha a szegmensen az y \u003d f (x) függvény integrálható, és y \u003d g (x) monotonne, akkor olyan ilyen szám van .

Ezeket a tulajdonságokat a végrehajtásához alkalmazott szerves átalakításokat annak érdekében, hogy ez az egyik elemi integrálok és további számítás.

1. A határozatlan integrált származéka megegyezik az integrand funkcióval:

2. A határozatlan integrált különbség megegyezik a kezdeti kifejezéssel:

3. A függvény különbségének határozatlan integrálja megegyezik a funkció összegével és tetszőleges állandóval:

4. Az integrált jelzésre állandó szorzót lehet készíteni:

És egy ≠ 0

5. Az összeg (különbség) integrálja megegyezik az integrálok összegével (különbség):

6. Az ingatlan a 4. és 5. tulajdonságok kombinációja:

És egy ≠ 0 b ≠ 0

7. A határozatlan integrált invariancia tulajdonsága:

Ha akkor

8. Tulajdon:

Ha akkor

Tulajdonképpen ez a tulajdonság Ez egy privát integrációs eset, amely változó csere módszerrel rendelkezik, amelyet részletesebben ismertetünk a következő szakaszban.

Tekintsünk egy példát:

Először az 5-ös tulajdonságot, majd a 4-es tulajdonságot alkalmazzuk, majd a primitív és az eredményt kaptuk.

Az online kalkulátor integrálja algoritmusa támogatja a fent felsorolt \u200b\u200bösszes tulajdonságot, és könnyen megtalálható részletes megoldás Az Ön integráljára.

Ezeket a tulajdonságokat a végrehajtásához alkalmazott szerves átalakításokat annak érdekében, hogy ez az egyik elemi integrálok és további számítás.

1. A határozatlan integrált származéka megegyezik az integrand funkcióval:

2. A határozatlan integrált különbség megegyezik a kezdeti kifejezéssel:

3. A függvény különbségének határozatlan integrálja megegyezik a funkció összegével és tetszőleges állandóval:

4. Az integrált jelzésre állandó szorzót lehet készíteni:

És egy ≠ 0

5. Az összeg (különbség) integrálja megegyezik az integrálok összegével (különbség):

6. Az ingatlan a 4. és 5. tulajdonságok kombinációja:

És egy ≠ 0 b ≠ 0

7. A határozatlan integrált invariancia tulajdonsága:

Ha akkor

8. Tulajdon:

Ha akkor

Valójában ez a tulajdonság egy speciális integrációs eset egy változó csere módszerrel, amelyet részletesebben ismertetünk a következő szakaszban.

Tekintsünk egy példát:

Először az 5-ös tulajdonságot, majd a 4-es tulajdonságot alkalmazzuk, majd a primitív és az eredményt kaptuk.

Az algoritmus az online kalkulátor integrálok támogatja a fenti tulajdonságok és könnyen megtalálja a részletes megoldás az integrál.

A feladat különböző számításban oldódik meg: anna funkciók alatt ƒ (x) találja származékát(vagy differenciál). Az integrált kalkulus megoldja az inverz problémát: Keresse meg az F (x) függvényt, ismerje az F "(x) \u003d ƒ (x) (vagy differenciál) (vagy differenciál) funkcióját. A kívánt f (x) függvényt primitív funkciónak nevezik ƒ (x).

Az f (x) funkciót hívják predo alakúfunkciók ƒ (x) az intervallumon (a; b), ha bármilyen X є (A; B) egyenlőségre kerül sor

F "(x) \u003d ƒ (x) (vagy df (x) \u003d ƒ (x) dx).

például, az y \u003d x 2, x є r primitív funkció egy függvény, mivel

Nyilvánvaló, hogy minden funkció is primitív lesz

ahol c állandó, mert

Tepema 29. 1. Ha az F (x) függvény egy primitív funkció ƒ (x) - (A; B), akkor az összes nagyon primitív a ƒ (x) esetében az F (x) + C , ahol c állandó szám.

▲ F funkció f (x) + c egy primitív ƒ (x).

Valóban, (f (x) + c) "\u003d f" (x) \u003d ƒ (x).

Legyen f (x) más, mint az F (x), a primitív függvény ƒ (x), azaz f "(x) \u003d ƒ (x). Ezután bármilyen x є (a; b) van

És ez azt jelenti (lásd: Corollary 25. 1)

ahol c állandó szám. Következésképpen f (x) \u003d f (x) + C. ▼

Az F (X) + C funkciók összes paraméterének készlete ƒ (x) bizonytalan integrált függvénytől (x)és jelzi a szimbólumot ƒ (x) dx.

Így definíció szerint

∫ ƒ (x) dx \u003d f (x) + c.

Itt ƒ (x) hívott szégyenlős funkció, ƒ (x) dx - egyértelmű kifejezésx - változó integráció, ∫ -jel bizonytalan integrált .

A funkcióból származó határozatlan integrált létrehozásának működését ez a funkció integrálja.

A geometriailag határozatlan integrál egy család „párhuzamos” görbék y \u003d f (x) + C (egy bizonyos görbe a család megfelel az egyes C számértéke megegyezik (lásd ábra. 166). Az egyes primitív (görbe) grafikonját hívják integrált görbe.

Van-e határozatlan integrált bármilyen funkcióhoz?

Van egy tétel, amely azt állítja, hogy "a folyamatos (a; b) funkciónak primitív hatása van erre a résre", és ezért és határozatlan integrál.

Számos olyan tulajdonságot jegyezünk meg, amely meghatározásából eredő határozatlan integrált.

1. A meghatározatlan integrált különbség megegyezik a kezdeti expresszióval, és a bizonytalan integrált származéka megegyezik az integrand funkcióval:

d (∫ ƒ (x) dx) \u003d ƒ (x) dh, (∫ ƒ (x) dx) "\u003d ƒ (x).

Deciitív, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (f (x) + s) \u003d df (x) + d (c) \u003d f "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "\u003d (f (x) + c)" \u003d f "(x) +0 \u003d ƒ (x).

A tulajdonság bevonása a helyes integrációt differenciálódással ellenőrzik. Például az egyenlőség

∫ (3x 2 + 4) DX \u003d X Z + 4X +

jobb, mivel (x 3 + 4x + s) "\u003d 3x 2 +4.

2. Az egyes funkciók diffperfektivitásának első integrálja megegyezik a funkció összegével és az önkényes állandóval:

∫df (x) \u003d f (x) + c.

Igazán,

3. Állandó szorzót lehet készíteni az integrált jel számára:

α ≠ 0 - állandó.

Igazán,

(1 / A \u003d P.)

4. A határozatlan integrál a angeboqueous mennyisége véges számú folytonos függvények egyenlő a surgefulness az integrál összege a feltételeket a funkciók:

Legyen f "(x) \u003d ƒ (x) és g" (x) \u003d g (x). Azután

ahol C 1 ± C 2 \u003d s.

5. (Az integrációs képlet invariance).

Ha egy ahol u \u003d φ (x) tetszőleges funkció, amely folyamatos származékos.

▲ Legyen X független változó, ƒ (x) - folyamatos funkció és f (x) - csúcs. Azután

Most regisztrálhatunk u \u003d f (x), ahol f (x) folyamatosan differenciálható funkció. Tekintsük az F (U) \u003d f (φ (x)) komplex funkciót. Az első differenciálműfunkció formájának inváziójának köszönhetően (lásd 160. o.)

Innen ▼

Így, a képlet egy határozatlan integrál maradványait valós függetlenül attól, hogy az integráció a változó egy független változó vagy bármely funkciót belőle, amely egy folytonos-származék.

Tehát a képletből az x on u (u \u003d φ (x)) helyettesítésével kapunk

Különösen,

29.1. Integráljon

ahol c \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

29.2. Keressen egy integrált megoldást:

• 29.3. Az alapvető határozatlan integrálok táblázata

Az a tény, hogy az integráció hatása, inverz differenciálódás, akkor kaphat egy táblázatot az alapvető integráltoknak a kalkulus (differenciállapot) diffpektivitásának megfelelő formuláira, valamint egy határozatlan integrált tulajdonságainak felhasználásával.

például, mint

d (sin u) \u003d cos u. du,

A fő integrációs módszerek figyelembevételével számos táblázati képletek megkötését kapják.

Az alábbi táblázatban szereplő integrálokat táblázatosnak nevezik. Szívesen ismertek. Az integrálszámítás nincsenek egyszerű és egyetemes szabályok megtalálása az elsődleges elemi függvények, mint a differenciálszámítás. A borskázis (azaz függvényintegráció) megkeresésére vonatkozó módszerek a (kívánt) integrálva lévő fogadások utasításaira csökkentek az asztalra. Következésképpen meg kell ismerned az asztali integrálokat, és képesek felismerni őket.

Megjegyezzük, hogy a táblázatban a fő integrálok, az integrációs változó lehet jelöljük független változót, és a függvény a független változó (az ingatlan a invariancia a integrálni képlet).

Az igazságosság az alábbi képletekkel, lehetséges, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a másik a jobb oldali, ami egyenlő lesz a kezdeti kifejezést a bal oldalon a képlet.

Például a 2. képlet szerinti igazságosságot bizonyítjuk, az 1 / U funkciót az összes értékre és a nulla értékre továbbítjuk.

Ha u\u003e 0, akkor ln | u | \u003d lnu, akkor ebből kifolyólag

Esley U.<0, то ln|u|=ln(-u). Но Így

Tehát a 2. képlet igaz. Angurherous, Fontolja a 15 képletet:

Táblázat kimeneti integrálok

Barátok! Meghívjuk Önt, hogy megvitassuk. Ha saját véleményed van, küldje el nekünk a megjegyzéseket.